Von Winkelfunktionen zur Dreiecksgeometrie - LSGM

1 Definition
Von Winkelfunktionen zur Dreiecksgeometrie
y
1
P
0 1
Jens Wirth, Freiberg
wirth@math.tu-freiberg.de
x
Es sei P ein Punkt auf dem Einheitskreis,
∠10P = φ. Dann besitzt
P die Koordinaten (cos φ, sin φ).
Dies kann man nutzen, um durch
periodische Fortsetzung auf ganz
die Funktionen sin φ und cos φ zu
definieren.
Mit dem Satz des Pythagoras gilt offensichtlich 0P 2 = 1 = sin 2 φ + cos 2 φ. Diese Formel wird
als trigonometrischer Pythagoras bezeichnet.
Übung 1 Man skizziere die Funktionen sin φ und cos φ. Dabei verwende man zum Messen
von Winkeln die Konvention, dass ein rechter Winkel das Maß π
2 hat.
Übung 2 Man ” beweise“, dass
gelten.
cos φ = sin(φ + π
), cos φ = cos(−φ) und sin φ = − sin(−φ)
2
2 Dreiecksberechnung mit Winkelfunktionen
Wie der Name schon vermuten lässt, eignen sich trigonometrische Funktionen in besonderer
Weise zur Berechnung von und in Dreiecken. In rechtwinkligen Dreiecken △ABC mit
∠ABC = π
2 gilt (schon allein wegen der Ähnlichkeit zu einem Dreieck mit AC = 1 und der
Definition der Winkelfunktionen)
c = b cos α und a = b sin α,
wobei wir wie üblich die Bezeichnungen a = BC und α = ∠CAB usw. verwenden. Uns
interessieren aber Formeln die in allen Dreiecken gelten.
1

2.1 Erweiterter Sinussatz
b
C
hc
a
Ein allgemeines Dreieck wird durch
die Höhe in rechtwinklige Teildreiecke
zerlegt. Es gilt also insbesondere
und damit
b sin α = hc = a sin β
α
A
c
Hc
β
B
a b c
= =
sin α sin β sin γ .
a
Frage: Welchen Wert hat sin α am allgemeinen Dreieck? Wir suchen eine geometrische Interpretation.
A
α
M
A
α
′
Sei o.B.d.A. α < π
2 . Dann können
wir nach dem Peripheriewinkelsatz
A auf dem Umkreis des Dreiecks
△ABC verschieden, ohne α (und
a) zu ändern. Wählen A ′ so, dass
∠BCA = π
2 ein rechter Winkel ist.
Dann gilt mit der Umkehrung zum
Satz des Thales für den Umkreismittelpunkt
M ∈ BA ′ und somit
B C
Es gilt also der erweiterte Sinussatz
2.2 Additionstheoreme I
a b
=
sin α sin β
= c
sin γ
a
sin α = A′ B = 2R,
wobei R der Umkreisradius des
Dreiecks ist.
= 2R.
Die Innenwinkel im Dreieck erfüllen α + β + γ = π. Damit ergeben sich auf elementare Weise
” Additionstheoreme“ für Winkelfunktionen
und entsprechend
sin(α + β) = sin(π − α − β) = sin γ
cos(α + β) = − cos γ
unter der Nebenbedingung α + β < π. Um dies schöner zu gestalten, wenden wir den erweiterten
Sinussatz an. Es gilt
2R sin γ = c = AHc + BHc = b cos α + a cos β = 2R(sin β cos α + sin α cos β)
wobei Hc der entsprechende Höhenfußpunkt ist. Wir haben also
2

sin(α + β) = sin α cos β + sin β cos α
bewiesen.
Insbesondere ergibt sich die Doppelwinkelformel
sin(2α) = 2 sin α cos α.
Um entsprechende Beziehungen für den Cosinus zu bekommen, müssen wir entweder verstehen,
warum das Additionstheorem für alle α, β ∈ R gilt, oder eine bessere geometrische
Interpretation für den Cosinus finden. Wir werden letzteres tun. An der Stelle soll nur vorab
auf die Doppelwinkelformel für den Cosinus hingewiesen werden. Es gilt
Ein Beweis erfolgt in Abschnitt 2.7.
2.3 Flächeninhalt
cos(2α) = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1.
Auch der Flächeninhalt ist eine Invariante des Dreiecks. Wir wollen die unsymmetrischen“
”
Formel A = 1
2aha umformen. Es gilt A = 1
2aha = 1
2ab sin γ und wegen dem erweiterten
Sinussatz ab = 4R2 sin α sin β. Somit ergibt sich
A = 2R 2 sin α sin β sin γ = abc
4R .
2.4 Zusammenhang zu Inkreisradius und Umfang
Der Inkreismittelpunkt ist der
Schnittpunkt der Winkelhalbierenden.
Diese zerlegen wie in
der Skizze das Dreieck in drei
Teilflächen △ABW , △BCW und
△CAW , die Höhen der Teildreiecke
sind jeweils die Radien des Inkreises.
Damit ergibt sich eine einfache
Flächenformel
A = pr,
¤¡¤¡¤¡¤¡¤
£¡£¡£¡£¡£
£¡£¡£¡£¡£
¤¡¤¡¤¡¤¡¤
¤¡¤¡¤¡¤¡¤
£¡£¡£¡£¡£
£¡£¡£¡£¡£
¤¡¤¡¤¡¤¡¤
¤¡¤¡¤¡¤¡¤
£¡£¡£¡£¡£
£¡£¡£¡£¡£
¤¡¤¡¤¡¤¡¤
¤¡¤¡¤¡¤¡¤
£¡£¡£¡£¡£
£¡£¡£¡£¡£
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡
¤¡¤¡¤¡¤¡¤
¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢
£¡£¡£¡£¡£
¤¡¤¡¤¡¤¡¤
¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡
r
r
W
r
£¡£¡£¡£¡£
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡
¤¡¤¡¤¡¤¡¤
¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢
£¡£¡£¡£¡£
¤¡¤¡¤¡¤¡¤
¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡
£¡£¡£¡£¡£
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡
¤¡¤¡¤¡¤¡¤
¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢
£¡£¡£¡£¡£
¤¡¤¡¤¡¤¡¤
¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡
£¡£¡£¡£¡£
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡
¤¡¤¡¤¡¤¡¤
¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢
£¡£¡£¡£¡£
¤¡¤¡¤¡¤¡¤
¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡
£¡£¡£¡£¡£
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡
¤¡¤¡¤¡¤¡¤
¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥
¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦
¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢
¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥
¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦
¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡
¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦
¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥
in der p = 1
2 (a + b + c) der halbe Umfang des Dreiecks ist.
Mit dem Sinussatz
a = 2R sin α, b = 2R sin β, c = 2R sin γ
folgt
was sich mit den Doppelwinkelformeln
sin α = 2 sin α
2
p = R(sin α + sin β + sin γ),
cos α
2
C
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡
¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢
¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥
¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦
¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢
¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥
¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡
¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢
¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥
¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦
¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢
¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥
¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡
¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢
¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥
¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦
¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢
¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥
¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡
A B
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡
¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢
¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥
¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦
¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢
¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥
¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡
2 β
und cos α = 2 cos − 1
2
3

über die Zwischenschritte
umformen lässt in
und mit A = pr in
2.5 Cosinussatz
= R(sin α + sin β + sin(α + β))
= R(sin α + sin β + sin α cos β + sin β cos α)
= R(sin α (1 + cos β) + sin β (1 + cos α))
= 4R(sin α
2
= 4R cos α
2
= 4R cos α
2
cos α
2
β β
cos2 + sin
2 2
β α
cos (sin
2 2
β α + β
cos sin
2 2
p = 4R cos α
2
r = 4R sin α
2
cos β
2
β β
cos + sin
2 2
= 4R cos α
2
cos β
2
sin β
2
cos γ
2
sin γ
2 .
cos2 α
2 )
cos α
2 )
cos β
2
cos γ
2
Etwas aus der Rolle fällt der Cosinussatz, er ist unsymmetrisch, soll aber trotzdem nicht
unerwähnt bleiben.
C
Es gilt mit dem Satz des Pythagoras
b
hc
a
α
A Hc
c B
und damit der Cosinussatz
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos α.
a 2 = h 2 c + HcB 2
= b 2 2
− AHc + HcB 2
= b 2 + (c − AHc) 2 2
− AHc
= b 2 + c 2 − 2cAHc
Der Cosinussatz ist nichts wirklich Neues. Er ergibt sich wie so vieles aus dem Sinussatz, wie
folgende Übung zeigt (zeigen soll).
Übung 3 Man folgere den Cosinussatz aus dem Sinussatz und dem trigonometrischen Pythagoras
(als ” Definition“ der Cosinus-Funktion).
2.6 Höhen und Höhenabschnitte
Die Höhen eines Dreiecks erfüllen
hc = b sin α = 2R sin α sin β.
4

Führt man die halbe Höhensumme als neue Hilfsgröße ein, so ergibt sich damit
q = 1
2 (ha + hb + hc) = R(sin α sin β + sin β sin γ + sin γ sin α).
Mit den Formeln aus Abschnitt 2.3 und 2.4 erhält man damit
A
= sin α sin β sin γ,
2R2 q
= sin α sin β + sin β sin γ + sin γ sin α,
R
p
= sin α + sin β + sin γ.
R
Ähnliche Beziehungen gelten auch für die Cosini der Winkel. Aufgabe 1 a) macht deutlich,
dass für die Höhenabschnitte die Beziehungen
und
AH = 2R cos α, BH = 2R cos β, CH = 2R cos γ,
HHa = 2R cos β cos γ, HHb = 2R cos γ cos α, HHc = 2R cos α cos β
gelten.
Insbesondere ist das Produkt der Höhenabschnitte konstant,
2.7 Additionstheoreme II
AH HHa = BH HHb = CH HHc = 4R 2 cos α cos β cos γ.
Wir gehen wieder vor wie in Abschnitt 2.2, ersetzen nur den erweiterten Sinussatz durch die
Formeln aus dem vorigen Abschnitt. Es gilt
2R cos γ = CH = CHc − HHc =
und damit
vorausgesetzt, dass α + β < π.
b sin α − 2R cos α cos β = 2R(sin α sin β − cos α cos β)
cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β,
Übung 4 Man komplettiere den Beweis durch jeweils eine Skizze für den Fall γ < π
2 und
γ > π
2 .
3 Aufgaben
Aufgabe 1 Man zeige in einem Dreieck △ABC (mit den üblichen Bezeichnungen) die folgenden
Beziehungen:
a)
AH = 2R cos α, HHa = 2R cos β · cos γ
für den Höhenschnittpunkt H und den Höhenfußpunkt Ha ∈ BC.
5

) Der Fußpunkt der Winkelhalbierenden AWa teilt die Seite BC im Verhältnis sin γ : sin β.
c)
d) ( √ WURZEL, ι31)
sin α + sin β + sin γ
sin α · sin β · sin γ
= 2R
r
R(cos α + cos β + cos γ) = R + r
Aufgabe 2 (A411345,[3])
Man beweise, dass ein Dreieck genau dann rechtwinklig ist, wenn für seine Innenwinkel α, β
und γ
gilt.
sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ
cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ
Aufgabe 3 In einem Dreieck △ABC gelten stets die folgenden drei Ungleichungen
a)
b)
c)
sin α β γ
· sin · sin
2 2 2
1 α β γ
≤ cos · cos · cos
2 2 2 2
= 2
≤ 1
8
3√
≤ 3
4
0 < sin α + sin β + sin γ ≤ 3√
3
2
Aufgabe 4 (A171335, [1] A85)
Man beweise folgenden Satz:
Sind u den Umfang, R der Umkreis- und r der Inkreisradius des Dreiecks △ABC, so gilt
√
3√
R > ur.
3
Ist das Dreieck insbesondere rechtwinklig, so gilt sogar
√
2√
R ≥ ur.
2
Aufgabe 5 Die durch die Fußpunkte der Dreieckstransversalen gebildeten Dreiecke werden
als Fußpunktdreiecke bezeichnet. Die Transversalen des Ausgangsdreicks sind dann wieder
(andere) Transversalen des Fußpunktdreiecks. So sind die Seitenhalbierenden eines Dreiecks
gleichzeitig Seitenhalbierende seines Mittendreiecks.
Man zeige: Die Höhen eines Dreiecks △ABC bilden Winkelhalbierende seines Höhenfußpunktdreiecks
△HaHbHc.
Aufgabe 6 Der Umkreis des Höhenfußpunktdreiecks hat den Radius 1
2 R.
6

Literatur
[1] Mathematischer Lesebogen ” Junge Mathematiker“, Heft 80
Bezirkskabinett für außerunterrichtliche Tätigkeit, Rat des Bezirkes Leipzig, 1987
[2] WURZEL, 5/97, http://www.wurzel.org
[3] http://www.mathematik-olympiaden.de
Comments
to do: convert pictures
Attribution Section
wirth (Dec 2004): Contributed to KoSemNet
graebe (2005-02-11): Prepared along the KoSemNet rules
7