Komplexe Zahlen - LSGM

Behauptung für n + 1. Nach Induktionsvoraussetzung und (2) gilt
z n+1 = z n · z = r n (cos(nϕ) + i sin(nϕ))r(cos ϕ + i sin ϕ)
= r n+1 (cos(nϕ + ϕ) + i sin(nϕ + ϕ)).
Dies beweist die Behauptung.
(b) Nun sei n < 0. Dann ist z n = 1/(z −n ). Wegen 1 = 1(cos 0+ i sin 0), (3) und dem Ergebnis
von (a) haben wir
z n = 1 1
=
z−n r−n (cos(0 − (−n)ϕ) + i sin(0 − (−n)ϕ)) = rn (cos(nϕ) + i sin(nϕ)).
Damit ist der Beweis erbracht.
Beispiel 2 Bestimme die trigonometrische Form von z = √ 3 − 3 i und berechne z 15 .
Wir haben |z| = √ 3 + 9 = 2 √ 3, cos ϕ = 1/2 und sin ϕ = − √ 3/2. Daher ist ϕ = −π/3 und
z = 2 √ 3(cos(−π/3) + sin(−π/3)). Nach der Moivreschen Formel haben wir
z 15 =
2 √ 15
3 cos
z 15 = −2 15 3 7√ 3.
−15 π
3
+ i sin
3 Wurzeln komplexer Zahlen
−15 π
3
= 2 15 3 7√ 3 (cos(−5π) + i sin(−5π))
Es sei z ∈ und n ∈ . Eine komplexe Zahl w heißt n-te Wurzel aus z, falls wn = z.
Im Gegensatz zu den positiven reellen Zahlen sind die Wurzeln aus komplexen Zahlen nicht
eindeutig bestimmt. Wir werden sehen, dass es genau n verschiedene Wurzeln gibt für jedes
z = 0.
Es sei z = r(cos ϕ + i sin ϕ) gegeben, und w = s(cos ψ + i sin ψ) sei eine n-te Wurzel aus z.
Nach der Moivreschen Formel ist dann wn = sn (cos nψ + i sin nψ). Ein Vergleich von wn und z ergibt sn = r oder s = n√ r ≥ 0. Ferner ist nψ = ϕ + 2kπ, k ∈ bzw.
ψ = ϕ
n
2kπ
+ , k ∈ .
n
Für k = 0, 1, . . . , n − 1 erhalten wir verschiedene Werte ψ0, ψ1, . . . , ψn−1 modulo 2π. Wir
fassen dies zusammen.
Satz 5 Es sei n ∈ und z = r(cos ϕ + i sin ϕ) = 0 eine komplexe Zahl. Dann sind die n
Zahlen
wk = n√
ϕ + 2kπ ϕ + 2kπ
r cos + i sin ,
n
n
k = 0, 1, . . . , n − 1
genau die n verschiedenen n-ten Wurzeln aus z.
Beispiel 3 Berechne die vierten Wurzeln aus z = −1.
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