Komplexe Zahlen - LSGM

Weitere Magazine

Empfehlungen

Info

.. ... ...... . . ..... .. . Im ✻ . . . . . . . . . . . . . . ❅ . . . ❅ ❅ ψ1. . . . . . . . . . ❅ . . . . . . . . . . . . . . . ψ0 . . . . . . . . . . . . ❅. . . . . . ψ2 . ........... .. ❅❅❅❅❅ ψ3 . . . . . . . . . . . . . . . . . Wir erhalten . .. . ... ..... .... . .. ✲ Re |z| = 1 ⇒ |w| = 4√ 1 = 1, arg z = ϕ = 180 ◦ . Folglich ist w0 = cos 45 ◦ + i sin 45 ◦ = 1 2 w1 = cos 135 ◦ + i sin 135 ◦ = − 1 w2 = cos 225 ◦ + i sin 225 ◦ = − 1 w3 = cos 315 ◦ + i sin 315 ◦ = 1 2 Geometrische Interpretation der n-ten Wurzeln ψ0 = ϕ 4 = 45◦ , ψ1 = ϕ 1 · 360◦ + 4 4 ψ2 = ϕ 2 · 360◦ + 4 4 ψ3 = ϕ 3 · 360◦ + 4 4 √ 1√ 2 + i 2 2 √ 1√ 2 + i 2, 2 2 √ 1√ 2 − i 2, 2 2 √ 1√ 2 − i 2. 2 = 135 ◦ , = 225 ◦ , = 315 ◦ . Die n-ten Wurzeln von z = 0 bilden ein reguläres n-Eck in der komplexen Ebene. Die Ecken liegen alle auf einem Kreis um 0 mit dem Radius n |z|. Als n-te Einheiswurzeln bezeichnet man die n Lösungen der Gleichung zn = 1, also die n Zahlen wk = cos 2kπ 2kπ + i sin , k = 0, 1, . . . , n − 1. n n Diese Zahlen liegen auf dem Einheitskreis und es ist w0 = 1. Etwas Geometrie. Ein Kreis mit Radius r um den Punkt z0 der Ebene ist die Menge aller z ∈ mit |z − z0| = r. Eine Gerade durch z1 und z2 ist die Menge z ∈ z − z1 z − z2 ∈ . Eine Drehung von z um z0 um den Winkel ϕ entgegen dem Uhrzeiger: z ′ −z0 = (z−z0)(cos ϕ+ i sin ϕ) 6 z0 z′ ✟ ✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✯ ✁ ✁✁✁✁✁✁✁✁✁✁✁✕ z . . . φ .
Aufgaben Aufgabe 1 Berechne (a) (1 + i )(2 + i )(3 + i ), (b) Aufgabe 2 Löse die folgenden Gleichungen: 1 12−5 i 1 + i 5+12 i , (c) 1 + i 2003 √ . 3 (a) z 2 + 2 i = 0. (b) z 2 + 3(1 + i )z + 5 i = 0. Aufgabe 3 Für z z = 1 berechne man |1 + z| 2 + |1 − z| 2 . Aufgabe 4 Es seien z1, . . . , zn komplexe Zahlen. Beweise: |z1 + z2 + · · · + zn| ≤ |z1| + · · · + |zn| . Aufgabe 5 (a) Berechne den Realteil, den Imaginärteil und den absoluten Betrag der komplexen Zahlen 2 + 3 i (1 − 7 i )(4 + 3 i ), 1 − 4 i , (1 − 7 i )2 , 5 cos 5π 5π + i sin . 3 3 (b) Bestimme die trigonometrische Form von −2 i , 1 − i , − √ 3 − i . Aufgabe 6 Welche Teilmengen der komplexen Ebene werden durch die folgenden Ungleichungen beschrieben? (a) |z − 1| ≤ 3, (b) (z − i )(z + i ) ≥ 1, (c) z + z ≥ −1. Aufgabe 7 Benutze die Moivresche Formel um cos(3α), sin(4α) und cos(5α) durch cos α und sin α auszudrücken. Schreibe cos 18 ◦ und sin 202, 5 ◦ als Wurzelausdruck. Aufgabe 8 Für welche z ∈ gilt (a) z 6 + 8 i = 0, (b) z 2 + i = 0. Aufgabe 9 Finde den Fehler in der folgenden Rechnung: Es seien a, b ∈ mit a > b. Dann gilt √ a − b = (−1)(b − a) = √ −1 √ b − a √ √ √ √ √ 1 a − b = −1 (−1)(a − b) = −1 −1 a − b | · √ a − b 1 = √ −1 √ −1 = i 2 1 = i 2 . 7
Seite 1 und 2: Komplexe Zahlen Axel Schüler, Leip
Seite 3 und 4: oder |zw| 2 = (|z| |w|) 2 . Nun fol
Seite 5: Behauptung für n + 1. Nach Indukti

Komplexe Zahlen - LSGM

Erfolgreiche ePaper selbst erstellen

Template löschen?

Als Template speichern?