PR ¨UFUNG TM I,II UND ETM I,II - Lehrstuhl für Technische Mechanik

ERGEBNISSE
PRÜFUNG TM I,II UND ETM I,II
Lehrstuhl für Technische Mechanik, TU Kaiserslautern
Prof. Dr.-Ing. P. Steinmann
SS 2007 25.08.2007
1. Aufgabe: (TM I-II, TMI, ETM I-II, ETM I)
A B C
D E F
2a
a
F1
F2
000000000
111111111
Der dargestellte masselose Dreigelenkrahmen wird durch die Einzelkräfte F1 und F2 belastet.
Bestimmen Sie:
a) die Auflagerreaktionen in A und D und die Gelenkkräfte in B;
b) die Schnittgrößen für de Bereiche A−C und D−F . Stellen Sie die Schnittgrößenverläufe
grafisch dar.
a

a) Ax = −3F1, Ay = −0.5F1, Bx = 3F1, By = 1.5F1,
b)
Dx = 3F1 − F2, Dy = 1.5F1
Bereich A-B:
AH
AV
Bereich D-E:
DH
DV
x
x
M
Q N
−0.5F1
M
Q N
F2 − 3F1
1.5F1
N = 3F1
Q = −0.5F1
M = −0.5F1x
3F1
Bereich C-B:
N
M Q
000000000000000000000000000000000000000
111111111111111111111111111111111111111000000000000000000
111111111111111111
000000000000000000000000000000000000000
111111111111111111111111111111111111111000000000000000000
111111111111111111
000000000000000000000000000000000000000
111111111111111111111111111111111111111000000000000000000
111111111111111111
N = F2 − 3F1
Q = 1.5F1
M = 1.5F1x
−F1a
x
Bereich F-E:
M Q
N
000000000000000000000000000000000000000
111111111111111111111111111111111111111000000000000000000
111111111111111111
000000000000000000000000000000000000000
111111111111111111111111111111111111111000000000000000000
111111111111111111
x
3F1a
000000000000000000000000000000000000000
111111111111111111111111111111111111111000000000000000000
111111111111111111
F1
F1
F2
F2
N = 0
Q = F1
M = −F1x
N = F2
Q = 0
M = 0

2. Aufgabe: (TM I-II, TM I, ETM I-II, ETM I)
2a
y
α
a
2
a
2
e
µ µ
x
a
2
a
2
Eine homogene, u-förmige Scheibe konstanter Dicke d aus Stahl (Dichte ρ) wird, wie dargestellt,
exzentrisch über ein Seil, zwei Umlenkrollen und das Gewicht F gegen zwei geneigte
Ebenen gedrückt. Der Reibungskoeffizient zwischen der Scheibe und den Ebenen sei µ. Das
Seil läuft reibungsfrei über die Rollen. Bestimmen Sie
a) die Lage des Scheibenschwerpunktes im angegebenen Koordinatensystem!
α
b) das Maximum der Gewichtskraft F so, dass das System in der angegebenen Gleichgewichtslage
verbleibt!
Gegeben: ρ = 7, 8 g cm −3 , µ = 1, 2 , α = 45 ◦
a = 10 cm , d = 10 mm , g = 9, 81 m s −2 , e = a/4
a) xS = a, yS ≈ 1, 554 a
b) Fmax ≈ 1, 56 G ≈ 37, 96 N
g
F

3. Aufgabe: (TM I)
B
A
00000
11111
000000000000
111111111111
00000
11111 00000
11111 00000
11111 00000 11111 0000 1111 000 111 00 11
000 111 00000
11111 00000
11111 00000
11111 00000
11111 00000 11111 0000 1111 000 111 00 11
00 11 000 111 00000
11111 00000
11111 00000
11111 00000
11111 00000 11111 0000 1111 000 111
00 11 000 111 00000
11111 00000
11111 00000
11111 00000
11111 00000 11111
6a
C
Der dargestellte Hallenträger besteht aus drei masselosen, starren Balken, die in den Punkten B
und D gelenkig miteinander verbunden sind. Der Hallenträger ist in A fest eingespannt und in
E gelenkig gelagert und wird durch die Streckenlasten s und w belastet.
Berechnen Sie mit dem Prinzip der virtuellen Verschiebungen
a) das Einpannmoment MA im linken Auflager A;
b) das Biegemoment MC im Punkt C des Dachträgers;
c) die vertikale Auflagerkraft Av im linken Auflager A.
Gegeben: s, w, a
Anmerkung: Sämtliche Polpläne, Verschiebungsbilder sowie kinematischen Beziehungen sind
anzugeben.
Eine Lösung der Aufgabe mit Gleichgewichtsbedingungen wird nicht bewertet.
a) MA = 4.5wa 2
b) MC = 18sa 2 + 1.5wa 2
c) Av = 6sa
6a
D
E
s
w
a
3a

4. Aufgabe: (TM I-II, TM II, ETM I-II, ETM II)
l
2
l
2
ϑ(x)
T
①
EA1
x
EA2
α
masselos, starr
Ein starrer masseloser Balken ist wie abgebildet durch eine Festlager und zwei Stäbe gelagert.
Der Stab ① erfährt eine lineare Erwärmung ϑ(x).
a) Stellen Sie die Funktion der Temperaturänderung ϑ(x) des Stabes ① in Abhängigkeit der
gegebenen Koordinate x auf.
b) Geben Sie das Verhältnis der Längenänderungen der beiden Stäbe an, wenn der Balken
aus der dargestellten (spannungsfreien) Lage bewegt wird.
c) Berechnen Sie die Stabkräfte und die Auflagerkraft im Punkt A bei einer Erwärmung des
Stabes ① um ϑ(x).
d) Geben Sie für die beiden Grenzfälle EA2 = 0 und EA2 = ∞ die Stabk¨rafte und die
Längenänderung des Stabes ① an.
Gegeben: T, αT, EA1, EA2, l, α = 45 ◦
②
A

a) ϑ(x) = −T
l
b) ∆l1 = 2∆l2
x + T
c) N1 = − αT · T · E · A1 · A2
2(A2 + 2A1)
N2 = αT · T · E · A1 · A2
(A2 + 2A1)
A = − 1
2 · αT · T · E · A1 · A2
2(A2 + 2A1)
d) Grenfälle
1. N2 = 0 =⇒ N1 = 0 ∆l1 = αT · l · T
2
2. ∆l2 = N2
EA2
· l
2
= 0
N1 = − αT · T · E · A1
2
N2 = αT · T · E · A1

5. Aufgabe: (TM I-II, TM II)
y
Q
z
l
t
Bestimmen Sie für den dargestellten Querschnitt eines dünnwandigen Profils mit konstanter
Wanddicke t
a) den Schwerpunkt S,
b) das Flächenträgheitsmoment Iyy bezüglich der y-Achse. Verwenden Sie hierfür ein neues
Koordinatensystem (y ∗ , z ∗ ) dessen Ursprung im Schwerpunkt S liegt.
c) die Spannungsverteilung aus Querkraft längs der Profillinie. Nehmen Sie hierzu an, dass
das Flächenträgheitsmoment Iyy = I ist. D.h. das in Aufgabenteil b) berechnete Flächenträgheitsmoment
braucht hier nicht explizit eingesetzt zu werden.
Gegeben: Q, l, l = 2a, t
a) ¯zS = −a : ¯yS = −1.18l
b) Iyy = 1, 16 l 3 t
c) τ = QS
It ; τ1 =
Q l
2 s1
I
; τ2 = Ql2
I +
1
Q
l
l − s2
2
2I
2
a
a

6. Aufgabe: (TM I-II, TMII, ETM I-II, ETM II )
A
2a
B
Das abgebildete massenlose Tragwerk besteht aus einem Balken, einem biegesteif angeschlossenen
Bogenträger und einem in C gelenkig verbundenen Stab. Der Balken und der Bogenträger
besitzen die Biegesteifigkeit EI, der Stab hat die Dehnsteifigkeit EA. Der Balken ist in Punkt
A fest eingespannt, während der Stab in D fest gelagert ist. Das System ist im Punkt B mit der
vertikalen Kraft F belastet.
Bestimmen Sie:
a) die Lagerkraft in D und die Abesenkung des Punktes C;
b) für den Sonderfall eines dehnstarren Stabes (d.h. EA → ∞) die Lagerkraft in D und die
Absenkung des Punktes C;
c) für den Sonderfall eines sehr weichen Stabes (d.h. EA → 0) die Lagerreaktionen in A
und die Absenkung des Punktes C.
Gegeben: a, F , EA, EI.
Anmerkung: Energieanteile infolge Querkraft können vernachlässigt werden. Im Bogenträger
sind nur Energieanteile infolge des Biegemomentes zu berücksichtigen.
Hinweis:
2 1 1
cos xdx = x + sin 2x
2 4
F
a
D
C
a

a) Dy =
wc =
a a3
+
EA EI
a a3
+
EA EI
14a 3
3EI F
3 26
π − 2 +
4 3
8a 3
3EI Fa
3 20
π − 2 +
4 3
EA
14F
b) Dy = ; wC = 0
3 26
3 π − 2 +
4 3
c) Ax = 0; Ay = F; MA = 2aF
vC = 14Fa3
3EI

7. Aufgabe: (ETM I)
l
A
C
l l
Die abgebildete dreieckige Scheibe ist im Punkt A horizontal verschieblich gelagert und im
Punkt B mit einer Kurbel verbunden. Die Kurbel hat die Länge r und bewegt sich mit der
konstanten Winkelgeschwindigkeit ω um den Punkt D.
Bestimmen Sie für die dargestellte Lage:
a) Die Richtung der Geschwindigkeit im Punkt B (zeichnerisch).
b) Die Richtungsvektoren rAB und rBC sowie den Geschwindigkeitsvektor vB im gegebenen
Koordinatensystem.
c) Die Winkelgeschwindigkeit ωs der Scheibe sowie die Geschwindigkeitsvektoren in den
Punkten A und C im gegebenen Koordinatensystem.
d) Die Lage des Momentanpols der Scheibe im gegebenen Koordinatensystem.
e) Den Beschleunigungsvektor im Punkt A und die Winkelbeschleunigung ˙ωs der Scheibe
im gegebenen Koordinatensystem.
Gegeben: l, r, α = 45 ◦ und ω = √ 2
B
z
y
r
α
ω
D
x

a)
l
A
C
l l
⎡ ⎤
2 l
⎡ ⎤
−l
⎡ ⎤
r
⎢
b) rAB = ⎣
⎥
0 ⎦
⎢ ⎥
rBC = ⎣ l ⎦
⎢ ⎥
vB = ⎣ r ⎦
c) ωS =
d) Π =
⎡
⎢
⎣
0
0
r
2l
0
⎤
⎥
⎦
⎡ ⎤
−2l
⎢ ⎥
⎣ 2l ⎦
⎡
⎢
e) aA = ⎢
⎣
0
r · √ 2 + r2
2l
0
0
⎤
⎥
⎦
0
B
⎡ ⎤
r
⎡ ⎤
r/2
⎢ ⎥
vA = ⎣ 0 ⎦
⎢ ⎥
vC = ⎣ r/2 ⎦
0
ωS ˙ =
⎡
⎢
⎣
0
0
− r · √ 2
2l
⎤
⎥
⎦
z
y
r
0
α
0
vB
ω
D
x

8. Aufgabe: (ETM I-II, ETM II)
x
x3
ψ
g
m3
2R
ϕ
R K2
Zwei Massen m2 und m3 sind durch ein Seil, das über eine masselose Rolle K1 geschlungen
ist, miteinander verbunden. Die Rolle K1 ist durch ein zweites Seil, das über die masselose
Scheibe K2 geschlungen ist, mit der Masse m1 verbunden.
Bestimmen Sie:
a) die Bewegungsgleichungen für alle Teilsysteme;
b) für den Fall m1 = m, m2 = 2m und m3 = 4m die Winkelbeschleunigung und die
Schwerpunktbeschleunigung der Rolle K1;
c) für den Fall m1 = 0 die Schwerpunktbeschleunigung und Winkelbeschleunigung der
Rolle K1.
Gegeben: m1, m2, m3, R, g
Anmerkung: Verwenden Sie die angegebenen Koordinaten.
K1
m1
m2
x1
x2

a)
↑ : −m1¨x1 + S1 − m1g = 0
A : S1 R − S4 R = 0
↑ : S4 − S2 − S3 = 0
B : S2 2R − S3 2R = 0
↑ : −m2¨x2 + S2 − m2g = 0
↑ : −m3¨x3 − S3 + m3g = 0
b)
2m2 1 +
¨x1 =
(m3
− m2)
(m2 + m3)
2m2 1 + (m3
− m2)
(m2 + m3)
− m1
+ m1
für m1 = m, m2 = 2m, m3 = 4m ¨x1 = 13
19 g
c) ¨x1 = g, ¨ϕ = 0
g