§ 7. Quadratische Formen

§ 7.
Quadratische Formen
Vereinbarung: In diesem Paragraphen sei A stets eine reelle und symmetrische (n×n)-Matrix,
(A = A ⊤ ). Also: A = (ajk), dann ajk = akj (k, j = 1, . . . , n)
Definition
QA : Rn → R durch QA(x) := x(Ax). QA heißt die zu A gehörende quadratische Form. Für
x = (x1, . . . , xn) :
QA(x) =
n
j,k=1
ajkxjxk
Beispiel
Sei f ∈ C2 (D, R), x0 ∈ D, h ∈ Rn , S[x0, x0 + h] ⊆ D.
⎛
fx1x1
⎜
Hf (x0) := ⎜
⎝
(x0)
fx2x1
· · · fx1xn(x0)
(x0)
.
· · · fx2xn(x0)
.
fxnx1 (x0)
⎞
⎟
⎠
· · · fxnxn(x0)
heißt die Hesse-Matrix von f in x0. 4.1 =⇒ Hf (x0) ist symmetrisch. Aus 6.7 folgt:
f(x0 + h) = f(x0) + grad f(x0) · h + 1
2 QB(h) mit B = Hf (x0 + ηh)
Definition
A heißt positiv definit (pd) : ⇐⇒ QA(x) > 0 ∀x ∈ R n \ {0}
A heißt negativ definit (nd) : ⇐⇒ QA(x) < 0 ∀x ∈ R n \ {0}
A heißt indefinit (id) : ⇐⇒ ∃u, v ∈ R n : QA(u) > 0, QA(v) < 0
Beispiele:
(1) (n = 2), A =
a b
b c
QA(x, y) := ax2 + 2bxy + cy2 (x, y) ∈ R2 . Nachrechnen:
aQA(x, y) = (ax + by) 2 + (det A)y 2 ∀(x, y) ∈ R 2
Übung:
A ist positiv definit ⇐⇒ a > 0, det A > 0
A ist negativ definit ⇐⇒ a < 0, det A > 0
A ist indefinit ⇐⇒ det A < 0
1 0 1
0 0 0
1 0 1
QA(x, y, z) = (x + z) 2 ∀ (x, y, z) ∈ R3 . QA(0, 1, 0) = 0. A ist weder pd, noch id, noch nd.
(2) (n = 3), A =
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§ 7. Quadratische Formen
(3) ohne Beweis (→ Lineare Algebra). A symmetrisch =⇒ alle Eigenwerte (EW) von A
sind ∈ R.
A ist positiv definit ⇐⇒ Alle Eigenwerte von A sind > 0
A ist negativ definit ⇐⇒ Alle Eigenwerte von A sind < 0
A ist indefinit ⇐⇒ ∃ Eigenwerte λ, µ von A mit λ > 0, µ < 0
Satz 7.1 (Regeln zu definiten Matrizen und quadratischen Formen)
(1) A ist positiv definit ⇐⇒ −A ist negativ definit
(2) QA(αx) = α 2 QA(x) ∀x ∈ R n ∀α ∈ R
(3) A ist positiv definit ⇐⇒ ∃c > 0 : QA(x) ≥ cx 2 ∀x ∈ R n
A ist negativ definit ⇐⇒ ∃c > 0 : QA(x) ≤ −cx 2 ∀x ∈ R n
Beweis
(1) Klar
(2) QA(αx) = (αx)(A(αx)) = α 2 x(Ax) = α 2 QA(x)
(3) „ ⇐= “: Klar. „ =⇒ “: K := {x ∈ Rn : x = 1} = ∂U1(0) ist beschränkt und abgeschlossen.
QA ist stetig auf K. 3.3 =⇒ ∃x0 ∈ K : QA(x0) ≤ QA(x) ∀x ∈ K. c := QA(x0). A
positiv definit, x0 = 0 =⇒ QA(x0) = c > 0. Sei x ∈ Rn \ {0}; z := 1
xx =⇒ z ∈
1
K =⇒ QA(z) ≥ c =⇒ c ≤ QA xx
(2) 1 2
= x QA(x) =⇒ QA(x) ≥ cx2
Satz 7.2 (Störung von definiten Matrizen)
(1) A sei positiv definit (negativ definit). Dann existiert ein ε > 0 mit: Ist B = (bjk) eine
weitere symmetrische (n × n)-Matrix und gilt: (∗) |ajk − bjk| ≤ ε (j, k = 1, . . . , n), so
ist B positiv definit (negativ definit).
(2) A sei indefinit. Dann existieren u, v ∈ R n und ε > 0 mit: ist B = (bjk) eine weitere
symmetrische (n × n)-Matrix und gilt: (∗) |ajk − bjk| ≤ ε (j, k = 1, . . . , n), so ist
QB(u) > 0, QB(v) < 0. Insbesondere: B ist indefinit.
Beweis
7.1
(1) A sei positiv definit =⇒ ∃c > 0 : QA(x) ≥ cx2 ∀x ∈ Rn . ε := c
2n2 . Sei B = (bjk) eine
symmetrische Matrix mit (∗). Für x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn
: QA(x) − QB(x) ≤ |QA(x) −
m
QB(x)| =
(ajk − bjk)xjxk
j,k=1
≤
n
|ajk − bjk| |xj| |xk| ≤ εx
j,k=1
≤ε ≤x ≤x
2 n 2 = c
2n2 x2n 2 =
c
2 x2
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(2) A sei indefinit. ∃u, v ∈ Rn : QA(u) > 0, QA(v) < 0. α := min
0. ε := α
2n2 . Sei B = (bjk) eine symmetrische Matrix mit (∗).
QA(u) − QB(u)
Wie bei (1)
≤ εu 2 u 2 = α
2n 2 n 2 u 2 = α
2 u2 ≤ 1
2
QA(u)
u2 , − QA(v)
v2
=⇒ α >
QA(u)
u 2 u 2 = 1
2 QA(u) =⇒
QB(u) ≥ 1
2 QA(u) > 0. Analog: QB(v) < 0.