1. Satz von Arzelà-Ascoli

1. Satz von Arzelà-Ascoli
In diesem Paragraphen sei ∅ = A ⊆ R und F sei eine Familie (Menge) von Funktionen f : A →
R.
Definition
F heißt auf A
(1) punktweise beschränkt : ⇐⇒ ∀x ∈ A ∃c = c(x) ≥ 0 :
(2) gleichmäßig beschränkt : ⇐⇒ ∃γ ≥ 0 :
(3) gleichstetig : ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃δ = δ(ε) > 0:
|f(x)| ≤ c ∀f ∈ F
|f(x)| ≤ γ ∀x ∈ A ∀f ∈ F
|f(x) − f(y)| < ε ∀x, y ∈ A mit |x − y| < δ und ∀f ∈ F
Satz (Satz von Arzelà-Ascoli)
A sei beschränkt und abgeschlossen, F sei punktweise beschränkt und gleichstetig auf A und
(fn) sei eine Folge in F.
Dann enthält (fn) eine Teilfolge, welche auf A gleichmäßig konvergiert.
Beweis
Analysis II, 2.3 =⇒ es existiert eine abzählbare Teilmenge B = {x1, x2, . . .} ⊆ A mit B = A.
(fn(x1)) ist beschränkt
(f1,n(x2)) ist beschränkt
Analysis I
Wir erhalten Funktionenfolgen
=====⇒ (fn) enthält eine Teilfolge (f1,n) mit (f1,n(x1)) konvergent.
Analysis I
=====⇒ (f1,n) enthält eine Teilfolge (f2,n) mit (f2,n(x2)) konvergent.
(f1,n) = (f1,1, f1,2, f1,3, . . .)
(f2,n) = (f2,1, f2,2, f2,3, . . .)
(f3,n) = (f3,1, f3,2, f3,3, . . .)
(fk+1,n) ist eine Teilfolge von (fk,n) und (fk,n(xk)) ∞ n=1
gj := fj,j (j ∈ N); (gj) ist eine Teilfolge von (fn).
(gk, gk+1, gk+2, . . .) ist eine Teilfolge von (fk,n) =⇒ (gj(xk)) ∞ j=1
.
konvergiert (k ∈ N).
ist konvergent (k = 1, 2, . . .).
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1. Satz von Arzelà-Ascoli
Sei ε > 0. Wir zeigen:
(∗) ∃j0 ∈ N : |gj(x) − gν(x)| < 3ε ∀j, ν ≥ j0 ∀x ∈ A
(woraus die gleichmäßige Konvergenz von (gj) folgt)
F gleichstetig =⇒
A ⊆
x∈A
(i) ∃δ > 0 : |gj(x) − gj(y)| < ε ∀x, y ∈ A und |x − y| < δ ∀j ∈ N
U δ (x). Analysis II, 2.3 =⇒ ∃y1, . . . , yp ∈ A4:
2
(ii) A ⊆
p
j=1
U δ (yj)
2
B = A =⇒ ∀q ∈ {1, . . . , p} ∃zq ∈ B : zq ∈ U δ (yq) (gj)(zq))
2
∞ j=1
q ∈ {1, . . . , p} =⇒ ∃j0 ∈ N:
ist konvergent für alle
(iii) |gj(zq) − gν(zq)| < ε ∀j, ν ≥ j0 (q = 1, . . . , p)
Seien j, ν ≥ j0 und x ∈ A (ii)
=⇒ ∃q ∈ {1, . . . , p} : x ∈ U δ (yq) =⇒ |x − zq| = |x − yq + yq − zq| ≤
2
|x − yq| + |yq − zq| < δ δ (i)
2 + 2 = δ =⇒ |gj(x) − gj(zq)| < ε, |gν(x) − gν(zq)| < ε (iv)
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=⇒ |gj(x) − gν(x)| = |gj(x) − gj(zq) + gj(zq) − gν(zq) + gν(zq) − gν(x)|
≤ |gj(x) − gj(zq)| + |gj(zq) − gν(zq)| + |gν(zq) − gν(x)|