Erzeugende Funktionen

50 KAPITEL 10. ERZEUGENDE FUNKTIONEN
Beweis
a)
b) ähnlich
g ′ X(s) =
∞
k=1
pX(k)k · s k−1 s→1
→
∞
pX(k)k = EX
Beispiel 10.1
Sei X ∼ B(n, p), n ∈ N, p ∈ (0, 1)
n
P (X = k) = p
k
k (1 − p) n−k , k = 0, 1, . . . , n
Es gilt:
gX(s) = n p k (1 − p) n−k · s k = (sp + 1 − p) n
n k=0 k
g ′ X (s) = n(sp + 1 − p)n−1p g ′′ X (s) = n(n − 1)(sp + 1 − p)n−2p2 Also:
EX = g ′ X (1− ) = np
Var(X) = n(n − 1)p 2 + np − (np) 2 = n 2 p 2 − np 2 + np − n 2 p 2 = np(1 − p)
Satz 10.2 (Eindeutigkeitssatz für erzeugende Funktionen)
Sind X und Y zwei diskrete Zufallsvariablen mit Werten in N0, Zähldichten
{pX(k)}k∈N0 , {pY (k)}k∈N0 und erzeugenden Funktionen gX(s), gY (s), so gilt:
k=1
pX(k) = pY (k) ∀ k ∈ N0 ⇐⇒ gX(s) − gY (s) ∀ s ∈ [−1, 1]
Beweis
Identitätssatz für Potenzreihen.
Satz 10.3
Sind X und Y zwei unabhängige, diskrete Zufallsvariablen mit Werten in N0, dann
gilt:
gX+Y (s) = gX(s) · gY (s) ∀ s ∈ [−1, 1]
Beweis
Für s ∈ [−1, 1] gilt:
gX+Y (s) =
=
∞
s k · P (X + Y = k) =
k=0
∞
k
k=0 i=0
∞
k=0
=s i s k−i
s k
s i P (X = i)s k−i P (Y = k − i)
∞
= ( s i ∞
P (X = i)) · ( s j P (Y = j))
i=0
= gX(s) · gY (s)
j=0
k
P (X = i, Y = k − i)
X,Y unabh.
= P (X=i)·P (Y =k−i)
i=0