Erzeugende Funktionen

Beispiel 10.2
Es sei X ∼ B(n, p), Y ∼ B(m, p), X und Y unabhängig.
Mit Beispiel 10.1 gilt: gX(s) = (sp + 1 − p) n , gY (s) = (sp + 1 − p) m
Also folgt mit Satz 10.3:
gX+Y (s) = (sp + 1 − p) n+m ⇒ X + Y ∼ B(n + m, p)
Insbesondere ist X = n
i=1 Xi, wobei X1, . . . , Xn unabhängig und identisch verteilt
mit Xi ∼ B(1, p)
Beispiel 10.3 (Ruinspiel) • Spieler I besitzt n Euro
• Spieler II besitzt (N − n) Euro
• Pro Runde: Spieler I gewinnt von Spieler II einen Euro mit Wahrscheinlichkeit
p, sonst verliert er einen Euro an Spieler II
• Die Runden sind unabhängig
• Gespielt wird bis ein Spieler pleite ist
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Spieler I gewinnt? Sei dabei N ∈ N fest.
Wir definieren die Ereignisse An = Spieler I gewinnt bei Anfangskapital n und B =
Spieler I gewinnt die erste Runde. Mit dem Satz der totalen Wahrscheinlichkeit
ergibt sich:
P (An) = P (An|B) · P (B) + P (An|B c ) · P (B c ) für 0 < n < N
Sei pn := P (An): pn = pn+1 · p + pn−1 · (1 − p), 0 < n < N und p0 = 0 und pN = 1.
Die ist eine sogenannte Differenzengleichung. Sei ρ := 1−p
p
pn+1 = (1 + ρ)pn − ρpn−1, n = 1, 2, . . .
s n+1 pn+1 = (1 + ρ)s n+1 pn − ρs n+1 pn−1, n = 1, 2, . . .
Sei ˆg(s) = ∞
n=0 pns n . Dann folgt:
ˆg(s) − p1 · s = (1 + ρ)sˆg(s) − ρs 2 ˆg(s)
p1 · s
p1
⇒ ˆg(s) =
=
1 − (1 + ρ)s + ρs2 ρ − 1
= p1
∞
(ρs)
ρ − 1
k ∞
− s k
k=0
⇒ pn = p1
s − 1 (ρn − 1)
k=0
Randbedingung: pN = 1 ergibt p1 = ρ−1
ρN . Insgesamt:
−1
Bei ρ = 1:
pn = ρn − 1
ρN , n = 0, 1 . . .
− 1
pn = n
, n = 1, 2 . . .
N
51
und ρ = 1 (d.h. p = 1
2 ).
1 1
−
1 − ρs 1 − s