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1. Übung
Boolesche Algebra (2. Aufgaben)
Shannonscher Entwicklungssatz (2 Aufgaben)
Boolesche Funktionen: (4 Aufgaben)
DNF, KNF
DMF, KMF
Institut für Rechnerentwurf und Fehlertoleranz
Dr.-Ing. Dr. Ing. T. Asfour
George Boole 1815-1864
• Englischer Mathematiker und Logiker.
• Mit 16 Jahren Lehrer. Später eröffnete er eine
eigene Schule
• Boole konnte jedoch nicht an einer Universität
studieren, da er das Einkommen aus seiner Schule
für seine Eltern benötigte.
• Im Jahre 1849 erhielt Boole einen Mathematik-
Lehrstuhl am Queens-College in Cork (Irland). Dort
lehrte er als außergewöhnlicher und
hingebungsvoller Lehrer für den Rest seines Lebens
• 1854 publizierte Boole: An investigation into the
Laws of Thought, on Which are founded the
Mathematical Theories of Logic and Probabilities:
Bescheibung der Logik auf neue Weise mit nur
einer Algebra (Algebra der Logik), die so die Logik
mit der Mathematik verband.
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1-1
1-3
Struktur der Booleschen Algebra
Verknüpfungsgebilde: BA = [ V, ⊕, ⊗]
Mengenalgebra (MA)
P(M)
S ∈ P(M) oder S ⊆ M
⎯S
Operatoren: ∩, ∪
Bezugsmenge: M ∈ P(M)
Leere Menge: ∅ ∈ P(M)
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Boolesche Algebra (BA)
V
a ∈ V
⎯a
Operatoren: ⊕, ⊗
Einselement: e ∈ V
Nullelement: n ∈ V
MA
Interpretation
Abstraktion
BA
Schaltalgebra
Binäre Boolesche Algebra:
Schaltalgebra:
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[ ]
BA2 = { n, e},
⊗ , ⊕
Interpretation
Abstraktion
[ ]
SA = { 0,1},
∧, ∨
Abstrakt
Konjunktion Disjunktion
1-2
1-4

Huntingtonsche Axiome in der Schaltalgebra
H0. a ∨ b ∈ {0,1}
a ∨ b ∈ {0,1}
H1. a ∨ b = b ∨ a
a ∧ b = b ∧ a
H2. a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c)
a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)
H3. a ∧ 1 = a
a ∨ 0 = a
H4. a ∧ a = 0
a ∨ a = 1
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x 1
Schaltalgebra
Verknüpfungs-
gebilde
Eingänge Ausgänge
x n
L, H
L, H
Zweiwertige Signaldarstellung:
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physikalische Größe:
Spannung
U B
H
L
y1 L, H
ym L, H
1-5
1-7
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Operationen:
x 1
x 2
Serienschaltung (ser)
H0: Abgeschlossenheit
Schaltalgebra
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x 1
x 2
Parallelschaltung (par)
x 1 ser x 2 ∈ { L, H} x 1 par x 2 ∈ { L, H}
1-6
1-8

H1: Kommutativgesetze
x 2
x 1
Schaltalgebra
x 1
x 2
x 1 ser x 2 =x 1 ser x 2 x 1 par x 2 = x 2 par x1
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H3: Neutrale Elemente
V
x ser V = x
V: Dauernde Verbindung
Schaltalgebra
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x
x 1
x 2
x 2
x 1
x x
U
x
1-9
x par U = x
U: Dauernde Unterbrechung
1-11 11
H2: Distributivgesetz
x 1
x 1
x 1
x 2
x 3
Schaltalgebra
x 2
x 3
x 1 ser (x 2 par x 3 )=
(x 1 ser x 2 ) par (x 1 ser x 3 )
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H4: Inverse Elemente
x
U
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x 1
x 2
Schaltalgebra
x
x 2
x 1
x 1
x 1
x 3
x 1 par (x 2 ser x 3 )=
(x 1 par x 2 ) ser (x 1 par x 3 )
x ser x = U x par x = V
Voraussetzung: Ideales, gleichzeitiges Schalten
x
x
V
1-10 10
1-12 12

Boolesche Funktionen
Binäre Funktionen binärer Variablen
f: {0,1} n → {0,1} x0 x1 x (n-1) f
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y = f(X)
n unabhängige Eingangsvariablen: xi ∈ {0,1} i = 0, ..., n-1 n
2n spezielle Eingangsbelegungen: Bi ∈ {0,1} n i = 0, ..., 2 n-1 1 abhängige Ausgangsvariable: y ∈ {0,1}
n Eingangsvariablen ⇒ 2 2n Funktionen
Dualitätprinzip:
Aufgabe 1
Man ersetze: ∨ ∧ 0 1
Man belasse: a a a a
H3
a ∧ a = (a a ∧ a ) ∨ 0
H4
= (a a ∧ a ) ∨ (a a ∧ a )
H2
= a ∧ (a a ∨ a )
H4
= a ∧ 1
H3
= a q.e.d. q.e.d
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H3
a ∨ a = (a a ∨ a ) ∧ 1
H4
1-13 13
= (a a ∨ a ) ∧ (a a ∨ a )
H2
= a ∨ (a a ∧ a )
H4
= a ∨ 0
H3
= a q.e.d. q.e.d.
1-15 15
Aufgabe 1
Beweisen Sie die beiden Idempotenzgesetze:
• a ∧ a = a
• a ∨ a = a
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Aufgabe 2
Beweisen Sie die folgende Behauptung:
a ∨ b = a ∨ c
a ∧ b = a ∧ c
Beweis:
⇒
b = c
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1-14 14
1-16 16

Aufgabe 3
Die folgende Boolesche Funktion soll in eine disjunktive
Form nach den Variablen a, b, c und d in dieser
Reihenfolge entwickelt werden, jedoch höchstens
solange, bis die Restfunktionen nur noch aus einer
Variablen bestehen.
f(d,c,b,a) f(d,c,b,a)
= ( a ∨ b ) ∧ ( c ∨ d ) ∨ ( c d ∨ a b ) ∧ ( c ∨ d )
Entwickeln Sie f(d,c,b,a) schrittweise. Vereinfachen Sie
die jeweils gefundenen Restfunktionen nur mit folgenden
Regeln:
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Aufgabe 3
f(d,c,b,a) f(d,c,b,a)
= ( a ∨ b ) ∧ ( c ∨ d ) ∨ ( c d ∨ ab ) ∧ ( c ∨ d )
Entwicklung nach a:
f(d,c,b,a) =
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1-17 17
1-19 19
Aufgabe 3
• Idempotenzgesetz: a ∨ a = a a ∧ a = a
• Rechenregeln für logische Ausdrücke mit Konstanten:
1 ∨ a = 1 0 ∨ a = a a ∨ a = 1
0 ∧ a = 0 1 ∧ a = a a ∧ a = 0
f(d,c,b,a) f(d,c,b,a)
= ( a ∨ b ) ∧ ( c ∨ d ) ∨ ( c d ∨ ab ) ∧ ( c ∨ d )
Shannonscher Entwicklungssatz:
f(x 1, , ..., nx) ) = xi ∧ f(x 1, , ..., x i-1,
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, 1, , x i+1, i+1,
...,x ..., n]
Aufgabe 3
] ∨ [x i ∧ f(x
f(x1, , ..., x i-1, 1, 0, , x i+1, i+1,
...,x ..., n ]
f(d,c,b,a) f(d,c,b,a)
= ( a ∨ b ) ∧ ( c ∨ d ) ∨ ( c d ∨ ab ) ∧ ( c ∨ d )
Entwicklung nach a:
f(d,c,b,a) = ( a ∨ b ) ∧ ( c ∨ d ) ∨ ( c d ∨ a b ) ∧ ( c ∨ d )
= a [ ( 1 ∨ b ) ∧ ( c ∨ d ) ∨ ( c d ∨ 1 b ) ∧ ( c ∨ d )] ∨
a [ ( 0 ∨ b ) ∧ ( c ∨ d ) ∨ ( c d ∨ 0 b ) ∧ ( c ∨ d )]
= a [ ( c ∨ d ) ∨ ( c d ∨ b ) ∧ ( c ∨ d )] ∨
a [ (b) ∧ ( c ∨ d ) ∨ (c d) ∧ ( c ∨ d )]
Restfunktionen nach b entwickeln:
1-18 18
1-20 20

Aufgabe 3
= a [ ( c ∨ d ) ∨ ( c d ∨ b ) ∧ ( c ∨ d )] ∨
a [ (b) ∧ ( c ∨ d ) ∨ (c d) ∧ ( c ∨ d )]
= a b [ ( c ∨ d ) ∨ ( c d ∨ 1 ) ∧ ( c ∨ d )] ∨
a b [ ( c ∨ d ) ∨ ( c d ∨ 0 ) ∧ ( c ∨ d )] ∨
a b [ (1) ∧ ( c ∨ d ) ∨ (c d) ∧ ( c ∨ d )] ∨
a b [ (0) ∧ ( c ∨ d ) ∨ (c d) ∧ ( c ∨ d )]
= a b [ ( c ∨ d ) ∨ ( c ∨ d )] ∨
a b [ ( c ∨ d ) ∨ ( c d ) ∧ ( c ∨ d )] ∨
a b [ ( c ∨ d ) ∨ (c d) ∧ ( c ∨ d )] ∨
a b [ (c d) ∧ ( c ∨ d )]
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Aufgabe 3
f(d,c,b,a) = a b c d ∨ a b c 1 ∨ a b c 0 ∨ a b c d ∨
a b c 0 ∨ a b c d ∨ a b c 0 ∨ a b c d
f(d,c,b,a) = a b c d ∨ a b c (d ∨ d) ∨ a b c d ∨
a b c d ∨ a b c d
Disjunktive Normalform:
f(d,c,b,a) = a b c d ∨ a b c d ∨ a b c d ∨ a b c d ∨
a b c d ∨ a b c d
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1-21 21
1-23 23
Aufgabe 3
Restfunktionen nach c entwickeln:
= a b [ ( c ∨ d ) ∨ ( c ∨ d )] ∨
a b [ ( c ∨ d ) ∨ ( c d ) ∧ ( c ∨ d )] ∨
a b [ ( c ∨ d ) ∨ (c d) ∧ ( c ∨ d )] ∨
a b [ (c d) ∧ ( c ∨ d )]
= a b c [ ( 1 ∨ d ) ∨ ( 1 ∨ d )] ∨ a b c [ ( 0 ∨ d ) ∨ ( 0 ∨ d )] ∨
a b c [ ( 1 ∨ d ) ∨ ( 1 d ) ∧ ( 1 ∨ d )] ∨
a b c [ ( 0 ∨ d ) ∨ ( 0 d ) ∧ ( 0 ∨ d )] ∨
a b c [ ( 1 ∨ d ) ∨ ( 1 d ) ∧ ( 1 ∨ d )] ∨
a b c [ ( 0 ∨ d ) ∨ ( 0 d ) ∧ ( 0 ∨ d )] ∨
a b c [ ( 1 d ) ∨ ( 1 ∨ d )] ∨ a b c [ ( 0 d ) ∨ ( 0 ∨ d )]
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Dualitätprinzip:
Dualitätsprinzip
Man ersetze: ∨ ∧ 0 1
Man belasse: a a a a
Shannonscher Entwicklungssatz:
Disjunktive Form:
f(x 1, , ..., nx) ) = xi ∧ f(x 1, , ..., x i-1,
Konjunktive Form:
f(x 1, , ..., nx) ) = [x [ i ∨ f(x 1, , ..., x i-1,
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, 1, , x i+1, i+1,
...,x ..., n]
, 0, , x i+1, i+1,
...,x ..., n]
] ∨ [x i ∧ f(x
] ∧ [x i ∨ f(x
1-22 22
f(x1, , ..., x i-1, 1, 0, , x i+1, i+1,
...,x ..., n ]
f(x1, , ..., x i-1, 1, 1, , x i+1, i+1,
..,x .., n ]
1-24 24

Aufgabe 4
Die folgende Boolesche Funktion soll in eine konjunktive
Form entwickelt werden:
f(c,b,a) f(c,b,a)
= (a ∨ b) (c ∨ (a c)) c))
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Aufgabe 5: ”Farmer´s Dilemma”
Der Farmer, Wolf, Ziege und ein Kohlkopf befinden sich auf einer
Flussseite. Der Farmer besitzt ein Boot, welches ihn selbst sowie einen
weiteren Gegenstand trägt. Er möchte nun mit allen Gütern auf die
andere Seite des Flusses gelangen. Unglücklicherweise frisst der Wolf die
Ziege bzw. die Ziege den Kohlkopf, wenn er diese unbeaufsichtigt lässt.
Zur Vereinfachung sei angenommen, dass die Überfahrt keine Zeit
benötigt, der Bauer also entweder am linken oder am rechten Ufer ist.
Damit nun der Bauer nicht versehentlich Wolf und Ziege bzw. Ziege und
Kohl allein lässt, soll ein Warnsystem aufgebaut werden, welches in
diesen Fällen Alarm auslöst.
Die Buchstaben f, w, z, und k bezeichnen Farmer, Wolf, Ziege und den
Kohlkopf. Ist der Wert einer solchen Variablen 0 (1), dann befindet sich
der entsprechende Gegenstand auf der linken (rechten) Flussseite.
• Geben Sie die Funktionstabelle der Alarmfunktion a an.
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1-25 25
1-27 27
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Funktionstabelle:
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Lösung
f w z k a
0 0 0 0 0
0 0 0 1 0
0 0 1 0 0
0 0 1 1 1
0 1 0 0 0
0 1 0 1 0
0 1 1 0 1
0 1 1 1 1
1 0 0 0 1
1 0 0 1 1
1 0 1 0 0
1 0 1 1 0
1 1 0 0 1
1 1 0 1 0
1 1 1 0 0
1 1 1 1 0
•DNF?
• KNF ?
1-26 26
• Dilemma-Lösung ?
1-28 28

f w z k a
0 0 0 0 0
0 0 0 1 0
0 0 1 0 0
0 0 1 1 1
0 1 0 0 0
0 1 0 1 0
0 1 1 0 1
0 1 1 1 1
1 0 0 0 1
1 0 0 1 1
1 0 1 0 0
1 0 1 1 0
1 1 0 0 1
1 1 0 1 0
1 1 1 0 0
1 1 1 1 0
DNF: Farmer‘s Dilemma
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Aufgabe 6
Bestimmen Sie die beiden Normalformen der Schaltfunktion
f(c,b,a) f(c,b,a)
= c ∨ b a
c b a f
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
Institut für Rechnerentwurf und Fehlertoleranz
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1-29 29
1-31 31
f w z k a
0 0 0 0 0
0 0 0 1 0
0 0 1 0 0
0 0 1 1 1
0 1 0 0 0
0 1 0 1 0
0 1 1 0 1
0 1 1 1 1
1 0 0 0 1
1 0 0 1 1
1 0 1 0 0
1 0 1 1 0
1 1 0 0 1
1 1 0 1 0
1 1 1 0 0
1 1 1 1 0
KNF: Farmer‘s Dilemma
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Aufgabe 6
Bestimmen Sie die beiden Normalformen der Schaltfunktion
f(c,b,a) f(c,b,a)
= c ∨ b a
c b a f
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
Institut für Rechnerentwurf und Fehlertoleranz
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1-30 30
1-32 32

Aufgabe 7
Es soll eine Notstop-Schaltung für einen mobilen Roboter
realisiert werden. Der Roboter hat drei Sensoren, die
Kollisionen mit Hindernissen detektieren. Der Roboter darf
weiterfahren, wenn mindestens zwei Sensoren “gültige”
Werte liefern.
Geben Sie die Schaltfunktion der Schaltung in disjunktiver
Normalform an
Vereinfachen Sie die DNF soweit wie möglich
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1-33 33
s 2 s 1 s 0 f
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
Aufgabe 7
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1-34 34