Computer Graphik I - TU Berlin

CG 

Marc Alexa, TU Berlin 

Computer Graphik I 

Globale Beleuchtung – Radiosity 

1

CG 


Probleme mit diffuser Beleuchtung 

A Daylight Experiment, John Ferren 

2

CG 


Probleme mit diffuser Beleuchtung 

3

CG 


Direkte Beleuchtung 

4

CG 


Globale Beleuchtung 

5

CG 


Fotographie 

Simulation 

Cornell Box 

Goral, Torrance, Greenberg & Battaile 

Modeling the Interaction of Light Between Diffuse Surfaces 

SIGGRAPH '84 

6

CG 


Light Measurement Laboratory 

Cornell University, Program for Computer Graphics 

Cornell Box 

§ Genaue Kalibrierung und Messung erlaubt den Vergleich von Simula>on 

und Wirklichkeit 

7

CG 


ω' 

x' 

Rendering EquaAon 

L(x', ω') = E(x', ω') + ∫ρx' (ω, ω')L(x, ω)G(x,x')V(x,x') dA 

L (x', ω') ist die Leuchtdichte vom Punkt x’ in 

Richtung ω' 

8

CG 


ω' 

x' 



E(x', ω') ist die emmi>erte Leuchtdichte: E ist 

größer Null für Lichtquellen 

9

CG 


ω' 

x' 



Summe der Beiträge zur Leuchtdichte aller anderen 

Elemente der Szene 

10 10

CG 


ω' 

x' 


L(x',ω') = E(x', ω') + ∫ρx' (ω, ω')L(x, ω)G(x,x')V(x,x') dA 

Für jedes x, berechne L(x, ω), die Leuchtdichte 

im Punkt x in Richtung ω (von x zu x') 

ω 

x 

11 11

CG 


ω' 

Der Beitrag wird mit ρ x' (ω, ω') 

(der BRDF in x’) skaliert 

x' 



ω 

x 

12 12

CG 


ω' 

Für jedes x, bes>mme V(x,x'), 

die Sichtbarkeit von x rela>v zu x': 

1 wenn es in Richtung ω keine anderen 

Objekte gibt, 0 sonst 

x' 



ω 

x 

13 13

CG 


ω' 

x' 

The Rendering EquaAon 


Für jedes x, berechne G(x, x'), den 

Geometrieterm bzgl. x und x’ 

ω 

x 

14

CG 

§ Welche Konstella>on der Flächen führt zu großem 

Lichtaustausch? Warum? 


G(x,x')? 

15 15

CG 


Die Radiosity Annahmen 

§ Flächen sind Lambert-‐Strahler 

(perfekt diffus) 

• Reflexion findet in alle Richtungen 

gleich sta_ 

§ Die Szene wird in kleine 

Flächenelemente aufgeteilt. 

§ Die Radiosity Bi , ist die gesamte 

Strahlung die das Elements i 

ω' 

verlässt. 

§ Auf dem Element ist die Strahlung 

konstant. x' 

16 16

CG 


Die Radiosity Gleichung 


Radiosity Annahme: 

Perfekt diffuse Flächen -‐ keine Richtungsabhängigkeit 

B x' = E x' + ρ x' ∫ B x G(x,x')V(x,x') 

17 17

CG 

§ Kon>nuierliche Radiosity-‐Gleichung 

Formfaktor 

• G: Geometrieterm 


• V: Visibilitätsterm 

§ Eigenschaaen 

Reflexionsfaktor 

B x' = E x' + ρ x' ∫ G(x,x') V(x,x') B x 

• Keine analy>sche Lösung 

selbst für einfache Szenen 


Der konAnuierliche Fall 

x 

x’ 

18 18

CG 



Der diskrete Fall 

§ Diskre>sierung in Elemente mit konstanter Radiosity 

B 

§ Eigenschaaen: 

i 

= 

Reflexionsfaktor 

E 

i 

+ 

ρ 

Σ 

j=1 

• Diskrete Repräsenta>on 

• Itera>ve Lösungsverfahren 

• Teure Geometrieberechnungen 

i 

n 

F 

ij 

B 

Formfaktor 

j 

A 

j 

A i 

19 19

CG 


B 

i 

= 

E 

i 

+ 

ρ 

i 

Σ 

§ n lineare Gleichungen in n unbekannten B i : 

n 

j=1 

F 

ij 

B 

Die Radiosity Matrix 

§ Die Lösung des LGS liefert Werte B i , die unabhängig von der 

Betrachtungssitua>on sind. 

j 

20 20

CG 


Die Radiosity Matrix 

IteraAve Lösung 

§ Die Radiosity eines Elementes wird jeweils ersetzt durch 

Mul>plika>on einer Zeile mit dem gegenwär>gen 

Lösungsvektor 

• Gauß-‐Seidel 

21 21

CG 

§ B i sind konstant pro 

Element 

§ Wie bildet man sie auf 

Graphik-‐Hardware ab? 


• Mi_eln der Radiosity-‐ 

Werte für jeden Knoten 

• Randknoten erhalten 

Werte durch 

Extrapola>on 

Rendering der Radiosity Lösung 

22 22

CG 

§ F ij = Teil der Ausstrahlung von j, die i erreicht 

§ Wird beeinflusst durch: 


• Geometrie (Größen, Orien>erung, Posi>on) 

• Sichtbarkeit (weitere Elemente der Szene) 

patch j 

patch j 

patch i patch i patch i 

Formfaktoren 

patch j 

23 23

CG 

§ F ij = Teil der Ausstrahlung von j, die i erreicht 


θ i 

patch i 

r 

θ j 

patch j 

cos θi cos θj Fij = ∫ ∫ Vij dAj dAi π r2 1 

A i A i A j 

Formfaktoren 

24

CG 


Formfaktoren 

Berechnung 

§ Nusselt-‐Analogie: Der Formfaktor ist äquivalent zum Teil des 

Einheitskreises, den die Projek>on des Elementes auf die 

Einheitskugel in der Ebene einnimmt 

r = 1 

dA i 

A j 

F dAi,A j 

A j 

25 25

CG 

§ Ein “hemicube” (Halbwürfel) wird über jedes 

Elementzentrum gelegt 

§ Die Seiten werden in Pixel unterteilt 

§ Elemente werden in den hemicube projiziert 

und gerastert 

§ Jedes Pixel enthält einen vorberechneten 

Formfaktor 

§ Der Formfaktor für ein Element ergibt sich als 

Summe der 

Pixel 

§ Verdeckung wird mit 

einem z-‐Buffer bes>mmt 


Formfaktoren 

Hemicube Algorithmus 

26 26

CG 

§ Erzeuge n Strahlen zwischen 2 Elementen 

• n typisch zwischen 4 und 32 

• Bes>mme Sichtbarkeit 

• Integriere Punkt-‐Punkt Formfaktoren 

§ Erlaubt die Bes>mmung von 

Formfaktoren zwischen 

Elementen 


A i 

Formfaktoren 

Ray CasAng 

A j 

27 27

CG 


Geometrie 

Reflexions-‐ 

eigenschaaen 

Kamera 

Posi>on & 

Orien>erung 

BesAmmung der Radiosity Lösung 

Formfaktor-‐ 

berechung 

Itera>ve Lösung des 

LGS 

Radiosity Lösung 

Visualisierung 

(Rendering) 

Radiosity Bild 

> 90% O(n 2 ) Formfaktoren 

< 10% 

~ 0% 

28 28

CG 


Progressive Refinement 

§ Idee: Sta_ Radiosity von überall einzusammeln 

(“gathering”), besser schnell von den Quellen her 

verteilen (“shoo>ng”) 

29 29

CG 


" B1 # " B1 # " ρ1F1 

i # 

" # 

$ 

B 

% $ 

B 

% $ 

ρ F 

% $ % 

$ 2 % $ 2 % $ 2 2i 

% $ % 

$ % $ % $ % $ % 

$ % = $ % + $ % $ % 

$ % $ % $ % $ Bi 

% 

$ % $ 

% $ % $ % 

$ % $ % $ % $ % 

$ &Bn % ' $ &Bn % ' $ & ρnFni 

% 

' $ & % ' 


30 30

CG 

§ Radiosity Lösung progressiv verbessern 


Progessiv Refinement 

§ Jedes Patch hat eine noch nicht versendete Radiosity ΔB i 

§ Starte mit B i =E i und ΔB i =E i 

§ Verteile ΔB i auf die Szene 

§ Reziprozität: 

B = E + r∑ B F , für alle i 

i i i j i j 

j= 

1 

AjF ji = Ai Fij 

A 

i = i + 

n 

∑ i j ji 

j 

j= 1 

i 

B E r B F A 

n 

31 31

CG 



§ Beim Versenden vom Patch j wird die Radiosity der 

Flächenelemente A i entsprechend erhöht 

Aj 

Bi = Bi + riΔ B jF ji , i = 1.. n 

A 

§ Ebenso wird die unverteilte Radiosity erhöht 

Aj 

Δ Bi = Δ Bi + riΔ B jF ji , i = 1.. n 

A 

§ Anschließend wird die unverteilte Radiosity des 

Flächenelements Aj auf Null gesetzt, d.h. 

Δ B = 

0 

i 

i 

i 

32 32

CG 



Vorteile 

§ Für jeden Itera>onsschri_ werden nur die Formfaktoren F ij 

eines einzelnen Elements i mit allen anderen Patches 

berechnet, d.h. zur Durchführung eines Itera>onsschri_es 

genügt die Kenntnis einer Zeile der Formfaktormatrix. 

§ Da bereits nach wenigen Itera>onsschri_en sehr gute 

Ergebnisse erzielt werden, liegt der gesamte Rechenaufwand 

weit unterhalb der üblichen Vorgehensweise mit Bes>mmung 

der Formfaktormatrix und Lösen des Gleichungssystems mit 

dem Gauß-‐Seidel-‐Verfahren. 

§ Außerdem wird jeweils nur der Speicherplatz für eine Zeile 

von Formfaktoren benö>gt. 

33 33

CG 



Ohne ambienten Term 

34

CG 



Mit ambientem Term 

35 35

CG 

§ Die Bildqualität hängt von der 

Größe der Elemente ab 

• Kleinere Elemente -‐ kleinerer 

Fehler 

§ Elemente sollten adap>v bei 

großen Ableitungen der 

Radiosity-‐Funk>on unterteilt 

werden 

• Beginne mit einheitlicher 

Unterteilung 

• Unterteile auf der Basis eines 

Gütekriteriums 


Unterteilung in Elemente 

36 36

CG 



AdapAv 

37 37

CG 

§ Grenzen des Scha_ens 

und Halbscha_ens 


• Ergeben gute 

Scha_enkanten 

• Teure geometrische 

Berechnungen 

• Komplexes 

Netz 

penumbra 


DisconAnuity Meshing 

umbra 

Quelle 

Hindernis 

38 38

CG 



DisconAnuity Meshing 

39 39

CG 



DisconAnuity Meshing -‐ Vergleich 

[Gibson 96] 

10 minutes 23 seconds 1 hour 57 minutes 

40 40

CG 


Hierarchisches Radiosity 

§ Zusammenfassung von Elementen falls die Genauigkeit dies 

erlaubt 

• Aus quadra>scher Komplexität wird n log n 

• Nicht triviale Implemen>erung und Parameterschätzung 

41 41

CG 


Lösung in anderen Basen 

§ Basisfunk>onen höherer Ordnung (nicht einfach konstant) 

• Bessere Repräsenta>on der Varia>on mit weniger Basisfunk>onen 

• Problem: Radiosityfunk>on ist unste>g (Scha_enkanten) 

§ Gerichtete Basisfunk>onen 

• Für nicht diffuse Elemente 

• Z.B. Kugelflächenfunk>onen (spherical harmonics) 

42 42

CG 

§ Zur Erinnerung: 

§ Renderinggleichung 

§ Radiosity-‐Gleichung 


• Mit der Radiosity-‐Annahme 

∫ 

Rendering-‐Radiositygleichung 

cos( θ )cos( θ ) 

i 0 

Lr ( x, ωr ) = Le ( x, ωr ) + ρ( x, ωr , ωi ) Lo ( x , ωi 

) H ( x, x ') 

dA 

2 

A 

x − x ' 

" 

i 0 

B( x) = E( x) + r( x) ∫ 

B( x ) H ( x, x ') 

dA 

2 

A 

x − x ' 

$ 


43 43

CG 

§ Geometrieterm 


Lösung der Radiositygleichung 

§ Approxima>on der Radiosity auf einer Fläche 

• Wir haben ganz einfache 

Basispolynome verwendet: 

cos( θi )cos( θ0 

) 

G( x, x" ) : = H ( x, x ') 

2 

x − x ' 

B( x) ≈ Bˆ ( x) = ∑ Bi Ni ( x) 

n 

i= 

1 

! 1 im Element 

Ni ( x) 

= " 

# 0 sonst 

ˆ ˆ ˆ 

" 


i 0 

B( x) ≈ E( x) + r( x) ∫ 

B( x ) H ( x, x ') 

dA 

2 

A 

x − x ' 

44

CG 

§ Residuum 

§ B exakte Lösung ⇒ R(x)=0 


ˆ ˆ ˆ 

Lösung der Radiositygleichung 


i 0 

R( x) = B( x) − E( x) − r( x) ∫ B( x ) H ( x, x ') 

dA 

2 

A 

x − x ' 

§ Minimierung von R mi_els der Galerkin-‐Methode der 

gewichteten Residuen: 

N , R = ∫ 

N ( x) R( x) dx = 0 für alle i ⇒ R = 0 

i i 

A 

" 

45 45

CG 


Das Radiosity-‐Verfahren 

§ Anwenden der Galerkin-‐Methode auf Radiositygleichung 

N , R = N , Bˆ − Eˆ − r( x) Bˆ ( x! ) G( x, x! ) dA! 

i i 

= N ( x) Bˆ ( x) dA − N ( x) Eˆ ( x) dA − N ( x) r( x) Bˆ ( x! ) G( x, x! ) dA! dA 

= 0 für alle i 

§ Einsetzen von B x Bi Ni x liefert: 

∫ 

n 

∑ −∫ i= 

1 

ˆ −∫ 

n 

∫∑ 

∫ 

A 

∫ ∫ ∫ ∫ 

i i i 

A A A A 

n 

ˆ ( ) = ∑ ( ) 

N ( x) B N ( x) dA N ( x) E( x) dA N ( x) r( x) B N ( x! ) G( x, x! ) dA! dA 

i j j i i j j 

A j= 1 A A A j= 

1 

n n 

∑ ∫ ∫ ∑ ∫ ∫ 

= B N ( x) N ( x) dA − N ( x) Eˆ ( x) dA − B N ( x) r( x) N ( x! ) G( x, x! ) dA! dA 

j i j i j i j 

j= 1 A A j= 

1 A A 

= 0 für alle i 

46 46

CG 

§ Umsor>eren liefert für alle i: 

ij 

§ Das ist ein lineares Gleichungssystem: 


! K11 K1n 

"! B1 " ! E1 

" 

# $# $ # $ 

# 

 

$# 

 

$ 

= 

# 

 

$ 

# Kn1 K $# 

nn B $ # 

n E $ 

% &% & % n & 


! " 

n 

∑ B j % ∫ Ni ( x) N j ( x) dA − ∫ Ni ( x) r( x) ∫ N j ( x# ) G( x, x# ) dA# dA& = ∫ Ni ( x) E( x) dA 

j= 1 ' A A A ( A 

 

 

K 

E 

§ Die Matrix K wird durch die Wahl der Basisfunk>onen 

bes>mmt. 

i 

47 47

CG 

n 



! " 

B % N ( x) N ( x) dA − N ( x) r( x) N ( x# ) G( x, x# ) dA# dA& = N ( x) E( x) dA 

' ( 

∑ ∫ ∫ ∫ ∫ 

j i j i j i 

j= 1 A A A A 

§ Nur so zum Spass, bzw. als kleiner Äquivalenznachweis: 

Ansatz mit stückweise konstanten Basisfunk>onen: 

" 1, x ∈ Ai 

Ni ( x) 

= # 

$ 0, sonst 

∫ 

A 

∫ 

A 

N ( x) E( x) dA = E A 

i i i 

" Ai , i = j 

Ni ( x) N j ( x) dA = # 

$ 0, sonst 

∫ ∫ ∫ ∫ 

N ( x) r( x) N ( x% ) G( x, x% ) dA% dA = r G( x, x% ) dA% dA 

i j i 

A A A A 

i j 

48 48

CG 

§ Einsetzen liefert für alle i: 

§ Formfaktor 

§ Das liefert die klassische Radiositygleichung: 


n 


j i ij i i i 

j= 1 

Ai 

A A 

j ij i i 

j= 1 Ai 

A A 

n 

∑ ( δ ) 

 

j= 

1 

" 1 

# 

B A $ δ − r G( x, x&) dA&dA% = E A 

$ % 

( i j 

) 

∑ ∫ ∫ 

n " 1 

# 

⇔ ∑ B $ δ − r G( x, x&) dA&dA% = E 

$ ∫ ∫ 

% 

( i j 

) 

⇔ B − r F = E 

j ij i ij i 

1 

Fij = G( x, x! ) dA! dA 

A ∫ ∫ 

i A A 

i j 

B = E + r∑ B F , für alle i 

i i i j i j 

j= 

1 

n 

K 

i j 

49 49

CG 


Bewertung des Radiosityverfahrens 

§ Physikalisch basierter Ansatz für diffuse Szenen 

§ Korrekte Wiedergabe von Farbbluten, indirekter Beleuchtung 

und Scha_enverläufen 

§ Blickpunktsunabhängig. 

§ Vorberechnete Szenen können durchwandert werden. 

§ „Einstellen“ der Beleuchtung durch physikalische Parameter 

§ Hoher Rechen-‐ und Speicherbedarf 

§ beschränkt auf diffuse Lichtausbreitung 

50 50

CG 


BidirecAonal Ray Tracing 

Heckbert 1990 

51 51

CG 


Photon Mapping 

Jensen 95 

52 52

CG 


Lightscape http://www.lightscape.com 

Beispiele 

53 53

CG 


Mentalray 

Beispiele 

54

Computer Graphik I - TU Berlin

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