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Formale Systeme

Prädikatenlogik: Sequenzenkalkül

Prof. Dr. Bernhard Beckert | WS 2010/2011

KIT – INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK

KIT – University of the State of Baden-Württemberg and National Large-scale Research Center of the Helmholtz Association


Sequenzen

Definition

Eine Sequenz ist ein Paar endlicher Formelmengen und wird

notiert in der Form

Γ ⇒ ∆.

Γ wird Antezedent und ∆ Sukzedent genannt.

Sowohl Γ als auch ∆ kann die leere Menge sein.

Sei D eine prädikatenlogische Struktur und β eine Variablenbelegung:

valD,β(Γ ⇒ ∆) = valD,β( Γ → ∆)

Es gelten die üblichen Vereinbarungen für leere Disjunktionen

und Konjunktionen.

Prädikatenlogik: Sequenzenkalkül

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Aussagenlogische Axiome und

Regeln

axiom Γ, F ⇒ F , ∆

not-left

not-right

impl-left

impl-right

Prädikatenlogik: Sequenzenkalkül

Γ, ⇒ F , ∆

Γ, ¬F ⇒ ∆

Γ, F ⇒ ∆

Γ ⇒ ¬F, ∆

Γ ⇒ F, ∆ Γ, G ⇒ ∆

Γ, F → G ⇒ ∆

Γ, F ⇒ G, ∆

Γ ⇒ F → G, ∆

and-left

and-right

Γ, F, G ⇒ ∆

Γ, F ∧ G ⇒ ∆

Γ ⇒ F, ∆ Γ ⇒ G, ∆

Γ ⇒ F ∧ G, ∆

or-left Γ, F ⇒ ∆ Γ, G ⇒ ∆

Γ, F ∨ G ⇒ ∆

or-right

Γ ⇒ F, G, ∆

Γ ⇒ F ∨ G, ∆

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Prädikatenlogische Regeln

all-left

all-right

Prädikatenlogik: Sequenzenkalkül

Γ, ∀xF , {x/X}F ⇒ ∆

Γ, ∀xF ⇒ ∆

X neue Variable.

Γ ⇒ {x/f (¯x)}F, ∆

Γ ⇒ ∀xF , ∆

f neues

Funktionssymbol,

¯x = x1, . . . , xn

alle freien

Variablen in ∀xF .

ex-right

ex-left

Γ ⇒ ∃xF, {x/X}F, ∆

Γ, ⇒ ∃xF , ∆

X neue Variable.

Γ, {x/f (¯x)}F ⇒ ∆

Γ, ∃xF ⇒ ∆

f neues

Funktionssymbol

¯x = x1, . . . , xn

alle freien

Variablen in ∃xF .

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Axiome und Regeln für Gleichheit

identity-right

symmetry-right

symmetry-left

Prädikatenlogik: Sequenzenkalkül

Γ ⇒ s . = s, ∆

Γ ⇒ s . = t, ∆

.

Γ ⇒ t = s, ∆

Γ, s . = t ⇒ ∆

.

Γ, t = s ⇒ ∆

eq-subst-right

eq-subst-left

Γ, s . = t ⇒ F(t), ∆

Γ, s . = t ⇒ F(s), ∆

Γ, F(t), s . = t ⇒ ∆

Γ, F(s), s . = t ⇒ ∆

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Ableitungsbaum in S

Definition

Ein Ableitungsbaum ist ein Baum, dessen Knoten mit Sequenzen

markiert sind und:

1 hat ein Knoten n (nur) einen Nachfolgerknoten n1 und sind

Γ ⇒ ∆ und Γ1 ⇒ ∆1 die Markierungen von n und n1, dann

gibt es eine Sequenzenregel

Γ1 ⇒ ∆1

Γ ⇒ ∆

2 hat ein Knoten n zwei Nachfolgerknoten n1 und n2 und

sind Γ ⇒ ∆, Γ1 ⇒ ∆1 und Γ2 ⇒ ∆2 die Sequenzen an den

Knoten n, n1 und n2 dann gibt es eine Sequenzenregel

Prädikatenlogik: Sequenzenkalkül

Γ1 ⇒ ∆1 Γ2 ⇒ ∆2

Γ ⇒ ∆

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Geschlossener Ableitungsbaum

Definition

Wir nennen einen Beweisbaum geschlossen oder vollständig

wenn er zusätzlich noch die folgende Bedingung erfüllt:

3 es gibt eine Substitution σ, so daß für die Markierung A

jedes Knoten n, der keinen Nachfolgerknoten hat, σ(A) ein

Axiom ist. Dazu zählen auch die beiden Gleichheitsaxiome.

Man beachte daß zunächst A ≡ p(s) ⇒ p(t) kein Axiom zu sein

braucht.

Ist σ aber ein Unifikator von s und t dann ist

σ(A) ≡ p(σ(s)) ⇒ p(σ(t)) zu einem Axiom wird.

Prädikatenlogik: Sequenzenkalkül

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Korrektheit und Vollständigkeit des

Sequenzenkalküls

Theorem

Es seien M ⊆ ForΣ, A ∈ ForΣ. Dann gilt

M ⊢ S A ⇒ M |= A

Theorem

Es seien M ⊆ ForΣ, A ∈ ForΣ. Dann gilt

Prädikatenlogik: Sequenzenkalkül

M |= A ⇒ M ⊢ S A

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