Formale Systeme - KIT

Formale Systeme
Prädikatenlogik: Sequenzenkalkül
Prof. Dr. Bernhard Beckert | WS 2010/2011
KIT – INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK
KIT – University of the State of Baden-Württemberg and National Large-scale Research Center of the Helmholtz Association

Sequenzen
Definition
Eine Sequenz ist ein Paar endlicher Formelmengen und wird
notiert in der Form
Γ ⇒ ∆.
Γ wird Antezedent und ∆ Sukzedent genannt.
Sowohl Γ als auch ∆ kann die leere Menge sein.
Sei D eine prädikatenlogische Struktur und β eine Variablenbelegung:
valD,β(Γ ⇒ ∆) = valD,β( Γ → ∆)
Es gelten die üblichen Vereinbarungen für leere Disjunktionen
und Konjunktionen.
Prädikatenlogik: Sequenzenkalkül
Prof. Dr. Bernhard Beckert – Formale Systeme WS 2010/2011 2/8

Aussagenlogische Axiome und
Regeln
axiom Γ, F ⇒ F , ∆
not-left
not-right
impl-left
impl-right
Prädikatenlogik: Sequenzenkalkül
Γ, ⇒ F , ∆
Γ, ¬F ⇒ ∆
Γ, F ⇒ ∆
Γ ⇒ ¬F, ∆
Γ ⇒ F, ∆ Γ, G ⇒ ∆
Γ, F → G ⇒ ∆
Γ, F ⇒ G, ∆
Γ ⇒ F → G, ∆
and-left
and-right
Γ, F, G ⇒ ∆
Γ, F ∧ G ⇒ ∆
Γ ⇒ F, ∆ Γ ⇒ G, ∆
Γ ⇒ F ∧ G, ∆
or-left Γ, F ⇒ ∆ Γ, G ⇒ ∆
Γ, F ∨ G ⇒ ∆
or-right
Γ ⇒ F, G, ∆
Γ ⇒ F ∨ G, ∆
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Prädikatenlogische Regeln
all-left
all-right
Prädikatenlogik: Sequenzenkalkül
Γ, ∀xF , {x/X}F ⇒ ∆
Γ, ∀xF ⇒ ∆
X neue Variable.
Γ ⇒ {x/f (¯x)}F, ∆
Γ ⇒ ∀xF , ∆
f neues
Funktionssymbol,
¯x = x1, . . . , xn
alle freien
Variablen in ∀xF .
ex-right
ex-left
Γ ⇒ ∃xF, {x/X}F, ∆
Γ, ⇒ ∃xF , ∆
X neue Variable.
Γ, {x/f (¯x)}F ⇒ ∆
Γ, ∃xF ⇒ ∆
f neues
Funktionssymbol
¯x = x1, . . . , xn
alle freien
Variablen in ∃xF .
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Axiome und Regeln für Gleichheit
identity-right
symmetry-right
symmetry-left
Prädikatenlogik: Sequenzenkalkül
Γ ⇒ s . = s, ∆
Γ ⇒ s . = t, ∆
.
Γ ⇒ t = s, ∆
Γ, s . = t ⇒ ∆
.
Γ, t = s ⇒ ∆
eq-subst-right
eq-subst-left
Γ, s . = t ⇒ F(t), ∆
Γ, s . = t ⇒ F(s), ∆
Γ, F(t), s . = t ⇒ ∆
Γ, F(s), s . = t ⇒ ∆
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Ableitungsbaum in S
Definition
Ein Ableitungsbaum ist ein Baum, dessen Knoten mit Sequenzen
markiert sind und:
1 hat ein Knoten n (nur) einen Nachfolgerknoten n1 und sind
Γ ⇒ ∆ und Γ1 ⇒ ∆1 die Markierungen von n und n1, dann
gibt es eine Sequenzenregel
Γ1 ⇒ ∆1
Γ ⇒ ∆
2 hat ein Knoten n zwei Nachfolgerknoten n1 und n2 und
sind Γ ⇒ ∆, Γ1 ⇒ ∆1 und Γ2 ⇒ ∆2 die Sequenzen an den
Knoten n, n1 und n2 dann gibt es eine Sequenzenregel
Prädikatenlogik: Sequenzenkalkül
Γ1 ⇒ ∆1 Γ2 ⇒ ∆2
Γ ⇒ ∆
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Geschlossener Ableitungsbaum
Definition
Wir nennen einen Beweisbaum geschlossen oder vollständig
wenn er zusätzlich noch die folgende Bedingung erfüllt:
3 es gibt eine Substitution σ, so daß für die Markierung A
jedes Knoten n, der keinen Nachfolgerknoten hat, σ(A) ein
Axiom ist. Dazu zählen auch die beiden Gleichheitsaxiome.
Man beachte daß zunächst A ≡ p(s) ⇒ p(t) kein Axiom zu sein
braucht.
Ist σ aber ein Unifikator von s und t dann ist
σ(A) ≡ p(σ(s)) ⇒ p(σ(t)) zu einem Axiom wird.
Prädikatenlogik: Sequenzenkalkül
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Korrektheit und Vollständigkeit des
Sequenzenkalküls
Theorem
Es seien M ⊆ ForΣ, A ∈ ForΣ. Dann gilt
M ⊢ S A ⇒ M |= A
Theorem
Es seien M ⊆ ForΣ, A ∈ ForΣ. Dann gilt
Prädikatenlogik: Sequenzenkalkül
M |= A ⇒ M ⊢ S A
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