Didaktischer Kommentar

Didaktischer Kommentar: Pythagoras
Mikro-Lernpfad: Pythagoras
Der Lernpfad wurde zum selbstständigen Erarbeiten der Inhalte konzipiert. Besonderes Augenmerk wurde
auf die Verbindung von interaktiven Lernhilfen / Lernobjekten, Dynamischer Geometrie und traditionellen
Medien (Buch, Heft, Papier, Schere, etc.) gelegt.
Nach Absolvierung des Lernpfades sollen die Schüler/innen den Lehrsatz des Pythagoras für Berechnungen
in ebenen Figuren nutzen können und eine Begründung für den Lehrsatz des Pythagoras verstehen können.
Der Lernpfad unterteilt sich in 8 Teilbereiche, wobei die Phasen aufbauend konzipiert sind und linear
abgearbeitet werden sollen. Je nach Schulstufe oder Leistungsniveau und zeitliche Planung können Teile
des Lernpfades eingesetzt oder weggelassen werden:
Leben des Pythagoras
Dabei sollen die Schüler/innen über die mathematischen Inhalte hinaus durch eine (Internet)-Recherche
geschichtliche Zusammenhänge selbst erforschen und auch präsentieren
Seilspanner
Die Schüler/innen werden dazu angeleitet selbst bereits bei den Ägyptern verwendete Zugänge zu
rechtwinkeligen Dreiecken selbst haptisch und dynamisch nachzuvollziehen und zu beschreiben.
Satz des Pythagoras
Die Schüler/innen sollen den Pythagoräischen Lehrsatz selbständig
erforschen und herleiten.
Dabei wird ausgehend von dynamischen Veränderungen der symmetrischen
Situation (gleichschenkeliges rechtwinkeliges Dreieck) ein Zugang zum
pythagoräische Lehrsatz anschaulich durch Flächendrehung der
Kathetenquadrate motiviert und durch Veränderung der Hypothenusenlänge
überprüft.
Aus dem Sonderfall wird mit demselben Applet auf allgemeinen
rechtwinkeligen Dreiecken übergeleitet
und eine Vermutung angeregt.
Beweise
Die Überprüfung und Exaktifizierung
wird dynamisch unterstützt (Pythagoras
zum Klappen) und der Lehrsatz formuliert.
Die Exaktifizierung kann durch verschiedene Niveaus bei der Beweisführung vorgenommen werden.
Dabei werden ein Puzzle zu einem haptischen Nachweis, eine Beweis als Anlass zum Argumentieren, ein
anschaulicher Beweis mit dem Kathetensatz und ein algebraischer Beweis angeboten. Damit können
verschiedene Beweisniveaus und „Beweismethoden“ kennengelernt werden.
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Übungen
Mikro-Lernpfad: Pythagoras
Die Übungsaufgaben sind vielschichtig gestaltet und beinhalten neben elementaren Aufgabenstellungen
auch Anwendungsbeispiele, ein Lernprogramm, ein Spiel und einen Hot-Potatoes-Quiz.
Zahlentripel und Pythagorasbäume
Diese beiden Angebote dienen der Festigung und Vertiefung. Sie können als Wahlangebote verstanden
werden.
Abschluss
Dieser Teilbereich zeigt ein Angebot für die Festigung und Sicherung des Erlernten und die Anwendung.
Kurzinformation
Schulstufe 8./9. Jahrgangsstufe (3. Klasse AHS / HS)
Dauer 5 Unterrichtsstunden
Unterrichtsfächer Mathematik, Informatik, Geschichte
Verwendete Medien GeoGebra-Applets, Java Applets, Internet, eventuell Plattform
Technische Voraussetzungen Java, eventuell Plattform
Autor/innen Evelyn Stepancik, Walter Klinger und Reinhard Schmidt
Voraussetzungen
Technische Voraussetzungen:
Umgang mit dem Internet, eventuell einer Lernplattform, GeoGebra und mit einer Präsentationssoftware
Fachliche Voraussetzungen:
Rechtwinkelige Dreiecke, Flächeninhalte von ebenen Figuren, Umgang mit Variablen und Gleichungen
Methodische Voraussetzungen:
Partnerarbeit, Gruppenarbeit, Recherche durchführen können, Informationen selbstständig schriftlich
festhalten können sowie Ergebnisse präsentieren können
Lerninhalte und Lernziele
Lerninhalt Lernziel
Geschichte und Leben von
Pythagoras
Herleitung des Satzes von
Pythagoras
Beweise für den Satz des
Pythagoras
Persönlichkeiten der Mathematikgeschichte kennen lernen
Geometrische Darstellungen deuten können, Vermutungen anstellen und
formulieren können
eine Begründung für den Lehrsatz des Pythagoras verstehen können,
geometrische Darstellungen interpretieren können
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Anwendungen in einfachen
Aufgabenstellungen
Pythagoreische Tripel und
Pythagorasbäume
Didaktischer Hintergrund
Mikro-Lernpfad: Pythagoras
den Lehrsatz des Pythagoras für Berechnungen in ebenen Figuren nutzen
können, Variablen als Mittel zum Beschreiben von Sachverhalten und zum
Lösen von Problemen verwenden können
Definitionen und Konstruktionsanleitungen verstehen und damit arbeiten
können
Dieser Lernpfad versucht durch motivierende Beispiele einen selbsttätigen Zugang zu diesem
mathematischen Inhalt zu ermöglichen. Die dynamischen Applets dienen dabei einer bestmöglichen
Unterstützung der Unterstützung des Lernprozesses. Dabei soll die Schüler/innen zu einem ein hoher Grad
an Verantworten für ihren Lernprozess geführt werden. Es wird versucht viele Sinne anzusprechen und
unterschiedliche Lernangebote anzubieten.
Genderaspekte
In folgenden Bereichen werden Genderaspekte berücksichtigt:
Es werden/es wird
Inhalte und Material: der Aufgabenkontext bei allen Beispielen neutral gewählt, sodass sowohl Mädchen
als auch Burschen gleichermaßen angesprochen werden. Es handelt sich meist um innermathematische
Problemstellungen. Die Bilder sind durchwegs geschlechtsneutral.
Genderbewusste Sprache: eine genderbewusste Sprache in allen Texten und Aufgaben verwendet und
beide Geschlechter sichtbar gemacht bzw. geschlechtsneutrale Bezeichnungen verwendet
Genderansätze in den Lernmaterialien: es werden an mehreren Stellen interaktive (Experimentier-)Anteile
eingesetzt, kreative Lernangebote gemacht, mathematische Inhalte exaktifiziert. Verschiedene Lerntypen
werden durch differenzierte Angebote angesprochen.
Kompetenzen
Bei diesem Lernpfad wird er Inhaltsbereich Ebene Figuren bearbeitet; dabei werden Herleitungen
durchgeführt und Beweisverfahren eingeübt.
Folgende Handlungsdimensionen kommen im Lernpfad vor:
Darstellen, Modellbilden und Transferieren
Die Schüler/innen übertragen geometrische Eigenheiten in mathematische Sachverhalte (Satz des
Pythagoras). Dabei werden technische Hilfsmittel genutzt um diese Übertragung zu unterstützten.
Es werden aus bekannten mathematischen Inhalten wie Quadratflächeninhalte, rechtwinkelige Dreiecke,
Katheten und Hypotenuse neue Modelle entwickelt.
Rechen und Operieren
Die Schüler/innen wenden den Satz des Pythagoras in ebenen Figuren und in Sachaufgaben an (Übungen).
Kommunizieren und Dokumentieren
Die Schüler/innen analysieren geometrische Sachverhalte, stellen Vermutungen auf, beschreiben und
dokumentieren ihren Lernprozess und exaktifizieren die Ergebnisse (Satz des Pythagoras und Beweisen).
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Mikro-Lernpfad: Pythagoras
Die Schüler/innen holen sich Informationen aus dem Internet zum Leben des Pythagoras (Leben des
Pythagoras) und präsentieren diese, außerdem erstellen sie Merkblätter zum Satz von Pythagoras und
seinen Anwendungen (Abschluss).
Argumentieren und Begründen
Die Schüler/innen begründen in verschiedenen Pythagorasfiguren die Flächengleichheit der beiden
Kathetenquadrate mit dem Hypotenusenquadrat (Satz des Pythagoras). Dabei werden mathematische
Argumente verwendet die für oder gehen oder gegen die Verwendung eines Modells sprechen.
Die Schüler/innen vergleichen und bewerten verschiedene Möglichkeiten, den Satz der Pythagoras zu
beweisen (Beweise).
Problemlösen
Die Schüler/innen erkunden die Umkehrung des pythagoräischen Lehrsatzes, indem sie Muster und
Beziehungen bei Zahlen und Figuren untersuchen (Übungen).
Einsatz im Unterricht
Es werden die vorgangsweise für den Unterricht dargestellt und Vorschläge für die Sozialform beim
Arbeiten angegeben
Einstieg
Dabei soll eine Internetrecherche und Präsentation zum Leben des Pythagoras (Einzelarbeit) erfolgen.
Inhalte
geschichtlicher Zugang: Nachvollziehen des Seilspanner-Problems (Partnerarbeit)
Herleitung des Satzes von Pythagoras in kleinen Lernschritten (Partnerarbeit)
Beweise: Hier wurde bewusst verschiedene Niveaus eines Beweises angeboten und die
Kombination Internet und Papier gewählt. (Einzelarbeit oder Partnerarbeit)
Anwendung in einfachen Aufgabenstellungen und Einführung der Wurzel (Einzel- oder
Partnerarbeit) sowie Anwendung des Pythagoras in ebenen Figuren und einfache Textaufgaben
(Einzelarbeit und Partnerarbeit)
Quiz und Spiel zur Festigung der neu erlernten Begriffe (Einzelarbeit, Partner und Gruppenarbeit)
Herausforderungen
Pythagoräische Tripel (Wahlaufgabe)
Pythagorasbäume (Wahlaufgabe)
Zusammenfassung
Für die Zusammenfassung der Ergebnisse werden 2 Merksätze verfasst.
Unterrichtsorganisation
Der Lernpfad kann als Stationenbetrieb oder als „reine“ eLearning-Sequenz, in der die Schüler/innen ihr
neu erworbenes Wissen selbstständig dokumentieren (händisch oder mit dem Computer), durchgeführt
werden.
Bei Verwendung einer Lernplattform können Schüler/innen ausgewählte Ergebnisse dort veröffentlichen.
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Mikro-Lernpfad: Pythagoras
Vorschläge für Pflichtaufgaben:
Seilspanner (Seil oder Schnur in den Unterricht mitbringen!)
Satz von Pythagoras (Herleitung)
Beweis (2 von 4)
Übungen (Auswahl mit Quiz)
Anwendung in ebenen Figuren (Lösungen müssen von den Lehrenden vorbereitet werden)
Zusammenfassung des Gelernten als Abschluss
Vorschläge für Wahlaufgaben:
Leben von Pythagoras
Beweisen (2 von 4)
Übungen (Programm zum Pythagoras und Spiel)
Zahlentripel (eventuell Erweiterung durch CAS oder Tabellenkalkulation)
Pythagorasbäume
Abschluss (mit Lernplakaten)
Zur Dokumentation empfiehlt sich das Anlegen einer Projektmappe, die von den Schüler/innen rechtzeitig
abgegeben werden muss und nach folgenden Kriterien beurteilt werden kann:
Vollständigkeit
Ausführung
Anzahl der Wahlaufgaben
Gegebenenfalls – Präsentation zum Leben von Pythagoras
Usw.
Bei Verwendung einer Lernplattform empfiehlt sich auch die Beurteilung der Schüler/innenaktivitäten
innerhalb der Plattform.
Zum Beispiel:
Aktivität im Forum
Hilfestellung für andere Schüler/innen
Usw.
Kombination der Medien
Im vorliegenden Lernpfad wird versucht, verschiedene Medien (PC, Heft, Buch, …) zu kombinieren. Gerade
grundlegende geometrische Begriffe müssen auch durch ein haptisches Erleben begriffen werden. Es wird
versucht durch den Einsatz von Applets, die mit der Software GeoGebra erstellt wurden, und von
interaktiven Internetseiten das selbsttätige Lernen der Schüler/innen zu fördern.
Lernmedien der Schüler/innen
Die Schülerinnen und Schüler arbeiten bei diesem Lernpfad nicht nur mit dem PC, sondern auch haptisch
(z.B.. mit einem Seil – Seilspanner – oder mit Schere und Papier beim Beweisen), mit Arbeitsblättern und
dem Buch.
Dokumentation
Die Schüler/innen finden eine genaue Anleitung zur Dokumentation der Bearbeitung des Lernpfads im
Arbeitsplan bzw. im Arbeitsauftrag zur e-Learning-Sequenz. Am besten eignet sich zur Dokumentation
eine Projektmappe bzw. ein Portfolio in der/in dem alle Aufzeichnungen gesammelt werden.
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Leistungsfeststellung/Leistungsbeurteilung
Mikro-Lernpfad: Pythagoras
Bei diesem Lernpfad gibt es verschiedenste Möglichkeiten der Leistungsbeurteilung. Das Arbeiten an den
einzelnen Aufgabenstellungen kann im Rahmen der Mitarbeit bewertet werden. Die Präsentation (Leben
von Pythagoras) kann je nach Bedarf und Durchführung einen unterschiedlich hohen Stellenwert haben.
Anleitung für Lehrer/innen
Für die Schüler/innen steht ein Arbeitsplan zur Verfügung, mit dem sie den Lernpfad selbständig
durchführen können. Entweder ist beim Lernschritt angegeben wie die Kontrolle zu erfolgen hat oder die
Schüler/innen haben Informationen zur Selbstkontrolle, Lehrer/innenkontrolle oder Partnerkontrolle am
Arbeitsplan.
Der Lernpfad kann auch als e-Learning-Sequenz bearbeitet werden und durch ein Portfolio (e-Portfolio)
begleitet werden.
Alle für die Bearbeitung erforderlichen Dateien befinden sich im Downloadbereich beim Lernpfad.
Was hat die Lehrerin/ der Lehrer vor Beginn des Lernpfades zu tun:
Internetzugang für alle Schüler/innen ermöglichen
Seil vorbereiten
Vorlagen für Beweis 1 ausdrucken
Spiel vorbereiten (Vorlage und Kärtchen folieren)
Zum Abschluss sollen die Dokumentation und/oder Projektmappe der Schüler/innen gemeinsam im Plenum
besprochen und kontrolliert werden
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