1. Grundlagen:

Zusammenfassung Netzwerke & Schaltungen I 1. Semester D‐ITET 

1.1 Grösse 

• G={G}*[G] 

• Zehnerpotenzen 

1. Grundlagen: 

Vorsilbe Zeichen 10 Vorsilbe Zeichen 10 

Deka da 1 Dezi d ‐1 

Hekto h 2 Zenti c ‐2 

Kilo k 3 Milli m ‐3 

Mega M 6 Mikro µ ‐6 

Giga G 9 Nano n ‐9 

Tera T 12 Piko p ‐12 

Peta P 15 Femto f ‐15 

Exa E 18 Atto a ‐18 

Zetta Z 21 Zepto z ‐21 

Yotta Y 24 Yokto y ‐24 

1.2 Elektrische Ladung 

• [Q] = 1 Coulomb = 1 As = 1C 

• Elementarladung: qe= ‐e = ‐1.60x10 ‐19 C me = 9.109x10 ‐31 kg 

• Ladungen Q sind immer: Q = n∙e, mit n 

• Coulombs Gesetz: 

 

• Strömungsgeschwindigkeit: 

 

1.3 Elektrisches Feld 

 

 

 

|| ,ε0 = 8.855x10 ‐12 As/Vm, 

二〇〇八年六月十六日星期一 Xiaojing Zhang Seite 1 von 14 

 

= 8.987x10 9 Nm 2 /C 2 

• Die Probeladung q erfährt im Einflussbereich des elektrischen Feldes die Kraft: 

 

, [E]=V/m 

 

• Die Feldstärke im Punkt der erzeugenden Punktladung Q: 

 

|| , || 

• Arbeit im elektr. Feld ist wegunabhängig. Ist W>0, so wurde Arbeit abgegeben. 

· ·· · · 

 

· [W] = 1J = 1 Joule 

 

• Das elektr. Feld wird durch Feldlinien beschrieben, welche bez. Q kugelsymmetrisch ist. Feldlinien 

starten und enden immer auf elektr. Ladungen, verlassen diese senkrecht und schneiden sich nie. 

1.4 Spannung, Potential 

• Ein positives q bewegt sich vom höheren Potential zum niedrigerem → verursacht Strom. 

 

· 

 

[U] = 1 V = 1 Volt 

• Die Spannung ist die Potentialdifferenz zwischen 2 Punkten. 

• Kirchhoff’s Voltage Law: Die Summe aller Spannungen über einem geschlossenen Umlauf 0. 

• Ideale Spannungsquellen dürfen nicht parallel geschaltet werden.


1.5 Elektrische Strom 

Strom = Ladungsmenge Q, welche in der Zeiteinheit durch eine bestimmte Fläche A fliesst. Der Strom 

hat eine Richtung, die mit der Bewegungsrichtung positiver Ladungsträger übereinstimmt. Der Strom 

fliesst nur in einem geschlossenen Umlauf. 

 

 

[I] = 1 A = C/s= Ampère 

Stromdichte: 

[S] = A/m2 (üblicherweise 1…10 A/m 2 ) 

• Kirchhoff’s Current Law: In einem Knoten muss die Summe aller ein‐ und ausgehenden Ströme ver‐ 

schwinden. Ströme, die auf den Knoten zufliessen, haben ein positives Vorzeichen. 

• Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Elektrons im Metall ist sehr niedrig (0.07mm/s). Die Be‐ 

schleunig hingegen beträgt 180x10 9 m/s 2 . 

1.6 Widerstand 

• Stromdichtevektor: 

, mit [ρ] ist spezifischer elektrischer Widerstand Ωm 

 

• Elektr. Leitfähigkeit: 

, [κ] = (Ωm)‐1 

 

• Spezifischer Widerstand: 1 20° , in °C, α: Temperaturbeiwert in K ‐1 

, [R] = 1 Ω = 1 Ohm = 1 V/A 

• Elektrischer Leitwert : 

, [G] = 1 S = 1 Siemens = 1 Ω‐1 

 

• Ohmsches Gesetz: · bzw. · : verknüpft Strom mit Spannung 

1.7 Arbeit und Leistung 

 

 

• Leistung ist Arbeit pro Zeit: · 

· 

 

 

 

• Arbeit: · 

· · 

 

 

1 3.6 

• Leistung am Widerstand: 

 

 

 

, [P] = 1W = 1 Watt = 1 VA = Nm/s = J/s 

, [W] = 1 J = 1 Joule = 1 Ws = 1 Nm 

• Quellenanpassung im Nachrichtendienst verlangt ein Maximum der Leistung: 

Das Leistungsmaximum wird erreicht, wenn RLast = Rinnen mit 

 

 

• Wirkungsgrad: 

, nach Quellenanpassung: 

 

2. Gleichstromnetzwerke 

2.1 Spannungs‐ und Stromquellen, Quellenumwandlung 

• Bei der idealen Spannungsquelle ist die Spannung unabh. vom entnommenen 

Strom. Ideale Spannungsquellen dürfen nicht parallel geschaltet werden, da 

überbestimmt. Ideale Spannungsquellen dürfen nicht kurzgeschlossen werden, da 

lim 

 

∞ 

• Die reale Spannungsquelle hat einen Innenwiderstand Ri und besitzt im Kurzschlussfall den endli‐ 

chen Wert Ik. 

· 

Leerlauf: bei I=0 

Kurzschluss: U = 0, 

二〇〇八年六月十六日星期一 Xiaojing Zhang Seite 2 von 14


• Die ideale Stromquelle liefert unabh. Von den Belastungen einen konstanten 

Strom. Ideale Stromquellen dürfen nicht in Serie geschaltet werden. Der Kurz‐ 

schluss hier ist ungefährlich, da lim · 0. Hingegen sind offene 

Klemmen nicht erlaubt wegen lim · ∞. 

Eine Mindestbelastung ist also nötig. 

• Eine reale Stromquelle hat einen Innenwiderstand Ri und kann durch hochohmige Spannungsquel‐ 

len realisiert werden. 

Leerlauf: · Spannung fällt nur über Innenwiderstand ab 

Kurzschluss: 2.2 Quellenumwandlung 

Für reale Strom‐ und Spannungsquellen 

2.3 Spannungsteiler 

(Unbelasteter) Spannungsteiler: 

 

 

 

 

 

 

 

, 

 

 

 

 

 

 

Stromquelle Spannungsquelle 

 

 

 

 

, 1 

 

, 1 , 

 

 

 

 

 


 

1 : Abweichung vom Idealverhalten


2.4 Parallel‐ und Serieschaltungen von R, G, C und L 

Widerstand R Leitwerte G Kapazität C Induktivität L 

Serie ∑ 

∑ 

 

 

 

 

∑ 

 

 

Parallel 

 

∑ 

 

∑ 

∑ ∑ 

∑ 

2.5 Diode 

 

 

0 0 

0 0 

Shokley‐Modell zur Berechnung der Verlustleisung: 

 


 

1 , ln 1 , 

25.26 bei 20°C 

 

IS = Sperrstrom, UT = Temperaturspannung, [T] = K = absolute Temperatur 

k = Boltzmann‐Konstante(1.3807x10 ‐23 VAs/K), qe = Elementarladung(1.6022x10 ‐19 C) 

Zener‐Diode: 

Sie sind für den Betrieb in die Sperrrichtung ausgelegt. Die Spannung dort ist sehr gut definiert. Im 

Durchlassbereich verhält sie sich wie eine normale Diode. 

Ersatzschaltbild Zenerdiode Eigenschaften Zenerdiode: In der Durchlassrichtung wie eine normale Diode. 

I Zmin 

 

 

Bsp: Spannungsstabilisierung 

2.6 Graetzschaltung 

Ia=0 

 

 

Über RL fliesst der Strom immer in die gleiche Richtung, 

obwohl eine Wechselspannung anliegt. Die Graetzschaltung 

wird als Verpolungsschutz bei elektrischen Geräten 

verwendet.


2.7 Metalloxid‐Ableiter / Varistor 

2.8 Bipolar‐Transistor (npn) 

Überspannungsschutz: Bis zur Ansprechspannung UA isoliert er gut 

(hochohmig). Steigt die Spannung über UA, wird der Varistor niederohmig 

und Strom beginnt zu fliessen. Die Spannung über dem Varistor bleibt 

somit bei ca UA. 

Mit einem sehr kleinen Basisstrom IB lässt sich ein grosser Kollektorstrom IC steuern. 

Im linearen Bereich gilt: 

1 

· 

 

B=Stromverstärkung=20 …120 

 

Für ideal (UEarly∞): · 

(Kennliniensteigung) 

Emitterstrom: 1 

Grundschaltungen: 

Emitterschaltung Kollektorschaltung Basisschaltung 

Das Potential des Emitters ist Das Potential des Kollektors ist Spannungsverstärkung 

Bezugspotential für Eingangs‐ Bezugspotential für Eingangs‐ 

und Ausgangskreis. Strom und und Ausgangsspannung. 

Spannung werden verstärkt Emmiterpotential folgt dem 

grosse Leistungsverstärkung Basispotential 

Spannungsverstärkung ist


2.9 Kondensator / Kapazität 

Der Kondensator sammelt Ladungen, wobei UC nicht springen kann, da dazu ein unendlich grosser 

Strom nötig wäre. C hängt von der Geometrie der Leiter sowie von der Materie im Zwischenraum ab. 

• 

 

[C] = 1F = 1C/V = 1Farad bzw. 

• In der Praxis liegt C bei pF, µF oder mF. 

• u C t 


 

A=Plattenfläche, d=Abstand 

C itdt U0 resp. UC Q 

C und iC C UC 

• Im elektrischen Feld gespeicherte Energie : 

 

• Sobald ein Kondensator aufgeladen ist, fliesst kein Strom mehr durch: 

t ∞, iC=0 

• Entladung eines Kondensator: / R = Entladewiderstand 

Bsp RC‐Aufladung eines Kondensators: DGL 1. Grades 

Annahme: Anfangs ungeladen 

Ansatz: / T := RC Anfangs‐&Endbedigung 

2.10 Induktivität: 

Der Strom durch eine Spule kann nicht springen! 

• 

 

1 / , 

/ , / 

T: nach 1T wurde 63% des Endwertes erreicht, nach 5T mehr als 99%. 

• Leistung einer Spule : · 

 

 

[L] = 1H = 1Vs/A = 1 Henry 

• Im magnetischen Feld gespeicherte Energie: 

 

· L = Selbstinduktionskoeffizient 

Bsp RL‐Kreis: DGL 1. Grades Annahme: Strom am Anfang = 0 (d.h. uL(t)=Uq) 

↔ 

 

Ansatz (A & B durch Überlegungen bei t=0 & t=∞): 

/ oder / T := L/R 

2.11 Schwingkreise: 

 

1 / oder / 

Einerseits wird Leistung im Widerstand umgesetzt, andererseits wird Energie zwischen den Speichern 

ausgetauscht. 

Vorgehen bei einem Schwingkreis: 

1. Elementgleichungen aufstellen: , , 

2. Maschen‐ und Knotengleichungen aufstellen 

3. Differentialgleichung daraus erstellen (wenn nötig zusätzlich ableiten) 

4. Lösen der DGL: chp(λ) für yH, eine yP bestimmen und AWP beachten 

5. Beispiel anschauen….


Bsp: Serie‐Schwingkreis: DGL 2. Grades 

DGL: 1) 

(Vorlesung) oder 

2) 

 

 

0 / 

 

 

 

Aperiodischer Fall: det(chp(λ)) > 0, λ1/2 ε R: 1) 

2) (hom.) 

Aperiodischer Grenzfall: det(chp(λ)) = 0, λ1/2 ε R: 1) 2) (hom.) 

Periodischer Fall: det(chp(λ)) < 0, λ1/2 ε C: 1) cos sin 

2) cos sin ü 1 

2 , 1 

 

, 

√ 2 

, 1 D = Dämpfung, ω0 = Kreisfrequenz des unged. Kreises, ω = Kreisfrequenz des gedämpften Kreises 

Gedämpfte Schwingung mit kleinem Widerstand, nur wenig Energie wird über dem Widerstand 

umgesetzt. Der Widerstand dämpft den Energieaustausch Amplitude sinkt 

Bsp: Parallelschwingkreis: DGL 2. Grades 

DGL: 

 

 

 

 

 

0 

 

0 

/ 

Ansatz: cos sin AWP: 0 

0 

 

0 

 

Koeff.‐Vergleich: , 

 

 

2.12 Operationsverstärker 


√ 

, 

 

, √1 

Der Operationsverstärker (OpAmp) ist ein aktives Element und braucht 

deshalb eine Versorgungsspannung Us, die jedoch in Zeichnungen häufig 

weggelassen werden. 

mit Verstärkung 

 

Idealer OpAmp: 

Die Verstärkung ist ∞. Da die Ausgansspannung Ua endlich ist: 

∞ 0 0 

Es fliesst also kein Strom hinein. 

v = 10 4 …10 6 

Realer OpAmp: 

• v ist endlich und temperaturabhängig 

• ‐Us < Uep,Uen < Us 

• Offset‐Grössen Ueo, Iep, Ien bewirken eine 

Veränderung der Ausgangsspannung 

• Ua, Ia, Uep, Ue: nur begrenzte Werte 

• Die Verstärkung für beide Eingänge sind nicht exakt 

gleich: ∆ 

∆ 

∆ 

(Gleichtaktunterdrückung)


Invertierender Verstärker: 

Summierverstärker: 

Spannungsfolger: 

Differenzverstärker 

Integrierer: 

↔ 

 

→ 

 

 

 

 

 


 

 

für Digital‐/Analogwandler: Verhältnis RK/REi klug wählen 

 

 

 

 

0 

 

 

 

 

 

 

 

 

Bsp: 2 2 2 2 0 

Der Spannungsfolger belastet die steuernde Quelle nicht damit 

kann man schwache Spannungsquellen in der Messtechnik belastbar 

machen. (Bsp Spannungsteiler) 

Beide Eingänge werden angesteuert! 

 

 

, 

 

0 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/ 

/ 

Wähle R0/RE2=RK/RE1 = v 

 

 

 

 

 

 

 

0 ↔ 

 

 

 

 

0 

, 

 

Die Integrationskonstante UA(0) ist die 

Kondensatorspannung zum Zeitpunkt 0. 

Anwendung: Dreieckgenerator 

Steigung 

Differenzierer: Integrierer Doppelintegrierer


Differenzierer Doppeldifferenzierer 

3. Netzwerkanalyse 

Verbraucherzählpfeilsystem: 

P = U∙I = U 2 /R = R∙I 2 P > 0, falls Strom und Spannung in die gleiche Richtung zeigen 

Ist P > 0, so ist es ein Verbraucher. Ist hingegen P < 0, so ist es ein Erzeuger. 

3.1 Überlagerungsgesetz 

In linearen Netzwerken sind Ursache und Wirkung proportional. Für deren Berechnung bedeutet dies, 

dass zunächst alle Teilströme einzeln als Wirkung von einzelnen Spannungs‐ und Stromquellen 

berechnet werden können. Danach werden die einzelnen Teilströme (mit richtigem Vorzeichen!) 

addiert, um die resultierenden Ströme zu erhalten (Superposition). Bei der Berechnung der Teilströme 

werden die jeweils nicht betrachteten Spannungsquellen durch Kurzschlüsse, nicht betrachtete 

Stromquellen durch Leerläufe/Unterbrüche ersetzt. 

• Ersatz‐Innenwiderstände von Quellen sind bei deren Deaktivierung im Netzwerk zu belassen. 

• Es sind nur die restl. Quellen, nicht aber die gesteuerte Quelle zu entfernen. 

• Anfangskondensatorspannungen müssen durch eine ideale Spannungsquelle in Reihe und 

Anfangsspulenströme durch eine ideale Gleichstromquelle parallel berücksichtigt werden. 

3.2 Netzwerktopologie 

 

 

 

 

 

 

Graph: kennzeichnet mit Zweigen und Knoten das Netzwerk 

Zweig z/zw: nummerierte Verbindung zwischen 2 Knoten (ideale Spannungsquellen 

kurzschliessen, ideale Stromquellen Leerlauf) 

Knoten k: jede Klemme eines Zweipolt ist ein Knoten, hat eine eindeutige Nummer 

Maschen m: ein geschlossener Linienzug: m = z – k + 1 

Baum: verbindet alle Knoten, ohne dass eine Masche entsteht (mehrere Möglichkeiten) 

Ast zB/za: Zweig eines Baumes: za/zB = k‐1 

Sehne {s=z\zB}: Zweige, die nicht im Baum vorkommen: s = m = z – k + 1 = z – zB 

Baumkomplement: Graph mit Ästen und Sehnen 

Zweigliste: Anfangs‐ und Endknoten werden durch die Pfeil‐ 

richtungen für den Strom festgelegt. Die Spannungs‐ 

richtung hat nach dem Verbraucherzählpfeilsystem 

die gleiche Richtung wie der Strom. Zusätzlich Zweigimpedanzen möglich. 



Knoten‐Zweig‐Inzidenzmatrix AKZ: {‐1,0,1} 

Strom: 1 ‐1 

Spannungsquellen: 

• Befinden sich i.d.R. im Zuge eines Zweiges mit Impedanzen 

• Muss mit Vorzeichen (Richtung) versehen werden. Muss nicht dieselbe Richtung wie Strom haben. 

Spannungsrichtungen von passiven Zweigelemente haben jedoch dieselbe Richtung wie die 

Zweigstromrichtung! 

Stromquelle: 

• Greift an 2 Knoten an 

• Muss mit Vorzeichen (Richtung) versehen werden 

• Ideale Stromquellen liegen immer parallel zu einem Zweig 

Bei einer idealen Spannungsquelle, die nicht im Zuge mit einem Widerstand ist, setzt man künstlich 

einen Widerstand R in Serie ein und lässt ihn am Schluss gegen Null laufen (R0). Bei einer idealen 

Stromquelle, die nicht parallel zu einem Zweig mit passivem Element ist, führt man einen parallelen 

Widerstand R ein und lässt diesen gegen Schluss gegen unendlich gehen (R ∞). 

3.3 Maschenstromverfahren (Achtung Spezialfälle!) 

1. Stromquellen in Spannungsquellen umwandeln und evtl. fehlende Innenwiderstände einfügen 

und gegen 0 laufen lassen. 

2. Festlegung eines Baumes und der Sehnen zur Ermittlung der unabh. Maschen: m = z – k + 1 

3. Nummerieren der Zweige und Eintragen der Zweigströme mit Zählpfeilen in den Graphen. 

Sehnenströme sind wesentlich für das Netzwerk und werden als unabh. Ströme/Maschenströme 

bezeichnet. Mit Vorteil werden zuerst die Sehnenzweige nummeriert. 

4. Aufstellen der Impedanzmatrix (Diagonalmatrix) ZZ, welche alle Zweigimpedanzen in der im 

vorangehenden Schritt bestimmten Reihenfolge bestimmt. 

0 0 

0 

0 · 0 0 

5. Eintragen der Maschen mit Sehnenströme als Maschenströme mit Umlaufrichtung des 

Sehnenstromes. Jede Masche umfasst genau eine Sehne. 

6. KCL: Aufstellen der Zweig‐Sehnen‐Inzidenzmatrix AZS. Alle Zweigströme werden durch die 

Maschenströme ausgedrückt. 

· , 

[z x m] 

Spalten‐Nr = Masche‐Nr: fliesst der Strom in Richtung der Masche (+1), sonst ein (‐1). 

7. Bildung der Maschenimpedanzmatrix Zm durch die Zweigimpedanz‐Diagonalmatrix ZZ: 

symmetrische quadratische Matrix: [Zm] = Ω 

8. Bildung der eingeprägten Maschenspannung unter Verwendung der vorzeichenrichtig 

eingesetzten Zweigspannungsquelle Uqz: Uqz ist eine Spaltenvektor. Das i‐te Element ist die 

Summe der Spannungsquellen im Zweig i. Eine Spannungsquelle ist negativ, falls 

sie in Gegenrichtung zur Stromrichtung liegt. Uqm = Quelle total in einer Masche 



9. Bestimmung der Maschenströme mit Gauss: 

10. Rückrechnen auf die Zweigströme IZ und totalen Zweigspannungen UZtotal. 

, 

Besteht ein Zweig aus mehreren Elementen, müssen die Spannunge auf die einzlenen Elemente 

aufgeteilt werden (Spannungsteiler, Maschenregel…) 

3.4 Abgekürztes Maschenverfahren 

1. Stromquellen in Spannungsquellen umwandeln. Baum, Sehnen, Maschen mit Stromrichtungen 

bestimmten. 

2. Bestimmen der Maschenimpedanzmatrix‐Diagonalelmente Zm(i,i): Summe aller in der Masche i 

liegenden Impedanzen. Alle Impedanzen ( =: Umlaufwiderstände) werden positiv gezählt. 

3. Bestimmung der Maschenimpedanzmatrix‐Nebendiagonalelmente Zm(i,j) i≠j: Summe derjenige 

Zweigimpedanzen ( =: Kopplungswiderstände), welche gemeinsam von den Maschen i und j 

durchlaufen werden. bedeutet: wenn das Element von beiden Maschen i, j im gleichen Sinne 

durchlaufen werden, dann positiv(+), sonst negativ( –). 

4. Bestimmung der rechten Seite: Maschenspannungen Uqm(i): Summe aller in der Masche i 

liegenden Spannungsquellen. Eine Spannungsquelle ist positiv(+), falls sie in Gegenrichtung 

zum Maschenstrom liegt! Gleiche Richtung = negativ(–). 

5. Aus den Maschenströme können wieder die Zweigströme bestimmt werden, wie oben mit AZS. 

3.5 Knotenpotentialverfahren (Achtung Spezialfälle!) 

Gegeben: alle Quellen und Admittanzen. Alle Zweigspannungen sind als Differenz zu einem 

Bezugsknoten auszudrücken. Anzahl Knotenpotentiale N = k – 1. 

1. Umrechnung aller Spannungsquellen nach Stromquellen und von Impedanzen (Ri) nach 

Admittanzen (Gi). 

2. Einführung der Knotenpotentiale und Auswahl eines Bezugsknotens (Nr. 0). 

3. Alle Ströme mit Zählpfeilen einzeichnen und Knoten beschriften. Stromquellen werden gestrichelt 

gezeichnet und haben eine bereits vorgegebene Zählpfeilrichtung. Die Zählpfeilrichtungen der 

Zweigen sind willkürlich. 

4. Relation der Zweigspannung (UZ) und Knotenpotentiale (V) ohne Bezugsknoten herstellen. 

Zweigspannungen sind in Richtung der festgelegten Stromrichtung zu zählen und die 

Knotenpotentiale vom jeweiligen Knoten zum Bezugsknoten. Zweigspannungen werden also als 

Differenz der Knotenpotentiale (V) ausgedrückt (Maschenregel). 

1 0 

0 

1 

1 1 

5. Konvention: Ströme, die in den Knoten fliessen, sind negativ. Ströme, die 

aus den Knoten herausfliessen, positiv. Bsp Knoten 1: 0 

Knotenregel: 0 Bei : hineinfliessen (+), hinausfliessen (‐) 

[k x z]: Spalten = Zweignummer, wobei der Strom von Knoten (+1) in den Knoten (‐1) fliesst. 

Knoteninzidenzmatrix ∙ Vektor der Zweigströme – Vektor der in Knoten hineinfliessenden Quellen 

6. U‐I‐Relationen der Zweige aufstellen: 


 

0 

, G = Admittanz‐Diagonalmatrix (U=R∙I) 

0 7. , (Knotenadmittanzmatrix, symmetrisch, nur ‐1,0,1) 8. Berechnen aller Knotenpotentiale 

9. Alle Zweigspannungen mittels und 

alle Zweigströme mittels berechnen


3.6 Abgekürztes Knotenpotentialverfahren 

1. Umwandlung aller Spannungsquellen in Stromquellen und Impedanzen in Admittanzen. 

Einzeichnen aller Ströme mit Zählpfeilen und Beschriften der Knoten. Wahl des Bezugsknotens 

(Nr. 0). 

2. Aufstellen der Knotenpunktadmittanzmatrix Y nach folgenden Regeln 

a. Dimension ist (k‐1) x (k‐1) (k = #Knoten inkl. Bezugsknoten) 

b. 1: Für jeden Knoten wird die Summe aller anliegenden Admittanzen 

aufgeschrieben (immer positiv). 

2: Die Admittanzen, die zwischen den jeweiligen zwei Knoten liegen, 

werden negiert eingesetzt. Ist kein Zweig dazwischen, dann 0. 

c. Besteht das Netzwerk nur aus passiven Elmenten, so ist Y symmetrisch. 

3. Aufstellen des Knotenstromvektors . ist ein Spaltenvektor mit einer Zeile für jeden Knoten 

ausser den Bezugsknoten. Die Zeile i entspricht der Summe aller Stromquellen, die den Knoten i 

berühren. Eine Stromquelle ist negativ, falls sie vom Knoten weggerichtet ist. Eingehende Ströme 

sind positiv. 

4. Ausrechnen der Knotenpotentiale: 

5. Die Zweigspannungen entsprechen den Differenzen der Knotenpotentiale, die Zweigströme lassen 

sich mit dem ohmschen Gesetz ausrechnen. 

Vergleich Maschenverfahren Knotenpotentialverfahren 



Maschenmethode 

Vergleichbare Elemente 

Knotenpunktmethode 

Spannungsquelle im Zweig Stromquelle am Knoten 

Strom in Masche Spannung am Knoten 

Sehnenstrom Knotenspannung 

Sehne Knoten 

Impedanz Admittanz 

Baum und Sehnen sind entscheidend nur Topologie von Bedeutung 

Maschenimpedanzmatrix Knotenpunkt‐Admittanzmatrix 

Bestimmung der Zweiströme mittels 

Bestimmung der Zweigspannungen mittels 

Sehnenstrom 

Knotenspannungen 

Aufsummierungen der Maschenspannungen (inkl. 

Spannungsquellen) in einer Masche (in einem 

Umlauf) 

Aufsummierung von Knotenströmen (inkl. Strom‐ 

quellen) in einem Knoten 

geeignet, wenn Zweigströme gefragt sind geeignet bei mehr als 1000 Knoten und wenn 

Knotenspannungen gefragt sind 

kleinere Netzwerke lassen sich gut von Hand besonders vorteilhaft, wenn nur wenige Zweige 

lösen 

vorliegen 

3.7 Tellegen‐Theorem 

Zwei Netzwerke N und N‘ werden durch denselben Graphen be‐ 

schrieben, wobei die Quellen und Komponenten unterschiedlich 

sein können. 

1. Die Knoten‐Zweig‐Inzidenzmatrix Akz,R wird für beide Netzwerke aufgestellt, wobei aij nur ‐1,0,1 

enthalten kann. 

1, falls der Knoten i an Zweig j anliegt und Anfangsknoten ist. 

aij = ‐1, falls der Knoten i an Zweigen j anliegt und Endknoten ist. 

0, falls der Knoten i nicht an Zweig j anliegt. 

Der Bezugsknoten wird ausgelassen, reduziert. 

Knotenregel: , 0 

2. Wiederum für beide Netze wird die Matrix B aufgestellt, wobei bji nur ‐1,0,1 enthalten kann. 

1, falls der Knoten i an Zweig j anliegt und Anfangsknoten ist. 

bji = ‐1, falls der Knoten i an Zweig j anliegt und Endknoten ist. 

0, falls der Knoten i nicht an Zweig j anliegt. 

Der Bezugsknoten wird ausgelassen 

Maschenregel: 

3. , 4. Tellegen‐Theorem: In jedem Zeitpunkt ist die im Netzwerk erzeugte Leistung gleich der 

verbrauchten elektrischen Leistung. Zweigströme und Zweigspannungen sind orthogonal. 

0 (für ein Netzwerk) 

5. Beide Netzwerke zusammen betrachtet: 

0 



Bemerkung: Dies gilt nur, wenn beide Netzwerke durch denselben Graphen beschrieben werden. 

Der Satz von Tellegen wird zur Überprüfung der Ergebnisse verwendet. 

3.8 Erweitertes Knotenportentialverfahren

1. Grundlagen:

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