Seminar Angewandte Automatentheorie, WS ... - David R. Piegdon

Einführung Konstruktion des Universal-Automaten NEA-Minimierung Fazit 

Seminar Angewandte Automatentheorie, WS 2009/2010 

Der Universal-Automat 

Konstruktion und NEA-Minimierung 

David Rasmus Piegdon 

Betreuer: Christof Löding 

Lehrstuhl für Informatik VII, RWTH Aachen 

Freitag, 15. Jan. 2010 

David R. Piegdon RWTH Aachen University of Technology 

Der Universal-Automat: Konstruktion und NEA-Minimierung


Quellen 

• S. Lombardy and J. Sakarovitch. 

The Universal Automaton. 

In Logic and Automata, History and Perspectives, 

Amsterdam Univ. Press (2007) 457–504. 

(Weitere Quellen siehe Paper) 




Inhalt 

1 Einführung 

2 Konstruktion des Universal-Automaten 

3 NEA-Minimierung 

4 Fazit 




Universal-Automat 

• Eindeutig für jede reguläre Sprache. 

• Für Automaten der gleichen Sprachen existiert 

Morphismus in Universal-Automaten. 

• Kann einfach konstruiert werden. 

• Hilft beim Minimieren von NEAs. 

• Gibt teilweise Auskunft über Sternhöhe der Sprache. 




Inhalt 

1 Einführung 



4 Fazit 





Definition des Universal-Automaten 

Universal-Automat UL 

• UL = (FL, Σ, ∆ U , Q U I , QU F ) 

• FL = { (X, Y ) | (X, Y ) ist max. Faktorisierung von L } 

• ∆ U = { ((X, Y ), a, (X ′ , Y ′ )) ∈ FL × Σ × FL | X · a · Y ′ ⊆ L } 

• Q U I 

• Q U F 

= { (X, Y ) | ɛ ∈ X } 

= { (X, Y ) | ɛ ∈ Y } 





Konstruktion des Universal-Automaten 

0 b 

2 

b 3 

1 

a 

a b 

b 

min. DEA AL 

a 

a 

Konstruktion eines Automaten, 

der isomorph zu UL ist. 

Eingabe: beliebiger DEA der Sprache 

AL = (Q, Σ, δ, qI, QF ). 

Dazu sei: 

• Σ = a, b 

• L = Σ ∗ aΣ 





Konstruktion des Universal-Automaten 

Eingabe: DEA AL 

• Zustände entsprechen Links-Quotienten der Sprache: 

∀w : w −1 L = FutA(δ(qI, w)) 

• Jeder Schnitt von Links-Quotienten ist ein Rechts-Faktor 

⇒ Alle möglichen Durchschnitte bilden. 




Co-Determinisierung 

Definition Co-Determinisierung 

CODET (AL) = 

←−−−−−− 

DET ( ←− 

AL) 

• Umdrehen aller Transitionen, 

vertauschen von Anfangs- und Endzustände. 

• Determinisieren (Potenzmengenkonstruktion). 

• Wieder Umdrehen aller Transitionen, 

vertauschen von Anfangs- und Endzustände. 





Eigenschaften 

Eigenschaften des codeterminisierten Automaten: 

• L CODET (A) = LA 

• Hat genau einen Endzustand. 

• Jeder Zustand hat pro a ∈ Σ maximal eine einkommende 

Transition. 

• ⇒ Es gibt keine 2 Zustände mit gleicher Zukunft. 





Beispiel 

0 b 

2 

b 3 

1 

a 

a b 

b 

a 

AL 

a 

0123 a b 

a 

23 

a b 

13 

CL 

L = Σ ∗ aΣ 

CL = CODET (AL) 

= (Q C , Σ, Delta C , Q C I , {qC F }) 

• zufällig Zustandsminimal 

• Q C ⊆ 2 Q 

• Q C = { {0, 1, 2, 3}, {2, 3}, {1, 3} } 




I A 

Definition IA 

0123 a b 

a 

23 

a b 

13 

CL = CODET (AL) 

Q C = { {0, 1, 2, 3}, {2, 3}, {1, 3} } 

Definition 

IA := Q C geschlossen unter Schnitt. 

Hier: 

IA = { {0, 1, 2, 3}, {2, 3}, {1, 3}, {3} } 




I A 

IA ∼ FL 

Es gibt eine Bijektion zwischen IA und FL: 

ψA : IA → FL 

ψA(P) := (X, Y ) mit Y = 

FutA(p) 


Der Universal-Automat: Konstruktion und NEA-Minimierung 

p∈P


I A 

Beweis: ψA ist Bijektion: 

ψA : IA → FL : ψA(P) := (X, Y ) mit Y = 

FutA(p) 

ψA ist wohldefiniert: 

p∈P 

• Jeder Schnitt von Links-Quotienten ist ein Rechts-Faktor. 




I A 


ψA : IA → FL : ψA(P) := (X, Y ) mit Y = 

FutA(p) 

Sei χA = ψ −1 

A : χA : FL → 2 Q , 

χA((X, Y )) := { p ∈ Q | Y ⊆ FutA(p) } 

Wenn ψA Bijektion, dann auch χA. 



p∈P


I A 


χA : FL → 2 Q : χA((X, Y )) := { p ∈ Q | Y ⊆ FutA(p) } 

χA((X, Y )) = P , R = { S ∈ Q C | P ⊆ S } 




I A 



χA((X, Y )) = P , R = { S ∈ Q C | P ⊆ S } 

Codeterminisierter Automat: 

FutC(S) ⊆ 

FutA(p) 

p∈S 




I A 



χA((X, Y )) = P , R = { S ∈ Q C | P ⊆ S } 

∀p : p ∈ P ↔ p ∈ 

S 

⇒ P = 

S∈R 

S∈R 

S ⇒ P ∈ IA 




I A 



χA((X, Y )) = P , R = { S ∈ Q C | P ⊆ S } 

∀p : p ∈ P ↔ p ∈ 

S 

⇒ P = 

S∈R 

S∈R 

S ⇒ P ∈ IA 




I A 

IA ∼ FL 

Jedes Element in IA Entspricht 

• einer Faktorisierung, 

• einem Zustand des Universalautomaten. 




Mathematische Konstruktion vom Universal-Automaten 

Konkrete Konstruktion 

VL := (IA, Σ, ∆ V , Q V I , QV F ) 

∆ V = { (P, a, S) | δ(P, a) ⊆ S } 

Q V I = { P ∈ IA | qI ∈ P } 

Q V F = { P ∈ IA | P ⊆ QF } 





Beweis: UL ∼ VL 

{ ((XP, YP), a, (X S, Y S)) | XP · a · Y S ⊆ L } 

= ∆ U ∼ ∆ V = 

{ (P, a, S) | δ(P, a) ⊆ S } 

δ(P, a) ⊆ S ⇐⇒ Y S ⊆ 

p∈δ(P,a) 

F(p) 

⇐⇒ a · YS ⊆ 

F(p) = YP ⇐⇒ XP · a · YS ⊆ L 

p∈P 






{ ((XP, YP), a, (X S, Y S)) | XP · a · Y S ⊆ L } 

= ∆ U ∼ ∆ V = 

{ (P, a, S) | δ(P, a) ⊆ S } 

δ(P, a) ⊆ S ⇐⇒ Y S ⊆ 

p∈δ(P,a) 

F(p) 

⇐⇒ a · YS ⊆ 

F(p) = YP ⇐⇒ XP · a · YS ⊆ L 

p∈P 






{ (X, Y ) | ɛ ∈ X } = Q U I ∼ QV I = { P ∈ IA | qI ∈ P } 







X = 

PastA(p) 

p∈P 

⇒ qI ∈ P ↔ ɛ ∈ PastA(p) 

⇒ ɛ ∈ X 







X = 

PastA(p) 

p∈P 


⇒ ɛ ∈ X 







X = 

PastA(p) 

p∈P 


⇒ ɛ ∈ X 






{ (X, Y ) | ɛ ∈ Y } = Q U F ∼ QV F = { P ∈ IA | P ⊆ QF } 

(ähnlich wie bei Q U I ∼ QV I ) 





Beispiel 

VL 

VL = (IA, Σ, ∆ V , Q V I , QV F ) 





Beispiel 

13 

0123 

3 

VL 

23 

VL = (IA, Σ, ∆ V , Q V I , QV F ) 

IA = { {0, 1, 2, 3}, {2, 3}, {1, 3}, {3} } 





Beispiel 

13 

0123 

3 

VL 

23 

VL = (IA, Σ, ∆ V , Q V I , QV F ) 

IA = { {0, 1, 2, 3}, {2, 3}, {1, 3}, {3} } 

Q V I = { P ∈ IA | qI = 0 ∈ P } 

= {{0, 1, 2, 3}} 





Beispiel 

13 

0123 

3 

VL 

23 

VL = (IA, Σ, ∆ V , Q V I , QV F ) 

IA = { {0, 1, 2, 3}, {2, 3}, {1, 3}, {3} } 

Q V I = { P ∈ IA | qI = 0 ∈ P } 

= {{0, 1, 2, 3}} 

Q V F = { P ∈ IA | P ⊆ QF = {1, 3} } 

= {{1, 3}, {3}} 





Beispiel 

a b 

13 

a b 

0123 

a b 

3 

a 

a 

VL 

a b 

a 

a b 

a 

23 

a 

b a 

a 

VL = (IA, Σ, ∆ V , Q V I , QV F ) 

IA = { {0, 1, 2, 3}, {2, 3}, {1, 3}, {3} } 

Q V I = { P ∈ IA | qI = 0 ∈ P } 

= {{0, 1, 2, 3}} 

Q V F = { P ∈ IA | P ⊆ QF = {1, 3} } 

= {{1, 3}, {3}} 

∆ V = { (P, a, S) | δ(P, a) ⊆ S } 




Komplexität 

Komplexität der Konstruktion 

• Co-Determinisierung: wie Potenzmengen-Konstruktion: 

Q C ⊆ 2 Q ⇒ Exponentielle Zeit, Exponentieller Speicher. 

• Konstruktion von IA: ebenso IA ⊆ 2 Q . 

• ∆ V hat max. 2 |Q| · |Σ| · 2 |Q| Elemente. 

• Q V I und QV F : maximal 2|Q| Elemente 

⇒ In Relation zur Zustandsgröße von AL: 

• exponentielle Zeit 

• exponentiell viel Speicher 




Komplexität 

Komplexität der Konstruktion 

• Co-Determinisierung: wie Potenzmengen-Konstruktion: 

Q C ⊆ 2 Q ⇒ Exponentielle Zeit, Exponentieller Speicher. 

• Konstruktion von IA: ebenso IA ⊆ 2 Q . 

• ∆ V hat max. 2 |Q| · |Σ| · 2 |Q| Elemente. 

• Q V I und QV F : maximal 2|Q| Elemente 

⇒ In Relation zur Zustandsgröße von AL: 

• exponentielle Zeit 

• exponentiell viel Speicher 




Inhalt 

1 Einführung 



4 Fazit 




NEA-Minimierung 

• Zustandsminimierung von NEAs ist PSPACE-Vollständig. 

• Vorgesteller Algorithmus ist exponentiell (Speicher, Zeit) 

• in Praxis meist effizienter und konkurrenzfähig. 




Morphismen 

Definition Morphismus 

Gegeben zwei Automaton 

A = (Q A , Σ, ∆ A , Q A I , QA F ) und B = (QB , Σ, ∆ B , Q B I , QB F ) 

Eine Funktion ϕ : Q A → Q B ist ein Morphismus g.d.w. 

• ϕ(Q A I ) ⊆ QB I 

• ϕ(Q A F ) ⊆ QB F 

• ∀(q, a, qt) ∈ ∆ A : (ϕ(q), a, ϕ(qt)) ∈ ∆ B 




NEA-Minimierung über Morphismen 

Morphismen in Universal-Automat 

• Für alle Automaten AL gibt es einen Morphismus ϕA in UL. 

• Für alle kleineren Automaten (als UL) ohne 

verschmelzbare Zustände ist ϕA injektiv. 

















⇒ Jeder zustandsminimale NEA für L ist Subautomat von UL. 





Aufzählen aller Subautomaten 

• Jeder zustandsminimale NEA für L ist Subautomat von UL. 

• Finden: Jeden Subautomaten auf Sprachgleichheit testen. 

• Sprachäquivalenz von NEAs sehr aufwendig. 

Zusätzliche Tests für schnellen Ausschluss: 

• Heuristiken 

• Konsistenzbedingungen 





Aufzählen aller Subautomaten 

• Jeder zustandsminimale NEA für L ist Subautomat von UL. 

• Finden: Jeden Subautomaten auf Sprachgleichheit testen. 

• Sprachäquivalenz von NEAs sehr aufwendig. 

Zusätzliche Tests für schnellen Ausschluss: 

• Heuristiken 

• Konsistenzbedingungen 





Konsistenzbedingung 

Gegeben einen DFA AL und seinen Universalautomaton UL, 

ein Subautomat M hat die gleiche Sprache, falls 

a) 

F ∈QM ,F ⊆QA F = Q 

F 

A F 

(Alle Endzustände von A sind abgedeckt) 

b) ∀a ∈ Σ, ∀q ∈ Q A , ∀P ∈ Q M : 

[ δ A (q, a) = p ∧ p ∈ P ] 

→ [ ∃S ∈ Q M : q ∈ S ∧ δ A (S, a) ⊆ P ] 

(Induktion Rückwärts ab Endzuständen: w ∈ L ⇒ 

es existiert Rückwärtslauf über w zu einem Startzustand) 




Beispiel NEA-Minimierung 

Beispiel für L = Σ ∗ aΣ 

C13 

C1 

C0123 a+b 

a 

C23 

a+b 

U0123 



a+b 

a+b 

a+b 

U1 

a+b 

a 

U23 

a a 

U3 

U13 

a 

a+b 

a 

a 

a+b


Beispiel NEA-Minimierung 

Beispiel für L = Σ ∗ aΣ 

C1 

C0123 a+b 

a 

C23 

C13 

a+b 

M0123 



a+b 

a+b 

M1 

a+b 

a 

M23 

M13 

a 

a+b 

a


Inhalt 

1 Einführung 



4 Fazit 




Fazit 

• Universalautomat durch einfache Operationen 

Berechenbar 

• Liefert Eigenschaften von Sprache und Faktorisierungen 

• Hilft bei NEA Zustandsminimierung 




Fragen? 

Danke für eure Aufmerksamkeit!

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