1. Eine Leiter hat 9 Sprossen in gleichmäßigen Abständen. Die erste ...

20. Das 5. und das 25. Folgeglied einer arithmetischen Folge haben die Summe 101,2. Die Summe der
ersten 25 Folgeglieder beträgt 1335. Berechne die Summe aller Folgeglieder, welche grösser als 0
sind.
a5 + a25 = 101,2 : (a1 + 4k) + (a1 + 24k) = 101,2 → 2a1 + 28k = 101,2
a1 = 50,6 − 14k
s25 = 1335 : 25
2 · (2a1 + 24k) = 1335 → 25a1 + 300k = 1335
5a1 + 60k = 267
5 · (50,6 − 14k) + 60k = 267 → k = −1,4
a1 = 50,6 − 14k = 70,2
Bildungsgesetz der Folge: an = a1 + (n − 1)k
an = 70,2 + (n − 1) · (−1,4) = 71,6 − 1,4n
71,6 − 1,4n > 0 → 1,4n < 71,6 → n < 51,14
Die ersten 51 Glieder der Folge sind größer als 0!
s51 = 51
2
· (2 · 70,2 + 50 · (−1,4)) = 1795,2
21. Bei einer ansteigenden arithmetischen Folge beträgt der Quotient aus dem ersten und dem zweiten
Folgeglied 4. Das Produkt dieser Folgeglieder ist 144. Berechne die Summe der ersten 17 Glieder
dieser Folge.
a2
a1 = 4 : a2 = 4a1
a1 · a2 = 144 : a1 · 4a1 = 144 → 4a 2 1 = 144 → a1 = 6 oder a1 = −6
1. Möglichkeit: a2 = 4a1 = 24 und k = 18
2. Möglichkeit: a2 = 4a1 = −24 (scheidet aus, weil die Folge ansteigend ist!)
s17 = 8,5 · (12 + 16 · 18) = 2550
22. Es sollen 628 m Papier von der Stärke 0,2 mm auf eine Rolle gewickelt werden, die den Durchmesser
20 cm hat. Wie viele Lagen ergeben sich? Welchen Durchmesser hat die Papierrolle nach dem
Aufwickeln?
Länge der 1. Wicklung: a1 = 2r1 · π = 20π
Länge der 2. wicklung: a2 = 2r2 · π = 2(10 + 0,02) · π = 20,04π
Länge der 3. Wicklung: a3 = 2r3 · π = 2(10 + 2 · 0,02) · π = 20,08π
...
Es entsteht ein arithmetische Folge, weil
a2 − a1 = a3 − a2 = 0,04π
62800 = n
2 · (40π + (n − 1) · 0,04π) → n ≈ 618 oder (n ≈ −16,17)
Neuer Durchmesser: 20 + 2 · 618 · 0,02 = 44,72 cm
23. Bei Werkzeugmaschinen haben Getriebe in der Regel geometrische Drehzahlabstufungen. Die Maschine
soll 12 verschiedene Drehzahlen n1 = 12,...,n12 = 530 aufweisen. Wie groß ist der Stufensprung
q und wie gross siend die Drehzahlen n5 und n8?
n1 = 12
n2 = n1 · q
n3 = n1 · q 2
...
n12 = n1 · q 11 = 530 → 12q 11 = 530 → q = 11
530
11
n5 = 12 · 1,41 4 ≈ 47,43 und n8 = 12 · 1,41 7 ≈ 132,96
6
≈ 1,41