Terminierender Algorithmus - Informatik

Einführung
(Textersetzungs)Algorithmen unterscheiden sich in
• der Anwendbarkeit von Regeln
– Terminierender Algorithmus
– Nichtterminierender Algorithmus
– Deterministischer Algorithmus
– Nichtdeterministischer Algorithmus
• der Beziehung zwischen Ein- und Ausgabe
– Determinierter Algorithmus
– Nichtdeterminierter Algorithmus
Algorithmus
Informatik I − 1 − WiSe 2005/2006
Einführung
Algorithmenarten: Anwendbarkeit von Regeln
• Terminierender Algorithmus:
– Es gibt einen Schritt in dem keine Regel mehr anwendbar ist.
• Nichtterminierender Algorithmus:
– Es ist immer mindestens eine Regel anwendbar.
• Deterministischer Algorithmus:
– Zu jeder Zeit ist immer nur eine Regel anwendbar, d.h. es gibt genau eine
Berechnung.
– Falls er terminiert, liefert ein deterministischer Algorithmus genau eine
Ausgabe.
• Nichtdeterministischer Algorithmus:
– Zu einer gegebenen Eingabe x sind mehrere Regeln auf Teilwörter von x
anwendbar.
Informatik I − 2 − WiSe 2005/2006

Einführung
Algorithmenarten: Anwendbarkeit von Regeln
• Bem.: Textersetzungsalgorithmen sind im allgemeinen
nichtdeterministisch und nichtdeterminiert.
– Für ein Wort t existieren in der Regel mehrere Berechnungen
mit verschiedenen Resultaten.
– Es können für eine Eingabe sowohl terminierende als auch
nichtterminierende Berechnungen existieren.
• Bsp.: Gegeben sei ein Textersetzungssystem mit den
Regeln aa → b, a → aa über dem Standardalphabet.
– Für dieses System ist jedes Wort t, welches das Zeichen a enthält, nicht
terminal (immer die zweite Regel anwenden). Wird die zweite Regel
jedoch nur angewendet, wenn die erste nicht anwendbar ist, so terminiert
die Berechnung stets.
Informatik I − 3 − WiSe 2005/2006
Einführung
Markov-Algorithmen
• Definition: Ein Markov-Algorithmus ist ein deterministisches
Textersetzungssystem mit endlich vielen Regeln, sowie einigen
speziellen Regeln, Zeichen und 2 Metaregeln:
– Markov-Algorithmen enthalten spezielle Regeln, auch haltende Regeln
x →. y genannt, die durch einen Punkt nach dem Pfeil gekennzeichnet
sind.
– Markov-Algorithmen enthalten zusätzliche Zeichen α, β, γ, …,
sogenannte Schiffchen. Diese kommen weder in der Eingabe, noch in der
Ausgabe vor.
– Metaregeln: Markov-Algorithmen haben immer 2 spezielle Anweisungen
für die Ausführung von Regeln:
1. Wähle in jedem Schritt die erste anwendbare Regel. Falls sie auf mehrere
Teilwörter anwendbar ist, wende sie auf das am weitesten links
stehendeTeilwort an.
2. Wende die Regeln solange an, bis eine haltende Regel angewandt wurde, oder
bis keine Regel mehr anwendbar ist.
Informatik I − 4 − WiSe 2005/2006

Einführung
• Alphabet V = {0, L}
• Schiffchen: α, β
• Regelsystem:
1. αL → Lα
2. α0 → 0α
3. α → β
4. Lβ → β0
5. 0β →. L
6. β →. L
7. ε → α
Haltende Regeln!
• Frage: Welches Problem
löst der Algorithmus?
Markov-Algorithmen
• Anwendung der Regeln auf
das Eingabewort L0LL
L0LL ⇒ αL0LL (7)
⇒ Lα0LL (1)
⇒ L0αLL (2)
⇒ L0LαL (1)
⇒ L0LLα (1)
⇒ L0LLβ (3)
⇒ L0Lβ0 (4)
⇒ L0β00 (4)
⇒ LL00 (5)
Bem.: Nur die haltenden Regeln (5 und 6) sichern das Terminieren des Algorithmus.
Informatik I − 5 − WiSe 2005/2006
Einführung
• Alphabet V = {0, L}
• Schiffchen: α, β
• Regelsystem:
1. ε → α
2. α0 → 0α
3. α → β
4. Lβ → β0
5. 0β →. L
6. β →. L
7. αL → Lα
Markov-Algorithmen
• Anwendung der Regeln
auf das Eingabewort
L0LL
• L0LL ⇒ αL0LL
(1)
⇒ ααL0LL
(1)
⇒ …
Informatik I − 6 − WiSe 2005/2006

Einführung
Algorithmus 1 terminiert
(1) αL → Lα
(2) α0 → 0α
(3) α → β
(4) Lβ → β0
(5) 0β →. L
(6) β →. L
(7) ε → α
Markov-Algorithmen
Algorithmus 2 terminiert nicht
(1) ε → a
(2) α0 → 0α
(3) α → β
(4) Lβ → β0
(5) 0β →. L
(6) β →. L
(7) αL → Lα
Informatik I − 7 − WiSe 2005/2006
Einführung
Markov-Algorithmen
• Markov-Algorithmen besitzen für jedes Eingabewort genau eine
Berechnung. Für den Fall der Terminierung erzeugen sie genau
eine Ausgabe.
• Durch Zuordnung einer Ausgabe zu jeder Eingabe mit
terminierender Berechnung berechnen deterministische
Algorithmen partielle Funktionen.
– Die Funktionen heißen partiell, da der Algorithmus für gewisse Eingaben
eventuell nicht terminiert und somit kein Resultat für die Berechnung
definiert ist.
Informatik I − 8 − WiSe 2005/2006

Einführung
Markov-Algorithmen
• Lassen sich alle mathematischen Funktionen durch Algorithmen
berechnen?
– Kurt Gödel: Nicht jede Funktion läßt sich durch einen Algorithmus
berechnen.
– Diejenigen Funktionen, für die sich ein Algorithmus zu ihrer Berechnung
angeben läßt, nennen wir berechenbar (siehe Berechenbarkeitstheorie in
Informatik IV)
• Theoretisch betrachtet ist der auf Textersetzung abgestützte
Algorithmusbegriff völlig ausreichend
– Jede berechenbare Funktion ist durch einen Textersetzungsalgorithmus
berechenbar
Informatik I − 9 − WiSe 2005/2006
Einführung
Markov-Algorithmen
• Probleme bei der Beschreibung durch Textersetzung
– Umfangreicheren Textersetzungsysteme sind schwer zu
verstehen.
– Bei komplexen Aufgabenstellungen werden viele Regeln
benötigt.
– Es ist schwierig sicherzustellen, dass auch das gewünschte
Ergebnis berechnet wird.
– Die dargestellte Abbildung ist schwierig zu bestimmen.
– Komposition und Strukturierung ist nicht einfach.
• Bessere Darstellungsmöglichkeiten?
– Termersetzungssysteme.
Informatik I − 10 − WiSe 2005/2006

Einführung
• Begriffsdefinition
Begriff des Algorithmus
– Ein Algorithmus (algorithm) ist die Beschreibung eines
Verfahrens, um aus gewissen Eingabegrößen bestimmte
Ausgabegrößen zu berechnen. Dabei müssen folgende
Bedingungen erfüllt sein
• Spezifikation
• Durchführbarkeit
• Korrektheit
Informatik I − 11 − WiSe 2005/2006
Einführung
Spezifikation
Begriff des Algorithmus
– Eingabespezifikation: Es muss genau spezifiziert
sein, welche Eingabegrößen erforderlich sind und
welchen Anforderungen diese Größen genügen
müssen, damit das Verfahren funktioniert
– Ausgabespezifikation: Es muss genau spezifiziert
sein, welche Ausgabegrößen (Resultate) mit
welchen Eigenschaften berechnet werden
Informatik I − 12 − WiSe 2005/2006

Einführung
• Bem. zur Spezifikation
Begriff des Algorithmus
– Wir sprechen manchmal auch von Zusicherung, die
der Algorithmus an die erarbeiteten Ergebnisse
macht
– Möglichkeiten zur Beschreibung
• Präziseste Sprache zur Spezifikation ist die
mathematische Logik (später)
• In der Praxis werden häufig weniger formale
Beschreibungen in natürlicher Sprache verwendet
(Pflichtenhefte)
– Häufig umfangreich, mehrdeutig, inkonsistent
– Macht der Algorithmus was der Kunde wollte?
Informatik I − 13 − WiSe 2005/2006
Einführung
Durchführbarkeit
Begriff des Algorithmus
– Endliche Beschreibung: das Verfahren muss in einem
endlichen Text vollständig beschrieben sein
– Effektivität: Jeder Schritt des Verfahrens muss effektiv (d.h.
tatsächlich) „mechanisch“ ausführbar sein
• Bem.: „Effektivität“ ist nicht zu verwechseln mit „Effizienz“
(„Wirtschaftlichkeit“)
– Determiniertheit: Der Verfahrensablauf ist zu jedem
Zeitpunkt fest vorgeschrieben
• Gleiche Eingaben sollen zum gleichen Ablauf und Ergebnis führen
• Ausnahme: Textersetzungsalgorithmen, randomisierte Algorithmen,
deren Ablauf von (mathematisch bestimmten) Zufallsgrößen abhängt
Informatik I − 14 − WiSe 2005/2006

Einführung
Begriff des Algorithmus
• Korrektheit
– Terminierung: Der Algorithmus hält nach endlich vielen
Schritten mit einem Ergebnis an, sofern die Eingaben der
Eingabespezifikation genügt haben
• Viele Programme erbringen ihre Leistung durch sog. Seiteneffekte,
z.B. Ausgaben während der Laufzeit, und nicht durch ein einziges
Endergebnis
– Betriebssystem, Datenbanksystem, ...
– Bei numerischen Algorithmen (z.B. Nullstellenberechnung), möchte
man häufig offen lassen, wann genau die Berechnung in der Praxis
abbrechen soll
• Ist ein Verfahren bis auf die fehlende Terminierung ein Algorithmus,
so spricht man auch von einem (Rechen-)Verfahren. Häufig auch von
einem „nicht-terminierenden“ Algorithmus
Informatik I − 15 − WiSe 2005/2006
Einführung
Begriff des Algorithmus
• Korrektheit
– Partielle Korrektheit: Jedes berechnete Ergebnis genügt der
Ausgabespezifikation, sofern die Eingaben der
Eingabespezifikation genügt haben
• d.h. Ein- und Ausgabeparameter genügen im Falle der Terminierung
immer den Spezifikationen
– Totale Korrektheit: Ein Rechenverfahren ist ein total
korrekter Algorithmus, wenn es partiell korrekt ist und für
jede Eingabe, die der Eingabespezifikation genügt,
terminiert.
• Unterschiedliche Beweisverfahren für beide Fälle notwendig
• Manchmal ist es sinnvoll, auf die Anforderung der Terminierung zu
verzichten
Informatik I − 16 − WiSe 2005/2006

Einführung
Begriff des Algorithmus
• Bemerkung: Nach unserer Begriffsbestimmung gäbe es also
keine
– nicht-deterministische,
– nicht-terminierende
– ...
• Algorithmen
• Diese Begriffe werden aber durchaus verwendet!
– Methode erfüllt alle Anforderungen an einen Algorithmus, bis auf die mit
„nicht“ gekennzeichnete
Informatik I − 17 − WiSe 2005/2006
Einführung
Zusammenfassung
• Der Begriff des Algorithmus ist eine der wichtigsten
Säulen der Informatik
• Klassifikation von Algorithmen nach Anwendbarkeit
der Regeln und nach der Beziehung zwischen Ein- und
Ausgabe
• Textersetzungsysteme
• Formale Sprache
• Markov-Algorithmen als Beispiel für deterministische
Algorithmen
Informatik I − 18 − WiSe 2005/2006