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7. Turingmaschinen
Theoretische Informatik – Mitschrift
Automatenmodell für Typ-0-Sprachen
→ Einschränkung liefert Automatenmodell für Typ-1-Sprachen
Alan Turing 1936, ursprüngliches Ziel:
Formalisierung des Berechenbarkeitsbegriffs
Modell einer Turingmaschine:
... ... Unendliches Schreib-/Leseband
endl.
Kontrolle
Definition 7.1:
Eine Turingmaschine (TM) ist ein 7-Tupel =〈Q , , , ,q 0 ,t 0 , F 〉 mit
● endlicher Zustandsmenge Q
● Eingabealphabet Σ
● Arbeitsalphabet (Bandalphabet) ⊃
● Transitionsfunktion
:Q× Q××{L , R , N } im deterministischen Fall
:Q× ℘Q××{L , R , N } im nichtdeterministischen Fall
● Startzustand q 0 ∈Q
● Blank (Leerzeichen) b∈ ∖
● Endzustandsmenge F⊆Q
Bezeichnung:
∈TM , ∈DTM
q ,a , x∈ q ,b bedeutet: Falls die TM im Zustand q unter dem Schreib-/Lesekopf ein b sieht,
kann sie das b mit a überschreiben, in den Zustand q wechseln und den Schreib-/Lesekopf
gemäß der Positionsangabe x∈{L , R , N } bewegen:
L - ein Zeichen nach links
R - ein Zeichen nach rechts
N (neutral) - keine Kopfbewegung.
Definition 7.2 (Sprache einer Turingmaschine):
Menge der Konfigurationen: *
*
Bandinhalt
links vom
Lesekopf
Q
Zustand Lesekopf Bandinhalt
rechts vom
Lesekopf
Einzelschrittrelation ├ ⊆ * Q *× * Q * mit
● q X ├ q' X ' falls q' , X ' , N ∈q , x
●
q XY ├ X ' q' Y
} falls q' , X ' , R∈q , x
q X ├ X ' q' b
●
Y q X ├ q' YX '
} falls q' , X ' , L∈ q , x
q X ├ q' b X '
Anfangskonfiguration: q0 w b bei Eingabe von w ∈*

Endkonfigurationen: q X mit q∈F
Von A erkannte Sprache:
L ={w ∈*∣q 0 w b├ * q X mit q∈F }
Beachte:
Die Turingmaschine braucht nicht zu stoppen. Es genügt das Erreichen eines Endzustandes. Die
Eingabe muß nicht vollständig gelesen werden.
ℒ ,TM : Klasse der durch Turingmaschinen erkennbaren Sprachen,
ℒ , DTM analog
Beispiel:
Turingmaschine mit L ={a n b n c n ∣n≥1 }
Idee:
● Ersetze für k = 1, 2, ... k-tes a, b, c nacheinander durch A, B, C, bis hinter C ein b folgt
● Teste vom Wortende aus, ob nur Cs, Bs und As in dieser Reihenfolge auf dem Band stehen
=〈Q ,{a ,b , c}, , ,q0 ,b ,{q f }〉 mit
Q={q0 ,q f ,qb ,qc ,q ? ,ql ,q t }
={a ,b ,c , A , B ,C ,b}
gegeben durch Turingtafel = Folge von Quintupeln
q a b x q' mit der Bedeutung q' ,b , x∈ q ,a
q0 a A R qb % ersetze erstes a
qb a a R qb qb b B R qc % suche erstes b
qb B B R qb qc b b R qc qc c C R q ? % suche erstes c
qc C C R qc q ? c c L ql % noch nicht am Wortende zurück
q ? b b L qt % Wortende Testphase
ql Y Y L ql für alle Y ∈{C ,b ,B ,a}
ql A A R q0 qt qt Y
b
Y
b
L
R
qt q f
für Y ∈{C , B , A}
% Testphase
Konfigurationsfolge bei Eingabe von aabbcc:
q 0 aabbccb├ A q b abbccb├ Aa q b bbccb├ AaB q c bccb├ AaBb q c cc b
4
├ AaBbC q ? c b├ AaBb q l Cc b├ q l AaBbCcb├ A q 0 aBbCc b├ AA q b BbCc b
├ AAB q b bCc b├ AABB q c Cc b├ AABBC q c cb├ AABBCC q ? b
5
├ AABBC q t C b├ q t AABBCC b├ q t b AABBCC b├ b q f AABBCC b
Beobachtung:
Turingmaschine arbeitet nur auf dem Eingabebereich → linear beschränkter Automat

Definition 7.3:
Eine nichtdeterministische Turingmaschine =〈Q , , , ,q 0 , b ,F 〉 heißt linear beschränkt
(linear beschränkter Automat: LBA), falls
● ¢,$∈ ∖ und
● q ,¢⊆{q' ,¢, R∣q '∈Q} für alle q∈Q
● q ,$ ⊆{q' ,$ , L∣q' ∈Q} für alle q∈Q
● Sonst dürfen ¢ und $ nicht geschrieben werden.
Bezeichnung:
∈LBA .
Die von einem LBA A akzeptierte Sprache ist
L={w∈*∣¢ q 0 w $ ├ * q X für ein q ∈F }.
Sprachklasse: ℒ ,LBA
Zum Beispiel:
=〈Q ,{a ,b , c}, , ,q0 ,b ,{q f }〉 mit
Q={q0 ,q f ,qb ,qc ,q ? ,ql ,q t }
={a ,b ,c , A , B ,C ,¢ ,$}
gegeben durch Turingtafel = Folge von Quintupeln
q a b x q' mit der Bedeutung q' ,b , x∈ q ,a
q0 a A R qb % ersetze erstes a
qb a a R qb qb b B R qc % suche erstes b
qb B B R qb qc b b R qc qc c C R q ? % suche erstes c
qc C C R qc q ? c c L ql % noch nicht am Wortende zurück
q ? $ $ L qt % Wortende Testphase
ql Y Y L ql für alle Y ∈{C ,b ,B ,a}
ql A A R q0 qt qt Y
¢
Y
¢
L
R
qt q f
für Y ∈{C , B , A}
% Testphase
Satz 7.1:
1) ℒ ,TM=ℒ 0
2) ℒ ,LBA=ℒ 1
Beweis 1):
"⊆": Simulation von Turingmaschine durch Typ-0-Grammatik
Satzformen: Konfigurationen der Turingmaschine
Ableitschritte: Schritte der Turingmaschine
Nonterminale der Grammatik:
- Zustände der TM
- Felder des Arbeitsbandes in 2 Spuren
1. Spur: Sicherung der Eingabe
2. Spur: Simulation der TM

3 Phasen bei der Ableitung eines Wortes:
1. Konstruktion der Anfangskonfiguration mit genügend vielen Blank an den Rändern
,b m q 0 a 1 , a 1 a 2 , a 2 ...a r , a r , b n
1. Spur: Eingabewort a 1... a r
2. Spur: Anfangskonfiguration der Turingmaschine
2. Simulation der Turingmaschine in zweiter Spur
3. Projektion auf Eingabe, falls Endzustand erreicht
Konstruktion von G=〈 N , , P , S 〉 mit
N =Q∪ ∪{}×∪{S ,C 1 ,C 2 }
und P mit den folgenden Produktionen:
Phase 1:
S ,b S∣q 0 C 1
C 1 a ,aC 1 für alle a∈
C 1 C 2
C 2 ,bC 2∣ , b
Phase 2:
Falls q' , X ' , N ∈q , X : q a , x q' a , X '
Falls q' , X ' ,R∈q , X : qa , x a , X ' q'
Falls q' , X ' , L∈q , X :b ,Y qa , x q' b ,Y a , X '
Phase 3:
q falls q∈F
a , X a für alle a∈∪{ }, X ∈
Es folgt:
w ∈LG⇔ S ⇒* w ⇔ q 0 w b├ * q X mit q∈F ⇔ w∈L
Beweis für ℒ ,LBA⊆ℒ 1 analog; es sind keine ε-Regeln nötig, weil der LBA nur auf
dem Eingabebereich arbeitet und der Zustand in die Paare integriert werden kann.
"⊇": Sei L∈ℒ 0 mit G=〈 N , ,P ,S 〉 Typ-0-Grammatik mit L= LG.
Simulation von G durch ∈TM :
Idee:
Neben Eingabewort Ableitungen von G simulieren und dann mit der Eingabe vergleichen.
1. Anfangsphase:
q 0 w b ├ *[w][S q G ]
=∪N ∪{b , [ , ]}
2. Simulationsphase
[w][ w g ]├ [w ][ q i ] mit = X 1 ... X n , Regel i: X 1 ... X n Y 1 ...Y m
X 1... X n ├ *[w][ q i ]
Erkennen linker Regelseite
├ [w][q i , Y 1... Y m]├ *[ w][ Y 1 ...Y m q G ]
Ersetzen durch rechte Regelseite
Ziel dieser Phase [w][v q g] mit v∈ *
3. Vergleichsphase
├ q [ ]b ...b[ ] mit Erkennung falls w=v.
Bei LBA: beide Bereiche übereinanderlegen, d.h. Paare als Bandzeichen.

Satz 7.2:
ℒ ,TM =ℒ , DTM
Beweisidee:
DTM durchsucht systematisch alle Berechnungsalternativen der TM.
Offenes Problem:
ℒ ,LBA ⊃?
⊇ ℒ , DLBA?
=?