Der Pantograph

Der Pantograph
Ausarbeitung des Vortrags im Rahmen des Seminars
”Mathematische Modelle”
bei Prof. Dr. Agricola
1 Einleitung
Wintersemester 2011/12
Michael Stett
Der Pantograph ist ein leicht zu bedienendes historisches Zeichengerät zum
Erstellen von verkleinerte bzw. vergrößerten Kopien von Abbildungen. Das
Wort Pantograph leitet sich aus dem Griechischen ab und bedeutet Allesschreiber
oder Alleszeichner. Er ist auch unter dem Namen Storchenschnabel
bekannt. Seine historischen Wurzeln reichen bis ins 17. Jahrhundert zurück.
Im Folgenden werden zunächst die Mathematischen Grundlagen vorgestellt,
bevor die Funktionsweise des Pantographen erklärt wird. Daran anschließend
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wird der aus dem Pantographen weiterentwickelte Plagiograph vorgestellt.
Zum Schluß folgen ein kurzer Abriss über die Geschichte des Pantographen.
2 Mathematische Grundlagen
EswurdeeinZugangüberdieanalytischeGeometriegewählt,dadiesGrundkenntnissesindaufdiealleSeminarteilnehmerzurückgreifenkönnen,während
die Elementargeometrie für die meisten sicher sehr weit zurück liegt, so dass
elementarggeometrische Argumentationen auf diese eher befremdlich wirken
könnten. Wir beginnen mit der Diskussion zentrischer Streckungen
Definition 1. Sei z ∈ R n und λ ∈ R\{0}. Die Zentrische Streckung mit
Zentrum z und Streckungsfaktor λ ist diejenige Abbildung Sz,λ : R n −→ R n ,
die einen Punkt p ∈ R n den durch −→ zq = λ· −→ zp eindeutig definierten Bildpunkt
q zurordnet.
λ· −→ zp = −→ zq
λ·(p−z) = (q −z)
Bemerkung 1. Aus der Definition lassen sich für ein festes z ∈ R n sofort
folgende Eigenschaften ableiten:
i) Sz,λ(z) = z
ii) Sz,λ −1 = S z, 1
λ
iii) Sz,λ ◦Sz,µ = Sz,λ·µ = Sz,µ·λ
iv) Sz,1 = id
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TrivialerweisegiltauchdieAssoziativitätfürdieHintereinanderausführung
dreier zentrischer Streckungen. Somit bilden die zentrischen Streckungen für
ein feste z ∈ R n eine abelsche Gruppe. Wir folgern einige weitere Abbildungseigenschaften
zentrischer Streckungen ohne Beweis.
Korollar 1. Seien z ∈ R n und λ ∈ R\{0} beliebig. Dann gilt:
1. Sei K ⊂ R n ein Kreis, so ist Sz,λ(K) ebenfalls ein Kreis.
2. Sei g ⊂ R n eine Gerade, so ist Sz,λ(g) eine zu g parallele Gerade.
3. Sei abc ⊂ R n ein Dreieck, so ist Sz,λ(abc) ein zu abc ähnliches Dreieck.
Für Dreiecke sind folgende Definitonen von Ähnlichkeit äquivalent.
Definition 2. Ähnliche Dreiecke
i) Zwei Dreiecke sind ähnlich zu einander, wenn einander entsprechende
Winkel gleich groß sind.
ii) Zwei Dreiecke sind ähnlich zu einander, wenn einander entsprechende
Seitenverhältnisse gleich groß sind.
Der Begriff der Ähnlichkeit ist dabei allerdings nicht nur für Dreiecke
reserviert. Er lässt sich auf beliebige Figuren erweitern.
Definition 3. Ähnlichkeitsabbidlungen
Eine Abbildung f : R n −→ R n heißt Ähnlichkeitsabbildung, falls ein λ ∈
R\{0} existiert, so dass ∀x,y ∈ R n : d(f(x),f(y)) = λ·d(x,y).
Zwei Figuren A,B sind genau dann ähnlich zueinander, falls es eine Ähnlichkeitsabbildung
f gibt mit: f(A) = B.
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Satz 1. Ähnlichkeitsabbildungen sind genau die Abbildungen f : R n −→ R n
der Form:
f(x) = A·x+b
mit b ∈ R n und A = λ·B, wobei λ ∈ R\{0} und B ∈ On(R).
(Dabei meint On(R) die Gruppe der orhtogonalen Matrizen.)
Beweis. Wir beweisen die Aussagen, indem wir auf Resultate der linearen
Algebra zurückgreifen. Wir wissen:
Eine Abbildung f : R n −→ R n heißt Isometrie (bzw. Kongruenzabbidlung
oder Bewegung), falls gilt:
d(f(x),f(y)) = d(x,y) (1)
Die Kongruenzabbildungen sind genau die Abbildungen f : R n −→ R n der
Form:
mit b ∈ R n und A ∈ On(R).
f(x) = A·x+b
Sei f nun wie im Satz definiert betrachte nun die Funktion g mit g = 1
λ ·f.
Dann gilt:
d(g(x),g(y)) = d( 1 1
f(x),
λ λ f(y))
= 1
λ ·d(f(x),f)y))
= 1
λ ·λ·d(x,y)
= d(x,y)
Somit ist g Isometrie. Dann muss f aber von der angegeben Form sein.
Die Aussage über die Form der Kongruenzabbildung mag trivial erscheinen.
Dass diese Vektorabbildungen abstandserhaltend sind folgt unmittelbar
ausderTatsache,dassorthogonaleAbb.bzw.MatrizendasSkalarproduktinvariant
lassen. Es erfordert aber schon ein wenig mehr Aufwand zu beweisen,
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dass auch nur diese und keine anderen Abbildungen dafür in Frage kommen.
Eine wichtige Folgerung aus dieser Tatsache ist, dass Kongruenzabbildungen
bijektiv sind. Dies sieht man der oberen Definition bei (1) im Beweis über
die abstandserhaltende Eigenschaft zunächst nicht an. Sie ist dieser aber
inhärent. Genauso folgt natürlich das auch Ähnlichkeitsabbildungen bijektiv
sind. Auch diese Tatsache ist zunächst nach Definition 3 nicht offensichtlich.
Wir schlagen die Brücke zurück zum Ähnlichkeitsbegriff der Dreiecke.
Korollar 2. Ähnlichkeitsabbildungen sind winkelerhaltend.
Beweis. Dies folgt unmittelbar aus der Definition des Cosinus über das Skalarprodukt.
Seien a,b ∈ R n , so gilt:
cos(∡(a,b)) = a·b
a·b
Der Faktor λ kürzt sich einfach raus.
Ähnlichkeitsabbildung sind allerdings keineswegs die einzigen winkelerhaltenden
Funktionen, sondern nur ein Spezialfall. Aus diesen Grund ist in
Definition 2 die Defintion über die Seitenverhältnisse die formal bessere Beschreibung.
Korollar 3. Zentrische Streckungen sind Ähnlichkeitsabbildungen.
Beweis. Sei Sz,λ zentrische Streckung, so gilt:
Sz,λ(x) = z +λ(x−z)
= λx+(1−λ)z
= λ·En ·x+(1−λ)z
Hierbei ist En die Einheitsmatrix und (1 − λ)z der Verschiebungsvektor b.
En ist neutrales Element in On(R).
Somit ist jede Ähnlichkeitsabbildung die Verknüpfung einer Isometrie mit
einer zentrischen Streckung.
Bevor wir uns nun mit der Funktionsweise des Pantographen beschäftigen
brauchen wir noch einen fundamentalen Satz der Elementar Geometrie.
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Satz 2. Strahlensatz
Seien G1 und G2 zwei sich in einem Punkt S schneidenden Geraden im R 2 .
Seinen H1 un H2 zwei parallele Geraden mit Schnittpunkten
Dann gilt:
Gi ∩H1 = {Pi} und Gi ∩H2 = {Qi} i = 1,2
|SP1|
|SQ1|
= |P1P2|
|Q1Q2|
= |SP2|
|SQ2|
Beweis. NachdertheoretischenVorarbeitsehenwir,dassdieDreieckeSP1P2
und SQ1Q2 ähnlich zueinander sind. Einander entsprechende Winkel sind
gleich.ManerhältSQ1Q2 ausSP1P2 durchzentrischeStreckungmitZentrum
S.
Dieser Zugang zum Strahlensatz ist aus axiomatischen Sichtweise eher
ungeeignet, da wir ihn quasi von oben erschlagen. Der Strahlensatz macht
elementare Aussagen über Geraden und Punkte und kommt letztlich ohne
den Begriff des Abstandes aus. Er braucht nur den Begriff der Streckenverhältnisse,
genau genommen benutzt er das Teilverhältniss. Damit gehört
er zu einem fundamentalen Satz der affinen Geometrie und lässt sich dort
auch ohne die hier verwendete Theorie beweisen. Wir haben ihn hier quasi
mit Gewalt als euklidischen Satz verkauft. Diese Sicht auf den Strahlensatz
hilft uns allerdings die Funktionsweise des Pantographen schneller einzusehen.
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3 Der Pantograph
Mit Hilfe des Pantographen ist es möglich Kopien von Vorlagen zuzeichnen
die zentrisch gestreckt zu dieser sind. Wir wollen nun anhand der Konstruktion
dieses Zeichengeräts verstehen, wie dies funktioniert. Wir betrachten dazu
die folgende schematische Abbildung:
Wenn man mit P die Konturen der Vorlage entlang fährt, zeichnet ein in Q
befestigter Stift eine Kopie, die ähnlich zu dieser ist. Hierbei bildet Z das
Zentrum der zentrischen Streckung. Der Pantograph wird an diesem Punkt
fixiert. Der Streckungsfaktor ergibt sich aus den Verhältniss von ZA zu ZC.
Der Faktor kann also über die Position von A auf der Strecke ZC reguliert
werden. Die Rollen von P als Fahrstift und Q als Zeichenstift können in dem
obendargestelltenFormdesPantographennatürlichnachBeliebengetauscht
werden.
Die Strecken AP und CQ sind parallel zu einander. Die Strecke BP dient
dazu die Parallelität zu fixieren. B ist immer so zu positionieren, dass das
Viereck APBC ein Parallelogramm bildet. Somit folgt die Funktionsweise
unmittelbar aus dem Strahlensatz. Man beachte, dass die Dreiecke ZAP,
ZCQ und PBQ ähnlich zueinander sind. In der Geschichte wurden verschieden
Methoden gefunden, die Parallelität, die eine wesentliche Voraussetzung
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des Strahlensatz darstellt, zu fixieren (s. 5 Geschichte des Pantographen).
Wir betrachten nun noch zwei Spezialfälle für die Hintereinanderausführung
von zentrischen Streckungen im R 2 .
Bemerkung 2. Hintereinanderausführung in der Ebene R 2
1. Seien Sz1,λ und Sz2,µ zwei zentrische Streckungen mit µ·λ = 1, so ist
Sz1,λ ◦Sz2,µ eine Translation um (1−λ)· −−→
z1z2.
2. Sz,−1 ist die Punktspiegelung an z. Es gilt:
Sz,−1(x) = 2z −x
= z +(z −x)
= z + −→ xz
Der Punktspiegelung an z entspricht die Drehung um π mit Drehzentrum
z. Die Verknüpfung zweier Punktspiegelungen ist eine Translation
um −−→ z1z2.
Im allgemeinen ist die Verknüpfung zweier beliebiger zentrischer Streckungen
wieder eine zentrische Streckung. Der Vollständigkeit wegen sei
erwähnt das Translationen und zentrische Streckungen eine nicht abelsche
Gruppe von Transformationen des R 2 bilden. Wir gehen dieser Tatsache allerdings
hier nicht weiter nach. Eine ausführliche Diskussion findet sich in
[2]. Wir können also mit dem Pantographen nicht nur zentrische Streckungen,
sondern theoretisch bei richtiger Handhabung sogar Punktspiegelungen
und Translationen durchführen. Für letztere erweist sich der Pantograph allerdings
als eher unpraktisch. Da zwei Operationen durchzuführen sind. Die
Punktspieglung als spezielle Drehung führt uns zu einer Weiterentwicklung
des Pantographen: den Plagiograph.
4 Der Plagiograph
Mit Hilfe des Palgiographen ist es möglich Kopien zuzeichnen, die um einen
beliebigen Winkel zur Vorlage gedreht sind. Man erhält ihn ganz einfach aus
dem oben dargestellten Pantorgraphen, der auf das Verhältniss 2:1 eingestellt
ist. A also genau in der Mitte von Z und C ist. Nun werden in A und
B Gelenke anbracht und der Fixpunkt in Punkt C gelegt. Zusätzlich werden
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Z und Q mit einander verbunden.
Wir benennen die Punkte ihrer Funktion entsprechend um:
Z ist fixiert. Fährt man nun mit P die Konturen der Vorlage entlang, so
zeichnet ein in Q befestigter Stift eine um Z um den Winkel α gedrehte
Kopie. Das Eigenartige ist nun, dass α selbst nicht als Winkel in der Konstruktion
vor kommt. Die gestrichelten Kanten ZP und ZQ sind nicht Teil
des Plagiographen. Der Trick liegt in Winkel β. Dieser ist genauso groß wie
α.
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Beweis. Wir stellen zunächst fest, dass das Dreieck APZ gleichschenklig ist.
Seine Basiswinkel sind also gleich groß. Wir betrachten folgende Skizze.
Da die Winkelsumme im Dreieck π beträgt, gilt:
2γ +β +δ = π
Bei dem Viereck AZBC handelt es sich nach Konstruktion um eine Raute.
Gegenüberliegende Winkel sind somit gleich groß. Somit ist der Winkel in B
genauso groß wie δ. Der Winkel ∡(QZB) ist genauso groß wie γ. Schließlich
ist der Winkel in Z genauso groß wie in C. Da die Winkelsumme in einem
Viereck 2π beträgt, gilt hier also:
Mit der oberen Gleichung folgt also:
4γ +2α+2δ = 2π
⇔ 2γ +α+δ = π
α = β
Der Drehwinkel wird also durch den Winkel in A (bzw.B) definiert. Da
die beiden Schenkel AP und AC gleichgroß sind, ist der Winkel abhängig von
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der Länge der Seite PC. Er lässt sich also durch |AP| einstellen und fixieren.
groß. Nach dem Sinussatz gilt dann:
Die beiden Basiswinkel sind π−α
2
|PC| = sin(α)
·|AP|
)
sin( π−α
2
Dabei ist |AP| fix. Man beachte, dass die Dreiecke APC,BQC und PZQ
wiederum ähnlich zueinander sind.
Kombiniert man Pantograph und Plagiograph erhält man den Plagiopantograph.
Mit diesem Zeichengerät ist es dann möglich Drehungen bei gleichzeitiger
zentrischer Streckung durchzuführen. Man erhält ihn ebenso wie den
Plagiorgraphen aus einem Pantographen, allerdings aus der so genannten
Mailänderform (s.u.).
5 Geschichte des Pantographen
Es folgen ein paar historische Bemerkungen zur Entstehung und Weiterentwicklung
des Pantographen. Die Geschichte wird dabei anhand einiger ausgewählter
Persönnlichkeiten und ihrer Version des Zeichengeräts kurz umrissen.
Abbildung zu den einzelnen Geräten finden sich im Anhang.
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Christoph Scheiner (1575 - 1650)
Er gilt offiziell als der Erfinder des Pantographen. Dabei war er nicht der
erste der darüber publizierte. Scheiner war Jesuitenpater und beschäftigte
sich u.a. mit Astronomie. Er konstruierte besondere Fernrohre zur Sonnenbeobachtung
und entdeckte unabh. von Galileo und angeblich vor diesen die
Sonnenflecken. Dies führte zu einem hitzigen Briefwechsel zwischen beiden,
um die Frage, wer der Erste war. Heute gilt Scheiner als Mitentdecker. Des
Weiteren beschäftigte sich Scheiner intensiv mit der Erforschung der Netzhaut.
Benjamin Bramer (1588 - 1650)
Der Instrumentenbauer Bramer zählt zu den Ersten, die über den Pantographen
schrieben. Sein ”Parallelinstrumen“ unterscheidet sich von Scheiners
dadurch, dass es aus zwei parallel verlaufenden Schienen besteht (s.Abb. 2).
Das Prinzip bleibt aber das gleiche. Neben seinen Interessen in Geodäsie,
Kunst, Architekur und Mathematik war er auch für eine kurze Zeit Baumeister
am Marburger Schloß.
Daniel Schwenter (1585 - 1638)
Auf Schwenter geht die Mailänderform der Pantographen zurück. Es ist unklar,
woher die Bezeichung kommt. Sie hat sich aber im Laufe der Geschichte
etabliert. Das Gerät stellt ein großes Parallelogramm dar mit einer zusätzlichen
Schienen in der Mitte, durch die der Streckungsfaktor eingestellt wird
(s. Abb.3)
Georg Adams (1750 - 1795)
Adams konstruierte wissenschaftliche Instrumente aller Art, u.a. eine VerbesserungdesScheiner’schenPantorgaphenmitRollenzuleichterenHandhabungdurchReibungsverlustundmiteinerFadenkonstruktion,dieesermöglicht
bei Anheben des Fahrstifts gleichzeitig den Zeichenstift zu heben (s. Abb.4)
William Wallace (1768 - 1843)
Wallace entwickelte einen ganz eigene Typ des Pantographen, den Eidographen.
Zwei Stangen sind über eine dritte an einem Drehteller befestigt und so
mit einem Faden verbunden, dass sie parallel zueinander sind (s. Abb.5). Das
Funktionsprinzip bleibt das gleiche. Wallace konstruierte eine Reihe weitere
Geräte, wie z.B einen Elliptographen zum Zeichnen von Ellipsen. Angefan-
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gen als Autodidakt schafft er es zum Professor in Edinburgh, wo er sich vor
allem der Geometrie und Astronomie widmete.
James Joseph Sylvester1814 - 1897)
Sylvester kennt man eher aus dem Bereich der Algebra und Matrizentheorie.
Er beschäftigte sich allerdings auch mit dem Pantographen und erfand den
Plagiographen, wie er oben beschrieben ist. Abbildung 6 zeigt nochmals eine
andere Version, in dem die Winkel direkt einstellbar sind.
Gottlieb Coradi(1847 - 1929)
Der Präzisionsmechaniker entwickelte neben zahlreichen mathematischen Instrumenten,
wie Planimeter und Integraphen, einen frei schwebenden Pantographen,
mit dessen Hilfe sich Zeichnungen einfacher und präziser Zeichnen
lieen. Die Grundform ist hierbei der Mailänder-Pantograph. Das Gerät
verfügt ebenfalls über eine Vorrichtung zum Anheben des Zeichenstiftes. An
dieser Konstruktion wurde seitdem festgehalten und nur wenig verändert.
Pantographen dieser Art wurden noch weit bis ins 20. Jahrhundert hinein
genutzt. Abbildung 8 zeigt einen Praezisionspantograph um 1950 herum, er
unterscheidet sich kaum von dem in Abbildung 7 von Coradi.
6 Anhang
Die Abbildungen sind alle, einschließlich der im Titel, dem Buch [1] von M.
Goebel entnommen. Die geometrischen Zeichnungen wurden mit EUKLID
DynaGeo angefertigt.
Literatur
[1] Der Pantograph in historischen Veröffentlichungen des 17. bis 19. Jahrhunderts,
Manfred Goebel, Elvira Malitte, Karin Richter, Heike Schlosser,
Silvia Schneburg, Rolf Sommer; 2003. 1.Auflage. Universität Halle-
Wittenberg
[2] Elementorgeometrie, Ilka Agricola, Thomas Friedrich; 2009. 2.Auflage,
Wiesbaden: Vieweg+Teubner
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Abbildung 1: Der Urpantograph nach Christoph Scheiner (1631)
[3] Göttliche Geistesblitze: Pfarrer und Priester als Erfinder und Entdecker,
Eckart Roloff; 2010. 1.Auflage. Wiley-VCH Verlag GmbH und Co. KGaA
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Abbildung 2: Das Parallelinstrument von Bejamin Bramer (1617)
Abbildung 3: Die Mailänder-Form des Pantographen, Daniel Schwenter
(1617/18)
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Abbildung 4: Ein Pantograph mit Hilfsfaden zur Anhebung des Zeichenstifts,
George Adams(1750)
Abbildung 5: Der Eidograph von William Wallace (1831)
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Abbildung 6: Der Palgiograph von James Joseph Sylvester (1875)
Abbildung 7: Der schwebende Pantograph von Gottlieb Coradi (1877)
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Abbildung 8: Ein moderner Präezisionspantograph(um 1950)
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