Einige Gedanken über Wurfparabeln - Staffelsee-Gymnasium Murnau

Einige Gedanken über Wurfparabeln
Wolfgang Heine, Mai 2011
Sebastian und Thomas spielen gerne Fußball und wollen wissen, welche Schussmöglichkeiten es gibt,
um einen bestimmten Punkt zu treffen. Außerdem möchten sie herausbekommen, unter welchem
Winkel zur Horizontalen man abschießen muss, um möglichst weit zu kommen. Im Physikunterricht
haben sie von den Untersuchungen von Galileo Galilei (1564-1642) über die Gesetze des freien Falls
und die Parabelbewegung von Wurfgeschossen gehört. Sie versuchen ihre Fragen mit Hilfe der
Schulmathematik zu lösen und verwenden dazu ihre Formelsammlungen. Da das Problem recht
schwierig wird, wenn man die Luftreibung mit einbezieht, wollen sie diese vernachlässigen, wie das in
der Schule üblich ist.
Herleitung der Parabelfunktion
Zunächst legen sie einen als punktförmig gedachten Ball in den Ursprung eines rechtwinkligen
Koordinatensystems mit der x-Achse nach rechts und der y-Achse nach oben. Der Winkel sei der
Abschusswinkel mit gegenüber der Horizontalen, sei der Betrag der
Anfangsgeschwindigkeit mit den Komponenten
Mit den Bewegungsgleichungen
Um von der Zeit unabhängig zu sein, wird t eliminiert.
Einsetzen von (4) in (3b) ergibt eine Funktion der Höhe y in Abhängigkeit von x:

Aus dem Unterricht wissen sie, dass eine Funktion der Art mit eine nach unten
geöffnete Parabel darstellt, deren Nullstellen man durch Ausklammern von x erhält.
ist die Abschussstelle,
gibt die Auftreffstelle des Balls an.
Die beiden erinnern sich an eine Formel in ihrer Formelsammlung, nämlich
mit dieser kann man die Auftreffstelle in der Form angeben:
Thomas und Sebastian überlegen sich, was die Formel bedeutet. Die Fallbeschleunigung im Nenner
sagt ihnen, dass sie am Äquator weiter schießen können als bei uns, denn dort ist g etwas kleiner. Dass
die Anfangsgeschwindigkeit quadratisch in die Formel eingeht, bedeutet, dass bei doppelter
Abschussgeschwindigkeit der Ball theoretisch viermal so weit fliegt.
Maximale Flugweite
Um die Frage mach der maximalen Flugweite in Abhängigkeit von zu klären, leiten sie die
Nullstellenfunktion nach ab und vergessen dabei das Nachdifferenzieren nicht:
Um das Extremum zu finden, prüfen sie, für welche Winkel mit der Ausdruck null wird.
Als einziger Faktor kommt nur in Frage. Also muss sein. Der Nachweis dafür,
dass es sich um ein Maximum handelt, überlassen sie euch Lesern.
.

Scheitelhöhe
Nun wollen sie aber zuerst die Frage beantworten, wie hoch der Ball in Abhängigkeit vom
Abschusswinkel steigt. Da der x-Wert des Scheitels der Parabel in der Mitte zwischen den
Nullstellen liegen muss, gilt
(7b) in die Parabelgleichung (5) eingesetzt, ergibt die Scheitelhöhe zu
Damit haben sie den Scheitel ermittelt:
Als Sonderfall für erhalten sie wegen und
Die maximale Flugweite ist also in diesem Fall
Die Einfachheit des Ergebnisses verblüfft. Im Unterricht haben sie beim senkrechten Wurf die Formel
bzw.
kennengelernt. So ist beim Abschuss unter 45° die Flugweite des Balls viermal so groß wie die
Flughöhe, weil , und doppelt so groß wie die Flughöhe beim senkrechten Wurf.

Um die Flugbahnen darzustellen, geben Thomas und Sebastian die Daten in das bekannte Programm
Mathematica ein und erhalten folgende Graphik:
Wurfparabeln
v0 25; angenommene Anfangsgeschwindigkeit
g 9.81; Fallbeschleunigung
x t_, _ : v0 t Cos ;
y t_, _ : v0 Sin t
g
2
t 2
Wurfparabeln
rad _ : 180; Winkelumrechnung
h
t0
v0 2
; Flughöhe beim senkrechtem Wurf
2 g
2 v0
; Flugdauer beim senkrechtem Wurf
g
tabelle1 Table x t, rad , y t, rad , , 5, 45, 5 ;
tabelle3 Table x t, rad , y t, rad , , 50, 85, 5 ;
graf1 ParametricPlot Evaluate Table tabelle1 , t, 0, t0 ;
graf2 ParametricPlot x t, rad 45 , y t, rad 45 , t, 0, t0 ,
PlotStyle RGBColor 0, 0, 1 ;
graf3 ParametricPlot Evaluate Table tabelle3 , t, 0, t0 ;
Show graf1, graf2, graf3, AspectRatio 0.4, PlotRange 0, 2 h ,
0, h , AxesLabel "x", "y" ;
30
25
20
15
10
5
y
10 20 30 40 50 60
Deutlich ist darin zu erkennen, dass die Winkel, die zur gleichen Flugweite gehören, sich jeweils zu
90° ergänzen, also z.B. und ist, woraus man schließen kann,
dass eine Symmetrie zum 45°-Winkel existiert. Die 45°-Bahn ist blau dargestellt.
x

Ortslinie der Scheitel
Die beiden Freunde markieren mit einem Farbstift die Scheitelpunkte aller gezeichneten Parabeln und
entdecken eine neue Besonderheit: Alle Markierungspunkte scheinen auf einer Ellipse mit dem
Mittelpunkt
Halbachse
zu liegen, wobei ihre große Halbachse
ist und ihre kleine
. Diese Werte kennen sie vom Scheitel . Diese Vermutung wollen sie nun
durch eine Rechnung bestätigen. Dazu nehmen sie sich wieder eine Formelsammlung vor und finden
die Gleichung einer Ellipse mit dem Mittelpunkt
In diesem Fall ist und
Halbachsen wird der Scheitel aus (9a)
zu
. Unter Verwendung der Abkürzungen für die vermuteten
Da Thomas und Sebastian im Mathematikunterricht gut aufgepasst haben, finden sie eine günstige
Formel zur weiteren Umformung, bevor sie die Koordinaten in die Ellipsengleichung einsetzen.
Der Scheitel kann nun in der Form
Diese Werte setzen sie in die Gleichung ein und erhalten nach der bekannten Formel
Damit hat sich ihre Vermutung bestätigt, was sie in einer weiteren Mathematica-Graphik darstellen.
Parabeln mit Ortslinie der Scheitel
.

v0 25; Anfangsgeschwindigkeit
g 9.81; Fallbeschleunigung
x t_, _ : v0 t Cos ;
y t_, _ : v0 Sin t
g
2
t 2
Wurfparabeln
rad _ : 180; Winkelumrechnung in' s Bogenmaß
a
v0 2
;
2 g
Große Halbachse
b a 2; Kleine Halbachse
t0
2 v0
g
; Flugdauer beim senkrechtem Wurf
tabelle1 Table x t, rad , y t, rad , , 5, 45, 5 ; Untere Schar
tabelle3 Table x t, rad , y t, rad , , 50, 85, 5 ; Obere Schar
tabelle4 Table a Sin rad 2 , a Sin rad
2 , , 0, 90, 5 ; Scheitelpunkte
graf1 ParametricPlot Evaluate Table tabelle1 , t, 0, t0 ; Untere Schar
graf2 ParametricPlot x t, rad 45 , y t, rad 45 , t, 0, t0 , PlotStyle RGBColor 0, 0, 1 ;
graf3 ParametricPlot Evaluate Table tabelle3 , t, 0, t0 ; Obere Schar
graf4 Graphics Point tabelle4 ; Scheitelpunkte
graf5 ParametricPlot a Sin rad 2 , a Sin rad
PlotStyle RGBColor 1, 0, 0 ; Ellipse
2 , , 0, 90 ,
Show graf1, graf2, graf3, graf4, graf5, AspectRatio 0.4, PlotRange 0, 2 a ,
0, 2 b , AxesLabel "x", "y" ; alle zusammen zeigen
30
25
20
15
10
5
y
10 20 30 40 50 60
Die Darstellung zeigt die Parabelschar für Winkel von bis , Schrittweite 5°. Die Punkte
geben die Orte der Scheitel wieder. Sie liegen auf dem roten Ellipsenbogen.
x

Sebastian betrachtet die Graphik und bemerkt, dass aus Symmetriegründen die y-Werte
übereinanderliegender Scheitel zusammen genauso groß sind, wie die Steighöhe beim senkrechten
Wurf.
Thomas zieht eine rechnerische Überprüfung vor.
Unter Verwendung der Formeln und (7b) bestätigt
er sofort die Gleichheit der Scheitelabszissen für α und 90°- α.
Nun addiert er die y-Werte und beweist damit Sebastians Entdeckung.
Flugzeiten
Von Interesse ist beim Fußballspiel auch die Flugzeit für die jeweilige Bahn. Ein hoher Schuss
benötigt natürlich mehr Zeit als ein flacherer zum selben Zielpunkt. Beim senkrechten Wurf haben die
beiden gelernt, dass man die Gleichung (3b) mit α = 90°
für y = 0 lösen muss. Die erste Lösung t = 0 ist die Startzeit, die zweite Lösung
ist die Gesamtdauer des senkrechten Flugs.
Für zwei Bahnen mit derselben Scheitelabszisse xs arbeiten sie mit(3b) entsprechend:
Wieder erhalten sie t1 = 0 als erste Lösung, aber
als Gesamtdauer. Sie überlegen den Zusammenhang der Flugdauer für die Winkel α und 90°-α:
Diese beiden Ausdrücke bringt sie auf die Idee, die Flugzeiten durch
Quadrieren von (13), (14) und (15) miteinander in Verbindung zu bringen. Es ergibt sich

Thomas jubelt: „Pythagoras im Fußballspiel versteckt! Das lässt sich geometrisch darstellen.“
Rasch zeigt er Sebastian anhand einer Skizze, wie man zu jedem Winkel die Zeiten geometrisch
ermitteln kann.
Zusammenfassung
Ihre Ergebnisse halten sie in einer kurzen Zusammenfassung fest, weil sie diese möglicherweise für
ein Referat brauchen.
Die Abschusswinkel zum selben Auftreffpunkt ergänzen sich zu 90°
Beim Abschuss unter 45° erreicht der Ball seine maximale Flugweite.
o Sie beträgt das 4-fache der Scheitelhöhe
o Sie beträgt das Doppelte der Flughöhe beim senkrechten Wurf
Alle Scheitelpunkte liegen auf einer Ellipse mit dem Mittelpunkt M(0 / b)
o Die Halbachsen a und b stehen im Verhältnis 2 zu 1
o a ist so groß wie die halbe Flugweite beim 45°-Schuss
o b ist so groß wie die Scheitelhöhe beim 45°-Schuss
o b ist halb so groß wie Flughöhe beim senkrechten Wurf
Die Flugzeiten für α und 90°- α können als Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks mit der
Hypotenuse 2v0/g dargestellt werden.