Formelsammlung TM I/II

Lehrstuhl für Angewandte Mechanik Technische Mechanik I/II 1 

Mathematik 

0 π 

6 (30◦ ) π 

4 (45◦ ) π 

3 (60◦ √ 

2 

) 

√ 

3 

π 

√2 3 

√2 2 

2 

1 

√2 3 

3 

2 

1 

2 

sin 0 1 

cos 1 

tan 0 

Statisches Gleichgewicht 

Formelsammlung TM I/II 

2 (90◦ ) 

1 

0 

√ 

3 ±∞ 

sin 2 α + cos 2 α = 1 

sin α 

tan α = 

cos α 

sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β 

cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β 

� 

F i = 0 und � 

rOi × F i + � 

M j = 0 

i 

Statische Bestimmtheit im ebenen und räumlichen Fall 

Allgemein 

f = 

� � 

3 

6 

i − 

j� 

n=1 

wn 

i 

⎛ 

⎞ 

i Anzahl der Körper 

⎜ 

⎟ 

⎝ j Anzahl der Lager 

⎠ 

wn Wertigkeit des n-ten Lagers 

f = 0: Notwendige (aber nicht hinreichende) Bedingung für statische und kinematische Bestimmtheit 

f < 0: System isf |f|-fach statisch unbestimmt 

f > 0: System isf |f|-fach statisch unterbestimmt 

Stabwerk 

Schwerpunkt 

Allgemein 

wn = 

s = 

� � 

2 

3 

� � 

2 

3 

(s − 1) (s : Anzahl der verbundenen Stäbe) 

k − r 

⎛ 

⎝ 

Massenschwerpunkt: rOS = 1 

Flächenschwerpunkt: rOS = 1 

s: Anzahl der Stäbe 

k: Anzahl der Knoten 

r: Anzahl der Auflagerkräfte 

� 

mges 

m 

� 

Ages 

A 

j 

rOidmi ⇒ rOS = 

rOidAi ⇒ rOS = 

⎞ 

⎠ 

� 

i 

� 

i 

rOimi 

� 

i 

mi 

rOi Ai 

� 

Ai 

i


Schwerpunkte spezieller Körper 

Ebene Körper 

Beliebiges 

Dreieck 

Kreissegment 

Räumliche Körper 

(schiefe) 

Kegel, 

Pyramide 

Guldinsche Regeln 

Balkenstatik 

Schnittgrößen 

� 

N(x) = − 

x 

0 

x 

� 

Q(x) = − 

M(x) = 

�x 

0 

0 

Föppl-Symbol 

qx(¯x)d¯x − � 

qz(¯x)d¯x − � 

i 

i 

ys = 1 

3 h 

A = 1 

a h 

2 

ys = 2 sin α 

r 

3 α 

A = α r 2 

ys = 1 

4 h 

V = 1 

G h 

3 

Trapez 

Halbkreis 

Halbkugel 

A = 2πxSL V = 2πxSA 

Fi,x〈x − xi〉 0 

Fi,z〈x − xi〉 0 

Q(¯x)d¯x − � 

Mj〈x − xj〉 0 

Definition: 〈x − a〉 0 = 

Integration: 

j 

� 

� 

1 für x ≥ a 

0 für x < a 

〈x − a〉 n = 

〈x − a〉 n dx = 1 

〈x − a〉n+1 

n + 1 

� 

� 

� 

(x − a) n für x ≥ a 

0 für x < a 

� 

ys = 1 a + 2b 

h 

3 a + b 

A = 1 

h (a + b) 

2 

ys = 4 

3 

r 

π 

A = 1 

π r2 

2 

ys = 3 

8 r 

V = 2 

π r3 

3


Reibung 

Coulomb 

Haften: −µ0FN ≤ FR ≤ µ0FN 

Klotz gleitet nach rechts: FR = −µFN 

Klotz gleitet nach links: FR = µFN 

Seilreibung 

Haften: e −µ0ϕ ≤ F1 

F2 

≤ e µ0ϕ 

Seil gleitet im Uhrzeigersinn: F2 = F1e µϕ 

Seil gleitet gegen den Uhrzeigersinn: F2 = F1e −µϕ 

Seilstatik 

Allgemein 

Kettenlinie 

FS = [H0, V (x)]; 

y(x) = H0 

p0 

FS = p0y 

Straff gespanntes Seil 

dy 

dx 

cosh p0 

x 

H0 

V (x) 

= ; 

H0 

dy 

q0 

≪ 1; y(x) = x 

dx 2H0 

2 + C1x + C0 

Virtuelle Arbeit 

d2y q(x) 

= 

dx2 H0 

GGW: δW = � 

Fiδri + � 

MjδΦj = 0 

i 

j


Spannungen 

Umrechnungsformeln 

σξ = σx + σy 

2 

ση = σx + σy 

2 

τξη = − σx − σy 

2 

Kesselformen 

�� 

� 

+ σx − σy 

2 

− σx − σy 

2 

cos(2ϕ) + τxy sin(2ϕ) 

cos(2ϕ) − τxy sin(2ϕ) 

sin(2ϕ) + τxy cos(2ϕ) 

�� 

Mohrscher Spannungskreis 

σ1,2 = σx + σy 

2 

± 

tan(2ϕ ∗ 2 τxy 

) = 

σx − σy 

� 

�σx 

− σy 

τmax = ± 

2 

tan(2ϕ ∗∗ ) = − σx − σy 

2τxy 

Dehnungen 

� 

� 

� �σx − σy 

� 2 

2 

+ τ 2 xy 

� 

� 2 

σx = 1 

2 ∆pr 

t 

σϕ = ∆p r 

t 

+ τ 2 xy 

ϕ ∗∗ = ϕ ∗ + 45 ◦ 

εx = 1 

E (σx − ν(σy + σz)) + αT ∆T 

εy = 1 

E (σy − ν(σz + σx)) + αT ∆T 

εz = 1 

E (σz − ν(σx + σy)) + αT ∆T 

γxy = 1 

G τxy; γyz = 1 

G τyz; γzx = 1 

E = 2G(1 + ν) 

G τzx 

� 

�� 

� � 

�� 

� 

� �� 

�� 

� �� 

� 

� 

� 

� � 

� �� 

� � 

σϕ = 1 

2 ∆pr 

t 

σt = σϕ 

�


Zug und Druck 

σ(x) = N(x) 

A(x) 

EAu ′ (x) = N(x) 

∆l = u(l) − u(0) 

Sonderfall: N 

A 

Biegung 

= const ⇒ ∆l = Nl 

EA 

Flächenträgheitsmomente 

� 

Iy = 

� 

Iyz = 

Rechteck � 

Kreis � 

Ellipse 

z 2 � 

dA Iz = 

y 2 dA 

yzdA Ip = Iy + Iz 

� 

� 

� 

� 

� 

Ebene Biegung 

� 

Schiefe Biegung 

� 

� 

� 

� 

� 

Iy = bh3 

12 

Iz = hb3 

12 

Iy = πR4 

4 

Iz = Iy 

σx(y, z) = My(x) 

z 

� 

Iy 

EIw ′′ (x) = −My(x) 

σx(y, z) = − Mz 

Iy = π 

4 ab3 

Iz = π 

4 ba3 

Iz 

I¯y = Iy + a 2 A 

I¯z = Iz + b 2 A 

Iyz ¯ = Iyz + abA 

Dreieck 

Dünner 

Kreisring 

Halbkreis 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

�� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

�� 

� 

�� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

Iy = bh3 

36 

Iz = bh 

36 (b2 − ba + a 2 ) 

Iy = πR 3 mt 

Iz = Iy 

Iy = R4 

72π (9π2 − 64) 

Iz = πR4 

8 

�� y + My 

z; EIw 

Iy 

′′ (x) = −My(x); EIv ′′ (x) = Mz(x) 

�


Randbedingungen 

Einfluss der Schubspannungen 

Symmetrische Vollquerschnitte 

τ(x, z) = − Qz(x) 

Iyb(z) Sy(z) 

�z 

Sy(z) = zdA = Ā¯zS 

−a 

Dünnwandige offene Profile 

Torsion 

τ(x, s) = − Qz(x) 

Iyt(s) Sy(s) 

�s 

Sy(s) = zt(s)ds 

0 

� 

�� 

�� 

� 

�� 

�� 

Schubmittelpunkt: ySMQz = 

Kreis(ring)querschnitte 

τ(x, r) = MT (x) 

r 

Ip 

ϑ ′ (x) = MT (x) 

GIp 

Ip = π 

2 (R4 a − R 4 i ) 

� 

�� 

�’ 

�� 

�� 

�� 

�� 

�� 

�se 

0 

�� 

�� 

�� 

� 

�� 

�� 

�� 

�� 

�� 

� 

�� 

e T x (r(s) × τ(s))t(s)ds 

� 

� 

� 

� 

� 

�� 

� 

� 

� 

�� 

� 

�� 

�


Dünnwandige geschlossene Profile 

τ(x, s) = MT (x) 

2Amt(s) 

ϑ ′ (x) = MT (x) 

GIT 

IT = 4A2m � 

ds 

t(s) 

Dünnwandige offene Profile 

τ(x, s) = MT (x) 

t(s) 

IT 

ϑ ′ (x) = MT (x) 

GIT 

IT = 1 

� 

t 

3 

3 (s)ds 

Torsionsträgheitsmomente 

Dünner 

Kreisring 

� 

�� Aus schmalen Rechtecken 

zusammengesetzte Profile 

� 

� 

�� 

� 

� 

IT = 2πR 3 m t 

� � 

� 

� 

� 

� 

Schmales 

Rechteck 

IT = 1 � 

hit 

3 

3 i 

� 

� 

� 

�� 

� 

� 

� 

� 

�� IT = 1 

3 ht3


Knickung 

Energiemethoden 

Formänderungsenergien 

VN = 1 

2 

Satz von Castigliano 

Satz von Menabrea 

�l 

0 

N 2 

EA dx; VB = 1 

2 

�l 

0 

Vges = VN + VB + VT 

∂Vges 

∂Fi 

∂Vges 

∂FRi 

= wi; 

= 0; 

M 2 b 

EI dx; VT = 1 

2 

∂Vges 

∂Mi 

∂Vges 

= αi 

= 0 

∂MRi 

�l 

0 

M 2 T 

dx; 

GIp

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