Computational Complexity - Universität zu Lübeck

Andreas Jakoby 

Universität zu Lübeck 

5 Die polynomielle Platzklasse 

Computational Complexity SS 08 

9. Vorlesung, 09.06.2008 

Wie wir aus den Sätzen 33 und 34 ableiten können, fallen deterministischer 

polynomieller Platz, nichtdeterministischer polynomieller Platz und 

co-nichtdeterministischer polynomieller Platz in der Klasse PSPACE 

zusammen. Wir wollen nun im Folgenden ein paar vollständige Probleme 

für PSPACE vorstellen. Wir betrachten in diesem Kapitel logspace bzw. 

polynomialzeit Many-One-Reduktionen. 

5.1 Quantifizierte Boolesche Formeln 

Definition 41 Quantifizierten Booleschen Formeln [QBF] 

Eine Quantifizierte Boolesche Formel QBF ist ein Ausdruck der Form 

E := Q1x1 Q2x2 . . . Qmxm : F (x1, x2, . . . , xm) 

wobei Q1, . . . , Qm ∈ {∃, ∀} die Quantoren des Ausdrucks sind und 

F (x1, x2, . . . , xm) eine Boolesche Formel in den Variablen x1, x2, . . . , xm 

ist. 

241



Definition 41 (Teil 2) Sei nun 

E0 := Q2x2 . . . Qmxm : F (0, x2, . . . , xm) 

E1 := Q2x2 . . . Qmxm : F (1, x2, . . . , xm) . 

E heißt wahr, falls einer der folgenden Fälle zutrifft 

◮ m = 0 und F ≡ 1 

◮ Q1 = ∃ und E0 oder E1 sind wahr 

◮ Q1 = ∀ und E0 und E1 sind wahr. 


9. Vorlesung, 09.06.2008 

Definiere QBF:= { E | E ist eine wahre QBF } . 

Als QBF Problem bezeichnen wir folgende Aufgabenstellung: Auf 

Eingabe einer Quantifizierte Boolesche Formel E eintscheide, ob E wahr 

ist, d.h. E ∈ QBF. 

242



Satz 37 QBF ist PSPACE-vollständig. 

Beweis von Satz 37 (Teil 1) Um zu zeigen, dass QBF von einer 

polynomiell platzbeschränkten Turing Maschine gelöst werden kann, 

verwenden wir das folgende rekursive Verfahren: 

Algorithmus Evaluate(E) 

Eingabe: QBF E = Q1x1 Q2x2 . . . Qmxm : F (x1, x2, . . . , xm) 

Ergebnis: Wert von E 

1: berechne E0 = Q2x2 . . . Qmxm : F (0, x2, . . . , xm) 

2: berechne E1 = Q2x2 . . . Qmxm : F (1, x2, . . . , xm) 

3: if E hat mindestens einen Quantor then 

4: v0 := Evaluate(E0) 

5: v1 := Evaluate(E1) 

6: if Q1 = ∃ then v := v0 ∨ v1 end if 

7: if Q1 = ∀ then v := v0 ∧ v1 end if 

8: else setze v auf den Wert von E end if 

9: Return(v) 

Für den Platzbedarf dieses Verfahrens gilt: 

S(m) := S(m − 1) + O(|E|) = O(m · |E|) ≤ O(|E| 2 ) . 


9. Vorlesung, 09.06.2008 

243




9. Vorlesung, 09.06.2008 

Beweis von Satz 37 (Teil 2) Für eine Sprachen L ∈ PSPACE und eine 

Polynom p sei M eine p-platzbeschränkte 1-Band DTM, welche die 

Sprache L akzeptiert. 

◮ Beachte, dass für eine Konstante c ∈ N und T := 2 c·p die DTM M 

T -zeitbeschränkt ist. 

◮ Für die Reduktion betrachten wir die Berechnungsmatrix der DTM 

M auf eine Eingabe x. 

244



Beweis von Satz 37 (Teil 3) 


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Definition 42 Sei M eine T -zeit- und S-platzbeschränkten 1-Band TM. 

Eine Berechnungsmatrix von M auf Eingabe w ist eine (t + 1) × s-Matrix 

mit t = T (|w|) und s = S(|w|). 

V = (vi,j) i∈[0,t],j∈[1,s] 

◮ V beschreibt eine der möglichen Berechnungen von M auf w. 

◮ Die Einträge vi,j sind Elemente aus dem Alphabet (Σ × Q) ∪ Σ. 

◮ Die i-te Zeile repräsentiert die i-te Konfiguration von M, dass heißt 

eine Konfiguration die M nach genau i Berechnungschritten 

annehmen kann. 

◮ Die j-te Spalte repräsentiert die Beschriftung der j-ten Zelle im 

Verlauf der Berechnung. 

◮ Falls der Kopf zur Zeit i auf der Zelle j steht, so wird in vi,j 

zusätzlich der aktuelle Zustand q gespeichert, d. h. vi,j = (σ, q). 

245



Beweis von Satz 37 (Teil 4) Zur Vereinfachung gelte: 

◮ M startet im Zustand q0. 

◮ Auf Eingaben x der Länge n ist das Band zu Anfang mit 

x1 . . . xnβ . . . β beschriftet. 

◮ Akzeptiert M, so befindet sie sich im Zustand qa in der 

Ausgangsposition, und das Band ist leer. 


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◮ M überschreitet bei einer Berechnung nicht die Ausgangsposition. 

246




9. Vorlesung, 09.06.2008 

Beweis von Satz 37 (Teil 5) Wir betrachten die (T (|x|) + 1) × p(|x|)-Berechnungsmatrix 

V von M auf eine Eingabe x. 

◮ Eine Zeile von V kann mittels Boolescher Variablen 

Y = { y[j, σ] | j ∈ [1, p(|w|)] und σ ∈ (Σ × Q) ∪ Σ } 

beschrieben werden, wobei y[j, σ] = 1 bedeutet, dass in der j-ten 

Zelle das Zeichen σ steht. 

◮ Analog definieren wir Z, U, V und W . 

◮ Ferner sei 

Rk(Y , Z) = 1 ⇐⇒ die durch Z repräsentierte Konfiguration CZ 

wird von der durch Y repräsentierten Konfiguration 

CY in höchstens 2 k Schritten erreicht. 

◮ D.h. ” M akzeptiert w“ genau dann, wenn 

EM(w) := ∃ Y ∃ Z : R c·p(|x|)(Y , Z) ∧ Fx(Y ) ∧ Fakz(Z) 

wahr ist, wobei Fx(Y ) und Fakz(Z) Boolesche Formeln sind, die 

genau dann wahr sind, wenn Y die Anfangs- bzw. Z die 

akzeptierende Endkonfiguration von M beschreibt. 

247




9. Vorlesung, 09.06.2008 


◮ Die Formeln Fx(Y ) bzw. Fakz(Z) sind aus M und x auf 

logarithmischen Platz herleitbar. 

◮ Analog kann auch die Formel R0(Y , Z), d. h. CY ⊢ CZ , generiert 

werden. 

◮ Um Ri(Y , Z) für i > 0 zu bestimmen, betrachten wir die Formel: 

Hi(Y , Z) = ∃ U ∀ V ∀ W : Ri−1(V , W ) 

∨ (V = Y ∧ W = U) 

 

∧ (V = U ∧ W = Z) . 

◮ Diese Formel ist genau dann wahr, wenn: 

∃U : Ri−1(Y , U) ∧ Ri−1(U, Z) 

gilt. 

◮ Hi(Y , Z) gibt somit eine lineare rekursive Beschreibung von Ri, 

welche die Formel für EM(w) nur polynomiell vergrößert: 

|Ri(Y , Z)| ≤ |Ri−1(Y , Z)| + O(p) . 

◮ Somit gilt |Ri(Y , Z)| ≤ O(p 2 ). 

248




9. Vorlesung, 09.06.2008 

Beweis von Satz 37 (Teil 7) Da die vollständige Ersetzung von M und 

w durch EM(w) mit Hilfe von Zählern erfolgen kann, und jedes Polynom 

auf logarithmischen Platz approximierbar ist, ist das QBF-Problem 

PSPACE-hart bezüglich der logspace-Reduktion. 

249




9. Vorlesung, 09.06.2008 

◮ Mit Hilfe einer Umformung, wie sie bei der Reduktion des 

Satisfiability Problems in das 3-SAT Problem gebräuchlich ist, kann 

die PSPACE-Härte auch für das QBF-Problem gezeigt werden, 

dessen Boolesche Formel in 3-CNF vorliegt. 

◮ Auf diese Umformung werden wir später noch einmal genauer 

eingehen. 

Satz 38 QBF ist PSPACE-vollständig auch wenn wir uns auf Boolesche 

Formeln beschränken, die in 3-CNF vorliegen. 

250



5.2 PSPACE: Eine verspielte Klasse 

Das alternieren Quantoren ein einer QBF kann das Abwechseln von 

Spielern verstanden werden: 

◮ ∃: Es existiert ein Zug für mich, so dass 

◮ ∀: für alle Züge meines Gegners, 

◮ ∃: ein Zug für mich existiert, so dass 

◮ ∀: für alle Züge meines Gegners, 

◮ . . . 

◮ F (x1, . . . , xn): ich das Spiel gewonnen habe! 


9. Vorlesung, 09.06.2008 

Es verwundert daher nicht, dass viele 2-Personen Spiele PSPACE-vollständige 

Varianten besitzen. Im Folgenden wollen wir eines dieser Spiele 

– das sogenannte Geographie-Spiel – näher betrachten. 

251




9. Vorlesung, 09.06.2008 

Definition 43 Eine Spielstellung eines Zwei-Personen-Spiels beschreibt 

eine Spielkonfiguration des Zwei-Personen-Spiels. Diese setzt sich 

folgenden Informationen zusammen: 

◮ Verteilung der Figuren auf dem Spielfeld, 

◮ Angabe des Spielers, welcher den nächsten Zug ausführt und 

◮ Sonderangaben wie: Wichtige Angaben, die man der Verteilung der 

Figuren nicht ansieht, Informationen über die Einhaltung von 

Fortschrittsregeln, etc. 

Der Stellungsgraph eines Zwei-Personen-Spiel ist ein gerichteten Graphen 

H, dessen Knotenmenge VH der Menge der möglichen Spielstellungen 

repräsentiert. Zwischen zwei Knoten v1 und v2 eines Stellungsgraphen 

existiert genau dann eine Kante (v1, v2), wenn die mit v1 assoziierte 

Spielstellung mit Hilfe eines Spielzuges in die mit v2 assoziierte 

Spielstellung überführt werden kann. 

252



Definition 43 (Teil 2) 


9. Vorlesung, 09.06.2008 

◮ Besitzt ein Knoten v1 des Stellungsgraphen keinen Nachfolger, so 

nennen wir die zu v1 gehörige Spielstellung eine Endstellung. 

◮ Entsprechend den Spielregeln unterscheiden wir zwischen einer 

gewinnenden Endstellung und einer unentschiedenen Endstellung. 

Eine gewinnenden Endstellung für einen Spieler impliziert im 

folgenden eine verlierende Endstellung für den zweiten Spieler. 

◮ Eine Spielstellung C heiße Gewinnstellung für einen Spieler S, wenn 

entweder C eine gewinnenden Endstellung für S ist oder 

◮ S am Zug ist und eine Nachfolgespielstellung C ′ von C existiert, 

welche auch eine Gewinnstellung für S1 ist oder 

◮ S nicht am Zug ist und für alle Nachfolgespielstellung C ′ von C gilt, 

dass C ′ eine Gewinnstellung für S ist. 

◮ Ist C eine Gewinnstellung für den Gegenspieler von S, so nennen wir 

C eine Verluststellung für S. Ist C weder eine Gewinnstellung noch 

eine Verluststellung für S, so nennen wir C eine Remisstellung. 

◮ Kann ein Spieler S in einer Spielstellung C seinen Gewinn innerhalb 

von maximal ℓ Zügen realisieren, so sagen wir, S besitzt eine 

Gewinnstrategie in C der Länge ℓ. 

253




9. Vorlesung, 09.06.2008 

Definition 44 Geographie-Spiel 

Der Spielfeld des Geographie-Spiels ist ein gerichteter Graph G = (V , E) 

mit Startknoten s. Die beiden Spieler markieren abwechselnd Knoten aus 

G nach den folgenden Regeln: 

1. Die beiden Spieler führen abwechselnd ihre Züge aus. 

2. Im ersten Zug markiert Spieler 1 s. 

3. Im t-ten Zug, t > 0, markiert der jeweilige Spieler der am Zug ist 

einen direkten Nachfolgeknoten des Knotens, welcher im t − 1-ten 

Zug markiert wurde. 

4. Ein Knoten darf nicht mehrmals markiert werden. 

5. Es gewinnt der Spieler, welcher den letzten Zug ausführt. 

GEO := { (G, s) | G ist ein Spielgraph eines Geographie-Spiels, auf 

dem Spieler 1 eine Gewinnstrategie besitzt. } 

planar-GEO := { (G, s) | G ist ein planarer, bipartiter Spielgraph eines 

Geographie-Spiels, auf dem Spieler 1 eine 

Gewinnstrategie besitzt. } 

254



Für das Geographie-Spiel gilt: 

◮ Nach Regel 4 darf kein Knoten mehrmals markiert werden. 


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◮ Da in jeder Runde ein Knoten markiert wird, endet jedes Spiel nach 

spätestens |V | Runden. 

◮ Jede Spielstellung können wir auf polynomiellen Platz speichern. 

◮ Analog zum Algorithmus Evaluate(E) können wir auch für eine 

Instanz (G, s) des Geographie-Spiels entscheiden, ob Spieler 1 eine 

Gewinnstrategie besitzt. 

Lemma 15 GEO und planar-GEO sind in PSPACE. 

255



Satz 39 GEO und planar-GEO sind in PSPACE-vollständig. 



9. Vorlesung, 09.06.2008 

◮ Da wir schon gesehen haben, dass GEO in PSPACEliegt, müssen 

wir noch zeigen, dass planar-GEO PSPACE-hart ist. 

◮ Im Folgenden wollen wir uns der Komplexität der planaren Variante 

des Geographie-Spiels zuwenden. 

◮ Durch eine bipartite Zerlegung V1 

· 

∪ V2 der Knotenmenge des 

Spielgraphen erhalten wir zugleich eine Aufteilung der Knotenmenge 

unter den beiden Spielern. 

◮ Wir suchen eine Reduktion des auf 3-CNF Formeln eingeschränkten 

QBF-Problems auf planar-GEO. 

◮ Sei 

mit Cj = x α1 

j1 

E = Q1x1 . . . Qmxm : C1 ∧ . . . ∧ Cℓ 

∨ x α2 

j2 

∨ x α3 

j3 

eine Instanz dieses QBF-Problems. 

◮ Bei dem im Folgenden konstruierten Graphen GE werden wir zunächst 

auf die Eigenschaft der Planarität verzichten und diese erst zum 

Anschluß durch eine leichte Modifikation erreichen. 

256





9. Vorlesung, 09.06.2008 

◮ GE besteht aus einer Folge von Teilgraphen H1, . . . , Hm, welche die 

Quantoren Qixi repräsentieren. 

◮ Für jede Klausel Cj enthält GE einen zusätzlichen Knoten vj und 

Kanten von vj zu einem ausgezeichneten Knoten des Teilgraphen Hjr 

mit r = 1, 2, 3. 

ai 

z 1 

i 

z 0 

i 

di 

ei 

Qixi = ∃xi Qixi = ∀xi 

ai 

◮ Für die Knotenmengen des Graphen G(F ) und der Graphen Hi gilt 

· 

hierbei die folgende bipartite Zerlegung V1 ∪ V2: 

m i=1 {z0 i , z1 i , bi, ei} ⊆ V1 und m i=1 {c0 i , c1 i , ai, di} ⊆ V2 

sofern die entsprechenden Knoten vorhanden sind. 

bi 

c 1 i 

c 0 i 

z 1 

i 

z 0 

i 

di 

ei 

257




9. Vorlesung, 09.06.2008 

Beweis von Satz 39 (Teil 3) Die nachfolgende Abbildung illustriert, wie 

die Teilgraphen H1, . . . , Hm sowie die Knoten v1, . . . , vℓ zusammengefügt 

werden. 

z 1 

1 

s a1 

e1 

Es gilt: 

H1 

z 0 

1 

a2 

z 1 

2 

H2 

◮ Die bipartite Zerlegung V1 

◮ Ferner erhalten wir 

z 0 

2 

e2 

am 

z 1 

m 

Hm 

· 

∪ V2 der letzten Folie bleibt erhalten. 

s ∈ V1 und {v1, . . . , vℓ} ⊂ V2 . 

z 0 

m 

em 

v1 

v2 

vℓ 

258




9. Vorlesung, 09.06.2008 

Beweis von Satz 39 (Teil 4) Die nachfolgende Abbildung illustriert, wie 

die noch fehlenden Kanten von den Knoten v1, . . . , vℓ zu den Teilgraphen 

H1, . . . , Hm gezogen werden. 

s 

z 1−α 1 

j 1 

Hj1 Hj2 Hj3 

z α 1 

j 1 

Die noch fehlenden Kanten von den Knoten v1, . . . , vℓ zu den Knoten 

z 0 1 , z1 1 , . . . , z0 m, z 1 m werden wie folgt gesetzt: 

◮ Sei Cj = x α1 

j1 

∨ x α2 

j2 

{(vj, z 1−α1 

j1 

∨ x α3 

j3 

), (vj, z 1−α2 

j2 

Es gilt: Die bipartite Zerlegung V1 

z α 2 

j 2 

z 1−α 2 

j 2 

z 1−α 3 

j 3 

die j-te Klausel von E, dann verbinden wir: 

z α 3 

j 3 

), (vj, z 1−α3 

j3 )} ⊂ E . 

· 

∪ V2 der letzten Folie bleibt erhalten. 

em 

vj 

259




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Beweis von Satz 39 (Teil 5) Die nachfolgende Abbildung illustriert den 

Graphen GE für die Formel 

s 

E = ∃ x1 ∀ x2 ∃ x3 : (x 1 ∨ x2 ∨ x 3) ∧ (x1 ∨ x2 ∨ x 3) . 

z 1 1 

z 0 1 

z 1 2 

z 0 2 

z 1 3 

z 0 3 

v1 

v2 

260




9. Vorlesung, 09.06.2008 

Beweis von Satz 39 (Teil 6) Für ein Spiel auf einem solchen gegebenen 

Graphen gilt folgende Aussage: 

Beobachtung 19 Sei GE ein wie oben konstruierter Graph. Dann gilt: 

1. Spieler 1 markiert nur Knoten aus V1 und Spieler 2 Knoten aus V2. 

2. Ist Qi ein Existenzquantor, so hat Spieler 1 die Wahl, ob er nach 

dem ai markiert wurde den Knoten z 0 i oder z1 i markiert. 

3. Ist Qi ein Allquantor, so entscheidet Spieler 2, ob er nach dem ai 

markiert wurde den Knoten c0 i oder c1 i markiert, d.h. Spieler 2 

entscheidet, ob z0 j oder z1 j markiert wird. 

4. Spieler 2 entscheidet, welcher Klauselknoten v1, . . . , vℓ markiert wird. 

5. Spieler 1 hat auf GE genau dann eine Gewinnenstrategie, wenn für 

jede Wahl von Spieler 2, also insbesondere auch für jeden 

ausgewählten Klauselknoten vj noch einen nichtmarkierten direkten 

von vj existiert. 

Nachfolger z 1−α1 

j1 

, z 1−α2 

j2 

oder z 1−α3 

j3 

261

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