ft F s F se ds j - Grundlagen der Schaltungstechnik - TU Ilmenau

Modellierung und Simulation 

analoger Systeme 

Dr.-Ing. Eckhard Hennig 

Wintersemester 2011/12 

Analoge Schaltungstechnik ... 

... ist eine Wissenschaft für sich: 

� Wie funktioniert die Schaltung? 

� Wie muss sie dimensioniert werden? 

� Warum funktioniert sie nicht? 

� Welche Elemente oder Parameter sind 

für das (Fehl-)Verhalten verantwortlich? 

Magnit ude 

HdBL 60 

40 

20 

0 

-20 

-40 

-60 

1.0 E0 1.0 E2 1.0 E4 1.0 E6 1.0 E8 1.0 E10 

Frequency 

gm$M2 gm$M6 VIN1 

H@sD == 

HGds$M2 + Gds$M4L HGds$M6 + Gds$M7L + CC gm$M6 s 

2.0V 

Modellierung und Simulation analoger Systeme 

M 3 

M 1 

Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS2011/12 

0V 

M 8 

I BIAS 

v – 

V DD 

M 5 

M 2 

V SS 

M 4 

v + 

V DD 

M7 

M9 CC 0 

M 6 

M 6 

09.02.2012 

v out 

-2.0V 

0s 5us 

V(OUT) V(Vin1:+) 

10us 15us 

Zeit 

20us 25us 30us 

2 

C L 

1

Aber ... 

... heute besteht die Herausforderung in der Entwicklung komplexer 

elektronischer und mechatronischer (heterogener) Systeme. 

� Ein guter Schaltungsblock ist erst dann von großem Nutzen, wenn er 

sich in ein funktionierendes Systemkonzept einbetten lässt. 

Entwurf komplexer Systeme 

Fragen 



� Wie stelle ich sicher, dass ein Systemkonzept funktioniert? 

Q: Infineon 

� Wie bekomme ich die Komplexität des Systementwurfs in den Griff? 

� Wie stelle ich sicher, dass ich alle Anforderungen des Kunden an 

das zu entwerfende System berücksichtigt habe? 

Antwort 

� Durch hierarchische Modellierung und Simulation (modellbasierter 

Systementwurf) 

– Simulierbare Spezifikation 

– Systemarchitektur 

– Schrittweise Verfeinerung (Top-Down-Entwurf) 

– Komponenten-Entwurf 

– Systemverifikation (Bottom-Up-Modellierung) 



3 

4 

2

Themen dieser Vorlesung 

� Systematische Modellierung und Simulation komplexer analoger 

elektronischer und heterogener Systeme 

� Erstellung von simulierbaren Modellen für mechatronische 

Systemkomponenten, elektronische Schaltungen und Bauelemente 

� Aufbau, Funktionsweise, Modellierung und Simulation spezieller 

elektronischer Schaltungen und Systeme (PLL, A/D-Wandler) 

� Wir beschäftigen uns nicht vordergründig mit 

– Analogschaltungstechnik auf Transistorebene, 

– digitaler Schaltungstechnik, ... 

... aber diese Themen betten sich auf natürliche Weise in den 

Kontext „Systemmodellierung“ ein. 

Lernziele 

� Kennen lernen 



– der Notwendigkeit und der Grenzen des modellbasierten Entwurfs 

technischer Systeme 

– erforderlicher mathematischer Grundlagen zur Modellierung heterogener 

Systeme 

� Erlernen einer systematischen Vorgehensweise zur Erstellung 

simulierbarer Modelle für komplexe dynamische Systeme 

– Top-down-Entwurf und Bottom-up-Modellierung 

– Vom Systemkonzept bis hinunter auf die Bauelemente-Ebene 

� Erwerb von Grundlagenkenntnissen zu Modellierungssprachen und 

Simulationswerkzeugen für analoge elektronische Schaltungen und 

heterogene Mixed-Signal-Systeme 

– VHDL-AMS 

– SystemVision 



5 

6 

3

Einige Begriffe, mit denen wir uns beschäftigen werden ... 

System Umwelt 

Realität 

Top-down 

Element 

Abstraktion 

hierarchisch Bottom-up 

Interaktion 

Verhalten Simulation Entwurf 

Modell 

Testbench 

Beschreibungssprache 

digital 

offen 

geschlossen 

Stimulus 

mixed-signal 

VHDL-AMS Zeitbereich 

verteilt 

dynamisch 

analog 

konzentriert 

Frequenzbereich 

heterogen Signalfluss aktiv PLL 

linear 

nichtlinear 

nicht-konservativ 

A/D-Wandler 

konservativ 

Kirchhoff-Gleichungen 

Signal N-Tore 

Zeit 

Wert 

Domäne 

N-Pole 

diskret 

zeitvariant Netzwerk 

kontinuierlich zeitinvariant 

Elementebeziehung 

Struktur 

Filter VCO 

Transistor 

Flussgröße 

Differenzgröße 




� Was bedeuten diese Begriffe? 

– System 

– Analog 

– Modellierung 

– Simulation 



7 

8 

4

Was ist ein System? 

� Der Begriff ist abgeleitet aus dem griechischen Wort 

σύστημα (sýstema) = das Gebilde, das Verbundene 

� Ein System ist eine Menge von Elementen, die miteinander in 

Beziehung/Wechselwirkung stehen und gemeinsam eine 

Funktionseinheit bilden, die sich von der Umwelt abgrenzen lässt. 

� System organisieren und erhalten sich durch Strukturen (strukturlose 

Mengen von Elementen werden Aggregate genannt). 

� Struktur bezeichnet das Muster/die Form der Systemelemente 

(Elementestruktur) und ihrer Beziehungen (Verbindungsstruktur). 

System vs. Aggregat 



� System � Aggregat 

E 1 

Umwelt 

System 

E 3 

E 2 

E 1 


Umwelt 

Aggregat 

E 2 


E 3 

Q: wikipedia.de 

9 

10 

5

Ein Beispiel für ein (sehr) komplexes heterogenes System 

Funk- 

kommunikation 

Fluggeschwindigkeit 

Anströmung 

Elektronik 

Pilot 

Autopilot 

Ruderservos 

On-Board- 

Entertainment 

Fluglage- 

regelung 

Treibstoff- 

pumpe 

Schwerkraft 


Auftrieb 

Schub 

Hydraulik 


Ruderstellung 

Mechanik 

Ebenen des Systementwurfs (elektronische Systeme) 

Spezifikationserfassung 

Systempartitionierung 

(Funktionsblöcke) 

Blockdiagramm 

(Signalfluss, 

elektrische Ebene) 

Schaltung 

Transistor 

Funktions 

-konzept 

Systemarchitektur 

Subsystem 

Komponente 

Bauelement 

Ver- 

Inputs Outputs 

arbeitung 



Trägheits- 

moment 

Seitenwind 

Thermodynamik 

Q: CSR 

Q: UC Berkeley 

11 

12 

6

Ebenen des Systementwurfs (heterogene Systeme) 

Q: modelica.org 

Funktions- 

konzept 

Systemarchitektur 

Subsystem 

Komponente 



Ein kleineres Beispiel: Ferngesteuertes Flugzeugmodell 

Funkempfänger 

Ruderservo 


Seitenruder 


Batterie 

13 

14 

7

Seitenruderanlage des Flugzeugmodells 

Servo 

Sollposition 

(Steuerspannung) Energieversorgung 

(Batteriespannung) 

Modellbasierter Entwurf 

Seitenruder 

Rudergestänge 



Lastmoment 

(Wind) 

� Ein Hardware-Entwurf durch Versuch und Irrtum wäre teuer und 

zeitaufwändig � modellbasierter Entwurf 

Erstellung eines Systemkonzepts 

Mathematische Modellierung des 

Systems und seiner Komponenten 

Simulation und Bewertung 

Anpassung der Systemparameter 

Modellbasierter Entwurf der 

Funktionsblöcke 

Hardware-Entwurf 



15 

16 

8

Modellierung und Simulation des Rudersystems (1) 

� Systemkonzept: Identifikation der Eingangs- und Ausgangsgrößen 

und der Systemfunktion 

Steuerspannung Batteriespannung 

• Steuerspannung 

• Batteriespannung 

• Last 

Einstellung des 

Ruderwinkels 

proportional zur 

Steuerspannung 




� Identifikation der Systemkomponenten (Teilsysteme) 

Ruderwinkel φ R 

Lastmoment M R2 

• Ruderwinkel 

� „Freischneiden“ der Komponenten, Identifikation der Interfacegrößen 


Servo 

Antriebsmoment M G1 

Stellwinkel φ G1 

Lastmoment M S, Stellwinkel φ S 

Steuerspannung Batteriespannung 

Ruder 



Antriebsmoment M R1 

Lastmoment M R2 

17 

Lastmoment M G2 



18 

9


� Hierarchische Verfeinerung von Teilsystemen bis zur gewünschten 

Detaillierungstiefe 

Steuer- 

spannung 

Servo 

Batteriespannung 

+ 

– 

Verstärker 

Eindimensionale Mechanik 

Elektromotor Getriebe 

Potentiometer 

(Drehwinkelmessung) 



Lastmoment M S 

Stellwinkel φ S 

� Mechanisches (Teil-)System, in dem alle Kräfte, Verschiebungen, 

Drehmomente, Drehwinkel parallel zu einer Koordinatenachse 

ausgerichtet sind 



Q: S. Porter, www.motionsystemdesign.com 

19 

20 

10

Eindimensionale rotatorische Mechanik: Referenzrichtungen 

� Rechtskoordinatensystem (Korkenzieherregel) 

� Positive Referenzrichtungen für Flussgrößen (Momente M i) an den 

Schnittstellen von Elementen: jeweils in das Element hinein zeigend 

� Positive Referenzrichtung für Differenzgrößen (Winkel φi bzw. 

Winkelgeschwindigkeiten ωi): gemäß gewählter Block- 

Referenzrichtung 

z 

Referenzrichtungen für M 

M, ω, φ 

y 

x 

M 1 

ω 1, φ 1 

Block-Referenzrichtung 

für ω, φ 



� Mathematische Modellierung der Systemkomponenten: 


� Referenzbepfeilung 

Welle 

M 2 

ω 2, φ 2 

Rotatorische Referenz 

(„Masse“) 



M G1 

φ G1 

Antriebsmoment M G1 


φ G2 

M G2 



� � � 

21 

Lastmoment M G2 


Gleiche Schenkellängen, 

verlustfreie Übertragung von 

Moment und Stellwinkel 

M ��M 

G2 G1 

G2 G1 

22 

11


� Mathematische Modellierung der Systemkomponenten: Ruder 

Wind 

� Referenzbepfeilung 

M R 

φR 

Ruder 


Lastmoment M R 


Lastmoment durch Luftstrom 

proportional zu Ruderwinkel, 

Proportionalitätskonstante K R 

M � K � 

M R 

φ R 

R R R 




Servo � Verstärker 

i 1 

i 2 

u 2 

u 1 

+ 

– 

i B 

u B 

u A 



u � A ( u �u) 

A 

i �i �0 

A B 

i 

i 

1 

2 

� 0 

� 0 

Linearer Spannungsverstärker mit Verstärkungsfaktor A 0; 

Idealisierung: Betriebsstrom (i B) = Ausgangsstrom (-i A) 

i A 

0 1 2 

23 

24 

12



Servo � Elektromotor 

i 1 

u 1 

M 2 

ω 2 



d�2 

M2 � KMi1 � D�2 � J 

dt 

di1 

u1 � �KM�2 � Ri1 � L 

dt 

Elektromotor mit Drehmomentkonstante K M, 

Trägheitsmoment J, Reibungskoeffizient D, 

Windungsinduktivität L, Serienwiderstand R 



Servo � Getriebe 

M 1 

ω 1 

M 2 

ω 2 , φ 2 



� � K � 

2 G 1 

M ��K 

M 

1 G 2 

oder 

d�2 

� KG�1 

dt 

M ��K 

M 

1 G 2 

Verlustfreies Getriebe mit Übersetzungsfaktor K G; 

das Vorzeichen von K G bestimmt, ob An- und Abtrieb gleichsinnig (K G > 0) 

oder gegensinnig (K G < 0) laufen. 

25 

26 

13



Servo � Potentiometer 

M 1 

φ 1 

Proportionale Wandlung Drehwinkel � Spannung mit 

Proportionalitätskonstante K P 


M 


u � K � 

A P 

1 

0 � 


� Benennung (Durchnummerierung) der Systemvariablen 

i 1 

i 2 

i 3 

u 1= U Ctrl 

u 3 

u 2 

i 7 

M 5 

φ 5 

+ 

– 

u 7 

i 4 

u 4 

i 0 

u 0= U B 

u 5 

i 5 

i 6 

u A 

M 4 

φ 4 

u 6 

i A 



M 1 

ω 1 

M 6 

φ 6 

M 2 

ω 2 

M 7 

φ 7 

1 

φ 3 

27 

28 

M 3 

14


� Aufstellung der Elementebeziehungen in den Systemvariablen 

u � U 

0 

u � U 

1 

u � A ( u �u) 

5 0 2 3 

i �i �0 

4 5 

i 

i 

2 

3 

� 0 

� 0 

B 

Ctrl 

di6 

u6 � �KM�1 � Ri6 � L 

dt 

d�1 

M1 � KMi 6 � D�1 � J 

dt 


d�3 

� KG�2 

dt 

M ��K 

M 

M 

� 0 

u � K � 

M ��M 

� � � 

M � K � 


2 G 3 

4 

7 P 4 

6 5 

6 5 

7 R 7 


� Aufstellung der strukturellen Zwangsbedingungen 

Flussgrößen Differenzgrößen 

(Knotengleichungen) (Maschengleichungen) 

i �i �0 

1 2 

i �i �0 

0 4 

i �i �0 

3 7 

i �i �0 

5 6 

M �M �0 

1 2 

M � M � M � 0 

3 4 5 

M �M �0 

6 7 

�u � u � 0 

1 2 

�u � u � 0 

0 4 

�u � u � 0 

5 6 

�u � u � 0 

3 7 

�� 0 

1 2 

�� 0 

3 4 

�� 0 

3 5 

�� 

0 

6 7 



29 

30 

15


� Plausibilitätscheck: Anzahl der Variablen = Anzahl der Gleichungen? 

� 30 Variablen 

– i 0..7 

– u 0..7 

– M 1..7 

– ω 1..2 

– φ 3..7 

(8) 

(8) 

(7) 

(2) 

(5) 

� 30 Gleichungen 

– 15 Elementebeziehungen 

– 7 Knotengleichungen 

– 8 Maschengleichungen 




� Das vollständige mathematische Modell des Systems ist damit ein 

Algebrodifferential-Gleichungssystem (DAE) in 30 Variablen. 

u � U 

0 

u � U 

1 

u � A ( u �u) 

5 0 2 3 

i �i �0 

4 5 

2 

3 

B 

i � 0 

i � 0 

Ctrl 

di6 

u6 � �KM�1 � Ri6 � L 

dt 

d�1 

M1 � KMi 6 � D�1 � J 

dt 

d�3 

� KG�2 

dt 

M ��K 

M 

2 G 3 

M � 0 

4 

u � K � 

7 P 4 

M ��M 

6 5 

� � � 

6 5 

M � K � 

7 R 7 


i �i �0 

1 2 

i �i �0 

0 4 

i �i �0 

3 7 

i �i �0 

5 6 

M �M �0 

1 2 

M � M � M � 0 

3 4 5 

M �M �0 

6 7 


�u � u � 0 

1 2 

�u � u � 0 

0 4 

�u � u � 0 

5 6 

�u � u � 0 

3 7 

�� 0 

1 2 

�� 0 

3 4 

�� 0 

3 5 

�� 

0 

6 7 

31 

32 

16


� Zur Simulation des Rudersystems benötigen wir 

1. Testkonfiguration (Testbeschaltung und Stimuli) 

2. Numerische Werte für die Modellparameter 

3. Einen Simulator (Differentialgleichungslöser) 

4. Eine Notationsform für die Gleichungen (Beschreibungssprache), die der 

Simulator verarbeiten kann 

� Testkonfiguration 

– Hier: in den Modellgleichungen enthalten (Steuerspannung, Lastmoment) 

– Anregung: 

� Parameterwerte 

U � A sin(2 �ft 

) 

Ctrl 

0 

UB � 5 V f � 1Hz 

mNm 

KM � 3 

A 

KG 

� 0,5 

U � 0,1V R � 1� D � 5 �Nms 

K � �0,2 

V 

C P 

2 

A � 1000 L � 40 �HJ�1�NmsK�0,1N 0 




� Mentor Graphics SystemVision: Schaltungs- und Systemsimulation 

mit SPICE und VHDL-AMS 

� Kostenlose Demoversion verfügbar 

– Eingeschränkt auf 30 analoge Variablen und 100 digitale Signale 

– URL: http://www.mentor.com/products/sm/download 



R 

33 

34 

17


� Beschreibung des Modells in VHDL-AMS 

-- RC airplane rudder system 

library IEEE; 

use IEEE.math_real.all; 

entity rudder_system is 

generic ( 

A0: real := 1000.0; 

UB: real := 5.0; 

R: real := 1.0; 

L: real := 4.0e-5; 

Km: real := 3.0e-3; 

D: real := 5.0e-6; 

J: real := 1.0e-6; 

Kg: real := 0.5; 

Kp: real := -0.2; 

Kr: real := 0.1; 

Uc: real := 0.1; 

freq: real := 1.0 

); 

end entity rudder_system; 

architecture equations of rudder_system is 

quantity i0, i1, i2, i3, i4, i5, i6, i7 : real; 

quantity u0, u1, u2, u3, u4, u5, u6, u7 : real; 

quantity M1, M2, M3, M4, M5, M6, M7 : real; 

quantity w1, w2, w3 : real; 

quantity phi3, phi4, phi5, phi6, phi7 : real; 

begin 

-- Constitutive equations 

u1 == Uc*sin(math_2_pi*f*now); 

u5 == A0*(u2 - u3); 

i4 + i5 == 0.0; 

i2 == 0.0; 

i3 == 0.0; 

u6 == -Km*w1 + R*i6 + L*i6'dot; 

M1 == Km*i6 + D*w1 + J*w1'dot; 

phi3'dot == Kg*w2; 

M2 == -Kg*M3; 

M4 == 0.0; 

u7 == Kp*phi4; 

M6 == -M5; 

phi6 == phi5; 

M7 == Kr*phi7; 



-- Node equations 

i1 + i2 == 0.0; 

i0 + i4 == 0.0; 

i3 + i7 == 0.0; 

i5 + i6 == 0.0; 

M1 + M2 == 0.0; 

M3 + M4 + M5 == 0.0; 

M6 + M7 == 0.0; 

-- Loop equations 

-u1 + u2 == 0.0; 

-u0 + u4 == 0.0; 

-u5 + u6 == 0.0; 

-u3 + u7 == 0.0; 

-w1 + w2 == 0.0; 

-phi3 + phi4 == 0.0; 

-phi3 + phi5 == 0.0; 

-phi6 + phi7 == 0.0; 

end architecture equations; 


� Simulationsergebnisse für t = 0 .. 2 s 

� Alles in Ordnung ... oder vielleicht auch nicht? 



35 

36 

18


� Simulationsergebnisse für t = 0 .. 2 s bei begrenzter Motorspannung 




� Die Erstellung bzw. Modifikation des Simulationsmodells für das 

Rudersystem auf die gezeigte Weise ist äußerst mühsam und 

fehleranfällig. 

� Besser: 

– Komponenten-Modellierung durch N-Tor-Beschreibungen 

– Netzlistenbasierte Modellierung der Systemstruktur 

– Automatische Aufstellung der Erhaltungsgleichungen für die 

Verbindungsstruktur (verallgemeinerte Kirchhoff-Regeln) durch den 

Simulator 

� Was das bedeutet und wie das geschieht werden wir im Folgenden 

genauer untersuchen. 

� Aber zunächst zurück zu einigen grundlegenden Begriffen und 

Methoden zum Thema „Systeme und Modellierung“ ... 



37 

38 

19



– System 

– Analog 



Systeme und Signale 



� Die Interaktion zwischen Komponenten physikalischer (technischer) 

System erfolgt über Signale. 

Eingangssignal 

(Input) 

E 1 

Umwelt 

System 

E 3 

E 2 



Ausgangssignal 

(Output) 

Interne Signale 

39 

40 

20

Signale (1) 

� Ein Signal ist der (informationstragende) Zeitverlauf einer messbaren 

Größe in einem System. 

� Signale können zeitkontinuierlich oder zeitdiskret sein. 

f 

t 

Zeitkontinuierliches Signal Zeitdiskretes Signal 

f �f( t); t � 

f � f ( t ); k � , t � 

n 

f : � , n� 

Signale (2) 


k k 

n 

f : � , n� 


� Signale können wertkontinuierlich oder wertdiskret sein. 

f 

f 

f k 

t k 

Wertkontinuierliche Signale 

t 

t 



f 

f 

f 

f k 

t k 

Wertdiskrete Signale 

f k 

t k 

t 

t 

t 

41 

42 

21

Signale (3) 

� Wertkontinuierliche Signale werden als analoge Signale bezeichnet. 

� Analoge Signale können zeitkontinuierlich oder zeitdiskret sein. 

f 

Zeitkontinuierliches analoges Signal Zeitdiskretes analoges Signal 

Signale (4) 

t 



� Ein zeit- und wertdiskretes Signal, dessen Wertemenge endlich ist, 

heißt n-äres oder digitales Signal. 

� Ein digitales Signal, dessen Wertemenge aus zwei Elementen 

besteht, heißt binäres Signal (oder elementares digitales Signal). 

f 

Digitales Signal 

f k 

t k 

t 



f 

f 

Binäres Signal 

f k 

t k 

f k 

t k 

t 

t 

43 

44 

22

Definition: analoge und digitale Systeme 

� Ein System, dessen Komponenten über analoge Signale 

interagieren, heißt analoges System. 

� Ein System, dessen Komponenten über digitale Signale interagieren, 

heißt digitales System. 

� Systeme, die sowohl analoge als auch digitale Signale verarbeiten, 

werden in der Elektrotechnik üblicherweise als Mixed-Signal- 

Systeme bezeichnet. 



Einordnung analoger und digitaler Systeme 

Signale 

Wert- 

Zeit- 

kontinuierlich 

diskret 

kontinuierlich diskret 

Analoge Systeme 



Digitale 

Systeme 

45 

46 

23

Modellierung, Modell 

� Modellierung ist eine zielgerichtete Vereinfachung der Realität durch 

Abstraktion. 

� In unserem Sinne ist ein Modell ist eine formale (mathematische) 

Beschreibung eines abstrahierten Systemverhaltens. 



Definition Modell nach Minsky (1965) 



Q: B. Binninger, RWTH Aachen, 2005 


47 

48 

24

Modellbildung durch Abstraktion in zwei Schritten 

1. Strukturelle Abstraktion 

– Identifikation abgrenzbarer Teile und ihrer Verknüpfungen des 

betrachteten Systems 

– Qualitatives Wissen 

2. Phänomenologische Abstraktion 

– Identifikation der physikalischen Vorgänge, welche in den Teilsystemen 

und deren Verknüpfungen ablaufen 

– Quantitatives Wissen 



Definition des Begriffs Simulation 

Definition nach VDI-Richtlinie 3633 


� Simulation ist ein Verfahren zur Nachbildung eines Systems mit 

seinen dynamischen Prozessen in einem experimentierbaren 

Modell, um zu Erkenntnissen zu gelangen, die auf die Wirklichkeit 

übertragbar sind. 

� Im weiteren Sinne wird unter Simulation das Vorbereiten, 

Durchführen und Auswerten gezielter Experimente mit einem 

Simulationsmodell verstanden. 

� Mit Hilfe der Simulation kann das zeitliche Ablaufverhalten 

komplexer Systeme untersucht werden. 



49 

50 

25



– System 

– Analog 





Definitionen: dynamisches System, Zustand 

� Ein dynamisches System ist ein System, dessen Zustand s(t) 

(„state“) zu einem zukünftigen Zeitpunkt t > t 0 vom aktuellen Zustand 

s(t 0) zum Zeitpunkt t 0 abhängig ist. 

� Der Zustand s eines Systems ist ein Punkt in seinem 

Zustandsraum S. 

� Der Zustandsraum wird aufgespannt durch eine Menge von 

unabhängigen Koordinaten, mit denen das Systemverhalten 

vollständig beschrieben werden kann. 

� Mathematische Definition: ein dynamisches System ist eine Regel R 

für die Evolution eines Zustands innerhalb eines Zustandsraums S 

über einer Menge von Zeiten T. 

� Der 

s�S R : S �T�S s( t) �S; t �T 



51 

52 

26

Eigenschaften dynamischer Systeme 

� Dynamische Systeme werden durch Anfangswertprobleme 

beschrieben, d.h. Differential- bzw. Differenzengleichungen mit 

gegebenen Anfangswerten s(t 0) = s 0. 

� Ein dynamisches System heißt deterministisch, wenn jeder 

zukünftige Zustand s(t), t > t 0 eindeutig durch s(t 0), t und den Verlauf 

der Eingangssignale x(t) bestimmt ist. 

� Beobachtung 

– Ein dynamisches Systeme hat ein „Gedächtnis“ – sein aktueller Zustand 

ist eine Folge der Zustände aus seiner Vergangenheit. 

– In physikalischen Systemen wird die Gedächtnisfunktion durch 

Speichermedien für potentielle und kinetische Energie repräsentiert 

(Kapazitäten, Induktivitäten, Druckspeicher, Federn, Massen, ...) 


F( s, s, x, t) 

� 0 


Dynamisches System: Beispiel RLC-Schwingkreis 

� Zustandsraum 

� Zustand 

U0(t) 

� Übergangsregel R 

(= Zustandsgleichungen F) 

i L 

R L 



C 

S � span( uC, iL) 

� � 

s( t) � u ( t), i ( t) 

C L 

u C 

� 1 � 

� 0 � �0� d �uC�C�uC� � � �� 

� 

� � � � 

� � � � � � 

� 

1 U 

dt i 1 

� � 

L R iL 

� � 

� 

� � �L� � L L 

� 

0 

53 

54 

27

RLC-Schwingkreis: Simulation, Zustandsraum 

U 0 

u C 

i L 

1 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

1.75 

1.5 

1.25 

0.75 

0.25 

1 

0.5 

0.75 

0.5 

0.25 

-0.25 

-0.5 

-0.75 

Signaldomänen 

t 

20 40 60 80 100 

t 

20 40 60 80 100 

t 

20 40 60 80 100 

t 

t 

t 

R � 0.1; L � 1; C � 1; U ( t) � �( 

t �10) 

u (0) �0; i (0) �0 

c L 

iL I$L t 

0.75 

0.5 

0.25 

-0.25 

-0.5 

-0.75 


0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 


Trajektorie im Zustandsraum 

� Signale, die physikalische Messgrößen im Sinne von Energien bzw. 

Energieflüssen repräsentieren, können einer Energiedomäne bzw. 

Signaldomäne zugeordnet werden. 

Energie-/Signaldomäne Dimensionen 

Elektrisch Spannung, Strom, Ladung, magnetischer 

Fluss 

Mechanisch (translatorisch) Kraft, Weg, Geschwindigkeit 

Mechanisch (rotatorisch) Moment, Drehwinkel, 

Winkelgeschwindigkeit 

Hydraulisch/pneumatisch Druck, Volumenstrom, Speichervolumen 

Thermisch Temperatur, Entropiefluss, Wärmefluss 

Optisch Lichtstrom, Leuchtdichte, ... 

... ... 



0 

V$3 t 

u C 

55 

56 

28

Definition: heterogenes System 

� Ein System, dessen Komponenten über Signale aus mehreren 

Signaldomänen interagieren, heißt heterogenes System. 

� Beispiel: das Rudersystem für das Modellflugzeug 

Elektrische Signale 

i 1 

i 2 

i 3 

u 1= UCtrl 

u 3 

u 2 

+ 

– 

i 0 

u 0= UB 

Weitere Systemeigenschaften 

Ein System heißt ... 

i 7 

M 5 

φ 5 

u 7 

i 4 

u 4 

u 5 

i 5 

i 6 

u 6 



� offen, wenn es mit seiner Umwelt interagiert. 

� geschlossen, wenn es nicht mit seiner Umwelt interagiert. 

� autonom, wenn es nur Ausgangssignale liefert aber keine 

Eingangssignale verarbeitet (Beispiel: Oszillator). 

M 4 

φ 4 

M 1 

ω 1 

M 6 

φ 6 

M 2 

ω 2 

M 7 

φ 7 

Mechanische Signale 

(rotatorisch) 

� konzentriert, wenn seine Signale nur Funktionen der Zeit aber nicht 

des Orts sind (Beschreibung durch gewöhnliche 

Differentialgleichungen) 

� verteilt, wenn seine Signale Funktionen der Zeit und des Orts sind 

(Beschreibung durch partielle Differentialgleichungen) 

� zeitvariant/zeitinvariant, wenn sein Verhalten vom Zeitpunkt der 

Betrachtung abhängt/nicht abhängt. 

� konservativ/nicht-konservativ (siehe folgende Seiten) 



φ 3 

M 3 

57 

58 

29

Definition: konservatives System (Physik) 

� Allgemeine Definition in der Physik: ein System heißt konservativ, 

wenn es energieerhaltend (nicht-dissipativ; verlustfrei) ist. 

� Beispiel: ideales Pendel im Vakuum 

g 

m 



Definition: konservatives System (Modellierung) 

φ 

1 2 3 4 

� Ein System heißt konservativ, wenn jedem Anschluss seiner 

Komponenten ein Paar von Signalen zugeordnet ist, deren Produkt 

eine Leistung (Energiefluss) repräsentiert, und das 

Verbindungsnetzwerk Energie(fluss) erhaltend ist. 

� Charakteristisch für konservative Systeme ist der bidirektionale 

Signalfluss (gegenseitige Rückwirkung von Komponenten) 

� Beispiele: elektrische und hydraulische Netzwerke 

U0(t) 

i L 

R L 

C 

u C 

0.5 

-0.5 



1 

-1 

Q: www.free-online-private-pilot-ground-school.com 

t 

59 

60 

30

Definition: nicht-konservatives System 

� Repräsentieren die Interaktionen der Komponenten abstrakte 

Signalflüsse, so wird ein System als nicht-konservativ bezeichnet. 

� Charakteristisch für nicht-konservative Systeme ist der 

unidirektionale Signalfluss (Rückwirkungsfreiheit der Komponenten) 

� Das Verbindungsnetzwerk unterliegt keinen Erhaltungsgleichungen. 

� Beispiele für nicht-konservative Systeme 

Regelungstechnische 

Blockdiagramme 

z1 z2 z3 X(s) + H1(s) Y(s) 

z 4 

H 2(s) 

clock_1 

(1 µs, 50%, 2 µs) 

clock_2 

(1.3 µs, 75%, 

2.5 µs) 

clk_1 

clk_2 


Digitale Logikschaltungen 

inv_1 

(100 ns) 


clk_2q 

and2_1 

(100 ns) 

Aufstellung der Modellgleichungen für nicht-konservative 

Systeme 

1. Weise jedem Knoten k (= Ausgang der k-ten Komponente) eine 

eindeutige Variable z k zu. 

2. Schreibe alle Ausgangsgrößen z k als Funktion der Eingangsgrößen. 

z h 

z i 

z j 

f(z h, z i, z j) 

zk � f ( zh, zi, zj 

) 



z k 

dout 

61 

62 

31

Beispiel: regelungstechnisches Blockschaltbild 

� Signalflussdiagramm (nicht-konservatives System) 

X(s) 

� Gleichungssystem 

z1 z2 z3 + H1(s) Y(s) 

z 4 

Beispiel: Logikschaltung 

H 2(s) 

z � X( s) 

1 

z � z �z 

2 1 4 

z �H( s) �z 

3 1 2 

z �H( s) �z 

4 2 3 



� Signalflussdiagramm (nicht-konservatives System) 

clock_1 

(1 µs, 50%, 2 µs) 

clock_2 

(1.3 µs, 75%, 

2.5 µs) 


clk_1 

clk_2 

inv_1 

(100 ns) 

clk1� 

clock1 

clk2 

� clock2 

clk2q�clk2 dout �clk1�clk2q clk_2q 


and2_1 

(100 ns) 


dout 

63 

64 

32

Fluss- und Differenzgrößen in konservativen Systemen 

� Charakteristisch für konservative Systeme ist die Verknüpfung 

jedes Anschlusses (Klemme) eines Elements bzw. Tors des 

Verbindungsnetzwerks mit einer Flussgröße Φ und einer 

Differenzgröße Δ, für die Erhaltungsgleichungen (Kirchhoffsche 

Gesetze) gelten. 

� Beispiel: elektrisches Netzwerk 

Φ 1 = i 1 

Δ 1 = u 1 

Fluss- und Differenzgrößen 

Δ 2 = u 2 

� � � � 0 

1 2 

�� 0 

1 2 

Φ 2 = i 2 



� Eine Differenzgröße (effort; across quantity) ist eine Größe, die 

zwischen zwei Punkten im System bzw. mit Referenz auf einen 

Bezugspunkt gemessen wird. 

� Eine Flussgröße (flow; through quantity) repräsentiert Kräfte oder 

Stofftransporte durch eine Komponente bzw. entlang einer 

Verbindung zwischen Komponenten; sie kann nur durch das 

Aufschneiden der Verbindung direkt sichtbar gemacht werden. 

� Anmerkung: Flussgrößen werden oft indirekt mit Hilfe von 

Differenzgrößenmessungen bestimmt: 

– Messung eines elektrischen Stroms I über die Spannung U an einem 

Serienwiderstand 

– Messung eines Volumenstroms J in einem Rohr über die 

Durchflussgeschwindigkeit v 

– Messung einer Kraft F über die Auslenkung Δx einer Feder 

– Messung eines Moments M über den Drehwinkel Δφ einer Torsionsfeder 



R 

65 

66 

33

Fluss- und Differenzgrößen in verschiedenen 

Energiedomänen 

� Das Produkt aus korrespondierenden Fluss- und Differenzgrößen 

hat die Dimension einer Leistung (power conjugate quantities). 

Energiedomäne Flussgröße Φ Differenzgröße Δ Leistung P 

[W] 

Elektrisch Strom I [A] Spannung U [V] P = UI 

Mechanisch 

(translatorisch) 

Mechanisch 

(rotatorisch) 

Kraft F [N] Geschwindigkeit v [m/s] P = Fv 

Moment M 

[Nm] 

Hydraulisch Volumenstrom 

J [m 3 /s] 

Thermisch Entropiefluss S 

[J/(Ks)] 

Winkelgeschwindigkeit ω 

[1/s] 

Druck p [N/m 2 ] 

Temperaturdifferenz ΔT 

[K] 



Alternative Fluss- und Differenzgrößen-Paare 

P = Mω 

P = pJ 

P = SΔT 

� Aus praktischen Gründen werden für mechanische und thermische 

Systeme auch alternative Fluss- und Differenzgrößen-Paare 

verwendet 

� Der Leistungsfluss ergibt sich jedoch nicht aus dem Produkt der 

korrespondierenden Fluss- und Differenzgrößen. 

Energiedomäne Flussgröße Φ Differenzgröße Δ Leistung [W] 

Mechanisch 

(translatorisch) 

Mechanisch 

(rotatorisch) 

(Pseudo-) 

Thermisch 

Kraft F [N] Auslenkung Δx [m] P = F dx/dt 

Moment M 

[Nm] 

Wärmestrom Φ 

[J/s] 

Winkel Δφ [1] P = M dφ/dt 

Temperaturdifferenz ΔT 

[K] 



P = Φ 

67 

68 

34

Themenbereiche für diese Vorlesung 

� Wir beschäftigen uns in erster Linie mit heterogenen, analogen, 

dynamischen Systemen. 

� Diese können konservativ oder nicht-konservativ sein. 



Mathematische Grundlagen der Systemanalyse: 

Laplace-Transformation 

� Motivation: wozu brauchen wir die Laplace-Transformation? 

� Definition des Begriffs „Transformation“ 

� Definition der Laplace-Transformation 

� Eigenschaften der Laplace-Transformation (Rechenregeln) 

� Rücktransformation in den Zeitbereich 

� Anwendung der Laplace-Transformation auf die Analyse linearer 

dynamischer Systeme 



69 

70 

35

Laplace-Transformation: Motivation (1) 

� Lineare zeitinvariante Systeme (LTI-Systeme) werden durch lineare 

Differentialgleichungssysteme (bzw. DAE-Systeme) mit konstanten 

Koeffizienten beschrieben. 

U0(t) 

i L 

R L 

C 

� Die Lösung solcher Gleichungen im Zeitbereich ist mühsam 

(� Diagonalisierung, Eigenwerte, Matrix-Exponentialfunktion, ...) 

u C 

� 1 � 

� 0 � �0� d �uC�C�uC� � � �� 

� 

� � � � 

� � � � � � 

� 

1 U 

dt i 1 

� � 

L R iL 

� � 

� 

� � �L� � L L � 

� Mit Hilfe der Laplace-Transformation kann die Lösung eines 

linearen Differentialgleichungssystems mit konstanten Koeffizienten 

in ein einfaches algebraisches Problem transformiert werden, das 

mit den Mitteln der linearen Algebra lösbar ist. 



Laplace-Transformation: Motivation (2) 

� Die Laplace-Transformation berücksichtigt Anfangsbedingungen und 

erlaubt damit die Lösung linearer Anfangswertprobleme: 

� 1 � 

� 0 � �0� d �uC�C�uC� � � �� 

� 

� � � � 

� � � � � � 

� 

1 U 

dt i 1 

� � 

L R iL 

� � 

� 

� � �L� � L L � 

� Die Laplace-Transformation kann als Transformation von 

Zeitfunktionen in den Frequenzbereich interpretiert werden. Dies 

ermöglicht die Analyse des Frequenzverhaltens von LTI-Systemen 

(� Übertragungsfunktionen). 

� Damit ist die Laplace-Transformation eins der wichtigsten 

mathematischen Werkzeuge in der Nachrichten- und 

Regelungstechnik. 

0 



�uC(0) � �uC0� � �� 

� 

� iL(0) 

� � iL0 

� 

71 

72 

0 

36

Laplace-Transformation: Analyse von LTI-Systemen im 

Frequenzbereich 

differential 

equations 

Time domain 

Laplace/ Fourier 

transform (*) 

(*) also z-transform 

è digital filters 

s/ jw domain 

solution v(t) 

algebraic equations 



inverse 

transformation 

V(s) 

“frequency domain” 

Laplace-Transformation: Begriffsdefinitionen (1) 

Q: R. Sommer, TU Ilmenau, 2008 

� Eine Funktion ist eine eindeutige Abbildung von einer Punktmenge 

auf eine andere Punktmenge. 

x f ( x) 

� Beispiel: 

f ( x) x 

� 2 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

f(x) 

-1 -0.5 0.5 1 



1 

x 

73 

74 

37


� Eine Transformation ist eine Abbildung einer Funktion auf eine 

andere Funktion. 

f( t) F( 

�) 

� Beispiel 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

-1 -0.5 0.5 1 

-0.2 

f(t) 

� 

� j�t F( �) 

� � f ( t) e dt 

�� 

|F(ω)| 

1 

t 


0.5 

0.4 

0.3 

0.2 

0.1 

-30 -20 -10 10 20 30 

-0.1 



� Eine Funktional ist eine Abbildung einer Funktion auf einen Punkt. 

� Beispiel 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

-1 -0.5 0.5 1 

-0.2 

f(t) 

1 

f () t z 

t 

� 

� � () z f t dt 

�� 



z 

� 1 

ω 

75 

76 

38


� Eine Funktion 

f : 

� 

0 

ist von exponentieller Ordnung σ, wenn 

� � � � 

0 

M� t� 

� � 

f () t �M�e � In Worten: Eine Funktion f ist von exponentieller Ordnung, wenn es 

eine Exponentialfunktion gibt, die punktweise eine obere Schranke 

für den Betrag von f darstellt. 


�t 


Laplace-Transformation: Voraussetzungen 

� f(t) ist von exponentieller Ordnung σ 

� f(t) = 0 für t < 0 

� f(t) besitzt eine endliche Anzahl von Minima und Maxima in jedem 

beliebigen endlichen Intervall innerhalb 0 < t < ∞ 

� f(t) besitzt eine endliche Anzahl von endlichen Unstetigkeiten in 

jedem beliebigen endlichen Intervall innerhalb 0 < t < ∞ 

f(t) 

0.5 

-1 1 2 3 4 5 

-0.5 

1 

-1 

f( t) ��( t �1) 

g(t) 

0.5 

-1 1 2 3 4 5 

-0.5 



1 

t t 

-1 

��t 

g( t) � e sin�t 

Q: J. Achenbach, Analoge und digitale Filter und Systeme, 1991 

77 

78 

39

Laplace-Transformation: Transformationsvorschrift 

� Die (einseitige) Laplace-Transformation von f(t) ist definiert durch 

� 

�st 

F( s) � �f ( t) � ��f( t) e dt 

0 

mit komplexer Frequenz 

s � 

s �� j� 

� Schreibweise für Transformationsbeziehung zwischen Funktionen im 

Zeit- und Frequenzbereich: 

f( t) F( s) 

; 



Laplace-Transformation: Einige Korrespondenzen 

� � � � 

f t F s F s f t 

�1 

( ) � ( ) ( ) � ( ) 

� ( t) 

1 

� () t 

n 

t � ( t); n � 0,1,2,... 

�at 

e � () t 

n �at 

t e � () t 

cos( � t) �( 

t) 

sin( � t) �( 

t) 

1 

s 

n! 

n�1 

s 

1 

s�a n! 

( s�a) s 

� � 

�0 

s 

� � 


n�1 

0 2 2 

s 0 

0 2 2 

0 


79 

80 

40

Laplace-Transformation: Rücktransformation 

� Die Rücktransformation erfordert die Berechnung eines 

Kurvenintegrals in der komplexen s-Ebene. 

� � jA 

�1 

1 

st 

f ( t) � �F( s) � � lim 

� � F( s) e ds 

2 j 

A�� 

� � jA 

� In der Praxis wird für Hin- und Rücktransformation die 

Korrespondenztabelle verwendet. 

� Dazu ist die Kenntnis der Sätze der Laplace-Transformation 

notwendig. 



Laplace-Transformation: Einige Sätze 

� Linearität 

� Verschiebung und Streckung im Zeitbereich 

� Differentiation 

� Faltung 

� Integration 

� � 

af ( t) � bf ( t) � aF ( s) � bF ( s) 

1 2 1 2 

� 

� � 1 

b 

s s a 

f ( at b) e F( 

) 

a a 

� � 

�d� � f t ��sFs� 

s f 

�dt � 

n 

n ( ) 

n 

( ) 

n 

n�k � 

k�1 

( k �1) 

(0) 

� � 

f ( t) �g( t) � F( s) �G( 

s) 

t �� 

1 

��f( �) d��F( s) 

�� 0 �� 

s 



81 

82 

41

Laplace-Transformation: Verknüpfung von Differentiation 

und Integration 

� Es seien D der Differentialoperator und D -1 der inverse 

Differentialoperator (Integrationsoperator) im Zeitbereich: 

d �1 

D : � ; D : ��d� 

dt 

� Es sei F(t) eine Stammfunktion von y(t): 

t 

� 

0 

F( t) � y( t) dt � F '( t) � y( t) 

� Nach den Sätzen der Laplace-Transformation gilt: 

D y( t) sY( s) � y(0) 

1 

( ) ( ) 

s 

�1 

D y t Y s 





� Verknüpfung der Operationen: Differentiation, danach Integration 

t 

� 

�1 

( D D) y( t) � y '( � ) d� � y( � ) � y( t) � y(0) 

0 

1 y(0) 

�sY( s) � y(0) � � Y( s) � y( t) � y(0); t � 0 

s s 



t 

0 

t 

0 

83 

84 

42



� Verknüpfung der Operationen: Integration, dann Differentiation 

t 



t 

� 0 � 

�1 

d d 

( D D ) y( t) � � y( � ) d� � F( 

� ) 

dt dt 

0 

d d 

� F( t) � F(0) � y( t) 

dt dt 

�1 � 

s � Y( s) ��F(0) 

�Y( s) ��y( 

�) d� 

�s� 0 

0 

y( t); t � 0 


und Integration; Schlussfolgerungen 

� Anfangsbedingungen y(0) bzw. F(0) werden in beiden 

Verknüpfungsrichtungen korrekt berücksichtigt. 

� Konsequenz: im Laplace-Frequenzbereich darf mit dem 

Differentialoperator s und dem Integrationsoperator s -1 = 1/s 

algebraisch gerechnet werden (Multiplikation, Division, Kürzen): 

�1 

s s s 

� � 1 � 

s 

1 

s 

�1 

� s s � �s � 

� Anmerkung: dies gilt nicht für den D-Operator im Zeitbereich! 

� Damit können mit Hilfe der Laplace-Transformation lineare 

Anfangswertprobleme mit algebraischen Mitteln gelöst werden. 

1 

1 



85 

86 

43

Laplace-Transformation: Lösung linearer 

Anfangswertprobleme 

� Gegeben sei das Anfangswertproblem (AWP) 

mit 

a y a y a y a y 

( n) ( n�1) 

n � n�1�... 

� 1 � 0 � 

b x � b x � ... � b x � b x 

( m) ( n) 

m m�1 

1 0 

() i 

y (0) � y ; a � ; i � 0... n 

i,0 i 

( j ) 

x (0) � x ; b � ; j � 0... m 

t � 0 

j,0 j 





� Unter Verwendung der Sätze zur Linearität und zur Differentiation 

lautet die Laplace-Transformierte des AWP: 

n i 

n n� � i �k� 

ans � an�1s�... � a1s � a0 Y( s) � ��ai�sy( k �1),0� 

i�0� k�1 

� 

1 

� � 

m j 

m m�1� j �k� 

� �bms � bm�1s�... � b1s � b0 � X( s) � ��bj�sx( k �1),0� 

j�0� k�1 

� 



87 

88 

44



� Lösung des Problems durch algebraische Auflösung der Gleichung 

nach Y(s), anschließend Rücktransformation in den Zeitbereich. 

b s b s b s b 

Y( s) � 

X( s) 

a s a s a s a 

� 

Laplace-Transformierte der Nullzustandsantwort 

Übertragungsfunktion H(s) 

m 

m 

� 

m�1 

m�1�... 

� 1 � 0 

n 

n 

� 

n�1 

n�1�... 

� 1 � 0 

� � � � 

� � � 

� � � � 

n i 

i�k ��ai�s y( k �1),0 � 

m j 

j�k � bj�sx( k�1),0 

i �0 k �1 

j �0 k �1 

a s a s a s a 

n n�1 

n � n�1�... 

� 1 � 0 

Laplace-Transformierte der Nulleingangsantwort 




Differentialgleichungssysteme 

� Gegeben sei ein Differentialgleichungssystem 1. Ordnung: 

� y1 � �a11 � � � 

� y2 � � 

a21 � 

� � � 

�� 

� y � �a n n1 a12 a22 an2 a � � y1 � � b 

1n 

1 � 

� � � � � 

a2n ��y2��b2��x 

� � � � � 

� �� 

a 

� 

nn � � yn � �bn � 

y A 

y b 

� Die Laplace-Transformation des DGl-Systems ergibt ein lineares 

Gleichungssystem (Lösung durch Gauß- Verfahren, Cramersche 

Regel, etc.) 

s Y( s) � y(0) � A Y( s) � b X( s) 

� � 

� sE � A Y( s) � b X( s) 

� y(0) 



89 

90 

45

Laplace-Transformation: Beispiel Einschaltvorgang 

I 0 

t = 0 t = 0 

C 1 

� Zustandsgleichungen 

u 

� 1 

� 

� u 

� 

C1�RC1 � � � � 

�uC2�� 1 

� 

� RC2 1 � 

RC 

� 

1 � u � � � 

� C1 

I () t � 

�� 

1 � 

� �uC2�� 0 � 

RC 

� 

2 � 

� uC1��4 � � � � � 

�uC2��1 4 � � uC1��4 I�( t) 

� 

� �� 

�1� 

�uC2��0� u C1 

R 

C 2 

u C2 






R � 1 

2 

I () t � I 

0 

u (0) � U 

C1 

0 

C 2 

1 

C1 

� 

4 

C � 1 

(0) � 0 

� Laplace-Transformation der Zustandsgleichungen 

� uC1��4 � � � � 

�uC2��1 4 � � uC1��4 I�( t) 

� 

� �� 

�1� 

�uC2��0� �4I� �s�4 �4 � �UC1( s) 

� � � �U0� � � �� s� 

� � � � 

� �1s�1��UC2( s) 

� � � � 0 � 

� 0 � 

sE�A Y( 

s) 

y(0) 

X( 

s) 

� Lösung der linearen Gleichungen, Partialbruchzerlegung 

�1 

��4I� � 

�UC1( s) � �s�4 �4 

� �� U0� � � � � 

� � � � � 

s 

� � � � 

�U � � � � � � � � � 

� 

C2( 

s) 1 s 1 0 

�� 0 � � 

�1 

Y( s) ( sE�A) � y(0) 

� 

�X( s) 

� 

� 4I 16I 16I 

4U0 

U0 

� 

� � � � � 

2 

5s 25s 25( s �5) 5( s �5) 

5s 

� 

� � � 

� 4I 4I 4I 

U � 

0 U0 

� � � � � 

2 

� � 

� 

�5s25s25( s 5) 5( s 5) 5s 

� 

91 

92 

46


� Rücktransformation in den Zeitbereich unter Verwendung der 

Korrespondenztabelle 

� Bemerkung: 

� 4I 16I 16I 

4U0 

U0 

� 

� � � � � 

2 

�U � 

� � 

� 

C1( 

s) 5s 25s 25( s 5) 5( s 5) 5s 

� � � � � 

�UC2( s) � � 4I 4I 4I 

U � 

0 U0 

� � � � � 

2 

� � 

� 

�5s25s 25( s 5) 5( s 5) 5s 

� 

�4I16I 16I 

�5t 4U0 

�5t 

U0 

� 

� t � � e � e � 

�u � 

� 

C1() 

t 5 25 25 5 5 

� � � � � 

�uC2() t � �4I4I4I�5t U0 �5t 

U0 

� � � � 

� 

� t e e � 

� 5 25 25 5 5 � 

� uC1(0) � �U0� � � � � � 

�uC 2(0) 

� � 0 � 



Systematische Aufstellung von Modellgleichungen für 

konservative Systeme 

� Elementebeziehungen: allgemeine n-Tore bzw. n-Pole 

� Verbindungsnetzwerke 

� Verallgemeinerte Kirchhoffsche Gesetze 

� Graphenstruktur konservativer Systeme 

� Grundlagen der Graphentheorie 

� Inzidenzmatrizen 

� Aufstellung der Strukturgleichungen für Verbindungsnetzwerke 

� Schleifenströme und Knotenpotentiale 

� Aufstellung von Modellgleichungssystemen mit Hilfe der 

modifizierten Knotenpotentialanalyse 



93 

94 

47

Allgemeine Darstellung konservativer Systemkomponenten 

als n-Tore oder n-Pole 

� n-Tor-Darstellung � n-Pol-Darstellung 

Δ 1 

Δ 2 

Φ 1 

Φ 1 

Φ 2 

Φ 2 

f ( � , � ) � 0 

1.. n 1.. n 

Φ 3 

Φ 3 

Φ n 

Φ n 

f: mehrdimensionale 

funktionale Abhängigkeit 

zwischen den Torgrößen 

(Elementebeziehung) 

Beispiel: Elektromotor 

Δ 3 

Δ n 

Δ 1 

Φ 1 

Φ 2 

Δ 2 


f ( � , � ) � 0 

1.. n 1.. n 


Φ ref 

Φ 3 

Φ n 

Δ n 

Referenzknoten (Massepotential), 

oft nicht explizit herausgeführt! 

� Zweitor- (bzw. Vierpol-)Darstellung des Elektromotors 

i 1 

mit 

u 1 

� � i , � � M 

1 1 2 2 

� � u , � � � 

1 1 2 2 

M 2 

ω 2 


Φ 1 

Δ 1 

Φ 1 


Φ 2 

Δ 2 

Φ 2 

f( 

�1, �2, �1, �2) � 0 

� � K � � D� � J� 

� 0 

2 M 1 2 2 

� � K � � R� � L� 

� 0 

1 M 2 1 1 

Δ 3 

95 

96 

48

Verbindung von n-Toren/n-Polen 

� Das Verbindungsnetzwerk (rot) verknüpft die b Tore T k (k = 1, ..., b) 

der Komponenten zu einem konservativen System. 

f 1 

Φ 1 

Δ 1 

Φ 1 

f2 Φ Φ 

f3 Δ 2 

4 

7 f4 Δ 2 

Φ 2 

1 

2 

3 

4 

Φ 3 

Δ 3 

Φ 3 

Δ 4 

Φ 4 

Φ 7 

Φ 7 



Graphenstruktur konservativer Systeme (Topologie) 

Φ 5 

Δ 5 

Φ 5 

Φ 6 

Δ 6 

Φ 6 

� Betrachtet man nur die Tore und das Verbindungsnetzwerk eines 

konservativen Systems, so erhält man eine Graphenstruktur. 

� Das Tor T k (k = 1, ... , b) wird durch einen Zweig b k repräsentiert, der 

mit der Flussgröße Φ k und der Differenzgröße Δ k verknüpft ist. 

� Insgesamt enthält das System 2b Unbekannte: Φ 1, ..., b, Δ 1, ..., b 

b 1 

b 2 

Φ 1 

Δ 1 

Φ 1 

Φ 2 

Δ 2 

Φ 2 

1 

2 

3 

4 

Φ 3 

Δ 3 

Φ 3 

Φ 4 

Δ 4 

Φ 4 

b 3 

b 4 

b 5 

b 6 

Φ 5 

Δ 5 

Φ 5 

Φ 6 

Δ 6 

Φ 6 



6 

7 

6 

Φ 7 

Δ 7 

Φ 7 

7 

b 7 

5 

5 

8 

b 8 

8 

Φ 8 

Δ 8 

Φ 8 

Φ 8 

Δ 8 

Φ 8 

9 

10 

9 

10 

Φ 9 

Φ 9 

Φ 9 

Δ 9 

Φ 9 

Φ 10 

Δ 10 

Φ 10 

Δ 9 

Φ 10 

Δ 10 

Φ 10 

f 5 

f 6 

b 9 

97 

b 10 

98 

49

Graphentheorie: Definition Graph 

� Ein (gerichteter, endlicher) Graph G besteht aus 

– einer nichtleeren, endlichen Menge V (Knoten, englisch: vertices), 

– einer endlichen Menge E, die mit V elementefremd ist (Kanten oder 

Zweige, englisch: edges bzw. branches) 

– und einer Inzidenzabbildung Φ, die jeder Kante b k ein geordnetes Paar 

von Knoten (v i, v j) zuordnet. 

G �( V, E, 

�) 

V � E � � 

�: E V �V 

� Gemäß obiger Inzidenzabbildung Φ(b k) = (v i, v j) heißt die Kante b k 

positiv inzident mit v i und negativ inzident mit v j. 

Beispiel: Graph 

b 6 

v 2 

b 1 

b 4 

v 1 

v 4 



b 3 

b 2 

b 5 

v 3 

� Knotenmenge 

V v , v , v , v 

Graph G � � 

� Kantenmenge 

E b , b , b , b , b , b 

� Inzidenzabbildung 


� 1 2 3 4 


� � 

� 1 2 3 4 5 6 

k �( 

b ) 

�v2 v1� 

�v1 v3� 

�v2 v3� 

�v4 v2� 

�v3 v4� 

�v v 

� 

1 , 

2 , 

3 , 

4 , 

5 , 

6 , 

k 

4 1 

99 

100 

50

Graphentheorie: Definition Schleife 

� Eine endliche, alternierende Folge W von Knoten und Kanten in 

einem Graphen G heißt ein Weg. 

W � v , b , v , b ,..., b , v 

i1 k1 i2 k2 kn�1in � Sind mit Ausnahme des Anfangs- und Endknotens v i1 und v in alle 

Knoten in W paarweise verschieden, so heißt W elementarer Weg. 

� Ist v i,1 = v i,n, so heißt W geschlossener Weg. 

� Ein elementarer, geschlossener Weg heißt Schleife oder Masche 

(englisch: loop). 

� Anmerkung: da die Inzidenzabbildung bekannt ist, kann eine 

Schleife l auch ohne Nennung der beteiligten Knoten dargestellt 

werden, ggf. mit expliziter Angabe der Kantenorientierung: 

Beispiel: Schleifen 

b 6 

l 3 

Graph G 

v 2 

b 1 

b 4 

b 3 

v 1 

l 1 

l 2 

v 4 

l � b , b ,..., b 

( �) ( �) ( �) 

k1 k2 kn�1 



b 2 

b 5 

v 3 

� Schleifen 


l � b , b , b 

( �) ( �) ( �) 

1 1 2 3 

l � b , b , b 

( �) ( �) ( �) 

2 3 4 5 

l � b , b , b 

( �) ( �) ( �) 

3 1 4 6 

� Anmerkung: es gibt noch 

andere Möglichkeiten, die 

Schleifen zu legen 

(welche?) 


101 

102 

51

Definitionen: Zusammenhang, Teilgraph, Komponente 

� Ein Graph G = (V, E, Φ) heißt zusammenhängend, wenn es für jedes 

Knotenpaar (v i, v j) � V × V einen Weg von v i nach v j gibt. 

� Es sei V T � V eine Teilmenge der Knoten von G und E T � E die 

Menge der mit allen Knotenpaaren (v i, v j) � V T × V T inzidenten 

Kanten. Der Graph T = (V T, E T, Φ) heißt (knoten-)induzierter 

Teilgraph von G. 

� Ein maximal zusammenhängender Teilgraph eines nicht 

zusammenhängenden Graphen G heißt Komponente von G. 

Graph G K 1 

Komponenten 



Graphentheorie: Definition Knoteninzidenzmatrix 

� Es sei n die Anzahl der Knoten und b die Anzahl der Kanten eines 

zusammenhängenden, gerichteten Graphen G. 

� Die erweiterte Knoteninzidenzmatrix A a = [α ij] des Graphen G ist 

definiert als die (n × b)-Matrix mit 

� � 

ij 

K 2 

1 falls b j mit v i positiv inzident ist 

0 falls b j mit v i nicht inzident ist 

-1 falls b j mit v i negativ inzident ist 

� Die Zeilen der erweiterten Knoteninzidenzmatrix sind linear abhängig 

mit Rang(A a) = n – 1. 

� Die (reduzierte) Knoteninzidenzmatrix A geht aus A a durch Entfernen 

einer beliebigen Zeile hervor; A ist linear unabhängig. 

� Für einen nicht zusammenhängenden Graphen mit m Komponenten gilt 

Rang(A a) = n – m . 



K 3 

103 

104 

52

Beispiel: Knoteninzidenzmatrix 

b 6 

Graph G 

v 2 

b 1 

b 4 

v 1 

b 3 

v 4 

b 2 

b 5 

v 3 

� Erweiterte 

Knoteninzidenzmatrix 

Aa 

� (Reduzierte) 

Knoteninzidenzmatrix 

(Zeile 4 von A a entfernt) 



��11000�1� � 

� 

� 

� � 

1 0 1 1 0 0 

� 

� 0 �1�10 1 0� 

� � 

� 0 0 0 1 �1 

1� 

��11000�1� A � 

� 

� 

� 

� 

1 0 1 1 0 0 

� 

�� 0 �1�10 1 0�� 

Graphentheorie: Definition Schleifeninzidenzmatrix 

� Es sei l die Anzahl der Schleifen und b die Anzahl der Kanten in 

einem gerichteten Graphen G. 

� Die mit den gewählten Schleifen assoziierte Schleifeninzidenzmatrix 

B = [β ij] ist definiert als die (l × b)-Matrix mit 

� � 

ij 

1 falls l i mit b j positiv inzident ist (gleiche Orientierung) 

0 falls l i mit b j nicht inzident ist 

-1 falls l i mit b j negativ inzident ist 

(entgegengesetzte Orientierung) 

� Der maximale Rang einer Schleifeninzidenzmatrix in einem 

zusammenhängenden Graphen ist b – n + 1. 

� Für einen nicht zusammenhängenden Graphen mit m Komponenten 

gilt Rang(B) � b – n + m. 



105 

106 

53

Beispiel: Schleifeninzidenzmatrix 

b 6 

l 3 

Graph G 

v 2 

b 1 

b 4 

b 3 

l 2 

v 1 

l 1 

v 4 

b 2 

b 5 

v 3 


� Schleifeninzidenzmatrix 

� Anmerkung: B hat den 

höchsten möglichen Rang: 

Rang(B) = b – n + 1 

= 6 – 4 + 1 

= 3 


� 1 1 �1 

0 0 0� 

B � 

� 

� � � 

� 

� 

0 0 1 1 1 0 

� 

��100�101�� Erhaltungsgleichungen für Fluss- und Differenzgrößen in 

Verbindungsnetzwerken: Kirchhoffsche Gesetze 

� Flussgrößen: Knotenregel 

Φ 2 

� 

Φ 1 

Φ 3 

Φ 5 

Φ 4 



107 

� Differenzgrößen: Maschenregel 

� 

� k�k �0 

� k�k �0 

σ k = ±1 entsprechend der Inzidenz der Zweige mit dem Knoten/der Schleife 

Δ 1 

Δ 2 

Δ 3 

108 

54

Zusammenhang Kirchhoffsche Gesetze/Inzidenzmatrizen 

� Knotenregel (englisch: KCL = Kirchhoff‘s Current Law) 

Für alle Knoten vj: � � j, k� j, k 

k 

� 0 � Aφ � 0 

mit 

� Maschenregel (englisch: KVL = Kirchhoff‘s Voltage Law) 

Für alle Schleifen lj: � � j, k� j, k 

k 

� 0 � Bδ � 0 

mit 

� ( � ,..., � ) T 

φ 

1 

b 

� ( � ,..., � ) T 

δ 

1 

b 



Anzahl der topologischen Gleichungen, Rang des Systems 

� KVL und KCL liefern insgesamt b unabhängige Gleichungen für die 

Topologie eines konservativen Systems (b = Anzahl der Kanten) 

KCL: n – 1 unabhängige Knotengleichungen 

KVL: b – n + 1 unabhängige Maschengleichungen 

Summe: b unabhängige topologische Gleichungen 

� Zusammenfassung zu einem (b × 2b)-Gleichungssystem: 

�A 0� 

�φ� � � ��0 �0 B� �δ � 



109 

110 

55

Beispiel: Topologische Gleichungen 

l 3 

v 2 

Φ 3, Δ 3 

l 2 

v 1 

l 1 

v 4 

v 3 


��1 A � 

� 

� 

1 

�� 0 

1 

0 

�1 0 

1 

�1 

0 

�1 

0 

0 

0 

1 

�1� 

0 

� 

� 

0�� 

� 1 

B � 

� 

� 

0 

��1 1 

0 

0 

�1 

�1 0 

0 

�1 �1 

0 

�1 

0 

0� 

0 

� 

� 

1�� 

� Topologische Gleichungen 

A B 

��11000�1000000� ��1� �0� � 1 0 1 �1 

0 0 0 0 0 0 0 0� 

� � � � 

� � � � � � 

� 0 �1�10 1 0 0 0 0 0 0 0� 

��6 � � � � � 

� 0 0 0 0 0 0 1 1 �1 0 0 0� 

�� 1 � � 

� 0 0 0 0 0 0 0 0 �1 �1 �1 

0� 

� � � � 

� � � � � � 

� 0 0 0 0 0 0 �100�101� ��6�� 0� Modellierung und Simulation analoger Systeme 


Zusammenfassung der Zwischenergebnisse, 

Beobachtungen 

� Das Verbindungsnetzwerk eines konservativen Systems mit b Toren 

liefert b topologische Gleichungen in 2b unbekannten Fluss- und 

Differenzgrößen Φ 1, ..., b, Δ 1, ..., b . 

� Die topologischen Gleichungen lassen sich mit Hilfe der Knoten- und 

Schleifeninzidenzmatrizen des Netzwerkgraphen aufstellen. 

� Die topologischen Gleichungen sind immer linear – auch für 

nichtlineare Systeme! 

� Um alle Fluss- und Differenzgrößen Φ 1, ..., b, Δ 1, ..., b eindeutig 

bestimmen zu können, fehlen noch b Gleichungen. Diese müssen 

durch die Elementebeziehungen der n-Tore geliefert werden. 

� Das Aufstellen der topologischen Gleichungen in der bisher 

gezeigten Form ist nicht effizient. 

– Aufstellung der Schleifeninzidenzmatrix ist aufwändig 

– Große Matrizen 



111 

112 

56

Der Kirchhoff-Raum 

� Das (b x 2b)-System der topologischen Gleichungen 

�A 0� 

�φ� � � ��0 �0 B� �δ � 

T x 

hat die Form eines linearen Gleichungssystems 

Tx� 

0 

� Die Lösungsmenge des Gleichungssystems ist ein b-dimensionaler 

Vektorraum K; dieser heißt Kirchhoff-Raum: 

2b 

� � 

K � ker T � x � Tx � 0 

dim( K) � def( T) 

� 2b 

� b � b 



Allgemeine Lösung der topologischen Gleichungen 

� Da K ein Vektorraum ist, existiert eine allgemeine Lösung der 

Kirchhoff-Gleichungen in der Form 

mit 

und 

2b 

� � 

K � span( S) � x � x � Sy 

2 

S� , y� 

bxb b 

TS �0, Rang( S) 

�b 

� Bemerkung: S ist eine Basis des Kirchhoff-Raums. 

� Lässt sich die Matrix S in bereits bekannten Größen ausdrücken? 



113 

Ja ... (siehe folgende Seiten) 

114 

57

Multiplikation von Knoten- und Schleifeninzidenzmatrix 

b 6 

l 3 

v 2 

b 1 

b 4 

b 3 

l 2 

v 1 

l 1 

v 4 

b 2 

b 5 

v 3 


��1 A � 

� 

� 

1 

�� 0 

1 

0 

�1 0 

1 

�1 

0 

�1 

0 

0 

0 

1 

�1� 

0 

� 

� 

0�� 

� 1 

B � 

� 

� 

0 

��1 1 

0 

0 

�1 

�1 0 

0 

�1 �1 

0 

�1 

0 

0� 

0 

� 

� 

1�� 

� Produkt der Inzidenzmatrizen 

� 1 0 �1� 

� � 

�� 

1 0 0 

1 1 0 0 0 1 � �0 0 0� 

� � �� 

T 

1 1 0 

A�B � � � � 

� � 

� 

1 0 1 1 0 0 

� � � 

� � � 

0 0 0 

� 

� � � 

� � 0 1 1� 

� 0 1 1 0 1 0� �� 0 0 0� 

� � 

� 

0 �1 

0 

� � 

� 0 0 1� 



Orthogonalität der Inzidenzmatrizen A und B 

� Definition: exaktes Matrizenpaar 

n�bb�m Ein Matrizenpaar (K, M) mit K� , M� 

heißt exakt, wenn 

1. KM � �0 

2. Rang( K) �Rang( M) 

�b 

� Voraussetzung: Es sei A die Knoteninzidenzmatrix eines Graphen 

G und B eine Schleifeninzidenzmatrix von G mit maximalem Rang. 

� Satz: Das aus A und B gebildete Matrizenpaar (A, B T ) ist exakt. 

T 

AB � �0 

T 

Rang( A) �Rang( B 

) �b 

� Anmerkung: Der Satz gilt entsprechend für (B, A T ). 



115 

116 

58

Exaktes Matrizenpaar: Beweis (1) 

� Betrachte die p-te Zeile von A (korrespondierend mit dem Knoten v p) 

und die q-te Zeile von B (korrespondierend mit der Schleife l q). 

� Die Schleife l q enthält 

I. entweder keinen mit dem Knoten v p inzidenten Zweig (trivialer Fall) 

II. oder genau zwei mit v p inzidente Zweige b i und b j in einer von vier 

möglichen Anordnungen (a, b, c, d). 

a) 

c) 

b i 

b i 

v p 

l q 

v p 

l q 

b j 

b j 

b) 

d) 




� Matrixeinträge 

IIa) 

IIb) 

IIc) 

IId) 

b i 

b i 

b i 

b i 

v p 

l q 

v p 

lq vp l q 

v p 

l q 

b j 

b j 

b j 

b j 

b i 

b i 

A B AB 

bi bj bi bj T 

q 

� � � � � � 

� �1 �1 � � �1 �1 

� � 0 � 

� � � � � � 

� � � � � � 

v p l q p 

� � � � � � 

� �1 �1 � � �1 �1 

� � 0 � 

� � � � � � 

� � � � � � 

v p l q p 

� � � � � � 

� �1 �1 � � �1 �1 

� � 0 � 

� � � � � � 

� � � � � � 

v p l q p 

� � � � � � 

� �1 �1 � � �1 �1 

� � 0 � 

� � � � � � 

� � � � � � 

v p l q p 


v p 

l q 

v p 


l q 

b j 

b j 

117 

118 

59


� In allen zu betrachtenden Fällen heben sich die Produkte der 

Matrixeinträge gegeneinander auf. Das Gesamtergebnis ist: 

T 

AB 

� Für den Rang der Matrizen gilt 

� 0 

T 

Rang( A) � Rang( B ) � Rang( A) � Rang( B) 

� ( n �1) � ( b � n �1) 

� b 

� Der Beweis für (B, A T ) erfolgt auf die gleiche Weise. 

Eine Basis des Kirchhoff-Raums 



� Mit Hilfe der Exaktheitsbeziehung von A und B lässt sich eine 

allgemeine Lösung der topologischen Gleichungen finden. Wähle 

dazu φ und δ als Linearkombinationen der Spalten von A T und B T : 

φ �Bj, j� 

T b�n�1 δ � A v, v � 

T n�1 

� Damit kann eine Basis S für den Kirchhoff-Raum bestimmt werden: 

T 

�A 0��φ��A 0��B 

j� 

� � � � � � � � � � T � 

� 0 B� �δ��0 B��Av� �A � � 

� 0 

T 0� �B � � � 

B�� 0 

0 � � j� 

��0 

T 

A 

� �v� T S y 



119 

120 

60

Knotenpotentiale 

� Die n – 1 Elemente des Vektors v können als unabhängige 

Knotenspannungen (bzw. Knotenpotentiale) interpretiert werden. 

� Knotenpotentiale erfüllen immer KVL! 

v 2 

Φ 3, Δ 3 

Schleifenströme 

v 1 

v 4 

v 3 


Knoten ..... spannung 

��1 � ��1 � � � 

� 

�2�� 1 

�� 3 0 

� � � � 

��4�� 0 

�� 

5 0 

� � � 

�� 6��1 1 

0 

1 

�1 

0 

0 

0� 

��v1�v2� � � 

� 

� 

�1 

� � � � 

v1v3 v 

� 

1 

�1� � � � v � � 

2 v3 

�� 

v2 

� 

� � � 

0� 

� �v2 

� � � 

� �v3� 1 � v � 

3 

� v � � 

0� 

�� v1 

�� 

δ T 

A 


� Die b – n + 1 Elemente des Vektors j können als Schleifenströme 

(bzw. Schleifenflüsse) interpretiert werden. 

� Schleifenströme erfüllen immer KCL! 

j 3 

Φ 3, Δ 3 

j 2 

j 1 


Schleife(n) ..... strom 


121 

��1�� 1 

� � � 

� 

�2�� 

1 

�� 3 �1 � � � � 

��4 � � 0 

�� 

5 0 

� � � 

�� 6�� 

0 

0 

0 

�1 �1 �1 

0 

�1� 

� j1� j3� 

� � � 

0 

� � � � 

j1 

j 

� 

1 

0� 

� � �� j � � 1 j2 

�� 

j2 

� 

� � � 

�1� 

�� j2�j3 � � � 

� �j3� 0 � �j� 

2 

� j � � 

1� 

�� j3 

�� 

φ T 

B 

122 

61

Satz von Tellegen 

� Satz: In einem konservativen System gilt 

� Beweis: Mit φ = A T v und δ = B T j ist 

� � 

T 

T 

φ δ � 

T 

A v 

T T T 

�B j � v AB j � 0 

�0 

� Folgerung: Diese Eigenschaft ist nur von der Topologie des 

Systems abhängig. Der Satz gilt daher auch, wenn φ und δ aus zwei 

verschiedenen Netzwerken mit identischer Topologie stammen 

(siehe Übungsaufgabe 5). 

a) 

30 V 

10 Ω 

φ a 

10 Ω 

10 Ω 150 V 

φ , δ � 0 

a b 


T 

φ, δ �φδ�0 1 S 

2 V 

2 A 1 S 

3 S uc Technische Universität Ilmenau – Dr. Eckhard Hennig – WS2011/12 

Knotenpotentiale und Schleifenströme: Folgerungen 

� Die Knotenpotentiale und Schleifenströme bilden eine Basis des 

Kirchhoff-Raums. 

� Werden die Modellgleichungen für ein konservatives System in den 

Basisvariablen v und j formuliert, so ist keine Aufstellung und 

Lösung der topologischen Gleichungen erforderlich, da diese 

automatisch erfüllt sind. 

� Aus dieser Erkenntnis lassen sich effiziente, systematische 

Analyseverfahren für konservative Systeme ableiten, z. B. die 

Modifizierte Knotenanalyse (engl. modified nodal analysis, MNA). 

b) 



δ b 

u c 

123 

124 

62

Modifizierte Knotenanalyse (1) 

� Es seien G = (V, E, Φ) der Graph eines konservativen Systems mit b 

Toren und den zugehörigen Elementebeziehungen 

f( φ, δ) � 0; f : 

� Partitioniere E in zwei Teilmengen E1 und E2 mit korrespondierenden 

Flussgrößen φ1 und φ2 (Zweige dazu ggf. neu durchnummerieren). 

– E1 enthält die b – r Zweige b1 ... bb–r, deren Flussgrößen φ1 nicht als 

Steuergrößen für andere Zweige oder Beobachtungsgleichungen dienen 

und deren Elementebeziehungen sich in folgender Form schreiben 

lassen: 

b�rb�r φ � g( φ , δ); g: 

– E 2 enthält die übrigen r Zweige b b–r+1 ... b b mit den zugehörigen 

Elementebeziehungen 

h( φ , δ) � 0; h: 

2 

2b 

b 

b�r r 


� � 

E � E �E , E �E � �, φ � φ φ 

1 2 1 2 1 2 

1 2 



� Für die Elementebeziehungen gilt damit 

��φ1�g( φ2, δ) 

� 

f( φδ , ) � 0 � � ��0 

� h( φ2, δ) 

� 

� Partitioniere die Knoteninzidenzmatrix A von G entsprechend der 

Partitionierung von E. 

A � ��A1A2�� Mit der gewählten Partitionierung folgt aus KCL 

�φ1� Aφ � 0 � ��AA�� 0 

� A φ � �A 

φ 

2 

�φ2� 1 1 1 2 2 



T 

125 

126 

63


� Multipliziere die zu E 1 gehörigen Elementebeziehungen mit A 1, 

drücke die Zweigdifferenzgrößen durch Knotenpotentialdifferenzen 

aus und eliminiere φ 1. 

�A �� 

1 0� 

φ1 g( φ2, δ) 

� 

� �� 

� �0 

� 0 E� 

� h( φ2, δ) 

� T 

δ � A v 

T 

��A� � 

1φ1 A1g( φ2, A v) 

�� 0 

T 

� h( φ2, A v) 

� 

T 

�A�� 2φ2 A1g( φ2, A v) 

�� 0 

T 

� h( φ2, A v) 

� 

MNA-System: n – 1 + r Gleichungen in n – 1 + r Unbekannten v und φ 2. 



Elementweise Komposition des MNA-Systems 

� Betrachte den Zweig b i (entspr. i-ter Spalte von A). 

– Fall 1) b i � E 1 (i = 1, ..., b – r) 

� �i � gi( φ2, δ) 

– Fall 2) b i � E 2 (i = b – r + 1, ..., b) 

�h( φ , δ) 

�0 

i �b�r � Bestimme die MNA-Beiträge 

des Zweigs bi in allgemeiner 

Form. 

Fall 1 

2 

T 

�A�� 2φ2 A1g( φ2, A v) 

� ��0 

Fall 2 

T 

� h( φ2, A v) 

� 

v p 

Φ i 



Δ i 

v q 

Φ i 

b i 

b b 

b 1 

Φ 1 

b j ≠ i 

Δ 1 

Δ b 

Φ b 

127 

Φ j ≠ i 

Δ j ≠ i 

128 

64

MNA-Beiträge eines Zweigs: Fall 1 

� Betrachte die Beiträge des Zweigs b i zu A 1 und g: 

p � �1 

� � � 

T � � � T � 

Agφ 1 ( 2, A v) � 

� � 

� 

� 

gi 

( φ2, A v) 

� 

q � � � � � 

� 1 � � � 

� � 

� T � 

p 

� 

�gi 

( φ2, A v) 

� 

� � � 

� T � 

q ��gi( φ2, A v) 

� 

� � 

� � 

i 



MNA-Beiträge eines Zweigs: Fall 2 

� Betrachte die Beiträge des Zweigs b i zu A 2 und h: 

A φ 

2 2 

i – b + r 

� � i – b + r 

� � 

� � � � 

p 

� 

�1 � 

� � p 

� 

��i 

� 

� � 

� � 

� � � � � � 

� � 

� i � 

� � � � 

q � �1 � � � q ��i� � � � � 

� � � � 

� � 

T � T � 

h( φ2, A v) � 

� 

hi 

�b�r( φ2, A v) 

� 

� � 

� � 



129 

130 

65

Beispiel: Modifizierte Knotenanalyse (1) 

� Gegeben sei das abgebildete nichtlineare, dynamische elektrische 

Netzwerk. 

U 0(t) 

R B 

i B 

R E 

C E 

β i B 


R C 



� Elementebeziehung der unabhängigen Spannungsquelle 

(nicht auflösbar nach dem Zweigstrom i) 

i 

u = U 0 

0�i�u�U�u�U�0 0 0 

� Elementebeziehung des linearen elektrischen Widerstands 

(auflösbar nach dem Zweigstrom i, sofern R ≠ 0) 

R 

i 

u 

1 

R � i � u � 0 � � i � u � 0; R � 0 

R 



U B 

131 

132 

66


� Elementebeziehung der linearen Kapazität 

(auflösbar nach dem Zweigstrom i) 

C 

i 

du 

�i � C� � 0 

dt 

� Elementebeziehung der linearen stromgesteuerten Stromquelle 

(engl. current-controlled current source, CCCS) 

(auflösbar nach dem Zweigstrom i 2) 

i 1 

u 

i 2 = β i 1 

�i � � �i � 

2 1 0 




� Elementebeziehung der Diode 

(auflösbar nach dem Zweigstrom i) 

D 

i 

u 

uV / t � � 

�i � I e �1 � 0 

mit I S: Sperrsättigungsstrom (engl. reverse-bias saturation current) 

V t: Temperaturspannung (engl. thermal voltage) 

S 



133 

134 

67


� Netzwerkgraph und Partitionierung von Zweigmenge, 

Flussgrößenvektor und Knoteninzidenzmatrix 

v 1 

b 1 

b 6 

b 7 

b 2 

v 2 

v 3 

v 0 

v 4 

b 4 

b 3 

b � 8, n � 6, r � 3 

b 5 

b 8 

v 5 




� , , , 4, 

5� 

� , , � 

E � b b b b b 

1 1 2 3 

E � b b b 

φ 

φ 

2 6 7 

� 

� 

8 

�i , i , i , i , i � 

1 1 2 

2 6 

�i , i , i � 

7 

3 

8 

4 5 

� 1 0 0 0 0 1 0 0� 

� 

� 

� 

� 

1 0 0 0 0 0 1 0 

� 

A � � 0 1 1 �1 

0 0 �1 

0� 

� � 

� 0 0 0 1 1 0 0 0� 

� 

� 0 0 0 0 �1 

0 0 1� 

� 

A A 

� Ausdrücken des Differenzgrößenvektors durch Knotenpotentiale 

v 1 

b 1 

b 6 

b 7 

b 2 

v 2 

v 3 

v 0 

v 4 

b 4 

b 3 

b 5 

v 5 

δ � 

v � 



1 

T 

T 

2 

135 

�u , u , u , u , u , u , u , u � 

1 2 3 4 5 6 7 8 

�v , v , v , v , v � 

1 2 3 4 5 

�1�1000� �v1�v2� � � � � 

� 

0 0 1 0 0 

� � � � 

v3 

v 

� 

1 

b �00100� � � � v � 

8 

3 

� � � 

v2 

� � � 

�00�110� �v4 � v 

T 

3 

δ � A v � � �v� � � 

3 

�0001�1� � � �v � � 

4 v5 

� � �v4� � � 

�10000� � � � v1 

� 

� � �v5� 0 1 �1 

0 0 �v � � 

2 v3 

� � � � 

��00001�� v5 

�� 

T 

136 

T 

68


� Elementebeziehungen der Partition 1, Ersetzen der 

Zweigspannungen durch Knotenpotentialdifferenzen 



� � � 

1 1 

� u R 1 � 

� v1 v � 

B RB 

2 

� � 

� � 

1 1 

� u R 2 � 

� v � 

E RE 

3 

� � 

T � � 

φ1 � g�φ 2, 

δ� � �CEu3� � g�φ 2, 

A v� 

� � CEv 

3 � 

� �i � 

� 

� 

� 

� 7 � 

� 

i7 

� 

� 1 � � 1 � � �� 

� 

u RC 5 � � 

v RC 

4 v5 

� 


� Elementebeziehungen der Partition 2, Ersetzen der 

Zweigspannungen durch Knotenpotentialdifferenzen 

� u6 �U0 

� 

� � 

u7/ Vt 

h�φ 2, δ� 

� ��i7 � IS�e �1� ��0 

� � 

� u8�UB � 

� v1�U0 � 

� � 

T 

( v2�v3)/ Vt 

� h�φ2, A v� 

� ��i7 � IS �e �1� ��0 

� � 

� v5 

�U 

B � 



137 

138 

69


� Elementweise Aufstellen der MNA-Gleichungen 

1. R B 

2. R E 

3. C E 

4. CCCS 

5. R C 

6. U 0 

7. Diode 

8. U B 

�v v � 

1 � � 1� 2 �i 

� 

RB 

6 �0 � � 

� 

� � 

� 1 � �v � � � 

1 v2 

�i 

RB 

7 � � 

� � 

0 

� � 

� 1 � v � � � � 

3 C � � � 

E Ev3i7i 

R 

7 

� � 0 

� � 

� 1 �� i � � � � � 

7 v 4 v 

R 

� � 

� C 

5 � 0 

� � � 

� 1 � �v � � � � 

4 v5 

i8 

� � 

� RC 

� 0 

� � 

� � 

� 

� � 

� v1 U0 

� 0 

� � 

� � 

( v2�v3) / Vt 

� � 

� � 

� i7 

IS�e �1� 

� 

� 

0 

� 

� � 

� � 

� v5 

�U 

B � 

� � 

�0� Modellierung und Simulation analoger Systeme 


Modifizierte Knotenanalyse (MNA): Zusammenfassung 

� Die modifizierte Knotenanalyse ist in Bezug auf die zulässigen 

Formen von Elementebeziehungen ebenso allgemeingültig wie das 

(2b × 2b)-Sparse Tableau. 

� Die MNA liefert aber ein wesentlich kompakteres System von 

n – 1+ r Gleichungen in n – 1 + r Variablen v und φ 2. 

� Die Aufstellung von MNA-Gleichungen kann elementeweise aus 

einer Netzlistenbeschreibung eines Systems erfolgen. Eine 

Aufstellung von Knoten- und Schleifeninzidenzmatrizen ist nicht 

erforderlich. 

� Die MNA ist das in Netzwerk-Simulationsprogrammen am häufigsten 

eingesetzte Verfahren zur Gleichungsaufstellung. 



139 

140 

70

Modellierung elektronischer Systeme 

� Phase-Locked Loop (PLL) 

� Analog/Digital-Wandler 

� Top-Down- und Bottom-Up-Modellierung 

Phasenregelschleife (PLL) 



� Eine PLL (Phase-Locked Loop) ist ein nichtlineares elektronisches 

Regelungssystem, welches das Ausgangssignal eines gesteuerten 

Oszillators in Frequenz und Phasenlage mit einem periodischen 

Eingangssignal synchronisiert. 

-0.5 

1 

0.5 

-1 

-0.5 

1 

0.5 

-1 

2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 

Eingangssignal 

2 4 6 8 10 12 

PLL 

PLL 



0.5 

-0.5 

1 

-1 

2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 

mit Eingangssignal 

synchronisiertes 

Ausgangssignal (blau) 

0.5 

-0.5 

1 

-1 

2 4 6 8 10 12 

141 

142 

71

Typen und Anwendungen von PLL-Systemen 

� Typen u.a. 

– Lineare (analoge) PLL 

(LPLL, APLL) 

– Digitale PLL (DPLL) 

– Software-PLL (SPLL) 

� Anwendungen u.a. 

– Frequenz- und Phasenmodulation/-demodulation in Rundfunk- und 

Datenkommunikationssystemen (FM-Radio, WLAN, ...) 

– Entstörung von frequenz- und phasenmodulierten Signalen 

(Entrauschen, Kompensation von kurzzeitigem Signalverlust, ...) 

– Frequenzsynthese (FM-Radio, Mobilfunk, WLAN, ...) 

– Takt/Daten-Rückgewinnung in Datenkommunikations- und 

Speichersystemen (Festplatten, DRAM, ...) 

Prinzipieller Aufbau einer PLL 

Referenzfrequenz 

f ref 

f out/N 

FM-Empfänger 

Quarz- 

Oszillator 

HF- 

Verstärker 

PLL 



X 

Audioverstärker 

IF- 

Verstärker 

PD F(s) VCO 

Phasendifferenzdetektor 

Schleifenfilter Spannungsgesteuerter 

Oszillator 

÷N 

Frequenzteiler 



PLL- 

Demodulator 

143 

Modulationsspannung v m 

Ausgangsfrequenz 

f out 

144 

72

Komponenten einer PLL: Phasendifferenzdetektor 


f ref 

f out/N 

PD F(s) VCO 



Oszillator 

÷N 




Komponenten einer PLL: Phasendifferenzdetektor 

� Der Phasendifferenzdetektor liefert ein zur Differenz der 

Phasenlagen der Eingangssignale Δθ proportionales 

Ausgangssignal v p. 

-0.5 

1 

0.5 

-1 

0.5 1 1.5 2 

Δθ 

-0.5 

1 

0.5 

-1 

0.5 1 1.5 2 

-1 -0.5 0.5 1 

-0.5 

1 

0.5 

-1 

v p 

~K P 




0.5 

-0.5 

1 

-1 

v p = K P Δθ 

Δθ 


f out 

145 

0.5 1 1.5 2 

146 

73

Komponenten einer PLL: Gesteuerter Oszillator 


f ref 

f out/N 

PD F(s) VCO 



Oszillator 

÷N 




Komponenten einer PLL: Gesteuerter Oszillator 



f out 

� Der gesteuerte Oszillator (VCO, voltage-controlled oscillator) erzeugt 

ein periodisches Ausgangssignal v o(t) mit einer Frequenz ω, deren 

Differenz Δω zur Freilauffrequenz ω 0 proportional zu seiner 

Steuerspannung v m(t) ist. 

-1 -0.5 0.5 1 

-0.5 

Δω 

1 

0.5 

-1 

~K F 

Δω = K F v m 

v m 

0.5 

-0.5 

-1 

-1.5 

1 


2 4 6 8 


147 

1.5 v m 

ω = ω 0 + K F v m 

v o 

t 

148 

74

Komponenten einer PLL: Frequenzteiler 


f ref 

f out/N 

PD F(s) VCO 



Oszillator 

÷N 




Komponenten einer PLL: Frequenzteiler 



f out 

� Der Frequenzteiler erzeugt ein mit der Oszillatorfrequenz 

synchrones periodisches Ausgangssignal, dessen Frequenz um den 

Faktor N geringer ist als die Oszillatorfrequenz. 

� Frequenzteiler können mit Hilfe digitaler Zähler realisiert werden. 

� Der Frequenzteiler ist nur in PLL-Anwendungen zur 

Frequenzsynthese erforderlich, nicht bei Nachlauf-PLL (N = 1). 

-0.5 

1 

0.5 

-1 

Eingangssignal Ausgangssignal (N = 3) 

2 4 6 8 10 12 

-0.5 



1 

0.5 

-1 

2 4 6 8 10 12 

149 

150 

75

Komponenten einer PLL: Schleifenfilter 


f ref 

f out/N 

PD F(s) VCO 



Oszillator 

÷N 




Komponenten einer PLL: Schleifenfilter 



f out 

� Der Schleifenfilter bestimmt das dynamische Verhalten einer PLL. 

– Stabilität der Regelschleife 

– Einschwingverhalten bei sprunghafter Änderung der Referenzfrequenz 

bzw. –phase 

– Unterdrückung unerwünschter Frequenzkomponenten (HF-Anteile im 

Ausgang des Phasendifferenzdetektors, Rauschen) 

� Die Ausgangsspannung des Schleifenfilters steuert die Frequenz 

des Oszillators. 

� Der Schleifenfilter hat typischerweise Tiefpass-Eigenschaften mit 

einer Übertragungsfunktion F(s) der unten stehenden Form; die 

Wahl der Koeffizienten (Null oder von Null verschieden) bestimmt die 

Ordnung der PLL. 

2 

1�b1s�b2s 

F( s) � A0 

2 

1�as�as 

1 2 



151 

152 

76

Analoge Nachlauf-PLL (APLL) 


und -phase 

ω ref 

θ ref 

PD F(s) VCO 


Aufbau und Analyse der APLL 


Oszillator 



Modulationsspannung vm Ausgangsfrequenz 

� Realisierung und Modellierung des Phasendifferenzdetektors 

� Modellierung des VCO 

� Bestimmung der Übertragungsfunktion der APLL im eingerasteten 

Zustand (locked state) 

� Realisierung des Schleifenfilters 

� Ermittlung des zeitlichen Verhaltens der APLL im eingerasteten 

Zustand für verschiedene Filterordnungen 

– Wie reagiert die PLL auf sprunghafte Änderungen der 

Referenzfrequenz? 

� Ermittlung von Kenngrößen der PLL per Simulation (VHDL-AMS) 



Q: wikipedia 

und -phase 

ω out 

θ out 

153 

154 

77

Realisierung des analoger Phasendifferenzdetektors 

� Ein analoger Phasendifferenzdetektor kann durch einen 

Multiplizierer (Mischer) realisiert werden. 

� Die Phasendifferenz ergibt sich aus dem Gleichspannungsanteil des 

Mischprodukts (Filterung kann im Schleifenfilter erfolgen). 

0.5 

-0.5 

1 

-1 

2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 

v 1(t) 

v 2(t) 

× 2.5 

P � M 1 2 

v P(t) 

v ( t) K v ( t) v ( t) 

� K M: Verstärkungsfaktor des Mischers (engl. mixer gain), [K M] = 1/V 

-0.2 



Modellierung des Phasendifferenzdetektors 

0.6 

0.4 

0.2 

5 7.5 10 12.5 15 17.5 

� Gegeben seien zwei sinusförmige Signale v 1(t) = v ref(t) 

(Referenzsignal) und v 2(t) = v osc(t) (Ausgangssignal des VCO). 

�� 

�� 

v ( t) � A cos t � ( t) 

1 1 1 1 

v ( t) � A sin t � ( t) 

2 2 2 2 

� Befindet sich die PLL im eingerasteten (d.h. synchronisierten) 

Zustand (engl. locked state), so gilt: 

� �� 1 2 

��( t) � � ( t) �� 

( t) 

2 1 

-0.5 



1 

0.5 

-1 

Gleiche Frequenz 

2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 

Phasenabweichung zwischen 

Eingangs- und Ausgangssignal 

155 

156 

78


� Das Mischprodukt von v 1(t) und v 2(t) ergibt 

� Unter Verwendung der trigonometrischen Beziehung 

ergibt sich 

�� 

v ( t) �v ( t) � A A cos t � ( t) sin t � ( t) 

1 2 1 2 1 2 

1 

cos x sin y � ��sin�x�y��sin�x�y�� 2 

� 

AA 1 2 

v1( t) �v 2( t) � ��sin�2 �t ��1( t) �� 2( t) � � sin ��1( t) �� 

2( 

t) 

�� 

2 

� 

A1A2 A1A2 � sin �� ( t) � � sin�2 �t ��1( t) �� 

2( 

t) 

� 

2 2 

HF-Anteil bei 2ω herausfiltern! 




� Der HF-Anteil des Mischprodukts bei 2ω kann durch Filterung 

eliminiert werden. Wir nehmen kleine Phasendifferenzen Δθ an. 

� Die Transformation in den Frequenzbereich (Laplace) ergibt 

mit 

AA 1 2 

v p( t) � KMv1( t) v2( t) � KM sin � ( t) 

2 

AA 1 2 �KM��() t 

2 

V ( s) � K ��( 

s) 

p P 

K K 

AA 

2 

1 2 

P � M 


� � � 


ΔΘ(s) Vp(s) KP Laplace-Ersatzschaltbild 

157 

158 

79

Modellierung des spannungsgesteuerten Oszillators 

� Funktion des spannungsgesteuerten Oszillators 

� Forderung nach realistischem Verhalten: vosc(t) stetig auch bei 

sprunghafter Änderung von vm(t) � stetiges Argument φ(t) des 

Sinus! 

v ( t) � Asin �( t) : � Asin � t ��( 

v ( t)) 

� Instantane Kreisfrequenz ω(t) 

vm(t) VCO 

vosc(t) sinusförmig mit 

ω(t) = ω0 + KF vm (t) 

� � 

osc 0 m 

�( t) � �( t) � � � ��( t) � � �� 

( t) 

0 0 

� ��( t) � �( 

t) � K v ( t) 

F m 

��Kv() t 



0 

F m 

Modellierung des spannungsgesteuerten Oszillators 

� Wird das Übertragungsverhalten des VCO von einer Änderung der 

Steuerspannung v m(t) zur Phasenänderung θ(t) betrachtet, so kann 

der VCO als Integrator angesehen werden. 

t 

�( t) K v ( t) �( t) K v ( � ) d� 

� F m � � F � m 

0 

1 

�( s) �KF 

Vm( s) 

s 

V m(s) 

K F 

Laplace-Ersatzschaltbild 



1 

s 

Θ(s) 

159 

160 

80

Bestimmung der Übertragungsfunktion der APLL 

� Laplace-Ersatzschaltbild für den eingerasteten Zustand 


ΔΩ 

1 Θref(s) ΔΘ(s) Vp(s) ref(s) + KP F(s) 

s 

– 

Θ osc(s) 

VCO 

�� 

� Bestimme die Übertragungsfunktion Hs ( ) � 

�� 

1 

s 


osc 

ref 


Schleifenfilter 

ΔΩ osc(s) 



1 

�ref ( s) � ��ref 

( s) 

s 

��( s) � � ( s) � � ( s) 

ref osc 

V ( s) � K ��( 

s) 

p p 

� Gleichungssystem in Matrixform 

� 1 0 0 0 0 0� 

� �ref 

( s) � ��ref ( s) s� 

��110001� � ��( s) 

� � 0 � 

�0�K1000� � V � � � 

p( 

s) 

P 

� �� 

� 

0 

� 

0 0 �F( s) 1 0 0 � � 

� � � Vm( s) 

� 0 

0 0 0 �K 1 0 �� 

� � 

F � � � ( ) � 0 

osc s 

� 

� � 

�00001/ s 1� � 

� � ( ) � 

� � 0 

osc s 

� 



K F 

V ( s) � F( s) V ( s) 

m p 

�� ( s) � K V ( s) 

osc F m 

1 

�osc( s) � ��osc( 

s) 

s 

V m(s) 

161 

162 

81


� Übertragungsfunktion der PLL 

��osc( 

s) KPKFF( s) 

Hs ( ) � � 

�� ( s) s � K K F( s) 

ref P F 

� H(s) beschreibt die Änderung der Ausgangsfrequenz infolge einer 

Änderung der Referenzfrequenz. 

� Das dynamische Verhalten der PLL hängt von der 

Übertragungsfunktion des Schleifenfilters F(s) ab. 

– Ein Filter 0. Ordnung (konstante Verstärkung) ergibt eine 

PLL-Übertragungsfunktion 1. Ordnung (� PLL 1. Ordnung) 

– Ein Tiefpassfilter 1. Ordnung ergibt eine 

PLL-Übertragungsfunktion 2. Ordnung (� PLL 2. Ordnung) 

Realisierung des Schleifenfilters 



� Filter 0. Ordnung = konstante Verstärkung A 0 � PLL 1. Ordnung 

Magnit 

ude 

1.0 E1 

5.0 E0 

2.0 E0 

1.0 E0 

5.0 E 1 

2.0 E 1 

F( s) � A0 

F(s)/A 0 

1.0 E 1 

1.0 E 3 1.0 E 2 1.0 E 1 

Frequency 

1.0 E0 1.0 E1 

KPKFA0 � ��osc( s) � ��ref 

( s) 

s � K K A 

Magnit 

ude 

1.0 E1 

5.0 E0 

2.0 E0 

1.0 E0 

5.0 E 1 

2.0 E 1 

P F 

H(s) 



0 

� � KPKFA0 1.0 E 1 

1.0 E 3 1.0 E 2 1.0 E 1 

Frequency 

1.0 E0 1.0 E1 

163 

164 

82

Realisierung des Schleifenfilters 

� Tiefpassfilter 1. Ordnung � PLL 2. Ordnung 

Magnit 

ude 

A0 

Fs ( ) � 

1� 

sT 

1.0 E1 

5.0 E0 

2.0 E0 

1.0 E0 

5.0 E 1 

2.0 E 1 

F(s)/A 0 

1.0 E 1 

1.0 E 3 1.0 E 2 1.0 E 1 

Frequency 

1.0 E0 1.0 E1 

KPKFA0 � ��osc( s) � T ��ref 

( s) 

2 1 KPKFA0 s � s� 

T T 

Magnit 

ude 

1.0 E1 

5.0 E0 

1.0 E0 

5.0 E 1 

2.0 E 1 

H(s) 

� � 2.0 E0 

1 

T T 


1.0 E 1 

1.0 E 3 1.0 E 2 1.0 E 1 

Frequency 

1.0 E0 1.0 E1 


Bestimmung des Verhaltens der APLL im Zeitbereich 

� Wie reagiert eine PLL 1. Ordnung auf eine sprunghafte Änderung 

der Referenzfrequenz ωref? �� 

�� 1 

ref ( t) ( t) ref ( s) 

s 

KPKFA0 KPLL 

1 

��osc( s) � ��ref ( s) 

� � 

s �KKAs�Ks P F 0 

PLL 

�1 

1 

� � ; mit KPLL : � KPK F A 

s � K s 

PLL 

�KPLLt 

� � 

�� ( t) � 1 � e �( 

t) 

osc 



0 

165 

166 

83


� Sprungantwort der APLL 1. Ordnung 

�KPLLt 

� � 

�� ( t) � 1 � e �( 

t) 

osc 

� Die Ausgangsfrequenz einer APLL 

1. Ordnung folgt einer Änderung der 

Referenzfrequenz mit dem zeitlichen 

Verlauf einer abklingenden 

Exponentialfunktion. 

� Die Konstante K PLL wird als 

Schleifenbandbreite bezeichnet. 

-0.5 



0.5 

v ref(t) 

1 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

1 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

1 

-1 

t 

2 4 6 8 10 

Δω ref (t) 

t 

2 4 6 8 10 

Δω osc (t) 

� � 1 

K 

PLL 

t 

2 4 6 8 10 


� Wie reagiert eine PLL 2. Ordnung auf eine sprunghafte Änderung 

der Referenzfrequenz ω ref? 

KPKFA0 KPLL / T 1 

��osc ( s) � T ��ref ( s) 

� � 

2 

2 1 KPKFA0 s �s/ T �K/ 

� � 

PLL T s 

s s 

T T 

s�1/ T 1 

� � � ; mit K : � 

2 

PLL KPK F A0 

s �s/ T �K/ 

T s 

PLL 

� Vergleiche Nenner mit charakteristischem Polynom eines 

Schwingsystems 2. Ordnung mit D = Dämpfungskonstante, 

ωn = Eigenfrequenz der ungedämpften Schwingung: 

2 2 

s � 2 D�ns � �n � D � 

2 

1 

K 

, 

T 

�n 

� 

K 

T 

PLL 



PLL 

167 

168 

84


� Für D < 1 lautet die korrespondierende Zeitbereichslösung für das 

Schwingsystem 

� Entsprechend lautet die allgemeine Lösung für die Antwort der APLL 

2. Ordnung im Zeitbereich 

mit 

� � � � � � � � � � � 2 

1 

KPLL 

Ci , D , n , D n, d n 1 D 

2 K T T 

PLL 

2 2 

��n � ��n � 

x( t) � e � Acos 1� D t � B sin 1� 

D t 

�� 

�D�nt � � 

��t 

� � 1 2 �� 

�� ( t) � 1� e � C cos� t �C 

sin � t �( 

t) 

osc d d 




� Sprungantwort der APLL 2. Ordnung 

��t 

� � 1 2 �� 

�� ( t) � 1� e � C cos� t �C 

sin � t �( 

t) 

osc n n 

� Die Ausgangsfrequenz einer APLL 

2. Ordnung folgt einer Änderung der 

Referenzfrequenz mit dem zeitlichen 

Verlauf einer gedämpften 

sinusförmigen Schwingung 

� Eine PLL 2. Ordnung bietet mehr 

Freiheitsgrade beim Entwurf des 

Regelverhaltens als eine PLL 

1. Ordnung (u.a. wichtig für Stabilität) 

v 1 

ref(t) 



0.5 

-0.5 

1 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

1.2 

1 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

-1 

169 

t 

2 4 6 8 10 

Δω ref (t) 

t 

2 4 6 8 10 

Δω osc (t) 

t 

2 4 6 8 10 

170 

85

Weitere Kenngrößen der PLL 

� Fangbereich (engl. lock-in range, lock range, auch: capture range): 

Bereich ω 0±Δω L um die Freilauffrequenz ω 0, in dem sich eine nicht 

eingerastete PLL innerhalb von einer Periode der Eigenfrequenz ω d 

auf eine Referenzfrequenz ω ref � [ω 0-Δω L, ω 0+Δω L] synchronisiert. 

� Ausrastbereich (engl. pull-out range): Frequenzbereich ω 0±Δω PO, in 

dem eine eingerastete PLL einem Frequenzsprung Δω ref innerhalb 

von einer Periode der Eigenfrequenz ω d folgen kann. 

� Ziehbereich (engl. pull-in range): Frequenzbereich ω 0±Δω P, in dem 

eine PLL aus dem nicht eingerasteten Zustand immer einrastet (ggf. 

langsamer Prozess über mehrere Perioden von ω d). 

� Haltebereich (engl. hold-in range, hold range): Frequenzbereich 

ω 0±Δω H, in dem eine eingerastete PLL auf eine Referenzfrequenz 

ω ref synchronisiert bleibt (statischer Fall) bzw. einer langsamen 

Änderung der Referenzfrequenz folgen kann. 

Weitere Kenngrößen der PLL 



� Es gilt Fangbereich < Ausrastbereich < Ziehbereich < Haltebereich 

-Δω H 

-Δω P 

-Δω PO 

-Δω L 

ω 0 


+Δω L 


171 

+Δω PO +Δω P +Δω H 

Q: wikipedia 

172 

86

Simulation von Zieh- und Haltebereich 

� Anregung der PLL mit hinreichend großer, langsamer, linearer 

Aufwärts- und Abwärtsvariation der Referenzfrequenz um ω 0. 

� Bestimmung der Frequenzen, bei denen die PLL 

– aus dem unsynchronisierten Zustand einrastet, 

– aus dem eingerasteten Zustand heraus die Synchronisation verliert. 

f 0 

PLL 

Eingangsfrequenz f ref(t) Oszillatorfrequenz f osc(t) 



Testbench zur Simulation von Zieh- und Haltebereich 

� Erzeuge die Variation der Referenzfrequenz mit Hilfe eines VCO und 

einem dreieckförmigen Verlauf der Modulationsspannung. 

� Der Bereich der Modulationsspannung muss so gewählt werden, 

dass das resultierende Frequenzintervall des VCO den Haltebereich 

der PLL einschließt. 

Modulationsspannung v mod(t) 

VCO 


PLL 


173 

f osc(t) 

174 

87

Simulation von Zieh- und Haltebereich 

Ziehbereich 

(pull-in range) 

Haltebereich 

(hold range) 



Demodulation von FM-Signalen mit einer APLL 

� Im eingerasteten Zustand erzeugt die PLL eine 

Modulationsspannung v m(t), die proportional zur Abweichung der 

Referenzfrequenz von der Freilauffrequenz ist. 

� Das demodulierte FM-Signal kann daher unmittelbar durch Abgriff 

der Modulationsspannung gewonnen werden (ggf. noch 

Tiefpassfilterung zur Elimination verbleibender HF-Anteile vom PD 

notwendig). 

FM-Signal 

ω ref(t) 

PD F(s) VCO 



175 

Modulationsspannung v m(t) 

= demoduliertes FM-Signal 

176 

88

Testbench zur Simulation der FM-Demodulation 

� Erzeuge die Variation der Referenzfrequenz durch einen VCO mit 

einer zeitlich variierenden (z.B. sinusförmigen) 

Modulationsspannung. 

-0.5 

1 

0.5 

-1 

2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 

Modulationsspannung 

� � � 

v ( t) � Asin 2 f t 

mod mod 

VCO 


PLL 


Demodulation von FM-Signalen mit einer APLL 



f osc(t) 

177 

Modulationsmuster 

des 

Eingangssignals 

Demoduliertes 

FM-Signal 

178 

89

Demodulation von PM-Signalen mit einer APLL 

� Phase des VCO: 

�( t) ��0t�KF�vm( � ) d� 

� Demodulation durch Integration der 

VCO-Modulationsspannung v m(t) 

PM-Signal 

ω ref(t) 

t 

0 

�() 



t = PM-Signal (nicht-elektrisch!) 

∫ 

v m(t) T i 

PD F(s) VCO 


demoduliertes 

PM-Signal 

(elektrisch) 

� Ein reiner Integrator würde durch einen DC-Offset von v m(t) in die 

Sättigung getrieben werden, daher Verwendung eines Tiefpassfilters 

1. Ordnung mit einer Zeitkonstante T i, die über der Periodendauer T s 

eines Symbols liegt. 

� Für Frequenzen ω > 1/T i verhält sich der Tiefpass wie ein Integrator, 

DC-Offsets werden jedoch nicht integriert. 

PM-Signal 

ω ref(t) 

1 

vm(t) 1� sTi 

PD F(s) VCO 



179 

demoduliertes 

PM-Signal 

180 

90

Testbench zur Simulation der PM-Demodulation 

� Anwendungsszenario: Datenübertragung per n-PSK (phase-shift 

keying mit n Zuständen) 

� Erzeuge ein PSK-Testsignal mit Hilfe eines Symbolgenerators 

(Bitstromgenerator) und eines Quadraturmodulators (I/Q-Modulator). 

� Beschalte den Ausgang der PLL mit einem Tiefpass mit geeigneter 

Zeitkonstante. 

Symbolgenerator 

Erzeugt Bitstrom 

und codiert 

diesen in einem 

Signal φ in(t) 

φin(t) I/Q- 

Modulator 

f(φ, t) 

Moduliert Phase 

eines 

HF-Trägersignals 

mit φ in(t) 

PLL 



Quadraturmodulator (I/Q-Modulator) 

Detektiert 

Phasensprünge 

im HF-Signal 

v m(t) 

1 

1� sTi 

φ out(t) 

Rekonstruiert φ in(t) 

durch Integration 

der Modulationsspannung 

der PLL 

� Ein I/Q-Modulator erzeugt aus zwei orthogonalen Sinussignalen 

cos ωt (in-phase) und sin ωt (quadrature) durch gewichtete 

Summation ein Sinussignal mit definierter Phasenlage cos(ωt + φ). 

-0.5 

1 

0.5 

-1 

ω 

Q 

φ 

0.5 1 1.5 2 

I 

0.5 

-0.5 

-1 

I(t) cos φ 

1 I(t) = cos ωt 

+ 

Q(t) sin φ 

0.5 1 1.5 2 

-0.5 


0.5 1 1.5 2 


1 

0.5 

-1 

Q(t) = sin ωt 

181 

cos(ωt + φ) 

182 

91

Blockschaltbild des Quadraturmodulators 

� Bestimmung der Gewichtungsfaktoren für I und Q 

ω 

Q 

� Blockschaltbild 

φ 

Symbolgenerator 

I 

I 

φ(t) 

Q 

� 

� ! 

j 

j j0 

2 e � Ae � Be � cos� � j sin� 

� A � jB 

cos(ωt) 

sin(ωt) 

� A�cos �, B � sin� 

cos φ 

cos φ 



+ 

cos(ωt + φ) 

� Der Symbolgenerator erzeugt Folgen von definierten Phasenlagen. 

� Konstellationsdiagramm (Beispiel) und zufällige Symbolfolge für 

4-PSK (2 Bit pro Symbol) 

180° = ´10´ 

Q 

90° = ´01´ 

φ 

270° = ´11´ 

0° = ´00´ 

I 

φ 

270 

180 



90 

10 00 11 01 01 10 11 01 00 11 10 01 11 .... 

183 

2 4 6 8 10 12 14 

184 

92




Schaltungstechnische Realisierung der APLL-Blöcke 

� Schleifenfilter � passive oder aktive RC-Filterstruktur 

Eingangsbitmuster 

Modulationsspannung 

v m(t) 

Ausgang 

des 

Tiefpasses 

(Integrator) 

� Phasendifferenzdetektor � analoger Vier-Quadranten-Multiplizierer 

(Gilbert-Zelle) 

� VCO 

– Beschreibung des nichtlinearen Verhaltens durch 

analytische Bottom-up-Modellierung 

– Beschreibung des nichtlinearen Verhaltens durch 

phänomenologische Abstraktion (Black-Box-Modellierung) 



185 

186 

93

Schleifenfilter 

� Realisierung durch passive oder aktive Filterstruktur 

� Beispiel: aktiver Tiefpass 1. Ordnung 

u 1 

i 1 

u 1 

i 1 

R 1 

F(s) 

C 

i 2 

u 2 

+ 

– 

i 2 

R 2 

R 3 

u 2 

F( s) / A 

1.0 E1 

5.0 E0 

2.0 E0 

1.0 E0 

5.0 E 1 

2.0 E 1 



Magnit 

ude 

0 

1 

F( s) � A0 

1� 

sT 

1.0 E 1 

1.0 E 3 1.0 E 2 1.0 E 1 

Frequency 

1.0 E0 1.0 E1 

�T 

� R � 2 1 

Fs ( ) ��1� � 

� R3 �1�sR1C 

� A �T 

Analoger Vier-Quadranten-Multiplizierer: Gilbert-Zelle 

Q: Burns & Bond, 1997 



0 

187 

Vorgehensweise: 

Analytische 

Bottom-up-Modellierung 

vom Device-Modell zur 

Kennlinienbeschreibung 

188 

94

Funktionsweise der Gilbert-Zelle (1) 

� Analyse der 

Funktionsweise des 

Grundbausteins der 

Gilbert-Zelle: 

Differenzpaar (Q 1, Q 2) 

� Bestimme 

mit 

i � f ( I , v ) 

C1 1 EE ID 

i � f ( I , v ) 

C2 2 EE ID 

v �v�v ID I1 I 2 



Querschnitt durch Bipolartransistoren (NPN und LPNP) 




189 


190 

95

Stromkomponenten im NPN-Transistor 

� Annahme: V BE > 0, V BC < 0 




Ersatzschaltbild des Bipolartransistors (Ebers-Moll-Modell) 

B 

E 

v BE 

B 

V BC 

I B 

V BE 

iE �RC i �FiE qvBE / kT 

qvBC / kT 

IE0�e �1� 

IC0�e �1� 

C 

E 

I C 

I E 

V CE 

i B 



i C 

191 

C 

v BC 

IE0 �RIC0 

iE � � e � � e � 

1��1�� qvBE / kT 

qvBC / kT 

� 1��1� F R F R 

�FIE0 

IC0 

iC � e � � e 

� 

1��1�� qvBE / kT 

qvBC / kT 

� 1��1� F R F R 

B 

192 

96

NPN-Transistor im Vorwärts-Betrieb 

� v BE ≈ 0.7 V, v BC < 0, kT/q ≈ 26 mV (bei Raumtemperatur 300 K) 

I � � � � � 

E0 RIC0 qvBC / kT 

iE � � �e �1��e�1��ISEe 1�� F R � 1 � 

1 F R � 1 � 

�: 

ISE 

� � � � � 

FIE0 IC0 

qvBC / kT 

iC � �e�1��e�1��I 1�� SCe 

F R � 1 � 1 F R � 1 � 

�: 

ISC 

� Mit I S := I SE, α F ≈ 1,V T := kT/q, 

qvBE / kT qvBE / kT 

qvBE / kT qvBE / kT 

/ 

i 

BE T 

iC � �iE � ISe � vBE �VT 

ln 

I 

v V C 




� Schleife l1 �v � v � v � v � 0 

� v � v � v � v 

�: 

vID 

i i 

�VT ln �VT 

ln 

I I 

�i � 

C1 IS2 

� vID � VTln� 

� � 

�IS1 iC2 

� 

iC1 

� VT 

ln 

i 

iC1 

� �e 

i 

I1 BE1 BE 2 I 2 

I1 I 2 BE1 BE 2 

C2 

C1 C2 

S1 S2 

C2 

vID / VT 

l 1 



S 

V BC < 0 

B 

I B 

V BE ≈ 0.7 V 

C 

E 

I C 

I E 

193 


194 

97


� Knoten 1 

I � i � i � 

1 2 0 

EE E E 

� Vernachlässigung des 

Basisstroms 

i � �i , i � �i 

E1 C1 E 2 C2 

� I � i � i � 0 

EE C1 C2 

� i � I � i 

C1 EE C2 

�I�ie I 

�i� 1� 

e 

�VID 

/ VT 

EE C1 

C1 EE 

�V 

/ V 

ID T 

� Entsprechend ergibt sich i 

IEE 

� � 

� e 

C2 VID/ VT 

1 




v C1 


v C2 

1 


� Kollektorströme 

iC iC1 � 

1�e , 

iC 

iC2 

� 

1�e 

� Ausgangsspannung 



195 

5 5 

�v1/ VT �v1/ 

VT 

a b 

i i 

i � , i � 

1�e 1�e 

C6 C6 

C3 �v1/ VT C4 

�v1/ 

VT 

b a 

I I 

i � , i � 

1�e 1�e 

EE EE 

C5 �v2/ VT C6 

�v2/ 

VT 

v �v�v OD C1 C2 

c d 

� � � � 

� RC �� iC1 � iC3 � iC2 � iC4 

�� 

196 

98


� Ausgangsspannung 

� � � � 

vOD � RC �� iC1 � iC3 � iC 2 � iC 

4 �� 

�IEEIEEIEEIEE� � RC � � � � � 

�ca db cb da � 

IEERC � 1 1 � IEERC � 1 1 � 

� � � � � � � 

a � 

�c d � b �c d � 

IEERC � �v1/ VT 1� e 

� 1 

� �v2 / VT �1�e 1 � 

� �v2 

/ VT 

1� 

e � 

� 

IEERC � �v1/ VT 1� e 

� 1 

� �v2 / VT �1�e 1 � 

� �v2 

/ VT 

1� 

e � 

� 

� v � � 1 v � 2 

� vOD �IEERCtanh� � tanh� � 

� 2VT 

� � 2VT � 





x 1 1 

tanh � � 

2 1�e 1�e 

� DC-Übertragungskennlinie 

� Für v 1, v 2


� Das multiplizierende Verhalten zeigt sich am DC-Übertragungskennlinienfeld 

für kleine Eingangsspannungen v 1, v 2 < V T 

-0.2 -0.1 0.1 0.2 

-0.5 

1 

0.5 

-1 

v OD 

v 2 


-0.02 -0.01 0.01 0.02 

-0.1 

-0.2 

-0.3 


VCO (1): Current-starved Ring Oscillator 

� Funktionsweise: Ring aus 2n – 1 Invertern (n = 1, 2, ...) 

� Steuerung der Oszillatorfrequenz über Inverter-Querstrom I D 

v 1 

– kleine Steuerspannung � kleiner Querstrom � niedrige Frequenz 

0.3 

0.2 

0.1 

v OD 

– hohe Steuerspannung � hoher Querstrom � hohe Frequenz)) 

I D 



v 2 

v 1 

199 

Q: INSA Toulouse 

200 

100

VCO (2): Hochfrequenz-VCO 

� Funktionsweise: Entdämpfter Schwingkreis (negatives g m) 

� Steuerung der Frequenz über Varaktordiode (spannungsabhängige 

Kapazität) 



Q: D. Krauße, VL Analoge CMOS-Schaltungstechnik, 2010 

Tuningkurve eines kommerziellen VCOs (MAXIM 2605) 

� Betriebsspannung typ.V CC = 5 V 



201 

Q: MAXIM 

202 

101

Modellierung der Tuningkurve 

� Phänomenologische Modellierung durch numerische Approximation 

der Tuningkurve (hier: quadratisches Polynom). 

62.5 

57.5 

52.5 

47.5 



Abstraktionsebenen im Y-Diagramm (Gajski) 

65 

60 

55 

50 

Architekturebene (Funktionen) 

Algorithmische Ebene 

RT-Ebene 

Logikebene 

Schaltungsebene 



Numerische 

„Black-Box“- 

Modellierung 

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 

203 

204 

102

Abstraktionsebenen im Y-Diagramm 

� Architekturebene (funktionale Ebene): beschreibt ausschließlich das 

Eingangs-/Ausgangsverhalten von Systemblöcken (die Funktion), 

nicht deren Realisierung. 

� Algorithmische Ebene: beschreibt den zur Realisierung einer 

Funktion verwendeten Algorithmus, aber nicht das genaue 

Zeitverhalten seiner Implementierung. 

� Register-Transfer-Ebene: beschreibt die taktgenaue 

Implementierung eines Algorithmus unter Verwendung komplexer 

Datentypen, arithmetischer und logischer Operationen (Byte, Wort, 

Addition, Multiplikation, ...). 

� Logikebene: beschreibt das Verhalten einer Schaltung auf der 

Ebene von Logikgattern unter Berücksichtigung der Gatterlaufzeiten. 

� Schaltungsebene: beschreibt das Verhalten einer Schaltung auf der 

Bauelemente-Ebene (Transistor-Ebene). 



Modellierung und Simulation 

von Delta-Sigma ADCs 

Eric Schäfer 

Wintersemester 2011/12 

205 

103

Motivation: Analoge vs. Digitale Elektronik 

� Warum analoge Signale? 

– Mensch, Natur und Umwelt (inter-) agieren und mit analogen Größen 

– Schnittstelle zu elektronischen Schaltungen (Sensoren, Aktoren) 

müssen analog sein 

� Warum digitale Signalverarbeitung? 

– Digitale Signale sind weniger rauschanfällig 

– Digitale Signal können beliebig genau verarbeitet werden 

– Entwurfsprozess für digitale Systeme ist stärker automatisiert 

– Chipfläche skaliert mit Technologiegeneration 

� Koppelglied zwischen analoger und digitaler Domäne: A/D-Wandler 

– Inhärentes Mixed-Signal-System � heterogenes System 



Ziel der nächsten Veranstaltungen 

� Anwenden des bisher gelernten Methoden unter Nutzung der 

kennengelernten Entwurfswerkzeuge zum Verständnis von Delta- 

Sigma Analog/Digital-Wandlern (Modellbasierter Entwurf) 

� Delta-Sigma ADC 

– Analog/Digital-Wandler 

– Extern: Hohe Auflösung (24 Bit) bei moderaten Abtastraten (100 kHz) 

– Intern: ADC mit geringer Auflösung (1 Bit) und hoher Abtastrate (1 GHz) 

– Delta-Sigma-Modulation: 

„Gegenseitige Umwandlung von Auflösung (Dynamik) und Bandbreite“ 



207 

208 

104

Modellierung und Simulation von Delta-Sigma ADCs 

Inhaltsverzeichnis 

� Grundlegende Funktion von A/D-Wandler 

� Wandlerprinzipien 

� Quantisierer und Quantisierungsfehler 

� Frequenzbereichsbetrachtung (DFT) 

� Nichtideale Quantisierung (DNL/INL) 

� Überabtastung (Oversampling) 

� Rauschformungsschleife (Noise shaping) 

� Delta-Sigma-Modulator 

� Dezimationsfilter 



Analog/Digital-Wandler: Architekturebene 

� N-Bit-A/D-Wandler 

start 

vin 

A/D 

(t conv) 

dout 

dout 

� Funktion: @start↑ � dout := round((2 n – 1)*vin/vmax) after tconv; 

� Nur Funktionsbeschreibung, keine Konkretisierung des 

Wandlerprinzips, keine Beschreibung inneren Zeitverhaltens! 



7 

6 

5 

4 

3 

2 

1 

0 

214 

n = 3 

vin 

0 1 2 3 4 5 

215 

105

Analog/Digital-Wandler 

� Wandelt ein werte- und zeitkontinuierliches (analoges) Signals in 

ein werte- und zeitdiskretes (digitales) Signal [siehe Folien 41−46] 

� Funktionen in Stufen: 

– 1. Stufe: Abtastung (S/H…Sample and Hold) 

– 2. Stufe: Quantisierung (Quantizer) 

– 3. Stufe: Kodierung (Coder) 

clk 

vin(t) 

S/H 

Quantizer 

A/D 




� Sample (and Hold) 

� Funktion: 

– @clk↑: vin[n] := k ∙ vin(t); 

– zeitkontinuierlich � zeitdiskret 

� Beispiel: 

vin(t) 

vin[n] 

clk 

vin(t) 


Coder 


S/H 

dout[n] 

216 

vin[n] 

217 

t 

106


� Quantizer 

� Funktion: 

– vout[n] := round(vin[n]); 

– wertekontinuierlich � wertediskret 

� Beispiel: 3-Bit-Quantizer 

vin[n] 

vout[n] 




� Coder 

� Funktion: 

– dout[n] := coder_table(vout[n]); 

– Dezimalzahl � Binärzahl 

� Beispiel: 2er-Komplement (siehe Übung) 

vin(t) 

dout[n] 


vin[n] vout[n] 

Quantizer 

vout[n] 


Coder 

218 

219 

t 

dout[n] 

t 

107

Analog/Digital-Wandler: Wandlerprinzipien 

� Stufenweise Umsetzer (Zählverfahren) 

– Single-Slope-Umsetzer (Sägezahn-/Einrampenverfahren) 

– Dual- und Quadslope-Umsetzer (Mehrrampenverfahren) 

– Ladungsbilanz-Umsetzer 

� Rückgekoppelter Umsetzer (Serielles Verfahren) 

– Nachlauf-Umsetzer 

– Sukzessive Approximation 

– Delta-Sigma-Verfahren 

� Flash-Umsetzer (Paralleles Verfahren) 

– Echter Parallelumsetzer 

– Pipeline-Umsetzer 

� Hybrid-Umsetzer 



Analog/Digital-Wandler: Wandlerprinzipien (1) 

� Parallel-Wandler 

� Auch: Flash-ADC 

� Wandlung innerhalb von 

einem Taktzyklus 

� Hoher Materialaufwand 

(Flächenbedarf) und hohe 

Leistungsaufnahme 



Q: http://de.wikipedia.org/wiki/Analog-Digital-Umsetzer 

220 


221 

108


� Zähler-ADC 

� Wandlungszeit nicht konstant 

(abhängig vom Wert der 

Eingangsspannung) 




� Successive Approximation 

Register (SAR-ADC) 

� Auch: Wägeverfahren 

� Wandlung innerhalb von 

n Taktzyklen 

n = 5 

Q: www.allaboutcircuits.com 




222 


223 

109

Analog/Digital-Wandler: Algorithmische Ebene (SAR-ADC) 

� N-Bit-SAR-ADC 

start 

vin 

SAR-ADC 

(t conv) 

dout 

� Implementierung des Wandlerprinzips, aber ohne genaue 

Beschreibung der inneren Struktur und des Zeitverhaltens! 


wait for start 

d := ´0 ... 0‘ 


for i = n-1 downto 0 

d(i) := ´1´ 

if analog(d) > vin then 

d(i) := ´0´ 

end if 

end for 

dout := d after tconv 

A/D-Wandler: Register-Transfer-Ebene (SAR-ADC) 

� N-Bit-SAR-ADC 

@start, clk: d := ´0 ... 0‘, i = n 

@clk: while i != 0 

i := i-1 

d(i) := ´1´ 

if analog(d) > vin then 

d(i) := ´0´ 

end if 

end while 

@clk: dout := d 

� Implementierung des Wandlerprinzips mit 

taktzyklengenauem Zeitverhalten! 



224 

225 

110

Analog/Digital-Wandler: Wanderprinzipien (4) 

� Delta-Sigma-ADC 

� Kontinuierliche (gleitend) 

A/D-Wandlung 

� DSM-Signal entspr. PWM- 

Signal mit quantisierter Pulsweite 

Q: http://www.cds.caltech.edu/~murray/amwiki/index.php/Delta-sigma_converter 

A/D-Wandler: Delta-Sigma ADC 

Q: http://www.hitequest.com/Kiss/DeltaSigma.htm 

Integrator 



Comparator 

� Funktionsprinzip ist im Zeitbereich schwierig zu verstehen 

� Erklärung im Frequenzbereich ist wesentlich intuitiver 

� Voraussetzung: 

Decimation filter 

� Dezimationsfilter zur 

Summation/Integration 

des DSM-Signals 

– Signal- und systemtheoretisches Verständnis der Funktion von A/D- 

Wandlern 

– Mathematische Modellierung von Wandlungseffekten 

– Grenzen der mathematischen Modelle und Gültigkeitsbereiche 

– Nummerische Simulationen 



226 

227 

111

A/D-Wandler: Einfluss auf das Signal 

� Quantisierer: 

– Alle Angaben normiert auf 1 LSB 

– Quantisierungsfehler wird als additives 

Störsignal interpretiert 

N = 3 

vout[n] 

vin[n] 

LSB…Least Significant Bit 




� Quantizer: 

– Kennlinie normiert auf 1 LSB 

– Quantisierungsfehler wird als additives 

Störsignal interpretiert 

N = 3 

vout[n] 

vin[n] 

e[n] 


Quantizer 

e[n] 


+ 


vout[n] = vin[n] + e[n] 


231 


Quantizer 

e[n] 


+ 

vout[n] = vin[n] + e[n] 

232 

113


� Beispiel: 3-Bit Quantizer 

vout[n] 

e[n] 




� Eigenschaften des Quantisierungsfehler: 

– Abhängig vom Eingangssignal vin[n] 

e[n] = vout[n] - vin[n] = f(vin[n]) 

– Unter der Annahme, dass: 

1. der Quantizer nicht übersteuert wird (FSR), 

2. die Anzahl an Quantisierungsstufen sehr hoch ist, 

3. deren (Zuordnung-)breite in vin[n] sehr klein ist, 

4. die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion 

von vin[n] flach ist, 

lässt sich e[n] als unkorrelierter, weißer 

Rauschenprozess E mit einer gleichverteilter 

Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion approximieren. 



e[n] 

Full-Scale Range 

(FSR) 

t 

t 

233 

234 

vin[n] 

114

Beispiel: DFT zur Berechnung des Spektrums – Fall 1 

� Abtastung im Zeitbereich mit Erfassung einer kompletten Periode 

� Ziel: Schätzung des Spektrum von Signal x(t) 

– Periode des Signals: t p = 1/f 0 

x(t) 




� Spektrum X(f) von x(t), dass per DFT berechnet werden soll 

– Gleichanteil sowie harmonische Signalanteile bei f 0, 2f 0 und 3f 0 

|X(f)| 



f / f 0 

t / t p 

241 

242 

118


� 1. Schritt: Fensterung des zu transformierenden Signals 

– Periodizität nicht mehr vorhanden 

x(t) 

x W(t) 

w(t) 





– Faltung von X(f) mit Fourier-transformierter der Fensterfunktion: X W(f) 

– Keine Verfälschung an den ursprünglichen Frequenzstützstellen von X(f) 

X(f) 

X W(f) 



t / t p 

t / t p 

243 

244 

f / f 0 

f / f 0 

119


� 2. Schritt: Abtastung des gefensterten Signals mit M = 7 und t 0 = t p/M 

– Periodisierung des gefensterten Signals im Frequenzbereich mit f p = 1/t 0 

x WS(t) 

x W(t) 

X WS(f) 

X(f) 



X W(f) 


� 3. Schritt: Periodisierung des abgetasteten Signal mit t p: x WSP(t) 

– Abtastung im Frequenzbereich mit f 0 = 1/t p: X WSP(f) 

x WSP(t) 

Exakte Berechnung 

des Spektrums! 

X WSP(f) 

X(f) 


x(t) 


X WS(f) 

t / t p 

f / f 0 

245 

t / t p 

f / f 0 

246 

120


� Abtastung im Zeitbereich mit Erfassung einer kompletten Periode 

� Ziel: Schätzung des Spektrum von Signal x(t) 

– Periode des Signals: 2t p = 2/f 0 

x(t) 




� Spektrum X(f) von x(t), dass per DFT berechnet werden soll 

– Gleichanteil sowie harmonische Signalanteile bei f 0, 2f 0, 2.5f 0 und 3f 0 

|X(f)| 



f / f 0 

t / t p 

247 

248 

121

Beispiel: DFT zur Berechnung des Spektrums – Fall 2/1 



x(t) 

x W(t) 

w(t) 






X(f) 

X W(f) 

– Deutliche Verfälschung an den ursprünglichen Stützstellen von X(f) 



t / t p 

t / t p 

249 

250 

f / f 0 

f / f 0 

122




x WS(t) 

X WS(f) 

x W(t) 



X W(f) 



X(f) 


x WSP(t) 

X WSP(f) 

Spektrum sehr ungenau! 

X(f) 


P{x W(t)} 


X WS(f) 

t / t p 

f / f 0 

251 

t / t p 

f / f 0 

252 

123


� Was kann getan werden um das Spektrum korrekt zu berechnen? 

� Verringerung der Breite der Fensterfunktion im Frequenzbereich 




X(f) 

X(f) 



x(t) 

x W(t) 



w(t) 

253 

t / t p 

t / t p 

254 

f / f 0 

f / f 0 

124




X(f) 

X W(f) 

– Deutliche Verfälschung an den ursprünglichen Stützstellen von X(f) 






x WS(t) 

x W(t) 

X WS(f) 

X(f) 



X W(f) 

255 

256 

f / f 0 

f / f 0 

t / t p 

f / f 0 

125




x WSP(t) 

Exakte Berechnung 

des Spektrums! 

X WSP(f) 

X(f) 



P{x W(t)} 

A/D-Wandler: Muss das Signal gefenstert werden? 

X WS(f) 

� Diese Frage stellt sich nicht, da bei Anwendung der DFT bereits 

inhärent gefenstert wird (mindestens Rechteckfenster). 

� Leck-Effekt (Spectral Leakage) 

S: Richard Schreier, Gabor C. Themes, Understanding Delta-Sigma Data Converters, IEEE Press, Piscataway, NJ, 2005 



t / t p 

f / f 0 

257 

258 

126

A/D-Wandler: Fensterfunktion im Frequenzbereich 

� Multiplikation in Zeitbereich entspricht Faltung im Frequenzbereich 

� Nicht-rechteckförmiger Fensterung (Hamming, Hann, …): 

– Vorteil: Verringerung der Verschmierung (Leck-Effekts/Spectral leakage) 

– Nachteil: Verringerung der Auflösung 

20∙log 10(|W(f)|) 



A/D-Wandler: DFT zur Analyse des Quantisierungsfehlers 

� Quantisierungsfehler ist bei sinusförmiger Anregung… 

– inhärent periodisch (Zeitbereich) mit Grundfrequenz des Sinus, aber 

– nicht bandbegrenzt, da viele Oberwellen erzeugt werden. 

� Quantisierungsfehler ist bei zeitdiskreter sinusförmiger Anregung… 

– periodisch (Frequenzbereich) mit der Abtastfrequenz, und daher 

– bandbegrenzt. 

� Aliasing-Effekte: Quantisierungsfehler wird zurückgespiegelt 

– Tatsächlich im Signal enthaltener Effekt, kein Artefakt der Analyse (DFT) 

– Falls Abtastfrequenz ein vielfaches der Anregungsfrequenz (Sinus) ist, 

fallen alle Signalkomponenten in entsprechende Bins (kein Leakage) 

� Ausgangsignal des Quantisierers: zeitdiskret, bandbegrenzt, 

periodisch è DFT ist zur Analyse des Quantisierungsfehler geeignet 



261 

263 

f / f 0 

128

A/D-Wandler 

Warum kann N eff < N sein? 



A/D-Wandler: Mid-Tread- vs. Mid-Riser-Quantizer 

� Mid-Tread-Quantizer: 

– Unsymmetrisch 

– Flach im Nulldurchgang 

N = 3 

dout[n] 

vin[n] 

� Auswahl abhängig von Anwendung (Delta-Sigma ADC � Mid-Riser) 


� Mid-Riser-Quantizer: 

– Symmetrisch 


– Flanke im Nulldurchgang 

N = 3 

dout[n] 

vin[n] 

264 

265 

129

A/D-Wandler: INL und DNL 

� Integrale Nichtlinearität (INL) 

� INL und DNL beeinflussen direkt das SQNR/ENOB des Quantisierers 



� Differentielle Nichtlinearität (DNL) 

INL = max n |vout[n]-vout ideal[n]| DNL = max n |vout[n]-vout ideal[n]| 

vout[n] 

N = 4 

INL 

vin[n] 

DNL 

vout[n] 

N = 4 

A/D-Wandler: Verstärkungs- und Offsetfehler 

� Verstärkungs- / FSR-Fehler: 

– Abweichung des Anstiegs 

– in LSB oder %FSR angegeben 

vout[n] 

N = 4 

vin[n] 

� Offsetfehler: 

Missing 

Codes 

vin[n] 

� Verstärkungs- und Offsetfehler beeinflussen indirekt SQNR/ENOB 

– Einschränkung des FSR, wenn keine Kalibrierung (Referenzmessung) 


– „Vertikaler“ Offset 

– in LSB angeben 

vout[n] 

N = 4 


vin[n] 

266 

267 

130

A/D-Wandler 

Warum kann N eff > N sein? 



A/D-Wandler: Warum kann N eff > N sein? 

� Wie kann die effektive Anzahl der Bits (SQNR) größer sein als die 

tatsächliche Anzahl an Bit (Quantisierungsstufen)? 

-0.5 ∙f s 

PSD{E} 

� Quantisierungsrauschleistung im Nutzfrequenzbereich verringern 

– Überabtastung (Oversampling) 

– Spektrale Formung (Noise shaping) [in Kombination mit Überabtastung] 

� Bisher: Nyquist-Raten-ADC 

1 / (12∙f s) 

… … 

0 0.5 ∙f s 

– Abtastfrequenz entspricht etwa der doppelten Signalfrequenz: f s ≳ 2f B 

– Gesamtes Quantisierungsrauschen liegt im Nutzfrequenzbereich 



f 

Rauschleistung 

Var{E} = 1 / 12 

268 

269 

131

A/D-Wandler: Überabtastung (Oversampling) 

� Überabtastung 

– Verringerung der Quantisierungsrauschleistung um Faktor R 

– R … Überabtastrate/-faktor (Over-Sampling Ratio, OSR) 

� R-fache Überabtastung des Eingangssignals: f s = R ∙ 2f B 

… … 

… … 

1 / (12∙R∙2f B) 

-R∙f B 

-f B 

PSD{E} 

1 / (12∙2f B) 

0 f B 




� Filterung des quantisierten Signals mit Tiefpass 

-R∙f B 

� Filterung des quantisierten Signals mit Tiefpass 

-f B 

-f B 

H(f) 

1 

0 f B 

|H(f)| 2 ∙PSD{E} 

1 / (12∙R∙2f B) 


R∙f B 

R∙f B 

… … 

-R∙f B 

0 f B 

R∙f B 


Var{E} = 1 / 12 

f 

Abbildungen: R = 2 

f 

f 

270 


271 

132


� Dezimation um den Faktor R: 

– Entnahme jedes R-ten Werts aus einer Folge von Werten 

– Verringerung der Abtastrate � Verringerung des spektralen Abstands 

-f B 

PSD{E dec} 

1 / (12∙R∙2f B) 

… … 

0 f B 



A/D-Wandler: SQNR / ENOB bei Überabtastung 

� Signal-to-Quantization-Noise Ratio (SQNR) 

Var{E} = 1 / (12∙R) 

f 


χ = 3 ∙ 2 2N – 1 ∙ R = 3 ∙ 2 (2N – 1)∙r χ = 6.02 dB ∙ N + 3.01 dB ∙ r + 1.76 dB 

R N [bit] 1 2 4 8 12 14 16 24 

1 𝝌 [dB] 7.78 13.80 25.84 49.92 74.00 86.04 98.08 146.24 

2 𝝌 [dB] 10.79 16.80 28.85 52.93 77.01 89.05 101.09 149.25 

4 𝝌 [dB] 13.80 19.90 31.86 55.94 80.02 92.06 104.10 152.26 

� Effective Number of Bits (ENOB) 

Neff = (χ – 1.76 dB) / 6.02 dB Neff ∈ ℝ + 

mit 

R 1 2 4 8 16 32 64 128 256 

N eff − N [dB] 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 



272 

273 

133

A/D-Wandler: ENOB des DS-Modulators 1.Ordnung 

� Effective Number of Bits (ENOB) 

Neff = (χ – 1.76 dB) / 6.02 dB Neff ∈ ℝ + 

mit 

R N [bit] 1 2 4 8 12 14 16 24 

1 N eff [bit] 0.14 1.14 3.14 7.14 11.14 13.14 15.14 23.14 

2 N eff [bit] 1.64 2.64 4.64 8.64 12.64 14.64 16.64 24.64 

4 N eff [bit] 3.14 4.14 6.14 10.14 14.14 16.14 18.14 26.14 

8 N eff [bit] 4.64 5.64 7.64 11.64 15.64 17.64 19.64 27.64 

16 N eff [bit] 6.14 7.14 9.14 13.14 17.14 19.14 21.14 29.14 

32 N eff [bit] 7.64 8.64 10.64 14.64 18.64 20.64 22.64 30.64 

64 N eff [bit] 9.14 10.14 12.14 16.14 20.14 22.14 24.14 32.14 

128 N eff [bit] 10.64 11.64 13.64 17.64 21.64 23.64 25.64 33.64 

256 N eff [bit] 12.14 13.14 15.14 19.14 23.14 25.14 27.14 35.14 



A/D-Wandler: Berücksichtigung von Realisierungsaspekten 

� Folgendes Beispiel: Realisierung des Rückkoppelzweiges 

� Ausgang des Quantisierers ist ein digitaler Port 

– Repräsentation der Ausgangswerte durch Bitvektor 

� Unmittelbare Rückführung des Ausgangsignals auf den Eingang 

möglich ist nicht möglich, daher: D/A-Wandler im Rückkoppelzweig 

– D/A-Wandler weisen ebenfalls Signalverzerrungen auf (INL/DNL) 

� Neue Fragestellung: Welchen Einfluss haben die nichtidealen 

Eigenschaften des D/A-Wandlers auf das Gesamtsystem? 



294 

295 

144

A/D-Wandler: Dezimationsfilter 

� Funktion des Filters: 

– Unterdrückung des Quantisierungsrauschens (und des Signals) 

außerhalb der Signalbandes 

– Entspricht Anti-Aliasing-Filter beim Abtasten 

� Realisierung als zeitdiskretes System (� Theorie digitaler Filter) 

A/D-Wandler: Dezimationsfilter 



� Anforderungen an das Dezimationsfilter 

– Sehr schnell (bei hoher Überabtastrate) 

– Steile Filterflanken (bei hoher Überabtastrate) 

� Realisierungsaspekte 

– Multiplizierer: Sehr aufwändig oder sehr langsam 

– Hohe Anzahl von Stufen: Hoher Strom- und Flächenkonsum 

� Generische FIR/IIR Filter nicht optimal für Dezimationsfilter 

� Filterung/Dezimation häufig mehrstufig realisiert 

– Sinc-/CIC-Filter („Hauptfilter“) 

– Halbbandfilter (optional) 

– CIC-Kompensationsfilter (optional) 



300 

301 

147

A/D-Wandler: Cascaded Integrator-Comb Filter (CIC-Filter) 

� Kaskadierung von CIC-Filtern 1.Ordnung zur stärkeren 

Unterdrückung der Rauschanteile außerhalb des Signalbandes 

� Effizientere Implementierungsvariante: 



Rückblick: Analog/Digital-Wandler: Wanderprinzipien (4) 

� Delta-Sigma-ADC 

� Kontinuierliche (gleitend) 

A/D-Wandlung 

� DSM-Signal entspr. PWM- 

Signal mit quantisierter Pulsweite 

Q: http://www.cds.caltech.edu/~murray/amwiki/index.php/Delta-sigma_converter 

307 

Q: http://www.hitequest.com/Kiss/DeltaSigma.htm 

Integrator 



Comparator 

Decimation filter 

� Dezimationsfilter zur 

Summation/Integration 

des DSM-Signals 

310 

150

Verhaltensregeln (nach S. W. Golomb, 1970) 

� Glaube nicht, dass dein Modell der Realität entspricht! 

– Ein Modell ist immer eine Abstraktion der Realität unter Vernachlässigung 

meist vieler Details. Prüfe ständig, ob diese Abstraktion einen signifikanten 

Einfluss auf das zu beobachtende Verhalten haben kann. 

� Extrapoliere nie über den Gültigkeitsbereich deines Modells 

hinaus! 

– GIGO-Prinzip („garbage in, garbage out“) 

� Verbiege nicht die Realität, damit sie zu deinem Modell passt! 

– Das bringt nichts. So können wir keine technischen Systeme bauen. 

� Verwende kein Modell, das wissenschaftlich nicht (mehr) 

anerkannt ist! 

– Die Erkenntnisse aus deinen Simulationen wird dir niemand glauben. 

� Verliebe dich nicht in dein Modell! 

– Wirf es weg, wenn es sich als unbrauchbar erweist. Halte nicht daran fest, 

nur weil du es selbst entwickelt hast. 

Weiterführende Literatur (1) 



� Peter J. Ashenden, Gregory D. Peterson, 

Darrell A. Teegarden 

The System Designer‘s Guide to VHDL-AMS 

Morgan Kaufmann Publishers, San Francisco, 

2003 

� Roland E. Best 

Phase-Locked Loops: Design, Simulation, and 

Applications, 6 th ed. 

McGraw-Hill Professional, New York, 2007 



311 

312 

151


� Ronny Frevert, Joachim Haase, Roland Jancke, 

Uwe Knochel, Peter Schwarz, Ralf Kakerow, 

Mohsen Darianian 

Modeling and Simulation for RF System Design, 

Springer, Berlin, 2005 

� Steven R. Norsworthy, Richard Schreier, 

Gabor C. Themes 

Delta-Sigma Data Converters – Theory, Design, 

and Simulation 

IEEE Press, Piscataway, NJ, 1997 




� Richard Schreier, Gabor C. Themes 

Understanding Delta-Sigma Data Converters 

IEEE Press, Piscataway, NJ, 2005 



313 

314 

152

Kontakt 

Dr. Eckhard Hennig 

IMMS GmbH Tel.: +49 361-663 2510 

Ehrenbergstraße 27 Fax: +49 361-663 2501 

98693 Ilmenau 

Institutsteil Erfurt 

http://www.imms.de E-Mail: Eckhard.Hennig@imms.de 



315 

153

ft F s F se ds j - Grundlagen der Schaltungstechnik - TU Ilmenau

Sie wollen auch ein ePaper? Erhöhen Sie die Reichweite Ihrer Titel.

Template löschen?

Als Template speichern?