Grundwissen 9. Klasse - Ohm-Gymnasium

Ohm Gymnasium Grundwissen Mathematik 9. Jahrgangsstufe nach WBG Langenzenn
Wissen und Können Aufgaben und Beispiele
1. Reelle Zahlen R
a (lies: Wurzel von a) ist diejenige nicht
negative reelle Zahl, deren Quadrat a
ergibt. Dabei muss der Radikand a 0
sein.
a 2
Die n-te Wurzel ( n N ) aus einer reellen
Zahl a 0 ist die nichtnegative Lösung
der Gleichung x a
n
Rechenregeln für Wurzeln:
a b a b
n
m
a
aR
; bR
0
b
a
a
b
m n
0 a a m,
n Z , m 0 a 1
Teilweises Radizieren
Rationalmachen des Nenners
Rechnen mit Potenzen: a,b R, b0, m,nℚ
m n
a a a
m m
a b (
ab)
mn
m n mn
( a ) a
a m
m
m
m n mn
a : a a
m m
a : b ( a:
b)
1
a
1
m m a a
2. Quadratische Gleichungen auf die
Form ax²+bx+c=0 ( a , b,
c R,
a 0)
bringen, dann mit der Lösungsformel
nach x auflösen: b D
x mit der
1,
2
2a
Diskriminanten D b²
4ac
.
Für die Anzahl der Lösungen gilt:
D0 zwei/ D=0 genau eine.
Die Lösungen sind die Nullstellen der
quadratischen Funktion f : x ax²
bx
c
Quadratische Funktionen
f : x ax²
bx c
mit quadratischer Ergänzung auf
Scheitelform y = a (x – xs)² + ys bringen.
a bestimmt die Öffnung der Parabel:
a > 0 : Parabel nach oben geöffnet
a < 0 : Parabel nach unten geöffnet
a = 1 : Normalparabel
a > 1 : engere Form
a < 1 : weitere Form
Scheitel S(xs / ys)
m
2 Q , 2 R, R
25 5 , 6 6
2
,
2x 4 , D = [2; [
4 2x , D = ]-;2]
2x 3
2
2x3
2x 3 , falls x 1,5
2x
3,
falls x 1,5
3
3
x 125
x
1255,
denn
5
3
125
Achtung : gilt nicht bei Summen!
4 9 4 9
a²b a b 20 4 5
2 5a
a
c
x
a
c x
c x
c x
0,
2 4
3 3
0,
24
4,
2
3 3
3 2
5 : 5
3(
2)
5
5 5
4
4
4
4
2 3 ( 2 3)
6
2 2
2 2
1, 5 : 3 ( 1,
5 : 3)
0,
5
1
2
3
4
5
4
1
4
3 3 3 3
3 3
2
4 24
8
1
( 3 ) 3 3 8
3
1
2
x 2
Aufgabe:
5
3x
0
2
2a) Löse die Gleichung:
y
1 2
x 3x
2
5
2
1
2
1 2
2 2
x 6x
3 3
2
5
2
1 2
x 3 9
2
5
2
1 2
= x 3
2
2
; S(3/2)
4
x
1,2
3
2 x 3 (
1
x²)
0
2b) Gib in Scheitelform an:
3
f ( x)
0,
5x²
x 0,
75
2c) Bestimme die Funktions-
gleichung beider Graphen!
2 x 6x
Aufgabe:
1a) Bestimme die Lösungsmenge :
a
c
c x
2
x
; a,c R,
Aufgabe:
1d) Vereinfach mit Hilfe der Potenzgesetze:
1
2
3
x
2
2
3 4 ( 0,5)
( 2,5)
1
2 ( 0,5)
5
5
2
25 169
x 0,
5
3
?
1 4
3 : 3 ?
3
1
1
3
4
3 x 4 ( 27 x)
?
y
3,0
2,6
2,2
1,8
1,4
1,0
0,6
0,2
-0,2
-0,6
25
1b) Radiziere teilweise:
4 3 3 3
2
8r s 12r
s : 4rs
1c) Mache den Nenner rational:
5
2 2
?
5 2
6
?
6
-3
-2
Gg
-1
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
y
Gf
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
x
x

Binomische Formeln:
2
( a b)
a²
2ab
b²
4 1 1
a b²
2 a²
bc³
2 c
16 4 4
( a b)
( a b)
a²
b²
3 3
(
a²
b c³)²
4 2
3. Die Wurzelfunktion f : x x mit
D R ; R
0 W ist die Umkehrfunktion
der quadrat. Funktion im I.Quadranten.
Den Graphen erhält man durch Spiegelung
an der Winkelhalbierenden.
4. Satzgruppe des Pythagoras:
Im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat
über der Hypotenuse flächengleich
der Summe der Quadrate über den Katheten.
a 2 + b 2 = c 2
Gilt in einem Dreieck a 2 + b 2 = c 2 , dann
ist es rechtwinklig.
Kathetensätze des Euklid
Das Quadrat über einer Kathete ist flächengleich
zum Rechteck aus der Hypotenuse
und dem zugehörigen Hypotenusenabschnitt.
a 2 = pc, b 2 = qc
Höhensatz des Euklid: h 2 = pq
5. Trigonometrische Beziehungen im
rechtwinkligen Dreieck:
sin
cos
Gegenkathete von
Hypotenuse
Ankathete von
Hypotenuse
Gegenkathe te von α sin
tan
Ankathete von α
cos
Besondere Winkel:
0° 30° 45° 60° 90°
sin 0
cos 1
tan 0
1
2
1 3
2
1 3
3
1 2
2
1 2
2
1 3
2
1
2
1 3
1
0
nicht
def.
9 6
Aufgabe: Finde die Schnittpunkte der Graphen von
f ( x)
4x
3 und g( x)
2 x .
y
3, 0
2, 6
3
4x 3 2 x;
D = ] ; ]
4
2, 2
1, 8
quadrieren: 4x 3 4 4x
x²;
1, 4
1, 0
mögliche Werte für x: 7 und 1.
0, 6
Probe: Nur Schnittpunkt S(1/1)
0, 2
a 2
- 0,2
x
0, 2 0,6 1,0 1,4 1, 8 2,2 2,6 3 ,0 3, 4
Aufgabe: Gegeben: p=3cm, a=4cm.
Berechne b, c, und den Flächeninhalt A des Dreiecks ABC.
Lösung: h a²
p²
h²
7
16
7cm;
q cm;
c p q cm;
p 3
3
4 1 8
b qc 7cm,
A c
h
3 2 3
Gegeben: b = 4,5m; = 43,5
2
7cm
0
C
gesucht: q und h
q
cos q b cos
3,
26m
b
h
A
sin h b sin 3,
10m
b
b
q
h a
p
Aufgabe:
5a) Berechne die Länge der Diagonalen einer Raute ABCD mit
a = 4,3 cm und α = 74° !
5b) In einem symmetrischen
Trapez mit c < a gilt
h : b = 2 : 3 für die Höhe h
und die Seite b.
Berechne die fehlenden
Seiten und Winkel und
den Flächeninhalt A
des Trapezes, wenn gilt:
h = 5,0 cm; c = 4,5 cm !
A
Aufgabe:
2d) (2x + 6) 2 = ?
4 2 4 2 4 2 4 2
2e) a b a b
d
D
b 2
a
c
c 2
h
C
b
B
B

6. Raumgeometrie
Berechnung des Volumens und der Oberfläche von Körpern
Zylinder: VZ r h 2 2
, OZ 2r 2r
h
h
1 2 2
Kegel: VKe r h , OKe r r s
3
(Mantellinie s r²
h²
)
r
Prisma: V A h
Pr i G AG
h
h
Pyramide: VPyr 1
A h G
3
2A
M
AG
OPr i G
Mehrstufige (zusammengesetzte) Zufallsexperimente:
mehrere Teilexperimente
werden nacheinander ausgeführt.
Die Summe der Wahrscheinlichkeiten an den
Ästen, die von einem Knoten ausgehen, beträgt
immer 1.
1.Pfadregel: Die WS eines Ergebnisses ist gleich
dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten auf dem
Pfad, der zu dem Ergebnis führt.
2. Pfadregel : Die WS eines Ereignisses ist gleich
der Summe der Pfadwahrscheinlichkeiten, die zu
diesem Ereignis gehören.
LÖSUNGEN:
, OPyr AG
M Pyr
Aufgabe: Der Rauschgifthund Rex soll immer bellen, wenn er
Rauschgift findet. Ca. 20% aller Ankommenden haben Rauschgift
und Rex bellt mit 90%-er Sicherheit richtig. Leider bellt er in 30%
aller Fälle zu Unrecht.
Gib die WS dafür an, dass eine Person
unerkannt Rauschgift schmuggeln kann.
P ( R , B)
0,
2 0,
1 2%
)
Mit welcher Wahrscheinlichkeit
bellt Rex?
P ( B )
0,
2
42 %
0 , 9
1a) x 12
/ x 5,
5 1b) 2 6r
³ s²
1c) 1, 4
5 5 1d)
2a) 2 4 4
( 3)
3 2 4
3
x1,2 x1
; x2
3
2
( 3)
2 3
3
7
5
0,
8
2c) f(x)=0,5(x-3) 2 -1 g(x)= - (x+2) 2 +2 2d) 4x ² 24x
36 2e) a - b
2
f
2
a
2
5a) cos( ) f 2acos(
) 6,
87cm;
0 , 3
3 3
3
9
/
7
12 3
2b) f ( x)
0,
5(
x 1)²
0.
75
/
1
3x
e
sin( ) 2
2 a
e 2asin(
) 5,
18cm;
2
5b) 2
h
a c
b h 7,
5cm
d;
x b²
h²
; a c 2x
4,
5 5 5;
sin 41,
8;
138,
2;
A h 50,
5cm²
3
b
2
3
1
2
5
1 r h 1
6a) V´ V 12,
5%
V
1
3
s
2
8
2V
r
6b) O 2 G M 2
r²
350cm²
Verbrauch somit 1,
15
O 402,
5cm²
7)
Aufgabe:
6a) Ein kegelförmiges Sektglas hat den Randdurchmesser d = 2r und die Höhe h. Das Glas wird bis zur halben Höhe
gefüllt. Wie viel Prozent des Gesamtvolumens sind das?
6b) Wie viel cm 2 Blech benötigt man zur Herstellung einer Konservendose mit Durchmesser d = 8,1 cm und Volumen
V = 0,5 l, wenn für Falze und Verschnitt 15 % Blech hinzuzurechnen sind ?
4 2 2 4
{( 1/
1);
( 1/
2);
( 2/
1);
( 2/
2)}
A {( 1/
2);
( 2/
1)}
P(
A)
6 5 6 5
Aufgabe: 7) In einer Urne befinden
sich 4 Kugeln mit der Aufschrift „1“ und 2
Kugeln mit der Aufschrift „2“. Es werden
2 Kugeln ohne Zurücklegen gezogen.
Von Interesse ist das Ereignis A: „Die
Summe der Zahlen auf den Kugeln beträgt
3.“.
Gib Ω und A in Mengenschreibweise an
und bestimme P (A) mit Hilfe eines
Baumdiagramms !
8
12
4
6
2
6
4
5
2
2
5
1
5
h
r
2
1
2
s