Mitschrieb zu Lie-Gruppen II: - The-Jens

Mitschrieb zu Lie-Gruppen II:
Hochschuldozent Dr. Baues
Vorlesung Sommersemester 2005
Letzte Aktualisierung und Verbesserung: 26. April 2008
Mitschrieb der Vorlesung Lie-Gruppen II
von Herrn Dr. Baues im Sommersemester 2005
von Marco Schreck.
Dieser Mitschrieb erhebt keinen Anspruch auf Vollständigkeit und Korrektheit.
Kommentare, Fehler und Vorschläge und konstruktive Kritik bitte an Marco.Schreck@gmx.de.

Inhaltsverzeichnis
1 Einführung 5
1.1 Thema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Lie-Produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Cartan-Kriterium für Halbeinfachheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1 Klassifikationssatz für einfache Lie-Algebren über C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Klassifikation im reellen Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Die klassischen (komplexen) Lie-Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Cartan-Unteralgebren 11
2.1 Charakteristische Funktionen und Rang einer Lie-Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Cartan-Unteralgebren von halbeinfachen Lie-Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.1 Anwendungen auf die Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3 Die Lie-Algebra sl(2, C) und ihre Darstellungen 21
3.1 Lemma von Schur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2 Mehr über sl(2, C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3 Der unitäre Trick für sl(2, C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4 Die Struktur der halbeinfachen Lie-Algebren 29
4.0.1 Definition des (abstrakten) Wurzelsystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.0.2 Wurzelsystem von G = sl(2, C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.1 Hauptsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.2 Komplexe und reelle Wurzelsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5 Wurzelsysteme und Basen 37
5.1 Winkel zwischen Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.1.1 Geometrische Interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.2 Inverse Wurzelsysteme und ihre Basen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.3 Struktur der Weyl-Gruppe und Erzeugendensystem der Weyl-Gruppe . . . . . . . . . . . . . 40
5.4 Weyl-Kammer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.4.1 Andere Betrachtungsweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.4.2 Geometrisches Bild der Aktion der Weyl-Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.5 Coseter-Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.5.1 Irreduzibilität von Wurzelsystemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
6 Realisierung der Lie-Algebra G2 47
6.1 Die Cayley-Zahlen (Algebra der Oktonomen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6.2 Pierce-Zerlegung in O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
7 Struktur halbeinfacher Lie-Algebren und ihre Klassifikation durch die Wurzelsysteme 53
7.1 Borel-Unteralgebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
7.2 Hauptsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3

Kapitel 1
Einführung
1.1 Thema
Wir wollen uns mit komplexen (reellen) halbeinfachen Lie-Algebren (und Lie-Gruppen) beschäftigen. Lie-
Algebra G, G = (V, [, ]), wobei V ein komplexer (reeller) Vektorraum K = C (algebraisch abgeschossen, K ⊆ D,
K = R, nicht algebraisch abgeschlossen). Das Ziel ist, halbeinfache Lie-Algebren G über K = C, K = R zu
definieren.
1.1.1 Lie-Produkt
[, ] : V × V ↦→ V, k bilinear
[X, [Y, Z]] + [Z, [X, Y ]] + [Y, [Z, X]] = 0
G heisst einfach ⇔ G ist nicht abelsch und die einzigen Ideale I von G sind {0}. Ein Ideal von G ist ein
Unterraum I von G, so dass [G, I] ⊆ I. Zu jeder komplexen (reellen) Lie-Algebra G gehört eine zugehörige
einfach zusammenhängende, komplexe (reelle) Lie-Gruppe G. Eine Lie-Gruppe G nennen wir einfach, wenn
Lie(G) eine einfache Lie-Algebra ist.
Beispiel:
sl(2, C) ist die Menge der Matrizen A ∈ Mat(2 × 2, C) mit Spur 0.
sl(2, C) = {A ∈ Mat(2 × 2, C)|Sp(A) = 0}
Der Kommutator [A, B] := AB − BA ist eine komplexe Lie-Algebra.
SL(2, C) = {g ∈ Gl(2, C)| det g = 1}
Lie(SL(2, C)) = sl(2, C)
0
X =
0
1 0
, Y =
0 1
0
, H =
0
1 0
∈ sl(2, C) = Span(X, Y, H)
0 −1
Diese Lie-Algebra wird durch die Gleichungen [X, Y ] = H, [H, X] = 2X, [H, Y ] = −2Y vollständig beschrieben.
sl(2, C) ist einfach (Übung). G1 = SL(2, C) ist eine einfache (komplexe) Lie-Gruppe.
G2 = PSL(2, C) = SL(2, C)/{E2, −E2}
ist auch eine einfache Lie-Gruppe, Lie(G2) = sl(2, C).
Definition:
G heißt halbeinfach :⇔ G ist isomorph zu einer direkten Summe von einfachen Lie-Algebren.
(G G1 ⊕ G2 ⊕ . . . ⊕ GK mit Gi einfach)
Diese Definition ist jedoch praktisch sehr schwer anwendbar, weil man einer Lie-Gruppe nicht so einfach
ansieht, wie sie sich zerlegt.
5

KAPITEL 1. EINFÜHRUNG
Definition:
✵ Eine Lie-Algebra G heißt auflösbar :⇔ D K G = {0} (aufsteigende Zentralreihe).
D 0 G = G, D 1 G = [G, D 0 G], . . . , G i+1 G = [G, D i G]
D 0 G = G ⊆ D 1 G ⊆ . . . ⊆ D K G
✵ g heißt halbeinfach ⇒ G = D 1 G = D 2 G = . . ..
Bemerkung:
Ist G eine Lie-Algebra, dann besitzt sie ein maximales auflösbares Ideal rads(G) (Radikal).
Satz 1:
G ist halbeinfach ⇔ rads(G) = {0}.
1.2 Cartan-Kriterium für Halbeinfachheit
KG(X, Y ) = Sp(ad(X) ◦ ad(Y ) mit X, Y ∈ G
KG ist die Killing-Form (eine symmetrische bilineare Form auf G).
ad(X) : Y ← ad(X) ∈ Erd(G), ad(X)(Y ) = [X, Y ]
Satz 2:
G ist halbeinfach ⇔ kG nicht ausgeartet ist.
C ⇔ {X ∈ G|k(X, Y ) = 0 ∀ Y ∈ G} = {0}
1.2.1 Klassifikationssatz für einfache Lie-Algebren über C
1.) Es gibt vier Familien.
✵ Familie ①:
Die erste Familie heißt An für n ≥ 1. Die einzigen Lie-Algebren, die in dieser Familie liegen, sind
sl(n+1, C), SL(n+1, C). Das erste Element dieser Familie ist also sl(2, C), welches wir schon kennen.
sl(n + 1, C) = {A ∈ Mat((n + 1) × (n + 1), C)|Sp(A) = 0}
✵ Familie ②:
Die zweite Familie ist Bn mit n ≥ 2. Hierzu gehören O(2n + 1, C), O(2n + 1, C).
o(n, C) = {A ∈ Mat(n + n, C)|A + A ⊺ = 0}
O(n, C) = {g ∈ GlnC|g ⊺ = g −1 }
Man spricht von der orthogonalen Lie-Algebra.
✵ Familie ③:
Die dritte Familie ist Cn mit n ≥ 3. Hierzu gehören sp(2n, C) und Sp(2n, C) (symplektische Lie-
Algebra).
sp(2n, C) = {A ∈ Mat(2n + 2n, C)|A ⊺ Ω + ΩA = 0} mit Ω =
SP(n, C) = {g ∈ GlnC|g ⊺ Ωg = Ω}
0
En
−En 0
✵ Familie ding”0AF:
Dies ist die Familie Dn mit n ≥ 4. Hierzu gehören o(2n) und O(2n).
2.) Es gibt fünft exzeptionelle Beispiele, nämlich G2, F4, E6, E7 und E8.
Diese sind sehr schwer zu beschreiben. Die Dimensionen dieser einfachen Lie-Algebren sind 14, 52,
78, 133 und 248.
Hat man eine komplexe einfache Lie-Algebra, so ist diese isomorph entweder zu einer der vier Familien oder
einem der fünf exzeptionellen Beispiele.
6

1.3 Klassifikation im reellen Fall
1.3. KLASSIFIKATION IM REELLEN FALL
Sei G eine reelle (k = R) einfache Lie-Algebra und GC = G ⊗R C die zugehörige Komplexifizierung. Dann
gibt es zwei Möglichkeiten:
1.) GC ist eine einfache komplexe Lie-Algebra (G absolut einfach).
2.) GC ist isomorph zu S ⊕ S für eine komplexe einfache Lie-Algebra S.
S ist das komplex konjugierte von S, ist aber isomorph zu S
Im Falle ① nennt man G eine reelle Form von GC.
Beispiel:
1. Fall:
a.) G = sl(2, R), GC = sl(2, C)
G = SU(2), GC = sl(2, C)
sl(2, R) und SU(2) sind reelle Formen von sl(2, C). Die Gruppe SU(2) ist kompakt. Die kann mal algebraisch
erklären, da die Killing-Form von SU(2) negativ definit ist. SU(2) heißt eine kompakte
reelle Form in dieser Eigenschaft.
3.) G = SO(n, R) = {A|A + A⊺ = 0}, yC = SO(n, C) ist eine kompakte reelle Form.
G = SO(p, q, R) = {A|A ⊺
Ep 0
Ep,q + Ep,qA = 0} mit Ep,q =
0 −Eq
2. Fall: G = sl(2, C)R ist eine reelle sechsdimensionale einfache Lie-Algebra.
Satz 3:
GC sl(2, C) ⊕ sl(2, C)
Ist V ein Vektorraum über C, dann ist sl(V ) = {ϕ ∈ Erd(V )|Sp(ϕ) = 0} halbeinfach. (Insbesondere also ist
sl(n, C) halbeinfach.)
1.4 Die klassischen (komplexen) Lie-Algebren
Sei V ein komplexer Vektorraum.
gl(V )(= End(V )) = {ϕ : V ↦→ V, komplex linear}
Der Kommutator sei definiert durch:
[ϕ, ψ] = ϕ ◦ ψ − ψ ◦ ϕ mit ϕ, ψ ∈ gl(V )
An−1 : sln(C) = {ϕ ∈ End(C n )|Sp(ϕ) = 0}
Diese Lie-Algebra ist isomorph zu:
sl(V ) = {ϕ ∈ End(V )|Sp(ϕ) = 0}
G ⊆ gl(V )
ob(V ) = {ϕ ∈ gl(V )|b(ϕx, y) = −b(x, ϕ(y)) mit x, y ∈ V
b ist eine nicht ausgeartete (komplexe lineare) symmetrische Bilinearform auf V .
sp(V ), dimV = 2n
sp(V ) = {ϕ ∈ gl(V )|Ω(ϕx, y) = −Ω(x, ϕ(y))}
Ω ist nicht ausgeartete (komplexe lineare) schiefe Bilinearform (Ω(x, y) = −Ω(y, x)).
7

KAPITEL 1. EINFÜHRUNG
Lemma 1:
sl(V ), o(V ) und sp(V ) sind Lie-Unteralgebren von gl(V ).
Definition:
G heißt halbeinfach :⇔ rads(G) = {0} (⇔ G hat ” kein“ auflösbares Ideal.)
G heißt halbeinfach :⇔ G halbeinfach und G bricht nur {0}, G als Ideale
Theorem 1:
Die Lie-Algebren sl(V ) (dim V ≥ 2), o(V ) (dim V ≥ 4) und sp(V ) (dim V ≥ 4) sind einfach. Wir nennen diese
Lie-Algebren die klassischen komplexen Lie-Algebren.
Definition:
Sei G eine Lie-Algebra, ϱ : G ↦→ gl(V ) ein Homomorphismus von Lie-Algebren. ϱ heißt eine Darstellung von
G. ϱ heißt irreduzibel, wenn für alle U ⊆ V , wobei U ein Untervektorraum von V mit ϱ(G)(U) = {ϱ(X)u|X ∈
G, u ∈ U} ⊆ U (U ist G-invarianter Unterraum von V ) gilt U = {0} oder U = V .
Beispiel:
Wir betrachten ϱ = ad: g ↦→ gl(g), wobei ad(X)(Y ) = [X, Y ]. Dies ist die ” adjungierte Darstellung“. ad ist
irreduzibel ⇔ dim g = 1 oder g ist einfach.
Beispiel:
Es sei g auflösbar und ϱ: g ↦→ gl(V ) eine irreduzible Darstellung. Daraus folgt dim V = 1. (Satz von Lie)
Satz 4:
1.) gl(V ) hat die Unteralgebra D = {ϕ ∈ gl(V )|ϕ(x) = λϕx für ein λϕ ∈ C und alle x ∈ V }. Dies entspricht
der Menge der Diagonalmatrizen:
⎧⎛
⎞⎫
⎪⎨ λ ⎪⎬
⎜
⎝
. ..
⎟
⎠
⎪⎩
⎪⎭
λ
Diese ist als einziges Ideal verschieden von {0}, gl(V ).
2.) sl(V ) ist halbeinfach.
Lemma 2:
gl(V ) ist irreduzibel auf V . (V hat keinen Unterraum, der invariant ist unter diesen Matrizen.)
” Beweis“:
Es gibt keinen echten Unterraum U ⊆ V , so dass ϕ(U) ⊆ U für alle Endomorphismen ϕ von V . q.e.d.
Satz 6:
Sei G ⊆ ugl(V ) eine irreduzible Unteralgebra (das heißt: V als G-Modul ist irreduzibel) und J ⊆ G ein
auflösbares Ideal mit J ⊆ {0}. Daraus folgt J = D. (Dann besteht dieses Ideal aus Diagonalmatrizen.)
Korollar 1:
Es sei G ⊆ gl(V ), G irreduzibel auf V und D ∩ G = {0}. Daraus folgt, dass G halbeinfach ist.
Beweis:
G kann wegen des Satzes kein echtes auflösbares Ideal haben. ⇒ G ist halbeinfach. q.e.d.
8

Korollar 2:
sl(V ) ist halbeinfach.
Beweis:
1.4. DIE KLASSISCHEN (KOMPLEXEN) LIE-ALGEBREN
sl(V ) ist irreduzibel und außerdem ∀ ϕ ∈ sl(V ) gilt Sp(ϕ) = 0. Aber für ϕλ ∈ D, mit ϕλ(x) = λx erfüllt
Sp(ϕλ) = n · λ, wobei n = dim V . (⇒ ϕ = ϕλ ∈ D ∩ sl(V ) ⇒ λ = 0, ϕ = 0) ⇒ D ∩ sl(V ) = {0}. q.e.d.
Beweis von Satz 6:
Sei J ⊆ G ein auflösbares Ideal; das heißt, J ist auflösbar und für alle ϕ ∈ G, ψ ∈ J, gilt [ϕ, ψ] = ϕ◦ψ−ψ◦ϕ ∈ J.
(G ⊆ n gl(V )(J)) (Die vorherige Gleichung ist Definition des Normalisators n.) Aus dem Satz von Lie folgt,
dass es ein v ∈ V , v = 0, Λ: J ↦→ C, linear gibt, so dass ψ(v) = Λ(ψ)v für alle ψ ∈ J. Uns interessiert, was
ψ(ϕ(v)) ist für ϕ ∈ G.
ψϕ(v) = [ψ, ϕ](v) + ϕ ◦ ψ(v) = [ψ, ϕ](v) + Λ(ψ)ϕ(v) = J Λ([ψ, ϕ])v + Λ(ψ)ϕ(v)
Lemma 3:
[ψ, ϕ] ∈ gl(V ) ist nilpotent. (⇔ Alle Eigenwerte von [ψ, ϕ] sind gleich null.)
Weiter im Beweis von Satz 6:
Da Λ([ψ, ϕ]) ein Eigenwert von [ψ, ϕ] (Eigenvektor = v = 0), folgt Λ([ψ, ϕ]) = 0. Hieraus folgt ψ(ϕ(v)) =
Λ(ψ)ϕ(v). Da g irreduzibel operiert, folgt G · V = {ϕ(V )|ϕ ∈ G} = V (da G · V ein invarianter Unterraum von
V ist). Daraus folgt, dass für alle x ∈ V ψ(x) = Λ(ψ)x und damit ψ = ϕ Λ(ψ) ∈ D. Damit ist J ⊆ D. q.e.d.
Zum Beweis von Lemma 3:
S ⊆ gl(V ) sei eine auflösbare Unteralgebra. Aus dem Satz von Lie folgt, dass die Kommutatorunteralgebra
(Menge aller Kommutatoren von Elementen aus S mit sich selber) [s, s] besteht aus nilpotenten Elementen.
(Es gibt eine Basis von V , so dass die Elemente, die zu S gehören, in den oberen Dreiecksmatrizen liegen).
⎛ ⎞
[s, s] ⊆
⎜
⎝
0 ∗
. ..
⎟
⎠
0 0
Wir betrachten die von ϕ und J erzeugte Unteralgebra S von gl(V ). S ist auflösbar, denn [s, s] = [ϕ, s] + [J, J].
Es ist S = Cϕ + J. Es ist [ϕ, s] ⊆ [ϕ, J] ⊆ J mit ϕinG. Daraus folgt [s, s] ⊆ J, wobei J auflösbar ist. Dies
impliziert, dass s auflösbar ist und [ϕ, ψ] nilpotent für ale ψ ∈ J ist. q.e.d.
Theorem 2:
sl(V ) ist einfach. Es gilt sl(V ) sl(Cn ) = {A ∈ Mat(n × n, C)|Sp(A) = 0}.
⎧⎛
⎨
aln = ⎝
⎩
λ1
⎞
⎫
0
⎬
⎠
λi = 0
0 λn ⎭
i
ist eine abelsche Unteralgebra von sln (= sl(Cn )), die aus halbeinfachen Elementen besteht. Weiterhin ist
n + ⎧⎛
⎞⎫
⎨ 0 ∗ ⎬
= ⎝ ⎠
⎩ ⎭
0 0
ist eine Unteralgebra aus J nilpotenten Elementen mit der Basis Eij mit j > i.
n − ⎧⎛
⎞⎫
⎨ 0 0 ⎬
= ⎝ ⎠
⎩ ⎭
∗ 0
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KAPITEL 1. EINFÜHRUNG
ist eine Unteralgebra mit der Basis Eij, wobei i > j. Sei
⎛
λ1
⎜
D(λ1, . . . , λn) := Diag(λ1, . . . , λn) = ⎝
. ..
⎞
0
⎟
⎠ mit λi ∈ C
0 λn
D(λ1, . . . , λn) ∈ Aln
[Dλ1,...,λn , Eij] = (λi − λj)Eij, [Dλ1,...,λn , Aln] = 0
Definition:
Sei Λij: Aln ↦→ C, Λij(Dλ1,...,λn ) = λi − λj eine Funktion. Λij heißt eine Wurzel der Lie-Algebra sln.
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Kapitel 2
Cartan-Unteralgebren
Wir arbeiten immer noch auf dem Körper der komplexen Zahlen C.
Definition:
G sei eine Lie-Algebra, h ⊆ G eine Unteralgebra. Dann heißt h eine Cartan-Unteralgebra von G, wenn
i.) h ist nilpotent
Die bedeutet, dass [h, [h, [h, . . . , [h, h]]]] = 0 ist.
ii.) Der Normalisator ng(h) = {x ∈ G|[x, h] ⊆ h} ist gleich h.
Wir erkennen also folgendes:
1.) Wenn G nilpotent ist, so ist G eine Cartan-Unteralgebra von sich selbst.
2.) Schauen wir uns die Lie-Algebra der oberen Dreiecksmatrizen Tn an:
⎛
∗
Tn = ⎝
∗
∗
⎞
∗
∗⎠
∗
Dann ist die Algebra der enthaltenen Diagonalmatrizen
⎛ ⎞
∗
⎜
Dn = ⎝
. ..
⎟
⎠
∗
eine Cartan-Unteralgebra, denn
i.) Dn ist abelsch (und damit nilpotent)
⎛ ⎞
0 ∗ ∗
⎜
ii.) x ∈ Nn = ⎝
. ..
⎟
∗⎠,
[Dn, x] ⊆ x
0
Da x /∈ Dn folgt, dass x /∈ nTn(Dn) und daraus folgt wiederum nTn(Dn) = Dn.
3.) Wenn G1 und G2 Lie-Algebren sind und h1 ⊆ G1, h2 ⊆ G2 Cartan-Unteralgebren, so folgt, dass h1 ×h2
eine Cartan-Unteralgebra von G = G1 × G2 ist.
4.) Wir betrachten g = gl(V ) Mat(n × n, C), dann ist die Unteralgebra Dn eine Cartan-Unteralgebra.
Zum Beweis:
⎛
0
⎜
Mat(n × n, C) = ⎝∗
. ..
⎞
⎟
⎠ ⊕ Dn ⊕ Nn = N
∗ ∗ 0
− n ⊕ Dn ⊕ Nn
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KAPITEL 2. CARTAN-UNTERALGEBREN
Lemma 4:
Dn ist eine Cartan-Unteralgebra von gl(n, C) = Mat(n × n, C).
Beweis:
i.) Dn ist abelsch ⇒ Dn ist nilpotent
ii.) Zu zeigen: n gl(n,C)(Dn) = Dn
Wir erinnern uns daran, dass gl(n, C) = N − ⊕ Dn ⊕ N (∗) ist, wobei N − = Span C(Eij|i > j) und
N + = Span C(Eij|i < j).
D = Diag(λ1, . . . , λn) mit [D, Eij] = (λi − λj)Eij
Wir wählen ein x ∈ gl(V ) mit [x, D] ⊆ Dn. Wegen (∗) können wir schreiben:
x = x0 + αijEij wobei x0 ∈ Dn
[x, D] = −[D, x] = − αij(λi − λj)Eij ∈ Dn
Hieraus folgt, dass αij(λi − λj) = 0 ∀ i, j und damit αij = 0 und x ∈ Dn. q.e.d.
2.1 Charakteristische Funktionen und Rang einer Lie-Algebra
Wenn wir ein x ∈ G haben, dann gehört dazu ad(x) : G ↦→ G, g ↦→ [x, y]. Wir definieren:
n
Px(T ) = det(T · idG − ad(x)) =
i=1
(T − λi) = T n − Sp(ad(x))T n−1 + . . . + (−1) n det(ad(x)) =
n
ai(x)T i
λi sind die Eigenwerte von ad(x). Die ai sind Funktionen G ↦→ C, nämlich Polynome in x aus G. Das heißt,
wenn xi mit i = 1, . . ., n eine Basis von G ist mit X = xix i , dann ist ai ein Polynom, das homogen vom
Grad (n − i) in (x1, . . ., xn) ist.
Es ist an ≡ 1, an(x) = 1, an−1(x) = −Sp(ad(x)) und a0(x) = 0. Dies gilt wegen det(ad(x)) = 0, weil [x, x] = 0.
Definition:
Die Funktionen ai mit i = 1, . . ., n heißen charakteristische Funktionen von G. Wenn x ∈ G, dann nennen wir
den Rang von x die kleinste Zahl lx ∈ N, so dass alx(x) = 0. Die kleinste Zahl lG = l, so dass al ≡ 0, heißt der
Rang von G. x ∈ G heißt regulär, wenn lx = lG.
Bemerkung:
1.) Es gilt 1 ≤ rang(G) ≤ n
2.) Sei G eine Lie-Algebra vom Rang l, dann ist Px(T ) von folgender Gestalt:
n
Px(T ) = ai(x)T i n
= ai(x)T i = T l
n
· ai(x)T i−l
Lemma 5:
i=0
i=l
Daraus folgt, dass der Eigenwert 0 wenigstens Multiplizität l hat.
Die Menge Greg = {x ∈ G|x ist regulär} ist offen, dicht und zusammenhängend in G.
Beweis:
i=l
Dies liegt daran, dass Greg = G \ {x ∈ G|al(x) = 0}. Das heißt, Greg ist das Komplement der komplexen
Nullstellen-Menge Val = {x ∈ G|al(x) = 0} des Polynoms al. Daraus folgt, dass Greg offen und dicht ist. Der
Beweis, dass Greg direkt zusammenhängend ist, ergibt sich folgendermaßen. Es sei x, y ∈ Greg. Dann betrachte
die komplexe Gerade L, die x und y in G verbindet. So folgt, dass L ∩ Val
i=1
eine endliche Menge ist. Daraus
folgt, dass die Menge L \ Val ⊆ Greg ist homöomorph zu C \ {P1, . . . , PK} für Pi ∈ C. Also ist insbesondere
L \ Val zusammenhängend, womit sich x und y in L ∩ Greg durch eine Kurve verbinden lassen. Damit ist Greg
zusammenhängend. q.e.d.
12

Beispiel:
2.1. CHARAKTERISTISCHE FUNKTIONEN UND RANG EINER LIE-ALGEBRA
Wir betrachten x ∈ Dl, also von der Gestalt x = Diag(λ1, . . . , λl) mit λi ∈ C.
x ∈ gl(l, C)reg ⇔ λi mit i = 1, . . . , l sind paarweise verschieden
(Die Dimension dieser Lie-Algebra ist n = l 2 .)
Beweis:
1.) al(x) = 0 ⇔ λi paarweise verschieden
Wenn die Bedingung an die λi erfüllt ist, dann folgt, dass Dl = gl(l, C) x 0, da [x, Eij] = (λi − λj)Eij.
Eij ist Basis von G = gl(l, C). Das heißt [x, Eij] = 0 ist äquivalent zu λi = λj ⇔ λi = λj ⇔ i = j ⇔
Eij = Eii ∈ Dn. (verallgemeinerter Eigenraum mit Eigenwert 0).
2.) l = rang gl(l, C
Dn enthält ein reguläres Element x.
Dn = G x 0 mit G x 0 := {g ∈ G|ad(x) k g ==, k groß genug}
Wir betrachten nun für x ∈ G und λ ∈ C den verallgemeinerten Eigenraum zum Eigenwert λ, nämlich
Gλ = {y ∈ G|(ad(x) − λ) k (y) = 0, für k groß genug und k ∈ N}. Es gibt λ0, . . ., λ ∈ C, so dass λ0 = 0, so dass
G = Gλ0 ⊕Gλ1 ⊕. . .⊕Gλn mit Gλi = {0}. (Jordan-Zerlegung). (λ0 = 0, erfüllt Gλ0 = 0 wegen x ∈ Gλ0 = G0)
Lemma 6:
Es sei x ∈ G und x = 0:
i.) Ist y ∈ Gλ und z ∈ Gµ, so impliziert dies, dass [y, z] ∈ Gλ+µ ist.
ii.) G0 ist eine Unteralgebra von G.
Beweis:
Der zweite Punkt folgt aus dem ersten, denn y, z ∈ G0 impliziert [y, z] ∈ G0+0 = G0. Zum Beweis des ersten
Punktes benötigen wir ein weiteres Lemma.
Lemma 7:
Es seien x, y, z ∈ G und λ, µ ∈ C. Dann gilt:
(ad(x) − λ − µ) n n
n
([y, z]) =
p
p=0
(ad(x) − λ) p y, (ad(x) − µ) n−p z
Nun können wir den vorherigen Beweis fortführen. Das Lemma 7 zeigt uns folgendes: Wenn y ∈ Gλ und
z ∈ Gµ, so ist [y, z] ∈ Gλ+µ. (Wähle zum Beispiel n = 2 · dim G in obigem Lemma.)
Beweis von Lemma 7:
Wir beweisen dies zuerst für den Fall n = 1. Die Jacobi-Identität besagt, dass [x, [y, z]] = −[z, [x, y]]−[y, [z, x]]
ist. Wir formen dies um:
[x, [y, z]] = −[z, [x, y]] − [y, [z, x]] = [[x, y], z] + [y, [x, z]] = [ad(x)y, z] + [y, ad(x)z]
Daraus folgt:
(ad(x) − λ − µ)[y, z] = [ad(x)y, z] − λ[y, z] + [y, ad(x)z] − µ[y, z] = [ad(x)y, z] + [−λy, z] + [y, ad(x)z] + [y, −µz] =
= [ad(x)y − λy, z] + [y, ad(x)z − µz] = [(ad(x) − λ)y, z] + [y, (ad(x) − µ)z]
Damit ist der Fall n = 1 bewiesen. Für den allgemeinen Fall erinnern wir uns an die Formel:
n n n + 1
+ =
p − 1 p p
Diese erlaubt uns mit vollständiger Induktion die Formel des Lemmas zu beweisen.
13

KAPITEL 2. CARTAN-UNTERALGEBREN
Satz 7:
Sei x ∈ G ein reguläres Element, dann ist G x 0 eine Cartan-Unteralgebra von G.
Korollar 3:
Jede Lie-Algebra besitzt Cartan-Unteralgebren und jedes reguläre Element ist in einer Cartan-Unteralgebra
von G enthalten.
Beweis:
i.) Wir müssen zeigen, dass G x 0 eine nilpotente Unteralgebra von G ist.
g ∈ G x 0, ad(y)|G x 0 = adG x 0 (y)
ad 1 (y) = ad(y)|G x 0
Der Satz von Engel impliziert, dass G x 0 nilpotent ist, genau dann, wenn die Operatoren ad 1 (y) nilpotent
sind für alle y ∈ G x 0. Wir müssen damit beweisen, dass ad 1 (y) nilpotent ist. Um das zu tun, führen wir
den von ad(y): g ↦→ G induzierte Quotientenoperator ad 2 (y): G/G 0 x ↦→ G/G 0 x ein. Wir definieren die
offene Menge U = {y ∈ G 0 x|ad 1 (y) ist nicht nilpotent}. Außerdem definieren wir:
V = {y ∈ G x 0|ad 2 (y) ist regulär, das heißt, invertierbar}
Es gilt U ∩ V = ∅, was an der Definition des Ranges liegt. Wenn g ∈ U ∩ V , dann hat der Eigenwert
0 von ad(y) eine Multiplizität kleiner als dim G 0 x = l. Damit folgt aj(y) = 0 für ein y < l. Dies ist ein
Widerspruch zur Definition des Ranges l. Falls U verschieden von der leeren Menge ist, so ist U offen
und dicht. in G 0 x. Da V ∋ {x} enthält, ist V offen und dicht. Daraus folgt U ∩ V = ∅. Damit ist U = ∅
und ad 1 ist nilpotent. q.e.d.
ii.) Aus y ∈ nG(G0) folgt, dass [y, G0] ∈ G0 ist. Das impliziert, dass [y, x] ∈ G0 ⇔ [x, y] ∈ G0. Damit gibt es
ein k ∈ N, so dass ad(x) k [x, y] = 0 ist und ad(x) k+1 (y) = 0. So ist y ∈ G0. q.e.d.
Definition:
h ⊆ gl(V ) sei eine nilpotente Lie-Algebra linearer Transformationen. Für eine Funktion Λ: h ↦→ C definieren
wir:
VΛ = {v ∈ V |(x − Λ(x)) k v = 0 für k groß genug und alle x ∈ h}
Wenn VΛ = {0}, so nennen wir Λ ein Gewicht von h in V .
Satz 8:
Es sei K = C. V zerlegt sich als direkte Summe der Gewichtsräume VΛi für i = 1, . . ., k. Das bedeutet:
V = VΛ1 ⊕ . . . ⊕ VΛk , wobei Λi für i = 1, . . ., k die Gewichte von h in V sind.
Beweis:
Wenn wir ein x ∈ h haben, so können wir die Jordan-Zerlegung von x anschauen. Dann gilt x = xs + xn,
wobei xs als lineare Abbildung von V in sich selbst halbeinfach ist und xn nilpotent ist. Es gilt [xs, xn] = 0.
Wenn wir ad(x): h ↦→ h betrachten, so ist ad(x) = ad(xs) + ad(xn) die Jordan-Zerlegung von ad(x). Da h
nilpotent ist, folgt ad(xs) = 0. Dies impliziert, dass [xs, H] = 0 für alle H = ys oder H = yn mit y ∈ h. Daraus
folgt, dass {xs|x ∈ h} eine abelsche Unteralgebra von gl(V ) ist, die mit allen Elementen aus h kommutiert.
Betrachten wir beispielsweise A := {xs|x ∈ h}. Seien Λ1, . . ., Λk die Gewichte der diagonalisierbaren Unteralgebra
A von gl(V ).
V = VΛ1 ⊕ . . . ⊕ VΛk mit VΛ = {v ∈ V |Av = Λ(A)v}
Dass H mit A kommutiert, folgt hV Λ ⊆ V Λ für jedes Gewicht Λ.
x ∈ h, xn = (x − xs)|V Λ = (x − Λ(xs))|V Λ (∗)
Definiere Λi: h ↦→ C durch Λi(x) = Λi(xs). Aus (∗) folgt, dass V Λi ⊆ VΛi. VΛi ist der Gewichtsraum von h zu
Λi. Es folgt sogar V Λi = VΛi und damit sind die Λi die Gewichte von h in V und V = ⊕VΛi. q.e.d.
Sei h ⊆ G eine Cartan-Unteralgebra. Dann wissen wir, dass G = h ⊕ GΛ1 ⊕ . . . ⊕ GΛk wobei Λi mit i = 1, . . .,
k die Gewicht Λi der adjungierten Darstellung von h auf G sind ({ad(x)|x ∈ h} = ad(h) ⊆ gl(G)) mit Λi = 0.
Es gilt h = GΛ0 mit Λ0 ≡ 0. Wir nennen Λ1, . . ., Λk die Wurzeln von G (bezüglich h).
14

Satz 9:
2.1. CHARAKTERISTISCHE FUNKTIONEN UND RANG EINER LIE-ALGEBRA
Sei h eine Cartan-Unteralgebra von G. Dann ist h = G x 0 für ein reguläres Element x ∈ G.
Korollar 4:
Der Rang von G ist die Dimension einer Cartan-Unteralgebra von G.
Beweis:
Sei x0 ein Element von h mit Λi(x0) = 0 für alle i = 1, . . ., k. Dann ist x0 ein reguläres Element von G und
außerdem (klar nach der Wahl von x0) gilt h = G x0
0 . q.e.d.
G 0 x0 = {x ∈ G|ad(x0) k (x) = 0 für k groß genug}
G 0 x0 bezeichnet man auch als Nil-Raum von x0 in G. G 0 x0
h(x0) := G 0 x0
Theorem 3:
k=0
ist eine Cartan-Unteralgebra von G.
Sei h ⊆ G eine Cartan-Unteralgebra. Dann gibt es ein x0 ∈ Greg ∩ h, so dass h = h(x0). Betrachte weiter die
Gruppe G = 〈exp(ad(y))|y ∈ G〉 ∈ GL(G).
∞ ϕ
exp(G) =
k
ϕ2
= Id + ϕ + + . . . mit y ∈ gl(G)
k! 2
Die Gruppe G operiert durch Automorphismen der Lie-Algebra G.
G = exp(ad(y)), g[X, Y ] = [gX, gY ] (siehe Lie-Gruppen und Lie-Algebren I)
Wir nennen G die Gruppe der inneren Automorphismen der Lie-Algebra G. Ist h ⊆ G eine Cartan-
Unteralgebra und g ∈ G ein innerer Automorphismus, so ist g(h) =: g · h eine Cartan-Unteralgebra von
G.
Theorem 4:
Die Gruppe G operiert transitiv auf der Menge der Cartan-Unteralgebren von G. Das heißt: Wenn h und h ′
Cartan-Unteralgebren sind, dann gibt es ein g ∈ G mit h ′ = g(h).
Bemerkung:
Die Gruppe G ist enthalten in der Automorphismengruppe Aut(G) und heißt die Gruppe der inneren Automorphismen.
Je zwei Cartan-Unteralgebren sind durch einen inneren Automorphismus zueinander konjugiert
und entsprechend ihre Wurzelzerlegungen. (Λi sind Elemente aus dem Dualraum h ⋆ .)
Beweis von Theorem 3:
Sei h ⊆ G eine Cartan-Unteralgebra. Wir betrachten die Wurzel-Zerlegung von G bezüglich h:
G = G0 ⊕ GΛ1 ⊕ GΛ2 ⊕ . . . ⊕ GΛk mit Λi : h ↦→ C, Λi = 0 und i = 1, . . . , k
Insbesondere ist G0 der Nil-Unterraum von h in G. Da h nilpotent ist, gilt h ⊆ G0. q.e.d.
Lemma 8:
Es gilt h = G0.
Beweis von Lemma 8:
Wir betrachten die Darstellung von h auf G/h.
ad 2 (x) : G/h ↦→ G/h mit x ∈ h
Die Lie-Algebra ad 2 (h) ⊆ gl(G/h) ist nilpotent, da h nilpotent ist. Nach dem Satz von Lie gibt es eine Fahne
0 = D0 ⊆ D1 ⊆ . . . ⊆ Dm = G/h, die invariant unter ad 2 (h) ist. Das bedeutet, es gibt Funktionen αi: h ↦→ C
mit i = 1, . . ., m, so dass ad 2 (x)w = αi(x)w + w ′ , wobei w ∈ Di und w ′ = Di−1. Wir nehmen an, es gibt ein
i ∈ {1, . . . , m}, so dass αi = 0 ist. Wir wählen i minimal ” mit dieser Eigenschaft“. q.e.d.
q.e.d.
15

KAPITEL 2. CARTAN-UNTERALGEBREN
Bemerkung:
Die vorherige Annahme ist genau dann erfüllt, wenn G0/h = {0}. Wir zeigen also, dass diese Annahme zu
einem Widerspruch führt. Dann ist Lemma 8 bewiesen. Insbesondere gibt es wegen der Annahme ein x0 ∈ h,
αi(x0) = 0 und αj(x0) ≡ 0 für j < i. Außerdem gilt ad 2 (x)Di ⊆ Di−1 für alle x ∈ h. Da αj(x0) = 0 für j < 0
gilt Di = D ⊕ Di−1, wobei D der Nullraum von x0 ist. Daraus folgt für z ∈ D, ad 2 (x)z = {0}, weil dim D = 1
ist.
Behauptung:
ad 2 (h)D ⊆ D ⇒ ad 2 (h) D = 0
Welche Konsequenz ergibt sich aus der Behauptung? Sei z ∈ G ein Repräsentant der Restklasse z ∈ G/h. Wir
können z ∈ G0 wählen. Dann gilt für alle x ∈ h: [x, z] ∈ h ⇔ [z, x] ∈ h ⇔ z ∈ nG(h). h ist also eine Cartan-
Unteralgebra. Daraus folgt h = nG(h) und z ∈ h, was ein Widerspruch zur Annahme darstellt. Daraus ergibt
sich h = G0.
Beweis der Behauptung:
Für alle z ∈ D ist ad 2 (x0)z = 0, [x0, z] ∈ h. Zu zeigen ist, dass aus x ∈ h folgt, dass ad 2 (x)z ∈ D. Dies ist
äquivalent zu ad 2 (x)z ∈ Nullraum x0(= D 0 i , x0). Dies ist wiederum äquivalent zu ad 2 (x0) k (ad 2 (x)z) = 0 für k
groß genug (⋆). Formel:
ad 2 (x0) k (ad 2 (x)z) = ad 2 (ad(x0) k x)z
Wir wissen, dass ad(x0) k x = 0 für k groß genug. Das heißt, die Formel impliziert (⋆). Es bleibt der Beweis der
Formel:
ad 2 (x0) k+1 (ad 2 (x)z) = ad 2 (x0) ad 2 (x0) k (ad 2 (x)z) = ad 2 (x0) ad 2 (ad(x0) k x)z
z ∈ G ist ein Repräsentant von z ∈ G/h. Dies ist äquivalent zu:
ad(x0) k+1 [z, z] = [x0, [ad(x0) k x, z]] + H mit H ∈ h
Damit folgt weiter:
−[z, [x0, ad(x0) k x]] + [ad(x0) k x, [z, x0]] + H = [ad(x0) k+1 x, z] + H + H ′ mit H, H ′ ∈ h
⇔ Formel im Falle k + 1 q.e.d.
Fortsetzung vom Beweis des Theorem 3:
Wir haben bewiesen, dass G = h ⊕ GΛ1 ⊕ . . . ⊕ GΛk für Λi = 0. Wähle ein x0 ∈ h mit Λi(x0) = 0 für i = 1, . . .,
h. Daraus folgt h = G 0 x0 , das heißt h = h(x0). Zu zeigen bleibt, dass x0 ein reguläres Element in G ist. Wir
definieren:
hr = {x0|Λi(x0) = 0 mit i = 1, . . . , h}
Dies ist eine offene Teilmenge = ∅ in h. Wir betrachten jetzt die Menge G · hr ⊆ G. q.e.d.
Lemma 9:
G · hr ist offen in G.
Beweis:
Wir betrachten die Abbildung G ×hr ↦→ G, (g, x0) ↦→ gx0. Diese hat das Bild Ghr. Die Ableitung θ: G×h ↦→ G
dieser Abbildung im Punkte (1, x0) ist surjektiv auf G, da x0 ∈ hreg. (Übung oder nächste Stunde) Das Lemma
9 folgt zunächst aus dem Satz über implizite Funktionen. q.e.d.
Mit Lemma 9 folgt, dass G · hr einen nicht-leeren Schnitt mit der offenen und dichten Menge V = Greg der
regulären Elemente in G hat. Damit gibt es ein x0 ∈ h und ein g ∈ G, so dass g · x0 ∈ V = Greg. g · x0
ist regulär und damit ist x0 reguläres Element von G. (Der Automorphismus überführt reguläre Elemente in
reguläre Elemente.) Damit gilt h = G 0 x0 für das reguläre Element x0 ∈ h ∩ Greg. q.e.d.
16

Korollar 5:
2.2. CARTAN-UNTERALGEBREN VON HALBEINFACHEN LIE-ALGEBREN
Ist h eine Cartan-Unteralgebra, so folgt dim h = ragG = l.
Bemerkung:
Dies zeigt, dass sogar alle Elemente in hr regulär sind! Das heißt, hr ⊆ Greg.
Beweis von Theorem 4:
Wir betrachten eine Äquivalenzrelation R auf der Menge der regulären Elemente Vr = Greg von G:
x0 ∼ y0 ⇔ h(x0) = G
R 0 x0 und h(y0) = G 0 y0 in der Gruppe G zueinander konjugiert sind
Lemma 10:
Die Äquivalenzklassen von R sind offene Mengen in G.
Beweis:
Wir hatten im Korollar zu Theorem 3 gesehen, dass x0 ∈ h mit Λi(x0) = 0 für i = 1, . . ., k in G regulär sind.
hr := {x0 ∈ h|Λi(x0) = 0 für i = 1, . . . , k} ⊆ Vr
Das Lemma 9 besagt, dass G·hr offen ist in G. Die Elemente der Menge G·hr bilden genau eine Äquivalenzklasse
für R. q.e.d.
Mit dem Lemma folgt, dass Vr nur eine einzige Äquivalenzklasse bezüglich R besitzt. Dies ist so, da die Menge
der regulären Elemente von G zusammenhängend ist. Daraus ergibt sich Theorem 4. q.e.d.
2.2 Cartan-Unteralgebren von halbeinfachen Lie-Algebren
Satz 10:
Sei G halbeinfach und h ⊆ G eine Cartan-Unteralgebra. Dann gilt:
i.) h ist abelsch und besteht nur aus halbeinfachen Elementen. (In der adjungierten Darstellung können
wir diagonalisieren.)
ii.) Der Zentralisator zG(h) = {x ∈ G|[x, h] = 0} stimmt mit h überein.
iii.) Die Einschränkung der Killing-Form von G auf h ist nicht ausgeartet.
Bemerkung:
x ∈ G heißt halbeinfach, wenn ad(x): G ↦→ G, Y ↦→ [X, Y ] ein halbeinfacher Operator ist.
Satz 11 (Jordan-Zerlegung in G):
G sei halbeinfach und x ∈ G. Dann gibt es Elemente xs und xn ∈ G, so dass
1.) ad(x) = ad(xs) + ad(xn), wobei x = xs + xn
2.) Die Zerlegung von ad(x) ist die Jordan-Zerlegung, mit anderen Worten, ad(xs) ist halbeinfach, ad(xn)
ist nilpotent und [ad(xs), ad(xn)] = 0.
Beispiel:
α
Sei x =
0
1
und Gx = C · x ⊆ gl(2, C). Dann haben wir:
α
α
xs =
0
0
0
und xn =
α
0
1
mit xs /∈ Gx und xn ∈ Gx
0
Dies ist eine Lie-Algebra von Operatoren, die nicht in die beiden Anteile zerlegt. Wenn G halbeinfach und
G ⊆ gl(V ), dann lässt sich zeigen, dass aus x ∈ G folgt xs ∈ G und xn ∈ G.
17

KAPITEL 2. CARTAN-UNTERALGEBREN
Beweis des Satzes 11:
wenn G halbeinfach ist, dann folgt daraus, dass jede Derivation von G eine innere Derivation ist. Wenn also
D ∈ Der(G), D([X, Y ]) = [X, DY ] + [DX, Y ], dann folgt, dass es ein XD ∈ G gibt, so dass D = ad(XD). Sei
nun D ∈ Der(G) und G = G0 ⊕ Gα1 ⊕ . . . ⊕ Gαk die verallgemeinerte Eigenraumzerlegung von G bezüglich
D, wobei 0 = α0, . . ., αk die Eigenwerte von G sind. Dann gilt Ds|yαi = αi · Id für den halbeinfachen Teil der
Jordan-Zerlegung D = Ds + Dn. q.e.d.
Lemma 11:
Es gilt Ds ∈ Der(G). (Der Beweis kann als Übung zu Hause durchgeführt werden.)
Daraus folgt, dass Dn = D − Ds ∈ Der(G). Wenn G halbeinfach ist, folgt daraus, dass es xs ∈ G gibt mit
Ds = ad(xs) und xn ∈ G mit Dn = ad(xn). Daraus folgt, dass ad(x) = D = ad(xs) + ad(xn) für alle x ∈ G.
q.e.d.
Beispiel:
Wir betrachten sl(n, C).
⎧⎛
⎪⎨ α1
Dn
⎜
= ⎝
⎪⎩
0
. ..
⎞
0
⎟
⎠ |
αn
⎫
⎪⎬
αi = 0
⎪⎭
i
ist eine Cartan-Unteralgebra.
Jetzt können wir den Satz über die Cartan-Unteralgebren von halbeinfachen Lie-Algebren beweisen:
Beweis:
iii.) Betrachten wir die Wurzel-Zerlegung G = G0 ⊕GΛ1 ⊕. . .⊕GΛk . Dann wissen wir, dass kG(GΛ1, GΛ2) = 0
ist, außer wenn Λ1 + Λ2 = 0. Damit haben wir eine orthogonale Zerlegung:
G = Λ0 ⊕
(GΛi + G−Λi)
gewisse
i∈{1,...,k}
Ebenfalls orthogonal ist:
k
G = G0 ⊕
i=1
GΛi
Daraus folgt, dass kG|G0=h nicht ausgeartet ist ebenso wie kG| k
GΛi i=1
. Damit ist dieser Punkt gezeigt.
i.) h ist per Definition der Cartan-Unteralgebra nilpotent und insbesondere auflösbar. Ebenso gilt dies
für ad(h) ⊆ gl(G). Der Satz von Cartan besagt, dass Sp(ad(x) · [ad(x ′ ), ad(x ′′ )]) = 0 sein muss. (Das
Kommutatorideal liegt im Kern der Spurform.) Dies ist aber nicht anderes als kG(x, [x ′ , x ′′ ]). Daraus folgt
für alle x ′ , x ′′ ∈ h, dass [x ′ , x ′′ ] ∈ Kern kG|h. (Das Kommutatorideal steht senkrecht auf h.) Wegen Punkt
iii.) folgt, dass [x ′ , x ′′ ] = 0, was impliziert, dass h abelsch ist. Sei nun x ∈ h und ad(x) = ad(xs) + ad(xn),
wobei x = xs + xn. Da xs und xn die Jordan-Komponenten von x sind, so folgt xs, xn ∈ ZG(h). Die
Elemente xs, xn zentralisieren h; sie liegen also insbesondere im Normalisator, womit ZG(h) ⊆ nG(h) = h
gilt und daraus folgt xs, xn ∈ h. Da xn nilpotent ist, folgt, dass xn ∈ Kern(kG|h). q.e.d.
Bemerkung:
Für Y ∈ h ist ad(Y ) von der Gestalt:
⎛
α1
⎜
ad(Y ) = ⎝
. ..
⎞
⎛
∗
0
⎟
⎜
⎠ , ad(xn) = ⎝
. ..
⎞
⎛
∗
0
⎟
⎜
⎠ ⇒ ad(x) · ad(y) = ⎝
. ..
⎞
∗
⎟
⎠
0 αn
0
0
18

Satz 12:
2.2. CARTAN-UNTERALGEBREN VON HALBEINFACHEN LIE-ALGEBREN
Je zwei Cartan-Unteralgebren h und h ′ von G sind konjugiert mit Elementen der Gruppe G = 〈exp(ad(Y )), Y ∈
G〉.
Beispiel:
Wir betrachten die Lie-Algebra sl(2, R):
α 0
h1 =
|α = R
0 −α
ist eine Cartan-Unteralgebra von sl(2, R). Außerdem betrachten wir
0 a
h2 =
|a = R
−a 0
was ebenfalls eine Cartan-Unteralgebra von sl(2, R) ist. Die Eigenwerte von h1 sind reell, die von h2 jedoch
rein imaginär, womit h1 und h2 nicht zueinander konjugiert sein können.
Beispiel:
sl(2, C), h =
α 0
|α ∈ C
0 −α
ist eine Cartan-Unteralgebra von sl(2, C). Alle Cartan-Unteralgebren von sl(2, C) sind von der Gestalt ghg−1 für ein g ∈ SL2(C).
α 0
Ein Element H =
ist regulär ⇔ α = 0
0 −α
2.2.1 Anwendungen auf die Wurzeln
Sei Λ: G ↦→ C eine Wurzel. Dann ist auch −Λ eine Wurzel.
Satz 13:
Die Menge der Wurzeln Λ1, . . ., Λk von G bezüglich h erzeugt den Vektorraum h ⋆ . (Insbesondere gilt k ≥
Rang(G) = dim h.)
Beweis:
Es gilt nach Definition G = h ⊕ GΛ1 ⊕ . . . ⊕ GΛk mit Λi: h ↦→ C, Λi ∈ h ⋆ . Falls Λi den Vektorraum h ⋆ =
{Λ : h ↦→ C} (Dual-Raum des Vektorraums h) nicht erzeugen, gibt es ein x ∈ h mit Λi(x) = 0, i = 1, . . .,
k und x = 0. Wegen der obigen Zerlegung von G gilt, dass 0 der einzige Eigenwert von ad(x) ist. Da ad(x)
diagonalisierbar ist, folgt ad(x) = 0 und daraus folgt x = 0 (halbeinfache Lie-Algebra ohne Zentrum). q.e.d.
Bemerkung:
Da h aus halbeinfachen Elementen besteht, ist die Lie-Algebra ad(h) diagonalisierbar. Das heißt: Für eine
Wurzel Λ: h ↦→ C gilt GΛ = {x ∈ G|ad(H)(x) = Λ(H)x für alle H ∈ h}.
19

KAPITEL 2. CARTAN-UNTERALGEBREN
20

Kapitel 3
Die Lie-Algebra sl(2, C) und ihre
Darstellungen
sl(2, C) = {A ∈ Mat(2 × 2, C)|Sp(A) = 0}
Diese enthält folgende Elemente:
1
H =
0
0 0
, X =
−1 0
1
0
und Y =
0
1
0
0
α
Hα =
0
0
−α
Die Lieklammer erfüllt hierbei folgende Relationen:
[H, X] = 2X, [H, Y ] = −2Y und [X, Y ] = H
Eine Lie-Algebra, die durch solche Relationen gegeben ist, bezeichnet man auch als ” zerfallende dreidimensionale
einfache Lie-Algebra“. Außerdem gilt die Wurzelzerlegung:
sl(2, C) = 〈H〉 ⊕ 〈X〉 ⊕ 〈Y 〉 = h ⊕ G2 ⊕ G−2
Wenn G eine Lie-algebra ist, dann heißt ϱ: G ↦→ gl(V ) (Lie-Algebra-Homomorphismus) eine Darstellung von
G.
✵ Das Ziel ist, die Darstellungen von sl(2, C) auf komplexen Vektorräumen zu verstehen.
✵ Bemerkung: Für g = sl(2, C) ist eine Darstellung ϱ entweder injektiv oder gleich Null.
Sei ϱ: G ↦→ gl(V ) eine Darstellung.
i.) Wenn W ⊆ V ein Unterraum ist mit ϱ(x)W ⊆ W für alle x ∈ G, dann heißt W invarianter Unterraum
(von ϱ).
ii.) Eine Darstellung ϱ heißt irreduzibel, wenn die einzigen invarianter Unterräume von V genau {0} und
{V } sind.
iii.) Die Darstellung ϱ heißt vollständig reduzibel, wenn es eine Zerlegung V = W1 ⊕ . . . ⊕ Wk in invariante
Unterräume Wi ⊆ V gibt, wobei alle Wi für i = 1, . . ., k irreduzibel sind.
3.1 Lemma von Schur
Es sei K = C. Wenn ϱ: G ↦→ gl(V ) eine irreduzible Darstellung ist, dann gilt, dass der Zentralisator Z gl(V )(ϱ) =
{ψ ∈ gl(V )|[ψ, ϱ(x)] = 0 ∀ x ∈ G} mit der Menge {ψ|∃ α ∈ C mit ψ(v) = αv für alle v ∈ V } überein. (Etwas,
das irreduzibel operiert, besteht immer aus Diagonalmatrizen.)
Beweis:
Sei α Eigenwert von ψ und Vα = W der Eigenraum zu α. Dann gilt: Vα ist ein invarianter Unterraum für ϱ(!!)
(Das folgt aus dem Kommutator.) Da Vα = 0 und V irreduzibel ist, folgt daraus V = Vα. q.e.d.
21

KAPITEL 3. DIE LIE-ALGEBRA SL(2, C) UND IHRE DARSTELLUNGEN
Beispiel:
Wenn h ⊆ gl(V ) eine abelsche Unteralgebra ist, die aus diagonalisierbaren Matrizen besteht, dann ist die
Darstellung von h auf V vollständig reduzibel und alle invarianten Unterräume sind eindimensional.
sl(2, C) ⊆ gl(2, C) = gl(C 2 ) ist die ” Standard-Darstellung von sl2(C) ” (auf dem Vektorraum C 2 ). Diese ist
irreduzibel.
Beispiel:
Wenn G auflösbar ist, dann folgt, dass jede irreduzible Darstellung von G eindimensional ist. (Dies ist eine
Umformung des Satzes von Lie.)
Theorem 5:
Sei G halbeinfach. Dann ist jede Darstellung ϱ: G ↦→ gl(V ) vollständig reduzibel. (Insbesondere ist jede
Darstellung von sl(2, C) vollständig reduzibel.
Zum Beweis:
• 1.Beweis:
Dieser benutzt keine Theorie der Lie-Algebren, sondern Gruppentheorie (transzendenter Beweis) und
wurde von Hermann Weyl zum ersten mal durchgeführt. (Man spricht vom ” unitären Trick“.)
• 2.Beweis: Anwendung der White-Bred-Lemmata
Dabei handelt es sich um einen algebraischen Beweis.
3.2 Mehr über sl(2, C)
sl(2, C) = {A ∈ Mat(2 × 2, C)|Sp(A) = 0}
sl(2, C) ist eine komplexe Lie-Algebra. Wir betrachten nun die Menge SU(2) ⊆ sl(2, C).
SU(2) = {A ∈ sl(2, C)|A = −A ⊺ }
Dies ist also die Menge der schiefhermiteschen Matrizen. Seien A, B ∈ SU(2), dann ist die Lieklammer
[A, B] = AB − BA ∈ SU(2). Wir rechnen dies nach:
[A, B] ⊺
= (AB − BA) ⊺
= (AB − BA) ⊺ = B ⊺ A ⊺ − A ⊺ B ⊺ = −B(−A) − (−A)(−B) = BA − AB = −[A, B]
SU(2) ist ein reeller Unterraum des zu sl(2, C gehörenden reellen Vektorraums. Es ist dim SU(2) = 3.
p := iSU(2), sl(2, C) = SU(2) ⊕ p
p = {A ∈ sl(2, C)|A = A ⊺ }
Jede Matrix A ∈ sl(2, C) lässt sich in eine hermitesche und eine schiefhermitesche Matrix zerlegen:
A =
(A − A)⊺
2
⊕
(A + A)⊺
2
Es gilt sl(2, C) = SU(2) ⊕ iSU(2), wobei SU(2) ja eine reelle Unteralgebra ist. Komplexifizierung von SU(2):
SU(2) ⊕ C −→ sl(2, C)
Deswegen nennt man SU(2) ⊆ sl(2, C) eine reelle Form von SU(2). Man bezeichnet sl(2, C) auch als ” kompakte
reelle Form“. Ein anderes Beispiel für eine reelle Form ist sl2(R) ⊆ sl(2, C) ( ” verfallende Form“). Zu der
Unteralgebra SU(2) ⊆ sl(2, C) gehört SU(2) ⊆ SL(2, C).
22

3.3 Der unitäre Trick für sl(2, C)
Wofür wir uns interessieren, sind die komplexen Lie-Algebra-Homomorphismen:
HomC(sl2(C), gl(V ))
HomR(SU(2), gl(V ))
Hom(SL2(C), GLC(V ))
Hom(SL2(C), GLC(V ))
3.3. DER UNITÄRE TRICK FÜR SL(2, C)
Die vertikalen Abbildungen sind Bijektionen, weil SL2(C) und SU(2) = S 3 einfach zusammenhängende Lie-
Gruppen sind. Zu jeder Darstellung von SU(2) gehört eine Darstellung von sl(2).
Sei ϱ: sl2(C) ↦→ gl(V ) ein Lie-Algebra-Homomorphismus, wobei V ein komplexer (endlich dimensionaler)
Vektorraum ist.
Satz 14:
Jede Darstellung ϱ: sl(2, C) ↦→ gl(V ) ist vollständig reduzibel. Mit anderen Worten: Sei U ⊆ V ein Untervektorraum
mit der Eigenschaft ϱ(x)U ⊆ U, ∀ x ∈ sl(2, C), so gibt es ein Komplement W von U in V , so dass
V = U ⊕ W und ϱ(x)W ⊆ W ∀ x ∈ ls(2, C).
Lemma 12:
Wenn G kompakt ist, dann gibt es ein G-invariantes Integral/Maß µ auf G. Wenn f ∈ C∞ (G) ist, dann können
wir folgendes Integral bilden:
f dµ = L ⋆
gf dµ = R ⋆ gf dµ wobei per Definition L ⋆ gf = f(g · x) und R ⋆ gf(x) = f(x · g)
G
G
G
(Man spricht auch von einem Haarschen Maß.
Beweis:
Sei G die Lie-Algebra von G. Wähle auf G eine nicht-verschwindende n-Form ω1 ∈ ΛnG⋆ mit ω1 = 0 und
n = dim G. Wenn Ad(g): G ↦→ G die adjungierte Darstellung von g ∈ G ist (Ad(g) ist die Ableitung der
Abbildung x ↦→ g × g−1 in der Identität), dann gilt, dass Ad(g) ⋆ω1 = ω1 (der Raum der n-Formen ist
eine Gerade), weil G kompakt ist. Durch ω|g := L⋆ gω1, Lg: x ↦→ gx für x ∈ G wird eine bi-invariante, nicht
verschwindende n-Form auf G definiert. Das heißt, es gilt also L⋆ gω = ω = R⋆ gω. Damit ist das Maß µ konstruiert:
µ(f) = fω q.e.d.
G
(Mehr über kompakte Lie-Gruppen findet man im Bröcker: ” Compact Lie-groups“.)
Lemma 13:
Wenn G ⊆ GL(V ) eine kompakte Lie-Untergruppe ist, dann gibt es ein G-invariantes hermitesches positiv
definites Produkt h auf V . Das hermitesche Produkt h: V × V ↦→ C lässt G invariant. Daraus folgt für alle
g ∈ G, dass h(gv, gw) = h(v, w) ist.
Beweis:
Sei h ein beliebiges positiv definites hermitesches Produkt. Dann definieren wir:
h(v, w) := h(gv, gw) dµ
G
g ↦→ h(gv, gu) ist eine C ∞ -Funktion auf G. Als Übungsaufgabe kann man nun beweisen, dass h invariant und
positiv definit ist.
Satz 15:
Sei G eine kompakte Lie-Gruppe (zum Beispiel G = SU(2) ⊆ SL(2, C), dann ist jede Darstellung von G auf
V vollständig reduzibel.
23

KAPITEL 3. DIE LIE-ALGEBRA SL(2, C) UND IHRE DARSTELLUNGEN
Beweis:
Nun lässt sich der Satz 15 mittels des Lemmas beweisen:
Sei U ⊆ V ein G-invarianter Unterraum und h ein G-invariantes, positiv definites, hermitesches Produkt,
W = U ⊥h = {v ∈ V |h(v, U) = 0}. Da h positiv definit ist, folgt, dass V = U ⊕ W . Es gilt gW ⊆ W für alle
g ∈ G. Da h G-invariant ist: v ∈ V , h(v1, u) = 0 ∀ u ∈ U, impliziert dies, dass h(gv, u) = h(gv, g(g −1 u)) =
h(v, g −1 u) = h(v, u ′ ), wobei g −1 v = u ′ ∈ U. q.e.d.
Sei G eine Lie-Algebra über C. Wir nennen GR die zugehörige reelle Lie-Algebra. Wir nennen einen Automorphismus
σ von GR mit σ(ix) = −iσ(x) und σ2 = idGR eine reelle Struktur von G.
Bemerkung:
Der Unterraum G0 = G 0 = {x ∈ G|σ(x) = x} ⊆ GR ist eine reelle Unteralgebra von G. Die Abbildung G0 ⊗ C,
x0 ⊗α ↦→ α ·x0 ∈ G definiert einen Isomorphismus der Komplexifizierung G0,C := G0 ×C mit der Lie-Algebra G
(Isomorphismus komplexer Lie-Algebren). Insbesondere gilt dann G = G0 ⊕ iG0, [iG0, iG0] ⊆ G0. iG0 ist deshalb
keine Unteralgebra.
Der Beweis kann als Übungsaufgabe durchgeführt werden.
Beispiel:
Wir betrachten sl(2, C) als Lie-Algebra. Dann schauen wir uns die Abbildung A ↦→ A, (αij) ↦→ αij) an,
wobei ” A“ das komplex Konjugierte bedeuten soll. σ0(A) = A erfüllt die Eigenschaften σ(iA) = −iσ(A) und
[A, B] = [A, B].
sl(2, C) σ0 = sl(2, R) = {(αij) ∈ sl(2, C)|αij ∈ R}
Beispiel:
Wieder betrachten wir die Lie-Algebra sl(2, C). Wir definieren σ1(A) = −A ⊺ . Auch hier gilt σ1(iA) = −i}σ1(A)
und σ1([A, B]) = [σ1(A), σ1(B)], womit auch σ1 eine reelle Struktur ist.
sl2(C) σ1 = SU(2) = {A ∈ sl(2, C)|A = −A ⊺ }
Die Darstellungen von sl2(C) sind vollständig reduzibel.
HomC(SL2(C), GLC(V ))
a
HomR(SU(2), GLC(V ))
HomC(sl2(C), glC(V ))
d
HomR(su(2), glC(V ))
Wir wissen, dass SU(2) topologisch eine einfach zusammenhängende und kompakte Sphäre S 3 ist.
Wir wollen nun beweisen, dass die Darstellungen von sl(2, C) (und damit auch SL(2, C)) vollständig reduzibel
sind. Wir wissen, dass die SU(2)-Darstellungen vollständig reduzibel sind. Deswegen sind auch alle su(2)-
Darstellungen vollständig reduzibel. Sei nun ϱ: sl(2, C) ↦→ gl(V ) eine Darstellung und U ⊆ V ein sl(2, C)invarianter
Unterraum. Betrachte die Darstellung ϱ0 = d(ϱ), das heißt, ϱ eingeschränkt auf su(2), nämlich
ϱ0: su(2) ↦→ gl C(V ), wobei x ∈ SU(2) ↦→ ϱ(x) ∈ gl C(V ). ϱ0 ist ein reell-linearer Homomorphismus und
ϱ0(su(2))U ⊆ U. Wegen der vollständigen Reduzibilität von ϱ0 gibt es einen komplexen Unterraum W ⊆ V ,
so dass ϱ0(SU(2))W ⊆ W und U ⊕ W = V . Wir zeigen nun noch, dass ϱ(sl(2, C))W ⊆ W ist. Das folgt, da
sl2(C) = su(2) ⊕ isu(2). Für ein x ∈ sl(2, C), x = x0 + x1 mit x0 ∈ su(2) und x1 ∈ isu(2), ix1 ∈ su(2) folgt:
ϱ(x)w = ϱ(x0)w + ϱ(x1)w = ϱ0(x0)w + ϱ(−i(ix1))w = w ′
∈W
− iϱ(ix)w
ϱ0(ix1)w=w ′′ ∈W
= w ′ − iw ′′
Da W ein komplexer Unterraum von V ist, folgt ϱ(x)W ⊆ W . q.e.d.
(Als Übungsaufgabe kann nun noch gezeigt werden, dass die Abbildung b eine Bijektion ist.) Um die Darstellungen
von sl2(C) zu studieren, genügt es damit, die irreduziblen Darstellungen anzuschauen.
Definition:
ϱ: sl(2, C) ↦→ gl(V ) heißt eine irreduzible Darstellung, falls ∀ U ⊆ V mit ϱ(sl(2, C)) ⊆ U folgt, dass U = {0}
ist oder U = V .
24

Beispiele:
1.) Wir betrachten die Standard-Darstellung V = C 2 , ϱ1(x) = xv mit v ∈ C 2 .
3.3. DER UNITÄRE TRICK FÜR SL(2, C)
2.) Adjungierte Darstellung auf V = C 3 = sl(2, C), ϱ1(X)(A) = X · A − A · X für A ∈ V = sl(2, C)
Es gibt nämlich keinen Unterraum der fest bleibt unter allen Elementen.
1
ϱ1(H) =
0
⎛
2
0
, ϱ2(H) = ⎝0 −1
0
0
0
0
⎞
0
0 ⎠ bezüglich der Basis X, H, Y von sl(2, C)
−2
In beiden Fällen ist das Bild von H ein halbeinfaches Element.
Tatsächlich gilt folgender Satz:
Satz 16:
Sei ϱ: sl(2, C) ↦→ gl(V ) eine irreduzible Darstellung, dann folgt, dass ϱ(H) ein halbeinfaches Element ist.
Beweis:
Wir gehen von der Jordan-Zerlegung ϱ(H) = ϱ(H)s + ϱ(H)n. ϱ(H)s ist halbeinfach und ϱ(H)n ist nilpotent.
Weiterhin gilt [ϱ(H)s, ϱ(H)n] = 0. Es gilt S ≡ ϱ(sl2(C) ⊆ gl(V ), s sl(2, C), ϱ = 0.
ad(ϱ(H)) : S ↦→ S, S ∋ X ↦→ [ϱ(H), X] = ϱ(H)X − Xϱ(H)
Wenn man einen Operator in seine Jordan-Komponenten zerlegt, dann hat man die Beziehung
ad(ϱ(H)) = ad(ϱ(H)s) + ad(ϱ(H)n) = ad(ϱ(H))s + ad(ϱ(H))n
was der Jordan-Zerlegung entspricht. Da S halbeinfach ist und H ∈ Cartan-Unteralgebra von S, folgt,
dass ad(ϱ(H)) ein halbeinfacher Operator ist, in anderen Worten: ad(ϱ(H))n = 0 = ad(ϱ(H)n). Daraus folgt
[ϱ(H)n, X] = 0 ∀ X ∈ S = ϱ(sl(2, C)). Da ϱ irreduzibel ist, können wir das Schursche Lemma anwenden.
Es gilt ϱ(H)n = α · IdV mit α ∈ C. Da ϱ(H)n nilpotent ist, folgt ϱ(H)n = 0 und damit ist ϱ(H) = ϱ(Hs)
halbeinfach. q.e.d.
Korollar 6:
ϱ = sl(2, C) ↦→ gl(V ) sei eine Darstellung. ϱ(H) ist dann ein halbeinfaches Element für jede Darstellung.
Beweis:
Benutze die vollständige Reduzibilität, also dass V in irreduzible Summanden zerlegt werden kann. q.e.d.
Lemma 14:
Sei ϱ eine Darstellung und v ∈ H mit ϱ(H)v = λv (v = 0). Dann gilt ϱ(H)[ϱ(X)v] = (λ + 2)(ϱ(X)v) und
ϱ(H)[ϱ(Y )v] = (λ − 2)(ϱ(Y )v). Sei X · v = ϱ(X)v ∀ v ∈ V und X ∈ sl(2, C). Dann gilt H · (X · v) = (λ + 2)X · v
und H(Y · v) = (λ − 2)Y · v. Mit anderen Worten:
Ist vλ der Eigenraum von H zum Eigenwert λ mit Vλ ⊆ V , so folgt
x · Vλ ⊆ Vλ+2 und Y · Vλ ⊆ Vλ−2
Wir haben also die Zerlegung V = ⊕Vλ, wobei λ Eigenwert von H ist.
Beweis:
H · (X · v) = [H, X] · v + X(H · v) = (2X) · v + X · λv = (2 + λ)X · v
Für Y gilt dies analog, was als Übungsaufgabe zu empfehlen ist. q.e.d.
Definition:
Ein Element e ∈ V heißt primitives Element, falls ϱ(H)e = λ · e, ϱ(X)e = 0 für e = 0 und λ ∈ C.
25

KAPITEL 3. DIE LIE-ALGEBRA SL(2, C) UND IHRE DARSTELLUNGEN
Bemerkung:
e ist ein primitives Element genau dann, wenn C · e invariant unter der Borel-Unteralgebra b von sl(2, C) ist.
Hier ist
α β
b =
|α, β ∈ C = CH + CX
0 −α
eine auflösbare Unteralgebra von sl(2, C).
Zum Beweis der Bemerkung:
Sei b · e ⊆ C · e. Insbesondere ist Xe = µ · e, He = λ · e.
2µ · e = 2X · e = [HX − XH] · e = HX · e − XH · e = λ · µ · e − µ · λ · e = 0
Hieraus folgt für e = 0 2µ = 0. q.e.d.
Korollar 7:
V besitzt ein primitives Element e.
Beweis:
Wegen des Satzes von Lie gibt es e = 0 mit b·e ⊆ Ce. (Es gibt einen eindimensionalen invarianten Unterraum).
q.e.d.
Satz 17:
n e
Sei e ein primitives Element von V . Definiere en := Y n! , außerdem sei He = λe. Dann gilt:
1.) H · en = (λ − 2n)en
2.) Y · en = (n + 1)en+1
3.) X · en = (λ − n + 1)en−1
Beweis:
Den ersten Punkt haben wir schon bewiesen; der zweite Punkt folgt direkt aus der Definition von Y n . Kommen
wir also zum Punkt 3: Dies soll als Übungsaufgabe mit vollständiger Induktion durchgeführt werden. q.e.d.
Die Situation ist nun folgende:
Vλ = C · e Y −→ Vλ−2
Vn = C · en
Korollar 8:
Y Y
−→ Vλ−4 −→ Vλ−6
Sei V ein sl(2, C)-Modul. Dann gilt:
i.) Der von en (mit n ∈ N) erzeugte Unterraum von V ist ein sl(2, C)-Unterraum von V .
ii.) Es ist en0 = 0 für n0 ∈ N.
iii.) λ ist eine positive ganze Zahl, also ∈ N.
26

Beweis:
3.3. DER UNITÄRE TRICK FÜR SL(2, C)
i.) Dies folgt aus dem vorherigen Satz. q.e.d.
ii.) Die Vektoren ei sind Eigenvektoren von H zum Eigenwert λ − 2i, sie sind also alle linear unabhängig,
falls die = 0. Für ein minimales n0 ist en0 linear abhängig von den ei, i < n0. Daraus folgt en0 = 0. q.e.d.
iii.) Nach dem dritten Punkt aus dem vorherigen Satz gilt:
0 = X · en0 = (λ − n0 + 1)en0−1
Da en0−1 = 0 folgt λ − n0 + 1 = 0, was äquivalent zu λ = n0 − 1 ≥ 1 ist. q.e.d.
Der von e erzeugte sl(2, C)-Untermodul Vn ist bis auf Isomorphie eindeutig durch seine Dimension dim Vn =
n + 1 bestimmt und hat folgende Eigenschaften:
✵ Die Matrix ϱ(H) hat als Eigenwerte ganze Zahlen n, n − 2, . . ., −n + 2, −n.
✵ Vn hat eine Basis e0, . . ., en, so dass H · ei = (n − 2i)ei, X · ei = ei−1 und Y ei = (i + 1)ei+1.
Korollar 9:
Sei V ein irreduzibler Modul für sl(2, C) mit dim V = n + 1. Dann gilt V Vn.
Beispiel:
Betrachten wir C 2 , also den Standard-Modul für sl(2, C). e1 = (1, 0) ⊺ ist ein primitiver Vektor mit He1 = e1,
Y e1 = e2 He2 = −e2 und Xe2 = e2, wobei
1
H =
0
0
−1
0
und Y =
1
0
0
und X =
0
0
1
0
Dieser Modul ist also isomorph zu V1.
Beispiel:
Die adjungierte Darstellung sl(2, C) ist irreduzibel isomorph zu V2. Es ist [H, X] = 2X, [Y, X] = −H, [Y, −H] =
−[Y, H] = [H, Y ] = −2Y und X ist ein primitives Element.
Korollar 10:
Die Lie-Gruppe sl(2, C) hat in jeder Dimension eine eindeutige irreduzible Darstellung. Jede irreduzible Darstellung
ist ein solches Vn.
1.) C 2 , der Standardmodul für SL2(C) ist isomorph zu V1.
2.) Die Darstellung von SL2(C) auf sl(2, C) durch Konjugation ist isomorph zu V2.
3.) Sei Pn der SL2(C)-Modul der homogenen Polynome in zwei Variablen vom Grad n. Ist P ∈ Pn, g ∈
SL2(C), dann gilt (g · P )(x, y) = P (g t (x, y)). Der Modul Pn ist isomorph zu Vn mit (x, y) ∈ C 2 .
Der Beweis sei als Übungsaufgabe gedacht. (Man muss in dem Modul C 2 eine Basis finden, welche die Eigenschaften
erfüllt.)
Korollar 11:
Sei V ein sl(2, C)-Modul. Dann gilt:
a.) Die Anzahl der irreduziblen Summanden in V ist gleich der Dimension des Kerns von ϱ(x), also des
Unterraums aller primitives Vektoren.
b.) Für ein n ∈ N gilt
Y n : Vn
X n : V−n
−→ V−n
−→ Vn
und insbesondere dim Vn = dim V−n.
27

KAPITEL 3. DIE LIE-ALGEBRA SL(2, C) UND IHRE DARSTELLUNGEN
28

Kapitel 4
Die Struktur der halbeinfachen
Lie-Algebren
Sei G eine halbeinfache Lie-Algebra und h ⊆ G eine Cartan-Unteralgebra. Die Wurzel-Zerlegung hatten wir
folgendermaßen definiert:
G = h ⊕
α∈k
Gα
Ist R ⊆ h ⋆ (also des dualen Unterraums) und α ∈ R, so folgt:
α = 0 und Gα = {X ∈ G|[H, X] = α(H)X für alle H ∈ h} = {0}
Weiter wissen wir:
✵ [Gα, Gβ] ⊆ Gα+β.
✵ R enthält eine Basis von h ⋆ .
✵ 〈, 〉 sei eine nicht ausgeartete symmetrische Bilinearform (Killing-Form) auf G, die invariant ist; das
heißt, es gilt 〈[X, Y ], Z〉 + 〈Y, [X, Z]〉 = 0 für alle X, Y , Z ∈ G.
✵ dim Gα = dim G−α
Dies ist eine Konsequenz aus dem nachfolgendem Lemma 15.
✵ dim[Gα, G−α] = 1
Dies folgt aus Korollar 12. Beachte, dass Gα, G−α und [Gα, G] = hα eine Unteralgebra Sα = Gα ⊕G−α ⊕hα
von G erzeugen.
Lemma 15:
i.) G α ⊥ 〈,〉G β ⇔ α + β = 0.
ii.) 〈, 〉 ist nicht ausgeartet auf h und den Unterräumen Gα⊕G−α. Außerdem sind Gα und G−α dual zueinander
bezüglich 〈, 〉.
iii.) G = h ⊕ (Gα ⊕ G−α) ist eine orthogonale Zerlegung.
Beweis:
i.) Sei X ∈ G α und Y ∈ G β .
〈[H, X], Y 〉 + 〈X, [H, Y ]〉 = 0 ⇔ α(H)〈X, Y 〉 + β(H)〈X, Y 〉 = 0
Also gilt (α + β)(H)〈X, Y 〉 = 0. Wähle H0 ∈ h, so dass (α + β)(H) = 0. Daraus folgt dann 〈X, Y 〉 = 0.
(Dies ist möglich, falls α + β = 0. q.e.d.
iii.) Dies folgt aus dem ersten Punkt. q.e.d.
ii.) Dies ergibt sich wiederum aus dem dritten Punkt, da 〈, 〉 nicht ausgeartet ist. q.e.d.
29

KAPITEL 4. DIE STRUKTUR DER HALBEINFACHEN LIE-ALGEBREN
Lemma 16:
i.) Sei X ∈ G α , Y ∈ G −α und H ∈ h, dann gilt 〈H, [X, Y ]〉 = α(H)〈X, Y 〉.
ii.) [X, Y ] = 〈X, Y 〉 ˆ Hα, wobei ˆ Hα ∈ h definiert ist durch α(H) = 〈 ˆ Hα, H〉.
Beweis:
i.) 〈H, [X, Y ]〉 = −〈[X, H], Y 〉 = 〈[H, X], Y 〉 = α(H)〈X, Y 〉
Dies gilt, da der Operator schief ist. q.e.d.
ii.) Mit α(H)〈X, Y 〉 = 〈 ˆ Hα, H〉〈X, Y 〉 folgt:
〈H, [X, Y ]〉 = 〈 ˆ Hα, H〉〈X, Y 〉 = 〈 ˆ Hα〈X, Y 〉, H〉
Daraus folgt also [X, Y ] = ˆ Hα · 〈X, Y 〉. q.e.d.
Korollar 12:
[Gα, G−α] =: hα ist eindimensional.
Satz 18:
Die Unteralgebra Sα = C · X2 + C · Y2 + C · Hα ist isomorph zu sl(2, C).
Lemma 17:
i.) Es gibt (genau) ein Hα ∈ hα, so dass α(Hα) = 2.
ii.) Es gibt Xα, Yα mit Xα ∈ Gα und Yα ∈ G−α, wobei [Xα, Yα] = Hα.
iii.) Die Abbildung X ↦→ Xα, Y ↦→ Yα, H ↦→ Hα definiert einen Isomorphismus von sl(2, C) auf die von Xα,
Yα, Hα erzeugte Unteralgebra von G. (Insbesondere ist dim Gα = 1.)
Beweis:
i.) Es ist X ∈ Gα, [H, X] = α(H)X, H ∈ C · Hα und [Hα, X] = α(Hα)X. Wir zeigen, dass α(Hα) = 0 ist.
(Dann können wir Hα = 2α(Hα) −1 ·Hα wählen.) Falls α(Hα) = 0, dann können wir folgende Lie-Algebra
betrachten: Sα = Gα + G−α + C · Hα mit [Sα, Sα] = C · Hα.
[Sα, [Sα, Sα]] = [Sα, C · Hα] = 0
Das heißt, Sα ist auflösbar (sogar nilpotent). G ist damit ein Modul für Sα (adjungierte Darstellung
der Unteralgebra Sα auf G). Es gilt Hα ⊆ [Sα, Sα]. Daraus folgt nach dem Satz von Lie, dass ad(Hα)
ein nilpotenter Endomorphismus von G ist. Da Hα ∈ H (Cartan-Unteralgebra von G), ist ad(Hα)
halbeinfach und damit ad(Hα) = 0, woraus wiederum Hα = 0 folgt, was ein Widerspruch zur vorherigen
Aussage ist. (Die Unteralgebra Sα kann nicht auflösbar sein.) q.e.d.
ii.) Es reicht zu zeigen, dass es Xα und Yα gibt mit [ Xα, Yα] = 0, was äquivalent zu [Gα, G−α] = 0 ist. Wähle
Xα ∈ Gα und Yα ∈ G−α mit 〈 Xα, Yα〉 = 0. Daraus folgt also, dass
[ Xα, Yα] = 〈 Xα, Yα〉Hα = 0
Die Tatsache, dass die Killing-Form nicht ausgeartet ist, impliziert, dass die Lie-Klammer nicht verschwinden
kann. q.e.d.
iii.) Sα = C·Xα⊕C·Yα⊕C·Hα bildet eine Unteralgebra von G, die isomorph ist zu sl(2, C) = 〈X, Y, H〉 : X ↦→
Xα, Y ↦→ Yα, H ↦→ Hα. Zu zeigen ist, dass dim Gα = 1, was äquivalent zu Sα = Sα ist. (Insbesondere ist
dann dim Gα = 1.) Wir nehmen nun an, dass dim Gα > 1. Dann gibt es ein Y ∈ G−α, so dass [Xα, Y ] = 0
ist für y = 0. (Dies gilt nach Lemma 16 Punkt ii.), wenn man Y = 0 mit 〈Xα, Y 〉 = 0 (senkrecht auf Xα)
wählt.) Weiter gilt:
[Hα, Y ] = −α(Hα)Y = −2Y
Y ist aber ein primitives Element für die Darstellung von Sα auf G. Die Darstellungstheorie von sl(2, C)
und die Endlichkeit des Moduls impliziert, dass die höchsten Gewichte positive ganze Zahlen sind. Es
ist also ein Widerspruch zur Tatsache, dass die primitiven Elemente der Darstellungen von sl(2, C) nur
positives ganzes Gewicht haben. Damit ist dim Gα = 1. q.e.d.
30

4.0.1 Definition des (abstrakten) Wurzelsystems
Sei V ein (komplexer) Vektorraum und sei α ∈ V mit α = 0. Die Spiegelung von α heißt ein Element
Sα ∈ GL(V ) mit der Eigenschaft Sα(v) = v − α ∗ (v)α, wobei α ∗ ∈ V ∗ (dualer Raum) und α ∗ (α) = 2. (Der
Kern von α ∗ ist eine Hyperebene.)
Definition:
R ⊆ V heißt Wurzelsystem in V , wenn
i.) R endlich, 0 /∈ R und R als Vektorraum V erzeugt.
ii.) Für jedes α ∈ R gibt es eine Spiegelung Sα mit der Eigenschaft, dass sie das Wurzelsystem in sich selbst
überführt, dass also SαR ⊆ R ist.
iii.) Für α, β ∈ R gilt Sα(β) − β ∈ Zα. (Ganzzahligkeitsbedingung)
Bemerkung:
a.) Wenn Sα(x) = x − α ∗ (x)α ist, dann ist Punkt iii.) äquivalent zu α ∗ (β) ∈ Z.
b.) Zu einem Wurzelsystem R ist die Spiegelung Sα mit SαR ⊆ R eindeutig bestimmt.
c.) Wenn V ein reeller Vektorraum ist, so sprechen wir von einem reellen Wurzelsystem. Ist V komplex, so
liegt ein komplexes Wurzelsystem vor.
d.) Der Rang eines Wurzelsystems ist gegeben durch dim V .
Beweis:
S 1 α(X) = x − α ∗ 1(x)α und S 2 α(x) = x − α ∗ 2(x)α seien Spiegelungen von α mit S i α(R) ⊆ R. Wir betrachten eine
Kombination dieser beiden Spiegelungen: U = S 1 α ◦ S 2 α mit U(R) ⊆ R. Hier gilt U(α) = α.
S i α : V/α · C Id
−→ V/2C
S i α| V/α·C = Id V/α·C
Daraus folgt U| V/α·C = Id V/α·C, womit U nur Eigenwerte eins hat (unipotentes Element). Da R endlich ist,
folgt, dass es ein n ∈ N gibt (zum Beispiel n = (Anzahl R)!), so dass U n (β) = β ∀ β ∈ R. Daraus folgt
U n = IdV und damit U = idV . Somit ist S 1 α das Inverse von S 2 α und damit wieder selbst S 2 α, womit S 1 α = S 2 α
gilt.
Beispiel:
a.) Wir betrachten V mit dim V = 1, R = {α, −α}.
Dies ist ein Wurzelsystem. R bezeichnet man als A1.
b.) Auch ist R = {α, 2α, −α, −2α} ein Wurzelsystem.
Bemerkung:
Wenn α ∈ R, dann sind α, −α, 2α, −2α oder α, −α, 1 1
2α, − 2α die einzigen zu α proportionalen Wurzeln.
Wenn α, −α die einzigen zu α proportionalen Wurzeln sind (für alle α ∈ R), nennen wir das Wurzelsystem
reduziert. Nur solche werden im folgenden für uns wichtig sein.
31

KAPITEL 4. DIE STRUKTUR DER HALBEINFACHEN LIE-ALGEBREN
Beweis:
α sein eine Wurzel und β = tα ebenfalls.
Z ∋ α ∗ (β) = α ∗ (tα) = tα ∗ (α) = 2t
Wir können annehmen, dass t ∈ (0, 1), woraus sich t = 1
2 ergibt. Eine andere Möglichkeit gibt es nicht. q.e.d.
Kommen wir nun zurück zu halbeinfachen Lie-Algebren (über C).
G = h ⊕
Gα mit α ∈ h (∗) und R ⊆ h (∗) \ {0}
α∈R
Sei α ∈ R. Wir definieren Sα(β) := β − β(Hα)α mit β ∈ h ∗ (∗). (Dies ist eine Spiegelung an α. Welche
Eigenschaft hat Hα? Wir erinnern uns, dass α(Hα) = 2 und Hα = [Xα, Yα] mit Xα ∈ Gα und Yα ∈ G−α (Hα,
Xα und Yα sind sl(2)-Tripel.)
Theorem 6
Es sei V := h ∗ und R ein Wurzelsystem von G. Dann ist R ⊆ V \ {0} ein komplexes Wurzelsystem und R ist
reduziert.
Beweis:
i.) R ist endlich und erzeugt V , was bereits (oft) gezeigt wurde.
ii.) Behauptung: Sα wie in (∗) definiert, sind Spiegelungen eines Wurzelsystems.
Sα ist nach Definition 〈Xα, Yα, Hα〉 sl(2, C). Wir wissen, dass [Gα, Gβ] ⊆ Gα+β ist. Sei β ∈ R. Dann
gilt [Hα, y] = β(Hα)y für y ∈ Gβ \ {0}. Wir wissen, dass β(Hα) ∈ Z ist werden der Darstellungstheorie
von Sα, da β(Hα) ein Gewicht für die Darstellung von Sα ist. Setze nun Z ∋ p = β(Hα). Zu zeigen ist,
dass Sα(β) = β − pα ∈ R. Wir wissen aus der Darstellungstheorie von Sα sl(2, C), dass mit p auch −p
ein Gewicht ist und genauer: Y p α y ist ein Gewichtsvektor zum Gewicht −p von Hα. Dann ist Y p α y = 0.
Es gilt 0 = Y p α ∈ Gβ−pα. Hieraus folgt β − pα ∈ R. Falls p ≤ 0, ist X−p α y Gewichtsvektor zum Gewicht
−p von Hα und daraus folgt 0 = X−p α y ∈ Gβ−pα. Daraus folgt, dass β − pα eine Wurzel ∈ R ist. Somit
ist R ⊆ h∗ = V ein komplexes Wurzelsystem. q.e.d.
iii.) Wir beweisen nun die Reduziertheit: Mit α ∈ R ist auch 2α ∈ R.
Es ist 0 = y ∈ G 2α . Dann ist (2α)(Hα) = 2 · α(Hα) = 4. R ist ein Wurzelsystem, woraus folgt, dass 3α
keine Wurzel ist. Es ist [Xα, y] ∈ G2α+α = {0}, also Xα · y = 0. Dies bedeutet mit Hα = [Xα, Yα]:
Hαy = (XαYα − YαXα)y = Xα · (Yαy)
Es ist Yαy ∈ G, da y ∈ G2α und Yα ∈ G−α. Wegen dim Gα = 1 und Gα = C〈Xα〉 folgt Xα(Yαg) = 0.
Außerdem gilt werden y ∈ G2α: Hα · y = 2α(Hα) = 4y, woraus y = 0 resultiert, was ein Widerspruch ist.
q.e.d.
Satz 19 (Ergänzung):
Sei α ∈ R, dim Gα = 1 und [Gα, Gβ] ⊆ Gα+β.
1.) dim Gα = 1 für alle α ∈ R
2.) [Gα, Gβ] = Gα+β, falls α + β = 0
Lemma 18:
α, β ∈ R seien nicht proportional. Wähle nun p, q ∈ N, so dass β − pα ∈ R und β + qα ∈ R. Betrachte
E =
Gβ+kα. Dann ist E ein irreduzibler Sα-Modul mit dim E = p + q + 1. Weiterhin ist ad(Xα): Gβ+kα ↦→
k∈Z
G β+(k−1)α ein Isomorphismus für alle −p ≤ k ≤ q − 1 und weiterhin β(Hα) = p − q.
32

Beweis:
E ist ein Sα-Modul, da YαGβ+kα ⊆ G β+(k−1)α, XαGβ+kα ⊆ G β+(k+1)α und HαGβ+kα ⊆ Gβ+kα. Hα hat auf Gβ
das Gewicht β(Hα). Alle Gewicht auf E sind von der Gestalt β(Hα) + 2K mit K ∈ Z und β(Hα) + 2q ist das
maximale Gewicht. Der Gewichtsraum zu β(Hα) + 2K ist Gβ+Kα und ist eindimensional. Daraus folgt, dass
der Modul E irreduzibel ist mit maximalem Gewicht β(Hα) + 2q und minimalem Gewicht −β(Hα) − 2q =
β(Hα) − 2p, was äquivalent ist zu 2p − 2q = 2β(Hα). q.e.d.
Bemerkung:
Der zweite Teil von Satz 19 ist erhalten im Lemma 18 für k = 0.
4.0.2 Wurzelsystem von G = sl(2, C)
Wir betrachten folgende Menge von Matrizen:
a 0
h = H =
mit α(H) = 2a und α ∈ h
0 −a
∗
0
Gα = Xα =
0
1
, G−α = Yα =
0
1
Hα =
0
0
, (α(Hα) = 2)
−1
R(sl(2, C)) = {α, −α} ⊆ h ∗ \ {0}
Sα(α) = −α, Sα(−α) = α
A1
Betrachten wir außerdem G = sl(3, C):
⎧⎛
⎨
h = ⎝
⎩
a1
⎞
⎫
0
⎬
⎠ |a1 + a2 + a3 = 0
⎭
a2
0 a3
α(H) = a1 − a2(= α12)
β(H) = a2 − a3(= α23)
γ(H) = a1 − a3 = α + β(= α13)
0 0
1 0
R = {α, β, γ, −α, −β, −γ} ist das Wurzelsystem von sl(3, C).
A2
Gespiegelt wird an den Seitenhalbierenden dieses regulären Sechsecks. Die Weylgruppe ist die Symmetriegruppe
des regulären Sechsecks (Dieder-Gruppe): W (A2) D6.
Definition:
R ∗ = {α ∗ |α ∈ R} ⊆ V ∗ heißt die Menge der inversen Wurzeln.
33

KAPITEL 4. DIE STRUKTUR DER HALBEINFACHEN LIE-ALGEBREN
4.1 Hauptsatz
G sei eine halbeinfache Lie-Algebra und h ⊆ G eine Cartan-Unteralgebra. Es sei h ⊕
Gα die Wurzelzerle-
gung von G bezüglich h. R ⊆ h ∗ sei ein komplexes Wurzelsystem mit Sα(β) = β − β(Hα)α.
Hα ∈ [Gα, G−α], Sα = Gα ⊕ G−α + CHα sl(2, C)
α(Hα) = 2, R ∗ = {Hα|α ∈ R} ⊆ h
4.2 Komplexe und reelle Wurzelsysteme
Sei R ⊆ V ein reelles Wurzelsystem und W (r) = {Sα|α ∈ R} (Spiegelungen an diesen Wurzeln) die Weylgruppe
von R. Wähle ein positiv definites Skalarprodukt 〈, 〉 auf V , so dass die Elemente von W (R) Isometrien des
Skalarproduktes 〈, 〉 sind. Insbesondere ist Sα(x) = x − 〈α ′ , x〉α mit α ∗ (x) = 〈α ′ , x〉. Aus α ∗ (α) = 2 folgt
〈α ′ , α〉 = 2 und damit α ∗ = 2α
|α| 2 = 2α
〈α,α〉 . Die Konsequenz ist, dass R∗ V ∗ erzeugt.
Satz 20:
R ∗ ⊆ V ∗ ist ein Wurzelsystem und (R ∗ ) ∗ = R.
Beweis:
Wir wissen, dass R ∗ V ∗ erzeugt. Es ist Sα ∗(x) = x − α(x)α∗ . Für x ∈ V ∗ und β ∗ ∈ R ∗ gilt α(β ∗ ) = α ∗ (β) ∈ Z.
q.e.d.
Sei R ⊆ V ein reelles Wurzelsystem. Dann ist R ⊆ VC = V ⊗ C ein komplexes Wurzelsystem.
Satz 21:
Wenn R ⊆ V ein komplexes Wurzelsystem ist, dann ist dieses Wurzelsystem die Komplexifizierung eines reellen
Wurzelsystem R ⊆ V0, wobei V0 ein reeller Vektorraum ist und V V0 ⊗ C = V0,C.
Beweis:
Wir betrachten R ⊆ V und V0 = 〈R〉R, was ein reeller Untervektorraum von V ist. Außerdem betrachten wir
die Abbildung V mit V0 ⊗ C ↦→ V , x ⊗ α ↦→ α · x. Diese Abbildung ist surjektiv, da R und somit V0 V über C
erzeugt. Sei V ∗ = Hom(V, C) ↦→ Hom(V0 ⊗ C, C) die duale Abbildung.
R ∗ ∋ α ∗ ↦→ α ∗ 0
Was passiert mit den Spiegelungen Sα(x) = x − α∗ (x)α? Haben wir β ∈ R und Sα(β) = β − α∗ (β)α, wobei
α∗ (β) ∈ Z. Damit induziert Sα eine Abbildung von V0 nach V0, die reell linear ist. Es gibt ein α∗ 0 ∈ V ∗
0 =
HomR(V0, R), so dass Sα(x) = x − α∗ 0(x)α für x ∈ V0. Außerdem stimmt α∗ |V0 überein mit α∗ 0. So folgt, dass
R ⊆ V0 ein reelles Wurzelsystem ist. Dies impliziert, dass die Abbildung R∗να∗ ↦→ α∗ 0 surjektiv ist, also handelt
es sich um eine Isomorphismus. q.e.d.
Anmerkung:
Man kann aus verschiedenen Wurzelsystemen auch ein Produkt-Wurzelsystem bilden.
Beispiel:
B2
α∈R
34

4.2. KOMPLEXE UND REELLE WURZELSYSTEME
Hier taucht die Spiegelungsgruppe eines regulären Vierecks auf. Es stellt sich die Frage, welche Lie-Algebra
dieses Wurzelsystem haben (Rang 2). In Frage kommen so(5, C) oder auch sp(4, C).
35

KAPITEL 4. DIE STRUKTUR DER HALBEINFACHEN LIE-ALGEBREN
36

Kapitel 5
Wurzelsysteme und Basen
Definition:
R ⊆ V sei en reelles Wurzelsystem. S ⊆ R heißt eine Basis des Wurzelsystems, wenn folgendes gilt:
1.) S ist eine Basis von V .
2.) Jedes α ∈ R schreibt sich
a.) α =
nγγ mit nγ ∈ Z und nγ ≥ 0 für alle γ ∈ S oder
γ∈S
b.) α =
nγγ mit nγ ∈ Z und nγ ≤ 0 für alle γ ∈ S.
γ∈S
Es gilt R = R + ∪ R − und R − = −R + .
Wenn R eine Basis S besitzt, so schreiben wir R + = {α ∈ R|die a.) erfüllen} oder R − = {α ∈ R|die b.) erfüllen}.
Der Menge der positiven/negativen Wurzeln erzeugt also einen Halbraum, so dass alle positiven/negativen
Wurzeln innerhalb dieses Halbraums liegen.
Satz 22:
Eine Basis S existiert und jede Basis lässt sich folgendermaßen konstruieren: Es gibt ein t ∈ V ∗ \ {0} (nicht-
verschwindende lineare Form), so dass t(α) = 0 für alle α ∈ R und R +
S = {α ∈ R|t(α) > 0} = R+ t und die
Basis S stimmt überein mit der Menge St der unzerlegbaren Elemente von R + t .
Satz 23:
Sei t ∈ V ∗ eine Linearform mit 〈t, α〉 = 0 für alle α ∈ R. Dann bildet die Menge St = {α ∈ R + t |α ist
unzerlegbar} eine Basis von R.
Bemerkung:
Für t ∈ V ∗ ist R + t = {α ∈ R|〈t, α〉 > 0}. α ∈ R + heißt unzerlegbar, wenn α nicht als Linearkombination
α = β + γ mit β, γ ∈ R + t geschrieben werden kann.
37

KAPITEL 5. WURZELSYSTEME UND BASEN
Lemma 19:
Wenn α ∈ R + t , dann gilt α =
γ∈S +
t
” nicht-negative“ Linearkombination von Elementen aus St.
Beweis:
nγγ mit nγ ∈ Z und nγ ≥ 0. Jedes Element von R + t schreibt sich als
Wir betrachten I = {α ∈ R + t |schreiben sich nicht als positive Kombination von Elementen aus St}. Wenn
I = ∅, so gibt es ein α ∈ I mit 〈t, α〉 > 0 und 〈t, α〉 minimal unter den β ∈ I. Darüber hinaus wissen
wir, dass α zerlegbar ist. (Sonst wäre α ∈ St.) Wir können also schreiben α = β + γ mit β, γ ∈ R + t . Aus
〈t, α〉 = 〈t, β〉 + 〈t, γ〉 > 0 mit 〈t, β〉 > 0 und 〈t, γ〉 > 0 folgt 〈t, β〉 < 〈t, α〉 bzw. 〈t, γ〉 < 〈t, α〉, womit sich β /∈ I
bzw. γ /∈ I ergibt. Somit schreibt sich α als positive Linearkombination, was ein Widerspruch ist. Damit ist
I = ∅. q.e.d.
Aus dem Lemma 19 folgt R + t ⊆ R +
S , −R+ t ⊆ −R +
S = R−
S , R = R+ t ∪ R − t = R +
S ∪ R−
S und R+
S = R+ r . S = St
erfüllt die zweite Bedingung aus obiger Definition für die Basis.
Satz 24:
Sei S eine Basis von R. Dann ist jede Basis S von R von der Gestalt St für ein t ∈ V ∗ . (Es gilt R = R + ∪ R − .)
Beweis:
Wähle t ∈ V ∗ mit t(γ) > 0 für alle γ ∈ S. Dann gilt S = St. Wichtig ist S ⊆ R + t , R +
S ⊆ R+ t . Da R = R +
S ∪ R−
S
gilt R +
S = R+ t . Daraus folgt, dass die Menge S unzerlegbar ist und damit S ⊆ St. Da St eine Basis ist, folgt
S = St. q.e.d.
5.1 Winkel zwischen Wurzeln
Lemma 20:
Wenn α, β ∈ St, so schließen α und β einen stumpfen Winkel ein; es gilt also 〈α, β〉 ≤ 0. Es gilt:
Sα(β) = β − α ∗ (β)α = β − nα,βα = β −
〈α, β〉 = (cos φ)|α||β|
nα,β ist ein Winkel:
nαβnβα =
2〈α, β〉
|α| 2 α mit nαβ ∈ Z
4〈α, β〉2
|α| 2 |β| 2 = 4 cos2 φ ∈ {0; 1; 2; 3; 4} da cos 2 φ ∈ [0, 1] und nαβ ∈ Z
➢ 1.Fall: α, β sind proportional. Damit ist cos 2 φ = 1.
Wenn α = ±β ist, dann ist nαβ = ±2 und nβα = ±2. (In allen reduzierten Wurzelsystemen spielt nur
dieser Teil eine Rolle.) Wenn α = ±2β ist, gilt nαβ = ±1 und nβα = ±4.
➢ Weitere Fälle: nichtproportionale Wurzeln α, β ∈ R
cos φ φ nαβ nβα
0 π
2 0 0
1
2
− 1
2
1√
2
− 1 √
√ 2
3
2
− √ 3
2
π
3 1 1 |α| = |β|
2π
3 -1 -1 |α| = |β|
π
4 1 2 |β| = √ 2|α|
3π
4 -1 -2 |β| = √ 2|α|
π
6 1 3 |β| = √ 3|α|
5π
6 -1 -3 |β| = √ 3|α|
38

nαβ =
2〈α, β〉
|α| 2
2〈α, β〉
= 1 =
|β| 2 = nβα
Das Verhältnis der Wurzellängen hängt ab vom Verhältnis nαβ zu nβα.
Korollar 13:
Seien α, β Wurzeln mit 〈α, β〉 > 0. Dann ist α − β eine Wurzel.
Beweis:
Die Tatsache, dass 〈α, β〉 > 0 ist, ist äquivalent zu nαβ > 0.
5.1. WINKEL ZWISCHEN WURZELN
a.) Ist nαβ = 1, dann folgt Sα(β) = β − nαβα = β − α ∈ R. Daraus folgt, dass α − β ∈ R ist.
b.) Wenn nβα = 1, dann gilt Sβ(α) = α − nβα) = α − β ∈ R.
Nach der Tabelle impliziert nαβ > 0 die Bedingung a.) oder b.).
Korollar 14:
Sei S ⊂ R + t eine unzerlegbaren Elemente. Dann gilt für α, β ∈ S, dass 〈α, β〉 ≤ 0.
Beweis:
Wir nehmen an, dass 〈α, β〉 > 0 ist. Nach Korollar 13 gilt γ = α − β ∈ R, also α = γ + β. α ist zerlegbar, falls
γ ∈ R + t . Wenn γ ∈ R − t , schreiben wir β = α − γ. Falls γ ∈ R − t , ist β zerlegbar. q.e.d.
Lemma 21:
Sei t ∈ V ∗ und A ⊆ R + t und gilt für alle α, β ∈ A, dass 〈α, β〉 ≤ 0 und α = β ist, dann sind die Elemente von
A linear unabhängig.
Korollar 15:
Sei t ∈ V ∗ . Dann ist die Menge St linear unabhängig (und also eine Basis des Wurzelsystems). (Die erste
Bedingung wird von St erfüllt.)
Damit ist der Satz über Basen bewiesen.
Beweis:
Wir nehmen an, es gibt eine Relation zwischen den Elementen von A.
mγγ = 0
γ∈A
λ =
yαα =
zββ für yα ≥ 0 und zβ ≥ 0
α∈A
β∈A
Es ist yα = mα und zβ = −mβ.
0 ≤ 〈λ, λ〉 =
yαzα〈α, β〉
α,β∈A
Aus 〈α, β〉 ≤ 0 folgt 〈λ, λ〉 = 0 und damit λ = 0.
0 = 〈t, λ〉 =
yα〈t, α〉
α∈A
Aus 〈t, α〉 > 0 folgt yα = 0. Ebenso ist zβ = 0, woraus sich mγ = 0 ergibt. Damit ist A linear unabhängig.
q.e.d.
Jedes Wurzelsystem hat eine Basis! Unsere erste Aufgabe ist nun, Wurzelsysteme vom Rang 2 zu bestimmen,
also Wurzelsysteme, deren Basis aus zwei Vektoren besteht.
Es sei R ⊂ V und R ⊂ V . Die Wurzelsysteme R und R sind isomorph genau dann, wenn g: V ↦→ V hom mit
gR = R. Dann folgt S g(β) = gSβg −1 (wegen der Eindeutigkeit der Spiegelungen).
39

KAPITEL 5. WURZELSYSTEME UND BASEN
5.1.1 Geometrische Interpretation
Wir betrachten R + t = {α|〈t, α〉 > 0}. Sei C ein konvexer Kegel erzeugt von R + t , dann gilt:
A2
Die Basiselemente sind die Wurzeln, die sich auf dem Rand dieses Kegels befinden.
5.2 Inverse Wurzelsysteme und ihre Basen
Es sei R ⊂ V und R ∗ ⊂ V ∗ . Dann ist R ∗ = {α ∗ |Sα(x) = x − α ∗ (x)α, α ∈ R} ein inverses Wurzelsystem. Diese
inversen Wurzelsysteme können wir gut veranschaulichen. Wir können nämlich ein invariantes Skalarprodukt
〈, 〉 auf V wählen, zu dem es ein Homomorphismus V ↦→ V ∗ gibt, so dass
α ∗ (x) = 〈α ′ , x〉 mit α ′ = 2α
|α| 2 ∈ V mit R′ = {α ′ |α ∈ R} ⊆ V
gilt und R ′ ein Wurzelsystem ist.
Satz 25:
Wenn S eine Basis von R ist, so ist S ∗ = {α ∗ |α ∈ S} eine Basis von R ∗ .
Beweis:
Es genügt zu zeigen, dass S ′ = {α ′ |α ∈ S} eine Basis von R ′ ist, da R ′ und R∗ ja isomorph sind. Wenn
t ∈ V ∗ eine lineare Form mit 〈t, α〉 > 0 für α ∈ S, das heißt S = St, dann erzeugt R + t den gleichen konvexen
Kegel C = C(R + t ) wie die Menge R ′+
t . (Die Elemente von R ′ sind nur Vielfache von den Elementen von R. Zu
jedem positiven Element α gehört ein positives Element α ′ und umgekehrt.) Die Basis S ′ = S ′ t von R ′ sind die
Wurzeln α ′ , die auf dem Rand von C liegen und dies sind die Vielfachen von den Elementen aus S. Damit ist
S ′ = {α ′ |α ∈ S}. q.e.d.
5.3 Struktur der Weyl-Gruppe und Erzeugendensystem der Weyl-
Gruppe
Wenn R ein Wurzelsystem ist, dann ist W (r) = 〈Sα|α ∈ R〉.
Satz 26:
Wenn S eine Basis von R ist, so folgt W (R) = WS =: 〈Sγ|γ ∈ S〉. (Dies ist das Erzeugnis der Spiegelungen,
die aus der Basis stammen.)
Satz 27:
Wenn β ∈ R +
S , wobei S eine Basis von R ist, dann lässt sich eine Darstellung β = α1 + . . . + αk mit αi ∈ S
finden, so dass Rνα1 + . . . + αl gilt für alle l ≤ k.
40

Beweis:
5.3. STRUKTUR DER WEYL-GRUPPE UND ERZEUGENDENSYSTEM DER
WEYL-GRUPPE
Sei t ∈ V ∗ und 〈t, α〉 = 1 für alle α ∈ S und 〈t, β〉 = k > 0 für k ∈ Z. Wir führen nun eine Induktion nach k
durch. Behauptung: Es gibt ein α ∈ S mit 〈α, β〉 > 0.
✵ 1.Fall: Aus β ∈ S folgt der Satz.
✵ 2.Fall: γ = α − β ist eine Wurzel.
〈t, γ〉 = 〈t, α〉 − 〈t, β〉 = 1 − k
Aus β = α − γ folgt 〈t, −γ〉 = k − 1. q.e.d.
Lemma 22:
Sei α ∈ S und R reduziert. Dann ist Sα(R +
S \ {α}) ⊆ R+
S \ {α}.
Beweis:
Wenn β ∈ R +
S
\{α〉, so ist β = mγγ mit mγ ≥ 0. Es gibt ein γ0 = α, so dass mγ0 = 0. Da Sα(β) = β−α∗ (β)α,
γ∈S
ist Sα von folgender Gestalt:
Sα(β) =
mγγ mit mγ0 = mγ0 > 0
γ∈S
Daraus folgt Sα(β) ∈ R +
S .
Lemma 23:
Sei ϱS := 1
2
α und R reduziert. Dann gilt α(ϱS) = ϱS − α für α ∈ S.
Beweis:
α∈R +
Wir betrachten:
ϱS = 1
2
γ∈R +
S \{α}
γ
Dann gilt ϱS = ϱα + 1
Lemma 24:
2α. Aus Sα(ϱα) = ϱα und S(α) = −α folgt Sα(ϱS) = ϱα − 1
2α. q.e.d.
Sei t ∈ V ∗ . Dann gibt es ein w ∈ WS, so dass 〈w(t), α〉 ≥ 0 für alle α ∈ S.
Bemerkung:
Sei w ⊆ GL(V ) mit t ∈ V ∗ . Dann ist 〈w(t), x〉 = 〈t, w −1 (x)〉 für t ∈ V ∗ und x ∈ V .
Beweis:
Wir betrachten 〈w(t), ϱS〉 für w ∈ WS. Wir wählen w0 so, dass 〈w0(t), ϱS〉 maximal ist. Dieses w0 hat die
behauptete Eigenschaft.
〈w0(t), ϱS〉 ≥ 〈Sαw0(t), ϱS〉 = 〈w0(t), SαϱS〉 = 〈w0(t), ϱS〉 − 〈w0(t), α〉
Daraus folgt, dass 〈w0(t), α〉 ≥ 0 (wegen der Maximalität in w0). q.e.d.
Satz 28:
Seien S und S Basen von R. Dann gibt es ein w ∈ WS, so dass w( S) = S. (Die Untergruppe der Weyl-Gruppe
operiert transitiv auf den Basen. Damit sind alle Basen aus dem Wurzelsystem gleichberechtigt. Dies ist nicht
selbstverständlich, da die Basen verschiedene Gestalt haben könnten.)
41

KAPITEL 5. WURZELSYSTEME UND BASEN
Beweis:
Zu S gehört ein t ∈ V ∗ mit t(α) > 0 für alle α ∈ S. Insbesondere gilt dann R +
S
= R+
t
. Nach dem Lemma 24
gibt es ein w0 ∈ WS, so dass 〈w0(t), α〉 = 〈t, w −1
0 α〉 ≥ 0 für alle α ∈ S. Insbesondere gilt also 〈w0(t), α〉 > 0
für alle α ∈ S. Somit ist t := w0(t) und es gilt S = St und S = St . Andererseits ist w0(S) eine Basis des
Wurzelsystems und t > 0 auf w0(S). Damit gilt w0(S) = St = S. q.e.d.
Lemma 25:
Sei β ∈ R. Dann gibt es eine Basis S von R mit β ∈ S.
Beweis:
Sei Lβ ⊆ V ∗ die Hyperebene β ⊥ (die senkrecht auf β steht). Es gibt endlich viele weitere Hyperebenen Lγ = γ ⊥
mit γ = β und γ ∈ R. Es gibt ein t1 ∈ Lβ mit t1(γ) = 0, da R endlich ist. Es sei ε = min{|t1(γ)|γ ∈ R, γ =
β} > 0. Es gibt t0 ∈ V ∗ mit t0(β) = ε0 > 0 und |t0(γ)| > ε0 für γ = β und γ ∈ R. Daraus folgt β ∈ St0. q.e.d.
Lemma 26:
Sei β ∈ R. Dann gibt es ein w ∈ WS, so dass Sβ = w.
Beweis:
Sei S eine Basis, die β enthält und w ∈ WS, so dass w S = S. Daraus folgt wβ = α ∈ S und damit folgt, dass
Sα = Swβ = wSβw −1 und daraus folgt, dass Sβ = w −1 Sα ∈ WS. q.e.d.
5.4 Weyl-Kammer
Die Weyl-Gruppe ist eine Spiegelungsgruppe. Die Frage ist nun, woran gespiegelt wird.
Bemerkung:
Die Abbildung S ↦→ C(S) ist eine Bijektion. (Aus der Umkehrabbildung t ∈ C(S) folgt S = St.) Aus t ∈ C(s)
folgt, dass S = St ist.
Definition:
Sei S eine Basis und C(S) = {t ∈ V ∗ |t(α) > 0 ∀ α ∈ S}. Wir nennen C(S) die Weyl-Kammer von S.
C(s) ⊆ V ∗ ist ein offener konvexer Kegel.
5.4.1 Andere Betrachtungsweise
Es sei α ∈ R und Hα = {u ∈ V ∗ |u(α) = 0} ⊆ V ∗ .
Satz 29:
Die Menge der Weyl-Klammern stimmt überein mit den Zusammenhangskomponenten von V ∗ \ ∪α∈RHα
(ohne die singulären Hyperebenen).
Eine Weyl-Kammer ist ein symplizialer Kegel.
Beweis:
Sei C eine Komponente in V ∗ \ ∪α∈RHα. Für t ∈ C gilt nach Konstruktion C(α) = 0 für alle α ∈ R. Daraus
folgt, dass es eine Basis S gibt (die durch t eindeutig bestimmt ist) mit t(γ) > 0 ∀ γ ∈ S, S = St. Nach
Definition ist also t ∈ C(S). Für alle t ∈ C ist t ′ (γ) > 0 ∀ γ ∈ S (nach Konstruktion von C). (Es müsste
aus der Menge C herauslaufen und einmal die Hyperebene treffen, was jedoch nicht sein kann.) Wegen der
Eindeutigkeit einer Basis ist S = St ′ und somit t′ ∈ C(S). Damit haben wir bewiesen, dass C ⊆ C(S).
Umgekehrt ist klar, dass alle C(S) (wobei S eine Basis von R ist) in einer Komponente von V ∗ \ ∪α∈RHα
liegen. (Die Mengen C(S) treffen nie eine dieser Hyperebenen Hα.) q.e.d.
42

5.4.2 Geometrisches Bild der Aktion der Weyl-Gruppe
5.4. WEYL-KAMMER
w(R) operiert auf V und auch auf V ∗ . Für t ∈ V ∗ ist w(t)(x) := 〈t, w −1 x〉 für w ∈ W und x ∈ V . Sα
sind bekanntlich die Spiegelungen an der Wurzel α, Sα: V ↦→ V . Die duale Abbildung Sα: V ∗ ↦→ V ∗ ist eine
Spiegelung an der Hyperebene Hα ⊆ V ∗ . Für t ∈ Hα gilt:
Sα(t)(x) = 〈t, Sα(x)〉 = 〈t, x − α ∗ (x)α〉 = 〈t, x〉 da t(α) = 0
Damit gilt Sαt = t für t ∈ Hα. Die Spiegelungen Sα lassen also die Elemente der Hyperebene fest. Sα ist damit
eine Spiegelung an der Hyperebene.
W ist Teilmenge der Automorphismengruppe Aut(R) = {ϕ : V ↦→ V |ϕ(R) ⊆ R} mit ϕ ∈ GL(V ).
Zusammenfassung:
Die Weyl-Kammer C(S) ist eine Komponente von V ∗ \ ∪α∈RHα und ihr Rand ist durch die Hyperebene Hα
mit α ∈ S gegeben. (Die Hα heißen auch ” Mauern“.) Die Aktion der Weyl-Gruppe auf V ∗ wird also erzeugt
von den Spiegelungen Sα an den Mauern einer Kammer. Weiterhin operiert die Weyl-Gruppe W transitiv
auf der Menge der Kammern (da sie auch transitiv auf der Menge der zugehörigen Basen operiert) (Simplexe
Spiegelungsgruppen, Gruppe die erzeugt wird von den Spiegelungen an diesem Kegel).
Satz 30:
Sei w ∈ W mit wC = C für eine Weyl-Kammer C. Hieraus folgt dann w = 1. (Die Weyl-Gruppe operiert
einfach transitiv auf der Menge der Kammern.)
Beweis:
Sei S eine Basis und C = C(S) die zugehörige Kammer. Für w ∈ W mit w = S1, . . ., Sd (∗), wobei die Si
Spiegelungen an den Mauern von C sind. Si sei die Spiegelung an der Mauer Hi = Hαi für αi ∈ S. Wir
betrachten W ⊆ GL(V ∗ ) und nehmen an, dass d die minimale Länge einer solchen Darstellung (∗) ist. Sei
wi = S1, . . ., Si eine Folge von Kammern Ci = wiC. Die Folge Ci bildet eine sogenannte Gallerie.
➢ Zwei Kammern C und C heißen benachbart, wenn sie eine gemeinsame Mauer in ihrem Rand haben.
➢ Ci und Ci+1 sind benachbarte Kammern.
Wir betrachten die Kammern Ci = s1 . . . Si(C) und Ci+1 = S1 . . . Si+1(C). C hat eine Mauer Hi+1, an
der Si+1 die Spiegelung ist.
C |
Hi+1
Si+1C −→ wi
wi(C) | wi+1(C)
wi(Hi+1)
Wir nehmen an, dass w(C) = C ist. (Eine Gallerie ist ein geschlossener Weg. Es muss deswegen einen Index j
geben, so dass wj(Hj+1) = H1 ist. Die Mauer H1 muss also noch einmal durchlaufen werden.) Dies bedeutet,
dass wjSj+1w −1
j = S1 ist. Daraus ergibt sich wjSj+1 = S1wj und somit S1 . . . SjSj+1 = S1S1 . . . Sj = S2 . . . Sj,
wobei S1 = wj+1. Der Wert wj+1 lässt sich durch j Spiegelungen ausdrücken.
Bemerkung:
Man kann zeigen, dass die Weyl-Gruppe eine sogenannte Coseter-Gruppe ist.
1.) W wird erzeugt von Spiegelungen Si mit i = 1, . . ., n mit S 2 i
2.) Das Produkt zweier Spiegelungen SiSj ist eine Drehung, wobei der Winkel zwischen den Hyperebenen
der zugehörige Drehwinkel ist. Es gibt ganze Zahlen mij, so dass (SiSj) mij = 1 für i = j ist. (Es handelt
sich ja um eine endliche Gruppe.)
Das heißt, als abstrakte Gruppe ist W durch 1.) und 2.) bis auf Isomorphien bestimmt.
Wir wissen schon, dass Sα(β) = β −β ∗ (α)α ist für β ∗ (α) ∈ Z und α, β ∈ S. Die Matrix (nαβ) mit nαβ := β ∗ (α)
(wobei α, β ∈ S) heißt Cartan-Matrix des Wurzelsystems. Diese hat folgende Gestalt:
⎛
2 a
⎞
. . .
⎜
(nαβ) = ⎜
⎝
b
.
. ..
. ..
. ..
⎟
⎠
2
= 1.
43

KAPITEL 5. WURZELSYSTEME UND BASEN
G2 hat beispielsweise die Cartan-Matrix:
2 −1
(nαβ) =
−3 2
Dies ist eine Invariante der Wurzelsysteme (hängt also nicht von der Basis ab). Das Wurzelsystem ist eindeutig
durch eine solche Matrix festgelegt.
Beobachtung:
Sei S eine Basis und nαβ für α, β ∈ S, wobei Sα(β) = β − nαβα ist. Ist ϕ ∈ Aut(R), so gilt n ϕ(α)ϕ(β) = nαβ.
Das heißt: Ist S eine Basis von R, so ist S ′ = ϕ(S) wieder eine Basis von R. Für ϕ(α) ∈ S ′ gilt wegen der
Eindeutigkeit S ϕ(α) = ϕSαϕ −1 . Dann erhalten wir nach Definition:
S ϕ(α)(ϕ(β)) = ϕ(β) − n ϕ(α)ϕ(β)ϕ(α) = ϕ(β − n ϕ(α)ϕ(β)α) = ϕ(Sα(β)) = ϕ(β − nαβα)
Dies folgt aus S ϕ(α) = ϕSαϕ −1 . Daraus ergibt sich also nαβ = n ϕ(α)ϕ(β).
Definition:
Sei S ⊆ R eine Basis, so heißt C(R) = (nαβ), wobei α und β ∈ S sind, die Cartan-Matrix von R (bezüglich
S).
Bemerkung:
Es gilt n = Rang(R) =Anzahl der s ∈ S. Damit ist C(R) eine n × n-Matrix mit Elementen ∈ Z, also
C(R) ∈ Mat(n × n, Z). Wir erinnern uns an die Definition von nαβ zurück:
Sα(β) = β − nαβα = β −
2〈α, β〉
α
|α| 2
Dann hatten wir folgendes festgestellt:
1.) nαβ ∈ Z
2.) nαβ · nβα = 4 cos 2 φ, wobei φ der Winkel zwischen α und β ist
3.) Falls α = β, so folgt nαβ ≤ 0 und nαα = 2.
Aus diesen drei Bedingungen folgt für α = β: nαβ ∈ {0; −1; −2; −3}.
Beispiele:
Betrachten wir das Wurzelsystem A1, dann ist C(A1) = 2.
Das Produkt mit sich selbst A1 × A1:
A1 × A1 : C(A1 × A1) =
A2 : C(A2) =
B2 : C(B2) =
G2 : C(G2) =
2 0
0 2
2
−1
−1 2
2
−2
−1 2
2
−3
−1 2
44

Satz 31:
5.5. COSETER-GRAPHEN
Seien S und S ′ Basen der (reduzierten) Wurzelsysteme R ⊆ V und R ′ ⊆ V ′ . Außerdem sei f: S ↦→ S ′ eine
Bijektion mit n f(α)f(β) = nαβ. Dann gibt es einen eindeutigen Isomorphismus ϕ: V ↦→ V ′ von Wurzelsystemen
(das heißt ϕ(R) = R ′ ) mit ϕ(α) = f(α) für alle α ∈ S.
Beweis:
Wir definieren ϕ(α) = f(α) für α ∈ S. Dann ist dadurch ein eindeutiger Vektorraumisomorphismus ϕ: V ↦→ V ′
bestimmt. Zu zeigen bleibt ϕ(R) = R ′ .
(ϕSαϕ −1 )ϕ(β) = ϕSα(β) = ϕ(β − nαβα) = ϕ(β) − nαβϕ(α) = f(β) − n f(α)f(β)f(α) =
= S f(α)(f(β)) mit ϕ(β) = f(β)
Damit gilt S f(α) = ϕSαϕ −1 für α ∈ S. Daraus ergibt sich W ′ = W (R ′ ) = ϕW (R)ϕ −1 , da Weyl-Gruppen aus
den Spiegelungen Sα ′ mit α′ ∈ S ′ bzw. Sα mit α ∈ S erzeugt werden.
R ′ = W (R ′ ) · S ′ = ϕW (R)ϕ −1 S ′ = ϕW (R)S = ϕ(R) q.e.d.
Korollar 16:
Die Cartan-Matrix legt das Wurzelsystem bis auf Isomorphie fest.
Beweis:
R und R ′ seien isomorphe Wurzelsysteme und S eine Basis von R. ϕ(S) = S ′ ist also eine Basis von R ′ . Aus
S = {α1, . . . , αn} folgt C(R, S) = (nαiαj ) = C(R, S′ ) = (nα ′ iα′ j ), wobei S′ = {α ′ 1, . . . , α ′ n} mit α ′ i = ϕ(αi).
Wenn S und S ′ verschiedene Basen von R sind, so existiert ein w ∈ W mit wS = S. Daraus folgt C(R, S) =
C(R, S) mit w ∈ Aut(R). Somit ist C(R) wohlbestimmt (bis auf eine Permutation der Basis).
Seien R und R ′ Wurzelsysteme, so dass C(R) und C(R ′ ) durch Permutation der Basis auseinander hervorgehen,
dann folgt nach Satz 31, dass R und R ′ isomorph sind. q.e.d.
Korollar 17:
Wir betrachten die Gruppe Aut(R) = W (R)E, wobei W (R) die Weyl-Gruppe von R und E = {ϕ ∈
Aut(R)|ϕ(S) = S} ist. Dann gilt:
i.) W (R) ist ein Normalteiler in Aut(R).
ii.) W (R) ∩ E = {1}
iii.) Aut(R)/W (R) = E
Weiterhin ist E isomorph zur Menge {f: S ↦→ S, f ∈ Perm(S), f(nαβ) = n f(α)f(β)}. Aus i.) und ii.) folgt, dass
Aut(R) ein semidirektes Produkt ist.
Beweis:
i.) Dies folgt, da W (R) = 〈Sα|α ∈ R〉 und ϕ ∈ Aut(R), ϕSαϕ −1 = S ϕ(α) ∈ W (R). Damit ist ϕW (R)ϕ −1 ⊆
W (R) für alle ϕ ∈ Aut(R) (Normalteiler).
ii.) Dies ist bereits bewiesen (einfache Transitivität von W (R) auf der Menge der Basen).
iii.) Hier ist zu zeigen, dass Aut(R) = W · E ist. Dies folgt aus der Transitivität von W auf der Menge der
Basen. Ist S eine Basis von R mit ϕ ∈ Aut(R), so existiert wϕ ∈ W (R) mit wϕS = ϕ(S). Daraus ergibt
sich e = ϕw −1
ϕ ∈ E und damit ϕ = ewϕ.
5.5 Coseter-Graphen
Definition:
Ein Coseter-Graph ist ein endlicher Graph, so dass je zwei Ecken durch 0, 1, 2 oder 3 Kanten verbunden ist.
45

KAPITEL 5. WURZELSYSTEME UND BASEN
Beispiel:
A2 B2 G2 A1 × A1
Jeder Cartan-Matrix lässt sich ein Coseter-Graph zuordnen. Als Ecken wählen wir α1, . . ., αn ∈ S und zwei
Ecken αi, αj sind durch nαiαj · nαjαi Kanten verbunden.
5.5.1 Irreduzibilität von Wurzelsystemen
Definition:
Wir nenne R ⊂ V reduzibel, wenn V = V1 ⊕ V2 und R = (R ∩ V1) ∪ (R ∩ V2), wobei wir die Schnitte R ∩ Vi
mit Ri bezeichnen wollen und Vi = {0} sei. Das Wurzelsystem R heißt die (direkte) Summe von R1 und R2.
R heißt irreduzibel genau dann, wenn eine Zerlegung mit Vi = {0} nicht möglich ist.
Bemerkungen:
✵ Jedes Wurzelsystem ist eine direkte Summe von irreduziblen Wurzelsystemen.
✵ Die Zerlegung ist eindeutig.
Satz 32:
Sei R = R1 ∪ R2 ein reduzibles Wurzelsystem. Dann gilt:
1.) V1 ist senkrecht zu V2.
2.) R1 ⊆ V1 und R2 ⊆ V2 sind Wurzelsysteme.
Beweis:
Sei S eine Basis des Wurzelsystems R. Dann ist insbesondere S eine Basis von V . Mit S = (S ∩ R1) ∪ (S ∩ R2)
gilt S ⊆ R1 ∪ R2 = S1 ∪ S2; damit ist Si eine Basis von Vi. Mit α ∈ S1 und β ∈ S2 folgt 〈α, β〉 ≤ 0 (weil S
eine Basis ist) und außerdem 〈α, −β〉 ≤ 0. Damit ist 〈α, β〉 = 0. Falls 〈α, −β〉 > 0 für α = ±β ist, folgt, dass
α + β ∈ R eine Wurzel ist. α + β ist damit /∈ V1 und /∈ V2, was ein Widerspruch zu R = R1 ∪ R2 darstellt.
Damit ist 〈α, −β〉 ≤ 0 und α, β stehen senkrecht aufeinander.
Für α ∈ R1 gilt Sα(v) = v für v ∈ V2, da V2 ⊥ α. Aus Sα(R2) = R2 und Sα(R) = R folgt Sα(R1) = R1,
woraus 2.) folgt. q.e.d.
Satz 33:
Ein Wurzelsystem R ist irreduzibel genau dann, wenn der Coseter-Graph CG(R) zusammenhängend ist. (Die
irreduziblen Summanden entsprechen den Zusammenhangskomponenten des Coseter-Graphs.)
Beweis:
Wenn zwei Wurzeln senkrecht aufeinander stehen, sind sie im Coseter-Graph nicht miteinander verbunden.
q.e.d.
Bemerkung:
Dies zeigt auch, dass die Zerlegung in irreduzible Summanden (bis auf Permutationen) ” eindeutig“ ist. Wir
werden sehen, dass eine halbeinfache Lie-Algebra G mit Wurzelsystem R genau dann einfach ist, wenn R
irreduzibel ist. Mann kann also am Wurzelsystem erkennen, ob die Lie-Algebra einfach ist.
Beispiel:
Der Coseter-Graph von A1 × A2 ist Punkt-Punkt und damit nicht zusammenhängend. Deshalb ist A1 × A2
reduzibel. A2, G2 und B2 sind jedoch irreduzibel, da ihre Coseter-Graphen zusammenhängend sind.
46

Kapitel 6
Realisierung der Lie-Algebra G2
Es stellen sich folgende Fragen:
1.) Gibt es eine Lie-Algebra zum Wurzelsystem G2?
2.) Wie finden wir eine Darstellung?
6.1 Die Cayley-Zahlen (Algebra der Oktonomen)
O = OC ist eine Algebra der Dimension 8 über C. Eine ” Algebra“ ist ein Vektorraum V mit einem C-bilinearen
Produkt V × V ↦→ V . (Wir verlangen keine Assoziativität oder Kommutativität!)
Wir betrachten jetzt die Quaternionen-Algebra H = HC, welche eine vierdimensionale C-Algebra ist.
H = C · E ⊕ C · I ⊕ C · Y ⊕ C · K
Außerdem verlangt man, dass I 2 = J 2 = K 2 = IJK = −E (⇒ IJ = −JI = K) ist und, dass H eine assoziative
Algebra ist: x · (y · z) = (x · y) · z. Dies legt ein eindeutiges Algebraprodukt auf diesem vierdimensionalen
Vektorraum fest. Es gibt eine Konjugationsabbildung:
u = αE + βI + γJ + δK ⇒ αE − βI − γJ − δK =: u =: τ(u)
Es gilt τ(u·v) = τ(v)·τ(u) (Antihomomorphismus). Auf H existiert eine Norm N(u)·E = µ·τ(u) (N: H ↦→ C).
Dies ist eine nicht ausgeartete quadratische Form auf H.
B(u, v)E =
µ · τ(v) + v · τ(u)
2
ist die zugehörige symmetrische Bilinear-Form. Es gilt N(u · v) = N(u) · N(v) (Vier-Quadrate-Satz). Die
Spurfunktion ist gegeben durch t: H ↦→ C (αE + βI + γJ + δK ↦→ α).
t(u) · E =
µ + τ(u)
2
Die Cayley-Algebra O über C definieren wir als VO = H ⊕ H · e. (Dieser Vektorraum ist isomorph zu C 8 .)
(x1 + x2e) · (y1 + y2e) := x1y1 − y 2x2 + (x2y 1 + y2x1)e
O = (VO, ) ist eine Algebra und H ist eine Unteralgebra.
✵ Die Algebra ist nicht assoziativ.
e(I · J) = e(−K) = K · e
(e · I) · J = (−I · e) · J = (J · I) · e = −K · e
✵ Natürliche Konjunktion:
τ : O ↦→ O, τ(x1 + x2 · e) := x1 − x2 · e
τ(u · v) = τ(v) · τ(u)
47

KAPITEL 6. REALISIERUNG DER LIE-ALGEBRA G2
✵ N(u)E = uτ(u) (N: O ↦→ C)
Dies ist eine nicht ausgeartete quadratische Form. Es gilt N(u · v) = N(u) · N(v) für alle u, v ∈ O.
(Acht-Quadrate-Satz, ” Zahlen“ (Springer-Verlag)). (Es gibt keinen 16-, 32-, . . .-Quadrate-Satz! Bei 8
ist Schluss.)
✵ Spurfunktion: t(u) =
Lemma 27:
u + τ(u)
2
Für alle x ∈ O gilt x 2 = −N(x)E + 2t(x) · x ∈ CE ⊕ C · x. (Algebren, welche diese Eigenschaft aufweisen,
bezeichnet man als quadratische Algebren. In quadratischen Algebren sind also Normfunktion N und
Spurfunktion t automatisch vordefiniert.)
Beweis als Übung
Definition:
Eine Algebra A heißt alternativ, wenn für alle x, y ∈ A gilt: x · (x · y) = (x · x) · y = x 2 · y und y · x 2 =
y · (x · x) = (y · x) · x. (Der Assoziator mit einem gleichen Objekt ist symmetrisch. Die Unteralgebren, die von
zwei Elementen erzeugt werden, sind assoziativ.)
Satz 34:
Die Cayley-Algebra O ist alternativ.
Bemerkung:
Es gilt ” Potenz-Assoziativität“, nämlich (x m ) · (x n ) = x m+n . (Den Beweis wollen wir an dieser Stelle nicht
durchführen.)
Wir betrachten D ∈ End(A) = gl(A), wobei A eine Algebra ist. D ∈ Der(A) heißt Derivation von A genau
dann, wenn D(u · v) = (Du) · v + v · (Du) gilt.
Lemma 28:
Der(A) ist eine Unter-Lie-Algebra von gl(A). Das bedeutet, dass aus D1, D2 ∈ Der(A) folgt, dass [D1, D2] =
D1 · D2 − D2 · D1 ∈ Der(A) ist.
Theorem 7:
Sei G = Der(O) ⊆ gl(O). Dann gilt:
i.) G ist eine Unteralgebra von SO(8, C) ⊆ gl(O).
ii.) G ist halbeinfach mit Wurzelsystem G2 und Rang(G) = 2.
iii.) G ist einfach und es gilt dim G = 14.
(Dies bedeutet also Der(P) = G2.)
Die Cayley-Algebra über den komplexen Zahlen O = OC (achtdimensionale komplexe Algebra) ist nicht
assoziativ und nicht kommutativ.
✵ Die Algebra ist alternativ. Die von je zwei Elementen erzeugte Unteralgebra ist assoziativ.
✵ Quadratisch: x 2 ∈ CE + C · x, x 2 = −N(x)E + 2t(x)x
t: O ↦→ C ist eine lineare Abbildung. Man bezeichnet sie als Spur. N: O ↦→ C ist eine quadratische Form,
nämlich die sogenannte Norm. Man definiert die Konjugation als τ: O ↦→ O mit τ(xy) = τ(y)τ(x) und τ 2 = id.
Die Normfunktion ist von der Gestalt N(x) = xτ(x) mit t(x)(x + τ(x))/2. Elemente mit Spur 0 sind also die
Elemente, für die x = −τ(x)/2 gilt. Dies ist äquivalent zu Im(O) = Kern(t).
xτ(y) + yτ(x)
EN(x) = xτ(x) und C · E + Im(O), E〈x, y〉 =
2
O hatten wir zusammengesetzt als O = H ⊕ He mit H = CE ⊕ CI ⊕ CJ ⊕ C]K. Es ist v ∈ O und v = x1 + x2e
mit xi ∈ H.
Der(O) = {D|Da · b = (Da) · b + b · D(a), ∀ a, b ∈ O} ⊆ gl(O) = gl 8(C)
48

Satz 35:
6.1. DIE CAYLEY-ZAHLEN (ALGEBRA DER OKTONOMEN)
Der(O) ist eine einfache komplexe Lie-Algebra mit Wurzel-System G2. (Aus der Theorie der Wurzelsysteme
wissen wir insbesondere dim(Der(O)) = 14.)
Korollar 18:
Die Automorphismengruppe Aut(O) ist eine komplexe Lie-Gruppe vom ” Typ“ G2 (nach Freudenthal,
Jacobson, Tits).
Satz 36:
Es gilt Der(O) ⊆ ϑ(〈, 〉) (Lie-Algebra der orthogonalen Gruppe von N)
Bemerkung:
Für jede Derivation D gilt DE = 0.
Dx = (D(Ex)) = (DE)x + EDx = (DE)x + Dx
Es ist damit (DE)x = 0 für alle x ∈ O und daraus folgt DE = 0. Die Konsequenz hieraus ist, dass Der(O)
identifiziert werden kann mit einer Unteralgebra O(Im(O), 〈, 〉) SO(7, C).
Beweis:
Es seien x, y ∈ Im(O) mit x ◦ y = (x · y + y · x)/2. Dies ist eine sogenannte Jordan-Algebra. Die meisten
exzeptionellen Lie-Algebren (auch G2) stehen in direktem Zusammenhang mit solchen Jordan-Algebren.
x ◦ y =
x · y + y · x
2
Die zeigen wir durch:
= −〈x, y〉E
(x + y) 2 = x 2 + x · y + y · x + y 2
x · y + y · x
−N(x + y)E = −N(x)E + − N(y)E
2
Hieraus ergibt sich die Behauptung. Aus (∗) folgt
D(x · y + y · x) = Dx · y + xDy + Dy · x + y · Dx == 0
und hieraus resultiert:
〈y, Dx〉 = y · τDx + τyDx
〈Dy, x〉 = Dy · τ(x) + y · Dτ(x)
Da x, y ∈ Im(O) folgt, dass 〈y, Dx〉 + 〈Dy, x〉 = 0. (Orthogonalitätsbedingung). Es bleibt noch zu zeigen, dass
D: Im(O) ↦→ Im(O). (Dies wollen wir jedoch aus Zeitgründen nicht tun.) q.e.d.
Für (x, y, z) ∈ O wollen wir nun den Assoziator A bezüglich des Jordan-Produkts studieren:
A(x, y, z) = x ◦ (y ◦ z) − (x ◦ y) ◦ z)
Für beliebige Elemente ∈ O gilt A(x, y, z) ∈ Im(O). Daraus folgt Im(O) = {A(x, y, z)|x, y, z ∈ O} (Charakterisierung
des Imaginärteils durch das Produkt). Wenn D ∈ Der(O), dann ist D eine Derivation des
Jordan-Produkts.
A(Dx, y, z) + A(x, Dy, z) + A(x, y, Dz) = DA(x, y, z)
Dies ist die Formel, die der Assoziator unter einer Derivation annimmt. Daraus folgt DIm(O) ⊆ Im(O). q.e.d.
49

KAPITEL 6. REALISIERUNG DER LIE-ALGEBRA G2
6.2 Pierce-Zerlegung in O
Wir definieren:
f1 =
E + ie
2
und f : 2 :=
Hieraus ist sofort ersichtlich:
τ(f1) =
E + iτ(e)
2
= E − ie
2
E − ie
2
= f2
Dies sind also Elemente, die zueinander konjugiert sind. Außerdem ist E = f1 + f2 sofort klar und:
f 2 1 =
E + ie + ie + (ie)2
4
= 2E + 2ie
4
= f1 da e 2 = −E
(1) Darüber hinaus gilt f1 · f2 = 0(3) und f 2 2 = f2. (2)
✵ f1, f2 bezeichnet man auch als orthogonale idempotente Elemente in O.
✵ Für a ∈ O gilt a = f1 · a + f2 · a.
Satz 37 (Pierce-Zerlegung in O):
O = C · f1 ⊕ Cf2 ⊕ f1Of2 ⊕ f2Of1 = Cf1 ⊕ Cf2 ⊕ J12 ⊕ J23 wobei τ(J12) = J21 und dim(Jij) = 3
Beweis:
Es gilt O = O · O.
(f1 · a + f2 · a)(b · f1 + b · f2) = f1 · a · f1 + f1 · a · b · f2 + f2 · a · b · f1 + f2 · b · f2
Lemma 29:
Es gilt f1Of2 = Cf1 und f2Of2 = Cf2. Dies folgt aus der Pierce-Zerlegung.
Lemma 30:
Aus D ∈ Der(O) folgt Df1 = a − b mit a ∈ J12 und b ∈ J21. Entsprechend gilt Df2 = −a + b. Dies folgt aus
den Derivationseigenschaften.
Definition:
Sei D0 ⊆ De(O) die Unteralgebra von Der(O) mit Df1 = Df2 = 0 für alle D ∈ D0.
Satz 38:
D0 operiert auf J12 und J21. Die Darstellung von D0 auf J12 ist die Standard-Darstellung von sl(3, C). Die
Darstellung auf J21 ist die duale Darstellung. Die Folgerung hieraus ist, dass D0 sl(3, C).
Definition:
Es sei Lx: O ↦→ OP mit v ↦→ x · v und Rx : O ↦→ O mit v ↦→ v · x. (Links- und Rechtsmultiplikation).
Dx,y := [Lx, Ly] + [Lx, Ry] + [Rx, Ry] ∈ Der(O)
Dies ist richtig für jede alternative Algebra. Aus a ∈ J12 gilt Df1,af1 = a. Dies folgt durch Einsetzen und mit
f 2 1 = 1. Außerdem gilt analog für b ∈ J21: Df2,bf2 = b. Auf diese Art und Weise erhalten wir Untervektorräume
von Derivationen:
D12 = {Df1,a|a ∈ J12} ⊆ Der(O)
D21 = {Df2,b|b ∈ J21} ⊆ Der(O)
50

Satz 39:
6.2. PIERCE-ZERLEGUNG IN O
Es gilt Der(O) = D0 + D12 + D21. Jede Derivation zerfällt in Derivationen vom obigen Typ. (Der Beweis
folgt elementar aus der Definition heraus.) Die Unterräume D12 und D21 sind invariant unter der adjungierten
Darstellung von D0 und die Darstellungen sind isomorph zu J12 und J21 (als D0).
[D0, Dl1,a] = D l1,D0(a)
51

KAPITEL 6. REALISIERUNG DER LIE-ALGEBRA G2
52

Kapitel 7
Struktur halbeinfacher Lie-Algebren
und ihre Klassifikation durch die
Wurzelsysteme
Wir haben halbeinfache Lie-Algebren und Cartan-Unteralgebren untersucht. Danach sind wir auf die Wurzelsysteme
gekommen, haben und mit Basen und Weyl-Gruppen beschäftigt. Jetzt schlagen wir den Bogen
zurück und versuchen, halbeinfache Lie-Algebren mittels ihrer Wurzelsysteme zu klassifizieren.
7.1 Borel-Unteralgebren
Sei G eine halbeinfache Lie-Algebra über C und h ⊆ G eine Cartan-Unteralgebra. R = R(G, h) sei das
Wurzelsystem zu G und h. In diesem Wurzelsystem S können wir eine Basis wählen und die Wurzeln nach
R = R + ∪ R − in positive und negative Wurzeln zerlegen. Dies führt zu einer neuen Anwendung, nämlich zu
den Borel-Unteralgebren. Wir definieren:
n =
Gα und n − :=
α∈R
α>0
Satz 39:
α∈R
α

KAPITEL 7. STRUKTUR HALBEINFACHER LIE-ALGEBREN UND IHRE KLASSIFIKATION
DURCH DIE WURZELSYSTEME
Als Übung:
B
A =
D
C
E
und h =
Beweis:
Dn
−Dn
i.) Die Zerlegung G = n ⊕ h ⊕ n − ist klar.
ii.) n ist eine Unteralgebra.
Aus X ∈ G α , α ∈ R + , Y ∈ G β und β ∈ R + folgt
[X, Y ] ∈ G α+β mit α + β ∈ R +
und daraus ergibt sich wiederum G α+β ⊆ n und [X, Y ] ∈ n.
iii.) ad(X) mit X ∈ n ist nilpotent.
Es gilt ad(X) k (Y ) = 0 für alle Y ∈ G und k groß genug. Es reicht anzunehmen, dass Y ∈ G β und β ∈ h ⋆ .
ad(X) k (Y ) ∈
α1...αk
αi>0
G β+α1+α2+...+αk für X ∈ n
Da R endlich ist, folgt β + α1 + α2 + . . . + αk /∈ R für k groß genug. Damit ist ad(X) k (Y ) = 0. q.e.d.
Bemerkung (Borel-Mirnov):
Alle Borel-Unteralgebren von G, sogar jede regulär auflösbare Unteralgebra ist durch einen inneren
Automorphismus zu b konjugiert.
Weyl-Basen von G
Sei S eine Basis von R mit S = {α1, . . . , αn} mit n = rang(G) = dim(h). Es sei Hi ∈ h, αi(Hi) = 2,
Sαi(β) = β − β(Hi)αi und Xi ∈ Gαi, Yi ∈ G−αi. Außerdem ist [Xi, Yi] = Hi und sl(2, C) 〈Xi, Yi, Hi〉 und
nij = αi(Hj) ∈ Z, wobei (nij) die Cartan-Matrix von R ist.
Satz 40:
a.) Die Lie-Algebra G wird von den Elementen Xi, Yi und Hi für i = 1, . . ., n erzeugt (als Lie-Algebra). Man
spricht von der Weyl-Basis, wobei ” Basis“ nicht im Sinne von einer ” Vektorraumbasis“ zu verstehen ist.
b.) Es gelten die Weyl-Relationen [Xi, Yi] = Hi und [Xi, Yi] = 0 für i = j, [Hi, Hj] = 0, [Hi, Xj] = nijXj
und [Hi, Yj] = −nijYj (Spezialfall: [Hi, Xi] = 2Xi, [Hi, Yi] = −2Yi).
c.) Ferner gelten die Relationen (für n und n − ) ad(Xi) −nij+1 (Xj) = 0 und ad(Yi) −nij+1 (Yj) = 0 jeweils für
i = j.
Beweis:
a.) Es reicht zu zeigen, dass n von den Xi erzeugt wird und analog n − von den Yi. Sei X ∈ G α für α ∈ R + .
Wir zeigen, dass X im Erzeugnis der Xi liegt. Es sei dazu α = γ1 + . . . + γk für γi ∈ S und i = 1,
. . ., k. Es gilt für j ≤ k, dass γ1 + . . . + γj ∈ R + ist. γj ist von der Form γj = α i(j) mit α i(j) ∈ S und
x(j) := x i(α(j)).
[X (k), [X (k−1), [. . . [X (2), X (1)] . . .]]] ∈ G α
Der Fakt ist, dass Y = 0! Für α ∈ R, β ∈ R und α + β ∈ R gilt ad(Xα): Gβ
Konsequenz aus der Darstellungstheorie, Sα sl(2, C)).
−→ Gβ+α. (Dies war eine
b.) Außer [Xi, Yj] = 0 für i = j folgen alle Weyl-Relationen auf der Definition der Basis. Es gilt [Xi, Yj] ∈
G αi−αj = {0}, da R = R +
S
∪ R−
S . Es ist αi − αj /∈ R.
c.) Es ist ad(Xi) −nij+1 (Yj) ∈ G −nijαi+αi+αj ≡ G δ .
Der Trick ist, δ als Spiegelung einer gemischten Kombination darzustellen, nämlich durch δ = Sαi(αj−αi).
Es ist jedoch αj − αi /∈ R und damit ist δ /∈ R, da eine Spiegelung eine Wurzel in eine Wurzel überführen
muss.
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Theorem 8:
7.2. HAUPTSÄTZE
Die Weyl-Relationen und die Relationen c.) für n und n − legen die Lie-Algebra G bis auf Isomorphie fest.
Das heißt, G ist ein Quotient der freien Lie-Algebra von WB erzeugt dividiert durch das Ideal J in Q(Wb)
erzeugt von den Weyl-Relationen b.) und den Relationen c.), also G = Q(Wb)/J(b, c).
7.2 Hauptsätze
Theorem 9:
Die Lie-Algebra G ist durch das Wurzel-System R bis auf Isomorphie bestimmt. (Wenn wir G und G ′ mit den
Wurzelsystemen R und R ′ haben und R R ′ gilt, dann ist G isomorph zu G ′ .
Die beiden Systeme von Weyl-Relationen werden ineinander überführt, da diese nur von den Wurzelsystemen
abhängen.
Theorem 10:
Zu jedem Wurzelsystem R existiert eine halbeinfache Lie-Algebra G, so dass R = R(G, h). Es gilt dim(G) =
n + |R|, wobei n = Rang(G) = dim(h) und |R| die Anzahl der Wurzeln ist.
Dies sind die beiden Hauptresultate, welche unsere Theorie abschließen.
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