Aufgabe 1 - TUM Informatik III: Datenbanksysteme

Lösung von Blatt Nr. 4
Aufgabe 1
Eine 1:1-Beziehung der Art
TU München, Fakultät für Informatik
Lehrstuhl III: Datenbanksysteme
Prof. Alfons Kemper, Ph.D.
Übung zur Vorlesung Datenbanksysteme im WS05/06
Richard Kuntschke (Richard.Kuntschke@in.tum.de)
Martin Wimmer (Martin.Wimmer@in.tum.de)
1
(0, 1)
1
(0, 1)
E1 R E2
kann man sowohl durch Übernahme des Primärschlüssels von E2 (als Fremdschlüssel) in E1
als auch umgekehrt modellieren. Wenn die Beziehung aber nur für wenige Elemente von E1
definiert ist, enthält die Relation viele Tupel mit Null-Werten für diesen Fremdschlüssel.
Geben Sie Beispiele aus der realen Welt, wo dies der Fall ist und man die Beziehungen deshalb
besser in E2 repräsentiert.
Geben Sie Beispiele, wo es sowohl für E1 als auch für E2 viele Elemente gibt, die die Beziehung
R nicht ” eingehen“. Diskutieren Sie für diesen Fall die Vor- und Nachteile einer separaten
Repräsentation der Beziehung als eigenständige Relation.
Lösung
Mögliche Umsetzungen ins relationale Modell:
• Übernahme des Schlüssels von E2 als Fremdschlüssel in E1:
E1 : {[Primärschlüssel von E1 : D1, . . . , Fremdschlüssel von E2 : D2]}
E2 : {[Primärschlüssel von E2 : D2, . . .]}
• Übernahme des Schlüssels von E1 als Fremdschlüssel in E2 (symmetrisch zur ersten
Möglichkeit):
E1 : {[Primärschlüssel von E1 : D1, . . .]}
E2 : {[Primärschlüssel von E2 : D2, . . . , Fremdschlüssel von E1 : D1]}
• Modellierung der Beziehung als separate Relation:
bzw.
E1 : {[Primärschlüssel von E1 : D1, . . .]}
E2 : {[Primärschlüssel von E2 : D2, . . .]}
R : {[Fremdschlüssel von E1 : D1, Fremdschlüssel von E2 : D2]}
R : {[Fremdschlüssel von E1 : D1, Fremdschlüssel von E2 : D2]}
1

Erstes Beispiel
Modellierung der Ministerpräsidenten der Bundesländer:
1 1
Bundesland ist_Ministerpräsident
Person
Eine relativ schlechte Umsetzung ist:
Bundesland : {[Name : string, . . .]}
Person : {[SozVersNr : string, Name : string, MinisterpräsidentVon : string]}
Diese hat den Nachteil vieler Nullwerte für das Attribut MinisterpräsidentVon.
Eine bessere Umsetzung, bei der Nullwerte vermieden werden, ist:
Zweites Beispiel
Bundesland : {[Name : string, . . . , Ministerpräsident : string]}
Modellierung von Eheschließungen:
Person : {[SozVersNr : string, Name : string]}
1 1
Männer verheiratetMit
Frauen
Möglichkeiten, dies in das relationale Modell überzuführen, sind:
oder
Männer : {[Name : string, . . . , verheiratetMit : string]}
Frauen : {[Name : string, . . .]}
Männer : {[Name : string, . . .]}
Frauen : {[Name : string, . . . , verheiratetMit : string]}
Zudem kann der Beziehungstyp auch als eigene Relation im relationalen Modell realisiert
werden:
Männer : {[Name : string, . . .]}
Frauen : {[Name : string, . . .]}
verheiratetMit : {[FName : string, MName : string]} und
verheiratetMit : {[FName : string, MName : string]}
Man muss für die Relation verheiratetMit tatsächlich beide Schlüsselkandidaten angeben,
um die 1 : 1-Beziehung ausdrücken zu können. Wählt man z.B. nur FName als Schlüsselkandidaten
aus, so ist es möglich, dass ein Mann mit mehreren Frauen verheiratet ist. Die
Konsistenzbedingung wäre damit verletzt.
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Hinweis: Damit ist nicht gemeint, dass {FName, MName} den Schlüssel bildet – denn damit
würde man eine allgemeine N : M-Beziehung modellieren. Vielmehr müssen beide Schlüsselinformationen
in der Datenbank getrennt realisiert werden (man wählt z.B. FName als
primary key und setzt bzgl. MName das Constraint unique).
Vergleicht man die dritte Realisierung mit den beiden vorangegangenen, so ergeben sich
folgende Vorteile:
• keine Nullwerte bei Personen, die nicht verheiratet sind,
• schnelleres Durchsuchen der Beziehung (mit Indexunterstützung),
• die Suche nach Ehepartnern wird in beide Richtungen gleich gut unterstützt,
Abhängig von der tatsächlichen Ausprägung kann sowohl die eine, wie auch die andere
Realisierung eine Speicherplatzersparnis bewirken, so dass dies weder als Vorteil noch als
Nachteil gewertet wird.
Aufgabe 2
Finden Sie die Studenten, die Vorlesungen hören (bzw. gehört haben), für die ihnen die direkten
Voraussetzungen fehlen. Formulieren Sie die Anfrage
• in der Relationenalgebra,
• im relationalen Tupelkalkül und
• im relationalen Domänenkalkül.
Erweitern Sie die oben gefundene Menge von Studenten um diejenigen, denen für eine gehörte
Vorlesung die indirekten Grundlagen 2. Stufe (also die Vorgänger der Vorgänger der Vorlesung)
fehlen. Kommt da was anderes heraus?
Illustrieren Sie die Auswertung am Beispiel der Universitätsdatenbank.
Für die Relationenalgebra sollten Sie die Anfrage auch als Operatorbaum aufzeichnen.
Lösung
Formulierung in relationaler Algebra
1. Wir konstruieren eine hypothetische Ausprägung der Relation hören, die gelten müsste,
wenn alle Studenten alle benötigten Vorgängervorlesungen hören.
2. Von dieser Menge ziehen wir die tatsächliche Ausprägung von hören ab, so dass diejenigen
Einträge übrigbleiben, bei denen ein Student die Vorgängervorlesung nicht hört
(bzw. gehört hat).
R := (ρVorlNr←Vorgänger(ΠMatrNr,Vorgänger(hören VorlNr=Nachfolger voraussetzen))
−hören) Studenten
Abbildung 1 zeigt den zugehörigen Operatorbaum
3

Formulierung im Tupelkalkül
ΠMatrNr,Vorgnger
−
VorlNr=Nachfolger
hören voraussetzen
Studenten
hören
Abbildung 1: Operatorbaum
1. Wir selektieren die Studenten, die überhaupt eine Vorlesung hören (1. Existenzquantor).
2. Wir wählen davon die Studenten aus, die eine Vorlesung hören, die einen Vorgänger
hat (2. Existenzquantor).
3. Wir fordern dann, dass die bisher ausgewählten Studenten diese Vorgängervorlesung
nicht hören (negierter Existenzquantor).
{s |s ∈ Studenten ∧ ∃ h ∈ hören
(h.MatrNr = s.MatrNr ∧ ∃ v ∈ voraussetzen
(h.VorlNr = v.Nachfolger ∧ ¬∃ h1 ∈ hören
(h1.VorlNr = v.Vorgänger ∧ h1.MatrNr = s.MatrNr)))}
Formulierung im Domänenkalkül
Das Vorgehen ist analog zu dem beim relationalen Tupelkalkül. Unterschiede sind:
1. Quantoren beziehen sich auf Domänenvariablen anstatt auf Tupelvariablen.
2. Joinbedingungen können über Wiederverwendung von Domänenvariablen in Tupelkonstruktoren
ausgedrückt werden, um somit Gleichheit von Variablen auszudrücken.
3. Da über schon gebundene Domänenvariablen die hören-Tupel konstruiert werden können,
die zu einem Ergebnis-Studenten nicht existieren dürfen, entfällt das ¬∃ hier.
{[m,n] |∃ s([m,n,s] ∈ Studenten ∧ ∃ w([m,w] ∈ hören∧
∃ v([v,w] ∈ voraussetzen ∧ ¬([m,v] ∈ hören))))}
Wenn die bisher bestimmten Anfrageergebnisse um die Studenten erweitert werden sollen,
denen die indirekten Grundlagen 2. Stufe zu gehörten Vorlesungen fehlen, ergibt sich keine
andere Menge.
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Dazu betrachten wir eine Vorlesung v0 mit der direkten Voraussetzung v1 und der indirekten
Voraussetzung v2.
v0 → v1 → v2
Nehmen wir an, dass ein Student / eine Studentin s v0 hört, aber nicht v2.
Die Behauptung ist nun, dass der Student / die Studentin s bereits eine direkte Voraussetzung
nicht hört und deswegen schon in dem bisherigen Anfrageergebnis enthalten ist.
1. Fall Hört s v1, so ist v2 die direkte Voraussetzung zu v1 und die Behauptung ist wahr.
2. Fall Hört s v1 nicht, so fehlt ihm/ihr die direkte Voraussetzung zu v0 und die Behauptung
ist wahr.
Aufgabe 3
Finden Sie die Assistenten von Professoren, die den Studenten Fichte unterrichtet haben – z.B.
als potentielle Betreuer seiner Diplomarbeit.
Formulieren Sie die Anfrage in relationaler Algebra.
Lösung
Folgende Abfrage bildet zuerst das Kreuzprodukt über alle beteiligten Relationen, d.h. Studenten,
Vorlesungen, Assistenten und hören. Anschließend erfolgt eine umfangreiche Selektion,
die die auf Fichte zugeschnittenen Tupel extrahiert.
Πa.PersNr, a.Name(σa.Boss=v.gelesenVon ∧ v.VorlNr=h.VorlNr ∧ h.MatrNr=s.MatrNr ∧ s.Name=’Fichte’
(ρa(Assistenten) × ρs(Studenten) × ρv(Vorlesungen) × ρh(hören)))
Die Bildung des Kreuzprodukts gilt es, falls möglich, zu vermeiden, da dadurch möglicherweise
sehr große Zwischenergebnisse gebildet werden, was zu Leistungseinbußen während der
Anfragebearbeitung führen kann. Folgende Anfrage berechnet dieselbe Ergebnismenge, setzt
jedoch bereits Optimierungstechniken, wie frühe Selektion und den (natürlichen) Verbundoperator
ein.
Aufgabe 4
ΠPersNr, Name((ΠPersNr, Name, VorlNr(Assistenten Boss=gelesenVon Vorlesungen))
(ΠVorlNr(σName=’Fichte’(Studenten) hören)))
Beweisen Sie, dass der natürliche Verbundoperator assoziativ ist.
Gilt das auch für den linken (bzw. rechten) äußeren Join und die Semi-Joins?
Lösung
Behauptung 1. R (S T ) = (R S) T
5

Beweis.
Sei x ∈ R (S T )
S
R
⇔ ∃r ∈ R, y ∈ S T : x.R = r ∧ x.(S ∪ T ) = y (d.h. x = [ry])
r.(R ∩ S) = y.(R ∩ S) r.(R ∩ (S ∪ T )) =
T
r.(R ∩ T ) = y.(R ∩ T )
⇔ ∃r ∈ R, s ∈ S, t ∈ T : r.(R ∩ S) = [st].(R ∩ S) ∧
r.(R ∩ T ) = [st].(R ∩ T ) ∧
s.(S ∩ T ) = t.(S ∩ T ) ∧
x = [rst]
⇔ ∃r ∈ R, s ∈ S, t ∈ T : r.(R ∩ S) = s.(R ∩ S) ∧
r.(R ∩ T ) = t.(R ∩ T ) ∧
s.(S ∩ T ) = t.(S ∩ T ) ∧
x = [rst]
y.(R ∩ (S ∪ T ))
⇔ ∃z ∈ R S, t ∈ T : z.((R ∪ S) ∩ T ) = t.((R ∪ S) ∩ T ) ∧
⇔ x ∈ (R S) T
x = [zt]
Behauptung 2. Linker und rechter äußerer Join sind nicht assoziativ.
Beweis. Beweis durch Gegenbeispiel:
R
U V
a b
S
U W
c d
T
V W
b e
(R S) T = {(a, b, −, e)}
R (S T ) = {(a, b, −, −)}
Behauptung 3. Semi-Joins sind ebenfalls nicht assoziativ.
Beweis. Beweis durch Gegenbeispiel:
6

R
U V
a b
S
V W
b c
(R S) T = {(a, b)}
R (S T ) = ∅
7
T
W U
d a