Ausarbeitung über das 2-Sat Problem - Arbeitsbereich für ...

Ausarbeitung über das
2-Sat Problem
Myriam Ezzedine, 0326943
Anton Ksernofontov, 0327064
Jürgen Platzer, 0025360
Nataliya Sokolovska, 0326991

1. Die Problemstellung
Es ist ein effizienter Algorithmus, der das 2-Sat Problem löst, anzugeben. Bei diesem Problem
ist eine Boolesche Formel in konjunktiver Normalform gegeben, die aus Klauseln besteht, die
maximal 2 Literale enthalten. Die Formel ist erfüllt, wenn aus jeder Klausel mindestens ein
Literal den Wert true hat. Der zu suchende Algorithmus soll für eine solche Formel in
polynomieller Zeit entscheiden, ob sie erfüllbar ist.
Beispiel:
F = (x1 ∨ x2) ∧ (¬x1 ∨ ¬x2)
F wird als Formel bezeichnet. (x1 ∨ x2) und (¬x1 ∨ ¬x2) sind Klauseln. x1, x2, ¬x1 und ¬x2 sind
Literale. Eine Formel liegt in konjunktiver Normalform vor, wenn die Literale in den
Klauseln nur durch die ODER-Operation und die Klauseln der Formel nur durch den UND-
Operator verbunden sind. Die Formel F heißt erfüllbar, wenn eine Variablenbelegung für x1
und x2 gefunden werden kann, so dass F zu true evaluiert. F heißt unerfüllbar, wenn F mit
jeder Variablenbelegung zu false evaluiert.
In diesem Beispiel ist F erfüllbar, da F für eine Variablenbelegung von x1 = 0 und x2 = 1 zu
true evaluiert.
2. Grundlegende Definitionen
Um das 2-Sat Problem zu lösen, führen wir eine Abbildung der Formel auf einen Graphen
durch. Das Ziel ist es einen Algorithmus auf einem Graphen zu definieren, der das 2-Sat
Problem in polynomieller Zeit löst. Darum wollen wir an dieser Stelle einige grundlegende
Definitionen bezüglich Graphen anführen.
Ein Graph G wird definiert durch ein Paar (V, E), wobei V eine endliche Menge ist, deren
Elemente (v1, ..., vn) die Knoten (engl. vertices, nodes) des Graphen G repräsentieren. Die
Menge E besteht aus Paaren von Knoten. Sind diese geordnet (E ⊆ V × V), so spricht man
von einem gerichteten Graphen, liegen ungeordnete Knotenpaare vor, so spricht man von
einem ungerichteten Graphen. E repräsentiert die Menge der gerichteten bzw. ungerichteten
Kanten (engl. edges) im Graphen G.
Da wir für unseren Lösungsalgorithmus einen gerichteten Graphen benötigen, werden wir uns
für die weiteren Definitionen ein Element e der Menge E als geordnetes Paar (u,v) mit u, v ∈
V auffassen, wobei u als der Anfangs- und v als der Endknoten der Kante e bezeichnet wird.
Die Abbildung α: E → V liefert den Anfangsknoten der Kanten zurück, während die
Abbildung β: E → V die Endknoten der Kanten aus E retourniert. Ein Knoten u heißt
Vorgänger eines Knoten v genau dann, wenn e = (u, v) ∈ E ist, d.h. wenn es eine gerichtete
Kante von u nach v gibt. Ein Knoten v heißt Nachfolger eines Knoten u genau dann, wenn u
Vorgänger von v ist. Es gibt einen Weg von einem Knoten u zu einem Knoten v genau dann,
wenn es eine Folge e1, ..., en von Kanten gibt mit α( e1) = u, β( en) = v und α( ei) = β( ei-1) für i
= 2,...,n. Zwei Knoten u, v liegen in derselben starken Zusammenhangskomponente genau
dann, wenn es einen Weg von u zu v und einen Weg von v zu u gibt.

3. Konzept für einen Algorithmus
1. Es ist ein 2-Sat Problem mit n Variablen x1, ..., xn gegeben.
2. Man definiert einen Graphen G = (V, E), wobei als Knoten x1, ¬x1, ..., xn, ¬xn
herangezogen werden. Es liegen also 2n Knoten im Graphen G vor.
3. Die Elemente der Kantenmenge E wird folgendermaßen definiert: Enthält die
Formel F des 2-Sat Problems die Klausel (xi ∨ xj), so enthält E die Kante (¬xi, xj)
und (aufgrund der Kommutativität von ∨) die Kante (¬xj, xi).
4. Die Formel F des 2-Sat Problems ist genau dann erfüllbar, wenn es kein Literal xi gibt,
so dass xi und ¬xi in derselben starken Zusammenhangskomponente liegen.
Beispiele:
F = (x1 ∨ x2) ∧ (¬x1 ∨ ¬x2)
Dies ist das Beispiel aus dem 1. Kapitel. Dabei haben wir festgestellt, dass F erfüllbar ist. Es
dürfen daher x1 und ¬x1, sowie x2 und ¬x2 nicht in einer starken Zusammenhangskomponente
des Graphen G, den wir nun erstellen, liegen.
Um den Graphen G zu erstellen, muss man zunächst wissen, welche Knoten in dem Graphen
G liegen. In unserem Beispiel sind es die Knoten: x1, x2, ¬x1 und ¬x2.
Im nächsten Schritt sind die Kanten des Graphen G zu ermitteln. Hierfür betrachtet man jede
Klausel separat, und leitet daraus die benötigten Kanten ab. Hierfür kann man folgende
Merkregel anwenden: Pro Klausel werden 2 Kanten erstellt. Für die erste Kante gilt: Erstes
Literal negiert nach zweites Literal. Für die zweite Kante gilt: Zweites Literal negiert nach
erstem Literal.
Für die Klausel (x1 ∨ x2) erhalten wir also die Kanten (¬x1, x2) und (¬x2, x1). Für die Klausel
(¬x1 ∨ ¬x2) erhält man die Kanten (x1, ¬x2) und (x2, ¬x1).
Der Graph G hat somit folgendes Aussehen:
Abbildung 1: Graph G
Man kann aus Abbildung 1 erkennen, dass kein Weg von x1 nach ¬x1 und auch kein Weg von
x2 nach ¬x2 führt. Somit stehen die inversen Literale zueinander in keiner starken
Zusammenhangskomponente und die Formel F wird von dem Algorithmus als erfüllbar
deklariert.

In einem zweiten Beispiel sei nun die unerfüllbare Formel
gegeben.
D = (¬x1 ∨ x2) ∧ (x1 ∨ ¬x2) ∧ (¬x1 ∨ ¬x2) ∧ (x1 ∨ x2)
Die Knotenmenge V ist wieder ident zum Graphen G aus dem ersten Beispiel. Aus den
Klauseln lassen sich aber nun folgende Kanten ableiten:
(x1, x2), (¬x2, ¬x1), (¬x1, ¬x2), (x2, x1), (x1, ¬x2), (x2, ¬x1), (¬x1, x2), (¬x2, x1)
Der daraus resultierende Graph H ist in Abbildung 2 ersichtlich:
Abbildung 2: Graph H
Aus Abbildung 2 kann man einen Weg von x1 über x2 nach ¬x1 erkennen. Ebenso kann man
von ¬x1 über x2 nach x1 gehen. x1 und ¬x1 liegen also in einer starken
Zusammenhangskomponente. Dasselbe gilt auch für x2 und ¬x2. Der Algorithmus deklariert
demnach Formel D als nicht erfüllbar.

4. Begründung für die Gültigkeit des Algorithmus
Die logischen Operatoren ∨ (ODER) und ⇒ (IMPLIKATION) sind folgendermaßen definiert:
∨ true false
true true true
false true false
⇒ true false
true true false
false true true
Somit kann man mittels einer Wahrheitstafel zeigen, dass (x ∨ y) äquivalent zu (¬x ⇒ y) und
(¬y ⇒ x) ist.
x y x ∨ y ¬x ⇒ y ¬x ⇒ x x ⇒ ¬x
false false false false false true
false true true true false true
true false true true true false
true true true true true false
In unserem Graphen entsprechen die Kanten bijektiv den Implikationsklauseln. Gibt es also in
einem Graphen einen Weg von Knoten x nach Knoten y, so bedeutet dies:
x ⇒ ... ⇒ y
Daraus folgt, dass wenn x mit 1 belegt wird, auch y mit 1 belegt sein muss. Existiert nun aber
ein Weg von x nach ¬x und von ¬x nach x gibt, so gibt es keine Variablenbelegung, die
x ⇒ ... ⇒ ¬x ⇒ ... ⇒ x
erfüllt. (Aus den letzten beiden Spalten der Wahrheitstafel kann man erkennen, dass ein Weg
in beide Richtungen existieren muss, damit keine Variablenbelegung gefunden werden kann,
um die Formel zu erfüllen.)
Der Beweis selbst erfolgt mittels Induktion. (Induktionsstart: n = 1: (x ∨ x) ∧ (¬x ∨ ¬x))

5. Beschreibung des Algorithmus
Zunächst muss der Graph aus der Formel des 2-Sat Problems erstellt werden. Dabei werden
die Literale in ihrer positiven und negativen Belegung herangezogen. Existieren also n
Literale, so enthält der Graph 2n Knoten. Zu der Kantenmenge E werden pro Klausel 2
Kanten hinzugefügt.
Anschließend wird mittels Tiefensuche (Depth-First-Search, DFS) nach den starken
Zusammenhangskomponenten im Graph gesucht. Liegt ein Knoten x mit dem Knoten ¬x in
derselben starken Zusammenhangskomponente, so ist die Formel unerfüllbar.
Allerdings ist die Implementierung der Tiefensuche für einen gerichteten Graphen nicht so
einfach wie für ungerichtete. Deshalb kann man alternativ auch für jeden "positiven" Knoten
zunächst mittels Tiefensuche überprüfen, ob ein Weg zu seinem "negativen" Pendant führt. Ist
dies der Fall, so wird nun mittels Tiefensuche überprüft, ob ein Weg vom "negativen" Knoten
zum "positiven" führt. Ist dies der Fall, so wird der Algorithmus abgebrochen und die Formel
als unerfüllbar erklärt.
Wurde bereits vom "positiven" Knoten kein Weg zum "negativen" gefunden, so kann der
Knoten der nächsten Variable untersucht werden. Muss auch überprüft werden, ob vom
"negativen" Knoten ein Weg zum "positiven" führt, und man feststellt, dass dies nicht der Fall
ist, so wird die gesamte Prozedur auf den Knoten der nächsten Variable angewandt.
6. Analyse des Algorithmus
Sei n die Anzahl der Literale und k die Anzahl der Klauseln, so kann der Graph in einer
Adjazenznmatrix der Größe 4n² abgespeichert werden. In der Matrix werden für jede Klausel
2 Eins-Einträge gesetzt. (Die Adjazenzmatrix hat somit 2k Eins-Einträge).
Die Laufzeit für die Tiefensuche, um starke Zusammenhangskomponenten im Graphen zu
finden, liegt in Θ (2n + 2k). Wenn man hingegen, die alternative Prozedur heranzieht, so wird
im worst case für jeden positiven und jeden negativen Knoten eine Tiefensuche gestartet. Die
Laufzeit dafür liegt in O(2n*(2n+2k)) = O(4n² + 4nk).
7. Quellen
• Algorithmen zu 2-Sat und 3-Sat
von Hendrik Siedschlag
www-info1.informatik.uni-wuerzburg.de/staff/schaefer/lehre/PPIWS0102/ergebnisse/03.pdf
• Folien zu Theoretischer Informatik 2 (Informatik Lehramt)
von Stefan Schirra
http://isgwww.cs.uni-magdeburg.de/ag/lehre/SS2003/ThInf/slides/Ch6.pdf
• Skriptum zur Vorlesung:
Algorithmen und Datenstrukturen 2 (Wintersemester 2001 /2002)
von Univ.-Prof. Dr. Petra Mutzel und Ass.-Prof. Dr. Günther Raidl