Aufgabe 9

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6 LM1A2.nb Es gilt z 0 z z x 2 y y 2 0 . Hieraus folgt z z J x z N z z Hcos sin L z cos z sin x y • Falls z in Polardarstellung bzw. in Exponentialdarstellung vorliegt, also |z| und bekannt ist, so erhält man durch Einsetzen dieser beiden Größen (letztes Gleichheitszeichen) den Realteil x z cos und den Imaginärteil y z sin , also die kartesische Darstellung z x y • Falls andereseits z in kartesischer Darstellung vorliegt, also x und y bekannt ist, so erhält man z gemäß z x 2 y 2 . Für das unbekannte Argument ergeben sich die beiden folgenden Bestimmungsgleichungen (zweites Gleichheitszeichen). x x y y cos und sin z z x 2 y 2 Das Argument ist durch diese beiden Gleichungen bis auf Addition ganzzahliger Vielfache von 2 eindeutig bestimmt: z liefert dieselbe komplexe Zahl wie z Praktisch kann man wie folgt bestimmen: x 2 y 2 k 2 mit k Man berechnet mit dem Taschenrechner mit der ersten Gleichung arccos dann die beiden Lösungen und möglich (Basislösungen, vgl. <strong>Aufgabe</strong> 9). Anschaulich ist klar: falls y 0 falls y 0 x x 2 y 2 . Für sind a) Der Vorteil der komplexen Zahlen in der kartesichen Darstellung liegt darin, dass man mit den Zahlen der Form z x i y nach denselben formalen Regeln addieren und multiplizieren kann wie man es von den reellen Zahlen her gewohnt ist, wenn man nur jeweils 2 = −1 beachtet. a1) z3 4 4 4 z2 1 3 2 4 2 2 4 a1) z 1 z 2 H3 2 L H 1 3 L 3 2 1 3 H3 1L H 2 3 L 2 a2) z 2 z 1 1 3 H3 2 L 4 5 a3) z 1 z 2 H3 2 L H 1 3 L 3 H 1L 3 3 H 2 L H 1L H 2 L 3 3 9 2 6 2 2 4 Im z1 3 2 Re 1 3 11 a4) Beseitigung der komplexen Zahl z 2 im Nenner des Bruches: Multiplikation des Bruches mit der zu z 2 1 3 konjugiert komplexen Zahl z 3 1 3 . Im neuen Nenner steht dann der Betrag von z 2 zum Quadrat, also z 2 2 : z 1 z 2 3 2 1 3 H3 2 L H 1 3 L H 1 3 L H 1 3 L 3 9 2 6 2 H 1L 2 H3L 2 b) b1) Polardarstellung bzw. Exponentialdarstellung von z z 1 z 2 2 z 2 2 1 2 5 arccosJ 2 5 9 7 10 9 10 7 10 N 0.463648 0.463648 , da y 1 0 ( 62.565 °L z 5 HcosH0.463648L sinH0.463648LL 5 0.463648 b2) Polardarstellung bzw. Exponentialdarstellung von z3 4 4 Lösung: z 3 4 2 (cos(− 3 π 4 3 π )+ sin(− )) 4 2 4 3 4
) b1) Polardarstellung bzw. Exponentialdarstellung von z z 1 z 2 2 z 2 2 1 2 5 arccosJ 2 5 N 0.463648 0.463648 , da y 1 0 ( 62.565 °L z 5 HcosH0.463648L sinH0.463648LL 5 0.463648 b2) Polardarstellung bzw. Exponentialdarstellung von z3 4 4 Lösung: z 3 4 2 (cos(− <strong>Aufgabe</strong> 12 3 π 4 3 π )+ sin(− )) 4 2 4 a) Die folgenden in kartesischer Darstellung gegebenen komplexen Zahlen sind in Polardarstellung bzw. Exponentialdarstellung anzugeben : a1L i a2L 1 a3L 1 a4L 1 i a5L 1 3 i a6L 4 3 i Beim Lösen von a1) bis a4) skkizieren Sie die jeweilige komplexe Zahl in der Gauss’schen Zahlebene und lesen dort dann das zugehörige Argument (also ohne Rechnung) direkt ab b) Geben Sie die folgenden komplexen Zahlen in kartesischer Darstellung und Polardarstellung bzw. Exponentialdarstellung an: b1L H1 iL 5 b2L H1 iL 14 J1 3 iN 7 a1) z a2) z 1 a3) z 1 a4) z 1 a5) z 1 3 1 »z» 1 Im 1 1 ê2 »z» 1 1 Im 1 1 ê2 1 »z» 1 1 1 1 Im Im »z» 2 1 1 z 1 3 z 1 2 z 2 2 1 Im »z» 2 4 0 1 1 ê3 wegen y 3 0 þ 3 2 Icos þ 4 1 Im 3 sin þ 4 M J 3 N 2 Re Re Re Re Re z 1 3 4 ê2 1 Icos 2 sin 2 M z 1 1 Hcos sin L z = 1 = 1 0 = HcosH0L + sin H0LL z 2 2 arccos I 1 M ê3 2 1 2 3 4 0.643501 36.8699° Re þ 4 2 Icos 4 sin 4 M LM1A2.nb 7
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Seite 9 und 10: werden sehen, dass es genau n Wurze
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