Differentialgleichungen (PDF)

Differentialgleichungen
Lineare Differentialgleichung 1. Ordnung
Gesucht sind die Funktionen yx, die in einem gegebenen Intervall I der folgenden Gleichung
genügen:
y ' x ax yx ⩵ bx
(mit stetigem ax und bx im Intervall I )
Bemerkung:
Es handelt sich hier um eine Lineare Differentialgleichung (Dgl.), weil die gesuchte Funktion und
deren Ableitung in der 1. Potenz, also linear vorkommen.
Es handelt sich um eine Differentialgleichung 1. Ordnung, da die höchste Ableitung der
gesuchten Funktion die Ordnung 1 besitzt.
Allgemein nennt man eine Differentialgleichung, in der die gesuchte Funktion und deren Ableitungen
nur in der ersten Potenz auftreten, eine linearen Dgl. Die Ordnung der höchsten Ableitung
der gesuchten Funktion heißt die Ordnung der Dgl.
Wir betrachten zunächst die zur obigen Differentialgleichung gehörende homogene Dgl., die wir
erhalten, wenn die rechte Seite bx ⩵ 0 setzen.
y ' x ax yx ⩵ 0
Wir bestimmen zunächst für diese homogene Dgl. eine Lösung.
Die triviale Lösung yx ⩵ 0 interessiert uns natürlich nicht. Wir suchen eine Lösung yx ≠ 0. Dazu
Trennen (Separieren) wir die Veränderlichen jeweils links und rechts vom Gleichheitszeichen:
y ' 1 y
⩵
a x
y ' 1 y x ⩵ ∫ a x x c
1
y ⩵ ∫ a x x c
y
ln y ⩵ ∫ a x x c
y ⩵ ± c ∫ ax x
y ⩵ C ∫ ax x ⩵ C ∫ x0
x
at t
Man zeigt leicht, dass jede Lösung der homogenen Dgl. y ' x ax yx ⩵ 0 die Gestalt
y h x ⩵ C ∫ ax x
hat.
Unter der "allgemeinen Lösung" der homogenen Dgl. ist natürlich die Lösungsmenge
C ∫ ax dx
C ∈ gemeint, für die man stellvertretend nur einen Repräsentanten hinschreibt
(analog zum unbestimmten Integral). Im folgenden bezeichnen wir mit y h 1 diejenige Lösung der
homgenen Dgl., in der C ⩵ 1 gewählt wird y h 1 x ⩵ ∫ ax x .
Wir versuchen jetzt eine Lösung der inhomogenen Dgl. y ' x ax yx ⩵ bx zu finden.
Dazu die folgende Vorbemerkung:
Wir gehen davon aus, dass wir eine partikuläre (spezielle) Lösung y p der inhomogenen Dgl. gefunden
haben. Für Sie gilt also y p ' ax y p ⩵ bx. Ist nun yx irgendeine “beliebige” Lösung der
inhomogen Dgl., so bilden wir mit dieser und der partikulären Lösung y p x die Differenzfunktion
dx ⩵ yx y p x und setzen diese in die linke Seite der Dgl. ein:
d ' x ax dx ⩵ yx y p x' ax yx y p x ⩵
y ' x y p ' x ax yx y p x ⩵ y ' x a x y x y p ' x a x y p x ⩵
Die Differenzfunktion dx ⩵ yx y p x ist also Lösung der homogenen Dgl. Es gilt also für eine
beliebige Lösung yx der inhomogenen Dgl. yx y p x ⩵ y h x bzw. yx ⩵ y h x y p x.
bx
bx
0

inhomogen Dgl., so bilden wir mit dieser und der partikulären Lösung y p x die Differenzfunktion
dx ⩵ yx y p x und setzen diese in die linke Seite der Dgl. ein:
d ' x ax dx ⩵ yx y p x' ax yx y p x ⩵
2 | Mathematik 2 für Fb B SS2012
y ' x y p ' x ax yx y p x ⩵ y ' x a x y x y p ' x a x y p x ⩵
Die Differenzfunktion dx ⩵ yx y p x ist also Lösung der homogenen Dgl. Es gilt also für eine
beliebige Lösung yx der inhomogenen Dgl. yx y p x ⩵ y h x bzw. yx ⩵ y h x y p x.
Allgemeine Lösung der inhomogenen Dgl. y ' x ax yx ⩵ bx
Man erhält alle Lösungen der Dgl. y ' x ax yx ⩵ bx indem man zu einer partikulären
Lösung y p x dieser Dgl. die allgemeine Lösung y h x der homogenen Dgl.
y h ' x ax y h x ⩵ 0 addiert:
bx
yx ⩵ y h x y p x ⩵ yx ⩵ y p x C ∫ ax x
bx
0
Die allgemeine Lösung der Dgl. y ' x ax yx ⩵ bx gewinnt man also in den folgenden drei
Schritten:
1. Man bestimmt die Lösung y h x der homogenen Dgl.: y h x ⩵ C ∫ ax x
2. Man bestimmt y p x ⩵ vx y h1 x ⩵ vx ∫ ax x .
Die Funktion vx gewinnt man dabei durch Integration von
v ' x ⩵ bx ⩵ bx ⩵ bx y h1 x ∫ ax x (ohne Integrationskonstante)
∫ ax x
3. yx ⩵ y h x y p x
Begründung zu 2.:
Zur Bestimmung einer partikülären Lösung macht man den Ansatz y p x ⩵ vx y h1 x. (Da bei
diesem Ansatz in der allgemeinen Lösung der homogenen Lösung y h x ⩵ C y h1 x die Konstante C
durch die Funktion vx ersetzt wird, wird diese Vorgehnsweise auch "Variation der Konstanten"
genannt)
Einsetzen von y p ' x ⩵ v ' x y h1 x vx y h1 ' x und y p x ⩵ vx y h1 x in die inhomogene Dgl. liefert:
v ' x y h1 x vx y h1 ' x ax vx y h1 x ⩵ v ' x y h1 x vx y h1 ' x a x y h1 x ⩵ bx
also v ' x y h1 x ⩵ bx bzw. v ' x ⩵ bx
y h1 x
Beispiel
Gegeben ist die Differentialgleichung y ' x 2 x yx ⩵ 4 x x2
a) Gesucht ist die allgemeine Lösung der Dgl.
b) Gesucht ist die Lösung der Dgl., die die Anfangsbedingung : y0 ⩵ 3 erfüllt.
⩵0
a)
1. Lösung der homogenen Dgl. y ' x 2 x yx ⩵ 0: y h x ⩵ C ∫ 2 x x ⩵ C x2
2. y p x ⩵ vx y h1 x ⩵ vx x2
v ' x ⩵ bx
y h1 x ⩵ 4 x x2
x2
vx ⩵ 4 x 2 x2 x
⩵ 4 x x2 x 2 ⩵ 4 x 2 x2
⩵
Subst. u⩵2 x 2
du⩵4 x dx
∫ u u ⩵ u ⩵ 2 x2
y p x ⩵ 2 x2 x2 ⩵ x2
3. yx ⩵ y h x y p x ⩵ C x2 x2
(Dabei schreibt man stellvertretend für die Menge C x2 x2
C ∈ nur den Repräsentanten
h_da Fb MN Dolejsky
C x2 x2 hin).
b)
y0 ⩵ 3:
Einsetzen der Anfangsbedingung in die allgemeine Lösung:
C 02 02 ⩵ C 1 ⩵ 3 C ⩵ 2 also yx ⩵ 2 x2 x2

y p x ⩵ 2 x2 x2 ⩵ x2
3. yx ⩵ y h x y p x ⩵ C x2 x2
(Dabei schreibt man stellvertretend für die Menge C x2 x2
Dgln.nb | 3
C ∈ nur den Repräsentanten
C x2 x2 hin).
b)
y0 ⩵ 3:
Einsetzen der Anfangsbedingung in die allgemeine Lösung:
C 02 02 ⩵ C 1 ⩵ 3 C ⩵ 2 also yx ⩵ 2 x2 x2
yx
5
4
y h x⩵C x2
yx
5
4
3
y p x
3
2
2
1
1
yx⩵C x2 x2
1.5 1.0 0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 x
1.5 1.0 0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 x
Beispiel
Gegeben ist wieder die Differentialgleichung y ' x ax yx ⩵ bx.
Allerdings ist der Koeffizient ax ⩵ Λ konstant, also eine reelle Zahl und bx vom “günstigen Typ”:
bx ⩵ b m x m b m1 x m1 ... a 1 x a 0 Α x ist also das Produkt aus einem Polynom und einer
Exponentialfunktion. Die Dgl. lautet somit
y ' x Λ yx ⩵ b m x m b m1 x m1 ... a 1 x a 0 Α x
1. Lösung der homogenen Dgl. y ' x Λ yx ⩵ 0: y h x ⩵ C ∫ Λ x ⩵ C Λ x
2. y p x ⩵ vx y h1 x ⩵ vx Λ x
v ' x ⩵ bx
y h1 x ⩵ bx
Λ x b m x m b m1 x m1 ... b 1 x b 0 ΛΑ x
Fallunterscheidungen:
Α ≠ Λ :
vx ⩵ ∫ b m x m b m1 x m1 ... b 1 x b 0 ΛΑ x x
B m x m B m1 x m1 ... B 1 x B 0 ΛΑ x
y p x ⩵ B m x m B m1 x m1 ... B 2 x 2 B 1 x 1 B 0 Α x
Herunterbrechen der Potenzen von x
durch mehrfache Partielle Integrationen
⩵
Α ⩵ Λ (Resonanzfall):
vx ⩵ ∫ b m x m
b m1 x m1 ... b 1 x b 0 dx ⩵
B m1 x m1 B m x m ... B 2 x 2 B 1 x 1 mit B k ⩵ b k1
k
k ⩵ 1, 2, ...., m 1
y p x ⩵B m x m B m1 x m1 ...
B 2 x 2 B Α
1 x Λ x ⩵ x B m x m B m1 x m1 ... B 1 x B 0 Α x
Man erkennt, dass in beiden Fällen ein Ansatz mit Typ der rechten Seite, also mit der Ansatzfunktion
B m x m B m1 x m1 ... B 1 x B 0 Α x Erfolg hat. Allerdings muss man im Resonanzfall
Α ⩵ Λ diesen Ansatz noch mit dem Faktor x multiplizieren.
Der Vorteil dieser Ansatzmethode kommt allerdings nur beim ersten Fall zum Tragen. Während
im zweiten Fall (Resonanzfall Α ⩵ Λ) bei der Bestimmung von vx nur ein Polynom zu integrieren
ist, muss man im Nicht-Resonanzfall das Produkt aus einem Polynom und der Funktion
ΛΑ x integrieren. In diesem Fall ist es ratsam, die meist äusserts zeitaufwändige Bestimmung
von vx durch mehrfache partielle Integration zu vermeiden, und mit einem Ansatz

y p x ⩵B m x m B m1 x m1 ...
B 2 x 2 B Α
1 x Λ x ⩵ x B m x m B m1 x m1 ... B 1 x B 0 Α x
Man erkennt, dass in beiden Fällen ein Ansatz mit Typ der rechten Seite, also mit der Ansatzfunktion
B m x m B m1 x m1 ... B 1 x B 0 Α x Erfolg hat. Allerdings muss man im Resonanzfall
4 | Mathematik 2 für Fb B SS2012
Α ⩵ Λ diesen Ansatz noch mit dem Faktor x multiplizieren.
Der Vorteil dieser Ansatzmethode kommt allerdings nur beim ersten Fall zum Tragen. Während
im zweiten Fall (Resonanzfall Α ⩵ Λ) bei der Bestimmung von vx nur ein Polynom zu integrieren
ist, muss man im Nicht-Resonanzfall das Produkt aus einem Polynom und der Funktion
ΛΑ x integrieren. In diesem Fall ist es ratsam, die meist äusserts zeitaufwändige Bestimmung
von vx durch mehrfache partielle Integration zu vermeiden, und mit einem Ansatz
y p x ⩵ B m x m B m1 x m1 ... B 2 x 2 B 1 x 1 B 0 Α x zu arbeiten. Man differenziert diesen
Ansatz und setzt y p ' x und y p x in die Differenzialgleichung ein:
y ' x Λ yx ⩵ b m x m b m1 x m1 ... a 1 x a 0 Α x ⩵ p m x Α x
Für die unbekannten Ansatzkoeffizienten B 0 , B 1 , ..., B m erhält man durch Koeffizientenvergleich
(Gleichstzen der Vorfaktoren der Funktionen x k Α x auf der linken und rechten Seite für
k ⩵ 0, 1, 2, ..., m ) ein lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen.
Achtung: Auch wenn im Polynom p m x der rechten rx ⩵ p m x Α x nicht alle Potenzen von x
vertreten sind, so müssen im Ansatz vom Typ der rechten Seite alle Potenzen von x aufgenommen
werden. Er lautet also immer
y p x ⩵ B m x m B m1 x m1 ... B 2 x 2 B 1 x 1 B 0 Α x ⩵ P m x Α x
Zahlenbeispiel:
Α ≠ Λ :
y ' x 2 yx ⩵ x 2 1 2 x
1. y h x ⩵ C 2 x
also Α ⩵ 2 ≠ 2 ⩵ Λ
2. Ansatz: y p x ⩵ B 2 x 2 B 1 x B 0 2 x
y p ' x ⩵ 2 B 2 x B 1 2 x 2 B 2 x 2 B 1 x B 0 2 x
⩵ 2 B 2 x 2 2 B 2 B 1 x B 1 2 B 0 2 x
Einsetzen in die Dgl. liefert
2 B 2 x 2 2 B 2 B 1 x B 1 2 B 0 2 x 2 B 2 x 2 B 1 x B 0 2 x ⩵ x 2 1 2 x 2 x ≠0
4 B 2 x 2 2 B 2 4 B 1 x B 1 4 B 0 ⩵ 1 x 2 0 x 1
2 B 2 ⩵ 1 B 2 ⩵ 1 4
2 B 2 4 B 1 ⩵ 0 B 1 ⩵ 1 2 B 2 ⩵ 1 8
B 1 3 B 0 ⩵ 1 B 0 ⩵ 7 32
3. yx ⩵ y h x y p x ⩵ C 2 x 1 4 x2 1 8 x 7 32 2 x
Α ⩵ Λ :
y ' x 2 yx ⩵ x 2 1 2 x
1. y h x ⩵ C 2 x
2. v ' x ⩵ x2 1 2 x
also Α ⩵ 2 ⩵ Λ
2 x ⩵ x 2 1 vx ⩵ 1 3 x3 x
y p x ⩵ 1 3 x3 x 2 x
3. yx ⩵ C 2 x 1 3 x3 x 2 x
h_da Fb MN Dolejsky
Auch hier führt natürlich ein Ansatz vom Typ der rechten Seite zum Erfolg. Allerdings liegt hier
Resonanz vor: Α ⩵ 2 ⩵ Λ was gleichbedeutend mit der Tatsache ist, dass die -Funktion in der
homogene Lösung y h x ⩵ C 2 x gleich der -Funktion in der rechten Seite bx ⩵ x 2 1 2 x .
Hier muss man also mit dem Resonanz-Ansatz arbeiten, den man aus dem Nicht-Resonanzansatz
durch Multiplikation mit dem Faktor x erhält.
Ansatz: y p x ⩵ x B 2 x 2 B 1 x B 0 2 x ⩵ B 2 x 3 B 1 x 2 B 0 x 2 x
Bestimmen Sie durch Einsetzen diese Ansatzes in die Dgl. die Lösung y p x, und überzeugen Sie
sich, wie mühsam dies im Vergleich zur obigen Lösung mit der direkten Integration von v ' x ist.

Resonanz vor: Α ⩵ 2 ⩵ Λ was gleichbedeutend mit der Tatsache ist, dass die -Funktion in der
homogene Lösung y h x ⩵ C 2 x gleich der -Funktion in der rechten Seite bx ⩵ x 2 1 2 x .
Hier muss man also mit dem Resonanz-Ansatz arbeiten, den man aus dem Nicht-Resonanzansatz
durch Multiplikation mit dem Faktor x erhält.
Ansatz: y p x ⩵ x B 2 x 2 B 1 x B 0 2 x ⩵ B 2 x 3 B 1 x 2 B 0 x 2 x
Dgln.nb | 5
Bestimmen Sie durch Einsetzen diese Ansatzes in die Dgl. die Lösung y p x, und überzeugen Sie
sich, wie mühsam dies im Vergleich zur obigen Lösung mit der direkten Integration von v ' x ist.
Lineare Differentialgleichung 2. Ordnung
Bei der Suche nach der “allgemeinen Lösung” einer Lineare Differentialgleichungen 2.Ordnung
a 2 x y '' x a 1 x y ' x a 0 x yx ⩵ bx
geht man nach dem Schema vor, das beim Lösen einer Linearen Dgl. 1. Ordnung zum Erfolg führt:
Wegen der Linearität der Dgl. ist auch hier die allgemeine Lösung yx die Summe aus der allgemeinen
Lösung der homogenen Dgl. und einer partikulären (speziellen) Lösung der inhomogene
Dgl.:
yx ⩵ y h x y p x
Dabei ist y h x die allgemeine Lösung der homogene Dgl. a 2 x y h '' x a 1 x y h ' x a 0 x y h x ⩵ 0
und y p x eine partikuläre Lösung der inhomogenen Dgl.
a 2 x y p '' x a 1 x y p ' x a 0 x y p x ⩵ bx
Wir beschränken uns auf den Spezialfall, bei dem die Koeffizienten der Dgl. konstant sind, also
a 2 , a 1 , a 0 ∈ gilt. Auch für die rechte Seite lassen wir nur solche Funktionen zu, die vom günstigen
Typ, d.h. für die wir mit geschickten Ansätzen eine partikuläre Lösung bestimmen können.
1. Homogene Dgl.:
a 2 y '' x a 1 y ' x a 0 yx ⩵ 0 (bzw. y '' x a 1 y ' x a 0 yx ⩵ 0 )
Der Ansatz yx ⩵ A Λ x führt mit y ' x ⩵ A Λ Λ x und y '' x ⩵ A Λ 2 Λ x durch Einsetzen in die Dgl.
zu
a 2 Λ 2 a 1 Λ a 0 A Λ x ⩵ 0
A
Λ x ≠0
a2 Λ 2 a 1 Λ a 0 ⩵ 0 ( bzw. Λ 2 a 1 Λ a 0 ⩵ 0 )
also zur Bestimmung der Nullstellen des sogenannten charakteristischen Polynoms
ΧΛ ⩵ a 2 Λ 2 a 1 Λ a 0 (bzw. ΧΛ ⩵ Λ 2 a 1 Λ a 0 )
1. Fall: ΧΛ besitzt die beiden voneinander verschiedenen reellen Nullstellen Λ 1 und Λ 2
Dann ist sowohl C 1 Λ 1 x als auch C 2 Λ 2 x nach Ansatz Lösung der homogenen Dgl.
Anschaulich ist klar, dass C 1 Λ 1 x und C 2 Λ 2 x linear unabhängig sind, d.h. keine der beiden Funktionen
geht durch Multiplikation mit einer reellen Zahl aus der anderen hervor.
y h x ⩵ C 1 Λ 1 x C 2 Λ 2 x ist die allgemeine Lösung der homogenen Dgl.
2. Fall: ΧΛ besitzt die doppelte reellen Nullstellen Λ ⩵ Λ 1 ⩵ Λ 2
Dann ist sowohl C 1 Λ x als auch C 2 x Λ x Lösung der homogenen Dgl. (Nachrechnen)
Anschaulich ist klar, dass C 1 Λ x und C 2 x Λ x linear unabhängig sind, d.h. keine der beiden Funktionen
geht durch Multiplikation mit einer reellen Zahl aus der anderen hervor.
y h x ⩵ C 1 Λx C 2 x Λ x ist die allgemeine Lösung der homogenen Dgl.
3. Fall: ΧΛ besitzt das Paar konjugiert komplexer Nullstellen Λ 1 ⩵ Α Β und Λ 2 ⩵ Α Β
Dann ist sowohl C 1 Α x sinΒ x als auch C 2 Α x cosΒ x Lösung der homogenen Dgl.
(Nachrechnen)
Anschaulich ist klar, dass C 1 Α x sinΒ x und C 2 Α x cosΒ x linear unabhängig sind, d.h. keine der
beiden Funktionen geht durch Multiplikation mit einer reellen Zahl aus der anderen hervor.
y h x ⩵ C 1 Α x sinΒ x C 2 Α x cosΒ x ist die allgemeine Lösung der homogenen Dgl.

6 | Mathematik 2 für Fb B SS2012
Lösungsschema für die Dgl. a 2 y '' x a 1 y ' x a 0 yx ⩵ 0 bzw. y '' x a 1 y ' x a 0 yx ⩵ 0
1. Charakteristische Gleichung ΧΛ ⩵ a 2 Λ 2 a 1 Λ a 0 (bzw. ΧΛ ⩵ Λ 2 a 1 Λ a 0 ) aufstellen und
Nullstellen bestimmen
Λ 1,2 ⩵ a 1
2 a 2
± 1 2
a 1
a 2
2 4 a 0
a 2
(bzw. Λ 1,2 ⩵ a 1
2 ± 1 2
2. Die beiden linear unabhängigen y 1 x und y 2 x Lösungsbasis ergeben sich zu
y 1 x y 2 x
Λ 1 , Λ 2 ∈ Λ 1 ≠ Λ 2 Λ 1
Λ 2
Λ 1 , Λ 2 ∈ Λ 1 ⩵ Λ 2 Λ 1
x Λ 1
Λ 1 ⩵ Α Β Λ 2 ⩵ Α Β Α x cosΒ x Α x sinΒ x
3. Die vollständige allgemeine Lösung ist dann
y x ⩵ C 1 y 1 x C 2 y 2 x
C 1 , C 2 ∈
a 1 2 4 a 0 )
Sind noch die Anfangsbdingungen yx 0 ⩵ y 0 und y ' x ⩵ v 0 gegeben, so kann man noch die
Konstanten C 1 und C 2 bestimmen.
Beispiele
h_da Fb MN Dolejsky
• y '' y ' 6 y ⩵ 0 charakteristische Polynom: Λ 2 Λ 6 ⩵ 0 Λ 1 ⩵ 3 Λ 2 ⩵ 2
yx ⩵ C 1 3 x C 2 2 x
• y '' 4 y ' 4 y ⩵ 0 charakteristische Polynom: Λ 2 4 Λ 4 ⩵ 0 Λ 1 ⩵ 2
yx ⩵ C 1 2 x C 2 x 2 x
Λ 2 ⩵ 2
• y '' 4 y ' 13 y ⩵ 0 charakteristische Polynom: Λ 2 4 Λ 13 ⩵ 0 Λ 1 ⩵ 2 3
yx ⩵ C 1 2 x cos 3 x C 2 2 x sin 3 x
• y '' 4 y ⩵ 0 charakteristische Polynom: Λ 2 4 ⩵ 0 Λ 1 ⩵ 2
yx ⩵ C 1 cos 2 x C 2 sin 2 x
2. Inhomogene Dgl.
Λ 2 ⩵ 2
Zur Bestimmung einer partikulären Lösung y p x der inhomogenen Dgl.
Λ 2 ⩵ 2 3
a 2 y '' x a 1 y ' x a 0 yx ⩵ bx bzw. y '' x a 1 y ' x a 0 yx ⩵ bx
kann man wieder die Methode der Variaton der Konstanten verwenden. Man setzt also den, mit den
beiden Basislösungen y 1 x und y 2 x der homogenen Dgl. gebildeten Ansatz
y p x ⩵ v 1 x y 1 x v 2 x y 2 x
und dessen erste und zweite Ableitung in die Dgl. ein. Dies führt zu einem linearen Gleichungssystem
für die Ableitungen v 1 ' x und v 2 ' x. Nach Auflösen dieses Gleichungssytems nach
v 1 ' x und v 2 ' x gewinnt man die unbekannten Ansatzfunktionen v 1 x und v 2 x durch Integration.
Dies wollen wir hier nicht tun, sondern nur solche “günstigen” rechten Seiten zulassen, für die ein
direkter Ansatz, der sich am Typ der rechten Seite bx orientiert, zum Ziel führt ( Ansatz vom Typ
der rechten Seite. Übrigens für Interessierte: Durch Lösen der Dgl., bei denen bx “vom günstigen
Typ” ist, mit der Methode der Variation der Konstanten, kann man sich überzeugen, warum man mit
den Ansatzfunktionen der folgenden Tabelle Erfolg haben muss).
Im Folgenden bezeichnet p m x bzw. P m x jeweils ein Polynom m-ter Ordnung mit konsatnten
Koeffizienten.
p m x ⩵ c m x m c m1 x m1 ... c 1 x 1 c 0 P m x ⩵ C m x m C m1 x m1 ... C 1 x 1 C 0
Im charakteristischen Polynom ΧΛ ⩵ a 2 Λ 2 a 1 Λ a 0 bzw. ΧΛ ⩵ Λ 2 a 1 Λ a 0 der Dgl. kann
• eine reelle Zahl Α als Nullstelle in Χ(Λ) mit der Vielfachheit k ⩵ 0, 1, 2 auftreten (k ⩵ 0 bedeutet
dabei, dass Α keine Nullstelle von ΧΛ ist)
• ein Paar Α Β, Α Β konjugiert komplexer Nullstellen mit der Vielfachheit k ⩵ 0, 1auftreten (k ⩵ 0
bedeutet dabei, dass Α Β bzw. Α Β keine Nullstelle von ΧΛ ist)

Im Folgenden bezeichnet p m x bzw. P m x jeweils ein Polynom m-ter Ordnung mit konsatnten
Koeffizienten.
p m x ⩵ c m x m c m1 x m1 ... c 1 x 1 c 0 P m x ⩵ C m x m C m1 x m1 ... C 1 x 1 C 0
Im charakteristischen Polynom ΧΛ ⩵ a 2 Λ 2 a 1 Λ a 0 bzw. ΧΛ ⩵ Λ 2 a 1 Λ a 0 der Dgl. kann
• eine reelle Zahl Α als Nullstelle in Χ(Λ) mit der Vielfachheit k ⩵ 0, 1, 2 auftreten (k ⩵ 0 bedeutet
dabei, dass Α keine Nullstelle von ΧΛ ist)
• ein Paar Α Β, Α Β konjugiert komplexer Nullstellen mit der Vielfachheit k ⩵ 0, 1auftreten (k ⩵ 0
bedeutet dabei, dass Α Β bzw. Α Β keine Nullstelle von ΧΛ ist)
Dgln.nb | 7
rechte Seite bx
Ansatzfunktion
___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ _
p m x 0x x k P m x 0
ist k fache Nullst. von ΧΛ k ⩵ 0, 1, 2
___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ _
p m x Αx x k P m x Αx Α ∈
ist k fache Nullst. von ΧΛ k ⩵ 0, 1, 2
___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ _ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ _
p m x a cos Β x b sinΒ x P m x x k A cos Β x B sinΒ x Β , Β ∈
ist k faches Paark ⩵ 0, 1
konjugiert komlpexerNullst. von ΧΛ
___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ _ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ _
p m x a cos Β x b sinΒ x Α x P m x x k A cos Β x B sinΒ x Α x Α Β , Α Β ∈
ist k faches Paar k ⩵ 0, 1
konjugiert komlpexerNullst. von ΧΛ
Achtung:
Ist m die höchste Potenz im Polynom p m x der rechten Seite bx, dann müssen Im Ansatzpolynom
P m x alle Potenzen von x berücksichtigt werden, also auch solche, die in p m x garnicht
vorkommen.
Auch wenn in der rechten Seite bx nur die Sinus-Funktion oder nur die Cosinus-Funktion
vorkommt, so müssen in den Ansatz beide trigonometrischen Funktion aufgenommen werden.

8 | Mathematik 2 für Fb B SS2012
• y '' y ' 6 y ⩵ x 2 2 x
1. homogene Dgl.
charakteristische Polynom: ΧΛ ⩵ Λ 2 Λ 6 ⩵ 0 Λ 1 ⩵ 3 Λ 2 ⩵ 2
y h x ⩵ C 1 3 x C 2 2 x
2. inhomogene Dgl.
p 2 x ⩵ x 2 , Α ⩵ 2 ist keine Nullstelle von ΧΛ (Α ⩵ 2 hat Vielfachheit k ⩵ 0:
Ansatz: y p x ⩵ C 2 x 2 C 1 x C 0 2 x
y p ' x ⩵ 2 x C 1 2 x C 2 2 2 x C 0 x C 1 x 2 C 2
y p '' x ⩵ 2 2 x C 2 4 2 x C 1 2 x C 2 4 2 x C 0 x C 1 x 2 C 2
Einsetzen in die Dgl. liefert
4 2 x C 0 3 2 x C 1 4 2 x x C 1 2 2 x C 2 6 2 x x C 2 4 2 x x 2 C 2 ⩵ x 2 2 x
Koeffizientenvergleich
Koeffizient von 2 x : 4 C 0 3 C 1 2 C 2 ⩵ 0 C 0 ⩵ 13
32
Koeffizient von x 2 x : 4 C 1 6 C 2 ⩵ 0 ↖ C 1 ⩵ 3 8
Koeffizient von x 2 2 x : 4 C 2 ⩵ 1 ↖ C 2 ⩵ 1 4
(Das Gleichungssystem für die unbekannten Ansatzkoeffizienten liegt bereits in Zeilenstufenform
vor. So kann man die Lösung direkt durch Rücksubstitution bestimmen)
y p x ⩵ 13
32 3 8 x 1 4 x2 2 x
3. Allgemeine Lösung
yx ⩵ y h x y p x ⩵ C 1 3 x C 2 2 x 13
32 3 8 x 1 4 x2 2 x
• y '' y ' 6 y ⩵ x 3 x
1. homogene Dgl.
charakteristische Polynom: ΧΛ ⩵ Λ 2 Λ 6 ⩵ 0 Λ 1 ⩵ 3 Λ 2 ⩵ 2
y h x ⩵ C 1 3 x C 2 2 x
2. inhomogene Dgl.
p 1 x ⩵ x , Α ⩵ 3 ist einfache Nullstelle von ΧΛ (Α ⩵ 3 hat Vielfachheit k ⩵ 1:
Ansatz: y p x ⩵ x 1 C 1 x C 0 3 x
y p ' x ⩵ 3 x C 0 3 3 x x C 0 2 3 x x C 1 3 3 x x 2 C 1
y p '' x ⩵ 6 3 x C 0 9 3 x x C 0 2 3 x C 1 12 3 x x C 1 9 3 x x 2 C 1
Einsetzen in die Dgl. liefert
5 3 x C 0 2 3 x C 1 10 3 x x C 1 3 x x
Koeffizientenvergleich
Koeffizient von 3 x : 5 C 0 2 C 1 ⩵ 0 C 0 ⩵ 1 25
Koeffizient von x 2 x : 10 C 1 ⩵ 1 ↖ C 1 ⩵ 1 10
(Das Gleichungssystem für die unbekannten Ansatzkoeffizienten liegt bereits in Zeilenstufenform
vor. So kann man die Lösung direkt durch Rücksubstitution bestimmen)
y p x ⩵ 1 1 x
x x 3
25 10
3. Allgemeine Lösung
yx ⩵ y h x y p x ⩵ C 1 3 x C 2 2 x 1 1 x
x x 3
25 10
h_da Fb MN Dolejsky

(Das Gleichungssystem für die unbekannten Ansatzkoeffizienten liegt bereits in Zeilenstufenform
vor. So kann man die Lösung direkt durch Rücksubstitution bestimmen)
y p x ⩵ 1 1 x
x x 3
25 10
Dgln.nb | 9
3. Allgemeine Lösung
yx ⩵ y h x y p x ⩵ C 1 3 x C 2 2 x 1 1 x
x x 3
25 10
• y '' 4 y ' 4 y ⩵ 1 x 2 x
1. homogene Dgl.
charakteristische Polynom: ΧΛ ⩵ Λ 2 Λ 4 ⩵ 0 Λ 1 ⩵ 2 Λ 2 ⩵ 2
y h x ⩵ C 1 2 x C 2 x 2 x
2. inhomogene Dgl.
p 1 x ⩵ 1 x , Α ⩵ 2 ist zweifache Nullstelle von ΧΛ (Α ⩵ 2 hat Vielfachheit k ⩵ 2:
Ansatz: y p x ⩵ x 2 C 1 x C 0 2 x
y p ' x ⩵ 2 2 x x C 0 2 2 x x 2 C 0 3 2 x x 2 C 1 2 2 x x 3 C 1
y p '' x ⩵ 2 2 x C 0 8 2 x x C 0 4 2 x x 2 C 0 6 2 x x C 1 12 2 x x 2 C 1 4 2 x x 3 C 1
Einsetzen in die Dgl. liefert
2 2 x C 0 6 2 x x C 1 2 x 2 x x
Koeffizientenvergleich
Koeffizient von 2 x : 2 C 0 ⩵ 1 C 0 ⩵ 1 2
Koeffizient von x 2 x : 6 C 1 ⩵ 1 C 1 ⩵ 1 6
(Das Gleichungssystem für die unbekannten Ansatzkoeffizienten liegt bereits in Zeilenstufenform
vor. So kann man die Lösung direkt durch Rücksubstitution bestimmen)
y p x ⩵ 1 2 1 6 x x 2 2 x
3. Allgemeine Lösung
yx ⩵ y h x y p x ⩵ C 1 2 x C 2 x 2 x 1 2 1 6 x x 2 2 x
• y '' 4 y ' 13 y ⩵ cos3 x
1. homogene Dgl.
charakteristische Polynom: ΧΛ ⩵ Λ 2 4 Λ 13 y ⩵ 0 Λ 1 ⩵ 2 3 Λ 2 ⩵ 2 3
y h x ⩵ C 1 2 x cos3 x C 2 2 x sin3 x
2. inhomogene Dgl.
Β ⩵ 3 und Β ⩵ 3 ist kein Paar konjugiert komplexer Nullstellen von ΧΛ
(Paar Β ⩵ 3 und Β ⩵ 3 hat Vielfachheit k ⩵ 0:
Ansatz: y p x ⩵ A cos3 x B sin3 x
y p ' x ⩵
3 B cos3 x 3 A sin3 x
y p '' x ⩵ 9 A cos3 x 9 B sin3 x
Einsetzen in die Dgl. liefert
4 A cos3 x 12 B cos3 x 12 A sin3 x 4 B sin3 x cos3 x
Koeffizientenvergleich
Koeffizient von cos3 x: 4 A 12 B ⩵ 1
Koeffizient von sin(3 x): 12 A 4 B ⩵ 0
B ⩵ 3 40
A ⩵ 1 40
y p x ⩵ 1 cos3 x 3 sin3 x
40 40
3. Allgemeine Lösung
yx ⩵ y h x y p x ⩵ C 1 2 x cos3 x C 2 2 x sin3 x 1 cos3 x 3 sin3 x
40 40

B ⩵ 3 40
A ⩵ 1 40
10 | Mathematik 2 für Fb B SS2012
y p x ⩵ 1 cos3 x 3 sin3 x
40 40
3. Allgemeine Lösung
yx ⩵ y h x y p x ⩵ C 1 2 x cos3 x C 2 2 x sin3 x 1 cos3 x 3 sin3 x
40 40
• y '' 4 y ' 13 y ⩵ x cos3 x
1. homogene Dgl.
charakteristische Polynom: ΧΛ ⩵ Λ 2 4 Λ 13 y ⩵ 0 Λ 1 ⩵ 2 3 Λ 2 ⩵ 2 3
y h x ⩵ C 1 2 x cos3 x C 2 2 x sin3 x
2. inhomogene Dgl.
Β ⩵ 3 und Β ⩵ 3 ist kein Paar konjugiert komplexer Nullstellen von ΧΛ
(Paar Β ⩵ 3 und Β ⩵ 3 hat Vielfachheit k ⩵ 0:
Ansatz: y p x ⩵ C 1 C 2 x A cos3 x B sin3 x ⩵
y p x ⩵
A C 1
D 1
cos3 x B C 1
D 2
sin3 x A C 2
D 3
x cos3 x B C 2
D 1 cos3 x D 2 sin3 x D 3 x cos3 x D 4 x sin3 x
D 4
x Sin3 x
y p ' x ⩵ 3 D 1 sin3 x 3 D 2 cos3 x D 3 cos3 x 3 D 3 x sin3 x 3 D 4 x cos3 x D 4 sin3 x
y p '' x :⩵
9 D 1 cos3 x 9 D 2 sin3 x 9 x D 3 cos3 x 6 D 3 sin3 x 6 D 4 cos3 x 9 x D 4 sin3 x
Einsetzen in die Dgl. liefert
4 D 1 cos3 x 12 D 1 sin3 x 12 D 2 cos3 x 4 D 2 sin3 x
4 D 3 cos3 x 4 x D 3 cos3 x 6 D 3 sin3 x 12 x D 3 sin3 x
6 D 4 cos3 x 12 x D 4 cos3 x 4 D 4 sin3 x 4 x D 4 sin3 x ⩵ x cos3 x
Koeffizientenvergleich
Koeffizient von cos3 x: 4 D 1 12 D 2 4 D 3 6 D 4 ⩵ 0
Koeffizient von sin(3 x): 12 D 1 4 D 2 6 D 3 4 D 4 ⩵ 0
Koeffizient von x cos3 x: D 3 + 3 D 4 ⩵ 1
Koeffizient von x sin3 x: 3 D 3 D 4 ⩵ 0
3. Allgemeine Lösung
yx ⩵ y h x y p x ⩵
D 1 ⩵ 1
400
D 2 ⩵ 9
200
D 3 ⩵ 1
40
D 4 ⩵ 3
40
y p x ⩵ 1 cos3 x 1 9
x cos3 x sin3 x 3 x sin3 x
400 40 200 40
C 1 2 x cos3 x C 2 2 x sin3 x 1 cos3 x 1 9
x cos3 x sin3 x 3 x sin3 x
400 40 200 40
• y '' 4 y ' 13 y ⩵ 2 x sin3 x
1. homogene Dgl.
charakteristische Polynom: ΧΛ ⩵ Λ 2 4 Λ 13 y ⩵ 0 Λ 1 ⩵ 2 3 Λ 2 ⩵ 2 3
y h x ⩵ C 1 2 x cos3 x C 2 2 x sin3 x
2. inhomogene Dgl.
Α+ Β ⩵ 2 2 und Β ⩵ 2 2 ist ein einfaches Paar konjugiert komplexer Nullstellen von
ΧΛ
h_da Fb MN Dolejsky
(Paar Α Β ⩵ 2 3 und Α ⩵ 2 3 hat Vielfachheit k ⩵ 1:
Ansatz: y p x ⩵ xA 2 x cos3 x B 2 x sin3 x
y p ' x ⩵
A 2 x cos3 x 2 A 2 x x cos3 x
3 B 2 x x cos3 x B 2 x sin3 x 3 A 2 x x sin3 x 2 B 2 x x sin3 x
y p '' x ⩵ 4 A 2 x cos3 x 6 B 2 x cos3 x 5 A 2 x x cos3 x 12 B 2 x x cos3 x
6 A 2 x sin3 x 4 B 2 x sin3 x 12 A 2 x x sin3 x 5 B 2 x x sin3 x

y h x ⩵ C 1 2 x cos3 x C 2 2 x sin3 x
2. inhomogene Dgl.
Α+ Β ⩵ 2 2 und Β ⩵ 2 2 ist ein einfaches Paar konjugiert komplexer Nullstellen von
ΧΛ
(Paar Α Β ⩵ 2 3 und Α ⩵ 2 3 hat Vielfachheit k ⩵ 1:
Ansatz: y p x ⩵ xA 2 x cos3 x B 2 x sin3 x
y p ' x ⩵
A 2 x cos3 x 2 A 2 x x cos3 x
3 B 2 x x cos3 x B 2 x sin3 x 3 A 2 x x sin3 x 2 B 2 x x sin3 x
y p '' x ⩵ 4 A 2 x cos3 x 6 B 2 x cos3 x 5 A 2 x x cos3 x 12 B 2 x x cos3 x
6 A 2 x sin3 x 4 B 2 x sin3 x 12 A 2 x x sin3 x 5 B 2 x x sin3 x
Einsetzen in die Dgl. liefert
6 B 2 x cos3 x 6 A 2 x sin3 x ⩵ e 2 x sin3 x
Koeffizientenvergleich
Koeffizient von cos3 x: 6 A ⩵ 1
Koeffizient von sin(3 x): 6 B ⩵ 0
B ⩵ 0 A ⩵ 1 6
Dgln.nb | 11
y p x ⩵ 1 6 x 2 x cos3 x
3. Allgemeine Lösung
yx ⩵ y h x y p x ⩵ C 1 2 x cos3 x C 2 2 x sin3 x 1 6 x 2 x cos3 x
• y '' 4 y ⩵ sin2 x Anfangsbedingungen y0 ⩵ 0, y '0 ⩵ 0
1. homogene Dgl.
charakteristische Polynom: ΧΛ ⩵ Λ 2 4 ⩵ 0 Λ 1 ⩵ 2 Λ 2 ⩵ 2
y h x ⩵ C 1 cos2 x C 2 sin2 x
2. inhomogene Dgl.
Β ⩵ 2 und Β ⩵ 2 ist ein einfaches Paar konjugiert komplexer Nullstellen von ΧΛ
(Paar Β ⩵ 2 und Α ⩵ 2 hat Vielfachheit k ⩵ 1:
Ansatz: y p x ⩵ xA cos2 x B sin2 x
y p ' x ⩵ A cos2 x 2 B x cos2 x B sin2 x 2 A x sin2 x
y p '' x ⩵ 4 B cos2 x 4 A x cos2 x 4 A sin2 x 4 B x sin2 x
Einsetzen in die Dgl. liefert
4 B cos2 x 4 A sin2 x ⩵ sin2 x
Koeffizientenvergleich
Koeffizient von sin2 x: 4 A ⩵ 1
Koeffizient von cos(2 x): 4 B ⩵ 0
B ⩵ 0 A ⩵ 1 4
y p x ⩵ 1 x cos3 x
4
3. Allgemeine Lösung
yx ⩵ y h x y p x ⩵ C 1 cos2 x C 2 sin2 x 1 x cos2 x
4
Anfangsbedingungen y0 ⩵ 0 und y ' 0 ⩵ 0
y 'x ⩵ 2 C 1 sin2 x 2 C 2 cos2 x 1 cos2 x 1 x sin2 x
4 4
y0 ⩵ 0 ⩵ C 1 cos0 C 2 sin0 1 0 cos0 ⩵ C 4
1 C 1 ⩵ 0
y '0 ⩵ 0 ⩵ 2 C 1 sin0 2 C 2 cos0 1 4 cos0 1 4 0 sin0 ⩵ 2 C 2 1 4
C 2 ⩵ 1 8
yx ⩵ 1 8 sin2 x 1 4 x cos2 x
y
6
4

h p 1 2
Anfangsbedingungen y0 ⩵ 0 und y ' 0 ⩵ 0
4
12 | Mathematik 2 für Fb B SS2012
y 'x ⩵ 2 C 1 sin2 x 2 C 2 cos2 x 1 cos2 x 1 x sin2 x
4 4
y0 ⩵ 0 ⩵ C 1 cos0 C 2 sin0 1 4 0 cos0 ⩵ C 1 C 1 ⩵ 0
y '0 ⩵ 0 ⩵ 2 C 1 sin0 2 C 2 cos0 1 4 cos0 1 4 0 sin0 ⩵ 2 C 2 1 4
C 2 ⩵ 1 8
yx ⩵ 1 8 sin2 x 1 4 x cos2 x
y
6
4
2
2
4
6
8
5 10 15 20 25 30
x
Die Schwingungsdifferentialgleichung
h_da Fb MN Dolejsky