Differentialgleichungen (PDF)

y p x ⩵B m x m B m1 x m1 ...
B 2 x 2 B Α
1 x Λ x ⩵ x B m x m B m1 x m1 ... B 1 x B 0 Α x
Man erkennt, dass in beiden Fällen ein Ansatz mit Typ der rechten Seite, also mit der Ansatzfunktion
B m x m B m1 x m1 ... B 1 x B 0 Α x Erfolg hat. Allerdings muss man im Resonanzfall
4 | Mathematik 2 für Fb B SS2012
Α ⩵ Λ diesen Ansatz noch mit dem Faktor x multiplizieren.
Der Vorteil dieser Ansatzmethode kommt allerdings nur beim ersten Fall zum Tragen. Während
im zweiten Fall (Resonanzfall Α ⩵ Λ) bei der Bestimmung von vx nur ein Polynom zu integrieren
ist, muss man im Nicht-Resonanzfall das Produkt aus einem Polynom und der Funktion
ΛΑ x integrieren. In diesem Fall ist es ratsam, die meist äusserts zeitaufwändige Bestimmung
von vx durch mehrfache partielle Integration zu vermeiden, und mit einem Ansatz
y p x ⩵ B m x m B m1 x m1 ... B 2 x 2 B 1 x 1 B 0 Α x zu arbeiten. Man differenziert diesen
Ansatz und setzt y p ' x und y p x in die Differenzialgleichung ein:
y ' x Λ yx ⩵ b m x m b m1 x m1 ... a 1 x a 0 Α x ⩵ p m x Α x
Für die unbekannten Ansatzkoeffizienten B 0 , B 1 , ..., B m erhält man durch Koeffizientenvergleich
(Gleichstzen der Vorfaktoren der Funktionen x k Α x auf der linken und rechten Seite für
k ⩵ 0, 1, 2, ..., m ) ein lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen.
Achtung: Auch wenn im Polynom p m x der rechten rx ⩵ p m x Α x nicht alle Potenzen von x
vertreten sind, so müssen im Ansatz vom Typ der rechten Seite alle Potenzen von x aufgenommen
werden. Er lautet also immer
y p x ⩵ B m x m B m1 x m1 ... B 2 x 2 B 1 x 1 B 0 Α x ⩵ P m x Α x
Zahlenbeispiel:
Α ≠ Λ :
y ' x 2 yx ⩵ x 2 1 2 x
1. y h x ⩵ C 2 x
also Α ⩵ 2 ≠ 2 ⩵ Λ
2. Ansatz: y p x ⩵ B 2 x 2 B 1 x B 0 2 x
y p ' x ⩵ 2 B 2 x B 1 2 x 2 B 2 x 2 B 1 x B 0 2 x
⩵ 2 B 2 x 2 2 B 2 B 1 x B 1 2 B 0 2 x
Einsetzen in die Dgl. liefert
2 B 2 x 2 2 B 2 B 1 x B 1 2 B 0 2 x 2 B 2 x 2 B 1 x B 0 2 x ⩵ x 2 1 2 x 2 x ≠0
4 B 2 x 2 2 B 2 4 B 1 x B 1 4 B 0 ⩵ 1 x 2 0 x 1
2 B 2 ⩵ 1 B 2 ⩵ 1 4
2 B 2 4 B 1 ⩵ 0 B 1 ⩵ 1 2 B 2 ⩵ 1 8
B 1 3 B 0 ⩵ 1 B 0 ⩵ 7 32
3. yx ⩵ y h x y p x ⩵ C 2 x 1 4 x2 1 8 x 7 32 2 x
Α ⩵ Λ :
y ' x 2 yx ⩵ x 2 1 2 x
1. y h x ⩵ C 2 x
2. v ' x ⩵ x2 1 2 x
also Α ⩵ 2 ⩵ Λ
2 x ⩵ x 2 1 vx ⩵ 1 3 x3 x
y p x ⩵ 1 3 x3 x 2 x
3. yx ⩵ C 2 x 1 3 x3 x 2 x
h_da Fb MN Dolejsky
Auch hier führt natürlich ein Ansatz vom Typ der rechten Seite zum Erfolg. Allerdings liegt hier
Resonanz vor: Α ⩵ 2 ⩵ Λ was gleichbedeutend mit der Tatsache ist, dass die -Funktion in der
homogene Lösung y h x ⩵ C 2 x gleich der -Funktion in der rechten Seite bx ⩵ x 2 1 2 x .
Hier muss man also mit dem Resonanz-Ansatz arbeiten, den man aus dem Nicht-Resonanzansatz
durch Multiplikation mit dem Faktor x erhält.
Ansatz: y p x ⩵ x B 2 x 2 B 1 x B 0 2 x ⩵ B 2 x 3 B 1 x 2 B 0 x 2 x
Bestimmen Sie durch Einsetzen diese Ansatzes in die Dgl. die Lösung y p x, und überzeugen Sie
sich, wie mühsam dies im Vergleich zur obigen Lösung mit der direkten Integration von v ' x ist.