Alte und neue Begründungen für die Bornsche Wahrscheinlichkeit

Alte und neue Begründungen für die Bornsche Wahrscheinlichkeit
Lutz Polley und Jochen Pade
Fachbereich Physik, Universität Oldenburg, 26111 Oldenburg
Das Betragsquadrat einer Wellenfunktion gibt die Wahrscheinlichkeit an, mit der eine Observable
wie der Ort eines Teilchens bei einer Messung einen bestimmten Wert annimmt. Diese Bornsche Regel
wurde seit den 30er Jahren mit verschiedenen Argumenten begründet; die bekanntesten Namen
in diesem Zusammenhang sind von Neumann (1932) und Gleason (1957). Zwei neue und besonders
einfache Begründungen stammen von Deutsch (1999) und von Aharonov und Reznik (2001). Alle
Begründungen haben ihre Stärken und Schwächen. Hier soll eine Übersicht gegeben werden.
Messung als Eigenwertproblem
Zu einem physikalischen Meßvorgang gehört ein Apparat,
ein Objekt, und als Ergebnis eine Zahl. Bekanntlich
werden diese Bausteine in der Quantentheorie
zu einem linear-algebraischen Eigenwertproblem
zusammengefügt,
A |v〉 = λ |v〉 (1)
wobei dem Apparat ein hermitischer Operator A
(eine hermitische lineare Abbildung in einem komplexen
linearen Raum) zugeordnet wird, dem Objekt
(in einem vorher präparierten Quantenzustand)
ein Vektor |v〉, und dem Meßwert der Eigenwert λ.
Bornsche Regel
Die Bornsche Regel [1] besagt, daß die Wahrscheinlichkeit,
ein im Zustand |ψ〉 präpariertes System im
Zustand |φ〉 zu finden, gleich dem Betragsquadrat
des Skalarprodukts 〈φ|ψ〉 ist:
wψ→φ = |〈φ|ψ〉| 2
(2)
Äquivalent dazu ist die allgemeine Formel, mit der
man in der Quantenmechanik den mittleren Meßwert
einer Observablen A in einem reinen Zustand
|ψ〉 berechnet:
〈A〉 = 〈ψ|A|ψ〉 (3)
Wir erinnern kurz an den Beweis für diese Äquivalenz.
A habe die Eigenvektoren |i〉 zu den Eigenwerten
λi, so daß in Diracscher Schreibweise
A =
|i〉λi〈i| (4)
i
Die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten des Meßwertes
λi sei pi. Dann gilt für den Mittelwert
〈A〉 =
(5)
Setzt man (2) voraus, so ist
Didaktik der Physik
Frühjahrstagung Leipzig 2002
i
λipi
pi = |〈ψ|i〉| 2 = 〈ψ|i〉〈i|ψ〉 (6)
und (3) folgt durch Einsetzen von (6) in (5) unter
Verwendung von (4). Setzt man umgekehrt (3)
voraus, so braucht man nur die Wahrscheinlichkeit
für das Auffinden von |φ〉 als Erwartungswert einer
geeigneten Observablen auszudrücken; diese ist
A = |φ〉〈φ|
denn ihr Meßwert ist λ = 1 im Zustand |φ〉, und
λ = 0 in allen anderen Eigenzuständen. Die Behauptung
folgt nun aus 〈ψ|A|ψ〉 = |〈φ|ψ〉| 2 .
Zu (3) wiederum äquivalent ist die Formulierung
mit Statistischem Operator ρ,
〈A〉 = Spur (ρA) (7)

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wobei für einen reinen normierten Zustand |ψ〉
ρ = |ψ〉〈ψ| (8)
gesetzt werden muß. Diese Äquivalenz sieht man,
indem man die Spur von ρA in einer orthonormalen
Basis ausrechnet, deren einer Vektor |ψ〉 ist.
Die bislang bekannten Erklärungsversuche für die
eine oder andere dieser Formulierungen unterscheiden
sich nicht nur erheblich im mathematischen Anspruch,
sondern vor allem auch in den physikalischmathematischen
Annahmen, von denen die Autoren
ausgehen möchten.
Lineare Erwartungswert-Funktionale
Ein mathematisch sehr befriedigender Zustandsbegriff,
den von Neumann eingeführt hat [2], ist
der des Erwartungswertfunktionals. Er beruht auf
der mathematisch “natürlichen” Gleichsetzung (Isomorphie)
von
• Addition von Operatoren als lineare Abbildungen
• Addition von Meßwerten wie bei Auswertung
von Meßreihen
Genauer lautet das Postulat: Ist 〈A〉 der arithmetische
Mittelwert aller Meßwerte von A, die in einem
Zustand |ψ〉 gewonnen wurden, so gelte (c = Zahl)
〈A + B〉 = 〈A〉 + 〈B〉 〈cA〉 = c〈A〉 (9)
für beliebige Observable A, B. Gleichungen dieser
Form sind auch schon als Präzisierung des Bohrschen
Komplementaritätsprinzips angesehen worden
[3]. Ihr großes Problem ist, daß bei nichtkommutierenden
Observablen völlig unklar sein kann,
was die Operatorsumme physikalisch bedeutet (etwa
im Sinne einer Bauanleitung für den Meßapparat).
Betrachten wir aber nun die Vorteile dieser
Auffassung.
Gleichung (9) besagt, daß die Mittelwertbildung
eine lineare Abbildung aus dem Raum der Operatoren
in den Raum der reellen Zahlen ist. Im endlichdimensionalen
Fall ist ein Operator A durch eine
n × n-Matrix mit Elementen Aik gegeben, und ein
in A linearer Zahlenausdruck (Linearform) hat die
allgemeine Form
〈A〉 =
n
i,k=1
ρikAki
mit noch näher zu bestimmenden Zahlenkoeffizienten
ρik. Man gelangt also bereits im ersten Schritt
zu einer Darstellung der Form (7).
Speziell für A = 1 = Einheitsmatrix tritt nur
die 1 als Meßwert auf, also ist auch der Mittelwert
〈1〉 = 1, und es folgt
Spur ρ = 1 (10)
Um zu zeigen, daß ρ hermitisch sein muß, wählen
wir eine orthonormale Basis |1〉, . . . , |n〉, greifen zwei
Basisvektoren |k〉 und |l〉 heraus, und betrachten die
Observablen
A+ = |k〉〈l| + |l〉〈k|
A− = i|k〉〈l| − i|l〉〈k|
Die Mittelwerte, die reell sein müssen, sind
〈A+〉 = 〈l|ρ|k〉 + 〈k|ρ|l〉
〈A−〉 = i〈l|ρ|k〉 − i〈k|ρ|l〉
(11)
(12)
Reellität heißt 〈A±〉 = 〈A±〉 ∗ . Addieren wir davon
die obere und 1
i mal die untere Gleichung, so finden
wir
〈k|ρ|l〉 ∗ = 〈l|ρ|k〉
Also ist ρ hermitisch, hat somit eine Eigenbasis, und
in dieser die Form
n
ρ = |i〉 ρi 〈i| (13)
i=1
Wäre nun etwa ρk negativ, so hätte die Observable
A = |k〉〈k| den Mittelwert ρk < 0 obwohl ihre Meßwerte
nur 0 oder 1 sein können; folglich ist ρi ≥ 0
für alle i. Zusammen mit (10) haben wir damit
0 ≤ ρi ≤ 1
n
ρi = 1 (14)
i=1
Um die Bornsche Regel herzuleiten, bestimmen wir
schließlich die konkrete Form des statistischen Operators
für den Fall, daß wir Messungen an einem

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Zustand vornehmen, der durch einen Vektor |ψ〉 im
Hilbertraum dargestellt wird. Dazu ergänzen wir
|ψ〉 zu einer orthonormalen Basis |ψ〉, |2〉, . . . , |n〉
und betrachten wieder Observable der Form A+ und
A− wie in Gleichung (11), jetzt aber mit der Einschränkung
k, l = 1. Zu diesen Observablen ist |ψ〉
ein Eigenvektor mit Eigenwert null, daher sind die
Meßwerte von A± in diesem Zustand definitiv gleich
null. Ausgedrückt durch den statistischen Operator
bedeutet das, unter Verwendung von (12),
〈l|ρ|k〉 + 〈k|ρ|l〉 = 0
i〈l|ρ|k〉 − i〈k|ρ|l〉 = 0
k, l = 1
Es folgt 〈l|ρ|k〉 = 0 für alle k, l = 1. In der Matrixdarstellung
bezüglich der gewählten Basis kann
ρ also nur noch die Form
⎛
⎜
ρ = ⎜
⎝
1 ρ12 · · · ρ1n
ρ ∗ 12 0 · · · 0
.
.
. ..
ρ ∗ 1n 0 · · · 0
.
⎞
⎟
⎠
haben, wobei die 1 aus (10) folgt. Quadrieren wir
diese Matrix, so finden wir einen Widerspruch zu
Spur ρ 2 ≤ 1 welches aus (13) und (14) folgt, außer
wenn die Nichtdiagonalelemente ρ12, · · · , ρ1n verschwinden.
In diesem Fall handelt es sich aber um
die Matrixdarstellung von |ψ〉〈ψ| in der gewählten
Basis, so daß ρ = |ψ〉〈ψ|. Das ist die Bornsche Regel
in der Form (8).
Erwartungswert als Meßwert am Ensemble
Im vergangenen Jahr haben Aharonov und Reznik
[4] eine verblüffend einfache Begründung für die
Formel (3) gegeben. Zunächst wird festgestellt, daß
man eine Meß“reihe” mit einem Quantenzustand
|ψ〉 auch in der Weise gewinnen kann, daß man eine
große Zahl N von Systemen gleichzeitig in diesen
Zustand bringt und an ihnen jeweils eine Messung
von A vornimmt. Das Ensemble dieser gleichartigen
Zustandsvektoren befindet sich dann im Produkt-
Zustand
|Ψ〉 = |ψ〉|ψ〉|ψ〉 · · · |ψ〉 (N Faktoren) (15)
Nun überlegt man, ob es eine Ensemble-Observable
M gibt, die gerade den Mittelwert aller Einzelmessungen
von A darstellen würde. Aharonov und
Reznik machen dafür den Vorschlag
M = 1
N
N
i=1
Ai
(16)
wobei Ai die Wirkung des Operators A auf den iten
Faktor im Produkt (15) bezeichnet. Aus den Formulierungen
in [4] wird deutlich, daß sich die Autoren
der Problematik ihrer Annahme vollkommen
bewußt sind — wie schon in (9) wird ja in Gleichung
(16) wieder die Addition von Meßwerten einer
Zahlenkolonne mit der Addition von Operatoren
gleichgesetzt. Ein gewisser Fortschritt besteht
aber darin, daß in Gleichung (16) alle Operatoren
miteinander vertauschen, weil sie alle auf verschiedene
Teilsysteme wirken. Wenigstens läßt sich so
für Eigenzustände von A nachrechnen, daß M den
mittleren Meßwert richtig wiedergibt. Für Nicht-
Eigenzustände verbleibt jedoch das gewohnte Unbehagen.
Verblüffend ist aber, wie schnell man von der Annahme
(16) zu der Formel (3) gelangt. Für jedes
Einzelsystem zerlegt man A|ψ〉 in einen Anteil parallel
zu |ψ〉 und einen Anteil |ψ⊥〉 senkrecht zu |ψ〉.
Die parallele Komponente ist die Projektion von
A|ψ〉 in Richtung von |ψ〉, also gegeben durch das
Skalarprodukt 〈ψ|A|ψ〉. Somit gilt
A|ψ〉 = λ|ψ〉 + |ψ⊥〉 λ = 〈ψ|A|ψ〉
Beim Einsetzen in den Produktvektor (15) wirken
sich nun die parallele und die senkrechte Komponente
sehr unterschiedlich aus. Die parallele Komponente
reproduziert das Produkt insgesamt, und
gibt nur einen Vorfaktor 〈ψ|A|ψ〉. Die senkrechte
Komponente bei der Anwendung von A auf den iten
Faktor gibt dagegen
|ψ〉 · · · |ψ〉|ψ⊥〉|ψ〉 · · · |ψ〉
mit |ψ⊥〉 an der iten Stelle. In der Summe über i mit
anschließender Division durch N geben die parallelen
Komponenten zusammen den alten Produktzustand
mit einem Vorfaktor 〈ψ|A|ψ〉. Die senkrechten

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Komponenten sind dagegen auch zueinander senkrecht;
zur Illustration etwa die ersten beiden Terme
aus der Summe (16):
|ψ⊥〉|ψ〉 · · · |ψ〉
|ψ〉|ψ⊥〉 · · · |ψ〉
Nach dem Satz des Pythagoras in N Dimensionen
addieren sich N senkrechte Einheitsvektoren zu einem
Vektor der Länge √ N; nach Division durch
N gemäß (16) geht dieser Anteil somit im Limes
N → ∞ gegen den Nullvektor. Damit haben wir in
diesem Limes
M|Ψ〉 = λ|Ψ〉 λ = 〈ψ|A|ψ〉
Die Formel (3) läßt sich also damit begründen, daß
〈ψ|A|ψ〉 als Meßwert im Sinne der Eigenwertgleichung
(1) bei Messung der Mittelwert-Observablen
M an einem sehr großen Ensemble auftritt.
Das Theorem von Gleason
Ein in der mathematischen Physik gefeiertes Theorem,
das die Bornsche Regel tatsächlich direkt aus
(1) herleitet, wurde 1957 von Gleason [5] bewiesen.
Eine elementarisierte Form des Beweises, die
sich allerdings über 12 Seiten erstreckt, wurde 1985
von Cooke et al. [6] gegeben. Ein Beweis-Beispiel
für den 3-dimensionalen anschaulichen Raum, das
immerhin noch die Theorie der Kugelflächenfunktionen
benötigt, findet man in dem Lehrbuch von
Peres [7].
Das Theorem von Gleason läßt sich folgendermaßen
formulieren: Will man jedem Vektor v eines
Vektorraums eine Wahrscheinlichkeit p(v) zuordnen,
so daß für jede orthonormale Basis v1, . . . , vn
die Summe der Wahrscheinlichkeiten p(vi) gleich 1
ist, dann ist die Bornsche Regel die einzige Möglichkeit;
das heißt, es ist p(v) = |〈v|w〉| 2 für alle v mit
einem festem Vektor w.
Das Theorem macht eine rein geometrische Aussage,
die nicht primär mit Statistik zu tun hat; statt
von “Wahrscheinlichkeiten” ist in der einschlägigen
Literatur von “frame functions” (Basissystem-
Funktionen) die Rede. Physikalisch ist aber klar,
daß das Theorem eine unmittelbare Bedeutung für
Übergangswahrscheinlichkeiten aus einem präparierten
Zustand |w〉 in alle möglichen Detektor-
Zustände |v〉 hat.
Die Normierungsbedingung
i p(vi) = 1 für die
Summe über eine beliebige Basis hat folgenden
Grund: An einem Zustandsvektor w kann man jede
beliebige Observable A messen; findet man dabei
den Eigenwert λi (vgl. (1)) so ist das System in den
zugehörigen Eigenvektor von A übergegangen, hier
vi genannt. Da immer eines der Meßergebnisse auftreten
muß, ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten
p(vi) gleich 1. Auf den Zahlenwert von λi kommt es
dabei nicht an, sondern nur auf die Unterscheidbarkeit
der Eigenvektoren. Nun gibt es zu jedem A eine
Basis aus Eigenvektoren, und umgekehrt ist jede orthonormale
Basis auch Eigenbasis einer geeigneten
Observablen. Daher ist im Theorem von Gleason die
Rede von Basen und nicht von Observablen.
Herleitung aus Superposition & Symmetrie
Eine Begründung der Bornschen Regel, die nur Superpositionen
von Zustandsvektoren und nicht solche
von “Apparaten” benutzt, findet sich in einer
Arbeit von Deutsch [8], die 1999 publiziert wurde.
DeWitt [9] hat diese Begründung als (sinngemäß)
“das Beste was es dazu bisher gibt” bezeichnet.
Deutsch betrachtet eine Superposition von der
speziellen Form
|ψ〉 =
m
m + n
n
|A〉 +
m + n
|B〉 (17)
Hierbei sind |A〉 und |B〉 zwei orthonormale Vektoren;
|ψ〉 ist automatisch ebenfalls normiert. m und
n sind natürliche Zahlen, so daß die Koeffizienten
Wurzeln aus rationalen Zahlen sind; damit lassen
sich reell-positive Koeffizienten beliebig genau approximieren.
Zusätzliche komplexe Phasenfaktoren
in den Koeffizienten könnte man für den gegenwärtigen
Zweck in |A〉 und |B〉 absorbieren.
Deutsch zeigt nun, daß die Bornsche Wahrscheinlichkeitsregel
für das Vorfinden von A oder B aus
dem Prinzip des fehlenden Grundes folgt. Man
kennt dieses Prinzip aus der Theorie des Würfelns:
Da es keinen Grund gibt, weshalb eine der sechs
Flächen häufiger als eine andere auftreten sollte,

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müssen alle Flächen mit derselben Wahrscheinlichkeit
w = 1/6 auftreten.
Wir denken uns nun das Quantensystem im Zustand
A um ein “Hilfssystem” erweitert, das einen
m-dimensionalen Zustandsraum hat; analog das System
im Zustand B um ein “Hilfssystem” mit einem
n-dimensionalen Zustandsraum. Konkret könnten
etwa die Zustände A und B den Spin-Einstellungen
eines Teilchens entsprechen, und die Zustände der
Hilfssysteme gewissen Orten des Teilchens. Mit den
Hilfssystemen wird eine Art von “Quantenwürfel”
mit m + n Flächen eingeführt. Um, bildlich gesprochen,
gleiche Wahrscheinlichkeiten für die Flächen
zu erreichen, versetzen wir die Hilfssysteme in spezielle
Überlagerungszustände, in denen alle Koeffizienten
gleich sind. Aus Normierungsgründen muß
dann der gemeinsame Koeffizient im Hilfssystem
A gleich 1/m sein, und im Hilfssystem B gleich
1/n. Somit bedeutet das Einführen der Hilfssy-
steme die folgenden Ersetzungen:
|A〉 →
1
|A〉|α〉 = |A〉
m
1
|B〉 → |B〉|β〉 = |B〉
n
m
|i〉
i=1
m+n
i=m+1
|i〉
(18)
Der urspüngliche Zustand (17) wird dadurch sehr
wohl verändert, aber die Eigenschaften A und B
werden nicht angerührt. Lediglich wird eine Strecke
von z.B. der Länge √ m durch einen höherdimensionalen
Polygonzug aus m gleich großen und zueinander
senkrechten Streckenelementen dargestellt.
Der Punkt ist nun, daß in der zunächst unsymmetrischen
Superposition (17) nach den Ersetzungen
(18) lauter gleiche Koeffizienten auftreten (nämlich
1/ √ m + n). Damit gibt es keinen Grund mehr, weshalb
bei einer Messung an dem Gesamt-System
(ursprüngliches System + Hilfs-Systeme) einer der
Gesamt-Basiszustände häufiger als ein anderer auftreten
sollte. Die Wahrscheinlichkeiten müssen also
1
alle gleich sein. Da die Eigenschaften A und B
m+n
in den Gesamt-Basiszuständen noch präsent sind,
braucht man nur noch abzuzählen um zu finden, daß
das Verhältnis der Wahrscheinlichkeiten wA : wB
gleich m : n ist, wie es die Bornsche Regel verlangt.
In (18) kommt es wesentlich darauf an, daß
ein im üblichen Sinne normierter Überlagerungszustand
des Hilfssystems verwendet wird. Diese
übliche Normierung von Wellenfunktionen (mag sie
auch “natürlich” [9] erscheinen) wird in der Lehrbuchliteratur
stets mit der Bornschen Wahrscheinlichkeitsregel
begründet. Obwohl das Argument von
Deutsch sicher zum Verständnis der Bornschen Regel
beitragen kann, enthält es in der publizierten
Form möglicherweise einen logischen Zirkel.
Literatur
[1] M. Born, Z. Phys. 37 (1926) 863.
[2] J. von Neumann, Mathematische Grundlagen der
Quantenmechanik (Springer, Berlin, 1932).
[3] A. Bohr, O. Ulfbeck, Rev. Mod. Phys. 67 (1995) 1.
[4] Yakir Aharonov und Benni Reznik, How macroscopic
properties dictate microscopic probabilities,
http://arXiv.org/abs/quant-ph/0110093.
[5] A. M. Gleason, J. Math. Mech. 6 (1957) 885.
[6] R. Cooke et al., Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 98
(1985) 117.
[7] A. Peres, Quantum Theory: Concepts and Methods
(Kluwer, Dordrecht, 1995).
[8] D. Deutsch, Proc. Roy. Soc. Lond. A 455 (1999)
3129.
[9] B. DeWitt, Int. J. Mod. Phys. A 13 (1998) 1881.