Praktische Verfahren zur experimentellen Systemidentifikation

Technische Fachhochschule Berlin 

Fachbereich VI (Informatik und Medien) 

Manfred Ottens 

Praktische Verfahren zur experimentellen 

S Y S T E M I D E N T I F I K A T I O N 

Berlin, Sommersemester 2008

Einleitung 

Die in der Literatur beschriebenen Verfahren zur Systemidentifikation sind fast 

unüberschaubar. Ihre praktische Anwendung im industriellen Alltag ist dagegen sehr 

beschränkt. Der Grund liegt vermutlich darin, daß die beschriebenen Methoden 

einerseits ein sehr tiefes Hintergrundwissen über Spezialgebiete der Signal- und 

Systemtheorie voraussetzen, andererseits aber auch nicht problemlos praktisch 

anwendbar sind. So führen z. B. einige sehr erfolgreiche Verfahren nur bei 

komplizierten Systemerregungen zu guten Identifikationsergebnissen. 

Um die Methoden der Systemidentifikation dem praktisch arbeitenden Ingenieur 

zugänglich zu machen, müssen Methoden gewählt werden, bei denen sich Aufwand 

und Nutzen die Waage halten. Das gilt einerseits für den Einarbeitungsaufwand und 

andererseits für die praktische Anwendbarkeit der Verfahren. 

Die in diesem Skript beschriebenen Methoden und Verfahren versuchen diesen 

Anspruch zu erfüllen, indem zuerst einfache Handrechnungsverfahren vorgestellt 

werden, die durch immer anspruchsvollere, aber mit geringem Aufwand theoretisch 

begreifbare, rechnergestützte Verfahren ergänzt werden. Im Rahmen der praktischen 

Nutzbarkeit wurde darauf geachtet, daß alle Verfahren mit einfach zu erzeugenden 

Erregungssignalen arbeiten und relativ robust gegenüber Meßstörungen sind. 

Nach der Klärung, was Systemidentifikation überhaupt ist, werden die Probleme 

identifizierbarer Systemklassen und ihre Abbildung auf verschiedene Modelle 

diskutiert. Zur praktischen Anwendung der Verfahren wird relativ ausführlich auf die 

notwendige rechnergesteuerte Meßtechnik zur Systemerkennung eingegangen. 

Auch praktische Einflußgrößen, wie z.B. der System-Aussteuerbereich, die 

Notwendigkeit der Messung im Arbeitspunkt und Verfahren zur Störungsbeseitigung 

werden untersucht. 

Nach der ausführlichen Besprechung von Handrechnungsverfahren zur Systemidenfikation 

werde zwei rechnergestützte Methoden, das Verfahren der Summe der 

kleinsten Quadrate und ein suchstrategisches Optimierungsverfahren zur Systemerkennung 

eingeführt und an Hand von in der Programmiersprache MATLAB 

bereitgestellten Simulationsumgebungen ausführlich erprobt. 

Für eine weiterführende Einarbeitung in die Systemerkennung wird häufig auf die 

Literatur verwiesen. Dabei wird weniger auf Ursprungsquellen, sondern auf 

eingeführte Lehrbücher hingewiesen. 

Bei allen Betrachtungen dieses Skriptes wird davon ausgegangen, daß die 

Grundlagen der Systemtheorie, der Regelungstechnik und des Programmsystems 

Matlab, wie sie in /1/,/2/, /20/ und /21/ beschrieben werden, beherrscht werden. 

I

Inhaltsverzeichnis 

1 Was ist Systemidentifikation ? 

1.1 Was ist ein Übertragungssystem ? 

1.2 Wozu dient Systemidentifikation ? 

2 Einflußgrößen bei der Systemidentifikation 

2.1 Systemklassen 

2.1.1 Lineare und nichtlineare Systeme 

2.1.2 Zeitvariable und zeitinvariante Systeme 

2.2 Modellformen 

2.2.1 Parametrische und nichtparametrische Modelle 

2.2.2 Glasbox- und Blackbox-Modelle 

2.2.3 Kontinuierliche und zeitdiskrete Modelle 

3 Meßtechnik zur Systemidentifikation 

3.1 Hardware-Erweiterungen für die PC-Meßtechnik 

3.2 Software-Erweiterungen für die PC-Meßtechnik 

4 Signalverarbeitungaspekte zur Systemidentifikation 

4.1 Entwurf digitaler Filter 

4.2 Entwurf kontinuierlicher Filter 

4.3 Entwurf digitaler Integrierer und Differenzierer 

5 Verfahren zur Systemidentifikation 

5.1 Vorbereitende Betrachtungen 

5.1.1 Messungen im Arbeitspunkt 

5.1.2 Berücksichtigung von Aussteuerbereich und Aussteuerrichtung 

5.1.3 Behandlung totzeitbehafteter Systeme 

5.1.4 Ausschluß nicht meßbarer Störungen 

5.1.5 Nutzung vorhandener Stell- und Meßtechnik 

5.1.6 Identifikation von Systemkombinationen bei atypischen Signale 

5.2 Einfache Handrechnungsverfahren 

5.2.1 Kataloggestützte Sprungantwort-Analyse 

5.2.2 Sprungantwortanalyse aperiodischer PTnTt- und ITnTt-Systeme 5.3 Rechnergestützte Verfahren 

5.3.1 Bestimmung der Parameter der Übertragungsfunktion mit dem 

Verfahren der Summe der kleinsten Quadrate (SKQ-Verfahren) 

5.3.1.1 Das SKQ-Offline-Verfahren 

II

Anhang 

5.3.1.2 Das SKQ-Online-Verfahren 

5.3.1.3 Meß- und auswerttechnische Randbedingungen 

5.3.1.4 Ansätze zur Modellverbesserung 

5.3.1.5 Simulationsumgebungen zur Erprobung 

der SKQ-Algorithmen 

5.3.2 Bestimmung der Parameter der Übertragungsfunktion mittels 

einer Optimierungsstrategie 

5.3.2.1 Grundlagen von Optimierungsstrategien 

5.3.2.2 Das Simplex-Verfahren von Nelder/Mead 

5.3.2.3 Der Matlab-Befehl "fminsearch.m" 



5.3.2.6 Eine Simulationsumgebung zur Erprobung 

des Simplexverfahrens zur Systemidentifikation 

5.3.2.7 „SYSID“: EinWerkzeug zur praktischen Systemidentifikation 

5.3.4 Identifikation von Parametern in Zustandsmodellen 

A1 Statische Kennlinien nichtlinearer Systeme 

A2 Spezifische Matlab-Befehle zur Systemidentifikation 

A3 Matlab-Programme zum Skript Systemidentifikation 

A4 Listings der Programme „simplex.m“, „system.m“ und „zielfkt.m“ 

III

1 Was ist Systemidentifikation ? 

Die Systemidentifikation, die auch als Systemerkennung oder Systemmodellierung 

bezeichnet wird, beschäftigt sich mit der Findung mathematischer Beschreibungen 

("mathematische Modelle") real existierender Systeme. Die mathematischen Modelle 

sollen das Verhalten des Systems so einfach wie möglich und so gut wie nötig 

nachbilden. 

Dabei kommen zwei grundsätzlich verschiedene Methoden zur Anwendung. Zum 

einen kann man ein mathematisches Modell auf der Basis theoretischer, 

naturwissenschaftlicher Zusammenhänge in Form von Bilanzgleichungen und 

physikalischen Gesetzen bilden. Zum anderen kann man das reale System auch 

ausmessen und aus den so gewonnenen Datensätzen mittels spezieller Algorithmen 

ein mathematisches Modell aufstellen. 

Das letztere geschieht im allgemeinen so, daß am Eingang des Systems eine 

Erregung aufgeschaltet wird (z.B. ein Sprung). Diese Erregung und die dazugehörige 

Systemantwort werden aufgezeichnet. Mit Hilfe eines Algorithmus, von denen weiter 

hinten mehrere vorgestellt werden, wird aus diesen Datensätzen ein mathematisches 

Modell berechnet, z.B. die Übertragungsfunktion: 

Bild 1.0.1: Grundprinzip der experimentellen Modellbildung 

Die erste Methode wollen wir als "theoretische Modellbildung", zweitere als 

"experimentelle Modellbildung" bezeichnen. 

Die theoretische Modellbildung wurde in /1/ an einigen praktischen Beispielen 

erläutert. Dabei wurde der hohe Schwierigkeitsgrad dieser Modellbildungsmethode 

1.1

deutlich. Die Problematik bestand darin, neben dem Wissen über Systemtheorie 

tiefgehende interdisziplinäre Kenntnisse aus verschiedenen naturwissenschaftlichen 

Bereichen besitzen zu müssen. 

Eine dem Denken eines Systemingenieurs wesentlich naheliegendere Methode ist 

die experimentelle Modellbildung, die neben Kenntnissen über Systemtheorie und 

Messtechnik nur geringer weiterer Kenntnisse bedarf. 

Dennoch stehen beide Methoden gleichberechtigt nebeneinander. Wenn zum 

Beispiel in der Kernreaktor-Technik auf Experimente verzichtet werden muß, kommt 

die aufwendigere theoretische Modellbildung zur Anwendung. In vielen anderen 

technischen Disziplinen ist die experimentelle Modellbildung wegen ihres geringeren 

Aufwands der theoretischen Modellbildung überlegen. Häufig werden auch beide 

Methoden sich ergänzend angewendet. 

In den folgenden Ausführungen wird die experimentelle Systemidentifikation im 

Mittelpunkt stehen. Zunächst sollen jedoch ihr Sinn näher erläutert und einige 

wichtige Begriffe neu eingeführt und bekannte vertieft werden. 

1.1 Was ist ein Übertragungssystem ? 

Ein System ist eine Wirkungsanordnung, in der Signale in Form von Energie, Masse 

oder Information weitergeleitet und in irgendeiner Form beeinflußt werden. 

Eine solche Anordnung wird auch als Übertragungssystem, Übertragungsglied oder 

dynamisches System bezeichnet. Wir beschränken uns bei unseren Betrachtungen, 

wie in /1/, wieder auf technische Systeme und definieren den Begriff des 

Übertragungssystems wieder wie folgt : 

Ein Übertragungssystem ist eine Funktionseinheit mit mindestens einem Sig- 

naleingang und mindestens einem Signalausgang 

u (t) y (t) 

Übertrag.system 

1.2 

u(t): Eingangssignal 

y(t): Ausgangssignal 

Bild 1.1.1 Symbolisierte Darstellung eines Übertragungssystems. 

und einer eindeutigen Signalflußrichtung, die durch die Pfeile in der Darstellung 

nach Bild 1.1.1 beschrieben wird.

Übertragungssysteme mit einem Eingang und einem Ausgang werden auch als 

SISO-Systeme (single input - single output) bezeichnet. Wie in /1/ dargestellt, 

existieren auch Systeme mit mehreren Eingängen und mehreren Ausgängen. Solche 

Systeme werden als Mehrgrößen- oder MIMO-Systeme (multiple input − multiple 

output) bezeichnet. Erläuternde Beispiele findet der Leser in /1/. 

1.2 Wozu dient Systemidentifikation ? 

Warum braucht man ein mathematisches Modell, wenn man ein reales 

Übertragungssystem vor sich hat, an dem man experimentell Fragestellungen (z.B. 

bei welcher Ankerspannung uA (t) stellt sich im Leerlauf eines Gleichstrommotors 

eine Drehzahl von n = 100 1/min ein) beantworten kann. 

Die Modellierung eines Systems ist kein Selbstzweck und geht über die reine 

Neugierbefriedigung weit hinaus. So ist es z.B. lebenswichtig zu wissen, wie sich ein 

Kernreaktor verhält, wenn z.B. eine Kühlwasserpumpe ausfällt. Ein Experiment ist 

wegen zu großer Gefahren nicht möglich. Eine Computersimulation auf der Basis 

eines mathematischen Modells dagegen führt zu aussagefähigen Ergebnissen, hat 

aber keine gefährlichen Konsequenzen, d.h. es findet keine Systemzerstörung mit 

Gefahr für Leib und Leben statt. 

Weiterhin lassen sich Verhaltensvorgänge mit mathematischen Modellen zeitlich 

dehnen oder verkürzen, so daß sehr kurze oder sehr lang andauernde 

Systemvorgänge in überschaubaren Zeiträumen beobachtet werden können. 

Wissenschaftliche Erkenntnisse lassen sich an Systemmodellen schöpfen bei deren 

realen Vorbildern sich keine gezielten Parameter- oder Strukturänderungen 

vornehmen lassen (z.B. bei der Simulation von Wetterlagen). 

Im Ausbildungssektor an technischen Geräten (Pilot/Flugzeug) sind Simulationssysteme, 

die im Kern auch auf mathematischen Modellen basieren, nicht mehr 

wegzudenken. 

Die Anwendungen im nicht technischen Systemmanagement (z.B. die Planung notwendiger 

Eingriffe in einen schadstoffbelasteten Wald an Hand einer extrapolierenden 

Simulation) und in der Entwicklungsplanung (z.B. die Abschätzung des Energiedienstleistungsbedarfs) 

an Hand eines mathematischen Modells stehen noch am 

Anfang ihres Einsatzes. 

Eine herausragende Bedeutung hat die Systemmodellierung in der Regelungstechnik, 

einer technischen Wissenschaft für den Entwurf von Beeinflussungs- 

Mechanismen ("Regler"), mit denen man Systemen ("Regelstrecken") im Sinne einer 

Funktionsoptimierung ein angestrebtes Verhalten aufprägen kann. Kein noch so 

einfacher Regler kann sinnvoll ohne ein mathematisches Modell des zu 

beeinflussenden Systems entworfen und getestet werden. 

1.3

2 Einflußgrößen bei der Systemidentifikation 

Ein System kann für die im Rahmen dieses Skriptes angestrebten Zwecke als 

identifiziert betrachtet werden, wenn ein mathematisches Modell vorliegt, das 

• das statische Verhalten, 

• das dynamische Verhalten und 

• den Aussteuerbereich 

des realen, zu identifizierenden Systems mit ausreichender Genauigkeit nachbildet. 

Abhängig von den Systemeigenschaften des zu identifizierenden Systems: 

• nichtlinear / linear 

• zeitvariabel / zeitinvariant 

und den gewünschten Eigenschaften des aufzustellenden mathematischen Modells 

• parametrisch / nichtparametrisch 

• Zustandsmodell / Eingangs-/Ausgangs-Modell 

• kontinuierliches Modell / zeitdiskretes Modell 

und der gestellten Zielsetzung, für die das mathematische Modell benötigt wird, z.B. 

• Modell für ein Simulationssystem (z.B. einen Flugsimulator) 

• Modell zum Entwurf eines Reglers 

• Modell einer elektronischen Schaltung 

ist das oben angestrebte Ziel, das statische und das dynamische Verhalten, sowie 

den Aussteuerbereich zu modellieren, auf verschiedenen Wegen und mehr oder 

weniger kompliziert zu erreichen. 

Wir wollen im folgenden zunächst die vorangehend aufgeführten Begriff etwas näher 

erläutern und dann den uns interessierenden Bereich der Systemidentifikation so 

weit einschränken, daß der Stoffumfang für eine einführende Betrachtung nicht zu 

groß wird. 

Dabei werden wir uns primär auf die Gebiete der Systemerkennung beschränken, 

wie wir sie später für die Regelungstechnik benötigen. 

2.1

2.1 Systemklassen 

Die zwei weiter vorn genannten Systemklassen 

• nichtlinear / linear 

• zeitvariabel / zeitinvariant 

erfordern verschiedene Herangehensweisen zu ihrer Identifikation. Wir betrachten 

deshalb die Systemklassen etwas genauer. 

2.1.1 Lineare und nichtlineare Systeme 

Alle in Kapitel 5 vorgestellten Systemerkennungsverfahren sind für lineare Systeme 

konzipiert. Da aber die meisten technischen Systeme nichtlinear sind, können wir uns 

nicht auf lineare Systeme beschränken. Nichtlineare Systeme lassen sich global in 

zwei Kategorien einordnen: 

• Systeme mit unstetigem nichtlinearen Verhalten ( z.B. Systeme mit 

Begrenzungen, Haftreibung, toten Zonen, Relais, usw. ). 

• Systeme mit stetigem nichtlinearen Verhalten (z.B. glatte statische 

Kennlinien). 

Während die erste Gruppe mit speziellen nichtlinearen systemtheoretischen 

Methoden beschrieben werden muß (z.B. sogenannte Beschreibungsfunktionen), 

kann man die zweite Gruppe, die ca. 4/5 der real auftretenden nichtlinearen Systeme 

beinhaltet, für regelungstechnische Zwecke i.A. ausreichend genau durch lineare 

Modelle approximieren. Das gilt sowohl für sogenannte statische Nichtlinearitäten, 

die durch eine nichtlineare statischen Kennlinie beschrieben werden, als auch für 

dynamische Nichtlinearitäten, wo sich das Zeitverhalten (also die Zeitkonstanten in 

der V-Normalform der Übertragungsfunktion) mit dem Arbeitspunkt des Systems 

ändern. Von beiden Effekten tritt wiederum die statische Nichtlinearität wesentlich 

häufiger auf, weshalb im Anhang A1 das Wesen und die Aussage statischer 

Kennlinien noch einmal ausführlich dargestellt sind. 

Wie in /1/ dargestellt wurde, lassen sich stetige nichtlineare Systemmodelle (auf die 

wir uns im Folgenden beschränken werden) auf der Basis einer Taylorreihe in einem 

Arbeitspunkt 

ut () = u ; xt () = x ; ( 211 

..) 

A A 

2.2

analytisch linearisieren. Man kann nun zeigen, daß das nichtlineare System die 

Eigenschaften des linearisierten System offenbart, wenn man es experimentell mit 

kleinen Amplituden um den Arbeitspunkt herum erregt. Dies gilt sowohl für statische 

als auch für das dynamische Nichtlinearitäten. Zur Erläuterung dieses Zusammenhangs 

betrachten wir folgendes 

Beispiel 2.1.1: Gegeben ist das dargestellte RC-Glied 

u (t) 

e 

i (t) 

R 

R 

u (t) 

R 

C 

2.3 

i C (t) 

i a (t) ≈ 0 

u (t) 

C 

Bild 2.1.1: Ein nichtlineares RC-Glied 

mit einem spannungsabhängigen Kondensator 

u a (t) 

C = C + C ⋅k ⋅u 

(). t 

( .. ) 

0 0 C 

212 

Setzt man (2.1.2) in das lineare Zustandsmodell /1/ 

i 1 1 

C − C e 

u (t) = u (t) + u (t) (2.1.3) 

RC RC 

u (t) = u (t) . 

a C 

ein, erhält man das nichtlineare Modell des obigen Systems mit spannungsabhängigem 

Kondensator: 

i 

1 1 

C − 

C e 

RC 0(1+ k ⋅ u C(t)) RC 0(1+ k ⋅u 

C(t)) 

u (t) = u (t) + u (t) (2.1.4) 

u (t) = u (t) . 

a C 

Linearisiert man dieses Modell analytisch um den Arbeitspunkt, der sich bei 

ue = ueA= konst. 

einstellt, erhält man das folgende linearisierte Modell

i 

1 1 

C C e 

RC 0(1+ k ⋅ u eA) RC 0(1+ k ⋅u 

eA) 

∆u (t) = − ∆u (t) + ∆u 

(t) (2.1.5) 

∆u (t) = ∆u 

(t) . 

a C 

und daraus die folgende Übertragungsfunktion: 

Ua( s) 

1 

Gs ( ) = = . ( 216 . . ) 

U ( s) 1+ RC ( 1+ 

k ⋅u) ⋅s 

e 0 eA 

Die Übertragungsfunktion stellt ein PT1-Glied mit dem Verstärkungsfaktor V=1 und 

der Zeitkonstante 

( ) 

T = R ⋅ C 1+ k ⋅u 

(2.1.7) 

0 eA 

dar. Das heißt, unser RC-Glied ist statisch linear (weil V in allen Arbeitspunkten 

konstant gleich 1 ist), aber dynamisch nichtlinear, da die Zeitkonstante von 

Arbeitspunkt ueA abhängig ist. Noch deutlicher wird dies, wenn wir beispielhaft 

folgende Parameter 

in (2.1.6) einsetzen: 

C01000 F R 1k k 1 

Volt 

1 

= µ ; = Ω; 

= 

( 218 . . ) 

U a (s) 1 

G(s) = = 

(2.1.9) 

U (s) 1+ ( 1+ u ) s 

�� 

e eA 

T 

und mit Matlab einige Einheits-Sprungantworten von (2.1.9) z.B. in den 

Arbeitspunkten 

u = 1V; u = 5V; u = 10V; ( 2. 110 . ) 

eA eA eA 

berechnen. (Vergleiche das folgende Bild 2.1.2) 

Man erkennt deutlich die Abhängigkeit des Zeitverhaltens des Systems von den 

Arbeitspunkten. 

2.4

Bild 2.1.2 : Einheits-Sprungantworten des linearisierten RC-Gliedes 

in verschieden Arbeitspunkten 

Kommen wir doch zum Ausgangspunkt unserer Betrachtungen zurück, wo wir 

sagten, daß das nichtlineare System bei kleinen Erregungen um den Arbeitspunkt die 

Eigenschaften des linearisierten Systems widerspiegelt. 

Simulieren wir das nichtlineare System (2.1.4) mit den eingesetzten Parameterwerten 

(2.1.8) 

y(t) 

1 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

z.B. unter Simulink 

0 

0 10 20 30 40 50 

t / sek 

• 1 

C = e − C 

1+ u C(t) 

a C 

y(ue=1V) 

y(ue=5V ) 

y(ue=10V) 

( ) 

u (t) u (t) u (t) 

u (t) = u (t) (2.1.11) 

Bild 2.1.3 : Simulink Simulationsstruktur eines nichtlinearen RC-Gliedes 

und führen "kleine Sprünge" ∆u⋅σ(t) mit ∆u = 1V um die Arbeitspunkte (2.1.10) aus, 

ergeben sich die im folgenden Bild (2.1.4) dargestellten Sprungantworten: 

2.5

12 

10 

8 

6 

4 

2 

y(t) 

ueA = 5V 

ueA = 10V 

u V 

eA = 1 9.5 

0 

0 100 200 300 

t/sek 

1.5 

1 

0.5 

50 60 70 80 90 100 

2.6 

10.5 

10 

9.5 

250 260 270 280 290 300 

5.5 

5 

4.5 

150 160 170 180 190 200 

Bild 2.1.4 : Einheitssprungantworten des nichtlinearen RC-Glides 

um die Arbeitspunkte ueA=1V; 5V und 10 V

Ein Vergleich der Sprungantworten des linearisierten Systems (Bild 2.1.2) mit den 

Sprungantworten des nichtlinearen Systems in den gleichen Arbeitspunkten, z.B. 

durch Ausmessung der Zeitkonstanten, zeigt eine verblüffende Übereinstimmung in 

Amplituden und Zeitverläufen. 

Welche praktische Schlußfolgerung für die Systemerkennung kann man daraus nun 

ziehen? 

Erinnern wir uns an das Bild 1.0.1, das das Grundprinzip der experimentellen 

Modellbildung darstellt: wir können uns auf der Basis der vorangehend gemachten 

Überlegungen einen Eingangs-/Ausgangs-Datensatz unseres nichtlinearen Systems 

verschaffen, mit dem wir ein mathematisches Modell berechnen können. Wählen wir 

den Arbeitspunkt unseres Systems (die meisten Regelstrecken werden in einem 

festen Arbeitspunkt betrieben) und erregen es dort mit kleinen Amplituden, erhalten 

wir am Ausgang quasi die Systemantwort des "linearen Systemmodells" in diesem 

Arbeitspunkt. Eine komplizierte theoretische Modellbildung mit anschließender 

analytischer Linearisierung ist also nicht mehr nötig. 

Man sollte es sich zum Prinzip machen, experimentelle Systemerkennung immer auf 

der Basis von Eingangs-/Ausgangs-Datensätzen durchzuführen, die durch kleine 

Erregungsamplituden um den Arbeitspunkt herum entstanden sind. 

Wird das System nicht nur in einem Arbeitspunkt betrieben, ist es mit der 

beschriebenen Vorgehensweise auch einfach möglich, eine quasilineares Übertragungsfunktions-Modell 

zu bilden. In unserem Beispiel müßte nur die Zeitkonstante 

des PT1-Gliedes in Abhängigkeit von der Eingangsgröße ue(t) nachgestellt werden. 

2.1.2 Zeitvariable und zeitinvariante Systeme 

Ist ein System zeitinvariant, d.h. ändern sich seine Parameter nicht mit der Zeit, liegt 

der einfachere Fall vor und eine experimentelle Systemerkennung nach sogenannten 

Offline-Verfahren, wie sie im Kapitel 5 beschrieben werden (das „SKQ-Offline- 

Verfahren2 und das „Verfahren zur Bestimmung der Parameter der 

Übertragungsfunktion mittels einer Optimierungsstrategie“), ist möglich. 

Ändern sich die Parameter während des Betriebes, sind zwei Varianten möglich: 

• die Parameter ändern sich vorhersagbar mit der Zeit (z.B. die Masse einer 

fliegenden Rakete in Abhängigkeit vom Treibstoffverbrauch, der berechenbar 

oder meßbar ist), 

• die Parameter ändern sich nicht vorhersagbar (z.B. die Form der 

Titrationskennlinie eines Abwasser-Neutralisationsreaktors ändert sich auf Grund 

2.7

der verschiedenen Pufferungseigenschaften des Abwassers, was sich 

systemtheoretisch in einer Änderung des Verstärkungsfaktors der 

Übertragungsfunktion ausdrückt). 

Der erste Fall kann durch ein lineares System mit sich ändernden aber 

berechenbaren Parametern modelliert werden. Der zweite Fall ist wesentlich 

anspruchsvoller, weil die Parameteränderungen zufällig auftreten und nicht voraus 

berechenbar sind. Dieses Problem kann mittels sogenannter Online- oder Echtzeit- 

Identifikationsverfahren gelöst werden, die in Echtzeit während des laufenden 

Betriebs des zu identifizierenden Systems ständig ein aktuelles Systemmodell 

berechnen. In Kapitel 5.3.1.2 wird das Grundprinzip einer solchen Methode, das 

„SKQ-Online Verfahren“ beschrieben. Solche Verfahren können z.B. zur 

schrittweisen Verbesserung eines durch ein Offline-Verfahren identifiziertes System 

oder zur ständigen Identifikation von Regelstrecken mit sich nicht vorhersagbar 

ändernden Parametern benutzt werden. Den letzteren Fall, der bei sogenannten 

„Adaptiven Regelkreisen“ eingesetzt wird, wollen wir im Rahmen dieser Einführung 

in die Systemidentifikation nicht weiter vertiefen. 

2.2. Modellformen 

Im vorangehenden Kapitel haben wir verschieden Systemklassen hinsichtlich ihrer 

Zugänglichkeit in Bezug auf die Systemerkennung untersucht. In diesem Kapitel 

wollen wir verschiedene Modellformen betrachten, mit denen sich Systeme 

modellieren lassen. Hinsichtlich der Systemerkennung sind drei Modellgruppen 

wesentlich. 

• parametrische / nichtparametrische Modelle 

• Glasbox- / Blackbox bzw. Zustands- / Eingangs-Ausgangs-Modelle 

• kontinuierliche / zeitdiskrete Modelle 

2.2.1 Parametrische und nichtparametrische Modelle 

Diese Begriffsbildung wurde bereits in /1/ eingeführt: Als nichtparametrisches Modell 

eines Systems wird i.a. ein Graph oder eine Wertetabelle einer Systemkenngröße 

bezeichnet, die uns eine gewisse Information über das System gibt. So sind z.B. die 

Sprungantwort und das Bodediagramm eines Systems zwei typische, häufig genutzte 

nicht-parametrische Systemmodelle. An der Sprungantwort können z.B. das 

Globalverhalten, der stationäre Verstärkungsfaktor und das Einschwingverhalten 

studiert werden. Das Bodediagramm gibt uns einen tiefen Einblick in das 

2.8

Frequenzverhalten eines Systems. Nichtparametrische Modelle werden i.a. durch 

einfache Messungen am zu identifizierenden System gewonnen. 

Qualitativ hochwertiger sind i.a. parametrische Modelle, die in Form analytischer 

Ausdrücke (Formeln, Gleichungen) das Systemverhalten beschreiben. Liegt einmal 

ein parametrisches Modell vor, kann man es leicht in jeden Betrachtungsbereich 

(Zeit-, Bild- und Frequenzbereich) transformieren /1/ und somit jedes gewünschte 

nichtparametrische Modell berechnen. Allerdings ist der Aufwand zur Gewinnung 

eines parametrischen Modells ungleich höher als bei einem nichtparametrischen 

Modell. 

Ziel unserer Betrachtungen wird es sein, parametrische Modelle von Übertragungssystemen 

zu bestimmen. Dabei wird i.a. zweischrittig vorgegangen: zuerst wird ein 

nichtparametrisches Modell in Form eines Systemantwort gemessen und daraus ein 

parametrisches Modell berechnet. 

2.2.2 Glasbox- und Blackbox-Modelle 

Parametrische mathematische Modelle können zwei grundsätzlich verschiedene 

Formen haben: 

• Das Modell wird so entworfen, daß es das Systemverhalten nachahmt. Die innere 

Struktur von System und Modell müssen dabei nicht übereinstimmen. Man nennt 

solche Modelle "Blackbox-Modelle" 

• Das Modell wird so entworfen, daß wesentliche Systemstrukturen und 

Wirkungselemente auf das Modell abgebildet werden. Das innere und das äußere 

Modellverhalten entsprechen dann dem des realen Übertragungssystems. Man 

nennt ein solches Modell dann "Glasbox-Modell". 

Beide Modellformen haben wir in /1/ bereits unter anderen Namen kennengelernt: 

Das auf der Basis einer theoretischen Modellbildung gewonnene Zustandsmodell ist 

ein Glasbox-Modell, weil das innere Systemverhalten (Verlauf der Zustandsgrößen) 

und das äußere Verhalten zwischen Eingang und Ausgang dem des realen Systems 

entsprechen. 

Übertragungsfunktions-Modelle (egal ob kontinuierlich oder zeitdiskret) sind typische 

Vertreter des Blackbox-Modells, die die Struktur und die Parameter des Systems 

nicht widerspiegeln, sondern nur das Verhalten zwischen seinem Eingang und 

seinem Ausgang. 

2.9

Man nennt Blackbox-Modelle in der Systemtheorie deshalb auch häufig "Eingangs-/ 

Ausgangs Modelle" (E/A-Modelle). Auch die rekursive Differenzengleichung, das 

Zeitbereichsmodell zeitdiskreter Systeme, ist ein E/A-Modell. 

Wir werden in erster Linie Verfahren zur Identifikation von Übertragungsfunktionen, 

also E/A-Modellen, kennenlernen. Im Kapitel 5.3.4 gehen wir kurz auf die 

Identifikation von Parametern in Zustandsmodellen ein. 

2.2.3 Kontinuierliche und zeitdiskrete Modelle 

Nahezu alle technischen Systeme arbeiten kontinuierlich. Einige System- 

identifikations-Verfahren gehen aber den Umweg, daß sie zunächst ein zeitdiskretes 

Modell bestimmen. Das ist für regelungstechnische Zwecke oft ausreichend, in 

einigen Fällen benötigt man aber ein kontinuierliches Systemmodell. In diesem Falle 

wird ein Umrechnungs-Algorithmus benötigt, mit dem man zeitdiskrete Systeme in 

kontinuierliche umrechnen kann. In /1/ hatten wir zwei Verfahren zur Diskretisierung, 

d.h. zur Berechnung zeitdiskreter Systeme aus kontinuierlichen, also den 

umgekehrten Weg kennengelernt: 

• die Tustinsche Näherung 

Gz ( ) = Gs ( ) 2 z − 1 

( 221 . . ) 

s = 

T 

z + 1 

• und die Sprunginvarianz-Transformation 

z−1 ⎧G(s) ⎫ 

G(z) = Z ⎨ ⎬. 

(2.2.2) 

z ⎩ s ⎭ 

Beide können auch in Algorithmen zur Berechnung kontinuierlicher Systeme aus 

zeitdiskreten umgeformt werden. Bei der Tustinschen Näherung ist die besonders 

einfach, der Ausdruck 

z 

s = ⋅ 

T z 

− 2 1 

+ 1 

muß nach z umgestellt werden 

s 

z 

T 

s T 

1+ 

= 2 . ( 223 . . ) 

1− 

2 

2.10

Damit berechnet sich das kontinuierliche System aus 

T 

1+ s 

G(s) = G(z) 

z 

2 . (2.2.4) 

= 

T 

1−s 2 

Dabei ist T die Abtastzeit des zeitdiskreten Systems. 

Die Umkehrung der Sprunginvarianz-Transformation (2.2.2) ist wesentlich 

aufwendiger ableitbar. Da uns einige mathematische Grundlagen fehlen (z.B. der 

Lösungsweg zur Berechnung des Ausdruckes Φ = eAT), wollen wir auf eine Ableitung 

verzichten. Der Leser findet nähere Einzelheiten in /7/. 

Matlab stellt mit dem Befehl 

sys_k = d2c(sys_d, methode) (2.2.5) 

neben den beiden oben erwähnten Transformationsverfahren noch eine Reihe 

anderer zur problemlosen Wandlung zeitdiskreter (sys_d) in kontinuierliche (sys_k) 

Modelle zur Verfügung. Einzelheiten zum Matlab-Befehl "d2c.m" befinden sich in 

/20/. 

2.11

3. Meßtechnik zur Systemidentifikation 

Grundlage jeder Systemidentifikation auf der Basis von Eingangs-/Ausgangsdatensätzen 

eines Übertragungssystems nach Bild 1.0.1 ist die sachgerechte Messung dieser Signale. 

Es ist zweckmäßig, die Systemerregung digitalrechnergestützt zu generieren und auch 

die dazugehörige Systemantwort ebenso zu messen. 

Am einfachsten läßt sich ein solches Meßsystem auf der Basis eines PCs aufbauen, der 

um eine Reihe von Hard- und Softwarekomponenten erweitert werden muß. Diese sollen 

im folgenden kurz besprochen werden. 

3.1 Hardwareerweiterungen für die PC-Meßtechnik 

Das folgende Bild 3.1.1 zeigt die wichtigsten Komponenten, um die ein PC erweitert 

werden muß, wenn er zur experimentellen Systemidentifikation benutzt werden soll. 

Neben dem PC mit Tastatur, Monitor, Massenspeicher und Drucker sollte das System um 

einen "Meßkanal" und einen "Erregungskanal" erweitert werden. Wichtigste Baugruppen 

im Meßkanal sind der Analog-/Digital-Wandler und im Erregungskanal der Digital- 

/Analog-Wandler, die erst die Kommunikation des PCs mit seiner kontinuierlichen Umwelt 

möglich machen. Beide Bauelemente befinden sich häufig auf einer PC-Einsteckkarte, 

die von der Industrie in verschiedenen Ausführungen angeboten wird. 

Beginnen wir mit der Erläuterung der Baugruppen am Meßkanal-Eingang: 

• Pegelanpassung 

Das erste Glied der Verarbeitungskette im Meßkanal besteht aus einer Pegelanpassungs-Baugruppe, 

die normierte elektrische Eingangssignale von Meßeinrichtungen 

für elektrische und nichtelektrische Größen verarbeiten kann. 

Meßeinrichtungen bilden i.a. ihre Eingangsgrößen (Drücke, Temperaturen, Spannungen, 

Durchflüsse, usw.) linear auf einen Spannungs- oder Stromausgang ab. 

In Falle von Spannungen werden die Eingangsgrößen auf Spannungs-Spannen, die 

entweder bipolar (-1V - +1V; -5V - +5V; -10V - +10V) oder unipolar sind (0V - 1V, 0V - 5V, 

0V -10V), abgebildet. Häufig besitzen Meßeinrichtungen auch hochohmige 

Stromausgänge. In diesem Fall werden die Eingangssignale i.a. linear auf Ströme von 

0mA - 20mA oder 2mA - 20mA abgebildet. Die Pegelanpassung muß diese Signale 

aufnehmen können und sie für die Bedürfnisse der folgenden Stufe aufbereiten. Wir 

beschränken uns bei den folgenden Betrachtungen auf Spannungen. 

3.1

Bedienelemente 

Digital-/Analog- 

Wandler 

Trennverstärker 

Pegelanpassung 

Erregungskanal- 

Ausgang 

PC 

Wechselspannungs- 

Verstärker-Vorstufe 

Abtast- und 

Halteglied 

Gleichspannungs- 

Verstärker 

Pegelanpassung 

Massenspeicher 

3.2 

Trennverstärker 

Drucker 

Analog-/Digital- 

Wandler 

Anti-Aliasing 

Filter 

Meßkanal- 

Eingang 

Offset- 

Einstellung 

PC-Einsteck-Karte 

Bild 3.1.1: Hardware-Erweiterungen eines PCs für Meßaufgaben zur Systemerkennung

• Galvanischer Trennverstärker 

Die Aufgabe des zweiten Vorverarbeitungs-Gliedes, des galvanischen Trennverstärkers, 

besteht darin, zwei elektrische Stromkreise so zu trennen, daß keine Leitungsverbindung 

zwischen den beiden Kreisen mehr besteht. Lediglich das Meßsignal wird mit geeigneten 

Übertragungs-Elementen vom Datensender (Meßeinrichtung am zu identifizierenden 

System) an den Datenempfänger (PC) weitergeleitet. Diese Datenübertragung kann 

optisch, mittels sog. Optokoppler, induktiv mittels Transformatoren oder kapazitiv über 

spezielle Kondensatoren erfolgen. Auch galvanisch getrennte Gleichspannungsübertragungen 

sind möglich. Sender und Empfänger müssen, damit eine absolute 

galvanische Trennung vorliegt, auch aus separaten Versorgungs-Spannungsquellen 

gespeist werden. Entweder wird ein entsprechend sicheres Netzgerät insbesondere für 

die Stromversorgung des Senders und die vor ihm liegenden Elemente der Meßkette 

(Pegelanpassungs-Baugruppe) entworfen oder man speist diesen Teil der 

Meßeinrichtung aus einer Batterie. Wie man aus den vorangegangenen Bemerkungen 

bereits erkennen kann, liegt der Sinn eines galvanischen Trennverstärkers darin, das 

Meßsystem vor hohen elektrischen Spannungen zu schützen, die z.B. durch einen 

Kabelbruch im zu identifizierenden System ohne galvanische Trennung auf das 

Meßsystem übertragen werden könnten. Auch Meßverfälschungen durch Masseschleifen 

werden verhindert. Aufbauprinzip und Schaltungsvorschläge für galvanische 

Trennverstärker können in /6/ nachgelesen werden. 

• Gleich-/Wechselspannungs-Verstärker 

Ein der galvanischen Trennung nachgeschalteter Gleich-/Wechselspannungsverstärker 

hat primär die Aufgabe, den Analog-/Digital-Wandler so anzusteuern, daß er den 

Datenwandlungsvorgang mit möglichst großer Genauigkeit vornimmt. 

Zur Erläuterung diese Vorganges muß etwas weiter ausgeholt und teilweise auch auf die 

Erläuterung eines A/D-Wandlers vorgegriffen werden. 

Ein Analog-Digital-Wandler setzt einen Amplitudenwert eines anliegenden Analog-Signals 

in einen binär kodierten Zahlenwert um, den der Digitalrechner einlesen und verarbeiten 

kann. Besitzt z. B. ein A/D-Wandler eine Auflösung von 8 Bit, so ist er in der Lage, einen 

anliegenden Analogamplitudenwert in 28 unterscheidbare Binärzahlenwerte von 0 bis 255 

umzusetzen. Dabei wird bereits beim Entwurf des A/D-Wandlers (in der Herstellerfirma) 

festgelegt, welche analoge Eingangsspannungs-Spanne auf diesen Zahlenbereich 

abgebildet wird. Für unsere Betrachtungen wollen wir annehmen, daß eine 

Eingangsspanne von 0V bis 10V linear auf einem Zahlenbereich von 0 bis 255 abgebildet 

wird: 

3.3

Bild 3.1.2 : Abbildung eines Analog-Spannungsbereiches auf 

Binärzahlenwerte bei der A-/D-Wandlung 

Das heißt, eine Spannung von 0V erzeugt das Datenbyte 0, eine Spannung von 10V das 

Datenbyte 255 und alle dazwischen liegenden Spannungswerte die binären Daten (BD) 

⎛Uin ⋅ 255 ⎞ 

BD = round ⎜ (3.1.1) 

10V 

⎟ 

⎝ ⎠ 

("round" soll dabei andeuten, daß BD gerundet wird und nur ganzzahlige Werte 

annehmen kann). 

Die Genauigkeit der A/D-Wandlung ist abhängig von der Auflösung des A/D-Wandlers. In 

unserem Fall kann der Spannungsbereich 0V - 10V in 256 unterscheidbare Inkremente 

von 10V / 256 = 39,1 mV aufgelöst werden. Das heißt, der maximale Fehler bezogen auf 

den Skalenendwert des Eingangssignals beträgt 

− 3 

39, 1⋅ 10 V 

⋅ 100% = 0, 4% 

10V 

. 

Soll nun eine Eingangsspannung, die nur einen Bereich von 0V bis 1V überstreicht, mit 

diesem A/D-Wandler in binäre Daten gewandelt werden, steuert dieses Signal den A/D- 

Wandler nur zu 1/10 aus, das heißt, der Meßfehler vergrößert sich auf 

− 3 

39, 1⋅ 10 V 

⋅ 100% = 4% 

1V 

, 

wächst also um das Zehnfache. Dieser Fehler kann verhindert werden, wenn man das 

Eingangssignal so verstärkt, daß die gesamte Eingangsspanne des Wandlers ausgenutzt 

wird. In unserem Falle müßte das Eingangssignal um den Faktor 10 verstärkt werden, um 

wieder zu einem Fehler von 0,4% zu gelangen. (Die jetzt in den Computer gelangende 

Amplitudeninformation ist natürlich um den Faktor 10 zu groß. Dies ist jedoch einfach 

3.4

dadurch korrigierbar, daß z.B. bei einer Signalanzeige auf dem Bildschirm die 

Ordinatenskalierung entsprechend geeicht wird, oder das eingelesene Datum nach einer 

Fließkomma-Wandlung durch 10 geteilt wird). 

Läge eine Eingangsspannung von z.B. 25V vor, müßte das Eingangssignal um den 

Faktor 2,5 abgeschwächt werden, um den gesamten Spannungsbereich mit dem A/D- 

Wandler erfassen zu können. 

Alles dies leistet ein Verstärker (Abschwächer), der vor den A/D-Wandler geschaltet wird. 

Stattet man den Verstärker neben der Möglichkeit, Signale zu verstärken oder 

abschwächen zu können, noch mit der Fähigkeit aus, dem Meßsignal additiv eine 

Gleichspannung zu überlagern (Offset-Aufschaltung), gelingt es, Eingangssignale fast 

beliebiger Ordinatenlage wieder auf die Eingangsspanne unseres A/D-Wandlers 

umzuformen. 

Bild 3.1.3 : Wirkung eines Verstärkers mit Offset-Aufschaltung 

In dem in Bild 3.1.3 dargestellten Beispiel wird ein um den Nullpegel herum 

schwankendes Signal mit ∆u = 2V zunächst um den Faktor 5 verstärkt und dann mit einer 

Offset-Anhebung von +5V auf die Eingangsspanne unseres A/D-Wandlers angehoben. 

Häufig besitzen solche Verstärker zwei vom Benutzer wählbare Eingänge 

• einen sogenannten Gleichspannungs-Eingang 

(DC-Eingang; DC:durent current) 

• und einen sogenannten Wechselspannungs-Eingang 

(AC-Eingang; AC: alternating current). 

Der in Bild 3.1.3 dargestellte Verstärker besitzt einen Gleichspannungs-Eingang. Er läßt 

sowohl Gleich- als auch Wechselspannung passieren. 

3.5

Ein Verstärker mit Wechselspannungseingang enthält in seiner ersten Stufe ein 

Hochpaßfilter mit einer möglichst niedrigen Grenzfrequenz (z.B. 0,5 Hz). Dieses Filter 

sorgt dafür, daß sehr niederfrequente Signale und insbesondere Gleichspannung 

unterdrückt werden und Wechselspannungen, deren Frequenzkomponenten größer sind 

als die Grenzfrequenz des Hochpasses, durchgelassen werden. 

Ist zum Beispiel eine Wechselspannung einer relativ hohen Gleichspannung überlagert, 

die man nicht mehr mit der Offset-Einstellung kompensieren kann, empfiehlt es sich, 

sofern die Wechselspannung die Signalinformation enthält, zum Messen den 

Wechselspannungseingang zu benutzen: 

Bild 3.1.4 : Wirkung eines Verstärkers mit Wechselspannungs-Eingang 

Das Hochpaßfilter befreit das Meßsignal zunächst von seiner Gleichspannungskomponente, 

die den Gleichspannungsverstärker i.a. schon übersteuert hätte. 

Anschließend wird das Wechselsignal wie in Bild 3.1.3 verstärkt und verschoben, so daß 

wieder der Aussteuerbereich des A/D-Wandlers voll ausgeschöpft wird. Die elektronische 

Schaltungstechnik von Gleich- und Wechselspannungsverstärkern wird ausführlich in /6/ 

beschrieben. 

3.6

• Abtast- und Halteglied 

Nach Bild 3.1.1 folgt dem Gleich-/Wechselspannungs-Verstärker in den 

Vorverarbeitungsstufen zur digitalen Signalverarbeitung ein sogenanntes Anti-Aliasing- 

Filter (AL-Filter). Die Aufgabe dieses Filters besteht darin, Fehlmessungen zu vermeiden, 

die durch den in der nächsten Stufe erfolgenden Abtastprozeß des kontinuierlichen 

Signals entstehen können. Wir betrachten deshalb zunächst das Abtast- und Halteglied 

(AH-Glied) und den A/D-Wandler, um dann noch einmal auf das AL-Filter zurück zu 

kommen. 

Digitalrechner sind nicht in der Lage, zeitkontinuierliche Signale auch zeitkontinuierlich zu 

verarbeiten. Während analoge Baugruppen, wie z.B. Niedefrequenz-Verstärker, zu einem 

über der Zeit kontinuierlichen Eingangssignal ein (zwar durch die Baugruppe spezifisch 

verformtes) zeitkontinuierliches Ausgangssignal liefern, kann ein Digital-rechner durch 

seine endliche Verarbeitungsgeschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt nur einem 

Signal-Amplitudenwert einlesen, anschließend in einem darauf folgenden Zeitraum 

diesen Wert verarbeiten (z.B. die Wurzel aus dem Wert ziehen) und anschließend in 

einem erneuten Zeitabschnitt diesen neuen Wert z.B. zur Anzeige auf einem Monitor an 

einen Ausgangsport ausgeben. 

Erst nach Ablauf der Summe dieser Zeitschritte kann der Digitalrechner wieder einem 

neuen Signal-Amplitudenwert einlesen, verarbeiten und ausgeben. Dieser Vorgang kann 

beliebig lange fortgesetzt werden. 

Das Abtast- und Halteglied übernimmt in diesem Zusammenhang die Aufgabe, zu einem 

bestimmten Zeitpunkt (durch den Digitalrechner gesteuert) den Amplitudenwert des 

Analogsignals abzutasten (i.a. geschieht dies durch einen elektronischen Schalter, der 

den Spannungswert in einen Kondensator lädt). Dieser Spannungswert wird vom AH- 

Glied an den AD-Wandler übergeben und so lange vom AH-Glied gehalten, bis der AD- 

Wandler den Spannungswert in eine Binärzahl gewandelt hat. Durch den Einsatz des AH- 

Gliedes wird vermieden, daß sich das analoge Eingangssignal des AD-Wandlers 

während des Wandlungsvorganges ändert und somit keinen falschen Binärwert erzeugt. 

Die Zeit, die zwischen zwei Abtastvorgängen vergeht, wird Abtastzeit (T) genannt. Im 

allgemeinen ist diese Abtastzeit für eine Meßvorgang immer konstant. 

• Analog-/Digital-Wandler 

Der Analog-/Digital-Wandler erzeugt aus dem an seinem Eingang liegenden analogen 

Amplitudenwert eine Binärzahl, die in einem seriellen oder parallelem Ausgaberegister 

dem Digitalrechner zur Verfügung gestellt wird. 

3.7

Die Wandlungsgeschwindigkeit von A/D-Wandlern ist abhängig von der im A/D-Wandler 

angewendeten Technologie, die wir aus Zeitgründen hier nicht erläutern können. Für die 

Systemidentifikation technischer Systeme sollten Wandler mit Wandlungszeiten im µsek- 

Bereich eingesetzt werden. 

Bild 3.1.5 : Prinzip des Abtast- und AD-Wandlungs-Vorgangs 

Wichtig für spätere Ordinatenskalierungen von Meßergebnissen ist der schon einmal in 

Bild 3.1.2 beispielhaft dargestellte Abbildungsbereich der analogen Eingangsspanne auf 

ein Binärwort bestimmter Breite. 

Die Binärwortbreite beträgt bei handelsüblichen AD-Wandlern 8, 10 oder 12 Bit. AD- 

Wandler für Meßaufgaben in der Systemidentifikation sollten 10 - 12 Bit Auflösung haben, 

so das die Meßgenauigkeit 

• bei 10 Bit: 1 

10 

2 

= 

1 

≈ 

1024 

1o 

oo 

• bei 12 Bit: 1 

12 

2 

= 

1 

≈ 

4096 

025 , o 

oo 

bezogen auf den Endwert der Eingangsspanne des Wandlers beträgt. 

Der zur Aussteuerung des AD-Wandlers notwendige Spannungsbereich muß nicht, wie 

weiter vorn angenommen, zwangsläufig zwischen 0V und 10V liegen. Es existieren auch 

AD-Wandler, die mit Eingangsspannen von z.B.: -1V bis +1V, -5V bis +5V oder 0V bis 1V 

angesteuert werden müssen. Auch der Abbildungsbereich der Binärzahlen muß nicht bei 

0 beginnen. Am Markt angebotene A/D-Wandler können das Eingangssignal (z.B. bei 

einem 10 Bit A/D-Wandler) auf einen Binärzahlenbereich von -512 bis +511 abbilden. 

System- und signaltheoretisch wichtig ist die Tatsache, daß das analoge Meßsignal von 

AH-Glied zeitquantisiert (zeitdiskretisiert) und von AD-Wandler wertquantisiert 

(amplitudenquantisiert) wird. 

3.8

Während die Zeitquantisierung, wie wir aus /1/ wissen, erheblichen Einfluß auf die 

Methoden der Signalverarbeitung hat, kann ab einer Auflösung von 10 bis 12 Bit die 

Amplitudenquantisierung in der experimentellen Systemidentifikation i.a. vernachlässigt 

werden. Schaltungstechnische Einzelheiten von AH-Gliedern und A/D-Wandlern können 

in /6/ nachgelesen werden. 

• Anti-Aliasing Filter 

Kommen wir noch einmal zum Anti-Aliasing-Filter zurück: Wie in /1/ begründet, darf bei 

der Abtastung von kontinuierlichen Signalen das sogenannte SHANNONsche Abtast- 

Theorem 

f 

fT: Abtastfrequenz 

1 

= > 2⋅f( ) T: Abtastzeit 

( 3. 12 . ) 

T 

fMax ( Signal) 

: maximale 

im Signal 

vorkommende Frequenz 

T Max Signal 

nicht verletzt werden. Tastet man z.B. unter Verletzung des Abtasttheorems (vergleiche 

das folgende Bild 3.1.6) ein Signal mit einer Frequenz fSignal = 0,5 Hz mit einer 

Abtastzeit T = 2,5 sek., 

Bild 3.1.6 : Ein Beispiel zum Aliasing-Effekt 

was einer Abtastfrequenz fT = 1/2,5 sek. = 0.4 Hz entspricht, ab, erhält der Digitalrechner 

über die Abtastwerte (im Bild 2.19 als kleine Kreise dargestellt) eine Signal-Information, 

aus der sich eine Signalfrequenz von 0,1 Hz rekonstruieren läßt. Also eine völlig falsche 

3.9

Frequenz, die man Aliasing- oder Rückfaltungsfrequenz nennt. Man kann zeigen, daß die 

Aliasing-Frequenz immer niedriger ist, als die Frequenz des anliegenden Meßsignals. 

Bestehen nun Meßsignale aus einem Frequenzgemisch (woraus sie i.a. immer 

bestehen), kann es vorkommen, daß bei einer gewählten festen Abtastzeit hohe 

Frequenzkomponenten des Nutzsignals (dies können auch dem Nutzsignal überlagerte 

Störanteile sein) das Abtasttheorem verletzen und als Alias-Frequenzen in den 

Nutzsignalbereich gespiegelt werden und die Nutzsignalform verfälschen. 

Um dies zu vermeiden, wird in den Signalverarbeitungsweg ein analoges Tiefpaßfilter, 

das sogenannte Anti-Aliasing-Filter (vergleiche auch Bild 3.1.1), eingefügt, dessen 

Grenzfrequenz fg so gewählt wird, daß alle Signalfrequenzen, die Alias-Frequenzen 

erzeugen könnten, unterdrückt werden: 

f 

fT 

1 

( − ) ≤ = 

( 313 . . ) 

2 2 ⋅ T 

g AL Filter 

Bild 3.1.7 : Die Wirkung eines Anti-Aliasing-Filters im Frequenzbereich 

Das Bild 3.1.7 zeigt die Frequenzlage eines Anti-Aliasing-Filters im Frequenzbereich. Die 

Grenzfrequenz des Filters liegt am Ende der Frequenzanteile des Nutzsignals. Darüber 

hinaus liegende Frequenzkomponenten eines überlagerten Störsignals werden von ihm 

unterdrückt und können dann nicht mehr zu Aliasing -Effekten führen. 

Im Erregungskanal des Meßsystems (vergleiche Bild 3.1.1), über den die 

Eingangserregung vom PC zum zu identifizierenden System weitergeleitet wird, befinden 

3.10

sich weniger Baugruppen als im Meßkanal. So kann z.B. der Gleich-/Wechsespannungs- 

Verstärker entfallen, weil die gewünschten Signalamplituden mittels Software im PC 

beliebig gestaltet werden können. 

Beginnen wir mit der Erläuterung der ersten Ausgabebaugruppe hinter dem PC, dem 

Digital-/Anaolog-Wandler. 

• Digital-/Analog-Wandler 

Der Digital-/Analog-Wandler hat die Aufgabe, Erregungssignale, die als digitale 

Zahlenfolgen im Abstand der Abtastzeit T im PC per Programm erzeugt werden, in 

analoge (kontinuierliche) Spannungen abzubilden. 

D/A Wandler werden, ähnlich wie A/D-Wandler mit verschiedenen Auflösungen (8, 10, 12 

Bit), verschiedenen Ausgangspannungs-Spannen und Umsetzgeschwindigkeiten von der 

Industrie angeboten. Liegt z.B. ein D/A-Wandler vor, der bei 8 Bit Auflösung eine 

Ausgangsspanne von 0 - 10V besitzt, bildet dieser einen Zahlenbereich von 0 - 255 auf 

0 - 10V ab: 

Bild 3.1.8 : Abbildung eines binären Zahlenwertes auf eine analoge 

Spannung bei einem D/A-Wandler 

Das heißt, ein Zahlenwert von 0, den der PC ausgibt, wird auf 0V, ein Zahlenwert von 

256 auf 10V und alle dazwischen liegenden binären Datenwerte (BD) auf 

u 

out = 

BD V 

⋅10 

255 

. ( 314 . . ) 

abgebildet. Da die binären Daten nur ganzzahlig sind, kann sich uout nur in gewissen 

Quanten ändern, deren Größe von der Auflösung des D/A-Wandlers und seiner 

Ausgangsspanne abhängig ist. Bei unserem betrachteten Wandler in Bild 3.1.8 ergibt 

sich eine Ausgangsspannungs-Quantelung von 

3.11

∆u 

out 

10V 

= ≈ 40mV 

255 . 

Bei einem 12-bit D/A-Wandler mit gleicher Ausgangspanne sinkt dieser Wert auf 

∆u 

out 

10V 

= ≈ 24 , mV 

4095 . 

Für die Systemidentifikation werden D/A-Wandler mit einer Auflösung von 10 - 12 Bit 

eingesetzt. 

Da die Zahlenfolgewerte BD nur in Abständen der Abtastzeit T vom PC ausgegeben 

werden, wird der zuletzt ausgegebene Analogwert vom D/A-Wandler so lange gehalten, 

bis nach Ablauf der Abtastzeit wieder ein neuer Analogwert ausgegeben wird. Das heißt, 

am Ausgang des D/A-Wandlers entsteht ein treppenförmiges Ausgangssignal. Die 

Treppenlänge ist abhängig von der gewählten Abtastzeit. 

Bild 3.1.9 : Ein- und Ausgangssignal eines D/A-Wandlers 

Bei genügend kleiner Abtastzeit T ist die Treppe kaum noch zu erkennen, das Signal wird 

"quasikontinuierlich". 

• Trennverstärker und Pegelanpassung 

Der Trennverstärker und die Pegelanpassung haben im Erregungskanal die gleiche 

Aufgabe wie im Meßkanal. 

3.12

3.2 Software-Erweiterungen für die PC-Meßtechnik 

Um mit der vorangehend beschriebenen Hardware in einem festen Zeitraster, nämlich im 

Abstand der Abtastzeit T Systemantworten einlesen und anzeigen zu können und 

darüber hinaus -quasi zeitlich parallel- ein Erregungssignal für das zu identifizierende 

System ausgeben zu können, muß die Software die Fähigkeit der Realzeitverarbeitung 

(auch Echtzeitverarbeitung oder schritthaltender Betrieb genannt) haben. 

Beim Realzeitbetrieb ist der Programmlauf an strenge Zeitbedingungen geknüpft, d.h. die 

Berechnung von Ergebnissen muß sofort, spätestens innerhalb eines bestimmten 

Zeitintervalls (dessen Länge von externen Prozeß (zu identifizierendes System) diktiert 

wird und im Millisekundenbereich liegen kann) abgeschlossen sein. 

Soll z.B. bei einem Systemidentifikationsprozeß, der aus folgenden Aktionen 

• fortlaufendes Einlesen der Meßdaten, 

• Speichern der Meßdaten, 

• Berechnen eines Filter-Algorithmus zur Rauschbefreiung, 

• ständiges Anzeigen dieser Meßwerte als "durchlaufende" Zeitfunktion auf dem 

Monitor und 

• Berechnen und Ausgeben eines Erregungssignals (z.B. einer Pulsfolge mit 

verschieden langen Pulsdauern) 

besteht, die Aktionsfolge trotz Anwesenheit nur eines Prozessors quasi zeitlich parallel 

ablaufen, könnte ein Realzeit-Betriebssystem mit Multi-Tasking-Fähigkeit /18,19/ 

eingesetzt werden: 

Für jede abzuwickelnde Aktion wird ein Programm, eine sogenannte "Task", geschrieben. 

Über einen sog. Task-Kontrollblock (zur Task gehörige Daten, wie z.B. 

Identifikationsnummer, Betriebszustand und Bearbeitungspriorität) kommuniziert jede 

Task mit dem Betriebssystem. 

Die Tasks können während des Programmlaufs (d.h. während des Meß- und 

Auswertvorganges) zwei Haupt-Betriebszustände annehmen: 

• rechnend 

• nicht rechnend 

(wobei der Zustand "nicht rechnend" in real existierenden Betriebssystemen noch in 

weitere Unterkategorien eingeteilt wird.) 

Damit eine Task in den Zustand "rechnend" übergehen kann, muß ihr vom 

Betriebssystem der Prozessor zugeteilt werden. Eine gerade rechnende Task muß dazu 

3.13

(auch vom Betriebssystem) unterbrochen werden. Nur Tasks höherer Priorität können 

Tasks niederer Priorität unterbrechen. So müßte z.B. die Meßwert-Einlese-Task die 

höchste Priorität besitzen, damit sie alle anfallenden Daten ohne Verlust einlesen kann. 

Die Tasks (die häufig auch Rechenprozesse genannt werden) durchlaufen dabei i.a. nicht 

ihre gesamte Anweisungsfolge in einem Schritt. Um eine quasi parallele Abarbeitung aller 

Tasks zu gewährleisten, werden sie häufig unterbrochen. 

Bild 3.2.1: Zeitliche Verzahnung von Tasks in einem 

Echtzeit-Betriebssystem (nach /18/) 

Die Taskumschaltung erfolgt zeittaktgesteuert durch das Betriebssystem. Auch 

Tasksynchronisations-Mechanismen (Ereignismitteilungen zwischen Tasks) führen zu 

Task-Zustandsänderungen und damit zu Task-Umschaltungen. So muß z.B. die 

Erregungs-Task aktiviert werden, wenn die vorgegebene Pulsperiodendauer abgelaufen 

ist und ein neuer Signalpegel ausgeben werden muß. Dies geschieht z.B. durch eine sog. 

"event-Meldung". 

Steht man vor dem Problem mit kurzen Abtastzeiten arbeiten zu müssen, dies ist der Fall, 

wenn wir "schnelle" Systeme mit sehr kleinen Zeitkonstanten identifizieren wollen, muß 

eine geeignetere Harware-Struktur eingesetzt werden: 

Die zu Beginn des Kaptitels erwähnten PC-Einsteckkarten mit A/D- und D/A-Wandler 

werden häufig noch mit einem zusätzlichen Signalprozessor ausgestattet, der den PC- 

Prozessor entlastet. Dann könnte dieser Signalprozessor, um bei unserem Beispiel zu 

bleiben, die Datensammlung, ihre algorithmische Bearbeitung und das Berechnen und 

Ausgeben des Erregungssignals übernehmen. Der PC-Prozessor könnte sich dann 

3.14

ausschließlich mit der Speicherung und Anzeige der Daten beschäftigen. 

Glücklicherweise werden von der Industrie auf diese Problemstellung zugeschnittene, 

miteinander korrespondierende Hard- und Software-Komponenten angeboten. Besonders 

hervorzuheben sind in diesem Zusammenhang das Meßsystem "Labview" der Firma 

National Instruments /8/ und eine Echtzeit-Erweiterung des MATLAB Programmsystems 

/9/. 

Erweitert man nämlich MATLAB um den sogenannten "Realtime Workshop" und z.B. das 

"Realtime Windows Target", einen bestimmten C-Compiler und eine spezielle A/D-D/A- 

Wandler-Karte ist MATLAB in der Lage, mit einem PC unter Windows die Echzeit- 

Datenaquirierung und die Erregungserzeugung vorzunehmen. Nähere Einzelheiten finden 

sich in /21/. 

3.15

4 Signalverarbeitungsaspekte zur Systemidentifikation 

Mißt man Signale mit der in Kapitel 3 vorgestellten Meßtechnik, werden die 

gemessenen Rohsignale i.a. von vielerlei Störungen überlagert sein. Zum Beispiel 

von Meßrauschen bei großen Signalverstärkungen, 50 Hz Netzbrummen, und 

stochastischen Störungen durch elektromagnetische Einstreuungen. 

Obwohl eines der in Kapitel 5 vorgestellten Systemidentifikationsverfahren relativ 

robust gegen Meßrauschen ist, empfiehlt es sich doch häufig, die gelesenen Daten 

vor der algorithmischen Behandlung zur Systemidentifikation von diesen Störungen 

zu befreien. 

Soweit dies nicht schon durch geeignete analoge Filterschaltungen in der Meßkette 

durchgeführt wurde, müssen die Filter in Form digitaler Filter, d.h. per Software 

realisiert werden. Darüber hinaus müssen bei einigen Anwendungen die vom 

Meßsensor erfaßten Signale gewandelt werden. Zum Beispiel, wenn der 

Bewegungsweg eines Fahrzeugs benötigt wird, aber die einfacher zu messende 

Beschleunigung des Fahrzeugs sensorisch erfaßt wird. In diesem Falle führt eine 

zweimalige Integration des gemessenen Signals auf die Weginformation. Deshalb 

sollen in diesem Kapitel auch einfache zeitdiskrete Differenzierer und Integrierer 

beschrieben werden. 

Da uns zum tieferen Verständnis von Filteralgorithmen einige wesentliche 

Grundlagen der Signaltheorie fehlen, wird dieses Kapitel weitgehend als 

"Rezeptsammlung" unter Nutzung von Matlab-Befehlen aufgebaut. 

4.1 Entwurf digitaler Filter 

Digitale Standard-Filter sind Algorithmen in Form rekursiver Differenzengleichungen. 

Die Entwurfsbasis ist die dazugehörige z-Übertragungsfunktion. Durch geeignete 

Parametrierungen dieser Übertragungsfunktion lassen sich gewünschte 

Filtereigenschaften festlegen. Durch anschließende Wandlung in eine 

Differenzengleichung (vergleiche /1/) steht dann das gewünschte digitale Filter zur 

Verfügung. 

Die Bestimmung der Parameter der Übertragungsfunktion fordert die Festlegung 

folgender Filtermerkmale: 

• die Filterart, 

• die Grenzfrequenz(en), 

• die Filterordnung und 

• den Filtertyp 

Hinter der Filterart verbirgt sich die Form der gewünschten Betragskennlinie des 

Bodediagramms, nämlich, ob es sich um ein Tiefpaß-, Hochpaß-, Bandpaß- oder 

4.1

Bandsperren-Filter handeln soll. Das folgende Bild 4.1.1 zeigt schematisch diese vier 

Filterarten. 

Bild 4.1.1 : Die vier Standard-Filterarten 

Wie man erkennt, läßt das Tiefpaßfilter tiefe Frequenzen passieren (0 dB entspricht 

einer Verstärkung von eins), während es hohe sperrt. Das Hochpaßfilter wirkt 

umgekehrt. Der Bandpaß läßt ein bestimmtes Frequenzband passieren, während die 

Bandsperre bis auf ein bestimmtes Frequenzband alle Frequenzen passieren läßt. 

Mit den Grenzfrequenzen fg , fgu und fgo wird die Grenze zwischen Sperr- und 

Durchlaßbereich beschrieben. Die Grenzfrequenzen sind definiert als die 

Frequenzen, wo ausgehend von der Durchlaß-Verstärkung |V| dB = 0 eine Dämpfung 

von -3dB eintritt. 

Mit der Wahl der Filterordnung, die identisch ist mit dem Nennergrad der 

Filterübertragungsfunktion, kann die Steilheit des Abfalls der Betragskennlinie vom 

Durchlaß- in den Sperrbereich festgelegt werden. Niedrige Filterordnungen erzeugen 

einen sanften, höhere Filterordnungen einen steileren Abfall. 

Mit dem Filtertyp (Butterworth, Tschebyscheff, Bessel, usw.) kann eine spezielle 

Optimierung zwischen dem Verhalten des Filters im Zeit- und Frequenzbereich 

herbeigeführt werden: 

4.2

• Die Parameter der Übertragungsfunktion eines Butterworth-Filters werden so 

berechnet ("optimiert"), daß die Amplitudenkennlinie bis zur Grenzfrequenz fg möglichst lange horizontal verläuft, um dann erst kurz vor der Grenzfrequenz 

scharf abzuknicken. Die Sprungantwort im Zeitbereich zeigt ein leichtes 

Überschwingen. 

• Tschebyscheff-Filter besitzen oberhalb der Grenzfrequenz einen noch steileren 

Abfall der Amplitudenkennlinie. Im Durchlaßbereich verläuft die Betragskennlinie 

allerdings nicht monoton, sondern hat (sehr unvorteilhaft) eine Welligkeit von 

konstanter Amplitude. Der Verstärkungsabfall oberhalb fg wird um so steiler, je 

größer man diese Welligkeit zuläßt. Das Überschwingen der Sprungantwort ist 

noch größer als bei Butterworth-Filtern. 

• Bessel-Filter zeigen ein sehr geringes Überschwingen im Zeitbereich, verfälschen 

also das durchzulassende Signal am geringsten. Dafür besitzen sie ein 

geringeres Dämpfungsgefälle als Butterworth- und Tschebyscheff-Tiefpässe. 

Der Filtertyp Butterworth stellt eine guten Kompromiß zwischen Zeitbereichs- und 

Frequenzbereichs-Verhalten dar. Wir wollen uns deshalb auf diesen Filtertyp 

beschränken. Matlab stellt zum Entwurf solcher Filter in seiner "Signal Processing 

Toolbox" den Befehl "butter.m" zur Verfügung. Mit den in (4.1.1) - (4.1.4) 

angegebenen Parametrierungen ergeben sich folgende Filterarten: 

Tiefpaß: [z,n] = butter (n, fgn) (4.1.1) 

Hochpaß: [z,n] = butter (n, fgn, 'high') (4.1.2) 

Bandpaß: [z,n] = butter (n, [fgun, fgon]) (4.1.3) 

Bandsperre: [z,n] = butter (n, [fgun, fgon], 'stop') (4.1.4) 

Der Filtertyp wird durch den Befehlsnamen "butter" festgelegt. n ist die frei wählbare 

Filterordnung, sie sollte i.a. nicht zu hoch gewählt werden (ca. ≤ 4), da es sonst zu 

Rechenfehlern und damit zu einer Verzerrung der Filterkennlinie (Bild 4.1.1) kommt. 

Sinnvollerweise sollte deshalb bei einem Filterentwurf immer das Bodediagramm des 

Filters berechnet und betrachtet werden. 

Die Grenzfrequenzen fgn , fgun und fgon müssen (weil Matlab es fordert) normiert als 

Zahlen zwischen 0 und 1 eingegeben werden. Dabei korrespondiert 1 mit der halben 

Abtastfrequenz, mit der das zu filternde Signal abgetastet wurde: 

fg 

fgn 

fg 

= ⇒ fgn 

= 

f / 2 1 f / 2 

T 

T 

f T : Abtastfrequenz, f g : gewünschte Grenzfrequenz 

f gn : normierte Grenzfrequenz 

4.3 

( 415 . . )

Mit dieser Festlegung wird dann automatisch das Shannonsche Abtastheorem 

eingehalten. Wir betrachten dazu folgendes 

Beispiel 4.1.1: Ein zu filterndes Signal "u" wurde mit einer Abtastzeit T=0.001 sek. 

abgetastet. Alle Frequenzkomponenten des Signals über 100 Hz sollen mit einem 

Tiefpaß-Filter 4. Ordnung ausgefiltert werde. Berechne die Koeffizienten der z- 

Übertragungsfunktion des Filters mit Hilfe von Matlab. 

Lösung: 

% Entwurf eines digitalen Tiefpass-Filters 

n = 4; % Filterordnung 

fT = 1/T; % Abtastfrequenz 

fg = 100; % gewünschte Grenzfrequenz 

fgn = fg / (fT/2); % normierte Grenzfrequenz 

[z, n] = butter (n,fgn); % Koeffizienten des Tiefpaß-Filters 

[z, n] auf der linken Seite der Befehle (4.1.1) - (4.1.4) sind die Koeffizienten des 

Zählers (z) und des Nenners (n) der z-Übertragungsfunktion des berechneten 

digitalen Filters. 

Nachdem die Koeffizienten des Filter bekannt sind, kann daraus die rekursive 

Differenzengleichung berechnet und implementiert werden (vergleiche /1/). Unter 

Matlab braucht diese Umformung nicht mehr durchgeführt werden. Die eigentliche 

Signalfilterung kann mit dem Matlab-Befehl 

sys = tf (z,n,T); 

y = lsim (sys, u); (4.1.6) 

durchgeführt werden. "u" ist der Vektor des zu filternden Eingangssignals, "y" der 

gefilterte Ausgangssignal-Vektor und "z" und "n" sind die Koeffizienten der oben 

berechneten z-Übertragungsfunktion des digitalen Filters,„sys“ ist das dazugehörige 

(zeitdiskrete) Übertragungsfunktionsobjekt. 

4.2 Entwurf kontinuierlicher Filter 

Da der in Kapitel 5.3.2 zu beschreibende suchstrategische Systemidentifikations- 

Algorithmus mit quasi kontinuierlichen Signalen und Systemmodellen arbeitet, 

können dort zur Störbefreiung der gemessenen Signale keine digitalen Filter 

angewendet werden. Um mit einem Digitalrechner kontinuierliche Filter zu erzeugen, 

müssen diese kontinuierlich simuliert werden. In /20/ hatten wir dazu die Matlab- 

Befehlsfolge 

sys = tf (z, n); 

y = lsim (sys, u, t); (4.2.1) 

4.4

z : Zähler der s-Übertragungsfunktion des Filters. 

n : Nenner der s-Übertragungsfunktion des Filters. 

u : Eingangssignal-Vektor. 

t : Beobachtungsintervall. 

y : Ausgangssignal-Vektor. 

kennengelernt. Mit ihr konnte man kontinuierliche Systeme simulieren, das heißt das 

Ausgangssignal "y" zu einem beliebigen Eingangssignal "u" berechnen. Sind "z" und 

"n" Zähler und Nenner einer kontinuierlichen Filter-Übertragungsfunktion, kann man 

mit "lsim" Signale kontinuierlich filtern. Zu den Koeffizienten des Zähler- und 

Nennerpolynoms des gewünschten Filters gelangt man wieder (wenn man sich auch 

auf den Filtertyp "Butterworth" beschränkt) mit dem Matlab-Befehl "butter", diesmal 

allerdings mit einer etwas anderen Parametrierung: 

[z,n]=butter(n,omega_g,'s'); % Tiefpaß (4.2.2) 

[z,n]=butter(n,omega_g,'high','s'); % Hochpaß (4.2.3) 

[z,n]=butter(n,[omega_gu, omega_go],'s'); % Bandpaß (4.2.4) 

[z,n]=butter(n,[omega_gu, omega_go],'stop','s'); % Bandsperre (4.2.5) 

Zum Entwurf kontinuierlicher Filter muß der Befehl "butter" in der letzten Stelle der 

Argumentliste um ein 's' (in Hochkommas) ergänzt werden. Dies weist Matlab darauf 

hin, daß ein kontinuierliches Filter entworfen werden soll. Die Grenzfrequenzen 

müssen nicht in normierter Form eingegeben werden, sondern es muß der 

Absolutwert der Kreis-Grenzfrequenz (ωg = 2⋅π⋅fg) benutzt werden. Sonst ist die 

Parametrierung von (4.2.2-5) identisch mit der von (4.1.1-4). 

Am Beispiel eines Tiefpaßfilter mit einer Grenzfrequenz von 100Hz wollen wir den 

Entwurfsvorgang wieder demonstrieren. 

Beispiel 4.2.1 : Ein zu filterndes Signal "u", das über einem Beobachtungsintervall 

"t = 0 : dt : tend" mit "dt=1.e-3" und "tend=10" vorliege, soll so mit einem Tiefpaßfilter 

4. Ordnung gefiltert werden, daß alle Frequenzkomponenten über 100Hz aus "u" 

entfernt werden. Berechne das entsprechende Butterworthfilter und filtere das Signal. 

Lösung: 

% Entwurf eines kontinuierlichen Tiefpaßfilters 

n=4; % Filterordnung 

fg=100; % Grenzfrequenz 

omega_g=2*pi*fg; % Kreis-Grenzfrequenz 

[z,n]=butter(n,omega_g,'s'); % Filter-Entwurf 

%Nutzung des entworfenen Filters 

sys=tf(z,n); % Filter 

y=lsim(sys,u,t); 

4.5

Auch bei einem so simulierten kontinuierlichen Filter muß auch darauf geachtet 

werden, daß das Shannonsche Abtasttheorem eingehalten wird: fg muß immer der 

Beziehung 

f 

g ≤ 

1 

2 ⋅ dt 

genügen, wobei dt, wie oben angegeben, der Rechenschrittweite entspricht 

4.3 Entwurf digitaler Integrierer und Differenzierer 

4.6 

( 426 . . ) 

Wir wählen aus der Vielzahl der Entwurfsmöglichkeiten für Differenzierer und 

Integrierer die Diskretisierung ihrer kontinuierlichen Vorbilder mit Hilfe der 

Tustinschen Näherung /1/. 

• Integrierer 

Der Integrator berechnet sich mit dieser Näherung aus 

1 Tz ( + 1) 

Tz + T 

Gz ( ) = 2 ( z− 

1) 

= = . ( 431 . . ) 

s = 2( z − 1) 2z−2 s 

T ( z+ 

1) 

T: Abtastzeit 

Damit ist die z-Übertragungsfunktion bekannt und der Integrierer kann mit Hilfe des 

Matlab-Befehls "filter" realisiert werden: 

zi = [T, T]; % Zählerpolynom des Integrieres 

ni = [2, -2]]; % Nennerpolynom des Integrierers 

y = filter (zi, ni, u); % Integierer (4.3.2) 

Soll mit LTI-Objekten gearbeitet werden, muß wieder der Befehl “lsim“ zur Filterung 

benutzt werden: 

sys = (z,n,T); 

y = lsim(sys,u,t); 

Wobei T wieder die Abtastzeit darstellt. 

• Differenzierer 

Wollte man nach dem entsprechenden Ansatz einen Differenzierer entwickeln:

Gz ( ) = s 2( z− 

1) 

( 433 . . ) 

s= T ( z+ 

1) 

würde man auf einen nicht funktionsfähigen Algorithmus stoßen, da die 

Übertragungsfunktion des kontinuierlichen Vorbilds G(s) = s wegen der erforderlichen 

Realsierungsbedingung (Zählergrad ≤ Nennergrad) nicht realisierbar ist. 

Um den Differenzierer realisierbar zu machen, muß eine Realisierungzeitkonstante 

TR in Form eines PT1-Gliedes eingefügt werden: 

s 

Gs ( ) = . ( 434 . . ) 

1+ 

sTR Das zusätzliche PT1-Glied verfälscht natürlich die Eigenschaften des Differenzierers. 

(Dies ist besonders deutlich in der Betragskennlinie des Bodediagramms erkennbar, 

wo der charakteristische Anstieg des Differenzierers bei höheren Frequenzen durch 

den Einfluß des PT1-Gliedes in proportionales Übertragungsverhalten übergeht). Je 

kleiner man TR wählt, um so geringer ist aber diese verfälschende Eigenschaft. Um 

das Shannonsche Abtasttheorem nicht zu verletzen, wird darum TR so klein gewählt, 

wie es dieses Theorem erlaubt: 

fT 

fg 

= 

2 

1 

= . 

2T 

( 435 . . ) 

fT : 

T : 

Abtastfrequenz 

Abtastzeit 

Die Kennfrequenz ωk ist bekanntlich der Kehrwert der Zeitkonstante TR: 

1 

ωK = 2 ⋅π⋅ fg 

= 

T 

Daraus berechnet sich mit (4.3.5) 

T 

R 

1 

= 

2 ⋅π⋅f Setzt man (4.3.7) in (4.3.4) ein 

g 

R 

. ( 436 . . ) 

1 T 

= = . ( 437 . . ) 

1 

2 ⋅ π ⋅ 

π 

2T 

s 

Gs 

s T 

( ) = , ( 438 . . ) 

1+ 

π 

4.7

erhält man einen kontinuierlichen, realisierbaren Differenzierer, der nur noch 

diskretisiert werden muß: 

s 

Gs 

s T ( ) = 

. ( 439 . . ) 

2 ( z− 

1) 

s = 

1+ 

T z+ 

1 

π 

Nach einigen Zwischenrechnungsschritten ergibt sich schließlich die z-Übertragungsfunktion 

des zeitdiskreten Differenzierers: 

2 2 

⋅z− G(z) = T T . (4.3.10) 

⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞ 

⎜1+ ⎟z+ ⎜1− ⎟ 

⎝ π⎠ ⎝ π⎠ 

Mit dieser Übertragungsfunktion kann der Differenzierer unter Matlab realisiert 

werden: 

zd = [2/T, -2/T]; % Zählerpolynom des Differenzierers 

nd = [1+2/pi, 1-2/pi]]; % Nennerpolynom des Differenzierers 

y = filter (zd, nd, u); % Differenzierer 

(4.3.11) 

Soll auch hier mit LTI-Objekten gearbeitet werden, gelten die gleichen Aussagen, wie 

bei der vorangehenden Programmierung des Integrierers. 

4.8

5. Verfahren zur Systemidentifikation 

In diesem Kapitel werden die eigentlichen Methoden und Verfahren zur praktischen 

Systemidentifikation ausführlich besprochen. Neben Handrechnungsmethoden, die keiner 

Rechnerunterstützung bedürfen, werden zwei computergestützte Verfahren vorgestellt, die 

in programmtechnisch realisierten Simulations-Umgebungen unter Matlab erprobt werden 

können. Besonderer Wert wird auf die folgenden "Vorbereitenden Betrachtungen" vor 

Beginn des eigentliche Identifikationssprozesses gelegt. 

5.1 Vorbereitende Betrachtungen und Maßnahmen 

Bevor man den eigentlichen Prozeß der Systemidentifikation beginnt, sollten eine Reihe 

von Vorüberlegungen angestellt und einige Vorbereitungsarbeiten vorgenommen werden. 

In der Literatur werden die dabei gewonnenen Erkenntnisse häufig als vorhandene oder 

"a priori"-Kenntnisse bezeichnet. 

Da diese Erkenntnisschöpfung erheblich vom spezifischen zu identifizierenden System 

abhängig ist, z.B. von der Tatsache, ob wir einen Rührkessel-Reaktor zur Neutralisation 

von Prozeßflüssigkeit, einen Antriebsmotor für eine Papiermaschine oder das 

Steuerverhalten eines Motorschiffes identifizieren wollen, müssen die folgenden 

Betrachtungen zwangsläufig etwas oberflächlich bleiben. 

5.1.1 Messen im Arbeitspunkt 

Wie schon weiter vorn erläutert wurde, sollten Systemantwortmessungen zur 

Systemidentifikation immer mit kleinen Erregungen ∆u um den Arbeitspunkt uA herum 

vorgenommen werden. Während bei theoretischen Betrachtungen der Arbeitspunkt durch 

die Eingangsgröße u(t)=uA einer Ruhelage und dem Vektor der dazugehörigen 

Zustandsgrößen der Ruhelage x(t)=xA beschrieben wird /1/, gibt man bei praktischen 

Problemstellungen den Arbeitspunkt häufig in Form eines Wertes der Ausgangsgröße 

y(t)=yA an. Zur Bestimmung von uA muß dann das Eingangssignal solange variiert 

werden, bis sich die Ruhelage yA einstellt. Oder man zieht die statische Kennlinie zu Rate. 

Die Arbeitspunktwerte der Zustandsgrößen sind i.a. nicht von Interesse. 

5.1.2 Berücksichtigung von Aussteuerbereich und Aussteuerrichtungen 

Jedes System hat einen Betriebsbereich, der i.a. nach oben und unten durch Schranken 

begrenzt wird. So beschränkt z.B. der folgende elektrische Verstärker mit einem 

Verstärkungsfaktor V = 3,75 seine Ausgangsspannung auf ±15V 

5.1

Bild 5.1.1 : Beschränkter Betriebsbereich eins elektrischen Verstärkers 

d.h. bei Eingangssignalen u e (t) > |4V| verläßt der Verstärker seinen Arbeitsbereich und 

arbeitet nicht mehr als Verstärker: er ist übersteuert. Auch nichtelektrische Systeme haben 

solche Begrenzungen, so ist z.B. bei einem Flüssigkeits-Füllstand eines Behälters der 

Überlauf als Begrenzung anzusehen, auch der Drehwinkel eines Potentiometers ist auf 0° 

bis 270° beschränkt. 

-5 

-4 

-3 

-2 

15 

10 

5 

-1 

-5 

-10 

-15 

u a 

0 1 2 3 4 5 

Die Kenntnis des Betriebsbereichs eines Systems ist insbesondere dann von Wichtigkeit, 

wenn global integrale Systeme identifiziert werden sollen. Dann ist nämlich eine solche 

Systemerregung zu wählen, daß der Betriebsbereich nicht überschritten wird. Dies erreicht 

man entweder mit kleinen Erregungsamplituden oder mit sich abwechselnden positiven 

und negativen Erregungen. 

Es ist daher empfehlenswert, den Aussteuerbereich eines Systems vor den Messungen 

zur Identifizierung zu ermitteln. 

Es kommt häufig vor, daß Systeme bei einer positiven Erregung um den Arbeitspunkt ein 

anderes Systemverhalten (anderen Einschwingvorgang, anderen Verstärkungsfaktor) 

aufweisen, als wenn man sie in negativer Richtung erregt (vergleiche Bild 5.1.2). 

Das liegt häufig daran, daß die Signalbewegung in der einen Richtung aktiv stellend 

unterstützt wird, in der anderen Richtung aber nur passiv verläuft. 

Dies ist zum Beispiel der Fall, wenn bei der Klimatisierung eines Raumes die Aufheizung 

aktiv , z.B. durch Radiatoren, die Abkühlung aber nur passiv durch Auskühlung in die 

Umgebung und nicht durch aktiv durch Zuführung von Kaltluft erfolgt. 

Es ist daher empfehlenswert, bei der Identifikation zwei Messungen vorzunehmen, einmal 

mit einer Erregung in positiver und einmal in negativer Richtung, um beide 

Systemeigenschaften zu identifizieren. 

5.2 

u e

yt () 

ut () 

AP 

23 

22 

21 

20 

19 

18 

25 , 

17 

0 10 20 30 40 

275 , 

225 , 

Bild 5.1.2 : Unterschiedliches Einschwingverhalten 

bei positiver und negativer Erregung 

5.1.3 Behandlung totzeitbehafteter Systeme 

Totzeitverhalten eines Systems wird bekanntlich durch den irrationalen Term e-sT in der 

Übertragungsfunktion modelliert /1/: 

∗ − 

Gs G s e sT ( ) = ( ) ⋅ t . ( 511 . . ) 

Dabei ist G * (s) der totzeitfreie, gebrochen rationale Term der Übertragungsfunktion. Alle in 

diesem Kapitel später betrachteten Systemidentifikationsverfahren führen nur auf 

gebrochen rationale Modelle. 

Da man bei einer Sprungantwort-Messung die im System auftretende Totzeit sehr gut 

ausmessen kann (vergleiche das folgende Bild 5.1.3), wird empfohlen, falls es möglich ist, 

diese vor Beginn des Identifikations-Prozesses abzuspalten und die Identifikation an der 

dann verbleibenden Rest-Sprungantwort vorzunehmen. Die ausgemessene Totzeit Tt wird 

anschließend der identifizierten gebrochen rationalen Modell-Übertragungsfunktion (wie in 

(5.1.1)) multiplikativ hinzugefügt. 

Dieses Vorgehen ist allerdings nur mit den Systemidentifikationsverfahren durchführbar, 

die auf der Basis sprungförmiger Erregungen arbeiten können. Dazu gehören alle 

Handrechnungsverfahren (Kapitel 5.2) und ein rechnergestütztes Verfahren, das auf der 

Basis sogenannter Optimierungsverfahren arbeitet (Kapitel 5.3.2). Die in Kapitel 5.3.1 

beschriebenen SKQ-Verfahren erlauben keine sprungförmigen Erregungen. 

5.3 

t 

t

h(t) 

0 

∗ 

zur Identifikation von G ( s) zu 

nutzender Teil der Sprungantwort 

abzuspaltende Totzeit T t 

t 

5.4 

h(t) 

Bild 5.1.3 : Abspaltung von Totzeit vor dem Identifikationsprozeß 

5.1.4 Ausschluß nicht meßbarer Störungen 

Bekanntlich werden Regelkreise zu dem Zwecke entworfen und aufgebaut, nicht meßbare 

Störungen zu unterdrücken bzw. ihren Einfluß zu minimieren, die sonst die Regelgröße 

beeinflussen würden. Das zu identifizierende Objekt ist demnach ein System mit mehreren 

Eingängen und einem Ausgang. 

z(t) 

Übertragungs- 

u(t) y(t) 

system 

Bild 5.1.4 : Ein durch z(t) gestörtes System 

Da alle Systemidentifikations-Algorithmen das Systemmodell aus der Erregung u(t) und 

dem dazugehörigen Ausgangssignal y(t) berechnen, muß eine zusätzliche Störung z(t) 

den Identifikationsprozeß verfälschen, da in y(t) durch z(t) induzierte Signalkomponenten 

enthalten sind. 

Wie wir später noch sehen werden, tolerieren einige Algorithmen Störungen in Form 

hochfrequenten Rauschens (hochfrequent in Bezug auf die Zeitkonstanten des zu 

identifizierenden Systems). Andere Algorithmen sind auch dagegen empfindlich und 

führen zu schlechten Systemmodellen. 

Niederfrequente Störungen insbesondere mit großen Amplituden führen in allen Fällen zu 

schlechten oder völlig unbrauchbaren Systemmodellen. 

0 

t

Als Beispiel sei die Identifikation der Regelstrecke eines Raumheizungsregelkreises 

genannt. Zur Identifikation wird man das Eingangssignal, z.B. den Warmwasser-Durchfluß 

durch die Heizelemente sprungförmig vergrößern (Eingangserregung u(t)) und den sich 

dazu einstellende Raumtemperatur-Verlauf (Ausgangssignal y(t)) an einer geeigneten 

Stelle des Raumes messen. Ohne Störungseinfluß wird sich ein Signalverlauf, der PT n T t - 

Verhalten aufweist, einstellen. Kühlt oder heizt aber die sich verändernde Umgebungs- 

temperatur (Störung z(t)) des Raumes den Raum ab oder auf, macht sich dies in einer 

Veränderung der Raumtemperatur y(t) in Abhängigkeit der Umgebungstemperatur z(t) 

bemerkbar, die nicht auf die Eingangserregung u(t) zurückzuführen ist. 

Auf der Basis einer solchen Messung berechnet jedes Systemidentifikations-Verfahren ein 

falsches Modell der Raumheizungs-Regelstrecke. In einer solchen Situation muß die 

Messung zu einem Zeitpunkt vorgenommen werden , wo sich die Außentemperatur gar 

nicht oder nur gering ändert. Gegebenenfalls muß der Meßvorgang mehrfach wiederholt 

werden. 

Glücklicherweise lassen sich bei einer Vielzahl der Regelstrecken leichter störungsfreie 

Meßzeiträume herbeiführen als bei dem betrachteten Beispiel. 

5.1.5 Nutzung vorhandener Stell- und Meßtechnik 

Die meisten Regelkreise sind so aufgebaut, daß die Stelleinrichtung der Strecke mit 

niederenergetischen elektrischen Signalen (Spannungen oder Ströme) angesteuert und 

die Regelgröße mittels der Meßeinrichtung wieder auf elektrische Größe abgebildet wird. 

sung 

Bild 5.1.5 : Identifikations-Messung an einer Regelstrecke 

Man sollte es sich daher zum Prinzip machen, die für den normalen Betrieb des Systems 

vorgesehene Stell- und Meßtechnik auch für die Systemidentifikation zu nutzen. Damit 

wird bereits die zum Reglerentwurf notwendige Übertragungsfunktion des offenen 

Regelkreises ohne Regler L * (s) identifiziert: 

5.5

* 

L ( s) = G ( s) ⋅G ( s) ⋅G ( s). 

( 511 . . ) 

Stell S M 

Während die Identifikation der Reihenschaltung von Stelleinrichtung und Regelstrecke i.a. 

unproblematisch ist, kann die Reihenschaltung von Strecke und Meßeinrichtung 

problematisch sein, wenn z.B. G M (s) gegenüber G Stell (s) ⋅ G S (s) wesentliche Zeit- 

konstanten besitzt. Wie in /2/ beschrieben, täuscht dann der Verlauf von y M (t) eine andere 

Dynamik vor, als den wahren Verlauf der Regelgröße y(t). Es wird deshalb empfohlen, die 

Meßeinrichtung einer separaten Systemidentifikation zu unterziehen. 

5.1.6 Identifikation von Systemkombinationen bei atypischen Signalen 

Wenn ein Übertragungssystem eine Ausgangssignalform liefert, die nicht mit den 

vorangehend beschriebenen Methoden analysiert werden kann, z.B. wenn eine 

Stelleinrichtung zur Ansteuerung eines Gleichstrommotors ein pulsdauer-moduliertes 

Ausgangssignal erzeugt, 

u(t) 

Steuer 

spannung 

u(t) 

u (t) 

P 

Pulsdauermodulator 

t 

u (t) 

P 

5.6 

n(t) 

Gleichstrommotor 

Drehzahl 

n(t) 

Bild 5.1.6 : Drehzahlsteuerung mittels Pulsdauermodulation 

muß das darauffolgende Übertragungssystem mit in die Systemidentifikation einbezogen 

werden. Bei dem erwähnten Beispiel führt dies wieder zu auswertbaren Signalen für die 

Systemidentifikation. 

t 

t

5.2 Einfache Handrechnungsverfahren zur Systemidentifikation 

In diesem Kapitel werden einige einfache Identifikationsverfahren beschrieben, bei denen 

man ohne Rechnerunterstützung auskommt. Das erste Verfahren arbeitet auf der Basis 

eines Katalogs von Sprungantworten. Obwohl auch diese Systeme, die dem Katalog der 

Sprungantworten zu Grunde liegen, genauer mit rechnergestützten Verfahren identifiziert 

werden können, sollen sie hier dennoch aus didaktischen Gründen aufgeführt werden. Sie 

fördern nämlich das "a priori"-Verständnis über Systemmodelle, da sie den in /1/ 

beschriebenen Zusammenhang zwischen der Struktur der Übertragungsfunktion und Form 

der Sprungantwort noch einmal sehr deutlich machen. 

5.2.1 Kataloggestützte Sprungantwort-Analyse 

Betrachtet man in /1/, Kapitel 1.4, den Katalog der wichtigsten real existierenden Übertragungssysteme, 

erkennt man sehr unterschiedliche Sprungantwortverläufe der verschiedenen 

Übertragungssysteme. Bei einigen einfachen Systemen gelingt es dadurch 

relativ eindeutig, von der Form der Sprungantwort auf die Struktur der dazugehörigen 

Übertragungsfunktion zu schließen. Auf Grund der durch die Laplace-Transformation 

gegebenen Beziehungen zwischen Zeit- und Laplace-Bereich können darüber hinaus 

durch Vermessung einiger markanter Punkte der Sprungantwort Daten gewonnen werden, 

aus denen man die noch unbekannten Parameter der Übertragungsfunktion berechnen 

kann. 

In dieser Vorgehensweise besteht die Grundidee der kataloggestützten Sprungantwortanalyse. 

Bevor wir diesen Katalog im Folgenden darstellen, wollen wir an einem Beispiel 

zeigen, wie man zu den Parameterbeziehungen zwischen Sprungantwort und 

Übertragungsfunktion gelangt. 

Beispiel 5.2.1: Zeige, wie man die Parameter V und T der Übertragungsfunktion eines 

Differenzierers mit Verzögerung 1. Ordnung 

( ) 

( ) 

Y s Vs 

G( s ) = = (5.2.1) 

Us 1 + sT 

aus seiner Sprungantwort bestimmen kann. 

Die Sprungantwort von (5.2.1) auf einen Eingangssprung mit der Amplitude ∆u berechnet 

sich mit 

1 

L { ∆u⋅σ() t } = ∆u⋅ s 

zu 

5.7

Vs 1 V ⋅ ∆u 

Y ( s ) = G( s) ⋅U( s ) = ⋅∆u ⋅ = 

1 + sT s 1 + sT 

⎧ V ⎫ 

⋅∆u 

−1 −1⎧ V⋅∆u ⎫ −1⎪ 

y () t = { Y ( s ) } = = T ⎪ 

L L ⎨ ⎬ L ⎨ 

1 sT 

1 

⎬ 

⎩ + ⎭ ⎪s + ⎪ 

⎩ T ⎭ 

t 

− 

T 

V 

y() t = ⋅e⋅∆u . (5.2.2) 

T 

Aus den Funktionswerten an der Stelle t = T und t = 0 

V 

y( T ) = 0,368 ⋅ ⋅∆u 

(5.2.3) 

T 

V 

y( 0 ) = ∆u 

(5.2.4) 

T 

kann man durch Einsetzen von (5.2.4) in (5.2.3) eine Bestimmungsgleichung für T 

entwickeln 

y( T ) = y( 0) ⋅ 0,368 . (5.2.5) 

Der Wert von y(0) kann aus der Sprungantwort abgelesen werden. Fällt man von der 

Stelle y(T) = y(0).0,368 das Lot auf die t-Achse, kann dort die Zeitkonstante T abgelesen 

werden. Der Verstärkungsfaktor V wird aus der Gleichung (5.2.4) berechnet: 

( ) 

y 0 

V = T ⋅ . (5.2.6) 

∆u 

∆u ist dabei die Amplitude der gewählten Sprungerregung, y(0) kann aus der 

Sprungantwort abgelesen werden und T wurde schon mit (5.2.5) bestimmt. 

y(0) 

h(t) 

0,368y(0) 

0 

T 

t 

0 

Bild 5.2.1 Zur Vermessung der Sprungantwort eines DT1-Gliedes 

5.8

Zieht man eine Gerade vom Punkt y(0) zum Schnittpunkt des oben erwähnten Lotes mit 

der t-Achse, erkennt man, daß diese Gerade die Tangente des Kurvenverlaufs in y(0) 

darstellt. Auch ihre Konstruktion stellt somit eine Möglichkeit zur Bestimmung der 

Zeitkonstante T dar. 

Untersucht man so weitere Sprungantworten und die dazugehörigen Übertragungsfunktionen, 

gelangt man zu dem auf den nächsten Seiten folgenden Katalog "Sprungantworten 

und Übertragungsfunktionen zur kataloggestützten Sprungantwortanalyse". 

Wie man dem Katalog auch entnehmen kann, ist mit ihm die Systemidentifikation einer nur 

kleinen Klasse von Übertragungssystemen möglich. Wir geben daher im folgenden Kapitel 

5.2.2 Näherungsmethoden zur Sprungantwortanalyse weiterer, sehr häufig in der Technik 

vorkommender Übertragungsglieder an. 

Bei der Sprungantwortanalyse mit Hilfe des folgenden Kataloges ist darauf zu achten, daß 

als Eingangserregung ein Signalsprung 

d.h. mit einer Amplitude ∆u zu Grunde gelegt wurde. 

u(t) = ∆u⋅σ(t), (5.2.7) 

5.9

Nr.: 

Graph der Sprungantwort 

Nr.: 

Graph der Sprungantwort 

0.63∆y (∞) 

Nr.: 

1 Proportionalglied P − Glied 

Ü bertragungsfunktion 

Parameter 

Ü bertragungsfunktion 

Parameter 

Graph der Sprungantwort Übertragungsfunktion 

0 

∆1 

Parameter 

Ys ( ) 

Gs ( ) = = V 

Us ( ) 

V 

y 

= 

u 

∆ ( ∞) 

∆ 

2 Verzögerungsglied 1. Ordnung PT1 − Glied 

3 

0 

0 

0 

0 

0 

y(t) 

∆2 

Sprungantworten und Übertragungsfunktionen zur kataloggestützten 

Sprungantwortanalyse 

y(t) 

y(t) 

T 

Tangente im Ursprung 

τ 

∆y (∞) 

∆y (∞) 

t 

t 

Verzögerungsglied 2. Ordnung 

(gedämpft schwingend) 

∆y ( ∞) 

t 

5.10 

Gs ( ) 

Gs ( ) 

V 

Ys ( ) 

= = 

Us ( ) 

y 

= 

u 

∆ ( ∞) 

∆ 

V 

1 + sT 

T : siehe Sprungantwort 

Ys ( ) 

= = 

Us ( ) 

V 

d 

T 

= 

= 

= 

PT2 − Glied, d

Nr.: 

Nr.: 

Graph der Sprungantwort Ü bertragungsfunktion 

y(t) 

∆y(0) 

0 

4 

6 Differenzierer mit Verzögerung 1. Ordnung DT1 − Glied 

0,368∆y(0) 

0 

T 

Tangente in der Spitze 

Integrierglied (Integralglied) 


Nr.: 

0 

0 

y(t) 

∆t 

∆y(∞) 

t 

t 

Parameter 


y(t) 

0 

Parameter 

Parameter 

5.11 

Gs ( ) = Y(s) 

U(s) = 

V 

Gs ( ) 

V 

Gs ( ) = Y(s) 

U(s) = 

V 

= ∆ ∆ 

= ∆ ∆ 

y( ∞)/ 

t 

∆u 

= Y(s) 

U(s) = 

y 

= T 

u 

∆ ( 0) 

∆ 

V 

s 

y( ∞)/ 

t 

∆u 

Vs 

1 + sT 

I −Glied 

5 Integralglied mit Verzögerung 1. Ordnung 

IT1 − Glied 

0 

T 

∆t 

∆y ( ∞ ) 

Tangente im linearen Anstieg 

t 

V 

s( 1 + sT) 


T : siehe Sprungantwort

Nr.: 


Nr.: 

7 

∆y( ∞) T 1 

T 2 

0 

Nr.: 

9 Allpaß 1. Ordnung 


0 

0 

1,26 ∆y(0) 

y(t) 

T 2 

y(t) 

T 

∆y(0) 

Vorhaltglied mit Verzögerung 1. Ordnung 

(Lead − Glied) 



∆y(0) =∆y(∞) 

∆y ∞ 

t 

∆y ( ∞ ) 

t 

Gs ( ) 

Parameter 

Parameter 

5.12 

= Y(s) 

U(s) = 


Parameter 

V 

Gs ( ) 

V 

= Y(s) 

U(s) = 

y 

= 

u 

∆ ( ∞) 

∆ 

VHT1 − Glied 

V( 1 + sT1) 

; T > T 

1 + sT 

y 

= 

u 

∆ ( ∞) 

∆ 

V( 1 − sT) 

1 + sT 


2 

1 2 

T1, T2 : siehe Sprungantwort 

Vorhaltglied mit Verzögerung 1. Ordnung 

8 VHT1 − Glied 

(Lag − Glied) 

∆y( ∞ ) 

0 

0 

T 1 

T 2 

y(t) 

T 

2 

Tangente im Anstieg 

∆y( ∞ ) 

t 

Gs ( ) 

= Y(s) 

U(s) = 

V 

V( 1 + sT1) 

; T > T 

1 + sT 

y 

= 

u 

∆ ( ∞) 

∆ 


2 

2 1

Nr.: 


Nr.: 

10 Allpaßähnliches Übertragungsglied 1. Ordnung 

Gs ( ) 

Parameter 


0 

y(t) 

0 

y(t) 

0 

T 2 

Parameter 

= Y(s) 

U(s) = 

V 

y 

= 

u 

∆ ( ∞) 

∆ 


Gs ( ) = Y(s) 

U(s) 

V 

V( 1 − sT1) 

1 + sT 

11 Totzeit − Glied 

Tt − Glied 

T t 

∆y( ∞ ) 

Tangente in 

der Spitze 

T1 

T2 ∆y( ∞ ) 

t 

∆y ( ∞ ) 

t 

5.13 

y 

= 

u 

∆ ( ∞) 

∆ 

Tt : siehe Sprungantwort 

2 

= V e 

− sTt

5.2.2 Sprungantwortanalyse aperiodischer PTnTt- und ITnTt-Systeme 

Die meisten in der Regelungstechnik vorkommenden Übertragungssysteme haben 

aperiodisches (nicht schwingfähiges) global proportionales oder global integrales 

Verhalten mit Verzögerungsverhalten höherer Ordnung (T n) und ggf. zusätzlichem 

Totzeitverhalten (T t). 

h(t) 

0 

0 

Bild 5.2.2 : a) Sprungantwort eines aperiodischen PTnTt - Systems 

b) Sprungantwort eines aperiodischen ITnTt-Systems 

Dabei sind der Grad n des Verzögerungsverhaltens und die Größe der Verzögerungs- 

zeitkonstanten und der Totzeit nicht bekannt. Eine sehr rauhe Approximation nähert ein 

PTnTt – System durch ein Übertragungsfunktionsmodell der Form 

( ) 

0 

a) 

t 0 

b) 

( ) 

( ) 

Y s V 

∗ 

−sTt 

G s = = e (5.2.8) 

Us 1 + sT 

∗ 

VZ 

⋅ 

an, wobei die beiden Parameter T VZ * und T t * aus einer Konstruktion in der gemessenen 

Sprungantwort, wie sie in Bild 5.2.3 dargestellt ist, hervorgehen. 

Bild 5.2.3 Zur Approximation eines PTnTt - Systems durch ein PT1Tt - Systems 

Eine ähnlich grobe Approximation ist auch für IT nT t-Systeme möglich. Das Übertragungs- 

5.14 

h(t) 

t

funktionsmodell lautet 

( ) 

( ) 

Y s V 

∗ 

t 

G s = = e . (5.2.9) 

( ) ( + VZ ) 

Us s1 sT 

∗ ⋅ 

5.15 

−sT 

Seine Parameter gehen aus folgender Konstruktion hervor: 

h(t) 

0 0 

Bild 5.2.4 : Zur Approximation eines ITnTt-Systems durch ein IT1Tt-Systems 

Während die Ersatztotzeit T t * in Bild 5.2.3 eindeutig aus der Konstruktion der Wende- 

tangente hervorgeht, ist das in Bild 5.2.4 nicht der Fall. Das Ende von T t * wird ungefähr 

dort angesetzt, wo die Sprungantwort deutlich das Startniveau verläßt. 

Der Verstärkungsfaktor V wird in diesen Fällen und bei den beiden später folgenden 

Approximationen, wie in /1/ beschrieben, auf der Basis folgender Überlegungen berechnet: 

• Zur Bestimmung des Verstärkungsfaktors eines global proportionalen Systems wird das 

System in der Umgebung seines Arbeitspunktes u A mit einer sprungförmigen 

Eingangsgröße ∆u erregt. Das Ausgangssignal y(t) wird gemessen. Nach Abklingen des 

Einschwingvorganges stellt sich ein neuer stationärer Endwert von y(t) ein. Die 

Differenz zwischen dem neuen stationären Endwert von y(t) und dem vor der 

Sprungaufschaltung, also ∆y(∞), wird protokolliert (vergleiche Bild 5.2.5). 

Der Verstärkungsfaktor berechnet sich dann zu 

V 

= 

* * 

Tt TVZ 

Tangente im linearen Anstieg 

∆y( 

∞) 

, ( 5210 . . ) 

∆u 

t

U A 

u(t) 

0 

0 

u(t) y(t) 

∆ u System 

t 

5.16 

y(t) 

0 

0 

Einschwingvorgang 

∆ y(∞ ) 

Bild 5.2.5 : Zur Messung des Verstärkungsfaktors eines global proportional wirkenden 

Übertragungssystems 

dabei hat er folgende physikalische Einheit (Eh) 

{ ( ) } 

() 

Eh y t 

Eh{ V } = . (5.2.11) 

Eh u t 

{ } 

• Zur Bestimmung des Verstärkungsfaktors eines global integral wirkenden Systems muß 

das System von u(t) = 0 aus erregt werden, da sonst das Ausgangssignal bereits 

integral ansteigen würde. Die Amplitude des Eingangssprungs wird so klein gewählt, 

daß das Ausgangssignal innerhalb des linearen Aussteuerbereiches nach Abklingen 

des Einschwingvorganges noch seinen linearen asymptotischen Anstieg annehmen 

kann. 

u(t) y(t) Einschwingvorgang 

0 

0 

∆ u 

u(t) y(t) 

System 

0 

t 

0 

Bild 5.2.6 : Zur Messung des Verstärkungsfaktors eines global integral wirkenden 

Übertragungssystems 

∆ t 

∆ y(∞ ) 

Im linearen Anstieg des Ausgangssignals entnehmen wir der Kurve die Anstiegsgeschwindigkeit 

∆y(∞)/∆t nach Bild 5.2.6. Der Verstärkungsfaktor berechnet sich dann aus 

( ) 

∆y ∞ / ∆t 

V = , (5.2.12) 

∆u 

dabei hat er folgende physikalische Einheit 

{ } 

{ ( ) } { } 

Eh u() t 

Eh y t /Eh t 

Eh V = . (5.2.13) 

{ } 

Da die Systemmodelle (5.2.8) und (5.2.9) die Realität nur sehr grob modellieren, sollte 

man das folgende Verfahren der sog. "Zeitprozentkennwerte" bevorzugen. Das Verfahren 

t 

t

wurde von SCHWARZE /11/ für aperiodisch proportional wirkende Übertragungssysteme 

mit Verzögerung höherer Ordnung und ggf. Totzeitverhalten (PTnTt-Systeme) entwickelt. 

Aus der gemessenen Sprungantwort des Systems wird ein PTn-Übertragungsfunktions- 

modell mit n gleichen Zeitkonstanten T berechnet, d.h. das Modell approximiert das reale 

System durch ein PTn-Glied 

( ) 

( ) ( ) n 

Ys V 

G( s ) = = . (5.2.14) 

Us 1 + sT 

Grundlage dieses Verfahrens ist die analytisch berechenbare Sprungantwort von (5.2.14). 

Sie wird in /11/ mit 

( ) 

() 

i 

⎧ n−1 t/T 

⎫ 

⎪ 

⎡ ⎤ 

−t/T⎪ 

h t = V ⎨1 − ⎢∑⎥⋅e⎬⋅∆u (5.2.15) 

⎪ ⎢i= 0 i ! ⎥ 

⎩ ⎣ ⎦ ⎪⎭ 

angegeben. Zunächst setzt man den Verstärkungsfaktor V = 1 und wählt als Eingangs- 

signal σ(t) mit ∆u = 1. Dies bedeutet keine Einschränkung, da wir den Verstärkungsfaktor 

nach unserer bekannten Beziehung (5.2.10) berechnen und in (5.2.14) einsetzen können. 

Nun definiert man sog. Zeitprozentkennwerte t m, z.B. t 10, t 30, t 50, t 70 und t 90, dies sind 

Zeitpunkte, an denen die Sprungantwort m = 10%, 30%, ..., 90% ihres stationären End- 

wertes (100%) annimmt. 

(m) 

100% 

90% 

70% 

50% 

30% 

10% 

0% 

0 

h(t) 

t10 t30 t50 t70 t90 (t ) 

m 

Bild 5.2.7 : Zur Definition der Zeitprozentkennwerte t m 

Der Amplitudenwert m [%], zu dem der Zeitprozentwert t m, die Systemordnung n und die 

Zeitkonstante T gehören, berechnet sich dann aus (5.2.14) zu 

5.17 

t

⎧ n−1 i 

( t m /T) 

⎫ 

⎪ 

⎡ ⎤ 

−t 

m /T⎪ 

m [ % ] = ⎨1 − ⎢∑⎥⋅e⎬⋅100% . (5.2.16) 

⎪ ⎢i= 0 i ! ⎥ 

⎩ ⎣ ⎦ ⎪⎭ 

Durch Iteration kann man für verschiedene n die Quotienten (t m/T) berechnen, die das 

eingesetzte m erfüllen. SCHWARZE hat diese Rechnung für n = 1, 2, ..., 10 durchgeführt. 

Das Ergebnis ist in Tabelle 5.2.1 dargestellt. 

n t10 / T t30 / T t50 / T t70 / T t90 T / 

1 0,11 0,36 0,69 1,20 2,30 

2 0,53 1,10 1,68 2,44 3,89 

3 1,10 1,91 2,67 3,62 5,32 

4 1,74 2,76 3,67 4,76 6,68 

5 2,43 3,63 4,67 5,89 7,99 

6 3,15 4,52 5,67 7,01 9,27 

7 3,89 5,41 6,67 8,11 10,5 

8 4,66 6,31 7,67 9,21 11,8 

9 5,43 7,22 8,67 10,3 13,0 

10 6,22 8,13 9,67 11,4 14,2 

Tabelle 5.2.1 Bezogene Zeitprozentkennwerte (Modell (5.2.14)) 

Bildet man noch für die verschiedenen Systemordnungen n Quotienten t 10 / t 90; t 10 / t 70; 

usw. (dies kann man direkt mit Hilfe der Tabelle 5.2.1 machen, da sich die T´s 

herauskürzen), erhält man daraus Bestimmungsgleichungen zur Abschätzung der 

Systemordnung n. Diese Zeitprozentverhältnisse sind in Tabelle 5.2.2 aufgelistet. 

n t10 / t90 

t10 / t70 

t10 / t50 

t10 / t30 

t30 / t70 

t / t 

5.18 

30 50 

1 0,05 0,09 0,15 0,30 0,30 0,52 

2 0,14 0,22 0,32 0,48 0,45 0,65 

3 0,21 0,31 0,41 0,58 0,53 0,72 

4 0,26 0,37 0,48 0,63 0,58 0,75 

5 0,30 0,42 0,52 0,67 0,62 0,78 

6 0,34 0,45 0,56 0,70 0,65 0,80 

7 0,37 0,48 0,58 0,72 0,67 0,81 

8 0,40 0,51 0,61 0,74 0,69 0,82 

9 0,42 0,53 0,63 0,75 0,70 0,83 

10 0,44 0,55 0,65 0,76 0,71 0,84 

Tabelle 5.2.2 Zeitprozentverhältnisse (Modell (5.2.14)

An Hand des folgenden Beispiels wollen wir nun zeigen, wie man auf der Basis der 

vorangehenden Überlegungen und Berechnungen eine Systemidentifikation mit dem 

Zeitprozentkennwert-Verfahren praktisch durchführt. 

Beispiel 5.2.2: Ein im Arbeitspunkt u A = 3,5V betriebener Antriebsmotor mit 

Steuereinrichtung 

u(t) 

Steuereinrichtung 

5.19 

Walzenmotor 

antwortet auf einen Steuerspannungssprung von 2 auf 5 V mit folgender Drehzahl- 

änderung: 

100% 

90% 

70% 

50% 

30% 

10% 

0% 

1200 

1056 

912 

768 

624 

n(t) / U/min 

480 

0 20 40 60 80 t 

t 10 t 30 t 50 t 70 t 90 

Bild 5.2.8 : Zeitprozentkennwerte einer Sprungantwort 

Berechne die Übertragungsfunktion G(s) = N(s) / U(s) dieser Wirkungsanordnung mit dem 

Zeitprozentkennwert-Verfahren. 

Der Verstärkungsfaktor V berechnet sich nach (5.2.10) 

( ) ( ) ( ) 

( ) 

∆y∞ ∆n∞ 1200 − 480 U/min U/min 

V = = = = 240 . (5.2.17) 

∆u∆u 5 − 2 V V 

Zur Berechnung von n und T des Modells (5.2.14) werden die Zeitprozentkennwerte aus 

der Sprungantwort ausgemessen. Wenn die Messung rechnergestützt durchgeführt wird, 

können folgende Werte abgelesen werden: 

t 10 = 6,4 sek; t 30 = 10,9 sek; t 50 = 15,4 sek; 

t = 21,3 sek; t = 33,0 sek. (5.2.18) 

70 90 

n(t)

Durch Bildung eines Zeitprozentkennwert-Verhältnisses, z.B. 

t 

t 

10 

90 

64 , 

= = 

33, 0 

0, 194 ( 5. 2. 19) 

kann aus Tabelle 5.2.2 die Ordnung n des Systemmodells bestimmt werden. In der Spalte 

t 10 / t 90 kommt der Wert 0,21 unserem berechneten Wert 0,194 am nächsten, woraus sich 

eine Systemordnung von n = 3 ablesen läßt. Die anderen Zeitprozentverhältnisse werden 

nicht mehr gebraucht, können aber zur Kontrolle herangezogen werden: 

t 

t 

t 

t 

10 

70 

10 

30 

t10 

= 0,30 ⇒ n = 3; = 0,42 

⇒ n = 3; 

t 

50 

= 0,59 ⇒ n = 3; u.s.w. . 

( 5. 2. 20) 

Sollten an dieser Stelle einmal Unstimmigkeiten auftreten, wählt man die Ordnung, die am 

häufigsten berechnet wird. Mit der jetzt bekannten Ordnung (n = 3) geht man in die Tabelle 

5.2.1 und liest die zu t m / T gehörenden Werte ab, woraus sich für die einzelnen "m" leicht 

voneinander abweichende Zeitkonstanten T berechnen lassen: 

t 

T 

10 10 

t 

T 

t 

T 

t 

T 

t 

T 

t 

= 1,10 

T = = 5 

110 

6,4 

⇒ 

= ,82 sek 

, 1,10 

t 

= 1,91 

T = = 5 

191 

10,9 

⇒ 

= ,71 sek 

, 1, 91 

30 30 

t 

= 2,67 

T = = 

267 

15,4 

⇒ 

, 2,67 

50 50 

t 

= 3,62 

T = = 5 

362 

21,3 

⇒ 

= ,88 sek 

, 3,62 

70 70 

t 

= 5,32 

T = = 6 

532 

33,0 

⇒ 

= ,2 sek . (5.2.21) 

, 5,32 

90 90 

5.20 

= 5,78 

sek 

Von diesen Zeitkonstanten bildet man das arithmetische Mittel T = 5,88 und hat damit das 

zur Sprungantwort nach Bild 5.2.8 gehörende Systemmodell 

U 

Ns ( ) 240 

G( s ) = = min⋅ V 

(5.2.22) 

U(s) 1 + s 5,88 sek 

( ) 3 

⋅

estimmt. Das folgende Bild zeigt die Sprungantwort des zu Grunde liegenden Systems 

und des Modells (5.2.22). 

100% 

50% 

0% 

Modell 

Originalsystem 

0 20 40 60 80 t 

Bild 5.2.9 Zur Systemidentifikationsgüte des Zeitprozentkennwert-Verfahrens 

Bis auf den mittleren Bereich zeigen beide Kurven eine hervorragende Übereinstimmung. 

Ein weiteres, in /11/ angegebenes, auch auf der Grundlage der Zeitprozentkennwerte 

basierendes Verfahren approximiert eine gegebene Sprungantwort durch ein Übertragungsfunktionsmodell 

2. Ordnung 

( ) 

Y s V 

G( s ) = = (5.2.23) 

U(s) 1 sT 1 sbT 

( + ) ⋅ ( + ) 

mit zwei unterschiedlichen Zeitkonstanten T und bT. Der Faktor b kann an Hand der 

Zeitprozent-Verhältnistabelle 5.2.4 bestimmt werden. Liegt b damit fest, wird in Tabelle 

5.2.3 die entsprechende Zeile ausgewählt, mit deren Hilfe sich T (ggf. auch nach einer 

arithmetischen Mittelung) bestimmen läßt. 

Die Modellierung nach (5.2.23) empfiehlt sich, wenn bekannt ist, daß das System eine 

niedrige Verzögerungsordnung hat (n ≈ 2). Ist man sich im unklaren, ob man Modell 

(5.2.14) oder (5.2.23) wählen soll, muß man beide Modelle bilden und nach einem 

Vergleich zwischen Original� und Modellsprungantworten das bessere Modell wählen. 

5.21

t10 / T t30 / T t50 / T t70 / T t90 T / 

1 0,53 1,10 1,68 2,44 3,89 

2 0,76 1,59 2,46 3,62 5,94 

3 0,95 2,01 3,17 4,79 8,12 

5 1,27 2,71 4,56 7,14 12,6 

7 1,55 3,53 5,92 9,51 17,2 

10 1,93 4,61 7,99 13,1 24,1 

12,5 2,22 5,50 9,71 16,1 29,9 

15 2,52 6,38 11,4 19,1 35,6 

17,5 2,80 7,28 13,2 22,1 41,3 

20 3,08 8,16 14,9 25,1 47,1 

Tabelle 5.2.3 Bezogene Zeitprozentkennwerte (Modell (5.2.23)) 

b t10 / t90 

t10 / t70 

t10 / t50 

t10 / t30 

t30 / t70 

t / t 

5.22 

30 50 

1 0,14 0,22 0,32 0,48 0,45 0,65 

2 0,13 0,21 0,31 0,48 0,44 0,65 

3 0,12 0,20 0,30 0,47 0,42 0,63 

5 0,10 0,18 0,28 0,45 0,39 0,61 

7 0,09 0,16 0,26 0,44 0,37 0,60 

10 0,08 0,15 0,24 0,42 0,35 0,58 

12,5 0,07 0,14 0,23 0,40 0,34 0,57 

15 0,07 0,13 0,22 0,40 0,33 0,56 

17,5 0,07 0,13 0,21 0,39 0,33 0,55 

20 0,06 0,12 0,21 0,38 0,32 0,55 

Tabelle 5.2.4 : Zeitprozentverhältnisse (Modell (5.2.23)) 

Einen dritten Modellansatz durch ein PT n-System mit zwei unterschiedlichen Zeitkonstanten 

( ) 

( ) ( + ) ⋅ ( + ) 

Y s V 

G( s ) = = (5.2.24) 

U s n 1 

1 Ts 1 bTs − 

gibt SCHWARZE noch in /11/ an. Aus Platzgründen wollen wir darauf nicht weiter 

eingehen. 

Wie im folgenden gezeigt wird, kann das Zeitprozentkennwert-Verfahren, obwohl von 

SCHWARZE nur für global proportionale Systeme entwickelt auch erfolgreich für global 

integrale Systeme verwendet werden. Ein ITnTt-System unterscheidet sich von einem

PTnTt-System in der Übertragungsfunktion nur durch das Integrator-„s" im Nenner. 

Multipliziert man daher ein IT nT t-System mit "s", geht es in ein PTnTt-System über. Eine 

Multiplikation mit "s" bedeutet nach den Regeln der Laplace-Transformation eine 

Differentiation im Zeitbereich. (Der Anfangswert f(0) der im Ableitungssatz der Laplace- 

Transformation noch auftaucht, kann gleich Null gesetzt werden, da wir Übertragungs- 

funktions-Modelle bilden wollen, bei denen die Anfangswerte gleich Null gesetzt werden). 

Das heißt, die Sprungantwort eines IT nT t-Systems bekommt nach einer Differentiation die 

Form der Sprungantwort eines PTnTt-Systems, die mit dem Zeitprozentkennwert- 

Verfahren in Form einer Übertragungsfunktion (5.2.14) oder (5.2.23) modelliert werden 

kann. Fügt man nach der Modellierung der Übertragungsfunktion den Integratorterm 1/s 

hinzu, erhält man das mathematische Modell des vorliegenden IT nT t - Systems. 

Liegt die gemessene Sprungantwort des Systems als Abtastfolge in einer Datei vor, kann 

die Differentiation, wie in Kapitel 4 beschrieben, mit Hilfe des Algorithmus (4.2.9) 

numerisch durchgeführt werden. 

In der Literatur, z.B. in /12/, werden noch eine Reihe weiterer Verfahren zur 

Systemidentifikation aus Sprungantworten angegeben. Im Gegensatz zur 

Zeitprozentkennwert-Methode müssen dort häufig Wendetangenten in die 

Sprungantworten konstruiert werden, was sehr leicht zu erheblichen Fehlern führen kann. 

5.3 Rechnergestützte Systemidentifikationsverfahren 

Alle rechnergestützen Verfahren zur Systemidentifikation arbeiten auf der Basis des in Bild 

1.0.1 dargestellten Grundprinzips der experimentellen Systemidentifikation. Sie werden i.a. 

in zwei Kategorien eingeteilt: 

• spektralanalytische Verfahren und 

• Parameterschätzverfahren. 

Bei den spektralanalytischen Verfahren wird das zu identifizierende System mit 

stochastischen Eingangssignalen (Rauschsignalen) erregt und die Auswertungsalgorithmen 

arbeiten im Frequenzbereich. Ergebnis spektralanalytischer Identifikationsverfahren 

sind nichtparametrische Modelle in Form von sogenannten Gewichtsfunktionen 

und Bodediagrammen. Da uns die Grundlagen der stochastischen Signaltheorie fehlen, 

können wir auf diese Verfahren nicht eingehen. Dies bedeutet i.a. keine wesentliche 

Einschränkung, da die Parameterschätzverfahren, von denen wir zwei Ansätze betrachten 

werden, parametrische Modelle erzeugen, aus denen wir problemlos alle erwünschten 

Modellformen berechnen können. Es muß allerdings erwähnt werden, daß 

5.23

spektralanalytische Verfahren, weil sie eben nur nichtparametrische Modelle erzeugen, in 

Einzelfällen störungsunempfindlicher sind als Parameterschätzverfahren. In Sonderfällen 

erlauben spektralanalytische Verfahren auch die Identifikation von Systemen ohne 

künstliche Erregung, weil sie das natürliche Betriebsrauschen am Eingang eines Systems 

als Erregung nutzen. Zur Einarbeitung in spektralanalytische Identifikationsverfahren 

werden die Literaturstellen /3, 13, 14/ empfohlen. 

Bei den Parameterschätzverfahren ist der Stoffumfang so groß, daß die existierenden 

Ansätze aus Zeitgründen im Rahmen dieser Einführung in die Systemidentifikation nicht 

erschöpfend behandelt werden können. Wir wollen jedoch die Grundzüge eines der 

wichtigsten Parameterschätzverfahrens die Methode der kleinsten Quadrate etwas 

eingehender ansprechen, um ein gewisses Verständnis für das Prinzipien dieser 

Systemidentifikations-Methode zu bekommen. 

Das zweite vorgestellte Verfahren aus der Gruppe der Parameterschätzverfahren basiert 

auf einem Optzimierungsalgorithmus, d.h. dieses Verfahren löst das Identifizierungsproblem 

durch rechnergestütztes "intelligentes Probieren". Es findet in der Literatur kaum 

Beachtung, zeichnet sich aber durch seine Robustheit gegenüber Meßstörungen aus. 

5.3.1 Bestimmung der Parameter der Übertragungsfunktion mit dem Verfahren der 

Summe der kleinsten Quadrate (SKQ-Verfahren) 

Wie schon weiter vorn angedeutet, gibt es zwei grundlegende Ansätze zur Berechnung (in 

der Literatur häufig auch Schätzung genannt) mathematischer Modelle mit dem Verfahren 

der Summe der kleinsten Quadrate (SKQ-Verfahren). 

Die einfachere Variante, der Offline-Algorithmus, wird in Kapitel 5.3.1.1 abgeleitet. Er 

berechnet aus einem gemessenen Eingangsdatensatz u(t) und einem dazugehörigen 

Ausgangsdatensatz y(t) in einem Zuge die Koeffizienten der Polynomform der 

systembeschreibenden Übertragungsfunktion. 

Im darauffolgenden Kapitel 5.3.1.2 wird der sogenannte Online-Algorithmus, die rekursive 

Methode der kleinsten Quadrate, beschrieben. Dieses Verfahren berechnet zunächst ein 

Systemmodell wie beim Offline-Algorithmus. Mit jedem anschließend gemessenen 

zusätzlichen Datenpaar (u, y) wird dann versucht, das Systemmodell zu verbessern. Ziel 

dieses Verfahren kann aber auch sein, wie wir schon weiter vorn bemerkt haben, ein sich 

langsam änderndes System (d.h. mit sich ändernden Systemparametern) fortlaufend zu 

identifizieren. 

5.24

Nach der Ableitung dieser beiden Identifikationsverfahren werden in den darauffolgenden 

Kapiteln einige Randbedingungen zur ihrer praktischen Anwendung angegeben und 

anschließend einige Matlab-Programme vorgestellt, mit denen Systemidentifikationsläufe 

zur Erprobung der SKQ-Verfahren möglich sind. 

5.3.1.1 Das SKQ-Offline Verfahren 

Zur Ableitung des Verfahrens, das in der Literatur häufig auch als LS-Verfahren (Least 

Squares-Verfahren) bezeichnet wird, gehen wir von einem unbekannten, linearen, 

kontinuierlichem System mit der Eingangsgröße u(t) und der Ausgangsgröße y(t) aus, das 

durch folgende Übertragungsfunktion 

( ) 

( ) 

n−1⋅ n−1 + n−2⋅ n−2 L + 2⋅ 2 

1⋅ 0 

n 

+ n−1⋅ n−1 + n−2⋅ n−2 + L + 2⋅ 2 

+ 1⋅ + 0 

Y s b s b s + b s + b s + b 

G( s ) = = (5.3.1) 

Us s a s a s a s a s a 

beschrieben werden kann. Da der Zählergrad kleiner ist als der Nennergrad, ist das 

System nicht sprungfähig. Dies ist Voraussetzung für das abzuleitende Systemidenti- 

fikationsverfahren, bedeutet aber keine wesentliche Einschränkung, da die meisten realen 

Systeme nicht sprungfähig sind. 

Ziel ist es, die Systemordnung n und die Parameter b i des Zählers und a i des Nenners zu 

bestimmen. 

Obwohl wir ein kontinuierliches Modell identifizieren wollen, gehen wir bei diesem 

Verfahren einen Umweg und bestimmen zunächst ein zeitdiskretes Modell in Form einer z- 

Übertragungsfunktion 

( ) 

( ) 

1 

−1 2 

−2 L 

∗ 

n 

−n 

+ α1⋅ −1 + L α ∗ 

n ⋅ 

∗ 

−n 

Y z β ⋅ z + β ⋅ z + + β ⋅z 

G( z ) = = 

U z 1 z + z 

1 

∗ 

n −1 z 2 

∗ 

n −2 

z L + n 

∗ ∗ 

n n −1 

z + α1⋅ z + L α ∗ 

n 

β ⋅ + β ⋅ + β ∗ 

= . (5.3.2) 

Dieser Ansatz hat meß- und erregungstechnische Konsequenzen. Aus /1/ wissen wir, daß 

ein kontinuierliches System sein zeitdiskretes Wesen wiedergibt, wenn es mit einer 

treppenförmigen Erregung u H(t) angesteuert und das Ausgangssignal zu den Abtast- 

zeitpunkten y(kT) gemessen wird. 

5.25 

∗

u(kT) 

u(kT) 

D/A 

Wandler 

Halteglied 

u (t) 

H 

t 

Kontinuierliches 

System 

u (t) 

H 

5.26 

t 

y(t) 

T 

y(kT) 

y(t) 

t 

y(t) 

y(kT) 

Bild 5.3.1 : Messung der zeitdiskreten Systemantwort eines kontinuierlichen Systems 

Da sich aber standardmäßig ein D/A-WAndler in unserer Meßkette befindet, der das 

Halten der Eingangsgröße in das zu vermessende System übernimmt, müssen wir uns 

darüber keine zusätzlichen Gedanken machen. 

Die zu lösende Aufgabe besteht nun darin, aus einer bekannten Eingangsgrößenfolge u(k) 

und der dazugehörigen Ausgangsgrößenfolge y(k) die Systemordnung n und die 

Parameter αi und βi zu bestimmen. Zu diesem Zweck schalten wir gedanklich dem zu 

identifizierenden System (Prozeß GP(z)) ein Systemmodell GM(z) parallel (Vergleiche Bild 

5.3.2). 

Die Ordnung n* des Prozesses sei im ersten Ansatz bekannt. Beide Systeme werden mit 

dem gleichen, beliebig geformten Eingangssignal u(k) erregt. In der Differenz der 

Ausgangssignale 

M 

( ) 

( ) 

ZMz E( z ) = YP( z ) − YM( z ) = YP( z ) − ⋅U( 

z ) 

(5.3.3) 

N z 

ZM(z): Zählerpolynom; NM(z): Nennerpolynom des Systemmodells 

D(z) 

U(z) 

G (z) 

P 

G (z) = 

M 

Z M(z) 

N (z) 

M 

Bild 5.3.2 Prozeß mit Parallelmodell 

Y (z) 

P 

- 

Y (z) 

M 

E(z)

schlägt sich der Parameterfehler zwischen Modell und Prozeß und der Einfluß der 

Prozeßstörung D(z) nieder. Betrachten wir zunächst den Fall der ungestörten Messung 

(D(z) = 0). Dann ist E(z) = 0, wenn die Parameter des Prozesses mit denen des Modells 

übereinstimmen. Unter diesen Voraussetzungen geht (5.3.3) über in 

M 

( ) 

( ) 

ZMz 0 = YP ( z ) − ⋅Uz 

N z 

( ) 

( ) ⋅ ( ) ( ) ⋅ ( ) 

N z Y z = Z z U z . (5.3.4) 

M P M 

In dieser Gleichung treten nur noch die unbekannten Zähler- und Nennerpolynome des 

Systemmodells und die bekannten Ein- und Ausgangssignalfolgen des Prozesses auf. 

Schreibt man (5.3.4) aus 

∗ −2∗ −1 −n −1 −n 

( 1+α1⋅ z + �+ α ⋅z ) ⋅YP( z ) = ( β1⋅ z +β2⋅ z + �+ 

β ⋅z ) ⋅U( 

z) 

∗ ∗ 

n n 

( ) ( ) � ∗ ( ) ( ) ( ) � ∗ ( ) 

−1 −n −1 −2 −n 

P +α1⋅ P ⋅ + +αn ⋅ P ⋅ β1⋅ ⋅ +β2⋅ ⋅ + +βn ⋅ ⋅ 

∗ ∗ 

Y z Y z z Y z z = U z z U z z U z z , 

kann man die Beziehung in den Zeitbereich transformieren 

∗ 

( ) ( ) ( ) ( ) 

y k = −α ⋅y k−1 − α ⋅y k−2 − � − α ⋅y k− n + � 

P 1 P 2 P n P 

∗ 

( ) ( ) ∗ ( ) 

� + β ⋅uk− 1 + β ⋅uk− 2 + � + β ⋅uk−n . (5.3.5) 

1 2 n 

Um die unbekannten n*-Stück α i und n*-Stück β i berechnen zu können, benötigen wir ein 

Gleichungssystem mit 2n*-Gleichungen. Zu diesem Zweck betrachten wir (5.3.5) an den 

Stellen 

∗ ∗ ∗ ∗ 

k = n , n + 1, n + 2, �, 

3n −1: 

( 536 . . ) 

∗ ∗ ∗ ∗ 

( ) −α ⋅ ( − ) −α ⋅ ( − ) −�−α ⋅ ( ) +β⋅ ( − ) +β ⋅ ( − ) + �+β 

∗ ⋅ ( ) 

y n = y n 1 y n 2 y 0 un 1 un* 2 u0 

P 1 P 2 P n P 1 2 n 

∗ ∗ ∗ ∗ 

( + ) −α ⋅ ( ) −α ⋅ ( − ) −�−α⋅ () +β ⋅ ( ) +β ⋅ ( − ) + �+β 

∗ ⋅ ( ) 

y n 1= y n y n 1 y 1 un un* 1 u1 

P 1 P 2 P n P 1 2 n 

∗ ∗ ∗ ∗ 

( + ) −α ⋅ ( + ) −α ⋅ ( ) −�−α⋅ ( ) +β ⋅ ( + ) +β ⋅ ( ) + �+β 

∗ ⋅ ( ) 

y n 2= y n 1 y n y 2 un 1 un* u2 

P 1 P 2 P n P 1 2 n 

� 

∗ ∗ 

( ) ( ) 

y 3n −1= −α ⋅y 3n −2 −α⋅y3n−3−�−α⋅y2n− 

1+β ⋅u3n− 2+β ⋅u3n* − 3+ �+β 

∗ ⋅u2n−1. P 1 P 

∗ ∗ ∗ ∗ 

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 

2 P n P 1 2 n 

Stellt man dieses Gleichungssystem in Matrixschreibweise dar 

5.27 

(5.3.7)

( ) 

y 

P 

( ) ( ) � ( ) ( ) ( ) � ( ) 

( ) ( ) � () ( ) ( ) � () 

( ) ( ) � ( ) ( ) ( ) � ( ) 

⎡ ∗ 

yP n ⎤ ⎡ ∗ ∗ ∗ 

yP n −1, yP n −2 , , yP 0 u n −1, ⎢ ⎥ ⎢ 

⎢ ⎥ ⎢ 

⎢ ∗ ∗ ∗ ∗ 

yP( n + 1) ⎥ ⎢yP n , yP n −1, , yP 1 u n , 

⎢ ⎥ ⎢ 

⎢ ⎥ ⎢ 

∗ ∗ ∗ ∗ 

⎢yP( n + 2) ⎥ ⎢yP n + 1, yP n , , yP 2 u n + 1, 

⎢ ⎥= 

⎢ 

⎢ ⎥ 

⎢ 

� 

⎢ 

⎥ ⎢ � 

⎢ ⎥ ⎢ 

∗ 

⎢yP( 3n −1) 

⎥ ⎢ ∗ ∗ ∗ ∗ 

yP( 3n −2 ) ,yP( 3n −3 ) , �, 

yP( 2n −1) 

u 

⎢ ⎥ 

( 3n −2 ) , 

⎣ ⎦ ⎣⎢ ∗ 

u n −2 

, , u 0 ⎤ ⎡−α ⎤ 

⎥ 1 

⎢ ⎥ 

⎥ ⎢ ⎥ 

∗ 

u n −1, 

, u 1 ⎥ ⎢ � ⎥ 

⎥ ⎢ ⎥ 

⎥ ∗ ⎢−α ∗ 

n ⎥ 

u n , , u 2 ⎥ ⎢ ⎥ 

⎥⋅ ⎢ β1 

⎥ 

⎥ ⎢ ⎥ 

⎥ ⎢ ⎥ 

⎥ 

� 

⎢ ⎥ 

∗ ∗ 

u( 3n −3 ) , �, 

u( 2n −1 ) ⎥ ⎢ ⎥ 

β ∗ 

⎦⎥ 

⎢⎣ n ⎥⎦ 

�� 

5.28 

R 

p 

(5.3.8) 

erkennt man, daß in den 2n*-Gleichungen bis auf den Parametervektor p alle anderen 

Größen, nämlich die Eingangsfolgewerte u(k) und die Ausgangsfolgewerte y(k) bekannt 

sind. Die Gleichung (5.3.8) muß zur expliziten Berechnung des Parametervektors nur noch 

nach p umgestellt werden: 

y = R⋅p P 

−1 −1 

P 

−1 

R ⋅ y = R ⋅R⋅p = E⋅p p = R ⋅ y . (5.3.9) 

P 

(5.3.9) stellt damit einen Systemidentifikationsalgorithmus dar, der es erlaubt, bei 

störungsfreier Messung von (3n*-1)-Eingangsfolgewerten 

∗ ( ) ( ) ( ) � ( − ) 

u 0 , u 1 , u 2 , , u 3n 2 (5.3.10) 

beliebiger Kurvenform und (3n*) dazugehörigen Ausgangsfolgewerten 

∗ ( ) ( ) ( ) � ( − ) 

y 0 , y 1 , y 2 , , y 3n 1 (5.3.11) 

und bekannter Ordnung n* des Prozesses die unbekannten Parameter 

α , α , �, α ∗ und 

β , β , �, 

β ∗ 

( . . ) 

1 2 1 5312 

n 2 n 

seines Übertragungsfunktionsmodells (5.3.2) zu berechnen. 

Man erkennt jedoch sofort die Nachteile dieser Identifikationsmethode: Die identifizierte 

Parameteranzahl und damit die Systemordnung n ist abhängig von der Anzahl der

Meßwerte. Der folgende praxisnähere Ansatz der gleichen Problemstellung vermeidet 

dieses Problem. 

Bei einem realen Systemidentifikationsproblem wird i.a. die Systemordnung n* nicht 

bekannt sein und die Meßsignale der Eingangs- und Ausgangsabtastfolge werden 

Störungen unterliegen. Setzt man deshalb in die Gleichung (5.3.3) die Störung E(z) ≠ 0, 

ergibt sich folgender Ausdruck 

( ) ⋅ ( ) ( ) ⋅ ( ) − ( ) ⋅ ( ) 

N z E z = N z Y z Z z U z . (5.3.13) 

M M P M 

NM( z) E( z ) = ( z) 

und Meßfehler vereint denkt. Führt man mit dem Ansatz (5.3.13) und ( ) 

⋅ ε wird als Gleichungsfehler bezeichnet, in dem man sich alle Störungen 

ε z ≠ 0 die 

Rechengänge von (5.3.4) bis (5.3.8) erneut durch, wobei man an Stelle von (5.3.6) eine 

beliebige Anzahl von Messungen 

N ≥ 2n (5.3.14) 

zuläßt, erhält man an Stelle von (5.3.8) folgenden Ausdruck 

⎡yP( n) ⎤ ⎡yn ( 1, ) yn ( 2, ) , y0 ( ) un ( 1, ) un ( 2, ) , u0 ( ) ⎤ 

⎡−α − − � − − � 

1⎤ 

⎢ ⎥ ⎢ 

⎢ ⎥ 

⎡ε( n) 

⎤ 

⎥ ⎢ ⎥ 

⎢ 

yP( n+ 1) ⎥ ⎢ 

y( n, ) y( n−1, ) �, y1 ( ) un, ( ) un ( −1, 

) �, 

u1 ( ) ⎥ 

⎢ � ⎥ 

⎢ ⎥ ⎢ 

⎢ ⎥ 

⎢ε( n+1 ) ⎥ 

⎥ ⎢ ⎥ 

⎢ ⎥ ⎢ 

⎥ 

⎢−α ⎥ 

n ⎢ ⎥ 

⎢yP( n+ 2) ⎥ ⎢y( 

n+ 1, ) y( n, ) �, y( 2) un ( + 1, ) un, ( ) �, 

u( 2) 

= 

⎥ 

⎢ ⎥ 

⎢ε( n+2 ) 

⋅ + ⎥. 

⎢ ⎥ ⎢ 

⎥ 

⎢ β ⎥ 

1 ⎢ ⎥ 

⎢ � ⎥ ⎢ 

� 

⎥ 

⎢ ⎥ 

⎢ ⎥ ⎢ 

⎢ ⎥ 

⎢ � ⎥ 

⎥ � ⎢ ⎥ 

⎢ 

yP( n+ N− 1 

⎥ ⎢ 

⎢⎣ ) ⎥⎦ ⎢⎣y( 

n+ N− 2 ) ,y( n+ N−3 ) , �, y( N− 1) u( n+ N− 2 ) ,u( n+ N−3 ) , �, 

u( N−1 ⎥ 

⎢ ⎥ 

⎢ 

) ⎦ ⎢ ⎥ ( n+N −1 

⎥ 

⎥ β ⎢⎣ε) ⎢ 

⎥ 

⎣ 

⎦ 

n ⎥⎦ 

�� 

�� 

�� 

y = R ⋅ p + ε 

p 

5.29 

(5.3.15) 

Dabei ist n eine geschätzte Systemordnung, die größer oder gleich der vermuteten, 

wirkliche Systemordnung n* gewählt werden sollte. 

Um trotz Anwesenheit des Fehlers 

ε = y 

P 

− R⋅ p 

( 5316 

. . )

gute Modellparameterwerte p berechnen zu können, ist es sicherlich sinnvoll zu fordern, 

daß der Fehlervektor ε in Abhängigkeit von den zu bestimmenden Parametern p 

möglichst klein wird. Formal könnte das Minimum dieser Funktion durch Nullsetzen der 

ersten Ableitung ∂ε / ∂p 

von (5.3.16) gefunden werden. Dies würde jedoch ε in dem Sinne 

minimieren, daß ε nicht gegen Null sondern gegen betragsmäßig große negative Werte 

gehen würde. Um den Betrag von ε zu minimieren, muß daher die Ableitung des 

Fehlerbetrages ∂ε / ∂p 

= 0 gebildet werden. Bessere Ergebnisse mit ähnlicher Wirkung 

und gepaart mit einer einfacheren Ableitung liefert die Auswertung von ε durch 

∂ 

∂ 

ε 

2 

p 

= 

0 , ( 5. 3. 17) 

also die Minimierung des Fehlerquadrates. Da das Quadrat eines Vektors nicht definiert 

ist, muß man sich vor Augen führen, was die Operation (5.3.17) erreichen will, nämlich die 

Summe der Fehlerquadrate ε 2 (k) in (5.3.15) minimal, bzw. Null zu machen. Die Summe 

der Fehlerquadrate kann man aber wie folgt ausdrücken: 

n+ N−1 ∑ 

k=n 

( ) ( ) + ( + ) + L + ( + − ) 

2 2 2 2 

ε k = ε n ε n 1 ε n N 1 . 

Nach den Regeln der Matrizenrechnung ist aber auch 

so daß (5.3.17) übergeht in 

5.30 

ε( 

n) 

( n+ 1) 

⎡ ⎤ 

⎢ ⎥ 

′ 

= ( n ) , ( n 1 ) , , ( n N 1) 

⎢ 

ε 

ε ⋅ ε ⎡⎣ε ε + L ε + − ⎤⎦⋅ 

⎥ 

⎢ M ⎥ 

⎢ ( n+ N−1) ⎥ 

⎣ε⎦ n+ N−1 2 2 2 2 

( ) + ( + ) + L + ( + − ) ∑ ( ) 

= ε n ε n 1 ε n N 1 = ε k , (5.3.18) 

( ε 

′ 

ε) 

∂ ⋅ 

∂ 

p 

Nach dem Einsetzen von (5.3.16) in (5.3.19) 

= 0 . (5.3.19) 

′ 

( ε 

′ 

ε 

∂⋅ ) ( y − R⋅p P ) ⋅( y − R⋅p P ) 

⎡ ⎤ 

∂ ⋅ ⎢ ⎥ 

= 

⎣ ⎦ 

= 0 (5.3.20) 

∂ p ∂ p 

k=n

kann diese Gleichung gelöst und zur Berechnung des Parametervektors p umgestellt 

werden. Da uns zur Durchführung dieser Rechnung einige mathematische Grundlagen 

fehlen (z.B. Ableitungen von Matrizen und Vektoren), geben wir das Ergebnis direkt an: 

( ) 1 − 

p = R 

′ 

⋅R⋅R ′ 

⋅y ⋅ 

(5.3.21) 

P 

(Für den am Rechnungsgang interessierten Leser sei auf die Literaturstelle /13/ 

hingewiesen, wo auch das Problem der Ableitung von Matrizen ausführlich dargestellt 

wird). 

Zur praktischen Anwendung dieser Systemidentifikationsgleichung nach dem SKQ- 

OfflineVerfahren (5.3.21) müssen die Matrizen R und yp nach der Vorschrift, wie sie in 

Gleichung (5.3.15) dargestellt ist, mit den Meßwerten des Eingangssignals u(n-i) und des 

Ausgangssignals y(n-i) besetzt werden. Anschließend kann (5.3.21) nach den Methoden 

der Matrizenrechnung berechnet werden. 

Das folgende Matlab-Programm zeigt diesen Besetzungs- und Lösungsweg: Die jeweils 

"N" Abtastwerte "uab", des Eingangssignals und "yab" des Ausgangssignals müssen als 

Spaltenvektoren im Matlab-Arbeitsspeicher vorliegen, dann berechnet das folgende 

Programm den Parametervektor p der zeitdiskreten Übertragungsfunktion (5.3.2) mit der 

vorgegebenen (und damit auch im Matlab-Speicher bekannten) Systemordnung "n". Die 

Sortierung der Parameter in p entspricht dann der in Formel (5.3.15): 

% Parameterschätzung nach der SKQ-Methode 

% 

for k = 1:n, % Besetzung der R-Matrix 

R(:,n+1-k) = yab(k:N-1+k); 

R(:,2*n+1-k) = uab(k:N-1+k); 

end 

RR = R'*R; % Prüfung, der Invertierbarkeits- 

Determinante=det(RR); % Kondition der zu invertierenden 

if abs(Determinante)

5.3.1.1 Das SKQ-Online Verfahren 

Das in der Überschrift genannte Verfahren wird in der Literatur häufig auch als „rekursive 

Methode der kleinsten Quadrate“ oder als „RLS-Verfahren“ (recursive least squares) 

bezeichnet. 

Zur Ableitung des Verfahrens, wobei wir einer Ableitung von /13/ folgen, schreiben wir den 

Ansatz zur Ableitung der nichtrekursiven Methode (5.3.15) so hin, daß man die (diskrete) 

Zeitabhängigkeit (k) der Messung der Signale u und y deutlich erkennt. Dabei gelten 

wieder die in /1/ eingeführten Abkürzungen k für kT und T für die Abtastzeit: 

Wobei 

⎡y p(1) 

⎤ ⎡r'(1) ⎤ ⎡−α1⎤ ⎡ε(1) ⎤ 

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 

⎢y . 

p(2) 

⎥ ⎢r'(2) ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ε(2) ⎥ 

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢−α ⎥ ⎢ ⎥ 

n 

⎢ 

. 

⎥ = ⎢ . ⎥⋅ ⎢ ⎥+ 

⎢ . ⎥ 

. . β 

⎢ 1 

. 

. 

. 

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 

. 

⎥ 

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ . ⎥ ⎢ ⎥ 

⎢⎣ y p(k) 

⎥ r'(k) ⎢ n ⎥ 

14243 ⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎣ β ⎦ ⎢⎣ε(k) ⎥ 

14243 123 123⎦ 

y (k) = R(k) ⋅ p(k) + ε(k). 

(5.3.22) 

p 

r '(k) = [ y(k −1), y(k −2), ... ,y(k −n) | u(k −1), ... ,u(k −n) 

] 

(5.3.23) 

n: vermutete Systemordnung 

ist. Eine entsprechende Zeitabhängigkeit gilt für die Lösung von (5.3.22) (vergleiche 

(5.3.21)): 

( ) 1 − 

p(k) = R'(k) ⋅R(k) ⋅R'(k) ⋅y 

(k). (5.3.24) 

Zur Schreibvereinfachung wird für die folgenden Darstellungen 

( ) 1 − 

p 

R'(k) ⋅ R(k) = Q(k) . (5.3.25) 

abgekürzt, so daß (5.3.24) wie folgt geschrieben wird: 

p(k) = Q(k) ⋅R'(k) ⋅y 

p(k). 

(5.3.26) 

Für den nächsten Zeitpunkt lautet (5.3.26) dann 

p(k + 1) = Q(k + 1) ⋅ R'(k + 1) ⋅ y p(k 

+ 1) . (5.3.27) 

Wenn man diese Gleichung wie folgt aufspaltet, erkennt man, wie der neue Parametersatz 

p(k+1) aus neuen Meßwerten, z.B. yP(k+1) entsteht: 

5.32

' 

⎡ R(k) ⎤ ⎡ y p(k) 

⎤ 

p(k + 1) = Q(k + 1) 

⎢ 

⋅⎢ r'(k+ 1) ⎥ y (k+ 1) ⎥ 

Ersetzt man in (5.3.28) den Term 

R'(k) ⋅ y p(k) 

durch die umgestellte Gleichung (5.3.26) 

erhält man 

⎣ ⎦ ⎣ p ⎦ 

= Q(k + 1) ⋅⎡R'(k) ⋅ y (k) + r(k + 1) ⋅ y (k + 1) ⎤. 

(5.3.28) 

p 

−1 

⎣ p p ⎦ 

R(k) ⋅ y (k) = Q (k) ⋅p(k) 

(5.3.29) 

−1 

p(k + 1) = Q(k + 1) ⋅Q (k) ⋅ p(k) + Q(k + 1) ⋅ r(k + 1) ⋅ y (k + 1). (5.3.30) 

Um den alten Parametersatz p(k) mit in die Betrachtungen einzubeziehen, wird zum Term 

−1 

Q(k + 1) ⋅Q (k) ⋅ p(k) der Parametersatz p(k) einmal addiert und, um die Gleichung nicht zu 

verändern, wieder subtrahiert: 

−1 

p(k) + Q(k + 1) ⋅Q (k) ⋅p(k) −p(k) 

⎡ −1 

⎤ 

= p(k) + Q(k + 1) ⋅Q (k) −E⋅p(k) . (5.3.31) 

⎣ ⎦ 

Setzt man (5.3.31) an Stelle von 

Gleichung 

⎡ −1 

⎤ 

−1 

Q(k + 1) ⋅Q (k) ⋅ p(k) in (5.3.30) ein, ergibt sich eine 

p(k + 1) = p(k) + Q(k + 1) ⋅Q (k) −E⋅ p(k) + Q(k + 1) ⋅ r (k + 1) ⋅ y p(k 

+ 1) , (5.3.32) 

⎣ ⎦ 

mit Hilfe derer, man auf der Basis eines alten Parametersatzes p(k) rekursiv einen neuen 

Parametersatz p(k+1) berechnen kann, der u.a. auf einer neuen Meßgröße yp(k+1) 

basiert. Leider hat die Gleichung (5.3.32) den entscheidenden Nachteil, daß zur 

Berechnung eines neuen Parametersatzes auf der Basis eines neuen Meßwerts die relativ 

große Matrix Q invertiert werden muß. 

Dies mindert die Performance einer numerischen Berechnung erheblich. Dies ist 

insbesondere von Nachteil, weil der Algorithmus Online arbeiten soll, d.h. variable 

Systemparameter in Echtzeit identifizieren soll. 

Zur Findung eines Algorithmus, der keine Matrizeninversion benötigt, wird die Matrix 

Q(k+1) entsprechend (5.3.28) aufgespalten geschrieben: 

5.33 

p

[ ] 

Q(k + 1) = R'(k + 1) ⋅ R(k + 1) 

−1 

⎡ ' 

⎡ R(k) ⎤ ⎡ R(k) ⎤ 

⎤ 

= ⎢ 

⎢ 

⎥ 

⎣r'(k+ 1) ⎥ 

⎦ 

⎢ 

⎣r'(k+ 1) ⎥ 

⎢⎣ ⎦⎥⎦ 

[ R '(k) R(k) r (k 1) r '(k 1) ] 

5.34 

−1 

= ⋅ + + ⋅ + 

−1 

⎡ −1 

⎤ 

−1 

= Q (k) + r(k + 1) ⋅ r '(k + 1) (5.3.33) 

⎣ ⎦ 

Nach der Invertierung beider Gleichungsseiten und Umstellung nach 

−1 −1 

−1 

Q (k) 

erhält man 

Q (k) = Q (k+ 1) − r(k+ 1) ⋅ r '(k+ 1). (5.3.34) 

Setzt man nun (5.3.34) in (5.3.32) ein 

erhält man schließlich 

−1 

( ) 

p(k + 1) = p(k) + ⎡Q(k+ 1) ⋅ Q (k + 1) − r(k + 1) ⋅ r '(k + 1) −E⎤⋅ p(k ) + ... 

⎣ ⎦ 

... + Q(k+ 1) ⋅ r(k+ 1) ⋅ y (k+ 1) 

= p(k) + ⎡⎣E − Q(k+ 1) ⋅ r(k+ 1) ⋅ r '(k+ 1) − E⎤⎦⋅ p(k) + ... 

... + Q(k+ 1) ⋅ r(k+ 1) ⋅ y (k+ 1), 

p(k + 1) = p(k) + Q(k + 1) ⋅ r (k + 1) ⋅ ⎡y (k + 1) − r '(k + 1) ⋅p(k) 

⎤, 

(5.3.35) 

⎣ p 

⎦ 

wobei nach (5.3.33) immer noch eine Invertierung vorgenommen werden muß. 

Nach einem Satz der Matrizenrechnung /13/ gilt, wenn A eine nicht singuläre pxp-Matrix, b 

eine 1xp-Matrix und d eine px1-Matrix sind 

−1 −1 

−1 

⎡ ⎤ 

[ ] 

A 

⎣ 

+ b⋅ d 

⎦ 

= A−A⋅b⋅ d⋅A⋅ b+ 1 ⋅d⋅A. Darüber hinaus ist unter den obigen Bedingungen[ d⋅A⋅ B+ 1] 

ein Skalar, so daß man 

schreiben kann: 

Damit wird (5.3.33) 

−1 

⎡ −1 

A⋅b A + b⋅ d⎤ = A− ⋅d⋅A. ⎣ ⎦ d⋅A⋅ b+ 1 

Q(k) ⋅ r (k + 1) 

Q(k + 1) = Q(k) − ⋅ r '(k + 1) ⋅Q(k), 

(5.3.36) 

r'(k+ 1) ⋅Q(k) ⋅ r(k+ 1) + 1 

und es muß keine Invertierung mehr vorgenommen werden. Multipliziert man weiterhin 

(5.3.36) mit r(k+1) erhält man: 

p 

p

Q(k + 1) ⋅ r (k + 1) = Q(k) ⋅ r (k + 1) −... 

Q(k) ⋅ r (k + 1) 

... − ⋅ r '(k + 1) ⋅Q(k) ⋅ r (k + 1) 

r'(k+ 1) ⋅Q(k) ⋅ r(k+ 1) + 1 

⎛ r'(k+ 1) ⋅Q(k) ⋅ r(k+ 1) ⎞ 

= Q(k) ⋅ r (k + 1) ⋅⎜1− ⎟ 

⎝ r'(k+ 1) ⋅Q(k) ⋅ r(k+ 1) + 1⎠ 

⎛ 1 

⎞ 

= Q(k) ⋅ r (k + 1) ⋅⎜ ⎟. 

(5.3.37) 

⎝ r'(k+ 1) ⋅Q(k) ⋅ r(k+ 1) + 1⎠ 

Der Ausdruck Q(k + 1) ⋅ r (k + 1) findet sich vor der Klammer in der Gleichung (5.3.35) 

wieder. (5.3.37) kann dort eingesetzt werden. Nennt man (5.3.37), wie in der Literatur 

üblich, γ (k) , erhält man den neuen Parametersatz p(k+1) wie folgt: 

mit 

( p 

) 

p(k+ 1) = p(k) + γ(k) ⋅ y (k+ 1) − r '(k+ 1) ⋅p(k) 

(5.3.38) 

Q(k) ⋅ r (k + 1) 

γ (k) = 

. (5.3.39) 

r'(k+ 1) ⋅Q(k) ⋅ r(k+ 1) + 1 

Jetzt wird nur noch die Matrix Q(k+1) für den nächsten Rechenschritt benötigt. Sie 

berechnet sich aus der Formel (5.3.36) in die Formel (5.3.39) eingesetzt wird: 

Q(k + 1) = Q(k) − γ(k) ⋅ r '(k + 1) ⋅Q(k) 

= ⎡ 

⎣E − γ(k) ⋅ r '(k + 1) ⎤ 

⎦⋅Q(k) 

. (5.3.40) 


Zur optimalen Nutzung der vorangehend beschriebenen LS- und RLS-Systemidentifikationsalgorithmen 

müssen einige Randbedingungen eingehalten werden, die im 

Folgenden beschrieben werden. 

• Wahl der Abtastzeit T und der Anzahl der Messungen N 

Die Wahl der richtigen Abtastzeit zur Signalmessung hat einen wesentlichen Einfluß auf 

die Güte des Identifizierung. Es wird ein Wert 

tDyn 

T ≈ 

(5.3.41) 

N 

5.35

empfohlen, wobei t Dyn der Zeitpunkt ist, wo die Sprungantwort des zu erkennenden 

Systems keine dynamischen Veränderungen mehr erfährt und in den stationären Zustand 

bzw. in den geradlinigen integralen Anstieg übergeht. (Spätere Identifikationsläufe zeigen, 

daß bei ungestörten Systemen, d.h. bei fehlendem Meßrauschen, eher kleinere 

Abtastzeiten und bei gestörten Systemen eher größere Abtastzeiten zu besseren 

Identifikationsergebnissen führen) 

0 

0 

h(t) 

t Dyn 

t 

5.36 

0 

0 

h(t) 

t Dyn 

Bild 5.3.3 : Zur Definition des Zeitpunktes t Dyn 

Die Anzahl N der zur Berechnung von (5.3.41) heranzuziehenden Meßwerte sollte bei 

liegen. 

20 ≤ N ≤ 120 (5.3.42) 

• Meßwerte mit Gleichanteilen 

Die Meßwerte u(kT) und y(kT), die zur Auswertung in den SKQ-Algorithmen herangezogen 

werden, z.B. in den Meßwert-Matrizen R und y von (5.3.15), müssen frei von 

P 

Gleichanteilen sein, d.h. sie müssen reine Signaländerungen darstellen: 

( ) ( ) 

( ) ( ) 

u k = U k − U0 

y k = Y k − Y (5.3.43) 

0 

U(k); Y(k) : gemessene Signalamplituden, 

U 0; Y 0 : Gleichanteile in den Signalamplituden 

U 0 und Y 0 sind häufig Arbeitspunktwerte (vergleiche Kapitel 2.1.1) 

U0 = uA 

Y = y , (5.3.44) 

0 A 

die dann entsprechend (5.3.43) von den gemessenen Signalamplituden subtrahiert 

t

werden müssen. 

Falls die Gleichanteile unbekannt sind (was seltener vorkommt), kann man sie z.B. durch 

Mittelwertbildung bestimmen: 

N−1 1 

U 0 = ∑ U k 

N 

k= 0 

N−1 k= 0 

( ) 

1 

Y 0 = ∑ Y( k ) 

(5.3.45) 

N 

Die Signaländerungen können dann nach (5.3.43) gebildet und dann in die SKQ- 

Algorithmen eingesetzt werden. 

• Notwendige Formen der Systemerregung 

Bei der numerischen Auswertung der Schätzgleichung (5.3.21) muß die die Meßwerte 

enthaltende Matrix R'.R invertiert werden. Dies setzt voraus, daß die Matrix quadratisch 

und nicht singulär ist. Obwohl die Matrix R bei N > 2n nicht quadratisch ist, stellt die 

Operation R'.R immer sicher, daß R'.R quadratisch wird. 

Bei der Wahl ungeeigneter Meßerregungen (z.B. Sprünge) kann es aber vorkommen, daß 

ganze Spalten von R (die u-Spalten) konstante Werte beinhalten. Dadurch wird R'.R zwar 

nicht singulär, aber die Determinante det (R'.R) kann sehr kleine Werte annehmen. Dies 

kann wegen der endlichen Rechengenauigkeit eines Digitalrechners wiederum dazu 

führen, daß die inverse Matrix (R'.R) - 1 sehr ungenau berechnet wird und (5.3.21) auf sehr 

ungenaue Systemparameter p führt. 

Signale, die eine invertierbare Matrix (R'.R) erzeugen, werden in diesem Zusammenhang 

häufig als persistente Signale bezeichnet. 

Es empfiehlt sich deshalb, eine "rauschförmige" Erregung mit verschiedenen Amplituden 

und Impulsdauern zu benutzen. Weiterhin sollte die Eingangserregung (nach den 

Ausführungen des vorigen Abschnitts) einen Mittelwert U0 = 0 haben. 

Bild 5.3.5 zeigt eine mögliche Systemerregungsform, sogenanntes binäres Rauschen. Die 

Signalamplitude wechselt dabei zwischen einem positiven und einem negativen 

Amplitudenwert, dessen Größe z.B. nach den Vorgaben des Kapitels 2.1.1 gewählt wird. 

Die Verharrungsdauer bei einer negativen oder positiven Amplitude wird stochastisch 

verändert. Sie muß größer oder gleich der gewählten Abtastzeit T sein. 

5.37

u(t) 

• Empfindlichkeit gegenüber Meßstörungen 

Bei der praktischen Erprobung zeigt sich , daß die SKQ-Verfahren relativ empfindlich 

gegenüber Meßstörungen sind. Um schon von vornherein stochastische, hochfrequente 

Meßstörungen zu unterdrücken empfiehlt es sich, mit identischen Eingangssignalen und 

bei gleichen Anfangszuständen des zu identifizierenden Systems mehrere Ausgangs- 

signalfolgen zu messen, diese anschließend zu mitteln und dann erst zur Parameter- 

schätzung zu verwenden. 

Eine Tiefpaßfilterung des Ausgangssignals vor dem Identifikationsvorgang führt i.A. zu 

keiner wesentlichen Verbesserung des identifizierten Modells. 


Wurde unter Beachtung der vorangehenden Ausführungen der Parametervektor p des 

Prozeßmodells berechnet, kann dieser ggf. durch folgende Überlegungen noch verbessert 

werden. 

• Verstärkungskorrektur 

2 

1 

0 

-1 

-2 

0 10 20 30 40 

t/sek 

50 

Bild 5.3.5: Binäres Rauschen als Systemerregung zur 

Systemidentifikation mittels SKQ-Verfahren 

Wenn es bei einem global proportional wirkenden System möglich ist, seinen 

Verstärkungsfaktor aus einer Sprungantwortmessung nach (5.2.10) 

( ) 

∆yP∞ V P = (5.3.46) 

∆u 

5.38 

T = 1sek

zu berechnen und die mit einem SKQ-Verfahren geschätzte Modellübertragungsfunktion 

die Form (5.3.2) hat, kann man mit Hilfe des Endwertsatzes der z-Transformation nach /1/ 

den Modellverstärkungsfaktor 

( ) ( ) 

V = G z = G 1 

M M z= 1 M 

berechnen. Weichen V P und V M voneinander ab, ergibt sich die im Verstärkungsfaktor 

korrigierte Modellübertragungsfunktion G* M(z) aus 

V 

G z = G z (5.3.47) 

P ( ) ⋅ ( ) 

∗ 

M 

VM 

M 

(Dabei wird angenommen, daß VP der richtig bestimmte Verstärkungsfaktor ist.) 

• Integrator-Korrektur 

Im Falle eines global integral wirkenden Systems kommt es häufig vor, daß die 

Identifikation auf eine Modellübertragungsfunktion (5.3.2) führt, bei der kein Pol exakt bei 

z=1 (Integratorpol) liegt. Mit folgender Parameterkorrektur kann man jedoch einen 

Integratorpol erzwingen: Bezeichnet man die geschätzte Modellübertragungsfunktion mit 

( ) 

M −1 −2 1−n −n 

1 + α1⋅ z + α2⋅ z + � + αn−1⋅ z + αn⋅z 5.39 

( ) 

Z z 

G z . = (5.3.48) 

und die korrigierte Modellübertragungsfunktion mit 

Z z 

G ( z ) = 

1 z 1 z z z z 

∗ 

M 1 1 2 2 n 1 n 

( ) 

− ∗ − ∗ − ∗ − ∗ − 

( − ) ⋅ ( + α 1⋅ + α 2⋅ + � + α n−2⋅ + α n−1⋅ ) 

�� 

Integratorpol 

kann man nach einer Umformung von (5.3.49) 

( ) 

( ) 

( ) ( ) � ( ) 

(5.3.49) 

Z z 

G z = , 

∗ 

M 

1 + 

∗ −1 α 1−1⋅ z + 

∗ ∗ 

α 2 −α 1 

−2 ⋅ z + + 

∗ ∗ 

α n−1−α n−2 1−n ∗ −n 

⋅z − α n−1⋅z einen Koeffizientenvergleich der Nenner von (5.3.48) und (5.3.50) vornehmen 

(5.3.50)

∗ ∗ 

α 1−1 = α ⎫ 

1 α 1 = α 1+ 

1 

⎪ 

⎪ 

α −α α ⎪ α α +α 

⎪ 

α −α α ⎪ α α +α 

⎬ ⇒ 

� ⎪ � 

⎪ 

α −α α ⎪ α α +α 

⎪ 

∗ ⎪ ∗ 

−α n−1= αn ⎪⎭ −α n−1= αn 

. 

∗ ∗ ∗ ∗ 

2 1 = 2 2 = 2 1 

∗ ∗ ∗ ∗ 

3 2 = 3 ⎪ 3 = 3 2 

∗ ∗ ∗ ∗ 

n−1 n−2= n−1 n−1= n−1 n−2 5.40 

(5.3.51) 

Betrachtet man neben dem falsch identifizierten Integratorpol die restlichen α als richtig 

geschätzt, können mit (5.3.51) die korrigierten Parameter α* i von G* M(z) (5.3.50) 

berechnet werden. Wir betrachten dazu folgendes 

Beispiel 5.3.2: Ein Systemidentifikationsprozeß führt auf folgende Modellübertagungs- 

funktion 

1 z 

G(z) = = 

. (5.3.52) 

2 −2 

z − 1,45z + 0,475 1− 1,45z + 0,475z 

Es ist a priori bekannt, daß es sich um ein global integral wirkendes System handelt. 

a) Prüfe, ob die Systemidentifikation diese Tatsache modelliert hat. 

−2 

b) Wenn nicht, führe eine Integratorkorrektur durch. 

Zur Beantwortung der Frage a) wird das Nennerpolynom faktorisiert: 

1 

G(z) = 

. (5.3.53) 

(z − 0,95) ⋅(z −0,5) 

Wie man deutlich erkennt, liegt kein exakter Integratorpol bei z = 1 vor, an Stelle dessen 

wurde ein Pol bei z = 0.95 identifiziert. Das heißt, es muß eine Integratorkorrektur 

vorgenommen werden. Aus (5.3.52) können die Koeffizienten 

α 1 = − 1,45 und α 2 = 0,475 (5.3.54) 

abgelesen werden. Nach (5.3.51) berechnet sich der korrigierte Koeffizient aus 

* 

1 1 

α = α + 1 = − 1,45 + 1= − 

0,45 (5.3.55)

Dieser wird in die Form (5.3.50) eingesetzt (man beachte den letzten Term im Nenner und 

die Tatsachen, daß n=2 ist): 

−2 −2 

* 

z z 

M = = 

−1 −2 −1 −2 

G (z) 

1 + ( − 0,45− 1)z + 0,45z 1− 1,45z + 0,45z 

1 

= 

2 

z − 1,45z+ 0,45 

5.41 

(5.3.56) 

Damit ist die korrigierte Übertragungsfunktion gefunden. Durch Lösung des 

Nennerpolynoms, kann man sich überzeugen, daß ein Integratorpol bei z = -1 liegt. 

• Bestimmung der Systemordnung 

Bei der Ableitung der SKQ-Algorithmen sind wir von der realistischen Tatsache 

ausgegangen, daß die Systemordnung n* des zu modellierenden Prozesses nicht bekannt 

ist. Wir haben zunächst eine Systemordnung n angenommen, von der wir ausgingen, daß 

sie größer oder gleich der vermuteten Systemordnung n* ist. Die Algorithmen lieferten 

dann ein Systemmodell der Ordnung n. Unter Einhaltung der in den vorangehenden 

Kapiteln empfohlenen Methoden und Vorgehensweisen zur Meßtechnik und numerischen 

Auswertung der SKQ-Algorithmen kann auch ein Modell trotz zu hohen Systemordnung 

von ausreichender Modellierungsgüte sein. Die nachfolgend vorgestellten Verfahren der 

Ordnungsschätzung dienen dazu, eine niedrigere Modellordnung zu bestimmen, um die 

Modellgleichung (5.3.2) handhabbarer zu gestalten. Manchmal verbessert sich auch die 

Modellgüte bei Verringerung der Systemordnung. 

Das einfachste Verfahren besteht darin, beginnend mit einer hohen Modellordnung n aus 

eine Schätzung vorzunehmen und mit dem daraus entstehenden Modell eine 

Sprungantwort zu berechnen. Der gleiche Vorgang wird basierend auf dem gleichen 

Datensatz nacheinander mit reduzierten Ordnungen n-1, n-2, ... vorgenommen. An Hand 

eines "optischen Vergleichs" der Prozeßsprungantworten yp(k) mit den Sprungantworten 

der Modelle yM(k) verschiedener Ordnung n wird das Modell ausgewählt, dessen 

Sprungantwort der des Prozesses am ähnlichsten ist. Damit ist die optimale 

Modellordnung bestimmt. 

Rechnergestützt kann dieser Vergleich mit größerem Aufwand mit Hilfe einer sog. 

"Verlustfunktion" 

N−1 ( ) 

( ) ∑ 

P( ) − M( 

) 

k=0 

2 

V n = y k,n y k,n (5.2.57)

vorgenommen werden. Bei der optimalen Ordnung n = n* wird V(n) ein (u.U. nicht sehr 

deutliches) Minimum annehmen, weil dann die Funktionswerte y P und y M am dichtesten 

beieinander liegen. 

Während die beiden vorangehend beschriebenen Verfahren die Abweichung von Systemund 

Modellausgangssignal bewerten, wird beim sog. "Pol-Nullstellen-Verfahren" das 

geschätzte Systemmodell in Form seiner Übertragungsfunktion (5.3.2) untersucht. Hat 

man ein Systemmodell mit n > n* berechnet, bestimmt man die Pol-und Nullstellen dieser 

Modellübertragungsfunktion. 

Im allgemeinen entstehen neben den durch das zu identifizierende System vorgegebenen 

Pol-und Nullstellen noch (n-n*)-Stück Pol-Nullstellenpaare, die sich ungefähr 

kompensieren. Die wahrscheinlichste Modellordnung liegt vor, wenn diese Pol- 

Nullstellenpaare gekürzt werden. Auch hier hat sich eine optische Auswertung an Hand 

eines grafischen Pol-Nullstellen-Planes bewährt. 

Matlab stellt zu diesem Zwecke den Befehl 

[zmin,nmin] = minreal (zmod,nmod,tol); (5.3.58) 

zur Verfügung. "zmod" und "nmod" sind die ggf. in der Ordnung zu hoch geschätzten 

Zähler- und Nennerpolynome der Übertragungsfunktion. "zmin" und "nmin" sind die, nach 

der Kürzung nahe beieinander liegender Pole und Nullstellen, verbleibenden Zähler- und 

Nennerpolynome des korrigierten Modells. Mit dem Wert von "tol" wird eine 

Toleranzgrenze angegeben, innerhalb derer voneinander abweichende Pole und Nullstellen 

noch gekürzt werden sollen. Nähere Einzelheiten siehe Anhang A2 und /9/. 

5.3.1.5 Simulationsumgebungen zur Erprobung der SKQ-Algorithmen 

Im Anhang A3 wird der Speicherort von drei Matlab-Programmen mit dem Namen 

• ls.m 

• rls.m und 

• rls_var.m 

angegeben. Diese Programme stellen Simulationsumgebungen zur Erprobung des SKQ- 

Offline Verfahrens (ls.m) und des SKQ-Online Verfahrens (rls.m und rls_var.m) dar. 

• Simulationsumgebung für das SKQ-Offline Verfahren (ls.m) 

In diesem Programm werden zunächst das zu identifizierende kontinuierliche System 

simuliert und dessen Einheitssprungantwort berechnet und grafisch dargestellt. 

5.42

1 

y(t) 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0 

0 10 20 30 40 t 50 

Bild 5.3.6: Sprungantwort des zu identifizierenden kontinuierlichen Systems 

Anhand dieser Sprungantwort können a priori Kenntnisse über das System gesammelt 

werden. „ls.m“ fragt nun nämlich (die vermutete) „Systemordnung" n und die zu wählende 

"Abtastzeit" T ab. Unter Berücksichtigung der erworbenen Systemtheorie-Kenntnisse und 

den Ausführungen des Kapitels 5.2 sollten diese Fragen vom Leser beantwortet werden 

können. 

Nach diesen Eingaben wird das zu identifizierende System zeitdiskret simuliert. Zunächst 

werden dazu das Abtast-Zeitraster berechnet, das binäre Rauschen als Erregungssignal 

erzeugt und das dazugehörige zeitdiskrete Ausgangssignal berechnet. 

Anschließend kann dem Ausgangssignal ein Meßrauschen überlagert werden, wie es im 

Allgemeinen auch in der Realität auftritt. In unserem Falle wird ein normalverteiltes 

Rauschen mit einem Mittelwert Null erzeugt, bei dem 68,3 % der auftretenden 

Rauschamplituden im Bereich ± ampl liegen. Dabei ist die Variable „ampl“ im Programm 

frei wählbar, d.h. man kann mit ihr die Rauschamplitude vergrößern oder verkleinern. 

Anschließend gibt das Programm das binäre System-Eingangssignal und das verrauschte 

und unverrauschte Ausgangssignal des zu identifizierenden Systems grafisch aus. 

Im nächsten Schritt erfolgt die Parameterschätzung, also die Systemidentifkation nach der 

nichtrekursiven SKQ-Methode (vergleiche die Schätzgleichung (5.3.21) ). Da ein 

kontinuierliches Systemmodell berechnet werden soll, wird anschließend aus dem 

berechneten Parametersatz „pv“ zunächst die zeitdiskrete und dann die kontinuierliche 

Modellübertragungsfunktion berechnet. 

Die Sprungantwort dieser identifizierten kontinuierlichen Modellübertragungsfunktion wird 

anschließend mit der Sprungantwort des im Programm ganz oben simulierten zu 

identifizierenden Systems gemeinsam grafisch ausgegeben, um die Güte des 

identifizierten Modells visuell überprüfen zu können. 

5.43

Abschließend wird die identifizierte Modellübertragungsfunktion in Polynom- und V- 

Normalform ausgegeben. 

Die Simulationsumgebung „ls.m“ erlaubt das Studium verschiedener Einflußgrößen auf die 

Schätzgüte des Modells: 

• Den Einfluß der Abtastzeit T zur Messung der Ein- und Ausgangssignale des zu 

identifizierenden Systems , 

• den Einfluß der gewählten Systemordnung und 

• den Einfluß von Meßstörungen. 

Da das zugrunde liegende System linear ist, haben die Lage des Arbeitspunktes und die 

Amplitude der Eingangserregung keinen Einfluß auf die Identifizierungsgüte und müssen 

nicht beachtet werden. 

Nach dem Starten des Programms wird die Abtastzeit im Rahmen der Benutzerkommunikation 

abgefragt. Sie kann mit Hilfe der vorher grafisch dargestellten 

Sprungantwort des zu identifizierenden Systems und den Beziehungen (5.3.41) und 

(5.3.42) abgeschätzt werden. Für das vorliegende Problem berechnet sich eine Abtastzeit 

in der Größenordnung von T ≈ 1. Bei einer ungestörten Messung (Variable „ampl“ im 

Programm auf Null setzen) werden bei etwas kleineren Abtastzeiten von T ≈ 0,1 sehr gute 

Modelle berechnet, sofern die vermutete (und vom Programm abgefragte) Systemordnung 

richtig mit n=3 gewählt wurde. Kleinere Systemordnungen bilden zwangsläufig nicht die 

richtige Dynamik auf das Modell ab und zu groß gewählte Systemordnungen n > 3 führen 

häufig zu Programmabbrüchen, weil die Determinante R’R in der Schätzgleichung (5.3.21) 

zu kleine Werte annimmt. 

Während man die Systemordnung n und die Abtastzeit T mit etwas Aufwand für eine gute 

Schätzung experimentell ermitteln kann, hat der Einfluß von Meßstörungen schwer 

beeinflußbare Auswirkungen auf die Güte des identifizierten Modells. Schon kleine 

Rauschanteile (ampl=0,01) können bei richtiger Wahl von n und T zu völlig 

unbefriedigenden Identifikationsergebnissen führen. Bei Experimenten zeigt es sich, daß 

bei Rausschstörungen größere Abtastzeiten (z.B. T zwischen 1,5 und 2)) zu moderat 

besseren Identifikationsergebnissen führen. Obwohl man annehmen könnte, daß eine 

Tiefpaßfilterung des gemessene Ausgangssignals zu einer Verbesserung der 

identifikationsgüte führen würde, zeigen Experimente, daß dies nicht der Fall ist. 

Mit dem in folgenden beschriebenen Programm „rls.m“ kann man zeigen, daß mit der 

rekursiven Methode der kleinsten Quadrate eine gewisse Modellverbesserung möglich ist. 

5.44

• Simulationsumgebung für das SKQ-Online Verfahren (rls.m) 

In diesem Programm wird zunächst, wie im Programm ls.m“, mit einem Teildatensatz der 

„gemessenen“ Ein- und Ausgangssignal-Folgewerte mit der nichtrekursiven Methode der 

kleinsten Quadrate ein Systemmodell geschätzt. Dabei wird das gleiche zu identifizierende 

System und die gleiche binäre Rauscherregung wie im Programm „ls.m“ zugrunde gelegt. 

Die Abtastzeit wird für diese Demonstration fest auf optimale T = 1,5 und die richtige 

Systemordnung n = 3 bei einer Störrauschen mit der Amplitude ampl = 0,02 festgelegt. 

Bei einem Idenifikationszeitraum von 500 sek. werden bei einer Abtastzeit T=1,5 sek 333 

Meßwertpaare u(k) und y(k) berechnet, wovon N1 = 10*n = 30 für die nichtrekursive 

Schätzung und die restlichen N = 333 - 30 Wertepaare für den rekursiven Algorithmus zur 

Verbesserung des identifizierten Systemmodells benutzt werden. 

Bei der programmtechnischen Realisierung des rekursiven Algorithmus (vergleiche die 

Ableitung im Kapitel 5.3.1.2) steht in der Zeile 7 nach Beginn der for-Schleife zur 

„Paramterschätzung nach der rekursiven SKQ-Methode“ die Befehlszeile „Neuer 

Parametersatz“ 

pv=pv+gamma*(yp-rk1'*pv); (5.3.59) 

im Mittelpunkt. Sie entspricht der Formel (5.3.38) aus der oben genannten Ableitung: 

( p 

) 

p(k+ 1) = p(k) + γ(k) ⋅ y (k+ 1) − r'(k+ 1) ⋅ p(k) . (5.3.60) 

Die linke Seite der Gleichungen pv ( � p(k+1)) stellt den neuen Parametersatz dar, der auf 

der Basis eines neuen Eingangs-/Ausgangsdatensatzes uab, yab ( � u(k+1), y(k+1)) 

berechnet wurde. Zu dieser Berechnung wird an zwei Stellen in den obigen Gleichungen 

zunächst der alte Parametersatz pv ( � p(k)) benötigt. yp ( � yp(k+1)) und rk1( � r(k+1)) 

sind die Meßwertdatensätze aus denen nach (5.3.28) ein neuer Parametersatz berechnet 

werden kann. Im Programm „rls.m“ werden diese Datensätze in den ersten vier 

Programmzeilen innerhalb der oben erwähnten for-Schleife aus den Meßdaten uab, yab 

berechnet. Der in den obigen Gleichungen (5.3.59 / 5.3.60) vorkommende Faktor gamma 

( � γ(k)) berechnet sich nach (5.3.39) aus einem Bruch. In diesem Bruch kommen die 

schon berechnete Variable rk1 ( � r(k+1)) und eine Matrix Q vor. Q ist im ersten 

Rechenschritt nicht anderes als (R‘R) –1 aus dem nichtrekursiven Algorithmus (5.3.25). 

Der Faktor gamma ( � γ(k)) wird im Matlab-Programm in der 5. und 6. Zeile nach Beginn 

der for-Schleife berechnet. Abschließend wird in Zeile 8 die für den nächsten 

Schleifendurchlauf benötigte Matrix Q(k+1) (5.3.40) bestimmt. 

Die restlichen Befehlszeilen innerhalb der for-Schleife dienen der Berechnung der 

aktuellen z-Übertragungsfunktion (zdm, ndm) aus dem berechneten Parametersatz pv, der 

5.45

anschließenden Wandlung in ein kontinuierliches Modell (sys_m) und der Berechnung und 

grafischen Darstellung dieser Sprungantwort zum grafischen Vergleich zwischen System- 

und identifizierter Modellantwort. 

Zur Demonstration des Konvergenzverhaltens, d.h. um zu zeigen, daß sich durch 

Anwendung des rekursiven SKQ-Algorithmus das identifizierte Modell dem Verhalten des 

zu identifizierenden Systems immer ähnlicher wird, wird innerhalb der for-Schleife mit Hilfe 

des Ausdrucks 

g(i) = sum (abs (yks-yM))*T; (5.3.61) 

für jeden Rekursionsschritt i näherungsweise die Flächendifferenz zwischen der 

Sprungantwort des aktuell identifizierten Modells (yM) und des zu identifizierenden 

Systems (yks) berechnet (g(i)) und gespeichert. (Der Ausdruck (5.3.61) berechnet mit Hilfe 

einer Rechteckapproximation eines Integrals die vorangehend erwähnte Flächendifferenz. 

Eine solche Funktion wird auch in Kapitel 5.3.2 benötigt, wo die Formel noch einmal 

ausführlich abgeleitet wird). 

Trägt man den Wert der Flächendifferenz „g“ über dem Wert des Schleifenzählers 

„Iterationen i“ auf, kann man am Verlauf von g sehen, ob sich eine Modellverbesserung 

einstellt: Bei Annäherung der Modellsprungantwort an die des zu identifizierenden 

Systems muß die Flächendifferenz geringer werden, d.h. die Kurve g muß sich zu höheren 

Werten von i gegen kleinere Werte von g bewegen. Der folgende Verlauf zeigt eine 

moderate Modellverbesserung: 

g(i) 

30 

25 

20 

15 

10 

5 

Konvergenzverhalten der Identifikation: (sum(abs(yM-yS))) 

0 

0 100 200 300 400 

Iterationen 

Bild 5.3.7: Konvergenzverhalten eines Identifikationslaufs 

Leider führt auch der rekursive SKQ-Algorithmus trotz relativ geringer Meßstörungen und 

5.46

optimal gewählter Systemordnung n und Abtastzeit T nicht zu einem Identifikations- 

ergebnis, das den Altagsbedürfnissen eines praktisch arbeitenden Ingenieurs gerecht 

wird. 

Das sich ebenfalls im Anhang A3 befindliche Matlab-Programm „rls_var“ zeigt allerdings, 

daß die rekursive Methode der kleinsten Quadrate, zwar nur bei nicht verrauschtem 

Meßsignal, und damit eingeschränkt gut zur Identifikation von Systemen mit 

veränderlichen Parametern geeignet ist. Das Programm simuliert wieder das schon in 

„ls.m“ und „rls.m“ zu identifizierende System. In diesem Programm wird jedoch der 

Verstärkungsfaktor diese Systems in der Identifikationsschleife von V = 2 bis V = 20 

verändert. Auf der Basis dieses sich verändernden Systems wird in jedem Durchgang 

durch die for-Schleife ein neues Modell geschätzt. Läßt man das Programm laufen, kann 

man die stetige Annäherung der Modell- an die sich verändernde Systemantwort 

beobachten. Vergrößert man den zulässigen Identifikationszeitraum von jetzt 1000 sek 

auf größere Werte, kann man eine vollständige Überdeckung von System- und 

Modellantwort herbeiführen. 

In /13/ und /14/ werden Methoden beschrieben, die einerseits die SKQ-Methoden 

verbessern (z.B. die Methode der Hilfsvariablen) und andererseits auf stochastischer 

Signaltheorie beruhend, neue Verfahren (z.B. die Maximum Likelihood Methode) 

hervorbringen. 

Allen Verfahren ist jedoch gemeinsam, daß die Identifikationerregung kein einfaches 

Signal (z.B. ein Sprung) sein darf, sondern daß mit Rauschsignalen gerarbeitet werden 

muß. Diese Tatsache erlaubt z.B. auch keine Totzeitabspaltung (Vergleiche Kapitel 5.1.3). 

Bei allen Verfahren ist deshalb eine aufwendige Totzeitidentifikation notwendig 

Aus den genannten Gründen soll deshalb im nächsten Kapitel ein Identifikationsverfahren 

hergeleitet werden, das praktischen Ingenieuransprüchen genügt, nämlich unempfindlich 

gegen Meßstörungen ist und sprungförmig erregt werden kann. 

5.47

5.3.2 Bestimmung der Parameter der Übertragungsfunktion mittels einer 

Optimierungsstrategie 

Im folgenden Kapitel werden sogenannte Optimierungsstrategien (-algorithmen) zur 

Lösung von Systemidentifikations-Problemen herangezogen. Optimierungsalgorithmen 

werden in Naturwissenschaft, Wirtschaft und Technik immer dann angewandt, 

wenn sich Probleme gar nicht oder nur mit sehr großem Aufwand mathematisch 

formulieren lassen, oder, wenn sie sich formulieren, aber nicht analytisch lösen 

lassen. 

Optimierungsverfahren nutzen zur Problemlösung des Prinzip des strategischen 

Probierens und kommen einer optimalen Lösung i. A. sehr nahe. Wir wollen uns im 

folgenden Kapitel zunächst einen kurzen Überblick über die Funktion und den 

Einsatz von Optimierungsstrategien verschaffen 

5.3.2.1 Grundlagen von Optimierunsstrategien 

Um eine Problemstellung mit einer Optimierunsstrategie lösen zu können, muß die 

Aufgabe so formuliert werden, daß eine sogenannte Zielfunktion entsteht, die 

einerseits von den zu bestimmenden, unbekannten Variablen abhängig ist, 

andererseits muß diese Zielfunktion minimal werden, wen die unbekannten Variablen 

ihren Lösungswert (Optimalwert) annehmen. 

Nennen wir die Zielfunktion g und die Lösungsvariablen x, die auch häufig 

Optimierungsparameter genannt werden , haben wir folgende Aufgabe zu lösen: 

x 

[ ] ' 

min g(x); x = x , x , x , ...,x ; (5.3.62) 

1 2 3 n 

Eine solche Problemformulierung ist in vielen Fällen relativ einfach möglich. 

Zum besseren Verständnis sollen alle Zusammenhänge an einem praktischen 

Beispiel aus dem Bereich Systemidentifikation erläutert werden: 

Von einem unbekannten Übertragungssystem, das mit einem sprungförmigen 

Eingangssignal 

u(t) = 1V ⋅σ(t) 

(5.3.63) 

erregt wurde, wird folgende Systemantwort (Bild 5.3.8) gemessen. Mit Kenntnis 

dieser beiden Datensätze soll das mathematische Modell des Systems in Form 

seiner Übertragungsfunktion bestimmt werden. 

5.48

Bild 5.3.8 : Sprungantwort eines unbekannten Übertragungssystems 

Wie wir in Kapitel 5.2 gesehen haben, stellt die Systemtheorie Erkenntnisse zur 

Verfügung, mit Hilfe derer bei einfachen Übertragungssystemen aus der Form der 

Sprungantwort zumindest in guter Näherung auf die Struktur des 

Übertragungsfunktions-Modells geschlossen werden kann . 

Die Sprungantwort in Bild 5.3.8 entspricht der eines Proportionalgliedes 2. Ordnung 

mit folgender Übertragungsfunktions-Struktur: 

Y(s) b0 

G(s) = = (5.3.64) 

U(s) 2 

1+ a s+ a s 

1 2 

Es gilt nun die drei unbekannten b 0 , a 1 und a 2 so zu bestimmen, daß die 

Übertragungsfunktion das unbekannte System, von dem wir nur die Sprungantwort 

kennen, mathematisch modelliert. Das heißt, bei gleicher sprungförmiger Erregung 

mit dem gleichen Ausgangssignal-Verlauf antwortet. 

Die Systemtheorie lehrt weiterhin, daß sich hinter dem Parameter b 0 der 

Verstärkungsfaktor V des Systems verbirgt, der mit einfachen Mitteln aus der 

Sprungamplitude des Eingangssignals ∆u = 1 und der stationären Ausgangssignal- 

differenz ∆y(∞) berechnen läßt /1/: 

∆y( ∞) 

1V 

b0 = V = = = 1. (5.3.65) 

∆u 

1V 

Das heißt, wir müssen nur noch die Parameter a 1 und a 2 des Modells bestimmen. 

Da dies Problem nur mit erheblichem Aufwand analytisch lösbar ist, könnten wir 

versuchen, das Problem der Findung von a 1 und a 2 durch probieren zu lösen. Dazu 

benötigen wir zunächst eine Simulationsmöglichkeit, um die Sprungantwort des 

5.49

unbekannten Systems und die Modellsprungantwort für verschiedene 

Prametereinstellungen berechnen zu können. (Diese Möglichkeit stellt MATLAB zur 

Verfügung). Setzen wir dann irgendwelche Zahlenwerte für a1 und a2 in unser 

Simulationsmodell ein, können wir die Sprungantwort auf das Eingangssignal 

(5.3.63). berechnen. Anschließend vergleichen wir die Sprungantwort des Modells 

mit der des unbekannten Systems. Entsprechen sie sich nicht, stellen wir im 

Simulationsmodell einen neuen Parametersatz ein und wiederholen den Vorgang. 

Dies machen wir so lange, bis beide Sprungantworten gleich sind. Wenn wir dies 

ohne Konzept tun, wird der Suchvorgang sehr lange dauern oder gar nicht zum 

Erfolg führen. 

Wir wollen daher im folgenden die Grundzüge einer Strategie entwickeln, die quasi 

durch strategisches Suchen unsere Problemstellung löst. 

Zunächst benötigen wir einen quantitativen Maßstab, der angibt, um viel besser oder 

schlechter eine Parametereinstellung x = (a1 , a2 ) gegenüber der vorangehenden ist. 

Dazu benutzen wir die Sprungantwort des unbekannten Übertragungssystems. Wenn 

wir bei einer beliebigen Parametereinstellung unseres Modells (y(t)Modell) auch eine 

Sprungantwort messen und diese über die des unbekannten Systems (y(t)System) 

legen, 

Bild 5.3.9 : Sprungantwort-Differenzen zwischen unbekanntem System und Modell 

erkennt man, daß mit geringer werdender Flächendifferenz zwischen den 

Sprungantworten die Modellsprungantwort gegen die Sollsprungantwort geht. Die bei 

minimaler Flächendifferenz benutzten Modellparameter x = (a1 , a2 ) sind dann die, 

welche das unbekannte System am besten (optimal) modellieren. 

5.50

Die Fächendifferenz, die im Sinne der vorangehenden Ausführungen die Zielfunktion 

darstellt, berechnet sich aus 

tend 

∫ 

g(a ,a ) = y (t) − y (t) dt, (5.3.66) 

1 2 System Modell 

0 

oder wenn man mit zeitdiskrete Signalfolgen auf einem Digitalrechner arbeitet, zum 

Beispiel aus der Rechteckapproximation von (5.3.66) 

1 

N−1 2 = ∑ 

n= 0 

System − Modell 

g(a ,a ) y (nT) y (nT) T. (5.3.67) 

N= t /T; 

end 

Dabei ist T die Rechenschrittweite, bzw. die Abtastzeit. Die Abkürzung g soll für die 

Güte der Annäherung an die optimalen Modellparameter stehen. 

Da wir noch keine Strategie zur Findung der optimalen Parameter kennen, für die 

g(x) minimal wird, wollen wir uns einen Überblick über die verschiedenen Gütewerte 

in Abhängigkeit der beiden Parameter a1 und a2 verschaffen. 

Dazu müssen wir eine große Anzahl verschiedener Kombinationen a1 von und a2 wählen und jeweils die dazugehörigen Modellsprungantworten berechnen. 

Anschließend werden die jeweils dazugehörigen Flächendifferenzen g(x) bestimmt. 

Anschließend kann man diese berechneten Werte als Funktionswerte g(x) von a1 und a2 in einem dreidimensionalen Koordinatensystem darstellen. Bei genügender 

Dichte der Funktionswerte entsteht quasi ein "Gütegebirge". Das folgende Bild 5.3.10 

zeigt das Gütegebirge für unsere Problemstellung, der Systemidentifikation eines 

PT2-Gliedes, wenn die vorangehend vorgeschlagene Berechnung über einem 

Parameterbereich 

0,5 ≤ a1 ≤ 5 

0 ≤ a ≤ 8 (5.3.68) 

2 

vorgenommen wird. Man erkennt deutlich das Ansteigen der Flächendifferenzen zu 

kleinen a1-Werten hin. Nicht sehr deutlich erkennbar ist ein Minimalpunkt des 

Gebirges bei ca. a1 = 2,5 und a2 = 6. Nach unseren vorangehenden Betrachtungen, 

müßten dies die optimalen Modellparameter sein. 

5.51

Flaechendifferenz 

150 

100 

50 

0 

0 

2 

4 

Bild 5.3.10 : "Flächendifferenz-Gütegebirge" 

a2 

Ein wesentlich deutlicheres Bild der Lage des Minimums ergibt sich, wenn wir das 

Gütegebirge in Form von Iso-Linien ( iso = gleich ) auf einer Fläche darstellen. (Diese 

Linien sind vergleichbar mit dem Höhenlinien eins Berges auf einer Landkarte). Das 

folgende Bild zeigt diese Isolinien-Darstellung unseres Problems über dem gleichen 

Parameterbereich wie in Bild 5.3.10 

a1 

Bild 5.3.11 : Iso-Linien-Darstellung des Gütegebirges aus Bild 5.3.11 

5.52 

6 

8 

5 

4 

3 

2 

1 

0 

a1 

a2

Die eingetragene Zahlenwerte stellen die Flächendifferenzen g(x) dar, die jeweils für 

die angekreuzten Isolinien gelten. Sehr deutlich ist das Minimum der Flächendifferenzen 

bei a1 = 2,5 und a2 = 6,25 zu erkennen. Durch eine feinere Auflösung 

des Bildes in der Nähe des Minimums könnten die optimale Parameterwerte mit noch 

größerer Genauigkeit abgelesen werden. 

Im Anhang A3 wird der Speicherort (Ordner „Demos“) eines Matlab-Programm mit 

dem Namen "iso_pt2.m" angegeben, mit dem die Bilder 5.3.10 und 5.3.11 auf der 

Basis der Flächendifferenzen von Sprungantworten berechnet wurden. 

So anschaulich diese graphische Minimumsuche auch sein mag, ist sie wegen des 

Rechenaufwands sicherlich nicht die geeignete Methode zur numerischen Findung 

von Optimallösungen. Darüber hinaus kann man sie auch nicht mehr anwenden, 

wenn mehr als zwei Optimierungsparameter die Zielfunktion beeinflussen. Es 

entstehen dann Hyperräume mit drei oder mehr Raumkoordinaten, die graphisch 

nicht mehr anschaulich dargestellt werden können. 

Die im folgenden beschriebene einfache Vorgehens-Strategie, die sogenannte 

achsenparallele Minimumsuche (oder das Gauß-Seidel-Verfahren), erlaubt es 

opt opt 

jedoch, auch ohne Kenntnis des Isolinienfeldes, den Minimalpunkt xopt = ( a 1 ,a2 

) 

zu finden. Es sei angemerkt, daß diese Verfahren auch für eine 

Optimierungsparameter-Anzahl > 2 einsetzbar ist: 

Beginnend mit einem frei wählbaren Startparameter-Satz 

( 1 2) 

0 0 0 

x = a , a , (5.3.69) 

0 

wird gx ( ) bestimmt. Es wird anschließend solange der erste Parameter a1 ( 1 1 2) 

i+ 1 i i 

x = a + ∆ a ,a ; i = 0, 1, 2, ... (5.3.70) 

i 1 

verstellt und jeweils die dazugehörige Güte gx ( ) + 

5.53 

bestimmt, bis ein Gütewert 

auftaucht, der größer ist, als der vorangehende. Dann wird von letzten Bestwert, dem 

Güteminimum in dieser Suchrichtung, der zweite Parameter verstellt (und der erste 

konstant gehalten): 

( 1 2 2) 

i+ 1 i i 

x = a ,a + ∆ a . i = 

0, 1, 2, ... (5.3.71)

4.5 

a1 

4 

7 

3.5 

19 

13 

12 13 14 15 16 17 18 

11 

8 6 9 

3 

10 

23 

20 

22 

5 

2.5 

5.54 

21 

4 

2 

3 

1.5 

1 

1 

2 

0.5 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 

a2 

Bild 5.3.12: Suchweg der achsenparallelen Minimumsuche

Diese Suchrichtung wird wieder solange beibehalten, bis wieder ein Gütewert 

auftaucht, der größer ist als sein Vorgänger. Jetzt wird, erneut ausgehend von letzten 

Bestwert, wieder in der ersten Suchrichtung fortgeschritten. 

Das Bild 5.3.12 zeigt eine solchen Suchwegverlauf in den Isolinien des Bildes 5.3.11. 

Als Startpunkt wurde x0 = (1, 1) gewählt, die Suchschrittweite wurde mit ∆a1 

= 0,5 und ∆a2 = 1 festgelegt. Nach 23 Bewegungen wird der Punkt 20 als 

Optimalpunkt erkannt. Wird nämlich während des Suchvorganges ein Punkt (20) 

gefunden, dessen 2n = 4 Nachbarn (18, 21, 22, 23) schlechtere Gütewerte aufweisen 

als er selbst, so ist dieser Punkt der vorläufige Optimalpunkt. 

Mit einer Schrittweitenverkleinerung von ∆a1 und ∆a2, z.B. auf die Hälfte, könnte die 

Genauigkeit der Optimallösung x noch weiter verbessert werden. Man beginnt dann 

nämlich mit der verkürzten Schrittweite in dem als "optimal" erkannten Punkt erneut 

mit einer Minimumsuche. Diesen Vorgang kann man solange fortsetzen, bis ein 

sogenanntes Abbruchkriterium erfüllt ist. Zum Beispiel könnte man fordern, daß vom 

−3 −3 

letzten gefundenen Minimum aus in einer Umgebung < ε, z. B. ε < ( 10 , 10 ) , kein 

kleinerer Gütewert g(x) gefunden wird: 

⎡ ∆a1 ⎤ ⎡ε1⎤ ⎢ . (5.3.72) 

a 

⎥ < ⎢ ⎥ 

⎣∆2⎦ ⎣ε2⎦ a1 

letzter 

Suchschritt 

ε 1 

∆a 1 

ε 2 

Bild 5.3.13 : Zur Erläuterung des Abbruchkriteriums 

Im Anhang A3 wird der Speicherort (Ordner „Demos“) eines Matlab-Programms mit 

dem Namen "gs.m" (Gauss-Seidel) mit dem Unterprogramm "guete.m" angegeben, 

die diese achsenparallele Suche demonstrieren. 

Die Theorie der Optimierung, in der deren Bereich die strategischen Suchverfahren 

gehören, kennt noch eine Reihe anderer Methoden um Problemstellungen der Form 

(5.3.62) zu lösen. Diese Methoden lassen sich in zwei Kategorien einordnen: 

5.55 

∆a 2 

wahres 

Optimum 

erklärtes 

Optimum 

a2

• Verfahren mit Anforderungen an die Zielfunktion, 

• Verfahren ohne Anforderungen an die Zielfunktion. 

Die Verfahren mit Anforderungen an die Zielfunktion führen zur Findung einer 

möglichst schnellen Abstiegsrichung vom aktuellen Gütewert der Zielfunktion zum 

Minimum Ableitungen (Differentiationen) der Zielfunktion durch. Auch wenn dieser 

Ableitungsvorgang numerisch vorgenommen wird, muß gefordert werden, daß g(x) 

differenzierbar ist, also eine gewisse Glattheit besitzt. Optimierungsverfahren aus 

dieser Gruppe heißen z.B. "Gradientenverfahren" oder "Steepest Descent". Andere 

Verfahren dieser Gruppe fordern die sogenannte Unimodalität der Zielfunktion, d.h. 

sie darf nur ein Minimum besitzen. Unter bestimmten Umständen kann man bei 

diesen Verfahren Aussagen über die Konvergenzgeschwindigkeit machen, d.h. nach 

wieviel Schritten, das Verfahren das Minimum der Zielfunktion findet. Zu dieser 

Gruppe gehören die sogenannten "Newton"-Verfahren oder daraus abgeleitete 

Verfahren (z.B. das "BFGS"-Verfahren). 

Das vorangehend kurz beschriebene "Gauss-Seidel-Verfahren" gehört zur Gruppe 

der Verfahren ohne Anforderungen an die Zielfunktion. Diese Verfahren können die 

Minimumsuche auch in einem "zerklüfteten" Gütegebirge mit Funktionssprüngen 

durchführen. Dafür sind i.a. keine Aussagen über die Konvergenzgeschwindigkeit 

möglich. Einer der wichtigsten Vertreter dieser Gruppe ist das "Simplex"-Verfahren 

von NELDER und MEAD, welches wir für unseren Systemidentifikationsvorgang 

benutzen und später noch etwas genauer erläutern wollen. 

Allen Verfahren gemeinsam ist das Problem der Findung des absoluten Minimums 

einer Zielfunktion, wenn noch weitere lokale Minima existieren. Die Bilder 5.3.14 und 

5.3.15 zeigen eine solche Problemstellung mit mehreren Minima. 

g(x1,x2) 

50 

40 

30 

20 

10 

0 

6 

4 

x2 

2 

0 

0 

Bild 5.3.14 : Zielfunktion einer Problemstellung mit mehreren Minima 

5.56 

2 

x1 

4 

6

x2 

6 

5 

4 

3 

2 

1 

0 

0 1 2 3 

x1 

4 5 6 

Bild 5.3.15 : Konturdiagramm der Zielfunktion aus Bild 5.3.14 

Einige Verfahren, z.B. solche aus der Gruppe der "Genetischen" Verfahren, die sich 

den Evolutionsvorgang als Optimierungsprinzip zum Vorbild nehmen, finden unter 

bestimmten Umständen auch in solchen Zielfunktionen das absolute Minimum. Man 

nennt diese Verfahren auch "globale Optimierungsverfahren". Bei der Verwendung 

des Nelder-Mead-Verfahrens, das kein globales Verfahren ist, müssen in solchen 

Fällen mehrere Optimierungsläufe mit verschiedenen Startparametersätzen x0 

durchgeführt werden. Wir kommen etwas später noch einmal darauf zurück. 

Optimierungsprobleme der Form (5.3.62) können noch mit sogenannten 

Randbedingungen versehen sein, die den Suchbereich nach bestimmten Kriterien 

einengen. Da wir bei der Systemidentifikation keine Randbedingungen benötigen, 

wollen wir darauf nicht näher eingehen. 

Alle vorangehend angerissenen Aspekte der Optimierung werden ausführlich z.B. in 

/15/ und /16/ beschrieben. 

Für die suchstrategische Systemidentifikation wollen wir das Simplex-Verfahren von 

Nelder und Mead verwenden. Dies hat zwei Gründe, erstens hat sich das Verfahren 

als sehr robust und gut eignet für diese Zwecke erwiesen (dies wird auch in der 

Literatur bestätigt), zweitens wird dieses Verfahren von einem Matlab-Befehl, nämlich 

"fminsearch.m" unterstützt, der sich bereits im Matlab-Grundbefehlsvorrat befindet. 

Nach einer kurzen Beschreibung der Berechnungsalgorithmus, wobei wir der 

Literaturstelle /17/ folgen, wollen wir den Matlab-Befehl "fminsearch.m" näher 

beschreiben und dann auf ein Systemerkennungsproblem anwenden. 

(Es sei darauf hin gewiesen, daß der Begriff Simplex-Algorithmus nichts mit dem 

gleichnamigen Algorithmus bei der Linearoptimierung zu tun hat) 

5.57

5.3.2.2 Der Simplex-Algorithmus von Nelder und Mead 

Dieses Kapitel soll, obwohl es den Simplex-Algorithmus so exakt beschreibt, daß 

man darauf aufbauend, den Algorithmus programmieren könnte, nur dazu dienen, 

einen Überblick über seine Funktionsweise zu bekommen. 

Um mit dem Algorithmus Systeme identifizieren zu können, muß man seine innere 

Funktionsweise nicht unbedingt verstanden haben. 

Der Nelder/Mead-Optimierungsalgorithmus beginnt mit dem Aufbau eines im 

Optimierungs-Parameter-Raum der Zielfunktion zufällig gelegenen Simplex 

(vieleckiger Körper) mit n+1 Ecken. Dabei ist n die Anzahl der 

Optimierungsparameter: 

⎡x1⎤ ⎡x1⎤ ⎡x1⎤ ⎢x ⎥ ⎢ 

2 x ⎥ ⎢ 

2 x ⎥ 

x 2 

1= ⎢ ⎥ ; x 2 = ⎢ ⎥ ; ...; x n+ 1= 

⎢ ⎥ . (5.3.73) 

⎢ 

... 

⎥ ⎢ 

... 

⎥ ⎢ 

... 

⎥ 

⎢⎣x ⎥⎦ ⎢⎣x ⎥⎦ ⎢⎣x ⎥⎦ 

n 1 n 2 n n+ 1 

x1 beschreibt die eigentlichen Startwerte des Optimierungsproblems und die x2 bis 

xn+1 die restlichen Eckpunkte des Simplex. Sie können aus den Startwerten wie folgt 

berechnet werden: 

x x h ; j 1,2,...,n. (5.3.74) 

j+ 1 1 j = + = 

Die h j sind dabei verschiedene aber frei wählbare Anfangsschrittweiten-Vektoren. 

Für n=2 Parameter ergibt sich dadurch ein Dreieck, für n=3 ein Tetraeder. 

Für die folgenden grafischen Erläuterungen benutzen wir der Anschaulichkeit halber 

immer n=2. 

x 1 

x 

1 

= L N M 

x 

x 

11 , 

21 , 

O 

Q 

P 

x 

3 

= L N M 

x2 Bild 5.3.16: Ein zufällig gelegener Start-Simplex 

x 

x 

5.58 

13 , 

23 , 

O 

Q 

P 

x 

2 

= L N M 

x 

x 

12 , 

22 , 

O 

Q 

P

Durch Operationen wie Reflexion, Expansion, Kontraktion und Schrumpfung wird der 

Simplex in dem Sinne verändert, daß ein Punkt des Simplex nach einer Reihe von 

Iterationen den Minimalpunkt der Zielfunktion im Sinne eines Abbruchkriteriums 

erreicht. 

Die Iteration beginnt mit einer Indizierung der xi, und zwar bekommen die xi die 

Indizes, die bei der Sortierung der dazugehörigen Funktionswerte g i =g(x i) vom 

kleinsten (also besten) bis zum größten Funktionswert entstehen; 

( 1) ≤ ( 2) ≤ ≤ + ( n+ 1) 

g x g x .... g x . (5.3.75) 

1 2 n 1 

Die bei der folgenden Iterationsvorschrift benutzten Formeln enthalten Konstanten, 

die von Nelder und Mead auf ρ = 1; κ = 2; γ = 05 , und σ = 05 , festgelegt 

wurden. Die Benutzung anderer Werte ist natürlich auch möglich. 

Der Iterationsvorgang läuft dann wie folgt: 

1. Ordne: 

Ordne die (n+1)-Stück xi im Sinne von (5.3.75). 

2. Reflektiere: 

Berechne den Reflektionspunkt x r aus 

wobei 

( + ) 

x = x+ ρ x− x , (5.3.76) 

r n 1 

n 

x = ∑ x i /n (5.3.77) 

i= 1 

der Mittelpunkt der n besten Punkte (alle außer xn+1) ist. 

x 1 

x 3 

x 

Bild 5.3.17 : Simplex-Reflektion (Ursprungssimplex gestrichelt) 

x r 

5.59 

x 2

Berechne g r = g(x r). 

Wenn g 1 ≤ g r < g n ist, setze x n+1 = x r und gehe nach Schritt 6, 

wenn gr < g1 ist, gehe nach Schritt 3, 

wenn gr ≥ gn ist, gehe nach Schritt 4. 

3. Expandiere: 

Berechne den Expansionspunkt 

e r 

( ) 

x = x+ κ x − x (5.3.78) 

x 1 

x2 xe Bild 5.3.18 : Simplex-Expansion (Ursprungssimplex gestrichelt) 

und bestimme ge=g(xe). Wenn ge < gr setze xn+1 = xe und gehe nach Schritt 6. 

Wenn ge ≥ gr setze xn+1 = xr und gehe nach Schritt 6. 

4. Kontraktiere 

Führe eine Kontraktion zwischen x und dem besseren von x n+1 und x r durch: 

• Außerhalb 

x 3 

Wenn g r < g n+1 führe eine Außenkontraktion durch, berechne 

c r 

x 

x r 

( ) 

x = x + γ x − x (5.3.79) 

5.60

x 1 

Bild 5.3.19 : Simplex-Außenkontraktion (Ursprungssimplex 

gestrichelt) 

und bestimme gc = g(xc). Wenn gc ≤ gr setze xn+1 = xc und gehe nach Schritt 6, sonst 

gehe nach Schritt 5. 

• Innerhalb 

Wenn gr ≥ gn+1 führe eine Innenkontraktion durch, berechne 

x 1 

x 3 

( + ) 

x' = x + γ x − x (5.3.80) 

c n 1 

x 3 

x 

x'c x2 Bild 5.3.20 : Simplex-Innenkontraktion (Ursprungssimplex 

gestrichelt) 

und bestimme g'c = g'(x'c). Wenn g'c < gn+1 setze xn+1 = x'c und gehe nach Schritt 6, 

sonst gehe nach Schritt 5. 

5.61 

x c 

x 

x 2

5. Schrumpfe 

Definiere n neue Punkte 

( ) 

ν = + σ − = + 

i x1 xi x 1 ; i 2,3,...,n 1 (5.3.81) 

Bild 5.3.21 : Simplex-Schrumpfung (Ursprungssimplex gestrichelt) 

und berechne die g i in den Punkten p i = (x 1, υ 2, υ 3, ...., υ n+1) . Setze x i = p i 

und beginne wieder bei Schritt 1. 

6. Prüfe Abbruchbedingung 

Ist (z.B.) die Suchschrittweite kleiner als eine Schranke ε (ε ist frei wählbar, 

z.B. ε = 10-4): 

x 1 

x 1 

( i 1 

) 

max max x − x ; i = 2,3,...,n + 1 < ε, 

(5.3.82) 

ist die Abbruchbedingung erfüllt und x1 ist die Lösung. 

Ist die Abbruchbedingung nicht erfüllt, gehe nach Schritt 1. 

An dieser Stelle ist auch eine andere Abbruchbdingung, die sich an den 

Funktionswerten der Zielfunktion g(x) orientiert, möglich: 

Die Iteration wird abgebrochen, wenn die Differenz der Funktionswerte zweier 

aufeinanderfolgender Iterierter (k, k+1) kleiner ist als die Schranke µ (µ ist 

frei wählbar, z.B. µ = 10-4): 

(k− 1) (k) 

1 1 

g − g < µ . (5.3.83) 

(Der Iterationszähler k wird bei jedem Durchgang durch Schritt 1 der 

Iterationsvorschrift inkrementiert.) 

5.62 

x 2

Häufig werden beide Abbruchbedingungen genutzt und die Iteration erst nach 

Erfüllung beider Bedingungen abgebrochen. Auch eine vorgegebene 

Maximal-Anzahl von Iterationen kann, wird aber meist nur als Zusatzbedingung 

zu (5.3.82) und (5.3.83) genutzt, als Abbruchschranke gewählt 

werden. 

5.3.2.3 Der Matlab-Befehl "fminsearch.m" 

Der Matlab-Befehl "fminsearch.m" realisiert die n-dimensionale Simplex-Suche nach 

Nelder und Mead. Wir benutzen folgende Parametrierung des Befehls 

x = fminsearch ('function', x0, options); . (5.3.84) 

x ist der von der Funktion "fminsearch" zurückgelieferte Lösungsvektor, der die 

Optimalparameter der Zielfunktion "function" beinhaltet. "function" steht für den 

Funktionsnamen eines function-Unterprogramms, in dem die Zielfunktion berechnet 

wird. x0 ist der zu übergebende Anfangwert-Vektor der Optimierungsparameter. 

(Im Sinne unserer Erläuterungen im vorigen Kapitel 5.3.2.2 sind x0 und x Elemente 

des Vektors x1 zu Beginn (x0) und am Ende der Suchschritte (x). Den Aufbau des 

Startsimplex führt der Befehl "fminsearch" automatisch aus.) 

Wenn in (5.3.84) das Argument "options" mit eingetragen ist ("fminsearch" 

funktioniert auch ohne dieses Argument) können einige Parameter des 

Suchalgorithmus geändert werden. Mit dem Befehl 

options = optimset (Parameter1, wert, Parameter2, wert, ...) 

werden diese Parameter gesetzt. Insgesamt können bei "fminsearch" fünf Parameter 

geändert werden: 

• 'Display': wert: 'off ' oder 'iter' oder 'final' 

Anzeigeoption für den Verlauf des Optimierungsvorganges. Bei Wahl von 'off' wird 

nichts angezeigt. Bei Wahl von 'iter' werden bei jedem neuen Suchlauf 

(Iterationsschritt), die Iterationsnummer, die Anzahl der Funktionsaufraufe der 

Zielfunktion, der Zielfunktionswert und die aktuelle Simplex-Operation (Reflektion, 

Kontraktion, usw.) ausgegeben, bei Wahl von 'final' erfolgt diese Ausgabe nur 

einmal am Ende des Suchlaufs. 

• 'MaxIter': wert: positive ganze Zahl 

5.63

Maximalanzahl der vorzunehmenden Suchlaufschritte (Iterationen). Der 

Defaultwert beträgt (200 * Anzahl der Optimierungsparameter). 

• 'MaxFunEvals': wert: positive ganze Zahl 

Maximalanzahl der vorzunehmenden Zielfunktions-Aufrufe. Pro Iterationsschritt 

wird die Zielfunktion mehrfach aufgerufen. Der Defaultwer beträgt auch (200 * 

Anzahl der Optimierungsparameter). 

• 'TolFun': wert: positive Zahl 

Setzt die Abbruchschranke µ. Die Iteration wird abgebrochen, wenn die 

Änderung des Zielfunktionswertes (im Sinne von (5.3.83)) die 

Abbruchschranke 'TolFun' unterschreitet. Der Defaultwert beträgt 1.e-4. 

• 'TolX' : wert: positive Zahl 

Setzt die Abbruchschranke ε. Die Iteration wird abgebrochen, wenn die 

Suchchrittweite (im Sinne von (5.3.82)) die Abbruchschranke 'TolX' 

unterschreitet. Der Defaultwert beträgt 1.e-4. 

ACHTUNG: Wenn die zu erwartenden Optimalparameter sehr klein 

sind, muß options 'TolX' entsprechend kleiner (z.B. 1.e-4 kleiner) als der 

kleiste erwartete Parameter eingestellt werden. 

Wir wollen den Einsatz von "fminsearch" an dem schon zu Beginn des Kapitels 

5.3.2.1 genutzten Beispiels zur Systemidentifikation eines PT2-Gliedes 

demonstrieren. 

Dort hatten wir von einem unbekannten, zu identifizierenden System die 

Sprungantwort (Bild 5.3.8)) gemessen. Aus der Form der Sprungantwort konnten wir 

a priori abschätzen, daß es sich um ein PT2-Glied mit der folgenden 

Übertragungsfunktion handelt (5.3.64/65) 

1 

G(s) = 

. (5.3.85) 

as + as+ 1 

Modell 2 

2 1 

a1 und a2 sind die zu identifizierenden Parameter, die ihre optimale Werte dann 

annehmen, wenn die Zielfunktion, die Flächendifferenz der Sprungantworten 

zwischen Modell (yModell (t)) und dem zu identifizierenden System (ySystem (t)), 

minimal wird: 

1 

N−1 2 = ∑ 

n= 0 

System − Modell 

g(a ,a ) y (nT) y (nT) T. (5.3.86) 

N= t / ∆t; 

end 

5.64

Zur Lösung dieses Problems mit dem Matlab-Befehl "fminsearch" müssen zwei 

Programme geschrieben werden, ein Hauptprogramm, das hier den Namen 

"nelder.m" trägt 

% Programm "nelder.m" 

% Demonstrationprogramm für den Matlab-Befehl "fminsearch.m" 

% am Beipiel einer einfachen Systemidentifikation. 

% Das Programm ruft die Funktion "zielpt2.m" 

clear 

home 

close all 

x0=[10, 5]; % Starparameter [a2, a1], 

% Anordnung siehe "zielpt2.m". 

options=optimset('Display','iter','TolFun',1.e-6,'TolX',1.e-6); 

% Setzen von drei der fünf möglichen Optionen 

% des Suchalgorithmus "fminsearch" 

x=fminsearch('zielpt2',x0,options); % Aufruf des Nelder/Mead-Simplex 

% Optimierungsalgorithmus, 

% mit implizitem Aufruf der 

% Zielfunktion "zielpt2". 

Optimalparameter=x % Ausgabe der Optimalparameter 

und ein später zu erläuterndes Function-Unterprogramm mit dem Namen 

"zielpt2.m". 

Im Hauptprogramm müssen zunächst die Startparameter-Werte der unbekannten 

Parameter gesetzt werden. Da dieser Vektor im Befehlsargument von "fminsearch" 

x0 genannt wird, müssen die beiden Anfangswerte als Zeilenvektor x0 zugewiesen 

werden. Die Wertewahl dieser beiden Parameter ist beliebig, aber, wie wir später 

noch sehen werden, nicht unkritisch. Welcher dieser beiden Anfangswerte x0(1) und 

x0(2) mit a1 oder a2 korrespondiert, wird erst in dem noch zu besprechenden 

zweiten Programm festgelegt. 

Mit dem folgenden "optimset"-Befehl, werden, wie schon weiter vorn erläutert, eine 

ständig fortlaufenden Anzeige des Suchfortschrittes ('Display') initiiert und die 

Abbruchbedingungen etwas gegenüber den Defaultwerten verschärft. 

Der folgende Befehl stellt den eigentlichen Suchalgorithmus dar. "x" ist der nach 

Ablauf des Programms zurückgelieferte optimale Parametervektor. Mit dem ersten 

rechtsseitigen Argument von "fminsearch" wird das function-Unterprogramm "zielpt2" 

aufgerufen, das schon erwähnte zweite Programm zur Berechnung der Zielfunktion. 

Das zweite Argument "x0" ist der Starparameter-Vektor und mit "options" werden die 

vorangehenden "optimset"-Zuweisungen aktiviert. 

In der letzten Zeile des Programms wird dem Optimalparameter-Vektor der 

Klarschriftname "Optimalparameter" zugewiesen. Da sich kein Semikolon hinter dem 

Befehl befindet, werden die optimalen Parameter unter diesem Namen im Matalb- 

Command-Window ausgegeben. 

5.65

Das zweite notwendige Programm, das unbedingt ein function-Unterprogramm sein 

und den in der Argumentliste von "fminsearch" benutzten Namen tragen muß, hat 

folgenden Aufbau: 

function g=zielpt2(x) 

% Funktion "zielpt2.m", die von "nelder.m" aufgerufen wird. 

% Berechnet die Ziel-Funktion zur Systemidentifikation eines 

% PT2-Gliedes 

% Identifiziertes Systemmodell 

% 

zmod=1; % Zaehler der Übertragungsfunktion 

% (mit bekannten V). 

nmod=[x(1), x(2), 1]; % Nenner der Übertragungsfunktion 

% mit unbekannten a2=x(1)und a1=x(2); 

t=0:0.1:30; % Beobachtungsintervall 

sys_mod=tf(zmod, nmod); % Identifiziertes Modell 

ymod=step(sys_mod, t); % Modell-Sprungantwort 

% Simulation des zu identifizierenden Systems 

% (Die hier berechnete Sprungantwort muesste bei einer realen 

% Identifikation aus einer Messung am realen System stammen) 

% 

zsys=1; % Zähler des zu identifizierenden 

% Systems 

nsys=[6.25, 2.5, 1]; % Nenner des zu identifizierenden 

% Systems 

sys_sys=tf(zsys, nsys); % Zu identifizierendes System 

ysys=step(sys_sys, t); % System-Sprungantwort 

% Berechnung des aktuellen Zielfunktionswertes nach Formel (5.3.86); 

% Vergleiche auch Bild 5.3.9. 

% 

g=sum(abs(ysys-ymod)); 

Eingabeparameter in diese Funktion ist der zu optimierenden Parametervektor "x". 

Die Namengebung dieses Vektors ist frei. Ausgabeparameter ist der in diesem 

Programm berechnete Zielfunktionswert "g" zu dem aktuell übergebenen 

Parametervektor "x". 

Die fortlaufende Iteration führt Matlab automatisch durch. Das heißt, für jeden Schritt 

innerhalb der Iteration, wo ein Zielfunktionswert für einen bestimmten Parametersatz 

x benötigt wird, wird das Zielfunktions-Programm automatisch aufgerufen. In diesem 

Zusammenhang prüft Matlab auch automatisch die Abbruchbedingungen und kehrt 

erst nach ihrer Erfüllung in das Hauptprogramm zurück. Dort werden anschließend 

alle Befehle hinter dem Aufruf von fminsearch abgearbeitet. 

Die Programmierung der Zielfunktion ist auch denkbar einfach: Zunächst wird das 

Übertragungsfunktion des zu identifizierenden Modells gebildet: der Zähler "zmod" ist 

5.66

nach (5.3.85) bekannt. Da es sich um ein Polynom 0. Ordnung mit a0 = V = 1 

handelt, wird nach den Matlab-Konventionen für die Eingabe von Polynomen 

zmod=1 eingegeben. Der Nenner ist ein Polynom zweiter Ordnung wovon a2 und a1 unbekannt und a0 = 1 bekannt sind. Da die beiden unbekannten Parameter die 

Optimierungsparameter sind führt dies auf eine Nennerprogrammierung von 

nmod = [x(1), x(2), 1]; 

Mit der Wahl dieser Reihenfolge steht dann auch die Zuordnung a2 = x(1) und 

a1 = x(2) fest (Sortierung des Nennerpolynoms nach fallenden Potenzen von s). 

Nachdem man die Modellübertragungsfunktion kennt, kann man nun über einem frei 

wählbaren Beobachtungsintervall "t" die Modellsprungantort "ymod" mit den aktuellen 

Parametern x(1) und x(2) berechnen. 

Zur abschließenden Berechnung des aktuellen Zielfunktionswertes 

( ) = ( ) 

ga,a gx(2),x(1) 

1 2 

in der letzten Zeile des Programms "zielpt2" wird jedoch noch die Sprungantwort des 

zu identifizierenden System ySystem (t) benötigt. Für einen realen Systemidentifikationsvorgang 

müßte diese Sprungantwort als global definierter Vektor "ysys" 

dem Function-Programm zur Verfügung gestellt werden. Der Einfachheit wegen wird 

in diesem Demonstrationsprogramm das zu identifizierende System simuliert 

(zsys,nsys) und die Sprungantwort ysys = ySystem (t) berechnet. 

In der letzten Zeile von "zielpt2" wird die Zielfunktion 5.3.86 mit den aktuellen 

Parameterwerten berechnet. "sum" realisiert die Summenbildung und "abs" bildet 

den Betrag der Flächendifferenz "ysys - ymod". 

Läßt man das Programm mit der vorliegenden Form laufen, werden nach kurzer 

Rechenzeit die 

Optimalparameter = 

6.2500 2.5000 

ausgegeben. Ein Vergleich mit den Betrachtungen in Kapitel 5.3.2.1 oder mit dem 

simulierten, zu identifizierenden System zeigt eine perfekte Übereinstimmung. 

Im Anhang A3 wird der Speicherort des Ordners „Simplexpt2“ angegeben, der die 

beiden Matlab-Programme "nelder.m" und "zielpt2.m" enthält. 

Durch Veränderung der Programmierung könnte man die vorliegenden Programme 

bereits zur Erprobung von Systemidentifikationsläufen unter anderen Bedingungen 

5.67

enutzen. Zum Beispiel könnte man den Einfluß anderer Startparameter-Werte 

studieren, die zu schätzende Modell-Systemordnung verändern, usw. 

Um den Programmieraufwand zu minimieren, wurde dazu eine etwas komfortablere 

Simulationsumgebung entwickelt, die in Kapitel 5.3.2.6 vorgestellt wird. Zunächst 

wollen wir uns wieder mit einigen meßtechnischen Randbedingungen bei der 

Anwendung von Optimierungsverfahren zur Systemidentifikation auseinandersetzen. 


Die Randbedingungen der Nutzung des Nelder/Mead-Simplex-Suchverfahrens sind 

wesentlich anwendungsfreundlicher als bei der SKQ-Methode. Insbesondere die drei 

folgenden Aspekte machen die suchstrategische Systemidentifikation attraktiv für 

praktische Anwendungen: 

• Das Simplex-Verfahren ist bei relativ hohem Meßrauschen noch mit Erfolg 

anwendbar. In Anwesenheit von Rauschamplituden, bei denen das SKQ- 

Verfahren bereits weitgehend versagt, werden mit dem Simplex-Verfahren noch 

brauchbare Modelle identifiziert. 

• Mit dem Simplex-Verfahren ist es möglich, Systemmodelle aus Sprungantworten 

zu identifizieren. Dies ist ein nicht zu unterschätzender Vorteil für die praktische 

Nutzbarkeit des Verfahrens, weil Sprungerregungen i.a. sehr leicht zu erzeugen 

sind. 

Bei global integral wirkenden Systemen empfiehlt es sich, zur Vermeidung von 

Übersteuerungen mit Pulserregungen der folgenden Form 

A 

0 

u(t) 

τ 

ut () = A σ() t − σ( t−τ) 

Bild 5.3.22: Pulsförmige Erregung für global integral wirkende Systeme 

zu arbeiten. Die Systemantwort läuft dann nämlich wieder gegen einen 

stationären Endwert. Die Größe der Signalparameter A (Amplitude) und τ 

(Pulsdauer) muß experimentell für die vorliegende Problemstellung ermittelt 

werden. 

Bei der Wahl des Beobachtungsintervalls der zu messenden Systemantwort, egal 

ob bei sprungförmigen oder anderen Erregungen, sollte darauf geachtet werden, 

5.68 

t

daß sich in der Systemantwort sowohl der Einschwingvorgang als auch ein Teil 

des stationären Zustandes abbildet (siehe Bild 5.3.23). Wird kein stationärer 

Zustand erreicht, kommt es häufig zu fehlerhaften Modellen. 

0 

0 

h(t) 

t 

Einschwingvorgang stationärer Zustand Einschwingvorgang stationärer Zustand 

Bild 5.3.23 : Einschwingvorgänge und stationäre Zustände 

bei der Messung von Sprungantworten 

• Das Simplex-Verfahren schätzt von vornherein kontinuierliche Modelle, d.h. der 

Umweg über die Bestimmung eines zeitdiskreten Systems entfällt. Damit entfällt 

auch die Notwendigkeit, das zu identifizierende System mit treppenförmigen 

Eingangserregungen zu beaufschlagen. Das Erregungssignal kann einen 

kontinuierlichen Verlauf haben. Die Signalabtastzeit ist auch keine kritische 

Größe. 

Wie beim SKQ-Verfahren müssen auch beim Simplex-Verfahren die dem 

Identifikationsvogang zugrunde liegenden Eingangs-/Ausgangsdatensätze frei von 

Gleichanteilen sein. Diese Gleichpegelbeseitigung ist auf dem folgenden Bild 5.3.24 

noch einmal anschaulich dargestellt. Da man i.a. zur Messung der beiden 

Datensätze U(k) und Y(k) nicht genau im Moment der Erregungs-Aufschaltung mit 

der Datenaufzeichnung beginnt, sondern etwas früher, um z.B. beobachten zu 

können, ob sich der Arbeitspunkt (uA = konstant; yA = konstant) bereits eingestellt 

hat, müssen auch noch die Messdaten zwischen Messbeginn und Aufschaltung der 

Erregung entfernt werden. 

Ein Nachteil des Simplex-Verfahrens besteht darin, daß sich der Algorithmus bei 

ungünstiger Wahl der Anfangswerte der zu identifizierenden Parameter in einem 

lokalen Minimum der Zielfunktion festsetzen kann und damit falsche Parameter 

schätzt. Dies ist aber insofern unproblematisch, als man ständig die aktuelle Modell- 

5.69 

0 

0 

h(t) 

t

0 

0 

0 

0 

Bild 5.3.24 : Aufbereitung der gemessenen Datensätze zur Auswertung 

sprungantwort mit der des zu identifizierenden Systems vergleichen und mit einem 

neuen Starparametersatz eine bessere Parameteridentifkation erzielen kann. Die 

Systemantwort des zu identifizierenden Systems muß dazu nicht neu gemessen 

werden. 


Bis auf die Integrator-Korrektur können alle in Kapitel 5.3.1 beschriebenen Verfahren 

zur Verstärkungsfaktor-Korrektur und zur Bestimmung der Systemordnung auch hier 

sinngemäß zur Modellverbesserung herangezogen werden. 

Es muß nur darauf geachtet werden, daß es sich jetzt um kontinuierliche 

Systemmodelle handelt. Dies ist auch der Grund, warum die Integrator-Korrektur 

nicht direkt nach hier übertragen werden kann. 

Wenn a priori feststeht, daß ein global integrales System identifiziert werden soll, sich 

in der Modellgleichung aber kein exakter Integrator einstellt, kann bei kontinuierlichen 

Modellen eine Integrator-Korrektur wie folgt vorgenommen werden: 

Die identifizierte Modell-Übertragungsfunktion, die in Polynomform vorliegt wird in die 

Produktform umgerechnet: 

5.70 

0 

0 

0 

0

1 1 

G(s) = = 

. (5.3.87) 

s2+ 10,1s+ 1 

( s+ 0,1) ⋅ ( s+ 10) 

Die betragsmäßig kleinste vorkommende Nullstelle des Nenners ist dann die falsch 

geschätzte Integrator-Polstelle, die bei kontinuierlichen Systemen bekanntlich bei s 

= 0 liegt. 

Man setzt nun diese kleinste Polstelle einfach gleich Null (in unserem Beispiel die 

Polstelle s = 0,1) und erhält die korrigierte Modell-Übertragungsfunktion: 

1 1 

G(s) = = . (5.3.88) 

( s+ 0) ⋅ ( s+ 10) s( s+ 10) 

Das folgende Bild 5.3.25 zeigt die Einheits-Sprungantwort des oben durchgerechneten 

unkorrigerten und korrigierten Modells. 

y(t) 

1 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0 

0 2 4 6 8 t 10 

5.71 

korrigiert 

nicht korrigiert 

Bild 5.3.25: Modellantwort mit und ohne Integrator-Korrektur 

5.3.2.6 Eine Simulationsumgebung zur Erprobung des Simplex-Verfahrens zur 

Systemidentifikation 

Im Anhang A3 werden der Speicherort des Ordnder „simplex“ der das Matlab- 

Hauptprogramm "simplex.m" und zwei dazugehörige Unterprogramme mit den 

Namen "system.m" und "zielfkt.m" enthält. "simplex.m", "system.m" sind Skriptfiles 

und "zielfkt.m" ein Function-Unterprogramm. Diese Programmgruppe bildet eine 

Simulationsumgebung zur Systemidentifikation nach dem Nelder/Mead-Simplex- 

Algorithmus. (Wegen der relativen Wichtigkeit dieser drei Programme sind sie auch 

im Anhang A4 abgedruckt.)

Das Hauptprogramm "simplex" ruft zunächst das Unterprogramm "system" auf, in 

dem das zu identifizierende, kontinuierliche System simuliert wird. Auch hier handelt 

es sich um ein lineares System, so daß nicht auf den Arbeitspunkt geachtet werden 

muß. Das Programm "system" berechnet die Einheitssprungantwort des Systems 

und gibt sie grafisch aus. Zur besseren Vergleichbarkeit wird das gleiche System wie 

in Kapitel 5.3.1.5 benutzt, allerdings ist hier dem Signal ein relativ starkes 

Meßrauschen überlagert: 

ySystem 

1 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0 

-0.2 

0 10 20 30 

Bild 5.3.26 : Stark verrauschte Sprungantwort 

des zu identifizierenden Systems 

An Hand dieser Sprungantwort können a priori-Kentnisse über das zu identifizierende 

System gesammelt werden. Das Programm "simplex" fragt nun nämlich "die 

zu schätzende Modell-Systemordnung" n , so wie die (n+1) Anfangsparameter des 

Zähler- und Nennerpolynoms der Modellübertragungsfunktion ab. 

• Die Wahl der Modell-Systemordnung 

Eine Abschätzung der Systemordnung des zu bestimmenden Modells muß mit 

Kenntnis der systemtheoretischer Zusammenhänge zwischen Übertragungsfunktion 

und Sprungantwort, z.B. mit Hilfe des Katalogs in Kapitel 5.2.1 vorgenommen 

werden. Grundsätzlich wird empfohlen, mehrere Systemidentifikationsläufe durchzuführen 

und die Systemordnung beginnend bei kleinen Werten (n = 1 bis 2) nach 

größeren Werten hin zu verändern. 

Das Programmsystem erlaubt eine visuelle Kontrolle der Systemidentifikationsgüte, 

weil während des Iterationsvorgangs die Sprungantworten des zu identifizierenden 

Systems und die sich verbessernde Sprungantwort des Modells grafisch 

übereinander ausgegeben werden. 

Modellordnungen >5 sollten vermieden werden, da der Simplex-Algorithmus bei einer 

5.72 

t/sek

größeren Anzahl von Optimierungsparametern an Leistungsfähigkeit verliert. (Man 

bedenke, daß bei n=5 bereits 12 unbekannte Parameter optimiert werden müssen.) 

Systemordnungen > 5 erzeugen darüber hinaus häufig Modelle mit einer gewissen 

Scheingenauigkeit. Für Modellierungszwecke der praktischen Regelungstechnik 

reichen Modellordnungen ≤ 5 völlig aus. 

• Die Wahl der Anfangsparameter 

Die Wahl der Anfangsparameter der Modell-Übertragungsfunktion hat auch 

wesentlichen Einfluß auf die Systemidentifikationsgüte. Je dichter die Anfangsparameter 

in der Nähe der späteren Optimalparameter liegen, um so zuverlässiger 

findet der Simplex-Algorithmus die Optimalparameter. Bei falscher Wahl der 

Anfangsparameter kann der Simplex-Algorithmus sogar in einem Nebenminimum 

"hängenbleiben", das heißt, die Abbruchbedingungen werden erfüllt, obwohl die 

Abweichung der Sprungantworten noch sehr groß ist. Glücklicherweise kommt dies 

bei der vorliegenden Problemstellung selten vor. Sollte der Fall jedoch einmal 

eintreten, muß man den Iterationsvorgang mit einem anderen Startparameter-Satz 

noch einmal "ausprobieren". Für eine erste Abschätzung der Anfangsparameter 

können wieder die Beziehungen zwischen Sprungantwort und Übertragungsfunktion, 

wie sie in Kapitel 5.2.1 dargestellt sind, herangezogen werden. Kann dieser Katalog 

wegen einer zu großen vermuteten Systemordnung keine Auskunft mehr geben, 

gelingt es mit dem im Folgenden vorgeschlagenen Verfahren dennoch, brauchbare 

Startparametersätze zu erzeugen: Im Zählerpolynom werden der Einfachheit halber 

alle Koeffizienten bis auf b0 gleich Null gesetzt. b0 beschreibt den Verstärkungsfaktor 

V des Systems und kann mit den Formeln (5.2.10) oder (5.2.12) zumindest 

abgeschätzt werden. 

Die Anfangswerte der Koeffizienten des Nenners führen immer auf ein stabiles 

Modell, das auch grob mit den Zeitkonstanten des zu identifizierenden System 

korrespondiert, wenn sie wie folgt berechnet werden: Dividiere die Einschwingdauer 

tDyn des zu identifizierenden Systems 

0 

0 

h(t) 

t Dyn 

t 

5.73 

0 

0 

h(t) 

t Dyn 

Bild 5.3.27 : Zur Definition von Einschwingzeiten tDyn 

t

durch k mal die gewählte Systemordnung n und nenne das Ergebnis T A : 

tDyn 

T A = ; k = 5, ..., 10; (5.3.89) 

k⋅n und berechne die Anfangswerte α i der Koeffizienten des Nenners N(s) der Modell- 

Übertragungsfunktion mit 

( ) n 2 n 

N(s) = 1+ sT = 1+ α s + α s + ... + α s . (5.3.90) 

A 1 2 n 

Für unser in "simplex" implementiertes, zu identifizierendes System führt diese 

Rechnung mit 

auf 

tDyn = 20sek.; n = 3 und k = 10 (5.3.91) 

20 

TA = = 0,66 ≈ 0,7 (5.3.92) 

10 ⋅ 3 

und damit zu folgenden Anfangsparametern 

( ) 3 3 2 

N(s) = 1+ 0,7s = 0,34s + 1,47s + 2,1s + 1. (5.3.93) 

Nach Eingabe der abgefragten Parameter beginnt das Programm "simplex" den 

Iterationvorgang zur Optimierung der Modellparameter. Zu diesem Zweck ruft der 

Befehl "fminsearch" ständig das Function-Unterprogramm "zielfkt" auf. In ihm wird 

der Zielfunktionswert "g" für jeden von "fminsearch" berechneten Parametersatz 

bestimmt. 

Um den Optimierungsvorgang beobachten zu können, werden bei jedem Aufruf von 

"zielfkt" die Sprungantwort des zu identifizierenden Systems und die aktuelle 

Modellsprungantwort grafisch übereinander ausgegeben. Auch der sich ständig 

verkleinernde Zielfunktionswert "g" wird im Matlab-Command-Window dargestellt. 

Im folgenden Bild 5.3.28 ist die Grafik eines solchen Suchvorganges abgebildet: 

5.74

Eine Folge sich verbessernder 

Modell-Sprungantworten 

1.5 

1 

0.5 

0 

-0.5 

0 10 20 30 

Bild 5.3.28 : Grafik zur Beobachtung des Annäherungsprozesses 

Im Programm "system" ist es möglich, die Amplitude des Meßrauschen zu verändern 

oder auch auf Null zu setzen und so den Einfluß dieser Störung auf den Systemidentifikationsvorgang 

zu testen: 

% Einfügung von Meßrauschen 

% 

rausch=0.05*randn(size(t)); % Simulation von Messrauschen. 

ySystem=ySystem+rausch'; 

Weiter unten im gleichen Programm besteht die Möglichkeitzur Ausfilterung des 

Rauschens, 

% Ausfilterung des Meßrauschens 

% 

[b,a]=butter(5,0.5*pi*10,'s'); 

% Entwurf eines kontinuierlichen 

% % Butterworth-Tiefpaßfilters. 

%ySystem=lsim(b,a,ySystem,t); 

% kontinuierliche Signalfilterung 

um so die Auswirkung einer Vorfilterung des Meßsignals studieren zu können. Es ist 

zu beachten, daß es sich um die Simulation eines kontinuierlichen Filters handelt 

(Vergleiche Kapitel 4). 

Nach Erreichung der defaultmäßig eingestellten oder mittels "optimset" eingestellten 

Abbruchbedingungen gibt das Programm "simplex" die Modellübertragungsfunktion 

in Polynom-, Produkt- und faktorisierter V-Normalform aus. 

Auf der Basis der vorangehnd beschriebenen Programme „simplex.m, system.m und 

zielfkt.m“ wurden das Programmsystem „SYSYID: Ein Werkzeug zur praktischen 

Systemidentifikation“, das im nächsten Kapitel (5.3.2.7) beschrieben wird und eine 

5.75 

Verrauschte Sprungantwort 

des zu idenifizierenden Systems 

t/sek

Lösungsumgebung zur Identifikation von Parametern in Zustandsmodellen (siehe 

Kapitel 5.3.4) entwickelt. 

Wegen der grundsätzlichen Bedeutung dieser drei Programme sind sie im Anhang 

A4 auch abgedruckt. 

5.76

5.3.2.7 „SYS_ID“: Ein Werkzeug zur praktischen Systemidentifikation 

So gut das Identifikationsprogramm „simplex.m“, das wir im vorangehenden Kapitel 

beschrieben haben, auch im Vergleich zum SKQ-Verfahren arbeitet, offenbaren sich 

jedoch einige Schwachstellen bei der praktischen Anwendung des Programms. 

Zum Beispiel die nicht mögliche Festlegung auf eine Übertragungsfunktions-Struktur 

mit beliebig wählbarem Zähler- und Nennergrad, eine eindeutige Festlegung auf das 

Globalverhalten des zu identifizierenden System zur Vermeidung von 

Integratorkorrekturen, keine Neustartmöglichkeit mit bereits optimierten Modell- 

parametern zur Verbesserung der Identifikationsgüte, keine programmgestützte 

Möglichkeit zur Abtrennung von Gleichpegeln und Meßvergangenheit, usw. . 

Alle diese Aspekte und viele andere mehr wurden bei der Entwicklung des 

Systemidentifikations-Werzeugs „SYS_ID“ berücksichtigt. 

Im Anhang A3 wird der Speicherort dieses Programmsystems (Ordner „SYS_ID“) 

angegeben. Der Ordner enthält 21 Matlab-Skript- und Function-Files, 5 Datenfiles, 

ein Textfile und eine Simulink-Simulationsstruktur. Das Identifikationssystem wurde 

unter Matalb-Version 5.3 entwickelt und läuft getestet auf allen Matlab-Versionen 

zwischen den Versionen 5.3 und R2007b, allerdings mit unterschiedlich guten 

Arbeitsgeschwindigkeiten. Zur Nutzung des Programms wird vorausgesetzt, daß sich 

alle Programme, Datenfiles und Simulink-Strukturen in einem Arbeitsordner (hier 

SYS_ID) befinden. 

• Aufruf des Programmsystems „SYS_ID“ 

Nachdem der aktuelle Matlab-Pfad in den den Ordner „SYS_ID“ gelegt wurde (z.B. 

mit dem „Path Browser“) wird das Programmsystem mit dem Namen „SYS_ID“ 

gestartet (Ordner und Startprogramm tragen den gleichen Namen). Es öffnet sich 

eine grafische Benutzeroberfläche, das Hauptfenster „SYS_ID“: Ein Werkzeug zur 

Systemidentifikation (Vergleiche das folgende Bild 5.3.29). 

Das Hauptfenster ist in fünf Felder eingeteilt: 

Feld 1: Das Grafikfenster 

Feld 2: Das Feld „Modell-Übertragungsfunktion in V-Normalform“ 

Feld 3: Das Feld „Parameter der Modellübertragungsfunktion“ 

Feld 4: Das Feld „Suchfunktion“ 

Feld 5: Das Feld „Daten“. 

5.77

Feld 3 

Feld 1 

Feld 2 

Bild 5.3.29 : Das Hauptfenster des Idenifikationssystems „SYS_ID“ 

• Laden eines Eingangs-/Ausgangsdatensatzes 

Um mit dem Werkzeug zur Systemidentifikation arbeiten zu können, wird ein 

Eingangs-/Ausgangsdatensatz des zu identifizierenden Systems benötigt. Damit 

„SYS_ID“ den Datensatz erkennt, muß dieser aus drei Datenvektoren mit genau den 

angegebenen Namen bestehen: 

uerr.mat: Die Eingangserregung, die eine beliebige Kurvenform haben 

darf. 

ySystem.mat: Das zur Eingangserregung gehörende Ausgangssignal des zu 

identifizierenden Systems. 

t.mat: Der Vektor der Zeitachse über dem die Messung vorgenommen 

wurde. Er muß bei Null beginnen und in Schritten der Abtastzeit 

„dt“ bis zum Messende lang sein. 

Alle drei Vektoren müssen gleich lang sein! 

5.78 

Feld 4 

Feld 5

Die drei Vektoren können sich dabei unter den angegebenen Namen im Matlab- 

Arbeitsspeicher (Matlab Workspace) oder in einem Matlab „mat“-File befinden. Wie 

man dieses „mat“-File erzeugt, wird etwas später erklärt. 

Mit Hilfe der Simulink-Simulationsstruktur „generator_5.mdl“ im Ordner „SYS_ID“ 

kann man einen Testdatensatz mit den drei Vektoren „uerr, ySystem und t“ für den 

Matlab-Arbeitsspeicher erzeugen. 

Step1 

Step 

2 

Clock 

Bild 5.3.30: Simulink-Struktur zur Erzeugung von Testdatensätzen 

Ein Meßrauschen kann mit Hilfe des „Random-Number“-Generators dem 

Ausgangssignal zugefügt werden. Die Variable „Variance“ im Parametrierungsfenster 

dieses Blockes verändert die Amplitude des Rauschsignals. 

2.5 

Gain 

Das Eingangssignal wurde so konzipiert, daß mit ihm die Simulation eines 

Erregungssignals, das das System bis kurz unter den Arbeitspunkt führt (Block 

„Step1“), und es dann mit einer kleinen Sprungamplitude um den Arbeitspunkt herum 

erregt (Block „Step2“), möglich ist. 

Random 

Number 

In der vorliegenden Struktur wurde ein PT2-Glied (T=2; d=0,3) mit einem Vorhalt 1. 

Ordnung (T=1) und einem Verstärkungsfaktor V=2,5 simuliert. Die Simulink-Struktur 

erzeugt, wie weiter vorn gefordert, die Datenvektoren „uerr“, „ySystem“ und „t“ und 

legt sie über „To Workspace“-Blöcke im Matlab-Arbeitsspeicher ab. 

Die Simulink-Struktur wurde unter Matlab-Version 5.3 entworfen, falls sie unter 

anderen Matlab-Versionen nicht lauffähig sein sollte, muß eine entsprechende 

Struktur für die vorliegende Simulink-Version vom Anwender selbst erstellt werden. 

Will man die Meßdaten nicht flüchtig im Matlab-Arbeitsspeicher, sondern auf einem 

Datenträger speichern, muß man ein Datenfile erzeugen: 

save dateiname t uerr ySystem; 

s+1 

4s 2+2*0.3*2s+1 

Transfer Fcn 

5.79 

ySystem 

To Workspace 

Scope 

uerr 

To Workspace2 

t 

To Workspace3

Eine solche Datei mit dem Namen „dateiname“ kann, wie wir noch sehen werden, 

von „SYS_ID“ auch gelesen werden. An Stelle von „dateiname“ kann auch ein ganzer 

Speicherpfad angegeben werden. 

Zum eigentlichen Laden der gemessenen Eingangs-/Ausgangsdaten in „SYS_ID“ 

wird im Feld 5 das Pulldown-Menü „Laden“ angeklickt. In dem sich öffnenden 

Menü besteht die Möglichkeit zum Laden 

- Aus Workspace und 

- Aus Datei. 

Wählt man „Aus Workspace“ wird der Datensatz sofort geladen und in Feld 1 

angezeigt (sofern sich ein Datensatz im Workspace befindet). Wählt man „Aus 

Datei“ werden alle im Suchpfad befindlichen mat-Files zur Auswahl angezeigt. Nach 

dem Anklicken eines Files werden dessen Signalverläufe auch im Feld1 angezeigt. 

(Aus dem Workspace geladene Daten können mit dem Button „Daten speichern “ in 

Feld 5 in eine Datei gespeichert werden.) 

• Vorverarbeitung der geladenen Eingangs-/Ausgangsdatensätze 

Nachdem die Eingangserregung und das Ausgangssignal im Grafikfenster angezeigt 

werden, kann man mit Hilfe des Pulldown-Menüs „Bearbeiten“ im Feld 5 die 

geladenen Datensätze in den Kategorien 

- Bereich 

- Filter und 

- Dezimieren 

manipulieren. Wird „Dezimieren“ gewählt, öffnet sich ein Fenster „Abtastwerte 

Dezimierung“, in dem ein Dezimierungsfaktor eingestellt werden kann. Bei 

Betätigung des Butttons „Ok“ werden alle Datensätze um diesen Faktor verkürzt. 

Waren die Datensätze ursprünglich 1000 Elemente lang, wird bei einem 

Dezimierungsfaktor von 3 der Datensatz auf 1000 : 3 = 333 Elemente reduziert, d.h. 

es wird immer nur jedes dritte Datum des Datensatzes ausgewählt. Mit dezimierten 

Datensätzen läßt sich bei langsamen PCs der Identifikationsvorgang beschleunigen. 

Der Menüpunkt „Filter“ dient zur Minderung des Meßrauschens auf dem Signal 

„ySystem“ durch Tiefpaßfilterung. Wählt man diesen Menüpunkt, öffnet sich ein 

Fenster „Datenvorverarbeitung Butterworth-Tiefpaßfilter“, in dem das Signal 

„ySystem“ in einem Grafikfenster angezeigt wird. Unten links, unterhalb des 

Grafikfensters können die gewünschte „Filterordnung“ (es können Filterordnungen 

der Ordnung 1 - 5 gewählt werden) und die „Grenzfrequenz“ des Filters eingegeben 

werden. Betätigt man den Button „Übernehmen“ wird das Signal entsprechend 

5.80

gefiltert und das Filterergebnis rot in der Grafik angezeigt. Mit Verkleinerung der 

Grenzfrequenz und bei höheren Ordnungen wird der Filtererfolg größer, allerdings 

unter Inkaufnahme einer erheblichen Signalverzögerung. Da das vorliegende 

Identifikationsverfahren relativ unempfindlich gegenüber Meßrauschen ist, wird die 

Verwendung dieses Filters nicht empfohlen. 

Der wichtigste Menüpunkt des Menüs „Bearbeiten“ ist das Menü „Bereich“. Hier 

können, wie vorangehend schon begründet, Gleichpegel und die Meßvergangenheit 

aus den Eingangs-/Ausgangsdatensätzen entfernt werden (Vergleiche Kapitel 2.1.1 

und 5.3.2.4). Diesem Menüpunkt liegt die Annahme zugrunde, daß die 

Systemidentifikation mit (kleinen) Erregungen um den Arbeitspunkt durchgeführt 

wurde. Um dies zu realisieren, muß das Ausgangssignal zunächst bis kurz unter den 

Arbeitspunkt geführt werden. Nach dem Einschwingen des Signals auf diesen Wert 

erfolgt die eigentliche Erregung zur Identifikation. Diesen interessierenden Teil 

(Auswertbereich) abzutrennen, dient der Menüpunkt „Bereich“. Nach seiner Anwahl 

öffnet sich das Fenster „Datenvorverarbeitung Auswertbereich“ in dem die Graphen 

der Systemantwort „ySystem“ und darunter der Erregung „uerr“ dargestellt sind: 

(1) 

� 

(9) 

(5) 

(6) 

Bild 5.3.31: Fenster zur Abtrennung von Gleichpegeln und Meßvergangenheit 

Auf der linken Seite der Grafiken befindet sich eine rote vertikale Linie (1), die später 

die linke Begrenzung der Systemantwort und der Erregung des Auswertbereichs sein 

wird. Diese Linie kann man durch (vorsichtiges) Anklicken und ziehen (click and 

drag) zunächst nach rechts und dann nach rechts und links bewegen. Die gleiche 

Bewegung läßt sich mit den mit „L“ bezeichneten Pfeiltasten (2), allerdings grober, 

5.81 

(3) 

(10) 

(7) 

(2) 

(4) 

(8)

durchführen. Hat man mit dieser Linie die linke Begrenzung des interessierenden 

Bereich von „ySystem“ und „uerr“ eingestellt, kann man dies auch entsprechend für 

die rechte Seite tun (rechte rote, vertikale Linie (3) oder Pfeiltasten mit der 

Beschriftung „R“ (4)). Die rechte Seite sollte allerdings nur gekürzt werden, wenn ein 

zu langer stationärer Endwert gemessen wurde (Vergleiche Bild 5.3.23). 

Nach der Einstellung der vertikalen Grenzen des Auswertbereichs von „uerr“ und 

„ySystem“ werden ihre Gleichanteile abgegrenzt. Dazu dient für „ySystem“ die blaue 

Linie (5) und für „uerr“ die blaue Linie (6). Sie können wieder mittels click and drag 

oder mit den Pfeilbuttons (7) und (8), die mit „Offset“ beschriftet sind, verschoben 

werden. Wie man deutlich erkennt, ist der Pegel des Gleichanteil von „ySystem“ bei 

Anwesenheit von Meßstörungen schwierig einzustellen (9). Hier bietet der Button 

„Auto-Null“ (10) eine große Hilfe. Nach dem Anklicken öffnet sich das folgende 

Fenster: 

Bild 5.3.32: Einstellung des Zeitbereich in dem ySystem gemittelt werden soll 

Es wird ein Zeitbereich aus der Meßvergangenheit von „ySystem“ abgefragt, aus 

dem der Nullpunkt der Meßdaten im Auswertbereich berechnet werden soll. Für 

unser simuliertes PT2-Glied mit Vorhalt 1. Ordnung ist das der ungefähre Bereich 

t_min = 30 bis t_max = 45, wo das System schon relativ gut eingeschwungen ist. 

Gibt man diese Zeiten in das Fenster (Bild 5.3.32) ein und betätigt den „Ok“-Button, 

verschiebt sich die blaue Offset-Linie (5) an die richtige Stelle. Das folgende Bild 

5.3.33 zeigt das Ergebnis aller vorangehend beschriebenen Manipulationen. Betätigt 

man dann den Button „Übernehmen“ wird der Auswertbereich von „ySystem“ und 

„uerr“ herausgeschnitten und grafisch dargestellt. Dies ist in Bild 5.3.34 zu sehen. 

Auch in diesem Fenster können alle vorangehend beschriebenen Manipulationen 

vorgenommen werden. Betätigt man abschließend den Button „Ok“ wird das 

Ergebnis in des Hauptfenster des Idenifikationssystems übergeben. Bei Betätigung 

von „Zurück“ werden alle Manipulationen zurückgesetzt und man kann den 

Abtrennvorgang neu beginnen. 

5.82

Bild 5.3.33: Das Fenster zur Abtrennung von Gleichpegeln und Meßvergangenheit 

nach Kennzeichnung des Awertbereichs 

Bild 5.3.34: Der ausgeschnittene Auswertbereich nach Betätigung des 

„Übernehmen“-Buttons 

5.83

• Wahl der Modellstruktur und der Anfangsparameter 

Wenn man sich bei der Systemidentifikation auf sprungförmige Erregungen und 

damit auf die Identifikation von Sprungantworten beschränkt, hat man, wie weiter 

vorn schon bemerkt, die Vorteile 

- das System sehr einfach erregen zu können, 

- eine vorhandene Totzeit abspalten und einfach separat identifizieren zu 

- können und 

- die hervorragende Möglichkeit aus der Form der Sprungantwort a priori auf die 

Struktur des Übertragungsfunktions-Modell schließen zu können. 

Mit den erworbenen Systemtheoriekenntnissen /1/ und dem Katalog zur 

kataloggestützten Sprungantwortanalyse in Kapitel 5.2.1 müßte dies möglich sein. 

Gelingt es darüber hinaus, auch die Parameter dieser Modell-Übertragungsfunktion 

so zu wählen, daß die Modellantwort der Systemantwort des zu identifizierenden 

Systems sehr nahe kommt, würde dies eine gute Ausgangsbasis zur 

Systemidentifikation auf der Basis eines Optimierungsalgorithmus sein: Die 

Anfangsparamter der Zielfunktion lägen in der Nähe des Optimums, der 

nachfolgende Optimierungslauf würde in kein Nebenminimum laufen und die 

optimalen Modellparameter wären schnell gefunden. 

Mit der Betätigung des Buttons „Modellstruktur wählen“ (Feld 2 im Hauptfenster) 

kann der erste Schritt für eine solche Wahl der Anfangsparameter gemacht werden. 

Es öffnet sich das Fenster „Modellstruktur“: 

Bild 5.3.35: Elementare Übertragungsfunktions-Elemente zum Aufbau 

einer Modell-Übertragungsfunktion 

Aus einem Katalog von sechs elementaren Übertragungsfunktionen (Differenzierer, 

Integrierer, Vorhaltglied 1. Ordnung, Verzögerungsglied 1. Ordnung, Vorhaltglied 2. 

Ordnung und Verzögerungsglied 2. Ordnung) kann eine Modellübertragungsfunktion 

aufgebaut werden, von der man annimmt, daß sie eine Sprungantwort erzeugt, wie 

sie das zu identifizierende System hat. Ein Verstärkungsfaktor wird, da er in jeder 

5.84

Übertragungsfunktion vorkommt, automatisch eingefügt. 

Neben der Darstellung der Gleichungen der elementaren Übertragungsglieder 

befindet sich je ein Pulldown Menü, mit dem man eine bestimmte Anzahl von diesen 

elementaren Gliedern zum Aufbau der vermuteten Modellübertragungsfunktion 

auswählen kann. SYS_ID beschränkt die Modellordnung auf n = 5, was sich bei der 

praktischen Anwendung als völlig ausreichend erwiesen hat. 

Hat man eine Modellstruktur zusammengestellt und betätigt abschließend den „Ok“- 

Button verschwindet das Auswahlfenster und 

• im Feld 2 des Hauptfensters wird die zusammengestellte Gesamt- 

• 

Übertragungsfunktion und 

im Grafikfeld (Feld 1) wird neben der gemessenen, blau dargestellten 

Sprungantwort des zu identifizierenden Systems die Sprungantwort der gerade 

zusammengestellten Modellübertragungsfunktion rot dargestellt. Für diese erste 

Darstellung werden alle Parameter der Modellübertragungsfunktion „1“ gesetzt. 

• Im Feld 3 werden die diese Parameter angezeigt. 

Das folgende Bild 5.3.36 zeigt den eben erläuterten Zustand: 

Bild 5.3.36: Nach der Wahl der Modellstruktur 

5.85

Die Parameter im Feld 3 können vom Anwender durch Löschen und Überschreiben 

verändert werden. Damit ist, wie auch schon weiter vorn bemerkt, eine Anpassung 

der Modellübertragungsfunktion an die Übertragungsfunktion des zu identifizierenden 

Systems durch den Vergleich der entsprechenden Sprungantworten a priori 

möglich. Diese Arbeit setzt eine gewisse systemtheoretische Erfahrung voraus, sie 

kann aber auch rein spielerisch ausprobiert werden. Sollen Parameter, die in die 

entsprechenden Felder eingetragen wurden, zur Berechnung der Modell- 

Sprungantwort herangezogen werden, muß der Button „Übernehmen“ gedrückt 

werden. 

Die ausgewählte Modellstruktur mit den aktuellen Parametern kann durch Betätigung 

des Buttons „Modell speichern“ in Feld 2 auf einem Datenträger gespeichert werden. 

Ein Laden dieses gespeicherten Modells ist dann im schon besprochenen Fenster 

„Modellstruktur“ (siehe Bild 5.3.35), das sich durch Betätigung des Buttons 

„Modellstruktur wählen“ im Feld 2 des Hauptfensters öffnet, möglich. 

• Starten des automatischen Identifizierungsvorgangs 

Wenn im vorigen Arbeitsschritt ein gewisses Maß der Annäherung zwischen Modell- 

Sprungantwort und Sprungantwort des zu identifizierenden Systems erreicht ist, kann 

man den automatischen Identifizierungsvorgang starten. Dazu muß im Feld 4 der 

Button „Start“ betätigt werden. Beginnend mit den gerade eingestellten Parametern 

variiert der Nelder-Mead Optimierungsalgorithmus diese im Sinne einer Anpassung 

der Modellsprungantwort an die Sprungantwort des zu identifizierenden Systems. 

Der Fortschritt der Anpassung kann im Grafikfenster (Feld 1) beobachtet werden. 

Die Iterationsanzahl des Algorithmus wird in Prozent der maximal gewählten 

Iterationen im Feld 4 bei „Iterationen“ mit einem roten Balken angezeigt. Sind 100% 

der gewählten Iterationen vorgenommen, stoppt der Algorithmus. (Wo man die 

Maximalanzahl der Iterationen einstellt, wird etwas später erläutert). 

Wenn man nach dem Eindruck hat, daß noch eine Verbesserung der Annäherung 

der beiden Sprungantworten möglich ist, kann man den Optimierungsvorgang erneut 

starten (Button „Start“). Das Bild „Funktionsverlauf“ links neben dem Button „Start“ 

vermittelt einen gewissen Eindruck über den Grad und die Dauer der Annäherung 

beider Kurven: Es wird jeweils die Differenz der beiden letzten Funktionswerte der 

Zielfunktion angezeigt. Den Absolutwert des aktuellen Zielfunktionswerts kann man 

rechts oben im Feld 4 ablesen Für sich allein hat dieser Absolutwert keine 

Bedeutung. 

Bemerkt man während des Iterationsvorgangs, daß sich die Annäherungsgeschwindigkeit 

der beiden Sprungantworten merklich verlangsamt, ist es oft 

5.86

hilfreich, den Iterationsvorgang zu stoppen (Button „Stop“ in Feld 4) und 

anschließend sofort wieder zu starten. Bei jedem Neustart wird mit dem zum Stoppzeitpunkt 

berechneten Parametersatz erneut gestartet, allerdings mit einer größeren 

Schrittweite als während des Laufes, so daß man dieses quasi Nebenminimum 

schneller verläßt. 

Sind die eingestellten Abbruchkriterien erreicht, stoppt der Identifikationslauf. Dies 

wird mit einem Info-Fenster angezeigt, das mitteilt, daß eben diese Abbruchkriterien 

erreicht sind. 

Wenn man sich nicht klar ist, ob die eine oder die andere Parametrierung das 

optimale Modell liefert, d.h. ein optischer Vergleich keine Entscheidungsgrundlage 

liefert, kann man sich am Absolutwert der Zielfunktion orientieren. 

Mit dem Button „Optionen“ im Feld 4 können die Abbruchkriterien 

„Zielfunktionsfehler“, „Paramterfehler“ und (maximale) „Iterationszahl“ verändert 

werden. (Die hier eingetragene Iterationszahl (Defaultwert 500) entspricht den 

vorangehend genannten 100%). Der Zielfunktionsfehler entspricht der Variablen 

„TolFun“ und der Parameterfehler der Variablen „TolX“ zur Parametrierung des 

Befehls „optimset“ für den Optimierungsbefehl „fminsearch“ (Vergleiche Kapitel 

5.3.2.3) . Iterationszahl und Zielfunktionsfehler sollten auf ihren Defaultwerten (500 

und 0,0001) belassen werden. Der Parameterfehler sollte dagegen ca. 1/10000 des 

kleinsten vermuteten Systemparameterwerts betragen. Die letzte Option im Fenster 

„Suchfunktion Optionen“ ist der sogenannte Auffrischungsfaktor. Wird dieser Faktor 

gleich 1 gewählt, wird bei jeder Iteration jede neu berechnete Modellsprungantwort 

angezeigt (also aufgefrischt). Ist der Faktor 5, wird nur jede 5. berechnete angezeigt, 

bei 10 nur jede 10., usw. Bei schnelleren Rechnern können kleine 

Auffrischungsfaktoren, bei langsameren größere gewählt werden. Um einen 

gleichmäßigen Programmlauf sicherzustellen wird empfohlen bei höheren Matlab- 

Versionen mit dem Auffrischungsfaktor 1 zu arbeiten. 

• Modell simulieren 

Ist ein System identifiziert, kann man mit dem Modell einen Simulationslauf starten, in 

dem man den Button „Modell simulieren“ im Feld 2 betätigt. Es werden dann 

folgende Simulationen berechnet: 

• Bodediagramm 

• Einheits-Sprungantwort 

• Impulsantwort 

• System- und Modellantwort in einer Grafik 

5.87

• Der residuale Fehler der Identifikation, die Autokorrelationsfunktion des 

residualen Fehlers und die Kreuzkorrelationsfunktion zwischen dem residualen 

Fehler und der Systemerregung, die zur Identifikation herangezogen wurde. 

Der residuale Fehler ist die Differenz zwischen System- und Modellantwort und stellt 

im Idealfall nur das Meßrauschen dar. Wenn das wirklich der Fall ist, muß die 

Autokorrelationsfunktion bei einem Ordinatenwert von ca. Null verlaufen. Lediglich 

beim Abszissenwert t=0 darf eine größere Amplitude vorhanden sein. 

Die Kreuzkorrelationsfunktion sollte über den gesamten Abszissenbereich bei Null 

verlaufen. 

5.3.4 Identifikation von Parametern in Zustandsmodellen 

Obwohl wir dieses Thema an dieser Stelle nur anreißen können, soll darauf 

hingewiesen werden, daß mit Hilfe strategischer Suchverfahren, z.B. mit dem 

Nelder/Mead-Simplex-Verfahren, auch erfolgreich Systemparameter von Zustandsmodellen 

geschätzt werden können. 

Kennt man die Struktur eines Zustandsmodells, können unter bestimmten 

Umständen sogar physikalische Parameter des Modells geschätzt werden. Die 

Anzahl der schätzbaren Parameter ist davon Abhängig in wieweit sie zueinander 

invariant sind. Modellparameter sind zueinander invariant, wenn die Auswirkung der 

Veränderung eines Parameters nicht durch Veränderung anderer Parameter 

rückgängig gemacht werden kann. 

Betrachten wir dazu das mathematische Zustandsmodell des folgenden RC-Gliedes 

/1/: 

u(t) 

R 

C 

5.88 

i(t) ≈ 0 

Bild 5.3.37 : Zur Identifikation von R und C 

mit dem dazugehörigen Zustandsmodell 

• 

C C 

1 

u (t) = − u (t) + 

RC 

1 

u(t). 

RC 

(5.3.94) 

y(t) = 

u (t) 

C 

y(t)

Wenn wir aus der Sprungantwort des zu identifizierenden RC-Gliedes die Modellparameter 

R und C bestimmen wollen (R und C wären dann im Sinne des Kapitels 

5.3.2 die Optimierungsparameter), würde uns dies nicht gelingen. Wie wir aus /1/ 

wissen, wird die Anstiegsgeschwindigkeit der Sprungantwort eines PT1-Gliedes 

(und das ist unsere RC-Kombination, wenn man die Übertragungsfunktion betrachtet) 

Y(s) 1 

G(s) = = , 

U(s) 1+ RC � ⋅s 

T 

von der Zeitkonstante T = R⋅C bestimmt. R und C sind demnach im vorangehenden 

Sinne variabel zueinander. Das heißt, die Sprungantwort des zu identifizierenden 

Systems kann aus unendlich vielen Kombinationen R⋅C des Modells gebildet werden. 

Wäre dagegen ein Parameter bekannt (z.B. R), könnte C mit Hilfe der Simplex- 

Methode für das Zustandsmodell aus der Sprungantwort geschätzt werden. 

Leider kann man keine allgemeingültige Aussage über die Parametervariabilität von 

Zustandsmodellen machen, die aus einer mathematisch, physikalischen Modellbildung 

hervorgegangen sind. Für Zustandsmodelle höherer Ordnung kann man 

allerdings davon ausgehen, daß mehrere Parameter zueinander invariant sind. 

Auch mit dieser Einschränkung kann die Schätzung physikalischer Parameter 

erhebliche Wissensfortschritte bringen, die anders nicht so leicht verfügbar wären. 

Wir erinnern uns z.B. an die Modellierung des Zustandsmodells eines Gasdruck- 

Meßgeräts in Kapitel 1.2.1.1 in /1/. Während die Bestimmung der Parameter: 

bewegte Masse (m), Federkonstante (c), Kolbenfläche (A), Potentiometerspannung 

(Uo) und Potentiometerlänge (l) sicherlich keine Probleme macht, bereitet die 

Bestimmung des Reibungsfaktor (r) möglicherweise Schwierigkeiten. Dieser kann 

problemlos mit dem Simplex-Verfahren aus einer gemessenen Sprungantwort 

identifiziert werden. 

Voraussetzung ist allerdings immer die Kenntnis der Struktur des Zustandsmodells. 

Das heißt, es muß feststehen, welche Ordnung das zu identifizierende System hat 

und an welchen Stellen der Matrizen A, b, c, und d die physikalischen Parameter 

stehen. 

Im Anhang A3 wird der Speicherort des Ordners „Zustand“ angegeben. In ihm befidet 

sich das Programmes "zsimplx.m" (z steht für Zustandsmodell) und zwei 

dazugehörige Unterprogramme mit den Namen "zsystem.m" und "zzielfkt.m", die 

ähnlich aufgebaut sind wie die Simulationsumgebung aus Kapitel 5.3.2.6 und damit 

weitgehend selbsterklärend sind. In ihnen wird die Schätzung des oben 

angesprochenen Reibungsfaktors demonstriert: 

Vom dem folgenden Gasdruck-Meßgerät aus /1/ 

5.89

s(t) 

F (t) 

R 

F (t) 

T 

p(t) 

F (t) 

D A 

r c 

m 

F (t) 

F 

Bild 5.3.38 : Wirkungsschema eines Gasdruck-Meßgerätes 

mit dem mathematischen Zustandsmodell 

sind die Parameterwerte 

i 

r c A 

v (t) = − v(t) − s(t) + p(t) 

m m m 

i 

s(t) = v(t) (5.3.95) 

U0 

u(t) = s(t) , 

� 

m = 3kg; 

N 

c = 900 ; 

m 

−6 

2 

A = 90 ⋅10 

m ; 

U = 10 V ; l = 0,1m (5.3.96) 

bis auf den Reibungsfaktor 

0 

⎡ N ⎤ 

r : ⎢m/sek⎥ ⎣ ⎦ 

bekannt. Implementiert man die Problemstellung mit einer Sprungerregung von 

5 kg 

p(t) =∆p ⋅ σ(t) 

= 1⋅ 10 = 1bar (5.3.97) 

2 

m⋅sek 5.90 

U0 

u(t)

in die obigen drei Programme, wird der Reibungsfaktor "r" trotz Anwesenheit von 

Meßrauschen mit 

N 

r ≈ 104 (5.3.98) 

m/sek 

sehr exakt identifiziert (vergleiche mit dem im Programm "zsystem" gesetzten Wert). 

5.91

Anhang A1: Statische Kennlinien nichtlinearer Systeme 

Die statische Kennlinie eines dynamischen Systems spiegelt dessen statisches 

Verhalten wieder. Diese Kennlinie stellt das Ausgangssignal y über einem 

Eingangssignal u dar, als besäße das System keine Dynamik. 

Liegt ein reales System vor, kann die statische Kennlinie meßtechnisch bestimmt 

werden. (Vergleiche auch /1/, Kapitel 1.1.3.1). Beginnend am unteren Ende des 

Aussteuerbereichs, der im vorliegenden Falle zwischen u = 0 und u = 10 liegen soll, 

wird das System mit einem sprungförmigen (also konstantem) Eingangssignal einer 

bestimmten Amplitude erregt und nach Abklingen des Einschwingvorgangs des 

Ausgangssignals dessen stationärer Endwert protokolliert. In den folgenden Grafiken 

wird z.B. u(t) zum Zeitpunkt 10 sprungförmig von 0 nach 2 verändert (vergleiche Bild 

A1.1), y(t) antwortet zunächst mit einem Einschwingvorgang (vergleiche Bild A1.2), 

um danach bei y = 28 konstant auf einem stationären Endwert zu verharren. Zu 

dieser Messung wird zu u = 2 der Endwert y = 28 protokolliert. So fährt man mit 

jeweiliger Erhöhung der Eingangssignalamplitude bis zum oberen Ende des 

Aussteuerbereichs, wie z.B. auf dem Bild A1.1, fort. Die entstehende Wertetabelle 

u 0 2 4 6 8 10 

y 0 28 72 132 208 300 

Tabelle A1.1: Gemessene Wertetabelle des statischen Verhaltens 

eines dynamischen Systems 

trägt man grafisch so auf, daß u die Abszisse und y die Ordinate bilden und erhält 

damit die statische Kennlinie des Systems (Vergleiche Bild A1.3). Wenn die 

Meßschrittweite von u klein genug gewählt wird, können die entstehen den 

Kurvenpunkte durch einen Polygonzug verbunden werden. 

Diese quasi Extrahierung des statischen Verhaltens aus Sprungantworten eines 

dynamischen Systems gelingt durch Abwarten des Einschwingvorgangs des 

Ausgangssignals. 

Zum Wert u = 0 einer statischen Kennlinie muß nicht zwangsläufig auch y = 0 

gehören. 

A.1

10 

u(t) 

8 

6 

4 

2 

0 

0 10 20 30 40 50 60 

t/sek 

Bild A1.1: Ein Erregungssignal zur Messung der statischen Kennlinie eines Systems 

300 

y(t) 

250 

200 

150 

100 

50 

28 

0 

0 10 20 30 40 50 60 

t/sek 

Bild A1.2: Das Ausgangssignal des Systems auf das Eingangssignal von Bild A1.1 

A.2 

72 

132 

208 

300

300 

y 

250 

200 

150 

100 

50 

0 

0 2 4 6 8 10 

u 

Bild A1.3: Die statische Kennlinie des Systems, die aus Eingangs-/Ausgangsmessungen 

nach Bild 1 und Bild 2 bestimmt wurde 

Die statische Kennlinie eines linearen Systems ist immer eine Gerade. Man stellt 

diese statische Kennlinie sehr selten dar, weil man sie durch eine einzigen 

Zahlenwert, den Verstärkungsfaktor, beschreiben kann. Wie auch in /1/, Kapitel 

1.1.3.1 dargestellt, bildet man zur Berechnung des Verstärkungsfaktors aus der 

Kennlinie möglichst große ∆u und ∆y 

∆y 

y 

Bild A1.4: Bestimmung des Verstärkungsfaktors eines linearen System aus seiner 

statischen Kennlinie 

und berechnet den Verstärkungsfaktor V aus: 

∆y 

V = . 

∆u 

∆u 

A.3 

u

Für eine nichtlineare Kennlinie kann man keinen Verstärkungsfaktor angeben. 

Arbeitet das betrachtete System aber häufig in einem Arbeitspunkt (Zum Beispiel 

eine Regelstrecke, die durch einen Regelkreis auch bei Anwesenheit von Störungen 

immer auf den Sollwert der Regelgröße (das ist hier der Arbeitspunkt) zurückgeführt 

wird), gibt man gern „den Verstärkungsfaktor im Arbeitspunkt“ an. Dieser 

Verstärkungsfaktor im Arbeitspunkt wird wiederum durch Bildung von V = ∆y / ∆u 

berechnet, diesmal allerdings an der Tangente im Arbeitspunkt A. 

Zur Demonstration der Vorgehensweise greifen wir auf die vorangehend berechnete 

statische Kennlinie im Bild A1.4 zurück und wollen annehmen, daß der Arbeitspunkt 

bei yA=150 liegt. Die Auswertung der Tangente im Arbeitspunkt ergibt einen 

Verstärkungsfaktor von: 

300 

y 

250 

200 

150 

100 

50 

Arbeitspunkt 

0 

0 2 4 6 8 10 

u 

∆ u= 10− 2,4 = 7,6 

∆y 

275 

V = = = 36,18. 

∆u 

7,6 

Bild 5: Berechnung eines Verstärkungsfaktors im Arbeitspunkt 

Dieser Verstärkungsfaktor wird auch von den Systemidentifikationsverfahren, die 

mittels kleiner Erregungen im Arbeitspunkt angewendet werden, identifiziert. 

Liegt ein mathematisches Modell, z.B. das Zustandsmodell des Systems vor, können 

die statische Kennlinie und der Verstärkungsfaktor im Arbeitspunkt auch analytisch 

berechnet werden. Dies soll beispielhaft an folgendem Systemmodell gezeigt 

A.4 

∆ y = 275− 0 = 

275

werden: 

i 

2 

x(t) =− x(t) + u (t) 

y(t) = 2x(t) + 10u(t) (A1.1) 

(Die vorangehende meßtechnische Bestimmung von Kennlinie und 

Verstärkungsfaktor basierte simulativ auch auf dem gleichen Modell, um später 

meßtechnische und analytische Verfahren vergleichen zu können.) 

Aus /1/ wissen wir, daß ein System einen stationären Endwert (eine Ruhelage) 

erreicht hat, wenn die Zustandsgrößen zur Ruhe kommen, d.h. sich zeitlich nicht 

mehr verändern, bzw. konstant sind. Sind aber die Zustandsgrößen x(t) konstant, 

müssen ihre Ableitungen dx(t) / dt = 0 sein. Setzt man also in (A1.1) die linke 

Seite der Differentialgleichung gleich Null 

2 

0 =− x + u 

y = 2x + 10u (A1.2) 

beschreiben die verbleibenden Gleichungen das statische Verhalten des Systems. 

Da keine zeitlichen Abhängigkeiten der Signale mehr vorliegen, wurden in (A1.2) 

gegenüber (A1.1) auch die Zeitargumente (t) entfernt. Die statische Kennlinie ist, wie 

weiter vorn definiert, eine Funktion y = f(u). Stellt man deshalb (A1.2) nach y um, 

erhält man nach kurzer Rechnung 

2 

y = 2u + 10u. (A1.3) 

Dies ist die analytische Beschreibung der statischen Kennlinie. Dies läßt sich leicht 

durch Einsetzen der Werte der Eingangssprünge aus Tabelle A1.1 überprüfen: Es 

berechnen sich die gleichen stationären Ausganssignalniveaus, wie bei der 

meßtechnischen Bestimmung: 

u 0 2 4 6 8 10 

y 0 28 72 132 208 300 

Tabelle A1.2: Analytisch berechnete Wertetabelle 

des statischen Verhaltens 

Auch der Verstärkungsfaktor im Arbeitspunkt läßt sich beim Vorliegen des 

analytischen Ausdrucks der statischen Kennlinie leicht berechnen. In /1/ wurde die 

Beziehung zur Linearisierung einer statischen Kennlinie angegeben: 

A.5

⎛df(u) ⎞ 

∆ y= ⎜ ⋅∆u 

(A1.4) 

du 

⎟ 

⎝ ⎠ 

u= u 

A 

mit ∆ y = y −y und ∆ u = u −u 

. 

In unserem Falle war mit (A1.3) 

und damit (A1.4) 

A A 

df(u) dy d(2u + 10u) 

= = = 4u + 10 

du du du 

( ) 

u= u 

2 

∆ y = 4u+ 10 ⋅∆u 

(A1.5) 

A 

Da als Arbeitspunkt die Ausgangsgröße yA = 150 angegeben war, muß zur 

Berechnung des vorangehenden Ausdrucks die dazugehörige Eingangsgröße uA 

berechnet werden. Das gelingt mit Hilfe des analytischen Ausdrucks der statischen 

Kennlinie (A1.3), der nach dem Einsetzen von yA = 150 nach uA umgestellt werden 

muß: 

A = 

2 

A + A 

= 

2 

A + A 

y 2u 10u 

150 2u 10u 

2 10 150 

uA + uA − = 0 

2 2 

uA1,2=− 2,5 ± 

uA1 = 6,514 

6,25 + 75 ⇒ 

u =−11,51 

A2 

Da uA2 = –11,51 außerhalb des Aussteuerbereichs liegt (siehe Festlegung weiter 

vorn) gehört zum Arbeitspunkt yA = 150, der Arbeitspunktwert uA = 6,514. Dieser 

wird in (A1.5) eingesetzt: 

( ) = 

( ) 

∆ y = 4u+ 10 ⋅∆u 

u 6,514 

∆ y = 4⋅ 6,515+ 10 

∆ y = 36,056⋅∆u. Damit erhält man den analytisch berechneten Verstärkungsfaktor 

A.6

∆y 

V = = 36,1. 

∆u 

Im Vergleich mit dem durch Anlegen einer Tangente an den Grafen der statischen 

Kennlinie gewonnenen Verstärkungsfaktor (Bild A1.5) ergibt sich eine recht gute 

Übereinstimmung. 

A.7

Anhang A2: Spezifische Matlab-Befehle zur Systemidentifikation 

In diesem Abschnitt wird auf die Matlab-Befehle hingewiesen, die im vorliegenden 

Skript, insbesondere bei den im Anhang A3 aufgeführten Programmen benutzt 

werden und die über die im Skript "Einführung in das CAE-Programm Matlab" /20/ 

besprochenen Befehle hinausgehen. 

Die Befehle werden nur geordnet mit einem kurzen Hinweis auf ihre Verwendung 

beschrieben. Nähere Einzelheiten können mit der Online-Hilfe von Matlab studiert 

werden. 

• Programmsteuerung 

global: global x y z; erklärt die Variablen x, y und z zu globalen 

Variablen. Möglichkeit zur Parameterübergabe an Functions. 

Die Variablen müssen in allen benutzten Programmen global 

deklariert sein. 

• Grafische Ausgabe 

mesh: Plottet die Funktion f(x,y) über den Koordinaten x und y als 

"Funktionsgebirge". 

contour: Plottet die "Höhenlinien" eines "Funktionsgebirges" f(x,y) in den 

Koordinaten x, y. 

• Systemtheorie 

minreal: Minimalrealisierung eines Systemmodells. Entfernt gemeinsame 

Pole und Nullstellen aus der Übertragungsfunktion. 

• Optimierung 

fminsearch: Suchstrategischer Simplex-Optimierungs-Algorithmus nach 

Nelder und Mead. 

optimset: Befehl zu Setzen/Ändern von Optimierungsparametern des 

Optimierungsalgorithmus (im vorliegenden Fall von 

"fminsearch"). 

• Signalverarbeitung 

butter: Befehl zum Entwurf koninuierlicher und digitaler Butterworth- 

Filter. 

filter: Befehl zur Realisierung eines digitalen (zeitdiskreten) Filters. 

A.8

Folgende Toolboxes kommen neben dem Matalb-Grundbefehlsvorrat im Rahmen der 

Systemerkennung zur Anwednung: 

• Control Toolbox, 

• Signal Processing Toolbox. 

Alle Programme im Anhang A3 wurden unter Matlab, Version 5.3 (R11), geschrieben 

und getestet. 

A.9

Anhang A3 : Matlab-Programme zum Skript Systemidentifiaktion 

Auf dem beiligenden Datenträger befinden sich die im Skript augeführten Programme 

in folgender File-Struktur: 

Ordner Programme 

Demos iso_pt2.m 

gs.m 

guete.m 

Simplex simplex.m 

system.m 

zielfkt.m 

tf2vn.m 

Simplexpt2 nelder.m 

zielpt2.m 

Skq ls.m 

rls.m 

rls_var.m 

SYS_ID generator_5.mdl 

sys_id.m (+ 20 m-Files + 5 Mat-Files 

+ 1 Textfile) 

Zustand zsimplex.m 

zsystem.m 

zzielfkt.m 

Die Programme des Ordners "simplex" sind darüber hinaus im Anhang A4 

abgedruckt. 

A.10

Anhang A4: Listung der Programme „simplex.m“, „system.m“ und „zielfkt.m“ 

% Programm "simplex.m" 

% 

% Simulationsumgebung zur Systemidentifikation mittels des 

% Simplex-Suchalgorithmus nach Nelder und Mead, der in Form 

% des Matlab-Befehls "fminsearch" zur Verfügung steht. 

% Das Programm "simplex" ruft zuerst Skriptfile "system.m" auf, 

% in dem das zu identifizierende System simuliert und eine 

% Einheitssprungantwort berechnet und grafisch dargestellt wird. 

% Auf dieser Basis soll die Systemordnung n des zu identifizie- 

% renden Modells abgeschätzt werden. 

% Das Programm fragt weiterhin die notwendigen Anfangswerte 

% des Zaehler- und Nennerpolynoms der zu bestimmenden Modell- 

% übertragungsfunktion ab. 

% Das Programm ruft weiterhin das function-File "zielfkt.m" auf, 

% in dem die Zielfunktion, die Flächendifferenz der Sprungant- 

% worten des zu identifizierenden System und des zu bestimmenden 

% Modells, berechnet wird. 

% Nach Ablauf des Iterationsvorganges durch "fminsearch" wird die 

% geschaetzte Modellübertragungsfunktion in Polynom- und Produktform 

% ausgegeben. 

% Zur Überwachung Zielannaeherung werden waehrend des Iterations- 

% vorgangs die Sprunantworten des zu identifizerenden Systems und 

% die aktuelle Modellsprungantwort sowie der aktuelle Zielfunktions- 

% wert ausgegeben. 

home % Command-Window säubern. 

close all % Alle Grafen schließen. 

global n; % Globaldeklaration weil n in diesem Programm 

% erzeugt (abgefrat) wird, aber auch im 

% function-Unterprogramm "zielfkt.m" benötigt 

% wird. 

disp(' ') 

disp(' ------------------------------------------------- ') 

disp(' Systemidenifikation eines Übertragungssystems mittels') 

disp(' "Simplex-Suchverfahrens" nach Nelder und Mead') 

disp(' ------------------------------------------------- ') 

disp(' ') 

disp(' In der nebenstehenden Grafik ist die Einheits-Sprung-') 

disp(' antwort des zu identifizirenden kontinuierlichen ') 

disp(' Systems zu sehen.') 

disp(' Nutzen sie die daraus abzulesenden a priori-Information') 

disp(' zur Wahl der folgenden Meß- und Auswertparameter: ') 

system % Aufruf des Simulationsprogramms, das das zu 

% identifizierende System beschreibt. 

disp(' ') 

disp(' ') 

n0=input(' - Zu schätzende Modell-Systemordnung: '); 

% Abfrage der zu schätzenden (unbekannte) Modell- 

% Systemordnung. 

n=n0+1; % zu schätzende Parameteranzahl, jeweils fuer 

% Zaehler und Nenner der Modellübertragungsfkt. 

% Abfrage der Anfangswerte der Koeffizienten der Übertragungsfunktion 

% des zu identifizierenden Modells. 

% 

disp(' ') 

disp(' ') 

disp([' - Anfangswerte der ',num2str(n),' Zaehlerkoeffizienten']) 

b_anf=input(' der Übertragungsfunktion eingeben (in [ ]-Klmmern): '); 

A.11

% % Anfangswerte der Koeffizienten 

% % des Zählerpolynoms des zu identi- 

% % fizierenden Modells. 

disp(' ') 

disp(' ') 

disp([' - Anfangswerte der ',num2str(n),' Nennerkoeffizienten']) 

a_anf=input(' der Übertragungsfunktion eingeben (in [ ]-Klmmern): '); 

% % Anfangswerte der Koeffizienten 

% % des Nennerpolynoms des zu identi- 

% % fizierenden Modells. 

p_anf=[b_anf,a_anf]; % Zusammenfassung der Anfangswerte in 

% einem Vektor. 

options=optimset('Display','off','TolFun',1.e-3,'TolX',1.e-3'); 

% Optionen des Suchalgorithmus, 

% siehe Skript. 

% Grafik zum Sprungantwort-Vergleich von zu identifizirendem 

% System und aktuellem Modell. 

% 

figure(2) 

title('violett: Sollsprungantort; gelb Modellsprungantwort') 

% Aufruf des Simplex-Such-Algorithmus 

% 

p=fminsearch('zielfkt',p_anf,options); 

% in p befinden sich anschließend 

% die optimierten Parameter, 

% angeordnet wie in p_anf. 

grid on 

% Ausgabe der Berechnungs-Ergebnisse 

% 

home 

disp(' ') 

disp(' ') 

disp(' ------------------------------------------------- ') 

disp(' Systemidentifikation eines Übertragungssystems mittels') 

disp(' des "Simplex-Suchverfahrens" nach Nelder und Mead') 

disp(' - Berechnungsergebnisse - ') 

disp(' ------------------------------------------------- ') 

disp(' ') 

disp(' ') 

disp(' Modell-Uebertragungsfunktion in Polynomform') 

disp(' ') 

Parameter_b=p(1:n)./p(n+1); % (dividiert durch p(n+1), 

% damit a(n)=1 wird. 

Parameter_a=p(n+1:2*n)./p(n+1); 

printsys(Parameter_b,Parameter_a,'s') 

% Ausgabe Produktform der Übertragungsfunktion 

disp(' ') 

disp(' ') 

[Nullstellen, Polstellen]=tf2zp(Parameter_b,Parameter_a) 

% Ausgabe der V-Normalform der Übertragungsfunktion 

disp(' ') 

disp(' ') 

disp(' Modell-Uebertragungsfunktion in V-Normalform') 

disp(' ') 

tf2vn (Parameter_b,Parameter_a) 

A.12

% Programm "system.m" 

% 

% Das Programm wird von "simplex.m" zu Anfang einmal aufgerufen. Es 

% simuliert das zu identifizierende System (zaehler,nenner). 

% Zu der Eigangserregung "uerr" wird das dazugehörige Ausgangssignal 

% "ySystem" berechnet. Auch die Simulations-Zeitachse "t" der Signale 

% muß hier definiert werden. 

% 

% Für reale, meßtechnische Systemidentifikationen muß nur dieses 

% Programm geändert werden. Es müssen hier bereitgestellt werden: 

% 

% - der Vektor der Eingangserregung "uerr", 

% - der Vektor des Ausgangssignals "ySytem", 

% - die Simulations-Zeitachse "t". 

% 

% Es ist wichtig, daß diese drei Signale die oben angegebenen Namen 

% tragen, die Vektoren gleich lang sind und diese Namen (wie in der 

% Kodezeile bereits vorgenommen) global deklariert werden. 

global t uerr ySystem; % Übergabe-Parameter für "zielfkt.m" 

% (globaldeklaration weil "zielfkt.m" 

% ein function-File ist). 

% Erzeugung der Simulations-Zeitachse 

% 

t_end=30; % Beobachtungs-Intervalldauer. 

T=0.01; % Rechenschrittweite. 

t=0:T:t_end; % Beobachtungsintervall, 

% (Messdauer der Sprungantwort 

% des zu identifizierenden Systems) 

% Simulation des zu identifizierenden Systems 

% 

zaehler=[0.2]; % Zaehler der Übertragungsfunktion. 

nenner=[1 0.7 1.1 0.2]; % Nenner der übertragungsfunktion. 

sys=tf(zaehler, nenner);% zu identifizier. System 

uerr=stepfun(t,0); % Eingangs-Sprung. 

ySystem=lsim(sys,uerr,t); 

% Sprungantwort. 

% Einfügung von Meßrauschen 

% 

rausch=0.05*randn(size(t)); % Simulation von Messrauschen. 

ySystem=ySystem+rausch'; 

% Ausfilterung des Meßrauschens 

% 

[b,a]=butter(5,0.5*pi*10,'s'); % Entwurf eines kontinuierlichen 

% % Butterworth-Tiefpaßfilters. 

filt=tf(b,a); % Das Filter. 

%ySystem=lsim(filt,ySystem,t); % Kontinuierliche Signalfilterung. 

% Grafik der Sprungantwort des zu identifizierenden Systems 

% 

figure(1) 

plot(t,ySystem), grid on 

title('Sprungantwort des zu identifizierenden Systems') 

A.13

function[g]=zielfkt(x) 

% Programm "zielfkt.m" 

% 

% In diesem Programm wird die Zielfunktion für den Matlab-Suchalgorithmus 

% "fminsearch" berechnet. Es wird vom Programm "simplex.m" als Argument des 

% Befehls "fminsearch" aufgerufen. Eingabeparameter "x" ist der Vektor der 

% aktuellen Zähler- und Nennerparameter der Modellübertragungsfunktion 

% die von "fminsearch" berechnet wurden. Ausgabeparameter ist der 

% dazugehörige Wert der Zielfunktion "g". 

% Die Zielfunktion ist die Differenz der Flächen zwischen den Sprung- 

% antworten des zu identifizierende System (ysystem)und des Modells 

% (yModell), welches in diesem Programm berechnet wird. 

% 

% Die Sprungantwort des zu identifizierenden Systems "ysystem" 

% wird mit dem Programm "system.m" berechnet. Auch die Form der Eingangs- 

% erregung wird dort vorgegeben. Der dabei erzeugte 

% Zeitvektor "t", der Erregungsvektor "uerr" und die Sprungantwort 

% "ysystem" befinden sich dann im Matlab-Arbeitsspeicher. Da sie hier 

% in der "function" gebraucht werden, müssen sie global deklariert werden. 

% 

% "n", die zu schätzende Systemordnung wird auch global deklariert, 

% weil sie in "simplex" erzeugt wird, hier aber auch gebraucht wird. 

global n t uerr ySystem; % siehe obigen Text. 

% Simulation des Modells 

% 

zModell=[x(1:n)]; % zu optimierendes Zaehlerpolynom. 

nModell=[x(n+1:2*n)]; % zu optimierendes Nennerpolynom. 

Modell=tf(zModell, nModell); 

yModell=lsim(Modell,uerr,t); 

% Sprungantwort des geschätzten Modells, 

% erregt mit dem gleichen Eingangssignal 

% "uerr", wie das zu identifizierende System. 

% Grafik zum Vergleich der Sprungantworten von zu identifizierendem 

% System und aktuell geschätzten Modell. 

% 

plot(t,yModell,t,ySystem) 

drawnow % erzwingt sofortigen Plot. 

% Berechnung der Zielfunktion 

% 

g=sum(abs(yModell-ySystem)) % Berechnung der Zielfunktion des 

% Suchalgorithmus (siehe oben). 

A.14

Literatur und Software-/Firmware-Verzeichnis 

/1/ M. Ottens 

"Einführung in die Systemtheorie" 

Vorlesungsskript 

TFH-Berlin, Fachbereich VI (Informatik und Medien) 

/2/ M. Ottens 

"Einführung in die Regelungstechnik" 



/3/ H. Unbehauen 

"Regelungstechnik III" 

Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig, 1988 

/4/ K.-P. Schulze, K.-J. Rehberg 

"Entwurf von adaptiven Systemen" 

VEB Verlag Technik, Berlin (DDR), 1988 

/5/ J. Böcker, I. Hartmann, Ch. Zwanzig 

"Nichtlineare und adaptive Regelungssysteme" 

Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, ... , 1986 

/6/ U. Tietze, Ch. Schenk 

"Halbleiter-Schaltungstechnik" 

Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, ... , 4.-10.Auflage 

/7/ F. Franklin, D. Powell, M. Workman 

"Digital Control od Dynamic Systems" 

Addison-Wesley Publ. Comp, Reading Mass., 1990 

/8/ "LabView": Eine grafische Programmierumgebung für die Meßtechnik. 

National Instruments Corp. http://www.ni.com 

/9/ "MATLAB": The Language of Technical Computing 

The Mathworks, Inc. 

24 Prime Park Way 

Natik, MA 01760-1500 

http://www.mathworks.com 

/10/ dSpace GmbH, Technologiepark 25, 33100 Paderborn 

http://www.dspac.de 

/11/ Schwarze, G. 

"Bestimmung der regelungstechnischen Kennwerte von P-Glieder aus 

der Übergangsfunktion ohne Wendetangenten-Konstruktion" 

in Zeitschrift: messen-steuern-reglen, Nr. 5, 1962, S. 447 - 449 

Berlin (DDR) 

Lit.1

12/ H. Unbehauen 

"Regelungstechnik I" 

Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig, 1988 

/13/ R. Isermann 

"Identifikation dynamischer Systeme", Band I 

ab 1. Auflage, 


/14/ R. Isermann 

"Identifikation dynamischer Systeme", Band II 

ab 1. Auflage, 


/15/ M. Papageorgiou 

"Optimierung" 

Oldenbourg Verlag, München, Wien, 1996 

/16/ C. Richter 

"Optimierungsverfahren und Basic-Programme" 

Akademie Verlag, Berlin (DDR), 1988 

/17/ M. Wright 

"Direct Search Methods: Once Scorned, Now Respctable" 

in Zeitschrift: Numerical Analysys 1995, Pg. 191-208 

D.F. Griffiths and G.A. Watson (eds.) 

Addison Wesley Longman, Harlow, UK 

/18/ G. Bengel 

"Betriebssysteme" 

Hüthig Buch Verlag Heidelberg 

/19/ U. Rembiold 

"Einführung in die Informatik und Medien" 

Carl Hanser Verlag München 

/20/ M. Ottens 

"Einführung in das CAE-Programm Matlab" 



/21/ M. Ottens 

"Einführung in die Nutzung des Realtime-Workshops von Matlab" 



/22/ R. Johanson 

“System Modeling & Idenification“ 

Prentice Hall, Englewood Cliffs, NY 07 632, 1993 

Lit.2

Praktische Verfahren zur experimentellen Systemidentifikation

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