MA 3502

Aufgabe 5.1
Technische Universität München
Zentrum Mathematik
Diskrete Optimierung (MA 3502)
Es sei P = conv {(0, 0) T , (1, 3) T , ( 15
7
a) Skizzieren Sie P und PI.
Prof. Dr. R. Hemmecke, Dr. R. Brandenberg
⎛
A = ⎝
Übungsblatt 5
, 9
7 )T } = {x : Ax ≤ b} mit
3 2
3 −5
−3 1
⎞
⎛
⎠ und b = ⎝
b) Bestimmen Sie eine H-Darstellung von PI mithilfe der Skizze.
c) Bestimmen Sie eine irredundante H-Darstellung des Chvatal-Gomory-Abschluss P1
von P .
d) Wieso folgt aus (1, 0) T ∈ cone {(1, −1) T , (2, 1) T }, dass P2 = PI gilt?
Aufgabe 5.2
Sei P = conv {(0, 0) T , (0, 1) T , (1, 1/2) T }. Offensichtlich gilt dann PI = conv {(0, 0) T , (0, 1) T }.
Zeigen Sie:
a) Für den Chvatal-Gomory-Abschluss P1 von P gilt P1 = conv {(0, 0) T , (0, 1) T , (1/2, 1/2) T }.
b) Für den Chvatal-Gomory-Abschluss P2 von P1 gilt P2 = PI.
Aufgabe 5.3
Zu einem rationalen Polyeder P sei Pi der i-te Chvatal-Gomory-Abschluss (also P0 =
P, Pi+1 = (Pi)1.
Sei nun k ∈ N und P = conv {(0, 0) T , (0, 1) T , (k, 1/2) T }. Zeigen Sie: P2k−1 �= PI und
P2k = PI indem Sie zeigen, dass Pi = conv {(0, 0) T , (0, 1) T , (k − i/2, 1/2)}.
Bitte wenden!
9
0
0
⎞
⎠ .

Aufgabe 5.4
Sei P = {x ∈ R n : Ax ≤ b} ein spitzes Polyeder, A ∈ Z m×n , b ∈ Z m . Ferner sei α das
Maximum der Beträge aller Subdeterminanten der erweiterten Koeffizientenmatrix (A, b).
Zeigen Sie:
a) Ist V ⊂ P die Menge der Ecken von P , dann gilt V ⊂ α[−1, 1] n .
b) Die Menge der unbeschränkten Richtungen Z ⊂ Q n in der V-Darstellung P = conv (V )+
cone (Z) kann so gewählt werden, dass Z ⊂ [−1, 1] n und αZ ∈ Z n . (Es gilt also
Z ⊂ α[−1, 1] n ∩ Z n .)
c) Es existiert W ⊂ α(n + 1)[−1, 1] n ∩ Z n , sodass PI = conv (W ) + cone (Z). (Vergleiche
Lemma 2.3.2.)
Wieso folgt daraus, dass
und wieso könnte das wichtig sein?
P ∩ Z n �= ∅ ⇔ P ∩ Z n ∩ α(n + 1)[−1, 1] n �= ∅
d) Mithilfe der Hadamard-Ungleichung (s.u.) folgt α ≤ n n
2 · M n , wobei M der betragsmaximale
Eintrag in (A, b) sei, also
M := max{max{|aij| : i ∈ [m], j ∈ [n]}, max{|βi| : i ∈ [m]}}.
e) Die Schranke aus (d) wird für Hadamard-Matrizen (s.u.) Hn scharf – es gilt also
| det(Hn)| = n n
2 .
f) Es gibt unendlich viele Hadamard-Matrizen. Geben Sie dazu eine Hadamard-Matrix
der Ordnung 2 an und überlegen Sie sich eine Vorschrift, mit der Sie aus einer Hadamard-
Matrix der Ordnung n eine der Ordnung 2n konstruieren können.
Hadamard-Ungleichung: Ist C ∈ R n×n mit Spaltenvektoren c1, . . . , cn, dann gilt | det(C)| ≤
� n
i=1 ||ci||2 gilt.
Hadamard-Matrix: Eine Hadamard-Matrix der Ordnung n ist eine (n × n)-Matrix Hn ∈
{−1, +1} n×n , deren Zeilen paarweise orthogonal sind.
Abgabe bis eine Woche nach der Übung, in der das Blatt bearbeitet wurde.
Bitte notieren Sie auf Ihrer Abgabe:
• Name(n), Vorname(n) und
• Rückgabeübungsgruppe (Nummer laut Homepage, Wochentag, Uhrzeit
und Übungsleiter).