Angewandte Statistik mit R - Quia

Angewandte Statistik mit 'R'
für Ökonomen
Reiner Peter Hellbrück
1

© Reiner Hellbrück, alle Rechte vorbehalten. Ausschließlich Studenten an der FH Würzburg-
Schweinfurt im Studiengang Betriebswirtschaft, die zudem im Sommersemester 2008 das Statistik-
Seminar besuchen, ist die kostenfreie Nutzung dieses Skriptes erlaubt.
Würzburg, 2008
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Vorwort
Dieses Buch entstand im Zuge der Neustrukturierung meiner Statistikveranstaltungen an der FH
Würzburg-Schweinfurt.
3

Abbildungsverzeichnis
Abbildung 1: Suche in vorhandenen Programmpaketen....................................................................15
Abbildung 2: Graphische Veranschaulichung der absoluten Häufigkeit...........................................28
Abbildung 3: Graphische Veranschaulichung der relativen Häufigkeiten.........................................31
Abbildung 4: Graphische Veranschaulichung der empirischen Verteilungsfunktion.........................33
Abbildung 5: Histogramm mit absoluten Häufigkeiten.....................................................................34
Abbildung 6: Histogramm mit durchschnittlicher Häufigkeitsdichte................................................36
Abbildung 7: Lorenz-Kurve...............................................................................................................42
Abbildung 8: Lorenz-Kurve bei Konzentration auf ein Merkmal.....................................................44
4

Tabellenverzeichnis
Tabelle 1: Daten YX...........................................................................................................................17
Tabelle 2: Ergebnis einer falschen Eingabe.......................................................................................17
Tabelle 3: Daten..................................................................................................................................18
Tabelle 4: Daten2................................................................................................................................21
Tabelle 5: Gemeinsame Verteilung dargestellt in einer Kontingenztabelle.......................................37
Tabelle 6: Randverteilung dargestellt in einer Kontingenztabelle.....................................................38
Tabelle 7: 1. Schritt zur Erstellung einer Lorenz-Kurve-absolute Häufigkeitsverteilung.................40
Tabelle 8: 2. Schritt zur Erstellung einer Lorenz-Kurve....................................................................40
5

Abkürzungsverzeichnis
Tragen Sie hier bitte die Verwendeten Abkürzungen ein.
6

Inhaltsverzeichnis
Abbildungsverzeichnis.........................................................................................................................4
Tabellenverzeichnis..............................................................................................................................5
Abkürzungsverzeichnis........................................................................................................................6
A. Einleitung........................................................................................................................................9
A.1. Gegenstand...............................................................................................................................9
A.2. Aufbau....................................................................................................................................11
B. Datenerhebung - ganz praktisch....................................................................................................12
B.1. Erhebungsplan........................................................................................................................12
B.1.1. Grundlagen.....................................................................................................................12
B.1.2. Vollerhebung oder Teilerhebung?..................................................................................12
B.1.3. Beispiel...........................................................................................................................13
B.2. Software.................................................................................................................................13
B.2.1. Grundlagen.....................................................................................................................13
B.2.2. Beispiel...........................................................................................................................14
B.3. Rohdaten auslesen..................................................................................................................15
B.3.1. Grundlagen.....................................................................................................................15
B.3.2. Beispiel...........................................................................................................................16
B.4. Daten in Statistikprogramm einlesen.....................................................................................16
B.4.1. Grundlagen.....................................................................................................................16
B.4.2. Beispiel...........................................................................................................................16
B.5. Plausibilitätsprüfung..............................................................................................................18
B.5.1. Theoretische Aspekte.....................................................................................................18
B.5.1.a. Grundlagen.............................................................................................................18
B.5.1.b. Beispiel...................................................................................................................19
B.5.2. Statistische Aspekte........................................................................................................19
B.5.2.a. Einfache Datensätze................................................................................................19
Grundlagen......................................................................................................................19
Beispiel............................................................................................................................20
B.5.2.b. Komplexe Datensätze.............................................................................................21
Grundlagen......................................................................................................................21
Beispiel............................................................................................................................22
B.6. Kontrollfragen........................................................................................................................24
B.7. Aufgaben................................................................................................................................25
C. Datenaufbereitung..........................................................................................................................26
C.1. Häufigkeitsverteilung.............................................................................................................26
C.1.1. Absolute Häufigkeitsverteilung......................................................................................26
C.1.1.a. Grundlagen.............................................................................................................26
C.1.1.b. Beispiel...................................................................................................................26
C.1.1.c. Maßzahlen...............................................................................................................27
Arithmetisches Mittel.................................................................................................27
Empirische Varianz.....................................................................................................27
Beispiel.......................................................................................................................27
C.1.1.d. Graphische Veranschaulichung...............................................................................28
C.1.2. Relative Häufigkeitsverteilung.......................................................................................29
C.1.2.a. Grundlagen.............................................................................................................29
C.1.2.b. Beispiel...................................................................................................................29
C.1.2.c. Maßzahlen...............................................................................................................30
Arithmetisches Mittel......................................................................................................30
7

Empirische Varianz..........................................................................................................30
Quantile...........................................................................................................................30
Beispiel............................................................................................................................30
C.1.2.d. Graphische Veranschaulichung...............................................................................31
C.2. Verteilungsfunktion................................................................................................................31
C.2.1. Grundlagen.....................................................................................................................31
C.2.2. Beispiel...........................................................................................................................32
C.2.3. Graphische Veranschaulichung.....................................................................................32
C.3. Histogramme..........................................................................................................................33
C.3.1. Absolute Häufigkeit......................................................................................................33
C.3.1.a. Grundlagen.............................................................................................................33
C.3.1.b. Beispiel...................................................................................................................33
C.3.2. Durchschnittliche Häufigkeitsdichte..............................................................................34
C.3.2.a. Grundlagen.............................................................................................................34
C.3.2.b. Beispiel...................................................................................................................35
C.4. Kontingenztabelle..................................................................................................................36
C.4.1. Gemeinsame Verteilung.................................................................................................36
C.4.1.a. Grundlagen.............................................................................................................36
C.4.1.b. Beispiel...................................................................................................................37
C.4.2. Randverteilungen...........................................................................................................37
C.4.2.a. Grundlagen.............................................................................................................37
C.4.2.b. Beispiel...................................................................................................................38
C.4.3. Bedingte Verteilung und statistische Unabhängigkeit....................................................39
C.4.3.a. Grundlagen.............................................................................................................39
C.4.3.b. Beispiel...................................................................................................................40
C.5. Lorenz-Kurve.........................................................................................................................40
C.5.1. Grundlagen.....................................................................................................................40
C.5.2. Beispiel...........................................................................................................................41
C.5.3. Maßzahlen......................................................................................................................43
C.5.3.a. Gini-Koeffizient......................................................................................................43
C.5.3.b. Beispiel...................................................................................................................43
C.6. Kontrollfragen........................................................................................................................45
C.7. Aufgaben................................................................................................................................46
Literaturverzeichnis............................................................................................................................49
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A. Einleitung
A.1. Gegenstand
Ziel dieses Lehrbuches ist es, das in füheren Zeiten etwas verstaubte Image der Statistik
aufzupolieren. Es wird gezeigt, wie Daten online erhoben werden können, wie die so gewonnenen
Rohdaten mit einem Tabellenkalkulationsprogramm nachbearbeitet und dann durch den Einsatz des
Statistikprogramms 'R' ausgewertet werden. Die so gewonnenen Ergebnisse werden dann entweder
mit 'R' oder einem Tabellenkalkulationsprogramm graphisch aufbereitet.
Eine große Zahl an Statistiklehrbüchern gibt es und so stellt sich folgende Frage. Warum braucht
die Welt ein weiteres? In vorliegendem Buch wird prozeß- und entscheidungsorientiert
vorgegangen, wogegen die Vielzahl existierender Lehrbücher inhaltsbasiert sind. Was bedeutet
‚prozeßbasiert’? Damit ist gemeint, daß der Student entlang des Arbeitsablaufs geführt wird: von
der Problemstellung, über Datenerhebung, Plausibilitätstests, Auswahl einer Auswertungsmethode,
Datenauswertung und Datenaufbereitung.
Warum erscheint die entscheidungsorientierte Vorgehensweise angebracht? Die Vielzahl der
entwickelten statistischen Methoden macht es unmöglich, in einer Lehrveranstaltung alle in
zufriedenstellender Weise anzusprechen. Vielmehr ist der Anwender stets mit
Entscheidungsproblemen konfrontiert: er hat zu entscheiden, welchen Weg er bei der Analyse
beschreiten will. Aus diesem Grund wird hier versucht, dem Anwender Hilfestellungen zu geben.
Es werden anhand von Beispielen Kriterien herausgearbeitet, mit Hilfe derer entschieden werden
kann, welche Wege nicht beschritten werden sollten. Hierdurch verengt sich die Menge der
statistischen Methoden und die Auswahl wird erleichtert.
Zudem werden die Verfahren mit einem Statistikprogramm relativ leicht nachvollziehbar; selbst
große Datenmengen können verarbeitet werden. Andererseits hat eine jede Software Eigenheiten,
die der Anwender kennen muß, wenn er Fehler vermeiden will. Gelegentlich gibt es bei der
Berechnung von Maßzahlen (beispielsweise bei Quantilen) keine eindeutigen Lösungen. In einem
solchen Fall helfen allgemeine Hinweise, wie der Statistiker sich in solchen Situationen verhalten
kann, nicht weiter. Man muß wissen, wie das verwendete Programm damit umgeht, um korrekte
Interpretationen liefern zu können.
Statistik lebt von der Anwendung. Aus diesem Grund sind die Ausführungen so gestaltet, daß
der Leser so schnell als möglich in der Lage ist, selbst Auswertungen vorzunehmen. Zur Anregung
sind Beispiele eingeflochten, mit Fragestellungen aus dem wirtschaftswissenschaftlichen Bereich.
Im Zuge ihrer Diskussion werden häufig auftretende praktische Probleme angesprochen und
Lösungsmöglichkeiten unterbreitet.
Die Datenverarbeitung hat in den letzten Jahren neue Möglichkeiten für Datenerhebung und
-verarbeitung ermöglicht, Opensourcesoftware ist verfügbar, mit deren Hilfe praktisch zum
Nulltarif Daten erhoben, aufbereitet, ausgewertet und die Ergebnisse graphisch aufbereitet werden
können. So gibt es OpenOffice, zu erhalten über www.OpenOffice.org, eine komplettes Officepaket
mit Textverarbeitung, Tabellenkalkulations-, Präsentations-, Zeichen- sowie einem
Datenbankprogramm.
Dieses Programm wird als Teil des Betriebssystems Linux üblicherweise mitgeliefert. Linux,
ebenfalls eine Opensourcesoftware und gelegentlich für ein paar Euro als Beilag zu einschlägigen
Zeitschriten mit 'Linux' in der Titelleiste zu erwerben, kann parallel zu Windowsbetriebssystemen
(z.B. Windows95, Windows98, WindowsXP) installiert werden. Bei dem Hochfahren des PC kann
der Nutzer dann zwischen dem Windowssystem und Linux wählen. Die Installation ist
beispielsweise über SUSE-Linux denkbar einfach: lege die Installations-DVD ein und automatisch
9

wird ein Installationsvorschlag gemacht, der ggf. den eigenen Bedürfnissen angepaßt werden kann.
OpenOffice gibt es für alle gängigen Betriebssysteme und gleiches gilt für das
Statistikprogramm 'R', das über (www.statistiklabor.de und folge dem dort angegebenen Link für
die englischsprachige Seite zum Download von 'R') aus dem Internet heruntergeladen werden kann.
Gleiches gilt für moodle, einer serverbasierten Plattform, die für E-Learning geeignet ist, aber auch
zur Online-Datenerhebung verwandt werden kann. Diese Software kann über www.moodle.de
heruntergeladen werden. Der Vorteil dieser Software liegt darin, daß Studenten mit Software
lernen, die sie später im Berufsleben ebenfalls nutzen können. Zudem ist es möglich, sich während
des Studiums zu Hause mit der Software vertraut zu machen, zu üben und zu lernen. Die
Lerneinheiten können auch mit kommerzieller Software bearbeitet werden, doch angesichts der
beschriebenen Vorteile von Opensourceprodukten werden hier die genannten Produkte verwendet.
Zudem sollte ein Umstieg auf kommerzielle oder andere Opensource Software ohne größere
Probleme möglich sein.
10

A.2. Aufbau
Statistik ist mehr und mehr die Auseinandersetzung mit Software, Theorie, Statistik und
Präsentation. Im Zentrum steht jedoch stets die Fragestellung. Damit rückt unvermittels die
fachliche Orientierung in den Mittelpunkt des Interesses. Das Buch wendet sich vor allem an
Ökonomen und so sind die hier verwendeten Beispiele ausschließlich den
Wirtschaftswissenschaften entlehnt. Bei dem ersten Durcharbeiten können die mit „*“
gekennzeichneten Kapitel übersprungen werden.
Im zweiten Kapitel wird die Datenerhebung mit Hilfe von Onlinebefragungen beschrieben. Es
wird deutlich, warum unterschiedliche Erhebungsmethoden verwendet werden und welche es gibt.
Dem Leser werden Hilfestellungen bei der Auswahl der Methoden gegeben. Außerdem wird
beschrieben, wie Rohdaten auf Plausibilität überprüft werden können.
Methoden zur Datenaufbereitung, also zur Beschreibung von Datensätzen, werden im dritten
Kapitel beschrieben. Die Ausführungen beginnen mit grundlegenden Bemerkungen und werden
anschließend durch ökonomische Beispiele veranschaulicht. Es zeigt sich, daß mit einigen wenigen
Befehlen auch größere Datensätze mit Maßzahlen charakterisiert und graphisch aufbereitet werden
können.
Statistisches Testen steht im Mittelpunkt des Kapitels vier. Wissen um die
Wahrscheinlichkeitsrechnung wäre zwar wünschenswert, ist aber nicht unbedingt erforderlich.
Anhand des Binomialtest über den Anteilswert werden die Prinzipien statistischer Tests erläutert.
Hieran schließt sich die Beschreibung und der wichtigsten diskreten und stetigen theoretischen
Verteilungen an.
11

B. Datenerhebung - ganz praktisch
B.1. Erhebungsplan
B.1.1. Grundlagen
Daten werden zur Gewinnung von Informationen erhoben. Einerseits können diese
Informationen dazu dienen, dem Ökonomen einen Überblick über seinen Untersuchungsgegenstand
(sein Interessengebiet) zu verschaffen oder um auf neue Ideen zu kommen. Andererseits können sie
dazu dienen, die Richtigkeit einer Vermutung (Hypothese) zu überprüfen. In jedem Fall ist davon
auszugehen, daß der Ökonom mit Vorverständnis an die Aufgabe herangeht. Völlig unstrukturiert
und aufs Geradewohl wird kaum eine Datenerhebung erfolgen. Sei es offen gesagt (explizit) oder
nicht (implizit): Daten werden im Hinblick auf ein bestimmtes Ziel erhoben.
Ihre Auswertung wird sich an den Zielen der Datenerhebung orientieren. Die Ziele sollten so in
Fragen (Hypothesen) gekleidet werden, daß sie entweder bejaht oder verneint werden können.
Grundlage einer jeden statistischen Auswertung sind somit empirisch überprüfbare Hypothesen. Sie
können auf theoretischen Überlegungen basieren oder als Idee aus vorausgegangenen statistischen
Auswertungen hervorgehen. In letzterem Fall spricht man von der induktiven Vorgehensweise, bei
der ersteren von Deduktion. Wird induktiv vorgegangen, sollte vermieden werden „Daten zu
quälen“. Damit ist gemeint, die Daten, die zur Aufstellung einer neuen Hypothese geführt haben,
nicht zur Überprüfung selbiger verwendet werden dürfen, da dies zu einem Zirkelschluß führen
würde. Insbesondere im Falle der Deduktion ist darauf zu achten, daß die theoretischen Begriffe
adäquat durch Daten abgebildet werden.
B.1.2. Vollerhebung oder Teilerhebung?
Eine der wichtigsten Entscheidungen einer jeden Erhebung ist die Entscheidung über die Art der
Datenerhebung: Voll- oder Teilerhebung. Werden bei allen interessierenden Personen oder Objekten
(Grundgesamtheit oder Population) Daten erhoben, so spricht und von einer Vollerhebung,
andernfalls von einer Teilerhebung. Folgende Beispiele sollen wichtige Beurteilungskriterien
verdeutlichen.
Beispiel 1: Angenommen, ein Lehrer der Fachoberschule Marktheidenfeld möchte gerne wissen,
wie alt seine Schüler in der Klasse 11b am 1.1.2008 durchschnittlich sind. Ihn interessieren also
alle Schüler der Klasse 11b in Marktheidenfeld zum Stichtag 1.1.2008. Befragt er alle, so handelt
es sich um eine Vollerhebung, denn die befragten Personen sind identisch mit der interessierenden
Grundgesamtheit. Welche Personen zur Grundgesamtheit zählen, ergibt sich aus der Fragestellung.
Beispiel 2: Angenommen, derselbe Lehrer möchte wissen, wie alt die Schüler in allen
Klassenstufen 11 sind, wobei es die Klassen 11a, 11b gebe. Die interessierende Grundgesamtheit
setzt sich aus den Schülern der Klassen 11a und 11b zusammen; sie bilden die Grundgesamtheit.
Klasse 11b ist lediglich Teil der Grundgesamtheit und Daten über die Klasse 11b heißen deshalb
Teilerhebung.
Warum der Lehrer im ersten Fall nur Klasse 11b als Grundgesamtheit ansieht mag
beispielsweise daran liegen, daß er wissen muß, ob er wegen eines Schulausfluges die
Genehmigung der Eltern einholen muß oder nicht. Geht es um genau diese Fragestellung, so ist
allerdings nicht das arithmetische Mittel entscheidend. Welche Maßzahl würden Sie stattdessen
wählen? 1 Zudem wird durch diese Fragestellung die Erhebungsmethode bestimmt. Welche Methode
1 Relevant wäre hier das minimale Alter innerhalb der Klasse 11b.
12

kann hier nur angewandt werden? 2
Will der Lehrer aber wissen, warum die Schüler der Klasse 11a in allen Fächern bessere Noten
haben als in der 11b, obwohl dieselben Lehrer in beiden Klassen unterrichten, so könnte dies daran
liegen, daß die Schüler der 11a älter sind als die der 11b und in geringerem Maße pubertäres
Verhalten an den Tag legen, was die Leistungen tendenziell mindert. Beide Klassen bilden aufgrund
dieser Fragestellung die Grundgesamtheit. Ist aber eine Voll- oder eine Teilerhebung sinnvoll?
Bei dieser Fragestellung ist es nicht unbedingt wichtig, das Alter jedes Schülers in der
Grundgesamtheit zu wissen. Da es sich um eine relativ kleine Grundgesamtheit handelt, bietet sich
eine Vollerhebung an, zumal das Alter der Schüler üblicherweise der Schule bekannt ist und
vorhandenen Unterlagen entnommen werden kann. Man spricht in diesem Falle von
Sekundärdaten. Werden die Daten direkt bei allen Personen der Grundgesamtheit erhoben, so
handelt es sich um Primärdaten. Ob also eine Vollerhebung oder Teilerhebung sinnvoll ist, ergibt
sich aus der konkreten Situation.
Würde es sich jedoch nicht um zwei Schulklassen, sondern um zwei sehr große
Personengruppen handeln, deren Daten erst erhoben werden müßten, so wäre eine Vollerhebung
möglicherweise mit hohen Kosten verbunden. In diesem Fall bietet sich die schließende Statistik
an, bei der mit Hilfe einer Teilerhebung möglichst gut auf die Situation in der Grundgesamtheit
geschlossen werden soll. Hierdurch erklärt sich auch ihr Name „schließende“ Statistik. Bei dieser
Art von Fragestellung bedarf es allerdings nicht Daten irgendeiner Teilerhebung, sondern von
Stichproben, d.h. der Zufall spielt eine wichtige Rolle.
B.1.3. Beispiel
Hier wird der entwickelte Fragebogen für Medienmanagement diskutiert.
B.2. Software
B.2.1. Grundlagen
Eine Vielzahl von Programmen ist mittlerweile verfügbar, mit deren Hilfe Onlinebefragungen
durchgeführt werden können. Einige wenige sollen im folgenden Kurz skizziert werden. Moodle ist
eine E-Learningplattform, mit deren Hilfe allerdings auch Onlinebefragungen durchgeführt werden
können. Über den Link www.moodle.dekann es bezogen werden. Zur Installationvon Version 1. 9
genügt augenblicklich noch Webspace; es ist aber zu erwarten, daß künftig ein eigener moodle-
Server notwendig wird. Der Server muß gemäß den Vorgaben des Programms konfiguriert sein,
d.h. Myslq und PHP ist nötig. Ansonsten ist die Installation relativ einfach. Die Programmdateien
befinden sich in einer komprimierten Datei (z.B. einer Zip-Datei), die auf den eigenen Rechner
entpackt werden müssen. Nach Entpacken aller Dateien befinden sie sich dann in dem Ordner
'moodle'. Über eine FTP-Verbindung wird dieser Ordner samt Inhalt auf den Webspace übertragen.
Webspace erhält der Autor über www.bplaced.com, wo Anfang des Jahres kosten- und werbeloser
Webspace angeboten wurde. Anmeldung und Eingabe der Emailadresse genügte, um die nötigen
Voraussetzungen zur Installation von moodle zu schaffen.
In Linux ist es möglich, eine FTP-Verbindung über das Programm Konqeror herzustellen.
Dieses Programm dient der Dateiverwaltung, kann gleichzeitig aber auch als Internetbrowser
genutzt werden. Wähle den Reiter 'Gehe zu' und wähle 'Netzwerkordner'. Dann erscheint eine Box
'Netzwerkordner hinzufügen'. Klicke 'FTP' an und wähle 'weiter', um in der folgenden
Eingabemaske die geforderten Daten eingeben zu können. Nachdem der Netzwerkordner erstellt
wurde, können per drag and drop oder über die Kopierfunktion von Konqeror Daten auf den Server
2 Möglich ist nur die Vollerhebung. Denn ist auch nur ein Schüler jünger als 18 Jahre, so wäre die Genehmigung
der Eltern einzholen.
13

übertragen und über die Löschfunktion auch ggf. gelöscht werden. Übertrage über einen dieser
Wege den Ordner 'moodle' mit gesamtem Inhalt auf den Webspace und lege auf derselben Ebene,
auf der auch der Ordner 'moodle' erstellt wurde einen zusätzlichen Ordner namens 'moodledata' und
den Ordner 'nobody' an. Erstelle in dem Webspace eine Msql-Datenbank, in vorliegendem Fall
heißt sie 'reinerhellbrueck'. Rufe nun einen Internetbrowser auf und gebe die Adresse
http://reinerhellbrueck.bplaced.com/moodle in der Adreßzeile ein; anschließend beginnt die
Installation des Programms. Folge den Anweisungen bis schließlich folgende Anzeige erscheint. Da
die Installation in dem Webspace erfolgt, wird als Server 'localhost' eingegeben.
Das Statistikprogramm 'R' ist vor allem im wissenschaftlichen Bereich verbreitet. Es kommt in
zwei verschiedenen Versionen daher: a) mit einer grafischen Oberfläche als ‚Statistiklabor’
(www.statistiklabor.de) und b) ohne graphische Oberfläche unter dem Namen ‚R’. Letztere ist
befehlsbasiert, wodurch der Einstieg für Anfänger erschwert wird. Das Statistiklabor erleichtert
dem Studenten den Zugang zur Software durch moderne Menüführung. Insbesondere gibt es die
Möglichkeit, die durch Anklicken erzeugten Befehle anzeigen zulassen. Ansonsten sind die
Funktionalitäten beider Versionen zwar nicht identisch, doch ganz ähnlich.
In der praktischen Anwendung jedoch bevorzugt der Autor eindeutig die befehlsbasierte Version.
Denn hier eröffnen sich dem Nutzer vielfältige Möglichkeiten, die das Statistiklabor nicht bietet.
Beispielsweise können eine Vielzahl statistischer Auswertungen ohne Eingreifen des Nutzers
durchgeführt werden, wogegen im Statistiklabor jeder einzelne Schritt durch Anklicken initialisiert
werden muß. Zudem kann der Nutzer neue, bislang in ‚R’ nicht vorhandene Auswertungsmethoden
programmieren. Aus diesen Gründen werden ausschließlich die für ‚R’ nötigen Befehle angegeben.
B.2.2. Beispiel
Bei der Anwendung ist zu beachten, daß die Programmiersprache englisch ist. Wie so häufig
bringt dies Vor- wie auch Nachteile mit sich. Um beispielsweise den Mittelwert auszurechnen, wird
nicht das deutsche Wort, sondern ‚mean’ verwendet. Das Schöne hierbei ist, daß die englischen
Fachbegriffe erlernt und eingeübt werden. Daß im Englischen zur Angabe der Dezimalstelle der
Punkt verwendet wird, kann zu Fehlern führen und ist somit als Nachteil zu werden.
‚R’ besteht aus verschiedenen Programmpaketen. Der Nutzer kann sie über drei Schritte
verfügbar machen. A) Über den Reiter ‚Pakete’ können fehlende Pakete aus dem Internet
heruntergeladen werden und auf dem lokalen Rechner als Zip-Dateien gespeichert werden. Als
erstes wird der Server festgelegt, von dem die nötige Software heruntergeladen werden soll (setzte
CRAN-Mirror). Dann wählt man ‚Pakete’ und ‚Installiere Pakete’. B) Über den Reiter ‚Pakete’ und
die Auswahl ‚Installiere Pakete aus lokalen Zip-Dateien’ werden zusätzliche Pakete auf dem
lokalen Rechner installiert und c) über ‚Pakete’ und ‚Lade Pakete’ kann benötigte Software
verfügbar gemacht werden.
Der Reiter ‚Hilfe’, Auswahl ‚Handbücher’ und ‚An Introduction to R’ liefert dem statistisch
vorgebildeten Leser einen ersten Einblick über die Mächtigkeit des Programms. Dem Anfänger
wird diese Lektüre nicht anempfohlen, da sie eher verwirrt als hilft. Nützlicher sind nach einem
ersten Kennenlernen des Programms die Hilfeseiten, die, um Informationen über „mean“ zu
erhalten, durch den Befehl
help(„mean“)
angesprochen werden können. Hierbei ist zu beachten, daß tunlichst auf Groß- und
Kleinschreibung geachtet wird. Die Eingabe von
> Help(mean)
Fehler: konnte Funktion "Help" nicht finden
14

führt zu einer Fehlermeldung. Findet ‚R’ in dem geladenen Programmpaket keine Hilfeseite, so
wird ein Befehl angezeigt, mit Hilfe dessen innerhalb der installierten Pakete nach Hilfeseiten
gesucht wird. Das Ergebnis einer solchen Suche nach dem Schlüsselwort „cluster“ sieht
folgendermaßen aus.
> help("cluster")
No documentation for 'cluster' in specified packages and libraries:
you could try 'help.search("cluster")'
Die Eingabe des empfohlenen Befehls öffnet ein neues Fenster folgenden Inhalts:
Help files with alias or concept or title matching 'cluster' using fuzzy matching:
ordiClust(ade4TkGUI) Ordination and Cluster analysis
clusthr(adehabitat)Estimation of Home Range by Clustering
consensus(agricolae) consensus of clusters
Kmeans(amap) K-Means Clustering
Abbildung 1: Suche in vorhandenen Programmpaketen
In der ersten Zeile gibt „ordiClust“ einen Befehl an, der in Programmpaket ‚ade4TkGUI’
vorhanden ist, wobei „Ordination and Cluster analysis“ den Befehl umschreibt. Zu dem
ursprünglichen Fenster kommt man über den Reiter ‚Windows’. Um den Befehl „ordiClust“ nutzen
zu können, wäre im ursprünglichen Fenster über den Reiter ‚Pakete’ und ‚Lade Paket’ die Software
„ade4TkGUI“ zu initialisieren.
B.3. Rohdaten auslesen
B.3.1. Grundlagen
Die Daten können in Linux über Konqueror aus moodle ausgelesen werden, indem auf den
zuvor erstellten Netzwerkordner, der nichts weiter als eine Verknüpfung mit dem Server ist,
geklickt wird. Mit Hilfe eines Tabellenverarbeitungsprogramms (bspw. OpenOffice) werden die
Daten einer ersten Sichtung auf Plausibilität unterworfen, indem folgende Fragen bearbeitet
werden:
a) Stimmen alle Formate? Mit anderen Worten interessieren folgende Fragen. Sind Zahlen
auch dort, wo sie hingehören? Sind Felder, in denen ausschließlich Buchstaben erscheinen
dürfen, auch genauso beschaffen? Gibt es bei alphanumerischen Einträgen keine
unerlaubten Symbole?
b) Fehlen Daten? Hier muß überprüft werden, ob alle 'missings' genau gleich gekennzeichnet
worden sind.
c) Sind die erhobenen Zahlen im vorab definierten Bereich bzw. sind sie im plausiblen
Bereich? Diese Frage kann auch später mit Hilfe des Statistikprogramms beantwortet
werden.
Die Sichtung auf Plausibilität ist eine wichtige Aufgabe. Denn Fehler, die bei der Dateneingabe
gemacht worden sind, können das Ergebnis so stark verfälschen, daß statistische Auswertungen zu
falschen Schlußfolgerungen führen können.
Um die Daten in das Statistikprogramm 'R' einlesen zu können, werden sie als Textdatei im csv-
15

Format gesichert. Andere Formate können freilich auch verwendet werden, sollen aber hier nicht
angesprochen werden. Besondere Aufmerksamkeit sollte dem Symbol zufallen, durch das ganze
Zahlen von Dezimalstellen getrennt werden. Im folgenden wird davon ausgegangen, daß im
verwendetenTabellenverarbeitungsprogramm als Trennzeichen das Komma verwendet wird. Zudem
ist zu berücksichtigen, welcher Feldtrenner verwendet wird; hier bietet sich die Möglichkeit des
Tabulators, des Semikolons oder des Kommas an. Die verwendeten Standardeinstellungen
unterscheiden sich von Programm zu Programm. Um Fehler zu vermeiden, sollten bei der
praktischen Arbeit stets dieselben Programmpakete verwendet werden und umgekehrt: nach jedem
Programm-, ja sogar Versionswechsel, sollte geprüft werden, ob die Grundeinstellungen gleich
geblieben sind, um ggf. Anpassungen vornehmen zu können.
B.3.2. Beispiel
Hier sollen die Daten aus Medienmanagement genutzt werden.
B.4. Daten in Statistikprogramm einlesen
B.4.1. Grundlagen
Um sicher zu sein, daß in 'R' keine Variablen aus vorherigen Sitzungen vorhanden sind, sollte
der folgende Befehl genutzt werden:
rm ( list=ls() ),
wobei 'rm' für remove steht. Mit dem Befehl
setwd("g:/Auswertung")
wird das Arbeitsverzeichnis gewählt (setwd ist zu interpretieren als ‚set working directory’). In
vorliegendem Fall befindet es sich im Laufwerk 'g' und Ordner 'Auswertung'. Dies bedeutet, daß
ohne Pfadangabe das Programm stets auf das Laufwerk g in Verzeichnis 'Auswertung' auf Dateien
zugreift.
Der Befehl
YX

Y X
10,5 500
12,9 550
33,85 300
Tabelle 1: Daten YX
Werden diese mit Hilfe des folgenden Befehls
YX is.list(Daten)
[1] TRUE
wird überprüft, ob es sich tatsächlich um einen Datensatz des Typs Liste handelt. In der zweiten
Zeile ist das Ergebnis diese Abfrage angegeben. Im folgenden werden Konsequenzen eines
falschen Einlesens der Daten skizziert. Wird statt des Befehls
YX 10.5*2
17

[1] 21
Die Symbole zur Durchführung einfacher Rechenoperationen sind die gleichem wie in
Tabellenverarbeitungprogrammen. Probieren Sie es einfach aus.
Wird bei dem Einlesen der Daten statt ‘header=TRUE’ ‚ header=FALSE’ eingegeben, so werden
Y und X nicht zur Kennzeichnung der Variablen, sondern als Teil des Datensatzes behandelt. ‚R’
ordnet den Spalten automatisch die Namen V1 bzw. V2 zu. Bezeichnen Y und X jedoch die
Variablen, so führt diese Dateneingabe zu falschen Ergebnissen (hier erscheinen zusätzlich auch
noch die Kommata anstatt von Punkten).
> YX YXIn
V1 V2
1 Y X
2 10,5 500
3 12,9 550
4 33,85 300
B.5. Plausibilitätsprüfung
B.5.1. Theoretische Aspekte
B.5.1.a. Grundlagen
Bei Plausibilitätsprüfungen sind zwei Aspekte zu beachten. Erstens ist zu prüfen, ob im
Hinblick auf die interessierende Fragestellung die Daten geeignet sind, auch wirklich eine Antwort
auf die gestellte Frage zu geben. Zudem ist eine Überprüfung auf Konsistenz der Daten
durchzuführen. Zweitens ist zu prüfen, ob die Ausprägungen in dem Wertebereich liegen, den wir
aus theoretischen Überlegungen oder praktischer Erfahrung erwarten (statistischer Aspekt). Zur
Veranschaulichung der Zusammenhänge dient der folgende Datensatz.
Einkommen Alter Ausbildungsjahre
2000 30 12
2500 42 13
2900 50 10
3300 28 18
Tabelle 3: Daten
In der ersten Zeile befinden sich die Merkmalsausprägungen der ersten Person, in der zweiten
Zeile die der zweiten usw. Diesem Datensatz liegt die Vorstellung zugrunde, daß Einkommen, Alter
und Ausbildungsjahre irgend etwas miteinander zu tun haben. Wird beispielsweise vermutetet, daß
die Entlohnung nach dem Ancienitätsprinzip erfolgt, das heißt, daß mit steigendem Alter ein
höherer Stundenlohn gezahlt wird, so müßte mit höherem Alter ein höheres Einkommen erzielt
werden.
Der „Teufel“ steckt jedoch, wie so oft, im Detail. Dieser Zusammenhang gilt nur, wenn alle
Personen unabhängig vom Alter dieselbe monatliche Anzahl an Arbeitsstunden arbeiten. Häufig
weisen jedoch ältere Personen eine geringere monatliche Zahl an Arbeitsstunden (beispielsweise
18

wegen Altersteilzeitarbeit) auf als jüngere. Aus dieser Perspektive betrachtet wäre es sinnvoll, statt
dem Einkommen den Stundenlohn und die monatliche Arbeitszeit zu erheben. Folglich wäre dieser
Aspekt bereits bei der Planung der Datenerhebung zu berücksichtigen.
In der Praxis wird dies jedoch häufig nicht möglich sein, sei es, weil die Datenerhebung bereits
abgeschlossen ist oder Sekundärdaten verwendet werden und die erforderlichen Daten nicht
enthalten sind. Aus diesem Grund stellt sich die Frage, ob durch die Verwendung geeigneter
statistischer Verfahren das Problem vielleicht nicht gelöst, wohl aber gemildert werden kann. So
könnte die Analyse einmal mit Personen im Alter von 50 bis 58 Jahren und zudem mit dem
gesamten Datensatz erfolgen, um einen Hinweis darauf zu bekommen, ob der vermutete Effekt
überhaupt von Bedeutung ist.
Eine Überprüfung auf Konsistenz hat sich an der interessieren Fragestellung zu orientieren. Es
ist zu prüfen, ob sich die Befragten bei der Beantwortung von Fragen möglicherweise
widersprechen. Sollte dies der Fall sein, so ist zu entscheiden, ob solch inkonsistente Datensätze
entfernt werden.
B.5.1.b. Beispiel
Hier sollen die Daten aus Medienmanagement genutzt werden.
B.5.2. Statistische Aspekte
B.5.2.a. Einfache Datensätze
Grundlagen
In Tabelle 3 sind jeder Person mehrerer Merkmalsausprägungen zugeordnet. Analysiert man
statistisch mehrere Merkmale, so spricht man von multivariater Statistik, wogegen statistische
Verfahren, bei denen lediglich ein Merkmal analysiert wird, mit dem Wort univariat gekennzeichnet
werden. Wird also beispielsweise das Minimum des Merkmals Einkommen bestimmt, so spricht
man von univariater Datenanalyse. Bei Prüfung auf statistische Plausibilität ist es sinnvoll, für jede
Variable zumindest das Minimum, das Maximum, das arithmetische Mittel und die Varianz zu
bestimmen.
Das arithmetische Mittel (mean) ist bei Verwendung von Rohdaten definiert als:
x := 1
n ∑ n
x . i
i=1
x i ist die Ausprägung des kardinale Merkmals „Einkommen“ bei Personen i, wobei i ein
Laufindex ist, der im vorliegenden Fall von 1 bis 4 geht, und n ist die Anzahl an Beobachtungen (n
ist hier gleich vier). Diese Formel wird bei Rohdaten (Urliste) genutzt, d.h. wenn in jeder Zeile der
verwendeten Liste exakt die Merkmalsausprägungen für eine Person stehen.
Die Formel, die in ‚R’ mit ‚var(Daten$Einkommen)’ zur Berechnung der Varianz auf Basis von
Rohdaten genutzt wird ist gleich
Var x=
2 = 2
1
:=
X
n
n−1 ∑ i =0
x i−x 2 .
19

Diese Formel dient zur Berechnung der korrigierten Stichprobenvarianz. Mit ihr soll aufgrund von
Daten aus einer Stichprobe eine „erwartungstreue“ Schätzung der „wahren“, aber unbekannten
Varianz in der Grundgesamtheit berechnet werden. Erwartungstreu bedeutet, daß die Varianz der
Grundgesamtheit ohne systematische Verzerrung (Bias) geschätzt wird.
Zur Beschreibung der Streuung, ganz gleich ob in einer Grundgesamtheit oder Stichprobe, wird
aber die empirische Varianz, d.h. die Formel
s 2 2 1
=s X :=
n
n ∑ i =1
x i−x 2
verwendet. Der Index i läuft von 1 bis n, wobei n die Anzahl an Beobachtungen ist.
Bei der empirischen Varianz werden die quadrierten Abweichungen der Beobachtungen vom
arithmetischen Mittel aufsummiert und mit dem Faktor 1
n
multipliziert. Die empirische Varianz
unterscheidet sich von der korrigierten Stichprobenvarianz
2
nur durch den verwendeten
Faktor. Wird die korrigierte Stichprobenvarianz mit
empirische Varianz.
n−1
n
multipliziert, so erhält man die
Beispiel
Die Berechnungen erfolgen beispielhaft mit Hilfe der in Tabelle 3 angegebenen Daten. Der
folgende Befehl
> min(Daten)
[1] 10
liefert als Minimum 10 und
> max(Daten)
[1] 3300
ergibt den Maximalwert von 3300. Mit anderen Worten werden das Minimum und das Maximum
des gesamten Datensatzes bestimmt. In vorliegendem Fall ist dieses Vorgehen zur Prüfung auf
Plausibilität nicht angebracht. Stattdessen wäre zu prüfen, ob die Einkommen alle größer als 0 und
nicht zu hoch, das Alter größer oder gleich 14 aber kleiner als 120 und die Ausbildungsjahre
größer oder gleich 0 und nicht zu hoch sind. Denn bereits mit 14 könnte eine Person eigenständiges
Einkommen erzielen. Ganz ausgeschlossen ist es allerdings nicht, daß eine Person unter 14 Jahren
eigenes Einkommen aus beispielsweise eigenem Vermögen bezieht. Dies wäre jedoch sicher ein
Sonderfall (Ausreißer) und es wäre im Hinblick auf die interessierende Fragestellung zu
überlegen, ob dieser statistische Ausreißer überhaupt in die Untersuchung aufgenommen werden
sollte.
Die Variable Einkommen kann über folgenden Befehl angesprochen werden:
> Daten$Einkommen
[1] 2000 2500 2900 3300
In der zweiten Zeile ist der erste Spaltenvektor (ja, Spaltenvektor ist richtig) der Liste ‚Daten’
angegeben. Man beachte: obwohl die Anzeige in einer Zeile erfolgt, behandelt ‚R’
Daten$Einkommen als Spaltenvektor. Als Ergebnis für das Minimum, das Maximum, das
arithmetische Mittel und die Varianz liefert das Statistikprogramm folgende Anzeige.
> min(Daten$Einkommen)
20

[1] 2000
> max(Daten$Einkommen)
[1] 3300
> mean(Daten$Einkommen)
[1] 2675
> var(Daten$Einkommen)
[1] 309166.7
Welche Varianz wird hier geschätzt? Ist sinnvoll? i
B.5.2.b. Komplexe Datensätze
Grundlagen
In der Praxis sind Datensätze gewöhnlich mehrdimensional, wobei die Merkmale nicht alle
gleichen Typs sind. In der nachfolgenden Tabelle „kleben“ fünf Merkmale an jeder Person. Bei
dem Geschlecht handelt sich um eine nominal meßbare Größe, das heißt, dieses Merkmal zeigt nur
Gleichheit oder Verschiedenartigkeit an. Es gibt an, ob eine Person oder Objekt im Hinblick auf
einen bestimmten Aspekt gleich oder verschieden ist.
Einkommen Alter Ausbildungsjahre Geschlecht Unternehmensgröße
1000 30 12M K
2500 42 13M K
2900 50 10M G
3300 28 18M G
1500 30 12W K
1900 42 13W M
2111 50 10W M
2700 28 18W M
2900 50 10M g
2111 50 10W m
2000 30 12M m
2000 30 12M m
1900 42 13W k
Tabelle 4: Daten2
In der letzten Spalte ist die Unternehmensgröße abgetragen. Die Merkmalsausprägungen sind
‚K’ für Kleinunternehmen, ‚M’ für mittelgroße Unternehmen und ‚G’ für Großunternehmen. Dieses
Merkmal ist ein Beispiel für eine ordinale Größe. Solche Merkmale geben zusätzlich zu den
Informationen eines nominalen Merkmals Auskunft über eine Reihenfolge. Streng genommen sind
die hier gemachten Angaben zur Unternehmensgröße unvollständig. Denn es fehlt die exakte
Definition dessen, mit Hilfe welcher Kriterien Unternehmen in große, mittlere und kleine
Unternehmen eingeteilt worden sind.
So könnte beispielsweise eine Einteilung allein aufgrund der Anzahl an Beschäftigten erfolgen
Alternativ hierzu wäre eine Gruppenbildung mit Hilfe zweier Merkmale, z. B. Anzahl an
Beschäftigten und Umsatz, möglich. Bei einer großen Anzahl an Unternehmen und mehreren
Gruppierungsmerkmalen ist eine solche Einteilung selbst mit Hilfe eines
Tabellenverarbeitungprogramms sehr aufwendig. Die Statistik hat zwei Verfahren, die
21

Diskriminanz- und Clusteranalyse, entwickelt, die die Bewältigung solcher Aufgaben erleichtern.
Einkommen, Alter und Ausbildungsjahre sind Beispiele für kardinale Merkmale. Sie liefern
dieselben Informationen wie nominale und ordinale Merkmale; darüber hinaus sind Differenzen
zwischen Merkmalsausprägungen sinnvoll interpretierbar. Aus diesem Grund müssen kardinale
Merkmale zahlenmäßig ausgedrückt werden. Sie werden zudem unterteilt in verhältnis- und
intervallskalierte Merkmale. Bei ersteren gibt es einen sachlogischen absoluten Nullpunkt und es
lassen sich sinnvoll Quotienten aus verschiedenen Merkmalsausprägungen bilden. Bei letzteren ist
dies nicht möglich. Hier können nur Differenzen zwischen Merkmalsausprägungen sinnvoll
interpretiert werden.
Kardinale Merkmale müssen zwar in Zahlen ausgedrückt werden, doch der Umkehrschluß gilt
nicht. Man hüte man sich davor, aus der Tatsache, daß alle Merkmalsausprägungen irgendeines
Merkmals Zahlen sind, darauf zu schließen, daß es sich um ein kardinales Merkmal handelt. Die
Merkmalsausprägungen des Merkmals Geschlecht können zum Beispiel sein ‚m’ und ‚w’, aber
genauso gut könnte verwendet werden ‚1’ und ‚2’. Bei der Signierung des Geschlechts mit ‚1’ und
‚2’ kann man zwar prinzipiell das arithmetische Mittel berechnen, doch das so erhaltene Ergebnis
ist nicht interpretierbar. Signiert man jedoch männlich mit ‚0’ und weiblich mit ‚1’ und berechnet
jetzt das arithmetische Mittel, so gibt es den Anteil der Frauen an.
Beispiel
Bei der Überprüfung auf statistische Plausibilität fällt nominalen und ordinalen Merkmalen die
Aufgabe zu, den Datensatz sinnvoll in Gruppen einzuteilen, um sich einen ersten Überblick über
die Daten zu verschaffen. Man beachte jedoch, daß zuvor das Programmpaket „doBy“ geladen
werden muß. Mit dem folgenden Befehl (siehe unsere Tabelle) wird das Minimum und Maximum,
der Mittelwert, die Varianz sowie die Anzahl an Beobachtungen des Merkmals Einkommen
berechnet. Diese Größen werden im vorliegenden Fall geschlechtsspezifisch ausgewiesen. Der
Befehl ‚data=Daten2’ bestimmt, daß die Daten, abgelegt unter dem Namen ‚Daten2’, verwendet
werden. Dies hat auch zur Folge, daß die Merkmale durch ihren Namen (in vorliegenden Fall
Einkommen und Geschlecht) und nicht durch voranstellen des relevanten Datensatzes (wie oben
„Daten2$Einkommen“) angesprochen werden müssen.
> summaryBy(Einkommen ~ Geschlecht, data=Daten2, FUN=c(min, max, mean,var,length))
Geschlecht Einkommen.min Einkommen.max Einkommen.mean Einkommen.var
Einkommen.length
1 m 1000 3300 2371.429 599047.6 7
2 w 1500 2700 2037.000 155285.6 6
Soll Minimum und Maximum jeweils für Einkommen und Alter geschlechtsspezifisch
ausgerechnet werden, so führt folgender Befehl zum Ziel.
> summaryBy(Einkommen+Alter ~ Geschlecht, data=Daten2, FUN=c(min, max))
Geschlecht Einkommen.min Alter.min Einkommen.max Alter.max
1 m 1000 28 3300 50
2 w 1500 28 2700 50
Wenn der Mittelwert von Einkommen und Alter gegliedert nach Geschlecht und Betriebsgröße
berechnet werden soll, dann gebe folgenden Befehl ein.
> summaryBy(Einkommen+Alter ~ Geschlecht+Betriebsgröße, data=Daten2, FUN=c(mean))
Geschlecht Betriebsgröße Einkommen.mean Alter.mean
1 m g 3033.333 42.66667
2 m k 1750.000 36.00000
3 m m 2000.000 30.00000
4 w k 1700.000 36.00000
22

5 w m 2205.500 42.50000
23

B.6. Kontrollfragen
1. Erläutern Sie die Begriffe Deduktion und Induktion.
2. Wie ruft man in 'R' Hilfeseiten auf?
3. Es findet sich innerhalb der geladenen Programmpakete keine Hilfeseite. Was können Sie tun?
4. Was bewirkt folgender Befehl:
rm ( list=ls() )?
5. Erläutern Sie folgende Anweisung: setwd("g:/Auswertung").
6. Bei folgender Anweisung hat sich ein Fehler eingeschlichen: YX

B.7. Aufgaben
1. Nutze die Daten aus Tabelle 4 und
1. berechne von jeder Variable das arithmetische Mittel. Geht das?
2. Ziehe zweitens von jedem Einkommen das arithmetische Mittel des Einkommens ab und
bilde von den so gebildeten neuen Einkommen das arithmetische Mittel.
3. Erhöhe schließlich alle Einkommen um 100 Euro und verdopple das Alter. Berechnen aus den
so modifizierten Daten das arithmetische Mittel des Einkommens bzw des Alters.
25

C. Datenaufbereitung
C.1. Häufigkeitsverteilung
C.1.1. Absolute Häufigkeitsverteilung
C.1.1.a. Grundlagen
Daten werden aufbereitet, um sich einen ersten Überblick zu verschaffen. Sie dient der
Plausibilitätsprüfung und der Entscheidungsvorbereitung, ob aufgrund der Beschreibung des
Datensatzes bereits Entscheidungen getroffen werden können oder nicht. In letzterem Fall stellt
sich die Frage, ob die Daten adäquat sind oder nicht. Sind sie nicht adäquat, so ist zu überlegen, ob
neue Daten erhoben werden sollten oder nicht. Sollten sie im Hinblick auf die interessierende
Fragestellung als adäquat beurteilt werden, so stellt sich die Frage, wie die Daten ausgewertet
werden sollten.
In der betrieblichen Praxis genügt häufig eine adäquate Beschreibung (auch bekannt als
deskriptive Statistik) der vorliegenden Daten zur Entscheidungsvorbereitung. Ganz gleich, ob eine
Vollerhebung oder Teilerhebung vorliegt, ergibt sich die Aufgabe, sie aufzubereiten. Dabei geht es
ausschließlich um die Beschreibung der vorliegenden Daten, ohne etwas erklären zu wollen. Bei
Stichproben etwa ist nicht das Ziel, auf die Situation in der Grundgesamtheit zu schließen. Dies ist
Aufgabe der schließenden Statistik.
Nach Abschluß der Datenerhebung liegen Rohdaten vor, d. h., daß jeder Person (oder sonstigem
interessierenden Objekt) eine oder mehrere Merkmalsausprägungen zugeordnet sind. Tabelle 4 ist
ein Beispiel für einen Rohdatensatz. Rohdaten geben uns aber wenig Auskunft: der
Informationsgehalt ist zwar hoch, aber wir können diese Informationen mit unserem Gehirn nicht
sinnvoll verarbeiten. Aus diesem Grund ist der Statistiker bemüht, die Merkmalsausprägungen in
geeigneter Weise zusammenzufassen. Die wichtigsten Verfahren sind die absolute und relative
Häufigkeitsverteilung, die Verteilungsfunktion, sowie bei gruppierten Daten Histogramme, bei zwei
Merkmalen die Kontingenztabelle sowie die Lorenz-Kurve zur Darstellung von Konzentration. Bei
der absoluten Häufigkeitsverteilung wird jeder Merkmalsausprägung die absolute Häufigkeit
zugeordnet, mit der sie vorkommt.
C.1.1.b. Beispiel
Mit 'R' können absolute Häufigkeiten über den Befehl 'table' bestimmt werden. Auf Grundlage
der Rohdaten in Tabelle 4 wurden die absoluten Häufigkeiten für alle Merkmale bestimmt. In der
ersten Zeile befinden sich die Merkmalsausprägungen und in der zweiten die absoluten
Häufigkeiten ihres Vorkommens.
> table(Daten2$Einkommen)
1000 1500 1900 2000 2111 2500 2700 2900 3300
1 1 2 2 2 1 1 2 1
> table(Daten2$Alter)
28 30 42 50
2 4 3 4
> table(Daten2$Ausbildungsjahre)
26

10 12 13 18
4 4 3 2
> table(Daten2$Geschlecht)
m w
7 6
> table(Daten2$Betriebsgröße)
g k m
3 4 6
C.1.1.c. Maßzahlen
Arithmetisches Mittel
Wird auf der Basis absoluter Häufigkeiten das arithmetische Mittel berechnet, so ist folgende
Formel zu verwenden
x := 1
n ∑ k
n i⋅x i .
i = 1
x i bezeichnet die Ausprägung des interessierenden Merkmals, n i ist die absolute Häufigkeit
und k die Anzahl unterschiedlicher Beobachtungen.
Empirische Varianz
Sie ist definiert als
s 2 2 1
=s X :=
n ∑ n
n i x i−x i = 1
2
.
Welcher Datensatz muß folglich bei Anwendung dieser Formeln verwendet werden? ii Die Varianz
ist ein Streuungsmaß, das heißt, sie gibt das Ausmaß an, indem die Beobachtungen in der
Grundgesamtheit (bei einer Vollerhebung) bzw. einer Stichprobe herumvagabundieren. Ist die
Varianz sehr groß, so liegen die Beobachtungen weit verstreut um das arithmetische Mittel herum.
Je kleiner die Varianz wird, desto näher liegen die Beobachtungen um den Mittelwert herum. Ist die
Varianz gleich 0, dann haben alle Beobachtungen exakt denselben Wert.
Beispiel
Wird auf der Basis der absoluten Häufigkeitsverteilung das arithmetische Mittel berechnet, so
ergeben sich selbstverständlich dieselben Ergebnisse wie bei Berechnung auf der Basis von
Rohdaten. Probieren Sie es zu Übungszwecken anhand einfacher Beispiele aus. Die Berechnung
der empirischen Varianz kann in 'R' über die korrigierte Stichprobenvarianz erfolgen. Ausgegangen
wird von dem Datensatz 3 mit den Variablen Einkommen, Alter, Bildungsjahre. Um zur
(empirischen) Varianz zu gelangen, mit der die Varianz in der Grundgesamtheit berechnet wird, ist
in ‚R’
>(n-1) * var(Daten$Einkommen) /n
bzw. in unserem speziellen Fall
> (4-1)* var(Daten$Einkommen) /4
27

[1] 231875
einzugeben.
C.1.1.d. Graphische Veranschaulichung
Der Befehl
> table(Daten2$Einkommen)
gibt die absolute Häufigkeitsverteilung nur temporär an. Soll im weiteren Verlauf einer statistischen
Auswertung auf die absolute Häufigkeit Bezug genommen werden, so kann man durch Zuweisung
eines Variablennamens das Ergebnis permanent machen. Beispielsweise unter Verwendung von
Daten2 durch folgende Befehl.
>absoluteHäufigkeit absoluteHäufigkeit
liefert als Ergebnis:
1000 1500 1900 2000 2111 2500 2700 2900 3300
1 1 2 2 2 1 1 2 1
Durch die Anweisung
> plot(absoluteHäufigkeit)
erzeugt 'R' folgende Abbildung.
Abbildung 2: Graphische Veranschaulichung der absoluten Häufigkeit
28

An der Abszisse sind die Merkmalsausprägungen abgetragen und an der Ordinate die zugehörigen
absoluten Häufigkeiten. Durch
> plot(absoluteHäufigkeit, xlab = "Einkommen")
wird die Abszisse mit „Einkommen“ beschriftet.
C.1.2. Relative Häufigkeitsverteilung
C.1.2.a. Grundlagen
Werden die absoluten Häufigkeiten durch die Anzahl an Beobachtungen dividiert, so erhält man
die relative Häufigkeiten. Bei der relativen Häufigkeitsverteilung werden in der ersten Zeile die
Merkmalsausprägungen und in der zweiten die zugehörigen relative Häufigkeiten angegeben.
Die relative Häufigkeitsverteilung kann auch als Funktion geschrieben werden:
h x ={ h i für x =x i
0 sonst }
C.1.2.b. Beispiel
Das Beispiel von S. 27 wird fortgeführt. Der Befehl
> sum(absoluteHäufigkeit)
[1] 13
gibt die Anzahl der Beobachtungen, n, an. Die zuvor definierte Variable „absoluteHäufigkeit“ wird
abgeändert zu
> absoluteHäufigkeit/sum(absoluteHäufigkeit)
1000 1500 1900 2000 2111 2500 2700 2900 3300
0.07692308 0.07692308 0.15384615 0.15384615 0.15384615 0.07692308 0.07692308 0.15384615
0.07692308
und liefert dann die relative Häufigkeitsverteilung. Folgende Anweisung
> relativeHäufigkeit sum(relativeHäufigkeit)
[1] 1
Als Häufigkeitsfunktion geschrieben erhält man:
29

0.07692308
0.15384615
0.15384615
0.15384615
h x ={0.07692308
0.07692308
0.07692308
0.15384615
0.07692308
für 1000
für 1500
für 1900
für 2000
für 2111
für 2500
für 2700
für 2900
für 3300}
0 sonst
C.1.2.c. Maßzahlen
Arithmetisches Mittel
Auf Grundlage der relativen Häufigkeitsverteilung errechnet sich das arithmetische Mittel über
k
x :=∑ h i⋅x i , mit h i :=n i /n ,
i= 1
wobei h i für relative Häufigkeit steht, n i die absolute Häufigkeit des Vorkommens des
Merkmals i angibt, k die Anzahl unterschiedlicher Merkmalsausprägungen kennzeichnet.
Empirische Varianz
Mit der relative Häufigkeitsverteilung läßt sich ebenfalls die empirische Varianz berechnen:
s 2 2
=s X :=∑
i = 1
k
h i x i −x 2
,
wobei die Variablen genauso definiert sind wie oben beim arithmetischen Mittel.
Quantile
Ein Quantil splittet einen Datensatz in zwei Teilbereiche auf. Angenommen, es wird das 0,25-
Quantil gesucht, so ist die Ausprägung xi gesucht, bei der 25 Prozent der Ausprägungen kleiner
oder gleich xi und 75 Prozent der Ausprägungen größer oder gleich xi sind. Das 0,25-Quantil heißt
auch unteres Quartil, das 0,75-Quantil oberes Quartil und das 0,5-Quantil wird Median genannt.
Beispiel
Berechnet man auf Grundlage von Daten2 das arithmetische Mittel und die empirische Varianz
mit Hilfe der relativen Häufigkeitsverteilung, so erhält man selbstverständlich dieselben Ergebnisse
wie im Kapitel Absolute Häufigkeitsverteilung.
Der Befehl „quantile(x)“ führt zu dem Ergebnis
> quantile(Daten2$Einkommen)
0% 25% 50% 75% 100%
1000 1900 2111 2700 3300
Dies bedeutet, daß 25 Prozent aller Ausprägungen kleiner oder gleich 1900 und 75 Prozent größer
30

oder gleich 1900 sind.
Alternativ hierzu kann der Median auch mit dem Befehl
> median(Daten2$Einkommen, na.rm = FALSE)
[1] 2111
ermittelt werden.
C.1.2.d. Graphische Veranschaulichung
Der Befehl
> plot(relativeHäufigkeit, xlab = "Einkommen",ylab="relative Häufigkeit")
öffnet ein neues Fenster mit folgender Graphik. An der Waagerechten sind die
Merkmalsausprägungen und an der Senkrechten die relativen Häufigkeiten abgetragen.
Abbildung 3: Graphische Veranschaulichung der relativen Häufigkeiten
C.2. Verteilungsfunktion
C.2.1. Grundlagen
Die empirische Verteilungsfunktion ist definiert als
H x := ∑ x i x
h x i ,
mit relativer Häufigkeit h x i . Das bedeutet, daß an jeder Stelle, an der x =x i , H x i um
den Wert h x i steigt. Dies führt dazu, daß man an solchen Sprungstellen dem Wert H x i
31

von links nicht beliebig nahe kommen kann, man sagt, daß die Funktion linksseitig nicht stetig ist.
Von rechts aber kann man einer Sprungstelle beliebig nahe kommen, sie ist also rechtsstetig.
Diese Art der Darstellung kann bei Vollerhebungen wie Teilerhebungen eingesetzt werden. Sie
dient lediglich der Beschreibung der vorliegenden Daten. Liegt eine Teilerhebung vor, so ist bei der
Interpretation allerdings Vorsicht geboten: es kann nicht einfach von der Teilerhebung auf die
Grundgesamtheit geschlossen werden. Wurden beispielsweise bei der Datenerhebung systematisch
Fehler gemacht, so wird sich dies in einem Bias, einer systematischen Verzerrung, in der
Teilerhebung niederschlagen. Zudem hat die Art und Weise der Datenerhebung ceteris paribus
systematischen Einfluß auf die Verteilung. Zusammenhänge dieser Art werden bei der
Datenaufbereitung ausgeblendet.
C.2.2. Beispiel
Lade zuerst das Paket QRMlib, um die Funktion „edf“ (empirical distribution function)
verfügbar zu machen. Durch Eingabe von
> Eink Eink
[1] 1000 1500 1900 1900 2000 2000 2111 2111 2500 2700 2900 2900 3300
das Ergebnis angezeigt. Die Zeile
> edf(Eink)
[1] 0.07692308 0.15384615 0.30769231 0.30769231 0.46153846 0.46153846 0.61538462
0.61538462 0.69230769 0.76923077
[11] 0.92307692 0.92307692 1.00000000
führt schließlich zur Ausgabe der empirischen Verteilungsfunktion, wobei freilich nur die
kumulierten relativen Häufigkeiten abgetragen werden. Welche Angabe fehlt? 3
C.2.3. Graphische Veranschaulichung
Durch
> c(500, Eink, 3500)
[1] 500 1000 1500 1900 1900 2000 2000 2111 2111 2500 2700 2900 2900 3300 3500
wird (auch wenn die Anzeige in einer Zeile erfolgt, um Platz zu sparen) ein Spaltenvektor erzeugt.
1
Versuchen Sie es selbst und erzeugen Sie den Spaltenvektor
2
3
4
. iii Eingabe von
> plot(c(500, Eink, 3500), c(0,edf(Eink),1),xlab = "Einkommen", ylab =
"H(Einkommen)",type="s")
öffnet die folgende Graphik in einem neuen Fenster. Der Eintrag „c(500, Eink, 3500)“ gibt die
Werte an, die an der Abszisse abgetragen werden und „c(0,edf(Eink),1)“ die Werte der Ordinate an.
Der Befehl „type=“s“ weist das Programm an, eine Treppenfunktion zu zeichnen. Man erkennt,
daß die Funktion treppenförmig von links nach rechts steigend verläuft: sie beginnt bei x-Werten
3 Es fehlen die zugehörigen Sprungstellen x i .
32

von −∞ bei Null, steigt dann in Stufen an und erreicht bei ∞ die Eins. Aus der Graphik geht
allerdings nicht hervor, daß sie an Sprungstellen zwar rechts-, aber nicht linksseitig stetig ist.
Markiere in der empirischen Verteilungsfunktion der Abbildung 4 die Sprungstellen x i und
kennzeichne den zugehörigen Wert H x i , der rechtsseitig stetig ist durch einen schwarzen
Punkt und markiere die Unstetigkeitsstelle durch einen Kreis. iv
Abbildung 4: Graphische Veranschaulichung der empirischen Verteilungsfunktion
C.3. Histogramme
C.3.1. Absolute Häufigkeit
C.3.1.a. Grundlagen
Häufig kommt es vor, daß bei Erhebungen keine exakten Angaben erhoben werden, sondern der
Befragte sich für eine Gruppe entscheiden soll. Zum Beispiel kann es sein, daß nicht das exakte
monatliche Einkommen des letzten Monats, sondern das monatliche Einkommen, das
durchschnittlich im Verlauf eines Jahres erzielt wird, abgefragt wird. Solche Daten können
graphisch durch Histogramme veranschaulicht werden. Auf der Abszisse werden dann die
Klassengrenzen und an der Ordinate entweder die absolute Klassenhäufigkeit oder die
durchschnittliche Häufigkeitsdichte h x angegeben.
C.3.1.b. Beispiel
Durch
> hist(Daten2$Einkommen, main="Histogramm", xlab="Einkommen", ylab="absolute
33

Häufigkeit")
wird ein Histogramm mit dem Datensatz „Daten2“ und Spalte Einkommen gezeichnet. Zusätzlich
wurden Befehle angegeben, mit Hilfe derer ein Titel und die Achsenbezeichnungen eingetragen
werden können.
Abbildung 5: Histogramm mit absoluten Häufigkeiten
Die Interpretation dieses Histogramms fällt leichter, wenn man die Rohdaten der Größe nach
sortiert.
> sort(Daten2$Einkommen)
[1] 1000 1500 1900 1900 2000 2000 2111 2111 2500 2700 2900 2900 3300
An der Abszisse sind die Klassengrenzen eingetragen, sie werden in vorliegendem Fall durch das
Programm selbsttätig erzeugt. An der Ordinate ist die absolute Häufigkeit der Beobachtungen
abgetragen, die in die Klasse fällt. Ist eine Ausprägung identisch gleich der Klassenobergrenze, so
wird sie der unteren Klasse zugeordnet. Beispielsweise fallen in das zweite Intervall die
Ausprägungen „1900, 1900, 2000, 2000“, weshalb an der Ordinate die absolute Häufigkeit „4“
abgetragen ist; die Ausprägung „1500“ ist der ersten Klasse zugeordnet.
C.3.2. Durchschnittliche Häufigkeitsdichte
C.3.2.a. Grundlagen
Aus den absoluten Häufigkeiten jeder Klasse lassen sich die relativen Klassenhäufigkeiten
berechnen, indem erstere durch die Anzahl an Beobachtungen, n, dividiert werden. Teilt man nun
die relative Klassehäufigkeit von Klasse j durch die zugehörige Klassebreite, so erhält man die
durchschnittliche Häufigkeitsdichte. Sie gibt an, mit welcher relativen Häufigkeit
Merkmalsausprägungen in dieser Klasse vorkommen.
34

Werden an der Abszisse die Klassenbreiten und der Ordinate die jeweilige durchschnittliche
Häufigkeitsdichte abgetragen, so erhalten wir eine Abbildung, die als Histogramm mit
durchschnittlicher Häufigkeitsdichte oder einfach als Histogramm bekannt ist. Durch diese
Darstellungsform wird kenntlich gemacht, wie viele Beobachtungen durchschnittlich in Klasse j zu
liegen kommen, die genaue Verteilung innerhalb der einzelnen Klassen ist nicht ersichtlich.
C.3.2.b. Beispiel
Die Anweisung
> hist(Daten2$Einkommen, plot=FALSE)
führt zu folgender Anzeige. In der zweiten Zeile sind die Klassengrenzen angegeben und in der
vierten Zeile die jeweiligen absoluten Klassenhäufigkeiten. Die Klassenbreiten sind über alle
Klassen hinweg identisch gleich 500, sie sind äquidistant. Division der absoluten
Klassenhäufigkeiten durch die Anzahl an Beobachtungen in Höhe von n=13 ergibt die relativen
Klassenhäufigkeiten, die hier nicht angegeben sind. Die durchschnittlichen Häufigkeitsdichten sind
nach der mit „$density“ gekennzeichneten Zeile abgetragen.
$breaks
[1] 1000 1500 2000 2500 3000 3500
$counts
[1] 2 4 3 3 1
$intensities
[1] 0.0003076922 0.0006153846 0.0004615385 0.0004615385 0.0001538462
$density
[1] 0.0003076922 0.0006153846 0.0004615385 0.0004615385 0.0001538462
$mids
[1] 1250 1750 2250 2750 3250
$xname
[1] "Daten2$Einkommen"
$equidist
[1] TRUE
attr(,"class")
[1] "histogram"
Zur Erzeugung des Histogramms mit durchschnittlicher Häufigkeitsdichte ist nachfolgender
Befehl nötig.
> hist(Daten2$Einkommen, main="Histogramm", xlab="Einkommen",
ylab="durchschnittliche Häufigkeitsdichte", freq=FALSE)
35

Abbildung 6: Histogramm mit durchschnittlicher Häufigkeitsdichte
An der Ordinate ist die durchschnittliche Häufigkeitsdichte der ersten Klasse mit 0,0003
angegeben, das heißt, die durchschnittliche relative Häufigkeit, mit der in dieser Klasse
Beobachtungen vorgefunden werden beträgt 2/13/500=2/13∗500 =0,0003076923≃0,0003 .
Um zu der relativen Häufigkeit an Beobachtungen in dieser Klasse zu gelangen, ist die
durchschnittliche Häufigkeitsdichte mit der zugehörigen Klassenbreite von fünfhundert (= 1500-
1000) malzunehmen. Mit anderen Worten gibt die Fläche die relative Häufigkeit der Besetzung
einer Klasse mit Beobachtungen an.
C.4. Kontingenztabelle
C.4.1. Gemeinsame Verteilung
C.4.1.a. Grundlagen
„Kleben“ an einer statistischen Einheit (bspw. einer Person) zwei Merkmale, so kann man die
gemeinsame Verteilung beider Variablen in einer Kontingenztabelle (gelegentlich auch
Korrelationstabelle genannt) darstellen. n ij soll die absolute Häufigkeit der
Merkmalskombination angeben, mit der Merkmal x Ausprägung x i und Merkmal y
Ausprägung y j aufweist. n 12 kennzeichnet dann beispielsweise die absolute Häufigkeit des
Auftretens der Kombination x 1 und y 2 . Eine vier mal drei Kontigenztabelle hat folgende
Gestalt.
y1 y2 y3
x1 n11 n12 n13
36

y1 y2 y3
x2 n21 n22 n23
x3 n31 n32 n33
x4 n41 n42 n43
Tabelle 5: Gemeinsame Verteilung dargestellt in einer Kontingenztabelle
In der waagerechten Tabellenüberschrift wird die Variable y mit den Ausprägungen y j und in der
senkrechten die Variable x mit Ausprägungungen x i abgetragen. Alternativ zu dieser
Darstellungsform können statt der absoluten Häufigkeiten die relativen Häufigkeiten genutzt
werden.
C.4.1.b. Beispiel
Mit den Rohdaten in Tabelle 4 kann anhand der Merkmale Geschlecht und Betriebsgröße eine
Kontingenztabelle erzeugt werden. In der ersten Zeile stehen die Merkmalsausprägungen des
Merkmals „Betriebsgröße“ und in der ersten Spalte die des Geschlechtes.
> table(Daten2$Geschlecht,Daten2$Betriebsgröße)
g k m
m 3 2 2
w 0 2 4
Zur Berechnung der Anzahl an Beobachtungen, n, führt:
> sum(table(Daten2$Geschlecht,Daten2$Betriebsgröße))
[1] 13
Division der obigen Kontingenztabelle durch die Anzahl an Beobachtungen, n, führt zu einer
Kontingenztabelle mit relativen Häufigkeiten.
>
table(Daten2$Geschlecht,Daten2$Betriebsgröße)/sum(table(Daten2$Geschlecht,Daten2$Betri
ebsgröße))
g k m
m 0.2307692 0.1538462 0.1538462
w 0.0000000 0.1538462 0.3076923
Die Summe aller relativen Häufigkeiten muß selbstverständlich wieder 1 ergeben.
>
sum(table(Daten2$Geschlecht,Daten2$Betriebsgröße)/sum(table(Daten2$Geschlecht,Daten2$
Betriebsgröße)))
[1] 1
C.4.2. Randverteilungen
C.4.2.a. Grundlagen
Summiert man in Tabelle 5 alle absoluten Häufigkeiten einer Zeile auf, so erhält man die
37

absolute Häufigkeit der Merkmalsausprägung x i • . Der Punkt in x i • deutet an, daß bei
gegebenem i über aller Ausprägungen des Merkmals y aufsummiert wird. Addition aller absoluten
Häufigkeiten der Spalte j ergibt die absolute Häufigkeit der Merkmalsausprägung y • j . Mit
anderen Worten steht in der letzten Spalte die absolute Häufigkeitsverteilung des Merkmals x und
in der untersten Zeile jene des Merkmals y. Sind in der Kontingenztabelle relative Häufigkeiten
abgetragen und errechnet man die Randverteilungen, so erhält man die relativen
Häufigkeitsverteilungen des Merkmals x bzw. y.
y1 y2 y3 Randverteilung
x1 n11 n12 n13 n1•
x2 n21 n22 n23 n2•
x3 n31 n32 n33 n3•
x4 n41 n42 n43 n4•
Randverteilung
Absolute
Häufigkeitsverteilung
y
n•1 n•2 n•3
Tabelle 6: Randverteilung dargestellt in einer Kontingenztabelle
Absolute
Häufigkeitsverteilung
x
In Kontingenztabelle 6 sind die absoluten Häufigkeiten abgetragen. Teilt man sie durch n, die
Anzahl aller Merkmalsausprägungen, so erhält man die relative gemeinsame Häufigkeitsverteilung,
bzw. die relativen Randverteilungen.
C.4.2.b. Beispiel
Durch folgende Zuordnung kann die Kontingenztabelle über „KT“ angesprochen werden.
> KT KT
g k m
m 3 2 2
w 0 2 4
Über
> KT[1,]
g k m
3 2 2
wird die erste Zeile angesprochen und der Befehl
> KT[2,]
g k m
38

0 2 4
spricht Zeile zwei an. Im Gegensatz zu der oben angeführten mathematischen Notation fehlt bei
„KT[2,]“ nach dem Komma der Punkt, doch die Interpretation ist ansonsten ähnlich: lese alle Daten
der Zeile zwei aus. Anwendung der Anweisung
> sum(KT[1,])
[1] 7
errechnet die absolute Häufigkeit der Merkmalsausprägung x 1 • und
> sum(KT[2,])
[1] 6
ergibt die absolute Häufigkeit des anderen Merkmals. Mit dem folgenden Befehl wird die erste
Spalte angesprochen und die Berechnung der absoluten Häufigkeiten von variable „Betriebsgröße“
erfolgt analog.
> KT[,1]
m w
3 0
> KT[,2]
m w
2 2
> KT[,3]
m w
2 4
> sum(KT[,1])
[1] 3
> sum(KT[,2])
[1] 4
> sum(KT[,3])
[1] 6
C.4.3. Bedingte Verteilung und statistische Unabhängigkeit
C.4.3.a. Grundlagen
Die bedingte absolute Häufigkeitsverteilung von x unter y1 läßt sich in Tablle 6 aus ersten Spalte
ablesen. Dividiert man sie durch n • 1 , so ergibt sich die bedingte relative Häuigkeitsverteilung:
n 11 /n • 1 , n 21 /n • 1 , n 31 /n • 1 , n 41 /n • 1 . Hält man also bei zweidimensionalen Variablen x
und y eine konstant (z.B. yi) und betrachtet die absolute Häufigkeiten der anderen Variablen x bei
gegebener Ausprägung yi, so heißt diese bedingte absolute Häufigkeitsverteilung von x unter yi.
Falls sich die gemeinsame Verteilung der Variablen x und y durch Multiplikation der
Randverteilungen, also
h i , j =h i • ∗h • j für alle i und j,
39

ergibt, so sagen wir, die Variablen x und y sind statistisch unabhängig. In diesem Fall sind alle
relativen bedingten Häufigkeiten von x wie auch y identisch und exakt gleich den jeweiligen
Randverteilungen.
C.4.3.b. Beispiel
Ausgehend von folgender Kontingenztabelle
g k m
m 3 2 2
w 0 2 4
ergibt sich als bedingte absolute Häufigkeitsverteilung des Geschlechts bei großen Firmen folgende
Verteilung: 3 männliche und keine weiblichen Beobachtungen. Die bedingte relative
Häufigkeitsverteilung des Geschlechts bei großen Firmen ist: männlich 1, weiblich 0.
C.5. Lorenz-Kurve
C.5.1. Grundlagen
Zur Konstruktion einer Lorenz-Kurve ist ein kardinales Merkmal nötig, das folgende
Bedingungen erfüllt:
a) ∀ i ∈ {1,2 ,3 , ... , i , ... , k } x i 0 und
b) 0 x 1 x 2 ⋯ x k .
Mit anderen Worten müssen die Merkmalsausprägungen größer oder gleich 0 und der Größe nach
angeordnet sein. Der Index „k“ ist kleiner oder gleich der Anzahl an Beobachtungen n: falls alle
Ausprägungen voneinander verschieden sind, so ist k=n, andernfalls gibt es mindestens zwei
identische Ausprägungen. Unter der Voraussetzung, daß diese Bedingungen erfüllt sind, kann die
absolute Häufigkeitsverteilung erstellt werden. Zwecks Vereinfachung der Darstellung wird davon
ausgegangen, daß k=4 ist.
Merkmalsausprägung
absolute
Häufigkeit
x1 x2 x3 x4
n1 n2 n3 n4
Tabelle 7: 1. Schritt zur Erstellung einer Lorenz-Kurve-absolute Häufigkeitsverteilung
Im zweiten Schritt wird die gesamte Merkmalsumme errechnet:
gesamte Merkmalssumme =S :=∑ i = 1
k
n i∗x i .
Drittens wird die absolute Häufigkeitsverteilung wie folgt verändert.
Kumulierter
Anteil an der
Merkmalssumme
Kumulierte
Häufigkeit
(n1* x1)/S (n1*
x2)/S
x1+n2*
(n1* x1+n2* x2+n3*
x3)/S
(n1* x1+n2* x2+n3* x3+n4*
x4)/S
n1/n (n1+n2)/n (n1+n2+n3)/n (n1+n2+n3+n4)/n
Tabelle 8: 2. Schritt zur Erstellung einer Lorenz-Kurve
40

Der erste Eintrag dieser Tabelle ist folgendermaßen zu interpretieren. Auf n1/n der Population
entfällt (n1* x1)/S des interessierenden Merkmals. Aufgrund dieser Tabelle läßt sich die Lorenz-
Kurve erstellen, indem auf der Abszisse die kumulierte Häufigkeit und der Ordinate der kumulierte
Anteil der Merkmalssumme abgetragen wird. Definitionsmenge und Wertebereich der Lorenz-
Kurve sind deshalb identisch gleich dem Intervall [0,1]. Die Lorenz-Kurve besteht aus dem
Streckenzug, der sich durch Verbindung der Punkte (0,0) und den Werten der Tabelle 8 ergeben.
C.5.2. Beispiel
Lade das Paket „ineq“, um die nötigen Befehle verfügbar zu machen. Die Anweisung
> a a
1000 1500 1900 2000 2111 2500 2700 2900 3300
1 1 2 2 2 1 1 2 1
führt zur Erstellung der absoluten Häufigkeitsverteilung. Der Befehl „Lc“ dient zur Erstellung der
Lorenz-Kurve, wobei als erstes Argument die Merkmalsausprägungen als Spaltenvektor, c(1000,
1500, 1900, 2000, 2111, 2500, 2700, 2900, 3300), und dann der Spaltenvektor mit den zugehörigen
absoluten Häufigkeiten, c( 1,1,2,2,2,1,1,2,1), angegeben werden muß.
> Lorenz Lorenz
$p
[1] 0.00000000 0.07692308 0.15384615 0.30769231 0.46153846 0.61538462 0.69230769 0.76923077 0.92307692
1.00000000
$L
[1] 0.00000000 0.03469572 0.08673930 0.21858303 0.35736590 0.50385122 0.59059052 0.68426896 0.88550413
1.00000000
$L.general
[1] 0.0000 111.1111 277.7778 700.0000 1144.4444 1613.5556 1891.3333 2191.3333 2835.7778 3202.4444
attr(,"class")
[1] "Lc"
41

Abbildung 7: Lorenz-Kurve
Die Korrektheit der Berechnungen können durch folgende Eingaben überprüft werden.
> Summe Summe
[1] 28822
Die erste Merkmalsausprägung ist 1000, Division durch die gesamte Merkmalssumme ergibt:
> 1000/Summe
[1] 0.03469572
Dieselbe Rechnung analog für die ersten beiden Merkmalsausprägungen durchgeführt macht:
> 2500/Summe
[1] 0.0867393
Der Anteil der ersten Merkmalsausprägungen an allen Merkmalen ist
> 1/13
[1] 0.07692308
und der der ersten beiden Merkmalsausprägungen
> 2/13
[1] 0.1538462
Die restlichen Berechnungen sollten Sie zur Übung analog durchführen.
42

C.5.3. Maßzahlen
C.5.3.a. Gini-Koeffizient
Die Lorenz-Kurve vermittelt einen visuellen Eindruck von der Konzentration der
Merkmalsausprägungen in einer Population. Um Konzentrationen verschiedener Populationen
miteinander vergleichen zu können, wäre eine Maßzahl nützlich, die nur Werte innerhalb eines
vorher bestimmten Bereiches annehmen kann, also normiert ist. Der Gini-Koeffizient ist eine
solche Größe, mit der Konzentrationen in verschiedenen Grundgesamtheiten miteinander
verglichen werden können.
Er ist definiert als
Konzentrationsfläche
Gini :=
Fläche zwischen Diagonalenund Abszisse
= Konzentrationsfläche
1
2
Die Konzentrationsfläche ist gleich der Fläche zwischen Diagnoale und Lorenz-Kurve. Ist die
Lorenz-Kurve identisch mit der Diagonalen, so ist der Gini gleich Null: es gibt keine
Konzentration.
C.5.3.b. Beispiel
Die Berechnung des Gini mit „Daten2“ und Merkmal „Einkommen“ kann mit den Rohdaten
erfolgen, eine Sortierung nach der Größe ist in 'R' nicht nötig.
> Gini(Daten2$Einkommen)
[1] 0.1511185
> Gini(sort(Daten2$Einkommen))
[1] 0.1511185
Die Situation bei Konzentration aller Merkmalsausprägungen auf eine statistische Einheit wird
durch folgendes Beispiel illustriert. Es gibt insgesamt 5 Personen, allerdings verdienen 4 gar nichts
und eine 3300 Euro. Damit erhält man folgende Definitionsmenge und Wertebereich:
> Lorenz Lorenz
$p
[1] 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
$L
[1] 0 0 0 0 0 1
$L.general
[1] 0 0 0 0 0 660
attr(,"class")
[1] "Lc"$p
Die untere Graphik zeigt, daß bei Konzentration auf ein Merkmal, nicht die gesamte Fläche
unterhalb der Diagonalen (= Seitenlänge∗Seitenlänge
2
43
= 1∗1
=1/ 2 ) , sondern nur aus
2
.

1 1
−
2 2∗5
oder allgemein 1 1 −1
− =n
2 2∗n 2∗n
zusammensetzt. Man beachte dabei, daß der
Flächeninhalt des kleinen Dreiecks sich errechnet über (Seitenlänge mal Seitenlänge)/2, also
1∗1/5
=
2
1
2∗5 .
> Lorenz Gini(c(0,0,0,0, 3300))
[1] 0.8
∗
1
2
n−1
n
=Gini∗ n
n−1 .
und hieraus errechnet sich mit n=5 der Gininormiert als
> 0.8*5/4
[1] 1
44

C.6. Kontrollfragen
1. Wodurch unterscheiden sich deskriptive und schließende Statistik?
2. Wovon hängt es ab, ob die deskriptive oder schließend Statistik zu Anwendung kommt?
3. Was versteht man unter Vollerhebung, was unter Teilerhebung, was unter Stichprobe?
4. Was versteht man unter einer statistischen Einheit?
5. Bei welchen Daten nutzt man die empirische Varianz?
6. Wie errechnen Sie die empirische Varianz
1. bei Rohdaten,
2. bei Vorliegen einer absoluten Häufigkeitsverteilung und wie
3. bei einer relativen Häufigkeitsverteilung?
7. Wie ist die korrigierte Stichprobenvarianz definiert?
8. Wie können Sie die empirische Varianz aus der korrigierten Stichprobenvarianz berechnen?
9. Was versteht man unter einem Quantil?
10.Gegeben sei folgende Auswertung:
0% 25% 50% 75% 100%
1000 1900 2111 2700 3300
Geben Sie den Median sowie das untere und obere Quartil an.
11.Wie ist eine Verteilungsfunktion definiert?
12.Welcher Eigenschaften hat eine Verteilungsfunktion?
13.Was versteht man unter einer Kontingenztabelle?
14.Geben Sie beispielhaft eine 2X2-Kontingenztabelle an und interpretieren Sie sie.
15.Wie erhalten Sie aus einer Kontingenztabelle die zugehörigen Randverteilungen?
16.Interpretieren Sie einen Punkt auf einer Lorenz-Kurve.
17.Was versteht man unter dem Gini- und was unter dem normierten Gini-Koeffizienten?
45

C.7. Aufgaben
1. Zeige, daß die Summe aller relativen Häufigkeiten immer gleich 1 sein muß.
2. Geben Sie Beispiele an, bei denen die deskriptive Statistik relevant ist, und begründen Sie Ihre
Entscheidung. v
3. Was ist der Unterschied zwischen der empirischen Varianz und der Stichprobenvarianz? vi
4. In einem Warenhaus wurden von der ersten Person 20 Taschentücher, der zweiten 20, der dritten
30 und der vierten 40 Taschentücher gekauft. vii
1. Berechnen Sie mit 'R' die absolute Häufigkeitsverteilung,
2. die relative Häufigkeitsverteilung,
3. die 25%-, 50%- und 75%-Quantile und
4. stellen Sie die Verteilungsfunktion graphisch dar.
5. Erläutern Sie, warum 20 ein 25 Prozent Quantil, warum 25 der Median und 32,5 das obere
Quartil ist.
5. Die erste Person gibt in einem Geschäft 20, die zweite 30 und die dritte 40 Euro aus. Bestimmen
Sie mit 'R' die 25%-, 50%- und 75%-Quantile und erläutern Sie das Ergebnis. viii
46

Stichwortverzeichnis
Ancienitätsprinzip 18
Bias 20
Deduktion 12
Einheit
statistische 43
Gini-Koeffizient 43
normiert 44
Grundgesamtheit 12
Häufigkeitsdichte
durchschnittliche 34
Häufigkeitsverteilung
relative gemeinsame 38
Histogramm 33
absolute Klassenhäufigkeit 33
Induktion 12
Konsistenz 19
Kontingenztabelle 36
Korrelationstabelle 36
Lorenz-Kurve 40
Median 30
Merkmal
kardinal 22
nominal 21
ordinal21
Mittel
bei absoluten Häufigkeiten
arithmetisches27
bei relativen Häufigkeiten
arithmetisches30
bei Rohdaten
arithmetisches19
Plausibilität 15
Plausibilitätsprüfung 18
Programmpaket 14
Quantil 30
Quartil
oberes 30
unteres30
Randverteilung 38
relative 38
Rohdaten 19
Statistik
multivariate 19
univariate 19
Stichprobenvarianz
korrigierte 20
Streuungsmaß 27
Teilerhebung 12
Unabhängigkeit
statistische 40
Urliste 19
Varianz
empirische 30
Grundgesamtheit
empirische 20
Stichprobe
empirische 20
Verteilung
bedingte 39
Verteilungsfunktion
empirische 31
Verzerrung
systematische 20
Vollerhebung 12
47

Literaturverzeichnis
Hinweis: Es gibt eine Vielzahl an Statistiklehrbüchern. Das Buch von Bamberg, Baur ist seit Jahren
ein Klassiker. Schira, ein neueres Werk, gibt einen fundierten Einstieg, in die Theorie, ohne zu
mathematisch daherzukommen. Zwerenz gibt einen Einstieg in die Auswertung mit Hilfe von Excel
und SPSS, beides kommerzielle Standardsoftware.
Bamberg, Günter, Baur, Franz, Statistik, Oldenbourg Verlag: München, Wien, 1984.
Schira, Josef, Statistische Methoden der VWL und BWL, Theorie und Praxis, Pearson Studium:
München, Boston, San Francisco, und andere Orte, 2005.
Zwerenz, Karlheinz, Statistik, Datenanalyse mit Excel und SPSS, Oldenbourg Verlag: München,
Wien, 2006.
49

i Berechnet wird die korrigierte Stichprobenvarianz. Sie dient, bei Vorliegen von Daten aus einer Stichprobe mit
Zurücklegen, zur Schätzung der Streuung in der Grundgesamtheit. Bei Plausibilitätsprüfungen wäre die
empirische Varianz (Stichprobenvarianz) und nicht die korrigierte zu berechnen. Denn die Plausibilitätsprüfung
erstreckt sich auf die Daten in der (einfachen) Stichprobe.
ii Rohdaten. Wird als Datengrundlage die absolute Häufigkeitsverteilung verwendet so wäre
Var x=
2 = 2
1
:=
X
k
n−1 ∑ i =0
n i xi −x 2 bzw. s 2 2 1
=s X :=
n ∑ k
n i x i−x i = 1
2 zu verwenden.
iii c(1,2,3,4)
iv Der Befehl > plot(c(500, Eink, 3500), c(0,edf(Eink),1),xlab = "Einkommen", ylab = "H(Einkommen)",type="p")
zeigt die Sprungstellen an, bei denen H(x) rechtsseitig stetig ist.
v Mögliche Antworten: Ausstehende Zahlungen
vi Die empirische Varianz wird zur Beschreibung der Streuung in der Grundgesamtheit. Liegen Daten einer
Stichprobe vor, so dient sie zur Beschreibung der Streuung in der Sichprobe. In diesem Fall heißt die empirische
Varianz auch Stichprobenvarianz. Die korrigierte Stichprobenvarianz dient zur Schätzung der Varianz in der
Grundgesamtheit mit Hilfe von Stichprobendaten.
vii Die Dateneingabe kann über
> b table(b)
b
20 30 40
2 1 1
Relative Häufigkeitsverteilung
> table(b)/sum(table(b))
b
20 30 40
0.50 0.25 0.25
Die Quantile erhält man über
> quantile(b)
0% 25% 50% 75% 100%
20.0 20.0 25.0 32.5 40.0
Die Verteilungsfunktion erhält man über
> plot(c(0,b,50),c(0, edf(b),1),type="s")
Die Ausprägung 20 ist ein unteres Quartil, weil es insgesamt 4 Beobachtungen gibt: 20, 20, 30, 40. Zwischen den
ersten beiden Ausprägungen liegt das 25%-Quantil (=Quartil), zwischen der zweiten und dritten Ausprägung liegt
der Median. Er ist nicht eindeutig, nimmt das Programm die Mitte zwischen der zweiten Ausprägung (=20) und
der dritten (= 30), also 25. Zwischen 30 und 40 ist das obere Quartil (=75%-Quantil), es ist ebenfalls nicht
eindeutig bestimmt. 'R' nimmt das arithmetische Mittel zwischen dem Median und dem oberen Wert (=40), wie
man leicht nachrechnen kann:
> (25+40)/2
[1] 32.5
viii Dateneingabe
> a quantile(a)
0% 25% 50% 75% 100%
20 25 30 35 40
Der Median ist eindeutig bei Beobachtung 30. Unterhalb von 20 und oberhalb von 40 sind keine Ausprägungen und
das untere und obere Quartil sind nicht eindeutig. Aus diesem Grund nimmt 'R' das arithmetische Mittel von
Median und dem Wert 20 bzw. dem Wert 40, wodurch sich die Quartile, unteres 25 und oberes mit 35, erklären.