Elektrischer Strom

5 – Elektrische Ströme und elektrischer Widerstand
Wir beginnen nach den Themen der Elektrostatik nun, uns mit bewegten Ladungen zu
befassen. Dazu betrachten wir zunächst das Phänomen des elektrischen Stromes auf der
makroskopischen Skala. Später befassen wir uns auch mit den mikroskopischen Vorgängen
des Flusses von Elektronen in einem Draht.
MnO 2 (+) Zink­
Elektrode(­)
Elektrolyt
Braunstein: MnO 2
5.1 – Batterie
Die Entdeckung der Batterie durch Luigi Galvani (1737­1798) hat
mehr mit Anatomie als mit Elektrochemie oder Physik zu tun.
Galvani stellte fest, dass Muskelkontraktion (in einem Froschbein)
induziert werden konnten, wenn zwei Elektroden aus
verschiedenen Metallen in das Gewebe gesteckt wurden. Dieses
von Galvani “tierische Elektrizität” genannte Phänomen ist
tatsächlich eine elektrochemische Reaktion. Wir betrachten dies
am Beispiel der heute üblichen Zink­Mangan­Batterie:
Das Elektrolyt (in der Regel 20%iges Ammoniumchlorid) bringt die
Zink­Elektrode langsam in Lösung. Dies geschieht in der Form von
Zn 2+ ­Ionen. Zwei Elektronen bleiben zurück und die Zink­Elektrode
lädt sich langsam negativ auf. Das Elektrolyt hingegen lädt sich
langsam positiv auf.

Das positive Elektrolyt zieht nun Elektronen aus der Braunstein­Elektrode ab. Diese lädt sich
positiv auf. Es entwickelt sich also eine Potentialdifferenz zwischen den Elektroden.
Solange die Zelle nicht mit einem Verbraucher verbunden ist, geht sehr wenig Zink in
Lösung. Es stellt sich eine von der Elektrodenkombination abhängige Leerlaufspannung
ein (hier ca. 1.5 V). Beim Anschluss eines Verbrauchers, d.h. beim Schließen des
Stromkreises, fließen Elektronen von der Zink­ zur Braunsteinelektrode. Die Zink­Elektrode
geht verstärkt in Lösung und nach einiger Zeit ist die Batterie verbraucht.
Diese Redoxreaktion in der Übersicht:
2Mn 4+ 2e ­ 2Mn 3+
Zn Zn 2+ 2e ­
Galvanische Zellen gibt es auch noch mit anderen
Materialkombinationen. Die Leerlaufspannung einer Batterie
mit gegebenen Elektrodenmaterialien ermittelt man jeweils
aus der elektrochemischen Spannungsreihe, worauf wir
nicht weiter eingehen.
Die Verwendung von Zink­Mangan­ oder Zink­Kohle­Zellen hat vor allem ökonomische
Gründe: Die Grundstoffe kommen in der Natur in großer Menge vor.

5.2 – Elektrischer Strom
Jeder Form von elektrischem Ladungsfluss bezeichnet man als elektrischen Strom I.
Für den Stromfluss durch einen Draht meint der elektrische Strom die pro Zeiteinheit dt
durch den vollen Drahtquerschnitt fließende Ladungsmenge dQ:
I= dQ
dt
Der elektrische Strom wird nach dem französischen Physiker André Ampère (1775­1836) in
Ampere (A) gemessen: 1 A =1 C/s.
Gibt es nur einen Strompfad, d.h. keine Verzweigung, so fließt an jedem Punkt des Pfades
zu jeder Zeit der gleiche Strom. Dies ist eine direkte Folge der Ladungserhaltung.
Beim Stromfluss durch einen Draht zwischen den Polen einer Batterie fließen Elektronen
von der Kathode (bspw. Zink­Elektrode) zur Anode (bspw. Kohle­Elektrode). Bei der
Festlegung Konvention zur positiven und negativen Ladung vor rund 200 Jahren wurde noch
angenommen, dass in einem Metalldraht die positiven Ladungsträger den Strom tragen. Die
sogenannte technische Stromrichtung, die bei der Behandlung von Leiterkreisen
verwendet wird, ist also der physikalischen Stromrichtung der Elektronen gerade
entgegengerichtet. Der technische Strom ist aber betragsmäßig dem physikalischen Strom
völlig äquivalent.

5.3 – Ohmsches Gesetz
Georg Simon Ohm (1787­1854) entdeckte, dass der Strom in einem Metalldraht dem
Potentialdifferenz zwischen den Drahtenden proportional ist:
I ∝V
Die Stärke des Stromes wird nicht nur durch die Potentialdifferenz sondern auch durch den
elektrischen Widerstand R, den der Draht dem Stromfluss entgegensetzt, bestimmt. Meist
schreibt man dies als:
V =R I
Dies ist das Ohmsche Gesetz für den Fall, dass R nicht von der Spannung abhängt, was für
Metalle erfüllt ist, nicht aber für Halbleiterdioden, Transistoren, Vakuumröhren etc.
Die Einheit des elektrischen Widerstands ist das Ohm (): 1 = 1 V/A.
Typische Widerstandswerte in elektrischen Schaltungen reichen von ca. 0.1 bis einige
M.
Das Schaltsymbol des elektrischen Widerstands ist:
oder

Ein Farbcode auf den Widerständen kennzeichnet ihren Wert:
1. Stelle
2. Stelle
Multiplikator
Toleranz
Farbcode­Tabelle:
Farbe Ziffer Multiplikator Toleranz
Schwarz 0 10 0
Braun 1 10 1
Red 2 10 2
Orange 3 10 3
Gelb 4 10 4
Grün 5 10 5
Blau 6 10 6
Violett 7 10 7
Grau 8 10 8
Weiss 9 10 9
Gold 10 ­1 5 %
Silber 10 ­2 10 %
Keine Farbe 20%

5.4 – Elektrischer Widerstand
Experimentell findet man, dass der Widerstand R eines Drahtes in der folgenden Weise von
der Drahtgeometrie abhängt:
R= l
A
Dabei bezeichnet l die Drahtlänge und A seinen Querschnitt.
ist eine materialspezifische Größe und heisst spezifischer Widerstand. Ihre Einheit ist
das Ohm­meter (m).
Der spezifische Widerstand hängt von der Reinheit des Metalldrahtes, seiner
Gefügestruktur# und auch von seiner Temperatur ab.
Der Kehrwert des spezifischen Widerstandes ist der spezifische Leitwert :
= 1
hat die Einheit (m) ­1 . Der Kehrwert des Widerstandes ist der Leitwert und hat die Einheit
Siemens (S): 1 S = 1 ­1 .
#) Gefügestruktur meint die Art und Dichte der Kristallite im Draht.

Hörsaal­Übung: Eine Lautsprecherbox soll einen Verstärker angeschlossen werden
mit einem 20 m langen Kabel. Das Kabel soll maximal 0.1 Widerstand haben und aus
Kupfer bestehen. Welchen Durchmesser muss es mindestens haben? Welche Spannung
fällt dann über das Kabel ab?
Der spezifische Widerstand der meisten Materialien hängt von der Temperatur ab. Die
Ursachen dafür sind mehrere, aber ein Effekt spielt stets eine Rolle: Die thermische
Bewegung der Atome nimmt mit steigender Temperatur zu. An diesen schwingenden
Atomen werden die beweglichen Ladungsträger gestreut.
Für Metalle gilt über einen materialspezifischen aber recht weiten Temperaturbereich in
guter Näherung der folgende lineare Zusammenhang:
T= 0 1T −T 0
0 ist der spezifische Widerstand bei einer Referenztemperatur T 0 (bspw. 0 °C oder 20 °C).
ist der Temperaturkoeffizient des Widerstands. Für Metalle ist er (fast) immer positiv.
Der Temperaturkoeffizient von Halbleitern ist in der Regel negativ. Ursache dafür ist die Tatsache, dass in Halbleitern mit sinkender
Temperatur weniger freie Ladungsträger zur Verfügung stehen.

Übersicht spezifischer Widerstandswerte bei 20 °C:
Material (m) (°C ­1 )
Metalle
Silber 1.59∙10 ­8 0.0061
Kupfer 1.68∙10 ­8 0.0068
Gold 2.44∙10 ­8 0.0034
Aluminium 2.65∙10 ­8 0.0043
Wolfram 5.6∙10 ­8 0.0045
Eisen 9.71∙10 ­8 0.0065
Platin 10.6∙10 ­8 0.003927
Nickelchrom 100∙10 ­8 0.0004 (Fe­Ni­Cr­Legierung)
Halbleiter
Graphit (3­60)∙10 ­5 ­0.0005
Germanium (1­500)∙10 ­3 ­0.05
Silizium 0.1­60 ­0.07
Isolatoren
Glas 10 9 ­10 12
Hartgummi 10 13 ­10 15

Die Temperaturabhängigkeit des elektrischen Widerstands kann für die
Temperaturmessung eingesetzt werden. Oftmals wird dabei Platindraht verwendet
(korrosionsbeständigkeit, hoher Schmelzpunkt).
5.5 – Elektrische Leistung
Elektrische Energie besitzt den Vorteil der leichten Transformierbarkeit in andere
Energieformen, wie Wärme (Fön, Heizstrahler etc.) oder mechanische Energie (Motoren
etc.).
Die Umwandlung von elektrischer Energie in Wärme ­ bspw. bei einem stromdurchflossenen
Draht, der dabei bis zur Rotglut erhitzt wird ­ ist eine Folge des Verlustes an kinetischer
Energie, die die Elektronen im Draht bei Stößen mit den schwingenden Atomen erleiden.
Tatsächlich nehmen die Atome einen Teil der kinetischen Energie der Elektronen auf und
schwingen selbst nun heftiger. Dies äußert sich makroskopisch als Temperaturzunahme des
Materials.
Die durch das elektrische Geräte umgesetzte Leistung können wir ermitteln, wenn wir uns
erinnern, welche Energie umgesetzt wird, wenn sich eine Ladung dq durch eine
Potentialdifferenz V bewegt: dU = Vdq. Wir dafür die Zeit dt benötigt, so ist die umgesetzte
Leistung P = Vdq/dt. Nun ist dq/dt = I, so dass also gilt:
P=IV

Die Einheit der Leistung ist das Watt (W): 1 W = 1 J/s = 1 VA.
Die in einem Widerstand umgesetzte Leistung lässt sich auch alternativ schreiben:
P=IV =I IR =I 2 R
P=IV =V /R V =V 2 /R
Auf der Stromrechnung wird die verbrauchte Energie, nicht die Leistung, abgerechnet. Die dafür verwendete Einheit ist in der Regel die
Kilowattstunde (kWh).
Hörsaal­Übung: In einem typischen Gewitter­Blitz werden Energien von 1 GJ über
Potentialdifferenzen von 5∙10 7 V in ca. 200 ms transferiert. Welche Ladung wird dabei
transportiert und wie groß ist die mittlere umgesetzte Leistung während der 200 ms?
Hörsaal­Übung: Eine Hausfrau betreibt in ihrer Wohnung zeitgleich eine 100 W Lampe,
eine 1.8 kW Heizlüfter, eine 350 W Stereoanlage und einen 1.2 kW Fön. Verkraftet das
eine 10A­Sicherung?

5.6 – Wechselstrom
Die Verbindung der Pole einer Batterie mit einem Verbraucher führt zur Ausbildung eines
Gleichstromes (DC: direct current), d.h. der Strom fließt in einer Richtung. Ein
Wechselstrom (AC: alternating current) hingegen ändert die Richtung periodisch; meist in
harmonischer (“Sinus­Form”) Form. Technische Ströme sind meist Wechselströme und ihre
Erzeugung wird uns später noch beschäftigen. Vorab schon einige einfache
Zusammenhänge.
Ein Generator erzeugt eine sinusförmigen Wechselspannung:
V =V 0 sin2ft =V 0 sint
Die Spannung oszilliert zwischen den
Extremwerten V 0 und ­V 0 . In unserem
Stromnetz geschieht das mit 50 Hz, im
amerikanischen Netz mit 60 Hz.
In einem Widerstand R erzeugt diese
Wechselspannung einen Wechselstrom mit
dem Maximalwert I 0 = V 0 /R:
I=I 0 sint

Der mittlere Strom durch den Widerstand ist null. Dennoch wird im Widerstand elektrische
Leistung umgesetzt (so funktioniert schließlich ein Fön!), denn es gilt:
2 2
P t =I t V t =I 0Rsin
t
Im zeitlichen Mittel (gemittelt über eine Periodendauer T = 1/f) ergibt das für die Leistung:
P=∫ 0
T
2 2 1
I 0sin
t dt =
2 I 2
0R
Wir können die Leistung natürlich auch als P = V2 /R schreiben, so dass entsprechend auch
gilt:
P= 1
2
V 0
2 R
Wir führen nun die Effektivwerte für die Spannung und den Strom wie folgt ein:
V eff= V =V 0/2=0.707V 0
I eff= I =I 0/2=0.707I 0

Offensichtlich können wir dann die mittlere Leistung auch so schreiben:
2 2 P=V eff/R=I
effR=V
effI eff
Ein Gleichstrom der Stromstärke I eff erzeugt also dieselbe Leistung wie ein sinusförmiger
Wechselstrom mit Maximalwert I 0 . Analoges gilt für die Spannung. Deshalb wird in der Regel
auch der Effektivwert für Spannung und Strom angegeben.
Die Angabe von 240 V für den Haushaltsstrom in Europa bezieht sich also auf den Effektivwert. Der Maximalwert des Stromes ist
demnach 1.414∙240 V = 340 V.
5.7 – Mikroskopische Beschreibung des elektrischen Stromes
Der Stromfluss in Metallen wird von den Elektronen getragen, in Flüssigkeiten sind es die
Ionen. Wie sieht das im Detail aus?
Wenn zwischen den Enden eines Drahtes eine Spannung angelegt wird, so resultiert in
seinem Inneren ein elektrisches Feld parallel zur Drahtoberfläche. Das ist nicht im
Widerspruch zum Ergebnis E = 0 in Metallen im elektrostatischen Fall, denn wir betrachten
jetzt Ladungstransportprozesse.

Wir führen zunächst eine mikroskopische Größe ein, die uns diesen Ladungstransport
ortsabhängig beschreibt – die Stromdichte j
j = I
A
Sie bezeichnet den Strom, der senkrecht durch einen Drahtquerschnitt A an einer
gegebenen Stelle r fließt. Wir können diesen Ausdruck nach I auflösen und den allgemeinen
Fall zulassen, dass die Stromdichte mit dem Ort variiert. Wir erhalten dann:
I=∫ j⋅d A
Das Integral ist ein Flächenintegral und das Skalarprodukt sorgt dafür, dass nur die
Stromdichtebeiträge senkrecht zum Flächenelement dA zum Strom beitragen.
Die Richtung von j ist parallel zum elektrischen Feld, wenn die bewegte Ladung positiv ist.
Sie ist antiparallel zum elektrischen Feld, wenn die bewegte Ladung negativ ist.
Wir diskutieren hier hier nicht die Möglichkeit, dass Stromdichte und elektrisches Feld schiefwinklig zueinander sein können. Dies kann in
elektrisch anisotropen Kristallen entlang bestimmter Richtungen vorkommen. Die spezifische Leitfähigkeit und der spezifische Widerstand
sind nämlich eigentlich symmetrische Tensoren 2. Stufe und nicht einfach skalar.

Der Ladungstransport aufgrund eines elektrischen Feldes in einem Draht ist, mikroskopisch
betrachtet, eine Driftbewegung der Elektronen. Diese Drift ist der ungeordneten
Elektronenbewegung überlagert und stellt sich als stationäre Bewegung ein, sobald das
elektrische Feld eingeschaltet wird. Die Driftgeschwindigkeit v d ist in der Regel viel kleiner
als die momentanen Geschwindigkeiten der ungeordneten Bewegung.
Die ungeordnete Bewegung erfolgt mit der Fermi­Geschwindigkeit, welche typisch im Bereich von 0.5­1% der Lichtgeschwindigkeit liegt.
Wie hängen v d und der makroskopische Strom I zusammen?
v d
L = v d t
A
In der Zeit t werden die Elektronen im Mittel eine
Strecke L = v d t aufgrund ihrer Driftbewegung
zurücklegen. Bei einem Drahtquerschnitt mit Fläche A
werden also die Elektronen im Volumenelement V
V =A L=A v d t
transportiert. In diesem Volumenelement ist die Ladungsmenge Q = V vorhanden, wenn
die Ladungsdichte angibt. Es fließt also ein Strom I der Größe
I= Q
t
= V
t = A v d

Dieser Strom hat für Elektronen ein negatives Vorzeichen, denn dann ist die Ladungsdichte
mit der Anzahldichte n der Elektronen.
=−n e
Die Stromdichte können wir natürlich auch gleich angeben als j = I/A = v d bzw. in
vektorieller Form:
j =−n e
v d
Dieser Ausdruck gilt in allgemeiner Form für alle Arten des Ladungstransports, wenn wir für
n die Anzahldichte der Ladung einsetzen und für e die pro Ladungsträger transportierte
Ladung q. Geht es mehrere verschieden Typen von Ladungsträgern, wie bspw. in einer
wässrigen Salzlösung, so gilt ganz allgemein:
j =∑ i n i q i
Hörsaal­Übung: Durch einen Kupferdraht mit 3,2 mm Durchmesser fließt ein Strom von
5 A. Wie groß ist die Stromdichte im Draht? Welche Driftgeschwindigkeit haben die
Elektronen unter der Annahme, sie hätten die Masse von freien Elektronen und jedes Cu­
Atom stelle ein Elektron als Leitungselektron zur Verfügung?
v
i
d

Die Driftgeschwindigkeit ist also sehr gering. Das einzelne Elektron braucht viele Minuten
um ein Drahtstück von nur 10 cm Länge zu “durchdriften”.
Das hat allerdings nichts damit zu tun, wie schnell der Strom anfängt zu fließen, wenn man einen Lichtschalter betätigt. Das geht mit
nahezu Lichtgeschwindigkeit, denn die Leitung kann man sich als mit Elektronen gefüllte Röhre vorstellen. Bei Anlegen eines “Druckes”
(=Spannung) fließen nahezu instantan Elektronen aus der “Röhre” heraus.
Wir können auch das Ohmsche Gesetz mikroskopisch formulieren. Dazu verwenden wir
R= L
A
I=jA V =EL
Es folgt daraus aus dem Zusammenhang V = IR sofort
und damit vektoriell
L
E L= jA = j L j =E /= E
A
j = E = 1
Hörsaal­Übung: Welches elektrische Feld herrscht im Innern des Cu­Drahtes im letzten
Beispiel? Cu hat bei Raumtemperatur einen spezifischen Widerstand von 1,7 µcm.
Welches Feld herrscht im Vergleich dazu in einem Plattenkondensator, wie wir ihn in
der Vorlesung gesehen haben?
E

5.8 – Supraleitung
Bei sehr tiefen Temperaturen fällt der elektrische Widerstand vieler einfacher Metalle und
Legierungen auf unmessbar kleine Werte ab. Man nennt dieses Phänomen Supraleitung.
Entdeckt wurde es 1911 an Quecksilber (Hg) durch Heike Kammerling Onnes (1853­1926)
in Leiden. Supraleitung tritt unter einer für jedes supraleitende Material wohldefinierten
Temperatur ein, der sogenannten Sprungtemperatur T C . Im thermodynamischen Sinn ist
dies eine kritische Temperatur, d.h. eine Temperatur, die einen Phasenübergang 2.
Ordnung kennzeichnet. Supraleitung ist eine unter Metallen sehr häufig auftretende
Eigenschaft.

Mittlerweile ist mit der Klasse der sogenannten Hoch­T C ­Supraleiter (HTSL) auch der
Temperaturbereich, in dem Supraleitung beobachtet wird, erheblich erweitert worden. Die
höchsten Sprungtemperaturen erreicht man mit Verbindungen des Typs Hg­Ba­Cu­O
max (T = 133 K). Einer breiten Anwendung der HTSL stehen Probleme bei der Bearbeitung
C
dieser keramische Materialien entgegen. Dazu kommen Probleme aufgrund der
intrinsischen Eigenschaften der Supraleitungsphase selbst: diese ist sehr empfindlich gegen
Punktdefekte und thermische Fluktuationen.
Seit wenigen Jahren kennt man auch einen metallischen “HTSL”: MgB 2 . Diese einfache
Verbindung mit T C = 40 K ist schon seit über 50 Jahren bekannt; allerdings wurde ihre
Supraleitung erst kürzlich entdeckt. Als Metall lässt sich MgB 2 sehr viel besser bearbeiten.
Welcher Mechanismus verursacht die Supraleitung? ­ Bei nahezu allen Supraleitern ist dies
eine subtile anziehende Wechselwirkung, die sich zwischen Paaren von Leitungselektronen
in großem Abstand voneinander ausbildet, aufgrund einer Polarisation des Gitters der
positiven Ionenrümpfe. Dies ist die sogenannte Elektron­Phonon­Kopplung.
Seit 1999 gibt es auch ein Beispiel eines Supraleiters (UPd 2 Al 3 ), das mit ziemlicher
Sicherheit auf einen magnetischen Wechselwirkungsprozess zurückgeführt werden muss.
Die Suche nach weiteren Beispielen, vor allem auf Gebiet der HTSL, ist intensiv im Gange.

5.9 – Gefährdung durch “Stromschlag”
Die biologische “Wirksamkeit” eines Stromflusses durch den menschlichen Körper hängt von
mehreren Faktoren ab:
● Größe des Stromes
● Dauer des Stromflusses
● Körperteil, durch den der Strom fließt
Schließen wir zunächst einen Stromfluss direkt durchs Herz aus:
Fühlbar wird ein Strom, wenn er um die 1 mA groß ist. Einige wenige mA rufen schon
Schmerzen hervor, können aber eine gesunde Person nicht ernsthaft verletzen.
Ab ca. 10 mA kann der Strom einen Muskelkrampf auslösen. Ein Loslassen der
spannungsführende Teile ist dann schwierig oder unmöglich und es wird sehr gefährlich. Es
kann zur Lähmung des Atemsystems kommen; Herz­Lungen­Wiederbelebung kann hier
erfolgreich sein (nach Trennung von Stromnetz natürlich!).
Wenn Ströme über 70 mA durch den Körper fließen genügt der durchs Herz fließende Anteil,
um ein Vorhofflimmern auszulösen. Dauert dies länger an kommt es zum Herzstillstand.
Beenden lässt sich ein Vorhofflimmern nur schwer (bspw. mit einem Defibrillator).
Die Größe des Stromes wird vom Körperwiderstand und dem Übergangswiderstand in den
Körper bestimmt. Der effektive Widerstand zwischen zwei gegenüberliegende Punkten des
Körpers gemessen bei trockener Haut liegt bei 10­1000 k. Bei feuchter Haut kann das
unter 1 k fallen.

In unserem Stromnetz würde bei einer “gut geerdeten” Person mit einem derart geringen
Widerstand schon ein Strom von 240 mA fließen ( 240V/1000). Das ist fast immer tödlich.
Der Sinn der Erdung von elektrischen Geräten ist gerade, zu verhindern, dass im Falle einer
defekten Isolierung eines spannungsführenden Teiles ein großer Anteil des Stromes bei
Berührung über den Körper abfließen kann.
Abschließend noch ein Vergleich der Wirksamkeit von Gleich­ und Wechselströmen. Das
menschliche Körpergeweben hat kapazitive Anteile. Ein Ersatzschaltbild des Körpers ist
deshalb eine Parallelschaltung eines Widerstandes mit einem Kondensator. Der
Kondensator blockiert bei Gleichspannung, sobald er aufgeladen ist, einen möglichen
Strompfad. Nicht so bei Wechselspannung, wie wir später noch sehen werden.
Wechselströme sind deshalb vergleichsweise gefährlicher als Gleichströme.