Kondensator

Physik-Praktikum Prima Differentialgleichung und Modellbildung 1/3
! !
Differentialgleichung und Modellbildung am Beispiel des Kondensators
Einleitung
1 i In der Sekunda haben Sie in mindestens einem Praktikum,
z.B. anhand der Kondensator-Entladung oder bei
einer Messung mit Hilfe einer Lichtschrank, den Umgang
mit LoggerPro gelernt und die Darstellung der Messdaten
in Excel geübt.
In diesem Praktikum nun analysieren Sie den Vorgang
mit Hilfe der Kenntnisse, die Sie zwischenzeitlich in der
Elektrizitätslehre und in Anwendungen der Mathematik
gelernt haben.
Zuerst untersuchen und modellieren Sie mit der nebenan
aufgezeichneten Schaltung den Entladeprozess eines
Kondensators gemäss Anleitung. Im zweiten Schritt
wenden Sie die Verfahren auf den Aufladevorgang und
die Entladung über eine Spule, sowie weitere Schaltungen
an.
Kondensator entladen: Ein mathematisches Modell
2 i Das mathematische Modell ist eine Differentialgleichung.
Für den Entladevorgang wird dieses Modell nun
aufgebaut.
! !
Die Ladung des Kondenstors beträgt
! ! ! Q = C $ UC
Zur Zeit t = 0 beträgt die Spannung über dem Kondensator
! ! ! U(t = 0) = Uo
Für die Spannung über dem Widerstand gilt:
! ! ! UR = R $ I
Die Definition der Stromstärke geben wir neu wie folgt
an:
! ! !
DQ dQ
I = lim =
Dt" 0 Dt dt
= Qo
Die Spannung über dem Widerstand und die Spannung
über dem Kondensator müssen zusammen den Wert 0
ergeben (wissen Sie warum?):
! ! ! UC + UR = 0
! ! !
Q
C
= - R $ I = - R $ Qo
Damit haben wir nun das mathematische Modell des
Vorganges fertig aufgebaut: Es wird beschrieben durch
eine Differentialgleichung, eine Anfangsbedingung und
die Konstanten Uo, C und R (siehe Kasten).
Material
1 Computer mit den Programmen
LoggerPro
Excel
Vensim PLE
1 Interface LabPro
2 Spannungs-Sensoren
1 Sortiment Kabel
1 Umschalter
(Elektrolyt-) Kondensatoren
Widerstände
diverse Spulen mit Eisenkernen
U = 5 V
©mwey, 26.03.2012 www.mwey--physik.ch
R S
C
o
Q = - RC 1 $ Q
Q(t = 0) = Qo = C $ U0
R

Physik-Praktikum Prima Differentialgleichung und Modellbildung 2/3
! !
Kondensator entladen: Die Lösungen
3 Dieses mathematische Modell für den Entladungsprozess
können Sie nun auf drei verschiedene Arten untersuchen:
a) Lösen Sie die Differentialgleichung formal exakt. Sie
erhalten so eine geschlossene Lösungsformel.
b) Berechnen Sie die Lösung auch numerisch nach einem
Verfahren, das Sie aus der AM kennen. Für das numerische
Verfahren schreiben Sie die Diff.-Gleichung um in:
! ! !
DQ 1
. -
Dt RC
$ Q
c) Erfassen Sie die Messdaten des realen Systems.
4 ? Stellen Sie in einer Excel-Tabelle die nach 3 a) und b)
berechneten und nach c) die gemessenen Werte in einem
Diagramm dar.
Kondensator entladen: Modellierung mit Vensim
5 Nun werden Sie mit einer weiteren Möglichkeit der Modellierung
vertraut gemacht, nämlich mit einem Programm
zur Konstruktion von Differentialgleichungssystemen
in einer grafischen Oberfläche. Sie erhalten eine
Einführung in das Programm und versuchen anschliessend
selber, mit diesem Programm das Modell für die
Konensatorentladung aufzubauen. Es könnte am Ende
etwa wie folgt aussehen.
! !
Die graphische Darstellung wird automatisch in ein System
von Gleichungen (siehe rechts) übersetzt, welches
wahlweise nach dem Verfahren von Euler oder Runge-
Kutta vom Programm numerisch gelöst wird.
Exportieren Sie das Resultat Ihrer Simulation in ein
Textfile, welches Sie anschliessend ebenfalls in die Exceltabelle
importieren. Fügen Sie diese neue Wertereihe
als vierte in die bereits aufgebaute Graphik ein.
Das Programm Vensim PLE kann gratis vom
Internet herunter geladen werden unter der
Adresse:
www.vensim.com/freedownload.html
©mwey, 26.03.2012 www.mwey--physik.ch

Physik-Praktikum Prima Differentialgleichung und Modellbildung 3/3
! !
Kondensator aufladen
6 Nun sollen Sie auf die gleiche Art und Weise wie in 2 bis
5 den Aufladeprozess über den Widerstand RS studieren.
a) Erfassen Sie die Messdaten des realen Systems.
b) Konstruieren Sie die Differenzialgleichung. Beachten
Sie dabei: Die Spannung U0 ist gleich der Summe der
Teilspannungen über dem Widerstand und über dem
Kondensator; die Anfangsbedingung soll lauten
! ! ! Q(t = 0) = Q0 = 0.
c) Lösen Sie die Diff.-Gleichung formal auf und auch mit
einem numerischen Verfahren.
d) Konstruieren Sie ein Modell mit Vensim.
e) Vergleichen Sie in einer Excelgrafik die formale und die
numerische Lösung mit den Ergebnissen der Simulation
in Vensim und der realen Messung.
Kombination mit Spule oder anderen Kondensatoren (so die Zeit reicht)
7 "Ersetzen Sie in der Schaltung den Widerstand R durch
eine Spule (Induktivität L und Widerstand RL). Untersuchen
Sie zuerst den Entladeprozess experimentell.
Achtung: Der entscheidende Prozess läuft sehr schnell
ab. Das bedeutet, dass Sie den Abschaltvorgang mit
hoher Zeitauflösung untersuchen müssen.
Suchen Sie nach dem Verständnis der physikalischen
Vorgänge! Die Benützung von Büchern ist erlaubt, resp.
unumgänglich. Wenn es Ihnen gelingt, den Vorgang so
zu modellieren, dass die Simulation die korrekten
Messergebnisse reproduziert, so können Sie davon
ausgehen, dass Sie das Phänomen verstehen.
8 "Nun lassen sich die Studien auf mehrere (zuerst zwei)
zusammen geschaltete Kondensatoren ausdehnen ...
Bericht
9 i Sie arbeiten während zwei Doppelstunden an diesen
Analysen.
Als Bericht geben Sie schliesslich ein vorbildlich gestaltetes
Text- oder Tabellenkalkulations-Dokument ab, welches
die vollständigen Lösungen zur Aufgabe 6 und die
Messung und die teilweisen oder vollständigen Lösungen
zur Aufgaben 7 (und evtl. 8) enthält. Die Berichte
dokumentieren zu jeder Fragestellung die Differentialgleichungen,
die formalen und numerischen (Excel)
Lösungen, die Vensim-Modelle und natürlich die konkreten
Messdaten. In einer Grafik sollten die Messwerte
direkt mit den formalen Lösungen und der Vensim-Lösung
verglichen werden können.
Abgabetermin
©mwey, 26.03.2012 www.mwey--physik.ch