Serie 3: Konvergente geometrische Reihen

FOLGEN UND REIHEN
Serie 3: Konvergente geometrische Reihen
1. Einstiegsaufgaben zu unendlichen GR s = a1
1−q
(a) Ermitteln Sie den Wert folgender unendlicher GR:
i. 1+ 1 1
+ +...
4 16
3 9
ii. 5+ + +...
2 20
3 3
iii. 3− +
2 4 −...
iv. 1− 2 4
+
3 9 −... v. 2+√2+1+... vi. 8−4 √ 3+6−...
1
Tipp zu v. und vi.:
a+ √ 1 =
b a+ √ b · a−√b a− √ b = a−√b a2−b (b) Eine unendliche GR besitzt den Wert s = 5 und der Verkleinerungsfaktor beträgt q = 1
2 .
Wie lautet das erste Glied?
(c) Bei einer anderen unendlichen GR sei a1 = 1 und s = 10. Wie lautet der Faktor q?
(d) Bei einer dritten unendlichen GR sei s = 32 und q = 5
8 . Wie lautet hier das 10. Glied?
(e) Bei einer weiteren unendlichen GR sei s = 4a1. Wie lautet der Faktor q?
2. Periodische Dezimalbrüche und unendliche GR
(a) Jeder Bruch a
b mit a,b ∈ Z lässt sich in einen Dezimalbruch umwandeln. Entsteht dabei
ein nicht abbrechender Dezimalbruch, so besitzt dieser stets eine Periodizität:
7
= 1.166666... = 1.16 oder
6
12
7
= 1.714285714285... = 1.714285
Wandeln Sie die folgenden Brüche gleichermassen in Dezimalbrüche um (ohne TR!):
7
4 =
31
3 =
5
9 =
7
11 =
Vom Bruch zum Dezimalbruch muss also lediglich dividiert werden (“Stöcklirechnen”).
(b) Die Umwandlung endlicher Dezimalbrüche in einen Bruch ist ähnlich rasch erledigt:
2.375 = 2375
1000
Kürzen!
= 19
8
oder 0.0262 = 262
10000
Kürzen!
=
3.125 = 0.444 = 0.37 = 1.128 =
131
5000
(c) Und wie steht es um die Umwandlung unendlicher, aber periodischer Dezimalbrüche in
einen Bruch? Mittels einer GR kommen wir der Sache auf die Spur! Hier ein Beispiel:
0.13 = 0.131313... = 0.13+0.0013+0.000013+...
= 13 13
+
100
⇒ 0.13 = a1
1−q =
10000 +
13
100
1− 1
100
13
1000000 +... = GR mit a1 = 13
100
=
13
100
99
100
= 13
99
Bestimmen Sie analog die Bruchschreibweise folgender Dezimalbrüche:
und q = 1
100
i. 0.5 ii. 0.54 iii. 0.543 iv. 0.13 v. 2.54
vi. 2.054 vii. 2.754 viii. 0.257 ix. 0.481 x. 0.06731
1

3. Weiteres rein Rechnerisches
(a) Bei einer mit 1
7
10 beginnenden unendlichen GR ist die Summe um 20 kleiner als der Faktor
q. Wie gross ist q?
(b) Die Summe einer unendlichen GR beträgt 9, die Summe ihrer ersten beiden Glieder 5.
Wie heissen diese ersten beiden Glieder?
(c) Eine unendliche GR beginnt mit (x−3)+ 1
x−3 +... (x = 3).
i. Für welche Werte von x konvergiert die Reihe?
ii. Zeigen Sie, dass im Falle von Konvergenz für die Summe gilt: s = (x−3)3
(x−2)(x−4) .
iii. Für welchen Wert von x gilt, dass s = x+2?
4. Geometrisch Unendliches...
(a) Berechnen Siedie Länge der aus unendlich vielen Halbkreisen bestehenden Schlangenlinie
(vgl. unten links).
(b) A und B sind Seitenmittelpunkte eines Quadrates mit Seitenlänge s (vgl. oben rechts).
i. Bestimmen Sie die Länge der Zickzackstrecke A−A1 −A2 −A3 −...
ii. Vergleichen Sie die Länge dieser Zickzackstrecke mit Strecke AZ.
(c) Einem Quadrat mit 10cm Seitenlänge wird ein Kreis einbeschrieben, diesem ein Quadrat,
diesem wieder ein Kreis, usw.
Berechnen Sie einerseits die Summe aller Quadratumfänge, andererseits die Summe aller
Kreisflächen.
(d) Die Spiralstrecke P0−P1−P2−P3−... wird wie unten links gezeigt konstruiert. Dabei
bilden die aufeinander folgenden Spiralstrecken eine GF.
i. Bestimmen Sie die Länge der Spirale.
ii. Welche Koordinaten hat der Punkt im Spiralenzentrum?
(e) Im Quadrat mit der Seitenlänge s = 1 wird der Streckenzug A−A1−A2−A3−... mit
unendlich vielen Strecken eingezeichnet (siehe oben rechts).
i. Wie lang ist dieser Streckenzug?
ii. Wie gross ist der Flächeninhalt aller hervorgehobenen Dreiecke?
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