Grundwissen Klasse 9 (Algebra)

Grundwissen Klasse 9 (Algebra)
Wissen/ Können Beispiele
Menge der reellen Zahlen IR besteht aus der
Menge der rationalen Zahlen Q (endliche und
unendliche periodische Dezimalzahlen) und der
Menge der irrationalen Zahlen (unendliche, nicht
periodische Dezimalzahlen) diese sind nicht als
Bruch darstellbar, zu den irrationalen Zahlen
gehören auch Wurzeln, bei denen der Radikand
keine Quadratzahl ist.
1. Quadratwurzeln
a („Wurzel aus a“) ist diejenige nichtnegative
Zahl, deren Quadrat a ergibt: a .
a heißt Radikand. (a 0)
Rechnen mit Quadratwurzeln:
a a
a,
wenn a 0
a,
wenn a 0
2
a b a b mit a, b 0;
a 2
16 ....,
Z 4 Q
2 Q
, aber 2 IR
2 =1,4142136.......
25 5
9
25 ist nicht definiert!
Beachte: 0 0 !
2x 3
2x
3,
falls
2x3
2x
3,
falls
2
x 1,
5
x 1,
5
4 9 36 6 und 4 9 2 3 6
2 2 2
3 3
a : b
a
b
a
b
a : b mit a 0, b > 0
4 9 und 4 2
9 3
aber a b a b mit a, b 0 und
a b 0
4 9 13 Q und 4 9 2 3 5 Q
Teilweise radizieren:
Zerlege den Radikanden in ein Produkt, so dass
ein Faktor eine Quadratzahl wird, radiziere diesen
und stelle ihn vor die Wurzel.
45
5
a b
9 5 3 5
4
2
a ab
a ab
Unter die Wurzel ziehen:
Quadriere den Faktor außerhalb der Wurzel und 7 2 49 2 98 ,
stelle ihn unter die Wurzel.
7 2 49 2 98
Nenner rational machen:
Durch geschicktes Erweitern sollen keine Wurzeln
im Nenner stehen.
Wurzel im Nenner ist ein Faktor:
mit der selben Wurzel Erweitern!
Wurzel im Nenner ist Teil einer Summe/
Differenz:
Zur dritten binomischen Formel Erweitern!
a
a
2
2
2 a 1
1 a =.....
b c b c
a b c
a
d a d a a d a
5 2 3
2 3 2 3
2 3
10
5 5
2
3
43
5
3

2. n-te Wurzel n N a0
Ist die positive Lösung der Gleichung x n =a
Schreibweise als Potenz:
1
n
n n m
a = a bzw: a = a n
m
Rechnen mit Potenzen: mit m,n IR
a m ∙ a n = a m+n
a m : a n = a m-n
(a m ) n = a m∙n
a m ∙ b m = (a ∙ b) m merke: a -1 1
=
a
a m : b m = (a:b) m merke: a 0 = 1
2. Quadratische Gleichungen
Gleichungen der Form a x b x c 0
2
, a, b,
cIR und a 0 nennt man quadratische
Gleichungen. Ihre reellen Lösungen lauten:
x
1,
2
b b 4a
c
;
2a
Der Term 4 a c
D>0: zwei unterschiedliche Lösungen;
D=0: genau eine Lösung
D

werden:
Scheitelpunkt: S(xS; yS)
a heißt Öffnungswinkel und es gilt für
a>0: Parabel ist nach oben geöffnet;
a1: Parabel ist schmäler als die
Normalparabel;
a 0) und wo
unterhalb (