und Paschen-Back-Effekt - Aurandweb

Fortgeschrittenen Praktikum - Versuch E112
Zeeman- und Paschen-Back-Effekt
∗ aurand@uni-bonn.de
† a.zien@web.de
Bastian Aurand ∗ , Achim Zien †
Gruppe β4
1. März 2006
1

INHALTSVERZEICHNIS 2
Zusammenfassung
Ziel dieses Versuches ist die Beobachtung des Zeeman-Effektes anhand
von vier Cadmium-Linien und des Paschen-Back-Effektes beim Helium.
Dabei werden insbesondere auch die Polarisationen der Übergänge beobachtet.
Abschließend soll das Bohrsche Magneton µB und die spezifische
Elektronenladung e
bestimmt werden und eine Messung des Auflösungs-
m
vermögens der verwendeten Lummer-Gehrke-Platte durchgeführt werden.
Inhaltsverzeichnis
1 Theoretische Grundlagen 4
1.1 Quantenmechanische Störungstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Zeeman-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Paschen-Back-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Übergangsgebiet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5 Auswahlregeln und Polarisation der optischen Übergänge . . . . 5
1.6 Linienschwerpunkt und Clebsch-Gordon-Koeffizienten . . . . . 6
2 Auswirkungen auf die zu untersuchenden Spektren 7
2.1 Cadmium-Spektrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.1 5 1 D2 → 5 1 P1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.2 6 3 S1 → 5 3 P2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.3 6 3 S1 → 5 3 P1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.4 6 3 S1 → 5 3 P0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Helium-Spektrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3 Benötigte Instrumente 10
3.1 Lummer-Gehrke-Platte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.2 Fabry-Pérot-Interferometer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.3 Interferenzfilter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.4 λ/4-Plättchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.5 Hall-Sonde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4 Versuchsaufbau 13
4.1 Messung des Zeeman-Effektes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.2 Messung des Paschen-Back-Effektes . . . . . . . . . . . . . . . 13
5 Versuchsdurchführung & Auswertung 15
5.1 Zeeman-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
5.1.1 Aufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
5.1.2 Magnetfeldeichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
5.1.3 Bestimmung des Bohrschen Magnetons . . . . . . . . . . 16
5.1.4 Bestimmung des Auflösungsvermögens der Lummer-Gehrke-
Platte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5.2 Paschen-Back-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5.2.1 Aufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5.2.2 Magnetfeldeichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

INHALTSVERZEICHNIS 3
5.2.3 Beobachtung in longitudinaler Richtung . . . . . . . . . . 19
5.2.4 Beobachtung in transversaler Richtung . . . . . . . . . . . 20
. . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5.2.5 Bestimmung von µB und e
m

1 THEORETISCHE GRUNDLAGEN 4
1 Theoretische Grundlagen zum Zeeman- und
Paschen-Back-Effekt
1.1 Quantenmechanische Störungstheorie
In der stationären Störungstheorie betrachtet man die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung
H|n〉 = En|n〉. (1)
Der Hamilton-Operator besteht dabei aus den zwei Anteilen H0 + λV , mit
λ ∈ [0, 1]. Die Lösungen |n 0 〉 zu den Eigenwerten E 0 n seien dabei bekannt. Mit
dem Parameter λ können wir unsere Störung V hoch- und runterfahren.
Für den Fall einer kleinen Störung können wir Eigenwerte und -zustände
dann wie folgt entwickeln:
En = E 0 n + λE 1 n + λ 2 E 2 n + λ 3 E 3 n + . . .
|n〉 = |n 0 〉 + λ|n 1 〉 + λ 2 |n 2 〉 + λ 3 |n 3 〉 + . . .
Setzt man dies Entwicklungen in(1) ein und führt einen Koeffizientenvergleich
in Potenzen von λ durch, so erhält man Näherungslösungen der entsprechenden
Ordnung. Beim Zeeman- und Paschen-Back-Effekt betrachten wir die
Aufspaltung entarteter Zustände. Dort ist bei der Entwicklung eine besondere
Vorgehensweise notwendig, um Divisionen durch Null bei entarteten Zuständen
zu vermeiden.
1.2 Zeeman-Effekt
In schwachen Magnetfeldern tritt der Zeeman-Effekt auf. Hierfür muss der Beitrag
des Magnetfeldes zum Hamilton-Operator vernachlässigbar gegenüber der
Spin-Bahn-Kopplung sein, so daß wir nur diese Störungstheoretisch zu betrachten
brauchen. Bei der Spin-Bahn-Kopplung koppeln der Bahndrehimpulsvektor
und der Spinvektor zum Gesamtdrehimpuls
j = l + s .
Als neue Erhaltungsgrößen ergeben sich dann nicht mehr die Drehimpulskomponenten
l, ml, s und ms, sondern die Gesamtdrehimpulse j und mj. Der
Hamilton-Operator läst sich dann bezüglich dieser Größen diagonalisieren und
man erhält als Störungspotential
Vls =
µ0Ze 2
8πm 2 0 r3 l · s .
Dieses führt zur sogennanten Feinstrukturaufspaltung der Spektrallinien eines
Atoms im Magnetfeld. Dies führt dazu, daß der Vektor des Gesamtdrehimpulses
um den Magnetfeldvektor präzediert.
Die Aufspaltung der entarteten atomaren Niveaus durch den Zeeman-Effekt
lässt sich beschreiben durch
∆E = µbgjmjB .

1 THEORETISCHE GRUNDLAGEN 5
Dabei ist µB = ¯he
2me
das Bohrsche Magneton, B das Magnetfeld und
gj = 1 +
J(J + 1) − L(L + 1) − S(S + 1)
2J(J + 1)
der Landé-g-Faktor. Bei einem verschwindenden Gesamtspin spricht man aus
historischen Gründen vom normalen Zeeman-Effekt. Dann gilt S = 0 und
J = L und somit gj = 1. Diese Aufspaltung ist unabhängig von L und somit
für alle Niveaus äquidistant. Bei Gesamtspin S = 0 ist gj und damit auch
die Energieaufspaltung vom Bahndrehimpuls abhängig. Man spricht dann vom
anormalen Zeeman-Effekt.
Die Aufspaltung der Spektrallinien ergibt sich dann aus den Aufspaltungen
der beteiligten Zustände:
1.3 Paschen-Back-Effekt
h ∆ν = ∆E = (mj1gj1 − mj2gj2)µBB (2)
Der Paschen-Back-Effekt beschreibt die Phänomene, die auftreten, wenn man
atomare Spektren in starken Magnetfeldern untersucht. In diesem Fall können
wir die Spin-Bahn-Kopplung als vernachlässigbare Störung betrachten. Wir
können also wieder Störungstheorie anwenden. Die Vektoren l und s präzedieren
einzeln um die Richtung des Magnetfeldes. Das heißt, daß die z-Komponenten
ml und ms erhalten sind und der Hamilton-Operator bezüglich dieser Größen
diagonalisiert werden kann. Dabei ist
VB = µB(glL + gsS)B ,
mit gl = 1 und gs ≈ 2, 003, entsprechend der Aufspaltung der Linien. Die
Spektrallinien ergeben sich dementsprechend zu
h ∆ν = ∆E = (ml1 − ml2)µBB .
Da die Spin-Bahn-Kopplung linear von der Kernladungszahl abhängt, kann
der Paschen-Back-Effekt für kleine Kerne schon bei geringen Magnetfeldern
beobachtet werden. Aus diesem Grund verwenden wir für die Untersuchung
dieses Effektes Helium (Z = 2), während wir für die Untersuchung des Zeeman-
Effektes eine Cadmiumlampe (Z = 48) verwenden.
1.4 Übergangsgebiet
Das Übergangsgebiet ist ein Magnetfeld einer Stärke, bei der weder Spin-Bahn-
Kopplung, noch der Einfluss des Magnetfeldes vernachlässigbar sind, un somit
beide Potentiale als Störung behandelt werden müssen. Dieser Fall ist Störungstheoretisch
schwer zu behandeln und wird in unserem Versuch auch nicht experimentell
behandelt. Als Erhaltungsgröße findet man hier nur mges = ml + ms,
welches in den beiden oben behandelten Grenzfällen schon erhalten war.
1.5 Auswahlregeln und Polarisation der optischen Übergänge
Bei optischen Übergängen tritt nicht jede theoretisch denkbare Kombination
aus Anfangs- und Endzuständen des Atoms auch tatsächlich auf. Statt dessen

1 THEORETISCHE GRUNDLAGEN 6
Bezeichnung Polarisation Emission
mj → mj π parallel transversal
mj → mj − 1 σ − orthogonal transversal
mj → mj + 1 σ + orthogonal transversal
mj → mj − 1 σ − linkszirkular longitudinal
mj → mj + 1 σ + rechtszirkular longitudinal
Tabelle 1: Eigenschaften der Linien beim Zeeman- und Paschen-Back-Effekt
gibt es so genannte Auswahlregeln, nur für solche Übergänge erhält man nichtverschwindende
Elemente der Übergangsmatrix. Für den Drehimpuls und seine
z-Komponente müssen gelten:
• l → {l ± 1}
• mj → {mj, mj ± 1}
Hierbei transportiert das Photon die Drehimpulsdifferenz des Anfangs- und
Endzustandes ab, was in einer polarisationsrichtung resultiert. Die klassische
Betrachtung eines Hertzschen Dipols liefert hier das selbe Ergebnis. Die Bezeichnungen
und Eigenschaften der verschiedenen Übergänge finden sich in Tabelle
1.5.
Im longitudinalen Fall haben wir dabei die Beobachtung gegen die Feldrichtung
angenommen. Ändert man die Beobachtungsrichtung kontinuierlich von
transversal nach longitudinal, so stellt man fest, daß die π-Linie verschwindet,
während die σ ± -Linien allmählich eine elliptische Polarisation annehmen. Die
σ − -Linie ist dabei blauverschoben, d.h. energiereicher, während die σ + -Linie
rotverschoben ist.
1.6 Linienschwerpunkt und Clebsch-Gordon-Koeffizienten
Da die Aufspaltung der Spektrallinien bei diesen Effekten sehr gering ist, kann es
sein, daß die verwendeten Interferometrischen Instrumente diese nicht einzeln
auflösen können. Dann können wir aber immer noch den Linienschwerpunkt
bstimmen. Da verschiedene Linien verschieden stark ausgeprägt sind, muss man
hier ein gewichtetes Mittel bilden, welches durch die Verwendung der Clebsch-
Gordon-Koeffizienten Ckj1j2 qm1m2 charakterisiert ist. Gleichung (2) sieht dann wie
folgt aus:
∆E = 2 kj1j2 Cqm1m2 (mj1gj1 − mj2gj2)µBB
Übergänge

2 AUSWIRKUNGEN AUF DIE ZU UNTERSUCHENDEN SPEKTREN 7
2 Auswirkungen auf die zu untersuchenden Spektren
2.1 Cadmium-Spektrum
Wir untersuchen den Zeeman-Effekt an vier Linien des Cadmium-Spektrums.
Die Zustände werden in der Notation n 2s+1 LJ angegeben. Es folgt eine Beschreibung
der Aufspaltung der vier Linien.
2.1.1 5 1 D2 → 5 1 P1
Abbildung 1: 5 1 D2 → 5 1 P1-Übergang des Cadmium
Dieser entartete Übergang entspricht einer roten Linie bei λ = 644, 0 nm. Der
Gesamtspin s ist in beiden Fällen gleich Null, daher handelt es sich um einen
normalen Zeeman-Effekt mit g1 = g2 = 1. Die Aufspaltung ist also in allen
Fällen gleich groß und wir erhalten nur drei verschiedene Linien im Spektrum,
die jeweils dreifach entartet sind. Vergleiche Abbildung 1.
2.1.2 6 3 S1 → 5 3 P2
Abbildung 2: 6 3 S1 → 5 3 P2-Übergang des Cadmium
Dieser entartete Übergang entspricht einer grünen Linie bei λ = 508, 7 nm.
Wir haben einen nicht-verschwindenden Gesamtspin, es liegt also ein anormaler
Zeeman-Effekt vor. Dabei ergeben sich die Werte g1 = 1, 5 und g2 = 2. Die

2 AUSWIRKUNGEN AUF DIE ZU UNTERSUCHENDEN SPEKTREN 8
Entartung der σ ± - und π-Linien wird durch den Spin-Anteil aufgehoben und
wir erhalten 9 Spektrallinien. Vergleiche Abbildung 2.
2.1.3 6 3 S1 → 5 3 P1
Abbildung 3: 6 3 S1 → 5 3 P1-Übergang des Cadmium
Dieser entartete Übergang entspricht einer blauen Linie bei λ = 480, 1 nm.
Wieder erwarten wir einen anormalen Zeeman-Effekt mit obigen g-Werten.
Allerdings erhalten wir auf Grund der geringeren Entartung der Zustände nur
6 Linien. Vergleiche Abbildung 3.
2.1.4 6 3 S1 → 5 3 P0
Abbildung 4: 6 3 S1 → 5 3 P0-Übergang des Cadmium
Dieser entartete Übergang entspricht einer blauen Linie bei λ = 467, 9 nm.
Der Drehimpuls des unteren Zustands ist Null, daher erhalten wir keine Entartung
der aufgespaltenen Linien. Wir erwarten drei Spektrallinien zu sehen.
Vergleiche Abbildung 4.
2.2 Helium-Spektrum
Beim Helium untersuchen wir nur einen Übergang, und zwar den von 2 1 P1 →
1 1 S0. Er liegt im gelben Bereich, bei einer Wellenlänge von λ = 584, 3 nm. Da
nur der obere Zustand aufgespalten werden kann, erwarten wir nur drei Linien
für diesen Übergang.

2 AUSWIRKUNGEN AUF DIE ZU UNTERSUCHENDEN SPEKTREN 9
Abbildung 5: 2 1 P1 → 1 1 S0-Übergang des Helium

3 BENÖTIGTE INSTRUMENTE 10
3 Benötigte Instrumente
3.1 Lummer-Gehrke-Platte
Um das in eine Richtung emittierte Licht der Spektrallinien untersuchen zu
können brauchen wir interferometrische Geräte. Da die Aufspaltung der Linien
durch den Zeeman-Effekt sehr gering ist, brauchen wir sehr präzise Instrumente.
Die Lummer-Gehrke-Platte besteht aus einer Glasplatte mit planparallelen
Seiten. Über ein Prisma wird das zu untersuchende Licht fast im kritischen
Winkel in die Platte gelenkt, so daß bei der Reflexion an den Grenzen nur ein
kleiner Teil des Lichts die Platte verlassen kann. Der innere Strahl propagiert
weiter, bis er erneut auf die Grenze trifft und wieder Licht nach außen gibt. Es
kommt zu Vielfachreflexion innerhalb der Platte und eine große Menge paralleler
Strahlen verlassen die Platte auf beiden Seiten unter streifendem Winkel. Diese
Lichtstrahlen können konstruktiv mit einander interferieren, wenn folgende –
leicht herzuleitende – Beziehung gilt:
kλ = γ = 2dn cos θ .
Dabei ist k ∈ N, γ der gangunterschied zweier benachbarter Strahlen und n
der Brechungsindex des Materials, im Fall von Glas also n = 1, 5. Ein schematischer
Aufbau kann Abbildung 6 entommen werden.
Abbildung 6: Aufbau einer Lummer-Gehrke-Platte
Das Dispersionsgebiet der Lummer-Gehrke-Platte ist der Bereich, in dem
sich zwei Linien mit Wellenlängendifferenz ∆λ gerade noch trennen lassen. Dieser
Bereich ist für den Versuch wichtig, da sich nur hier Wellenlängen bestimmen
lassen. Es gilt dann
∆λ = λ2
γ
λ2 1
= √ , (3)
2d n2 − 1
wobei bei der letzten Beziehung n 2 − sin 2 θ ≈ √ n 2 − 1 angenommen wurde,
was im Bereich des kritischen Winkels für interne Reflexion eine gute Näherung
darstellt. Um das recht kleine Dispersionsgebiet nutzen zu können, müssen
wir das einfallende Licht mit einem Interferenzfilter (siehe 3.3) vorzerlegen.
Eine Wellenlängenänderung – wie etwa die Zeeman-Ausfspaltung lässt sich
dann nach folgender Relation bestimmen:
δλ = δα
∆λ .
∆α

3 BENÖTIGTE INSTRUMENTE 11
Dabei ist ∆α der Abstand zwischen zwei benachbarten Ordnungen der Hauptlinie
und δα der Abstand der zu untersuchenden Linie von der Hauptlinie.
Die Differenz der Frequenzen läßt sich demnach in der Varaiationsrechnung
zu δν = c
λ2 δλ berechnen. Das Auflösungsvermögen unseres Interferometers der
Länge L beträgt dann
A = L
λ (n2 − 1) .
3.2 Fabry-Pérot-Interferometer
Das Fabry-Pérot-Interferometer, welches ebenso Anwendung in unserem Versuch
finden wir, besteht aus zwei parallelen Glasplatten mit einer Luftschicht
der Dicke d dazwischen. Licht wird in fast senkrechtem Winkel in das Interfermeter
geschickt, so daß es mehrfach reflektiert oder transmittiert wird. Dabei
sind die Innenseiten der Glasplatten reflexionsbeschichtet, um nur einen kleinen
Teil des Lichtes durchzulassen. Die Außenseiten könnten wieder störendes Licht
ins Innere des Interferometers reflektieren, daher sind diese meist nicht parallel
zu den Innenseiten ausgerichtet. Auch hier kommt es zu Vielfachreflexion und
parallele Strahlen mit Gangunterschied
γ = 2d cos θ
verlassen das Interferometer und interferieren mit einander. Auch hier ist
die Bedingung für konstruktive Interferenz γ = kλ. Es wurde für die Luft im
Inneren der Brechungsindex n = 1, 5 angenommen. Der Aufbau kann Abbildung
7 entnommen werden.
Abbildung 7: Aufbau eines Fabry-Pérot-Interferometers
Analog zur Berechnung der Lummer-Gehrke-Platte ergibt sich δλ = δα
∆α ∆λ.
Das Auflösungsvermögen hängt hier maßgeblich von der Reflektivität der Glasplatten
ab. Um das Interferometer einer bestimmten zu untersuchenden Wellenlänge
anzupassen kann der Abstand d der Glasplatten variiert werden:
A = 2πnd
(1 − R)λ

3 BENÖTIGTE INSTRUMENTE 12
3.3 Interferenzfilter
Ein Interferenzfilter lässt nur Licht eines schmalbandigen Wellenlängenbereichs
passieren. Dies dient dazu, die Kohärenzlänge des austretenden Lichts zu vergrößern
und damit in unserem Falle das Auflösungsvermögen des Interferometers
zu verbessern.
Ein Interferenzfilter lässt sich beispielsweise realisieren, indem man alle nichtrelevanten
Wellenlängenbereiche ausblendet – beispielsweise indem man sie absorbiert
wie bei einem Farbfilter oder indem man sie reflektiert. Der letztere Fall
lässt sich mit Hilfe dielektrischer Spiegel realisieren. Ein dielektrischer Spiegel
besteht aus einem periodischen eindimensionalen Brechungsindexgitter, das sich
beispielsweise durch das abwechselnde aufeinanderlegen von Plättchen verschiedenen
Brechungsindexes. An den Grenzschichten wird jeweils ein Teil des Lichtes
reflektiert. Entspricht die Laufzeitdifferenz der einzelnen Reflexe genau einem
Vielfachen der Wellenlänge, so entsteht konstruktive Interferenz. Licht dieser
Wellenlänge wird dann vollständig ausgeblendet, vorausgesetzt, der Spiegel hat
eine ausreichende Dicke.
3.4 λ/4-Plättchen
Ein λ/4-Plättchen wird zur Änderung der Polarisationsrichtung von polarisiertem
Licht verwendet. Es besteht aus einem doppelbrechenden Kristall, dessen
optische Achse parallel zur Eintrittsfläche verläuft. Licht, das parallel zur optischen
Achse polarisiert ist, propagiert mit einer Geschwindigkeit c und Licht,
no
das senkrecht dazu polarisiert ist mit c
ne , wobei no der ordentliche und ne der außerordentliche
Brechungsindex ist. Die unterschiedlichen Brechungsindices bewirken
eine unterschiedliche Ausbreitungsgeschwindigkeit der Lichtsrahlen im
Plättchen. Für genau parallel bzw. senkrecht polarisierte Lichstrahlen bewirkt
dies nur eine Dilatation des Lichtpulses. Liegt die Polarisationsrichtung jedoch
dazwischen, so verändert sie sich nach dem Plättchen.
Wählt man die Dicke der Platte so, daß ein Lichtstrahl genau um ein Viertel
der Wellenlänge verzögert wird, erhält man einen interessanten und nützlichen
Effekt. Licht, das in ±45 o zur optischen Achse polarisiert ist, wird durch die
interne Verzögerung zu links- bzw. rechtszirkular polarisiertem Licht und umgekehrt,
da zwischen parallel und senkrecht polarisiertem Licht eine relative Phase
von π/2 entsteht. Dadurch wird es möglich, die σ ± -Linien mit einem einfachen
Polarisationsfilter zu untersuchen.
3.5 Hall-Sonde
Mit einer Hall-Sonde kann man die Stärke eines Magnetfeldes bestimmen. Dazu
macht man sich die Lorentz-Kraft zunutze. Setzt man einen stromdurchflossenen
Leiter in ein Magnetfeld, so werden die bewegten Ladungsträger senkrecht
zu ihrer Bewegungsrichtung und senkrecht zum Magnetfeld abgelenkt. Dies
führt zu einer Trennung von positiven und negativen Ladungen an den Rändern
des Leiters und somit zu einer Spannungsdifferenz, die sich mit einem Voltmeter
messen lässt. Aufgrund der Linearität der Lorentz-Kraft ist diese Spannung
annähernd proportional dem äußeren Magnetfeld. Die im Versuch verwendete
Hall-Sonde kann nach der Staatsexamensarbeit von Weber geeicht werden.

4 VERSUCHSAUFBAU 13
4 Versuchsaufbau
4.1 Messung des Zeeman-Effektes
Abbildung 8: Versuchsaufbau zum Zeeman-Effekt
Die zur Untersuchung des Zeeman-Effektes verwendete Cadmium-Lampe
wird in der Mitte zwischen den beiden Polschuhen des Magneten platziert. Zum
Messen des Magnetfeldes kann an Stelle der Lampe auch die Hall-Sonde platziert
werden. Mit der Spannungsquelle kann das Magnetfeld reguliert werden.
Bei diesem Versuchsaufbau kann nur in transversaler Richtung beobachtet werden.
Durch die Interferenzfilter kann die jeweils zu beobachtende Linie ausgewählt
und die störende π-Linie ausgeblendet werden. Das Licht fällt in den
Eingang der verwendeten Lummer-Gehrke-Platte und wird als interferenzfähiges
Strahlenbündel im Fernrohr beobachtet.
4.2 Messung des Paschen-Back-Effektes
Abbildung 9: Versuchsaufbau zum Paschen-Back-Effekt
Im Versuchteil zur Beobachtung des Paschen-Back-Effektes sind die Polschuhe
des Magneten durchbohrt, so daß sowohl in transversaler als auch in longitudinaler
Richtung beobachtet werden kann. Mit Hilfe der Cadmium-Lampe

4 VERSUCHSAUFBAU 14
kann die Apparatur longitudinal justiert werden. An Stelle der Helium-Lampe
kann wieder die Hall-Sonde zur Bestimmung des Magnetfeldes eingesetzt werden.
Auch hier kann das Magnetfeld reguliert werden. Mit Hilfe des Kollimators
wird störendes Restlicht aus der Umgebung ausgeblendet werden. In longitudinaler
Richtung wirkt der durchbohrte Polschuh als Kollimator. Mit Hilfe
des Polarisationsfilters und des λ/4-Plättchens können wir die Polarisation der
emittierten Photonen kontrollieren. In transversaler Richtung kann die π-Linie
mit dem Filter ausgeblendet werden. Das gefilterte Licht fällt auf das Fabry-
Pérot-Interferometer und kann mit dem auf unendlich eingestellten Fernrohr
beobachtet werden.

5 VERSUCHSDURCHFÜHRUNG & AUSWERTUNG 15
5 Versuchsdurchführung & Auswertung
5.1 Zeeman-Effekt
5.1.1 Aufbau
Den Versuchsaufbau zur Messung des Zeeman-Effektes fanden wir nahezu fertig
justiert vor. Die Knebelschrauben der Polschuhe saßen fest und waren mit
Klebeband fixiert; dadurch konnten die Magneten nicht der gegenseitigen Anziehung
folgen und dadurch die Cadmium-Lampe beschädigen. Das Fernrohr war
fertig aufgebaut und mit einem zusätzlichen Kollimator versehen. Die farbigen
Glasplatten (rot, grün) konnten vor der Lummer-Gehrke-Platte eingesetzt
werden, die Interferenzfilter (blau violett) mussten wir mit Hilfe des Stativs der
Hall-Sonde in den Strahlengang stellen. Wir achteten darauf, daß die Interferenzfilter
genau in Richtung der Cadmium-Lampe stehen, damit sie die korrekte
Linie transmittieren. Den Polarisationsfilter brachten wir in waagerechte Position
1 , um die störenden π-Linien auszublenden.
5.1.2 Magnetfeldeichung
Für die später folgende Messung des erforderlichen Magnetfeldes zur δα
∆α
= 1
4 -
Aufspaltung der Cadmium-Linien musste zunächst eine Eichfunktion zur Korrelation
von Magnetstrom und Magnetfeld am Ort der Lampe bestimmt werden.
Dazu ersetzten wir die Lampe durch eine Hall-Sonde, mit der wir das Magnetfeld
gemessen haben. Dabei stellten wir durch leichtes Bewegen der Sonde
sicher, daß wir uns am Ort der maximalen Feldstärke befanden, wo nachher zur
besseren Beobachtung des Effektes auch die Lampe stehen soll. Um unerwünschte
Remanenzeffekte des Magnetjochs auszugleichen messen wir die Strom-Feld-
Kurve zwei mal von unten nach oben und umgekehrt durch. Die Messergebnisse
finden sich in Tabelle 2.
Die Werte für den Magnetstrom haben wir am externen Ampremeter abgelesen,
wobei wir feststellten, daß der Zeiger beim Klopfen gegen das Gehäuse
die Position noch einmal leicht korrigierte. Daher haben wir alle Werte mit
” Klopfen“ aufgenommen.
Durch die Messwerte legen wir nun unsere Fitkurve. Da wir im oberen Bereich
des Magnetstroms nichtlineares Verhalten beobachten wählen wir ein Polynom
zweiten Grades als Fitfunktion. Wir erhalten als Beziehung zwischen Strom
und Hallspannung:
UH(I) = −1, 78V + 7, 51V/A · I − 0, 21V/A 2 · I 2 .
Dies lässt sich mit Hilfe der Angaben aus der Staatsexamensarbeit von
Weber in eine Strom-Magnetfeld-Beziehung überführen. Mit der Eichung der
ergibt sich daraus
Hall-Sonde auf (98 ± 0, 5) G
Skt
B(I) = (174, 09±0, 11) G+(735, 57±0, 07) G/A·I−(20, 70±0, 01) G/A 2 ·I 2 . (4)
1 Dies haben wir bei der eigentlichen Beobachtung überprüft

5 VERSUCHSDURCHFÜHRUNG & AUSWERTUNG 16
I[A] ∆I[A] U 1 H [Skt] U 2 H [Skt] U 3 H [Skt] U 4 H [Skt] ŪH[Skt] ∆UH[Skt]
0,5 0,25 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 0,0
2,0 0,25 12,5 12,0 12,0 12,5 12,3 0,3
3,0 0,25 19,0 18,5 19,0 18,0 18,6 0,5
4,0 0,25 24,5 24,5 24,5 25,0 24,6 0,3
5,0 0,10 29,0 29,0 29,0 29,5 29,1 0,3
6,0 0,10 35,0 35,0 34,5 35,5 35,0 0,4
7,0 0,10 40,0 40,5 40,0 40,0 40,1 0,3
8,0 0,10 45,0 45,0 44,5 45,0 44,9 0,3
9,0 0,10 49,0 49,0 49,0 49,0 49,0 0,0
10,0 0,10 52,5 52,5 52,5 53,0 52,6 0,3
11,0 0,25 54,5 54,5 54,5 54,0 54,4 0,3
11,5 0,25 55,5 55,5 55,5 56,0 55,6 0,3
Tabelle 2: Messung zur Eichung des Magnetfeldes beim Zeeman-Effekt
5.1.3 Bestimmung des Bohrschen Magnetons
Als nächstes bestimmten wir für die oben angegebenen vier Linien des Cadmiums
das jeweilige Magnetfeld, das nötig war, um eine äquidistante
δα 1
∆α = 4 -
Aufspaltung zu erhalten. Eine Aufstellung der Ergebnisse findet sich in Tabelle
3. Dabei gingen wir so vor, daß wir jeweils abwechselnd den nötigen Magnetstrom
für die Aufspaltung bestimmten, um mögliche Fehler durch subjektives
Empfinden zu minimieren. Da die Messwerte nur einen kleinen Fehler aufweisen,
ist davon auszugehen, daß die subjektiven Fehler gering ausgefallen sind. Das
Licht ließen wir während der gesamten Messung gedämpft, damit sich unsere
Augen an die Verhältnisse anpassen konnten.
rot grün blau violett
Irot[A] Igrün[A] Iblau[A] Iviolett[A]
10,9 7,6 5,3 4,5
11,5 7,5 5,3 4,6
11,4 7,8 5,3 4,6
10,8 7,0 5,2 4,5
10,2 7,4 5,4 4,8
9,7 7,2 5,3 4,5
9,8 7,6 5,4 5,0
10,5 7,3 5,2 4,9
Daraus ergeben sich die Messwerte
Irot[A] Igrün[A] Iblau[A] Iviolett[A]
10, 6 ± 0, 68 7, 4 ± 0, 25 5, 3 ± 0, 08 4, 7 ± 0, 20
entsprechend den Magnetfeldern
Brot[G] Bgrün[G] Bblau[G] Bviolett[G]
5297 ± 582, 4 4136 ± 199, 2 3143 ± 61, 4 2826 ± 152, 2
Tabelle 3: Messung des erforderlichen Magnetfeldes zur Aufspaltung der
Cadmium-Linien

5 VERSUCHSDURCHFÜHRUNG & AUSWERTUNG 17
Abbildung 10: Diagramm der Magnetfeldeichung für den Zeeman-Effekt mit
Polynomfit zweiter Ordnung
Mithilfe der obigen Fitkurve wurden die Magnetströme in das jeweilige Magnetfeld
am Ort der Lampe umgerechnet, so daß wir direkte Information über
die Abhängigkeit der Aufspaltung vom Magnetfeld erhielten.
Die σ ± -Linien des grünen und blauen Übergangs bestehen jeweils aus drei
bzw. zwei Linien, die wiederum eine leichte Aufspaltung zeigen. Leider kontnen
diese von uns mit der Lummer-Gehrke-Platte nicht aufgelöst werden, so daß
wir nur den Linienschwerpunkt bestimmen konnten. Um diesen Messwert nutzen
zu können müssen wir mit Hilfe der Clebsch-Gordon-Koeffizienten (siehe
Abschn. 1.6) den Schwerpunkt der erwarteten Linien bestimmen. Hier dürfen
wir nicht vergessen, am Ende nachzunormieren, da die Koeffizienten auf einen
Zustand normiert sind, wir aber bei den Linien Beiträge verschiedener Anfangsund
Endzustände beobachten. Als normierte Werte ergeben sich dann:
gg = 1, 25 und gb = 1, 75.
Wenn wir diese Koeffizienten bestimmt haben, können wir mit Hilfe der
Relation
hc
µB =
2d √ n2 1 δα
− 1 BG ∆α ,
die sich aus (2) und (3) ergibt, das Bohrsche Magneton bestimmen. Es
ergeben sich aus der Auswertung der einzelnen Linien die Werte in Tabelle 4.
Daraus ergibt sich als Hauptwert für die Messung
µB = (9, 63 ± 0, 637) · 10 −24 J
T .

5 VERSUCHSDURCHFÜHRUNG & AUSWERTUNG 18
Linie rot grün blau violett
µB[10 −24 J/T ] 10, 26 ± 1, 128 8, 76 ± 0, 422 9, 88 ± 0, 193 9, 62 ± 0, 518
Tabelle 4: Bestimmung des Bohrschen Magnetons aus der Aufspaltung der
Cadmium-Linien
Magnetstrom [A] Ī[A] ∆ Ī[A]
3,5 3,5 3,2 3,4 4,0 3,2 3,6 3,5 3,5 0,25
Tabelle 5: Messwerte zur Auflösung der roten Cadmium-Linie mit der Lummer-
Gehrke-Platte
Der Literaturwert (siehe [1]) beträgt
−24 J
µB = 9, 274 · 10
T .
Man sieht also, daß unser Messwert gut innerhalb der Fehlergrenzen dem Literaturwert
entspricht. Dies deutet darauf hin, das aufgrund der großen Zahl an
Messungen und den verschiedenen verwendeten Linien und Beobachtern unser
Messwert ohne größere systematische Fehler bestimmt werden konnte.
5.1.4 Bestimmung des Auflösungsvermögens der Lummer-Gehrke-
Platte
Als letzte Beobachtung in diesem Versuchsteil, wollten wir das Auflösungsvermögen
der Lummer-Gehrke-Platte mit Hilfe der Aufspaltung der roten
Linie im Magnetfeld vermessen. Dazu regelten wir das Magnetfeld so lange hher,
bis sich die rote Linie (bei ausgeblendeter π-Linie) in zwei Linien aufspaltete, die
wir geradeso getrennt wahrnehmen konnten. Nach den Messwerten aus Tabelle
5 ergibt sich eine Magnetfeldstärke von
Bauflös = (0, 215 ± 0, 019)T
Daraus berechnen wir as Auflösungsvermögen zu
A = λ hc
= = 77549 ± 6770
∆λ 2λµBB
Vergleichen wir diesen mit dem deutlich größeren theoretischen Wert von
A = 2385282 , so schließen wir darauf, daß das Auflösungsvermögen bei diesem
Versuchsaufbau nicht durch die Apparatur, sondern im wesentlichen durch den
Experimentator selbst bzw. das Auflösungsvermögen seines Auges beschränkt
ist. Es kann aber auch sein, daß Verschmutzungen insbesondere der Lummer-
Gehrke-Platte zu einer Verschlechterung des Ergebnisses führen. Gerade interferometrische
Instrumente sind sehr anfällig gegen Verschmutzungen.
5.2 Paschen-Back-Effekt
5.2.1 Aufbau
Bei der Vermessung des Paschen-Back-Effekt an einer Helium-Lampe, brauchten
wir für die Justage der verschiedenen Elemente auf der optischen Bank we-
2 Hierbei nahmen wir eine Länge von 12 cm und einen Brechungsindex von 1,51 an.

5 VERSUCHSDURCHFÜHRUNG & AUSWERTUNG 19
sentlich länger als für die Justage im ersten Teil. Das Fernrohr und das Fabry-
Pérot-Interferometer ließen wir am Ende der Bank unverstellt. Wir schalteten
die Cadmium-Lampe hinter den beiden Polschuhen ein und beobachteten das
Interferenzbild der Cadmium-Linien durch das Fernrohr. Dann setzten wir die
Feldlinse ein, um die Intensität zu erhöhen, und justierten sie derart, daß sich
das Fabry-Pérot-Interferometer genau im Brennpukt befand. Am vorderen
Ende der Bank ließen wir Platz für den Kollimator, den wir jedoch bei beiden
Beobachtungsrichtungen nicht verwendeten, da durch ihn die Intensität zu gering
wurde. Dann platzierten wir noch den Polarisationsfilter, das λ/4-Plättchen
und den Interferenzfilter im Strahlengang.
5.2.2 Magnetfeldeichung
Nach dem erfolgreichen Aufbau stellten wir die Cadmium-Lampe ab und brachten
mit Hilfe des Stativs die Hall-Sonde in den Bereich zwischen den Polschuhen,
um auch bei diesem Aufbau die Korrelation zwischen Magnetstrom
und -feld aufzustellen. Dabei gingen wir wieder wie in 5.1.2 vor. Wir verwendeten
wieder das externe Ampremeter – bei dem wir dieses Mal nicht klopfen
mussten. Die Ergebnisse der Messung finden sich in Tabelle 6. Fehlergrenzen,
die kleiner als 0, 5Skt waren, haben wir auf diesen Wert herauf gesetzt, um die
Ungenauigkeit beim Ablesen der Anzeige zu berücksichtigen.
Die Werte zwischen I = 0, 5 und I = 1, 5 haben wir im Nachhinein aufgenommen,
da sich unsere Messwerte alle in diesem Bereich befanden, und wir
dort nur eine schlechte Manetfeldeichung hatten. Dazu haben wir die Feineinstellung
des Ampéremeters benutzt. Für die tatsächliche Auswertung haben wir
dann auch ausschließlich diese Werte genommen, da sie unseren Messbereich
repräsentieren. Aus der Eichung erhalten wir die lineare Beziehung
B(I) = (278 ± 24) G + (2353 ± 24) G/A · I .
5.2.3 Beobachtung in longitudinaler Richtung
Als nächstes ersetzten wir die Hall-Sonde durch die vorgesehene Helium-Lampe,
die wir mit einem großen Lüfter kühlten. Trotzdem blieb unsere Arbeitszeit mit
der Lampe auf jeweils zwei Minuten am Stück beschränkt, wonach wir die Lampe
für weitere zwei Minuten abkühlen ließen.
Wir beobachteten die σ ± -Linien in longitudinaler Richtung, d.h. parallel
zum Magnetfeld. Hier mussten wir die π-Linie nicht von Hand ausblenden, da
diese in longitudinaler Richtung gar nicht auftritt. Mit Hilfe des λ/4-Plättchens
und des Polarisationsfilters konnten wir je eine der beiden Linien ausblenden.
Bei Variation des Magnetfeldes stellte sich heraus, daß die Linien gegensätzliches
Verhalten zeigen. Wir erwarten, daß die σ − -Linie sich nach innen, d.h. zu
kürzeren Wellenlängen und damit zu größeren Energien bewegt.
Zur Beobachtung der σ − -Linie mussten wir das λ/4-Plättchen auf −45 o stellen,
entsprechend einer rechtszirkularen Polarisation. Analog fanden wir die
σ + -Linie nur bei +45 o , entsprechend einer linkszirkularen Polarisation. Diese
Beobachtungen entsprechen der Auflistung in Tabelle 1.5.

5 VERSUCHSDURCHFÜHRUNG & AUSWERTUNG 20
I[A] ∆I[A] U 1 H [Skt] U 2 H [Skt] U 3 H [Skt] U 4 H [Skt] ŪH[Skt] ∆UH[Skt]
0,0 0,20 2,5 3,0 3,0 3,0 2,9 0,50
0,5 0,02 14,0 14,5 145,0 14,5 14,5 0,50
0,6 0,02 16,5 17,5 17,0 17,5 17,1 0,50
0,7 0,02 19,0 20,0 19,0 20,0 19,5 0,58
0,8 0,02 21,5 23,0 22,0 23,0 22,4 0,75
0,9 0,02 24,0 25,0 24,0 25,5 24,6 0,75
1,0 0,02 26,0 27,5 26,5 27,5 26,9 0,75
1,1 0,02 28,5 30,0 29,0 30,0 29,4 0,75
1,2 0,02 31,5 32,5 31,5 31,5 31,8 0,50
1,3 0,02 34,0 35,0 34,0 35,0 34,5 0,58
1,4 0,02 36,0 37,0 36,0 37,0 36,5 0,58
1,5 0,02 38,0 38,0 38,5 38,0 38,1 0,50
2,0 0,20 48,0 49,0 48,5 49,5 48,8 0,65
3,0 0,20 57,0 57,5 57,5 58,0 57,5 0,50
4,0 0,20 61,5 62,5 62,0 63,5 62,4 0,85
5,0 0,10 65,5 66,5 66,5 67,0 66,4 0,63
6,0 0,10 69,0 69,0 70,0 70,0 69,5 0,58
7,0 0,10 71,5 72,0 73,0 73,0 72,4 0,75
8,0 0,10 73,5 74,0 74,5 74,5 74,1 0,48
9,0 0,10 75,0 75,0 75,5 75,5 75,3 0,50
9,3 0,10 75,5 75,5 — — 75,5 0,50
Tabelle 6: Messung zur Eichung des Magnetfeldes beim Paschen-Back-Effekt
5.2.4 Beobachtung in transversaler Richtung
Wir stellten die optische Bank vorsichtig um, so daß uns eine erneute Justierung
erspart blieb. Lediglich den Abstand der Bank von der Lampe mussten wir neu
einstellen, um optimale Intensität zu erhalten. In dieser Beobachtungsrichtung
war die π-Linie wieder zu sehen. Mit Hilfe des Polarisationsfilters konnten wir sie
bei senkrechter Ausrichtung ausblenden – entsprechend der Polarisation parallel
zum Magnetfeld. Drehten wir den Filter um 90 o , so blendeten wir die σ ± -Linien
aus, entsprechend senkrechter Polarisation. Auch diese Ergebnisse entsprechen
den Angaben aus Tabelle 1.5.
5.2.5 Bestimmung von µB und e
m
Als letzten Versuchsteil bestimmten wir auch hier, mit Hilfe des Paschen-
Back-Effekt, das Bohrsche Magneton und abschließend die wichtige Größe e
m .
Dazu nutzten wir wieder die leichte Erkennbarkeit einer
δα 1
∆α = 4 -Aufspaltung
bei der gelben Helium-Linie. Wir führten wieder abwechselnd Messungen durch,
die in Tabelle 5.2.5 aufgelistet sind.
IB[A]
transversal 1,15 1,11 1,11 1,05 1,12 1,12 1,13 1,15 1,14 1,15
longitudinal 1,08 1,10 1,05 1,05 1,20 1,05 1,17 1,15 1,20 1,15
Tabelle 7: Messwerte zur Aufspaltung der gelben Helium-Linie beim Paschen-
Back-Effekt

5 VERSUCHSDURCHFÜHRUNG & AUSWERTUNG 21
Abbildung 11: Diagramm der Magnetfeldeichung für den Paschen-Back-Effekt
mit linearem Fit. Dargestellt ist nur der relevante Bereich.
Daraus ergeben sich die Hauptwerte
I trans
B = (1, 12 ± 0, 030) A I long
B = (1, 12 ± 0, 061) A
und damit das benötigte Magnetfeld zu
B = (2922 ± 70) G .
Die Beobachtungen in beiden Richtungen stimmen gut überein und führen
uns zu einem guten Wert für das benötigte Magnetfeld. Mit Hilfe der Formel
aus dem theoretischen Teil
µB = δα ch
∆α 2d(ml1 − ml2)B
kommen wir auf einen Wert für das Bohrsche Magneton von
−24 J
µB = (10, 63 ± 0, 26) · 10
T .
Hier erhalten wir einen zu großen Wert, der innerhalb der Fehlergrenzen nicht
mehr mit dem Literaturwert aus [1] zu vereinbaren ist. Offensichtlich haben wir
die Aufspaltung zu früh wahrgenommen. Es besteht die Möglichkeit, daß unsere
optische Bank nicht richtig justiert war, oder daß unser subjektives Empfinden
das Messergebnis verfälscht hat.
Da unser Messergebnis weit ab vom Literaturwert ist, haben wir uns entschieden,
die Berechnung des e
m-Wertes nur an Hand des Wertes aus 5.1.3 vorgenommen.
Wir erhalten aus der Beziehung
e 2µB
=
m ¯h

5 VERSUCHSDURCHFÜHRUNG & AUSWERTUNG 22
den Wert
e
m = (1, 83 ± 0, 12) · 1011 C/kg
was recht Nahe am Literaturwert [1] von
e
m = 1, 759 · 1011 C/kg
liegt, einem Wert innerhalb unserer Fehlergrenzen. Die Genaugikeit dieses Wertes
ist moderat. Wenn auch wir nur auf etwas mehr als 10 % genau sind, so
ist dies doch in Anbetracht der verwendeten Messmethode (aufbauend auf dem
menschlichen Auge) ein zufriedenstellendes Ergebnis.

LITERATUR 23
Literatur
[1] Stöcker, H.
Taschenbuch der Physik; Verlag Harri Deutsch; 2000
[2] Weber, K
Optische Untersuchungen von Atomen im magnetischen Feld; Staatsexamensarbeit
[3] Sakurai, J. J.
Modern Quantum Mechanics; Addison-Wesley; 1994
[4] Mayer-Kuckuk, T.
Atomphysik; Teubner; 1997
[5] Kuhn, H. G.
Atomic Spectra; Longman; 1971