1 Allgemeine Angaben - Institut für Informatik - Universität Paderborn

1 Allgemeine Angaben
Neuantrag auf Gewährung einer Sachbeihilfe
1.1 Antragsteller
Martin Ziegler, Dr.rer.nat. (Dipl.-Math. Dipl.-Phys.)
Post-Doktorand.
Geburtstag 19.11.1968, Nationalität deutsch
Heinz Nixdorf Institut und Paderborn Institute for Scientific Computation (PaSCo)
Universität Paderborn
Fürstenallee 11, 33095 Paderborn
Telefon: 05251/60-3802
Fax: 05251/60-6482
Email: ziegler@upb.de
Privat: Ferdinandstr. 15, 33102 Paderborn, 05251/8785870
1.2 Thema
Real Hypercomputation:
Berechenbarkeitstheorie reeller Funktionen jenseits der Church-Turing Hypothese
1.3 Kennwort
Real Hypercomputation
1.4 Fachgebiet und Arbeitsrichtung
Theoretische Informatik, Berechenbarkeitstheorie und Rechenmodelle über reellen
Zahlen
1.5 Voraussichtliche Gesamtdauer
Das Vorhaben soll ab 03/2005 laufen und von der DFG für 24 Monate gefördert
werden.
1.6 Antragszeitraum
1.3.2005 – 28.2.2007
1.7 Beginn der Förderung
1.3.2005
1.8 Zusammenfassung
Die Turingmaschine ist heutzutage allgemein akzeptiert zur Modellierung der grundsätzlichen
Möglichkeiten jeglichen Rechnens. Beispielsweise das Halteproblem ist
durch sie beweisbar nicht entscheidbar [Turing 1936]; und damit, der Church-Turing
Hypothese zufolge, auch durch kein anderes Verfahren. Die Gültigkeit dieser (Interpretation
der) Hypothese wird in letzter Zeit jedoch stark in Frage gestellt; es gibt
sogar konkrete Ansätze, wie unter Ausnutzung der Relativitäts- oder Quantentheorie
das Halteproblem zumindest prinzipiell gelöst werden könnte. Darauf basierende
sogenannte Hypercomputer besitzen also Fähigkeiten, die grundsätzlich über die
1

der Turingmaschine hinausgehen. Diese Fähigkeiten sind für verschiedene Modelle
von Hypercomputern (unter anderem, aber nicht nur, den Orakel-Turingmaschinen)
bereits präzise charakterisiert worden, was diskrete Probleme — d.h. solche über
ganzen und rationalen Zahlen — betrifft.
In der Praxis ergeben sich jedoch Problemstellungen über den reellen Zahlen.
Zur Untersuchung der grundsätzlichen Möglichkeiten reellen Rechnens sind aus der
(diskreten) Turingmaschine verschiedene Varianten hervorgegangen, wie zum Beispiel
das BCSS-Modell (von Blum, Cucker, Shub und Smale) oder die Typ2-
Maschine (u.a. Turing, Grzegorczyk und Weihrauch). Diese spiegeln jeweils
gewisse Aspekte realer Computer im Umgang mit reellen Zahlen wider, sind aber
grundsätzlich inäquivalent. Auch für sie impliziert Turings Ergebnis von 1936
harte prinzipielle Grenzen in Form der algorithmischen Unlösbarkeit wichtiger reeller
Probleme wie beispielsweise die Entscheidbarkeit der Konvergenz des Newton-Verfahrens
für gegebenen Startwert (BCSS) oder die Berechnung unstetiger
Funktionen (Typ2).
Und auch hier bieten Hypercomputer das Potential, solche Grenzen zu überschreiten.
Ob und wie weit, wollen wir im Projekt ‘Real Hypercomputation’ untersuchen,
d.h. in einer Kombination der Gebiete ‘Hypercomputation’ und ‘Reelle
Berechenbarkeitstheorie’. Genauer ergeben sich aus den verschiedenen reellen
Rechenmodellen und den verschiedenen diskreten Hypercomputern (u.a. Orakel-
Maschinen, aber auch anderen) eine große Zahl potentieller reeller Hypercomputer,
deren grundsätzliche Fähigkeiten untersucht und verglichen werden sollen. Dies
beinhaltet einerseits die Entwicklung von Simulations-Algorithmen, um beispielsweise
zu zeigen, daß Modell A mindestens so mächtig ist wie Modell B; andererseits
die Identifizierung separierender Beispielprobleme, um beispielsweise zu zeigen, daß
A sogar echt mächtiger ist als B.
Zugrunde liegt die Aussicht, die unvergleichbaren bisherigen reellen Modelle als
untere Stufen in eine Hierachie reeller Hypercomputer einzubetten und so systematisch
einordnen zu können. Weiterhin bieten der reellen Berechenbarkeit eigene
zusätzliche mathematische Aspekte wie Algebra und Topologie die Aussicht, jeweils
Modell-charakteristische (Gegen-)Beispiele ohne Diagonalisierung explizit angeben
und so leichter der Intuition zugänglich machen zu können.
2 Stand der Forschung, eigene Vorarbeiten
In diesem Teil geben wir einen Überblick über fremde Publikationen zum Thema
Hypercomputation (Abschnitt 2.1.1), reelles Rechnen (Abschnitt 2.1.3, BCSS- und
Typ2-Modell) und deren Kombination (Abschnitt 2.1.4) sowie über eigene Vorarbeiten
zum BCSS- (Abschnitt 2.2.2) und zum Typ2-Modell (Abschnitt 2.2.1).
2.1 Stand der Forschung
Es liegt in der Tradition der Theoretischen Informatik, Rechenmodelle und der
Mächtigkeit zu untersuchen, bevor diese realisiert (d.h. als Hardware gebaut) sind
oder überhaupt werden können. Beispiele beginnen bei Ada Lovelaces Algorithmus
für die Analytical Engine und Turings Unentscheidbarkeitsresultat [Tur36] für
‘seine’ Maschine (TM) von 1936 (Zuses Z3 wurde erst 1941 fertiggestellt); aber
auch Shors bahnbrechende Arbeit über Quantencomputer [Shor94] ist hierzu zu
zählen; und die die Klasse N P definierende nichtdeterministische Turingmaschine
wird sogar als gemeinhin unrealisierbar angesehen.
2

2.1.1 Hypercomputation
Auch die Rekursionstheorie hat so schon früh die Frage behandelt, was berechenbar
würde, wenn das Halteproblem lösbar wäre, und was selbst dann noch algorithmisch
unerreichbar bliebe. Diese Untersuchungen griffen Turings O-Maschinen auf
und versahen sie mit einem Halte-Orakel O für das Halteproblem Orakel-loser Maschinen.
Durch Iteration (Orakel O ′ für das Halteproblem von O-Maschinen etc.)
führte Kleene 1943 so die Arithmetische Hierarchie der ∆k, Σk und Πk ein mit
ihren Turing-Graden und ‘Jumps’ [Soa87, Odi89].
Außer Orakeln werden in letzter Zeit verstärkt andere Erweiterungen der Turingmaschine
untersucht. Allgemein führte [CopPro99] die Bezeichnung “Hypercomputation”
ein für jegliches Rechnen in super-rekursiven Modellen. Das umfaßt beispielsweise
auch
• solche mit unendlich vielen Zuständen,
• oder mit der Fähigkeit zur Interaktion oder zur Evolution [EbeWeg03];
• zelluläre Automaten wie Conways LIFE und, allgemeiner, dynamische Systeme
[BoGaKo94];
• Die ‘beschleunigenden’ oder auch sogenannten Infinite-Time Maschinen können
in endlicher Zeit unendlich viele Schritte ausführen [HamLew00].
• Peter van Emde Boas et al. [SpToEm89] betrachten Turingmaschinen mit
unbeschränktem Nichtdeterminismus, in deren Berechnungsbaum unendliche
Pfade dann aber semantisch ausgeschlossen werden.
• Fuzzy Turingmaschinen [Wie04] haben, wie randomisierte, jedem möglichen
Schritt eine Zahl zwischen 0 und 1 zugeordnet; der Fuzzy-Wert eines Rechenwegs
ist hier jedoch nicht notwendig durch das Produkt, sondern allgemeiner
durch eine assoziative kommutative Funktion der Einzelschritte gegeben, und
der Wert eines Berechnungsbaums durch das Maximum der einzelnen Wege.
• Für weitere Varianten siehe z.B. die Übersichtsarbeiten [Cop02, Ord02] oder
Band 317 (Juni 2004) von Elseviers Zeitschrift “Theoretical Computer Science”
[BurKli04], der sich ausschließlich diesem Thema widmet.
Alle diese Modelle können (in einem geeigneten Sinn) das Halteproblem lösen oder
sonst eine unberechenbare 0/1-Folge ausgeben. Der Fokus liegt hierbei auf Berechenbarkeit,
nicht auf Komplexität; d.h. z.B. ein Quantencomputer zählt nicht zur
Hypercomputation gleichwohl er gewisse Probleme (vermutlich) schneller lösen kann
als eine Turingmaschine.
2.1.2 Physikalischer Hintergrund
Die Church-Turing Hypothese basiert auf den fehlgeschlagenen Versuchen, Hypercomputer
praktisch zu realisieren und besagt, daß dies grundsätzlich unmöglich
sei 1 :
1 Vgl. auch [Ada79, Kapitel 10]: “Many respectable physicists [...] couldn’t stand [...] the perpetual
failure they encountered in trying to construct a machine which could generate the infinite
improbability field needed [...], and in the end they grumpily announced that such a machine was
virtually impossible.
Then, one day, a student who had been left to sweep up the lab after a particularly unsuccessful
party found himself reasoning this way: If, he thought to himself, such a machine is virtual impossible,
then it must logically be a finite improbability. So all I have to do in order to make one is to
work out exactly how improbable it is, feed that figure into the finite improbability generator, give
ita fresh cup of really hot tea . . . and turn it on! He did this, and was rather startled to discover
3

Alles, was praktisch berechnet werden kann,
läßt sich durch eine Turingmaschine simulieren.
Auch gilt dies als induktive ‘Extrapolation’, da die Turingmaschine bereits als zu
zahlreichen anderen sinnvollen Berechenbarkeitsbegriffen äquivalent bewiesen wurde:
WHILE-Programme, µ-Rekursivität, λ-Kalkül etc. Und schließlich wird argumentiert,
die Operation eines potentiellen Hypercomputers sei ein physikalischer Prozess,
der sich mithin von einer Turingmaschine simulieren lasse.
Andererseits weist [GerHar86, p.546] darauf hin, daß beispielsweise die Simulation
von Quantengravitation das Aufsummieren nichtisomorpher simplizialer Komplexe
beinhaltet; deren Isomorphieproblem ist jedoch Turing-unentscheidbar! A. Yao
zufolge bleibt selbst bei Restriktion auf klassische Mechanik der Status der Church-
Turing Hypothese noch offen wegen nach wie vor ungelöster Fragen betreffend die
Dynamik von Mehrteilchensystemen [Yao03].
Basierend auf Einsteins Allgemeiner Relativitätstheorie mit ihren Uhrenparadoxien
wurde vorgeschlagen, raum-zeitliche Geometrien auszunutzen, in denen ein
Beobachter innerhalb endlicher (Eigen-)Zeit einen unendlichen Zeitabschnitt eines
anderen Objekts betrachten kann [Hog92, WieLee02] und insbesondere, Falls letzteres
eine Turingmaschine ist, ihr (Nicht-)Halten! Allgemeiner motiviert dies die oben
erwähnten Infinite-Time Maschinen.
[BegTuc04] schlägt ein physikalisches Kugelbahnsystem vor, bei dem die kontinuierlichen
Aufenthaltsorte der Kugel den obigen Turingmaschinen mit unendlich
vielen Zuständen entsprechen. Und unendlicher Quantenparallelismus bietet das Potential
für Maschinen mit van Emde Boas’schem Nichtdeterminismus [AdCaPa04,
Kieu04, 23].
Tatsächlich scheint die Physik nach derzeitigem Erkenntnisstand das Rechnen
kaum grundlegend einzuschränken [BenLan85].
Es sei betont, daß die Church-Turing Hypothese informal und damit inhärent
nicht beweisbar noch widerlegbar ist. Auch haben weder Church noch Turing 2
selbst eine solch allgemeine Aussage gemacht [Cop02]. So unterscheidet man heute
mehrere, abgeschwächte Varianten von Church-Turing Hypothesen [Ord02, Section
2.2].
2.1.3 Reelles Rechnen
Die Turingmaschine ist sicherlich das allgemein anerkannte Rechenmodell zur realistischen
Beschreibung der Fähigkeiten (Komplexität und Berechenbarkeit) heutiger
Digitalcomputer, d.h. für diskrete Probleme über Bits, ganzen und rationalen
Zahlen. Ihre Erweiterung auf Probleme über den reellen Zahlen führte auf zwei
wesentliche ‘Schulen’:
• das BCSS-Modell [BSS89, BCSS98], bei dem reelle Zahlen in konstantem Platz
und Zeit gespeichert, addiert, subtrahiert, multipliziert, dividiert und verglichen
werden können, wobei die Betonung auf exakten Operationen liegt.
Dies spiegelt das Rechnen in Computeralgebrasystemen [GatGer03] wider, erlaubt
detaillierte Komplexitätsuntersuchungen [BuClSh97] und entspricht der
in der Algorithmischen Geometrie gebräuchlichen realRAM [MMMO97]. Hinsichtlich
Berechenbarkeit wurde hierfür zum Beispiel gezeigt, daß sowohl die
that he had managed to create the long-sought-after golden Infinite Improbability generator out of
thin air.
It startled him even more when just after he was awarded the Galactic Institute’s Prize for Extreme
Cleverness he got lynched by a rampaging mob of respectable physicists who had finally
realized that the one thing they really couldn’t stand was a smart-ass.”
2 Mit “durch einen Computer lösbar” bezieht er sich 1936 beispielsweise keineswegs auf Maschinen,
sondern auf den damaligen Beruf eines menschlichen Rechengehilfen.
4

Mandelbrot-Menge als auch die Menge der Startwerte konvergenter Newton-Iterationen
unentscheidbar sind [BCSS98, Kapitel 2.4].
• basierend auf Turings eigenen Überlegungen [Tur36] zur Anwendung ‘seiner’
Maschine auf reelle Zahlen: die Typ2-Theorie (TTE) als Weiterentwicklung
der Rekursiven Analysis [Wei85], bei welcher die Berechnung ebenso wie die
Eingabe reeller Zahlen approximativ, genauer: als Grenzwerte schnell konvergenter
Folgen rationaler Zahlen geschieht. In diesem Modell wurden ebenfalls
erfolgreiche Komplexitäts- [Ko91, RetWei03] ebenso wie Berechenbarkeitsuntersuchungen
durchgeführt [Wei01]; siehe hierzu auch Abschnitt 2.2 über eigene
Vorarbeiten. Die eingangs erwähnte Markov-Berechenbarkeit wollen wir
ebenfalls mit zur Typ2-Theorie zählen [Wei01, Kapitel 9.6].
Beide Modelle sind hinsichtlich ihrer Mächtigkeit unvergleichbar, siehe z.B. Abschnitt
9.7 in [Wei01]. Eine Synthese erlauben
• die verschiedenen Analytischen Maschinen von Chadzelek und Hotz [ChaHot99].
Sie verallgemeinern sowohl das BCSS- wie auch das Typ2-Modell. Hierzu betrachtet
man Semantik-Varianten, in denen Rechnungen nach endlich vielen
Schritten das Ergebnis liefern (‘computable’), wie auch solche, die dieses erst
im Grenzwert immer besserer Approximationen erreichen (‘analytic’); im letzteren
Fall können die Näherungen mit zusätzlichen Fehlerschranken versehen
sein (‘strongly analytic’) oder diese ggf. endlich oft verletzen (‘quasi-strongly
analytic’). Desweiteren wird unterschieden, ob bei den Zwischenrechnungen
zum Finden dieser Approximationen sich exakte Operationen und Tests auf
Q beschränken oder auf R erstrecken. Und schließlich kann die Eingabe ihrerseits
exakt oder approximativ (‘strongly δ-analytic’) vorliegen.
BCSS–Berechenbarkeit bedeutet dann “R-computable”, Typ2–Berechenbarkeit bedeutet
“strongly robust δ–Q–analytic”.
In der diskreten Theorie ist bekannt, daß Turing-Berechenbarkeit von f : N n →
N äquivalent dazu ist, daß f aus den elementaren Funktionen
F := { x ↦→ x + 1 , (x1, . . . , xn) ↦→ xj , x ↦→ 0 }
durch endliche Anwendung der Operatoren
O = {composition, recursion, µ-recursion}
entsteht. Ein entsprechende Charakterisierung der reellen BCSS-berechenbaren Funktionen
f : R n → R ist trivial, aber Brattka, Bournez und Hainry konnten auch
• die gesamte Typ2-berechenbare Funktionenklasse [Bra96] bzw. deren zweifach
stetig differenzierbare Teilklasse [BouHai04] als Abschluß elementarer Funktionen
F unter geeigneten Operationen O beschreiben.
[Moo96] variiert diesen Rechenmodell-freien Zugang zu reellen Berechenbarkeituntersuchungen;
er betrachtet nämlich alternative Operator-Sätze O, welche
die Fähigkeiten von Analogcomputern abstrahieren und Shannons Differential
Analyzer erweitern [Shan41].
Weil O bei Moore auch Integration und allgemeiner den Lösungsoperator gewisser
zeitlicher Differentialgleichungen beinhaltet, firmiert dies gelegentlich unter der Bezeichnung
‘continuous-time computation’ [Orp97]. Das klingt nach Topologie; für ein
fixiertes Paar (F, O) bedeutet die (diesbezügliche) Berechenbarkeit von f : R n → R
aber die rein algebraische Frage, ob f zum Abschluß von F unter O gehört.
5

2.1.4 Real Hypercomputation
Unser Ziel ist die Untersuchung reellen Rechnens jenseits der Church-Turing Hypothese,
d.h. auf Modellen für das Rechnen mit reellen Zahlen, die jeweils stärker
sind als die BCSS- oder die Typ2-Maschine. Publikationen zu diesem Themenbereich
beschäftigten sich bislang hauptsächlich mit reellen Gegenstücken zu Kleenes
(diskreter) Arithmetischer Hierarchie.
Diese besteht in der untersten Stufe ∆1 aus allen rekursiven Problemen; Σ1 sind
die rekursiv aufzählbaren (r.e.), d.h. semi-entscheidbaren; und Π1 deren Komplemente.
In ∆2 sind alle mittels Halteorakel (d.h. ∅ ′ -) lösbaren, im Σ2 die ∅ ′ -rekursiv
aufzählbaren. In der nächsten Stufe beachte, daß das Halteproblem für ∅ ′ -Maschinen
durch sie selbst nicht entscheidbar ist (‘Jump’). Selbiges als Orakel ∅ ′′ zur Verfügung
zu stellen, erhöht die Mächtigkeit also strikt; und die so ∅ ′′ -berechenbaren Probleme
bilden ∆3 usw. Die minimale Zahl k iterierter Jump-Anwendungen, für die ein
Problem ∅ (k) -entscheidbar wird, heißt sein Turing-Grad.
Reelle Arithmetische Typ2-Hierarchie: Es liegt nahe, den Turing-Grad einer
einzelnen reellen Zahl x = ∞ n=0 xn2−n mit xn ∈ {0, 1} als denjenigen der Einsen
in ihrer Binärdarstellung, d.h. der Menge A = {n : xn = 1} ⊆ N zu erklären. Weil
mehrdeutige Binärentwicklungen nur bei dyadischen, d.h. sowieso berechenbaren
Zahlen auftreten, ist dies wohldefiniert.
Andererseits hat sich in der Rekursiven Analysis herausgestellt, daß man x anstelle
durch die Folge der Binärziffern natürlicher als Folgen f : N → Q bzw.
g : N → Q mit x = supn f(n) = infn g(n), d.h. von unten bzw. oben konvergenter
rationaler Approximationen behandelt; vgl. [Tur37] und die Einleitung von [Bar02].
Glücklicherweise stimmt der (minimale) Turing-Grad eines solchen Paares (f, g)
mit dem von A überein [Ho99, Zhe03]. Mit anderen Worten: Die Binärdarstellung
und die zweiseitige rationale Approximierbarkeit definieren übereinstimmende reelle
Analoga Rc := ∆1 ∆2 . . . ∆k . . . ⊆ R zu den Stufen der diskreten
Arithmetischen Hierarchie.
Schwieriger wird es mit Pendants zu den Stufen Σk und Πk. Hier ist eine beispielsweise
rekursiv aufzählbare Binärentwicklung von x nur noch hinreichend für
die Approximierbarkeit von unten, d.h. die Existenz eines berechenbaren f : N → Q
mit x = supn f(n). Beide liefern daher unterschiedliche Kandidaten für die Klasse
Σ1 ⊆ R.
Weihrauch und Zheng untersuchen in [WeiZhe98, Zhe02] die durch solche
Unterschiede induzierte Substruktur von ∆2 ⊆ R genauer. Beispielsweise stellt sich
heraus, daß diejenigen x ∈ R mit r.e. Binärentwicklung nicht abgeschlossen sind
unter Addition, die von unten approximierbaren hingegen schon. Weil arithmetische
Operationen in der Rekursiven Analysis von natürlicher Bedeutung sind, setzt
die Arbeit [ZheWei01] schließlich jene Definition, derzufolge Σ1 nur die von unten
approximierbaren reellen Zahlen beinhaltet, durch und zur reellen Arithmetischen
Hierarchie fort. In ihr besteht Σk (entsprechend der k-fachen Alternierung
von Existenz- und universellen Quantoren im diskreten Fall) aus allen x ∈ R der
Form
x = sup inf sup . . . Q f(n1, n2, n3, . . . , nk)
n1
n2 n3 nk
mit berechenbarem f : Nk → Q; analog Πk mit infn1 beginnend. Dies liefert eine
unendliche Kette echter Inklusionen
∆1 = Σ1 ∩ Π1
Σ1
=
Π1
∆2 = Σ2 ∩ Π2
6
Σ2
=
Π2
. . . ∆k . . . . . . R.

Diese abzählbare Kette (k ∈ N) erweitert [Bar02] in Analogie zu den überabzählbar
vielen Stufen der diskreten Hyperarithmetischen Hierarchie auf den Bereich k ≥ ω.
Reelle Arithmetische BCSS-Hierarchie: Zusammenfassend gesagt klassifizieren
die oben genannten Arbeiten also jedes x ∈ R danach, wie ‘schwer’ seine
Berechnung durch eine Typ2-Maschine ist. Demgegenüber klassifiziert [Cuc92] eine
Menge X ⊆ R ∗ nach dem Schwierigkeitsgrad ihrer (Semi-)Entscheidbarkeit durch
eine BCSS-Maschine. Auch dies geschieht in Analogie zur diskreten Hierarchie: Bei
letzterer gehört eine Menge L von endlichen rationalen Folgen genau dann zur Klasse
Σk, wenn L die Form hat
x ∈ Q ∗ ∃y1 ∈ N ∀y2 ∈ N ∃y3 ∈ N . . . . . . yk ∈ N : (x, y1, y2, . . . , yk) ∈ P
(1)
mit einem entscheidbaren P ⊆ Q ∗ . Diese Quantoren-Alternierung macht ebenso
Sinn, wenn man den Körper Q durch R ersetzt. Genau dies tut Cucker in der genannten
Arbeit, erhält so ebenfalls eine strikte Hierarchie in R ∗ und charakterisiert
ihre Stufen — analog zum diskreten Fall — induktiv durch BCSS-Maschinen, die
mit einem Orakel der jeweils nächst niedrigeren Stufe versehenen sind.
Im diskreten Fall ist (1) äquivalent zu
x ∈ Q ∗ ∃y1 ∈ Q ∗ ∀y2 ∈ Q ∗ ∃y3 ∈ Q ∗ . . . . . . yk ∈ Q ∗ : (x, y1, . . . , yk) ∈ ˜ P (2)
mit einem entscheidbaren ˜ P ⊆ Q ∗ . Auch in dieser Bedingung ersetzt [Cuc92] Q
durch R und beweist, daß die so erhaltene strikte Hierarchie in R ∗ überraschenderweise
nicht mit der obigen übereinstimmt. Genauer deckt erstere ‘nur’ die Borelmengen
ab und ist in letzterer bereits ab Stufe zwei strikt enthalten, welchselbige
nämlich genau die analytischen Mengen umfaßt.
BCSS-semientscheidbare und Typ2-rekursiv aufzählbare Mengen: Es
sei ausdrücklich darauf hingewiesen, daß BCSS-Maschinen auch Konstanten mit
unberechenbarer Binärentwicklung verwenden dürfen (vgl. Abschnitt 3.2.5) und dies
z.B. bei [Cuc92] auch tun. Ein weiterer Punkt, der sie mächtiger macht als Typ2-
Maschinen, liegt in dem Test auf Gleichheit reeller Zahlen begründet.
Um wie viel mächtiger genau, das untersucht [BolVig99] mit einer eleganten
Synthese aus Algebra und Rekursionstheorie. Zwecks Chancengleichheit wird der
Typ2-Maschine Zugriff auf ein Orakel C mit den Binärentwicklungen der Konstanten
des betrachteten BCSS-Programms gewährt. Ist dann jede BCSS-entscheidbare
offene Menge X ⊆ R n auch rekursiv aufzählbar im Sinne der Typ2-Theorie [Wei01]?
Im allgemeinen nicht, wie Boldi und Vigna zeigen; mit einem weiteren ‘Jump’
hingegen, d.h. wenn die Typ2-Maschine Orakelzugriff — anstatt nur auf C — auf
das Halteproblem C ′ für C-Maschinen hat, lautet die Antwort hingegen: Ja!
Continuous-Time Hypercomputation In dem Modell-freien Zugang zur reellen
Berechenbarkeitstheorie ist mit dem von [Moo96] betrachteten Operatorsatz
O die charakteristische Funktion der rationalen Zahlen Q ⊂ R entscheidbar (was
weder BCSS- noch Typ2-Maschinen können). Dabei spielt sein reelles Gegenstück
zum in der diskreten Rekursionstheorie bekannten µ-Operator eine zentrale Rolle:
Ohne ihn kann man mit den analytischen (d.h. lokal Potenzreihen-entwickelbaren)
nur eine echte Teilklasse der Typ2-berechenbaren Funktionen berechnen, mit ihm
über die Typ2-berechenbaren hinaus auch unstetige Funktionen [Kaw04].
So, wie Grzegorczyk in der nach ihm benannten Hierarchie alle diskretberechenbaren
(d.h. µ-rekursiven) Funktionen sub-klassifiziert, sub-klassifiziert Moore
die (in seinem Sinn) reell-berechenbaren Funktionen danach, wie oft zu ihrer Berechnung
dieser Operator µ eingesetzt werden muß. Dies führt auf eine abzählbare
7

Hierarchie
M0 ⊆ M1 ⊆ M2 ⊆ M3 ⊆ . . . . . . (3)
Im Gegensatz zur Grzegorczyk-Hierarchie ist für sie bislang noch offen, ob ihre
Stufen möglicherweise teilweise kollabieren, oder ob sie ‘strikt’ ist. Auch enthält bereits
die reelle Stufe M3 das Halteproblem (für diskrete Turingmaschinen) [Moo96,
Proposition 15] und M7 sogar die gesamte diskrete Arithmetische Hierarchie —
daher die Zuordnung zur Hypercomputation.
Infinite-Time Computer [Hog92] hat darauf hingewiesen, daß Einsteins Allgemeine
Relativitätstheorie mit ihren schwarzen Löchern und Uhrenparadoxien unter
anderem auch solche kausale raumzeitliche Geometrien erlaubt, in denen ein Beobachter
in (für ihn subjektiv) endlicher Zeit beobachten kann, was beispielsweise eine
Turingmaschine in (für sie subjektiv) unendlicher Zeit macht 3 . Gleichwohl dies das
Lösen des Halteproblems gestattet, modelliert man solche Methoden ausnutzende
Computer angemessener als Infinite-Time Turingmaschinen [HamLew00] denn mit
einem Orakel.
Sie führen nämlich nicht nur ‘einfach’ abzählbar unendlich (d.h. ω) viele Schritte
durch (sogenannte Supertasks), sondern gegebenenfalls darüber hinaus den (ω + 1)ten,
(ω + 2)-ten und so fort bis zum 2ω-ten, dann (2ω + 1)-ten usw.; vgl. [Sac90,
Teil C]. Semantisch zulässig sind hier jedoch ausschließlich terminierende Rechnungen,
d.h. solche, die irgendwann schließlich (und sei es nach unendlicher Zeit,
siehe oben) in einen akzeptierenden Endzustand geraten.
Hamkins und Lewis untersuchen die Fähigkeiten solcher Computer im Hinblick
auf die Berechnung einzelner reeller Zahlen (d.h. die Ausgabe unendlicher
Binärentwicklungen — Zeit genug hat die Maschine ja) und die Entscheidbarkeit
reeller Mengen. Sie gehen auf die Frage ein, welche unendlichen Ordinalzahlen als
Laufzeiten haltender Rechnungen auftreten und welche davon durch Zähler ‘vorprogrammierbar’
(clockable) sind.
Literatur
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Turing computability”, to appear in International Journal of Theoretical Physics.
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[Bar02] G. Barmpalias: “A Transfinite Hierarchy of Reals”, pp.163–172 in Mathematical
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[BenLan85] C.H. Bennett, R. Landauer: “The Fundamental Physical Limits of Computation”,
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[BolVig99] P. Boldi, S. Vigna: “Equality Is a Jump”, pp.49–64 in Theoretical Computer
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[BoGaKo94] O. Bournez, M. Garzon, P. Koiran: “Computability properties of lowdimensional
dynamical systems”, pp.113–128 in Theoretical Computer Science
vol.132 (1994).
3 Grob gesagt scheint ihre Rechengeschwindigkeit stetig zuzunehmen, so daß eine Endlosschleife
schließlich nur noch konstante Zeit benötigt.
8

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Springer LNCS vol.3142.
[Bra96] V. Brattka: “Recursive characterization of computable real-valued functions
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[BSS89] L. Blum, M. Shub, S. Smale: “On a Theory of Computation and Complexity
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2.2 Eigene Vorarbeiten
Das Arbeitsgebiet des Antragstellers ist die Algorithmenentwicklung und Berechenbarkeitstheorie
über reellen Zahlen im BCSS- wie im Typ2-Modell, in letzter Zeit
verstärkt unter Einbeziehung physikalischer Aspekte.
2.2.1 Eigene Arbeiten für das Typ2-Modell
Hier habe ich mich ausgiebig mit der (nicht-relativierten) Berechenbarkeit praxisrelevanter
reeller Funktionen auseinandergesetzt:
• der Optimierung linearer und nichtlinearer Zielfunktionen unter linearen wie
nichtlinearen Randbedingungen [9]
• der Dimensionsfunktion auf der Menge der linearen Unterräume von R n [6]
• der Lösung linearer Gleichungssysteme [12]
• der Diagonalisierungsfunktion (Eigenwerte- und Eigenvektorbasisbestimmung)
auf der Menge der symmetrischen reellen n × n–Matrizen [7]
• und, allgemeiner, Berechenbarkeitsfragen in der Linearen Algebra [18].
11

Dabei zeigten konkrete Gegenbeispiele jeweils, daß die betrachteten Funktionen im
allgemeinen nicht Typ2-berechenbar sind, typischerweise wegen Schwierigkeiten mit
degenerierten Fällen. Andererseits konnten in jedem Fall geringe und natürliche Einschränkungen
(z.B. die eine oder andere Art von Nichtdegeneriertheit der Eingabe)
angegeben und unter deren Voraussetzung das Problem durch Konstruktion entsprechender
Algorithmen als Typ2-berechenbar nachgewiesen werden.
Damit liefern diese Ergebnisse eine formale Grundlage für praktische Erfahrungen
der Numerik, daß degenerierte Eingaben typischerweise inhärent schwierig sind.
Während dort deshalb typischerweise pauschal Nichtdegeneriertheit vorausgesetzt
wird, konnten die oben genannten Arbeiten diese jedoch in der Regel signifikant abschwächen.
Beispielsweise ist Matrixdiagonalisierung nicht nur für n × n-Matrizen
mit n paarweise verschiedenen Eigenwerten berechenbar, sondern auch für jede
symmetrische reelle n × n-Matrix, deren Zahl j < n von verschiedenen Eigenwerte
vorher fixiert ist. Insbesondere besitzt jede berechenbare symmetrische Matrix
A ∈ Rc n×n/2 eine berechenbare Eigenvektorbasis!
Die bisher Arbeiten bildeten die Grundlage zu meiner Dissertation [13].
Darüberhinaus und danach wurden Berechenbarkeitsfragen im Zusammenhang
mit gewissen (unendlichen) Mengen reeller Zahlen/Vektoren [10] und Operatoren
auf diesen Mengen [16, 22] untersucht. Weiterhin verfolgt [21] einen Ansatz, das
reichhaltige Methodenrepertoire der Algebraischen Komplexitätstheorie [BuClSh97]
der Typ2-Berechenbarkeitstheorie zugänglich zu machen, d.h. die Stärken beider
Modelle BCSS und TTE zu verheiraten und so zu beweisbaren und realistischen
Komplexitätsaussagen zu gelangen.
2.2.2 Eigene Arbeiten für das BCSS-Modell
Hier bestanden meine Beiträge in effizienten Algorithmen für geometrische Probleme
(die BCSS-Maschine entspricht grob der in der Algorithmischen Geometrie
gebräuchlichen realRAM, eventuell erweitert um Operationen wie “ √ · ” oder “sin”;
vgl. Abschnitt 3.2.7); genauer: effiziente Algorithmen
• für solche geometrischen Probleme, wie sie spezifisch in interaktiven Virtual
Reality-Systemen auftreten [1, 2, 3, 19];
• für randomisiertes approximatives Testen gewisser Eigenschaften von geometrischen
Konfigurationen [4].
Darüber hinaus habe ich BCSS-Algorithmen mit subquadratischer Laufzeit entwickelt
• für Vielteilchen-Simulationen zur approximativen Berechnung der wechselseitigen
Coulomb-Potentiale [14];
• für schnelle Polynomarithmetik über dem Schief körper der Quaternionen [15];
• für schnelle bivariate Polynomarithmetik [17].
Die Arbeit [11] schließlich entwickelt Algorithmen für das geometrische Point-Location
Problem mit dem Ziel optimaler Laufzeit bei minimalem Platz, d.h. obere und untere
Komplexitätsschranken unter dieser Resourcenkombination.
2.2.3 Eigene Arbeiten zur Hypercomputation
In [23] untersuche ich die [Kieu04] und [AdCaPa04] implizit bzw. explizit zugrundeliegende
und dort physikalisch durchaus motivierte Annahme, Quantenmechanik
[20] erlaube unendlichen Parallelismus. Aus ihr entsteht in natürlicher Weise ein neues
Rechenmodell, welches die Klassifikation von Hypercomputern in Abschnitt 2.1.1
12

zw. [Cop02, Ord02] wesentlich erweitert. Es stellt sich heraus, daß eine solche formale
Präzisierung des in [Kieu04, AdCaPa04] verwandten Modell tatsächlich Not
tut; denn wir zeigen, daß, in signifikanter Abhängigkeit von Feinheiten seiner Definition,
• entweder das Halteproblem nach wie vor unlösbar bleibt;
• oder berechenbar wird,
während höhere Teile der Arithmetischen Hierarchie unerreichbar bleiben;
• oder sogar jedes diskrete Problem gelöst werden kann
(also beliebig unrealistisch ist).
In [24] wird der bereits eingangs erwähnte Algorithmus präsentiert, der mit Hilfe
eines Halte-Orakels die reelle Vorzeichenfunktion Markov-berechnet. Dies impliziert,
daß Tseitin’s Theorem (siehe z.B. [Wei01]) überraschenderweise nicht relativiert,
welchem zufolge ohne Hypercomputation jede totale Markov-berechenbare Funktion
notwendig stetig ist. Weiterhin erörtern wir die Frage, welche Funktionen f : Rc →
Rc mit einem geeigneten Orakel Markov-berechenbar werden.
Publikationsliste
[1] M. Fischer, T. Lukovszki, M. Ziegler: “Geometric Searching in
Walkthrough Animations with Weak Spanners in Real Time”, pp.163–174 in
Proc. 6th Annual European Symposium on Algorithms (ESA’98), Springer LN-
CS vol.1461.
[2] M. Fischer, T. Lukovszki, M. Ziegler: “A Network Based Approach for
Realtime Walkthrough of Massive Models”, pp.133–142 in Proc. 2nd Workshop
on Algorithms Engineering (WAE’98).
[3] M. Fischer, T. Lukovszki, M. Ziegler: “Partitioned Neighborhood Spanners
of Minimal Outdegree”, pp.47–50 in Proc. 11th Canadian Conference on
Computational Geometry (CCCG’99).
[4] A. Czumaj, C. Sohler, M. Ziegler: “Property Testing in Computational
Geometry” pp.155–166 in: Proc. 8th Annual European Symposium on Algorithms
(ESA’00), Springer LNCS vol.1879.
[5] C. Sohler, M. Ziegler: “Computing Cut Numbers”, pp.73–79 in Proc. 12th
Canadian Conference on Computational Geometry (CCCG’00).
[6] V. Brattka, M. Ziegler: “Computing the Dimension of Linear Subspaces”,
pp.450–458 in: Proc. 27th Annual Conference on Current Trends in Theory
and Practice of Informatics (SOFSEM’2000), Springer LNCS vol.1963.
[7] V. Brattka, M. Ziegler: “A Computable Spectral Theorem”, pp.378–
388 in: Proc. 4th Conference on Computability and Complexity in Analysis
(CCA’2000), Springer LNCS vol.2064.
[8] M.R. Emamy-K., M. Ziegler: “New Bounds for Hypercube Slicing Numbers”,
pp.155–164 in Proc. 1st International Conference on Discrete Models
- Combinatorics, Computation and Geometry, DMTCS vol.AA (2001), ISSN
1365-8050.
[9] V. Brattka, M. Ziegler: “Turing Computability of (Non-)Linear Optimization”,
pp.181–184 in Proc. 13th Canadian Conference on Computational Geometry
(CCCG’01).
13

[10] M. Ziegler: “Computability on Regular Subsets of Euclidean Space” pp.157–
181 in Mathematical Logic Quarterly (MLQ), Vol.48 (2002) Supplement 1.
[11] V. Damerow, L. Finschi, M. Ziegler: “Point Location Algorithms of Minimum
Size”, pp.5–9 in Proc. 14th Canadian Conference on Computational
Geometry (CCCG’02).
[12] V. Brattka, M. Ziegler: “Computability of Linear Equations”, pp.95–106
in Proc. 2nd IFIP International Conference on Theoretical Computer Science
(TCS2002@Montreal), Kluwer.
[13] M. Ziegler: “Zur Berechenbarkeit reeller geometrischer Probleme”, Dissertation,
HNI Verlagsschriftenreihe vol.115 (2002), ISBN 3-935433-24-7.
[14] M. Ziegler: “Fast Relative Approximation of Potential Fields”, pp.140–149
in Proc. 8th Workshop on Algorithms an Data Structures (WADS’03), Springer
LNCS vol.2748.
[15] M. Ziegler: “Quasi-Optimal Arithmetic for Quaternion Polynomials”,
pp.705–715 in Proc. 14th Annual International Symposium on Algorithms and
Computation (ISAAC’03), Springer LNCS vol.2906.
[16] M. Ziegler: “Computable Operators on Regular Sets”, pp.392–404 in Mathematical
Logic Quarterly (MLQ) vol.50 (2004).
[17] M. Nüsken, M. Ziegler: “Fast Multipoint Evaluation of Bivariate Polynomials”;
pp.544-555 Proc. 12th Annual European Symposium on Algorithms
(ESA’04), Springer LNCS vol.3221.
[18] M. Ziegler, V. Brattka: “Computability in linear algebra”, pp.187–211 in
Theoretical Computer Science vol.326 (2004).
[19] C. Schindelhauer, K. Volbert, M. Ziegler: “Spanners, Weak Spanners,
and Power Spanners”, erscheint in Proc. 15th Annual International Symposium
on Algorithms and Computation (ISAAC’04), Springer LNCS.
[20] M. Ziegler, B. Fuchssteiner: “Nonlinear Reformulation of Heisenberg’s
Dynamics”, angenommen beim International Journal of Theoretical Physics;
pre-print http://de.arxiv.org/abs/quant-ph/0210198
[21] M. Ziegler: “Stability versus Speed in a Computable Algebraic Model”,
angenommen bei Theoretical Computer Science.
[22] M. Ziegler: “Effectively Open Real Functions”; eingereicht.
[23] M. Ziegler: “Does Quantum Mechanics allow for Infinite Parallelism?”;
eingereicht.
[24] D. Kuntze, M. Ziegler: “Markov Hypercomputation”, in Vorbereitung.
[25] S. Köhler: “Zur Approximierbarkeit des Halteproblems in einer praktischen
Gödelisierung”, Bachelorarbeit; in Bearbeitung.
3 Ziele und Arbeitsprogramm
Innerhalb dieses Abschnitts erläutern wir die Ziele und das vorgesehene Arbeitsprogramm
des beantragten Projekts. Beschreibungen dabei einzusetzender Techniken
und Methoden verweisen teilweise auf die Literaturliste von Seite 8 bis 11.
14

3.1 Ziele
Im Forschungsprojekt
“Real Hypercomputation: Berechenbarkeitstheorie reeller Funktionen
jenseits der Church-Turing Hypothese”
sollen verschiedene Erweiterungen bekannter Modelle des Rechnens mit reellen Zahlen
entwickelt, ihre grundsätzlichen Fähigkeiten hinsichtlich reeller Funktionen untersucht
und vergleichen werden.
3.1.1 Ziel: Synthese zweier Forschungsrichtungen
In dem beantragten Projekt werden zwei florierende Forschungsrichtungen kombiniert:
Reelles Rechnen und (diskrete) Hypercomputation. Dies bedeutet über die
Adaption bekannter Techniken des einen auf das andere hinaus die Entwicklung
wesentlich neuer Beweismethoden. Außer Ingredienzien klassischer Rekursionstheorie
— u.a. Logik, Kombinatorik 4 und Algorithmenentwicklung — beinhaltet dies
auch einen breiten Bereich der kontinuierlichen Mathematik: Analysis, Topologie,
Algebra, um nur einige zu nennen. Im BCSS-Modell beispielsweise basiert die Unentscheidbarkeit
des Halteproblems auf einem rekursionstheoretischen Diagonalisierungsargument,
die der Mandelbrot-Menge [BCSS98, Kapitel 2.4] hingegen auf
Ergebnissen der Algebraischen Geometrie bzw. Fraktal-Theorie.
Insgesamt ergeben sich in der reellen Hyper-Berechenbarkeitstheorie signifikante
Unterschiede zur bisherigen, diskreten Hypercomputation.
Entscheidbarkeit versus Berechenbarkeit: Im diskreten Fall sind beide bekanntermaßen
äquivalent; im reellen jedoch nicht!
Genauer genügt es für eine (sagen wir, primitiv-rekursiv beschränkte) Funktion
f : N → N, die endlich vielen Bits der Binärkodierung von f(n) zu entscheiden,
um diesen Funktionswert auch zu berechnen; und umgekehrt kann man aus dem
Funktionswert jedes Bit extrahieren.
Für reelles f : R → R hingegen führt die unendliche Binärentwicklung dazu, daß
die Entscheidbarkeit jedes Funktionswerts f(x) im BCSS-Modell zwar notwendig,
aber nicht hinreichend ist für Berechenbarkeit. Und im Turing’schen Sinne (Typ2-
Modell) ist sie umgekehrt zwar hinreichend, aber nicht notwendig [Tur37].
Ein- versus mehrdimensionale Berechenbarkeit: Beim ganzzahligen Rechnen
lassen sich mehrere Integers in ein einzelnes kodieren und dekodieren. Mit anderen
Worten: Es gibt eine rekursive bijektive sogenannte Paarungs-Funktion
〈 · , · 〉 : N × N → N ,
populär bekannt als Buchungssystem in Hilberts Hotel. Sie erlaubt es, sich bei der
Berechenbarkeit von Funktionen f :⊆ N ∗ → N ∗ auf diejenige von Funktionen ˜ f :⊆
N → N zu beschränken. Insbesondere genügt im ganzzahligen Fall die einmalige
Anwendung des µ-Operators, um die primitiv rekursive Funktionenklasse zur µrekursiven
zu erweitern.
Ganz anders im Reellen: Hier gibt es keine gerechtfertigterweise berechenbar zu
nennende Bijektion zwischen R und R 2 . (Genauer beweist die Algebraische Topologie,
daß eine solche Abbildung notwendig hochgradig unstetig ist.) Eben darauf
4 In der Tat basiert beispielsweise Büchis Beweis über die Abgeschlossenheit nichtdeterministischer
ω-Automaten unter Komplement auf einem Ramsey-Theorem für unendliche
Graphen; vgl. S.141 in [Tho90]. Umgekehrt wurde durch den Logiker Ramsey das heute nach ihm
benannte Teilgebiet der extremalen Kombinatorik begründet.
15

◮
basiert Moores auf Seite 8 diskutierte Klassifikation (3) Continuous-Time berechenbarer
Funktionen nach der Anzahl dazu notwendiger µ-Operationen. Und eben
deshalb stößt Cucker auf den auf Seite 7 dieses Antrags erwähnten Unterschied
zwischen den BCSS-Pendants zu den Hierarchien (1) bzw. (2).
3.1.2 Ziel: Modellierung reeller Hypercomputation
Ein wesentlicher Hauptunterschied zwischen ganzzahliger und reeller Berechenbarkeitstheorie
besteht darin, daß bei ersterer alle gängigen Rechenmodelle äquivalent
sind zur Turingmaschine. Daher bilden Orakel-Turingmaschinen quasi die Standarderweiterung
diskreten Rechnens, an der die Fähigkeiten anderer Hypercomputer
(wie z.B. van Emde Boas’ unendlicher Nichtdeterminismus oder Hamkins
Infinite-Time Turingmaschinen) gemessen werden. Dabei geht implizit ein, daß jedes
diskrete Problem durch ein geeignetes Orakel berechenbar wird.
Über R hingegen bilden mehrere anerkannte nichtäquivalente Rechenmodelle
Ausgangspunkte für Hypercomputation. Und oftmals bieten diese in natürlicherer
Weise nicht-orakelbasierte Erweiterungsmöglichkeiten — im BCSS-Modell beispielsweise
über {+, −, ×, ÷} hinausgehende Basisoperationen. So kann man zeigen, daß
kein Orakel im Sinne von [Cuc92] eine BCSS-Maschine zur Berechnung der Exponentialfunktion
befähigt, der Zusatzbefehl “exp” hingegen trivialerweise schon.
Ausgehend von den in Abschnitt 2.1.3 genannten Modellen reellen Rechnens und
den in Abschnitt 2.1.1 genannten diskreten Hypercomputern schlagen wir im Arbeitsprogramm
(Abschnitt 3.2) elf reelle Hypercomputermodelle vor, wobei auch
physikalische Realisierbarkeitsaspekte gemäß [Hog92, Kieu04, BegTuc04, Yao03,
BoGaKo94] eine Rolle spielen. Diese Kandidatenliste wird im Verlauf des Projekts
gegebenenfalls noch erweitert.
3.1.3 Ziel: Bestimmung und Vergleich der Fähigkeiten verschiedener
reeller Hypercomputer
Diese neuen reellen Rechenmodelle sollen hinsichtlich ihrer grundsätzlichen Fähigkeiten
untersucht und mit einander verglichen werden. Für die in Abschnitt 3.1.2
erwähnte erweiterte Liste und in Analogie zur Arithmetischen Hierarchie erwarten
wir eine (nichtlineare) Hierarchie reeller Hypercomputer.
3.1.4 Ziel: Eine Systematik klassischer reeller Rechenmodelle
Bereits für klassisches reelles Rechnen sind die gängigen Modelle inäquivalent und
sogar unvergleichbar. Das muß jedoch nicht heißen, daß es auch die darauf aufbauenden
reellen Hypercomputer sind.
Im Gegenteil haben Boldi und Vigna in [BolVig99] bereits gezeigt, daß eine mit
geeignetem Orakel ausgestattete Typ2- zur BCSS-Maschine vergleichbar wird, was
den Spezialfall der rekursiven Aufzählbarkeit (semi-Entscheidbarkeit) offener reeller
Teilmengen betrifft. Was reelle Funktionen betrifft, konnte Kawamura die Typ2berechenbaren
zwischen Continuous-Time Computern und gewissen Continuous-
Time Hyper-Computern einordnen [Kaw04].
Unser Ziel sind weitere solche wechselseitigen Einordnungen anderer gängiger
reeller Rechenmodelle innerhalb der in Abschnitt 3.1.3 in Aussicht gestellten Hierarchie
reeller Hypercomputer. Dem liegt die Hoffnung zugrunde, so die bislang noch
immer Modell-spezifisch separierten Forschungszweige klassischen reellen Rechnens
vereinheitlichen zu können.
16

◮
◮
3.1.5 Ziel: Explizite und illustrative separierende Probleme
Um für Abschnitt 3.1.3 zu zeigen, daß beispielsweise Modell A mindestens so mächtig
ist wie Modell B, ist typischerweise ein Algorithmus zu entwickeln, der B auf A simuliert;
und um zu zeigen, daß A echt mächtiger ist als B, ist ein reelles Problem P
zu konstruieren, welches von A gelöst werden kann, aber nicht von B. P illustriert
die charakteristischen Fähigkeiten von A und separiert diese von denen von B.
Solche Konstruktionen basieren in der diskreten Rekursionstheorie meist auf
Diagonalisierungen, liefern also vorzugsweise reine Existenzaussagen. In manchen
Fällen (z.B. Reduktion der Diagonalsprache auf das Halteproblem) konnten daraus
konkrete und anschauliche separierende (z.B. Π1 von Σ1) Probleme abgeleitet
werden; in anderen Fällen gelang dies jedoch bislang nicht.
Bei der wechselseitigen Separierung der Fähigkeiten reeller Hypercomputer wol-
len wir besonderen Wert legen auf explizite und illustrative charakteristische Beispielprobleme
P . Dies kann gelingen, weil bei der reellen Berechenbarkeit neben
logischen Beweistechniken (wie z.B. Diagonalisierung) auch topologische und algebraische
Eigenschaften ausnutzbar sind. Für klassische reelle Rechenmodelle sei dies
veranschaulicht durch
• die Exponentialfunktion als Beispiel eines Typ2-,
aber nicht BCSS-berechenbaren Problems;
• die Vorzeichenfunktion als Beispiel eines BCSS-,
aber nicht Typ2-berechenbaren Problems;
• die Mandelbrot-Menge als Beispiel eines nicht BCSS-entscheidbaren
aber semi-entscheidbaren Problems.
Siehe hierzu auch unseren Ansatz in Abschnitt 3.2.11 des Arbeitsprogramms, Posts
Problem über den reellen Zahlen explizit zu lösen.
3.1.6 Ziel: Interessante Effekte reeller Hypercomputation
Im Diskreten können Hypercomputer mehr Probleme lösen als klassische. Im Reellen
kann eine mit Halte-Orakel ausgestattete BCSS-Maschine die ansonsten unentscheidbare
Mandelbrot-Menge oder zu gegebenem Startwert die Konvergenz des
Newton-Verfahrens entscheiden.
Besonders interessant wird reelle Hypercomputation aber, wenn sich nicht nur
die Klasse sondern grundlegend der gesamte Charakter der lösbaren Probleme ändert.
Hier ist besonders das bereits erwähnte Ergebnis [24] zu nennen; ihmzufolge werden
mit Halte-Orakel plötzlich auch unstetige5 Funktionen Markov-berechenbar, was
sonst gemäß Tseitins Theorem nur stetige sind — ein drastischer Unterschied, der
in der diskreten Berechenbarkeitstheorie kein Gegenstück besitzt, sondern spezifisch
ist für reelle Hypercomputation.
Ein Ziel des beantragten Projekts besteht darin, weiter solche illustrativen Auswirkungen
reeller Hypercomputation zu identifizieren.
3.1.7 Ziel: Charakterisierung hyperberechenbarer reeller Funktionen
Bisherige Mächtigkeitsuntersuchungen an erweiterten reellen Rechenmodellen konzentrierten
sich auf ihre Fähigkeiten zur
• Berechnung einzelner reeller Zahlen [WeiZhe98, Ho99, ZheWei01, Bar02, Zhe03];
5 Nach Leibnitz’ klassischer Aussage ‘Natura non facit saltus’ könnte dies als Widerlegung
der Realisierbarkeit von Hypercomputern aufgefaßt werden. Heutzutage weiß man jedoch von
zahlreichen physikalischen Vorgängen, daß sie anerkanntermaßen Unstetigkeiten beinhalten; z.B.
der ganzzahlige Quantenhalleffekt oder die Flußquantisierung durch Supraleiter (Nobelpreis Physik
1985 bzw. 2003).
17

◮
• (Semi-)Entscheidbarkeit reeller Mengen [Cuc92, BolVig99].
Weil reelle Problemstellungen in der Praxis Ein- und Ausgaben verlangen, liegt
unser Interesse hingegen auf der
• Berechnung reeller Funktionen
(wofür die o.g. Untersuchungen natürlich wichtige Vorarbeiten darstellen).
Ziel sind insbesondere für jedes Modell Charakterisierungen der durch es berechenbaren
reeller Funktionen. Für das Typ2-Modell und f : [0, 1] → R beispielsweise
haben Grzegorczyk, Caldwell&Pour-El, Banach&Mazur und Tseitin als
äquivalent bewiesen:
• Aus gegen x ∈ [0, 1] schnell konvergenten rationalen Folgen kann eine Turingmaschine
ebensolche gegen y = f(x) schnell konvergenten berechnen;
• f läßt sich gleichmäßig approximieren
durch eine schnell konvergente, berechenbare Folge rationaler Polynome;
• f ist (total) Markov-berechenbar;
• f bildet berechenbare auf berechenbare reelle Folgen ab
und besitzt einen (diskret-)berechenbaren Stetigkeitsmodul.
Für das BCSS-Modell sind ebenfalls Charakterisierungen bekannt (grob gesagt:
stückweise rationale Funktionen auf semi-algebraischen Definitionsbereichen, zusammen
mit einer Uniformitätsbedingung).
Wir wollen ebensolche auch für unsere Hypercomputer finden.
3.2 Arbeitsprogramm
Der Einstieg in das beantragte Projekt erfordert gemäß Ziel 3.1.2 die Entwicklung
von Modellen reeller Hypercomputation durch Erweiterung klassischer reeller
Rechenmodelle aus Abschnitt 2.1.3 in Anlehnung an diskrete Hypercomputer aus
Abschnitt 2.1.1. Als Grundstock haben wir daher bereits elf solche Modelle entwickelt.
Ihre Fähigkeiten zu untersuchen (Abschnitt 3.1.3), zu separieren (Abschnitt 3.1.5)
und hinsichtlich reeller Funktionen zu charakterisieren (Abschnitt 3.1.7) sowie interessante
Effekte aufzuzeigen (Abschnitt 3.1.6), macht das Arbeitsprogramm aus.
Aus ihnen soll eine Systematik aufgebaut und klassische reelle Rechenmodelle darin
eingebettet werden (Abschnitt 3.1.4).
Es folgt nun in Abschnitten 3.2.1 bis 3.2.11 die ausführliche Vorstellung der
elf vorgeschlagenen reellen Hypercomputer, jeweils mit motivierenden Erläuterungen
und ersten Mächtigkeits-Vorüberlegungen. Darin mit “◮” markiert finden sich
zusätzliche, für das jeweilige Modell spezifische Fragestellungen und über die bereits
genannten hinausgehenden Zielsetzungen.
3.2.1 Typ2-Maschinen mit Orakel
Die simpelste Erweiterung reellen Rechnens basiert auf der Typ2-Maschine, da sie
syntaktisch eine gewöhnliche Turingmaschine mit leicht veränderter Semantik ist:
Ein- und Ausgabe bilden hier unendliche Folgen (binärkodierter) rationaler Approximationen
auf one-way Bändern. Damit ist unmittelbar klar, was man unter einer
Orakel Typ2-Maschine zu verstehen hat.
Erste Ergebnisse für diese Art reeller Hypercomputer sind in [24] in Vorbereitung.
Im Rahmen des beantragten Projekts soll zunächst diese Arbeit abgeschlossen
und zur Veröffentlichung eingereicht werden.
18

◮
◮
◮
Man beachte, daß der dort betrachtete Algorithmus zwar ein Halte-Orakel ∅ ′ =
∅ (1) verwendet, die damit Markov-berechneten Funktionen aber nur auf Rc = ∆1
(d.h. der untersten Stufe der reellen Arithmetischen Hierarchie, also den ohne Halte-
Orakel berechenbaren reellen Zahlen) definiert sind.
Was passiert nun, wenn man als Definitionsbereich ein ∅ (1) -Orakel zuläßt, also
Funktionen f : ∆2 ⊆ R → ∆2 ⊆ R betrachtet? Und/oder was kann ein Algorithmus,
wenn er Zugriff auf ein ∅ (2) -Orakel erhält? Allgemeiner wollen wir im Anschluß an
[24] untersuchen, welche Funktionen f : ∆k → ∆k man mit einem ∅ (ℓ) -Orakel
Markov-berechnen kann für k, ℓ ∈ N.
3.2.2 Nichtdeterministische Typ2-Maschinen
Die bekannte (Exponentialzeit-) Simulierbarkeit einer nichtdeterministischen durch
eine deterministische Turingmaschine gilt nur für Rechnungen endlicher Länge, vgl.
[SpToEm89]. Typ2-Berechnungen hingegen realisieren Transformationen von/nach
unendlichen Zeichenketten, führen also in der Regel unendlich viele Schritte durch.
Ihre nichtderministische Variante ist motiviert durch die Vermutung, Quantenparallelismus
sei nicht nur endlich sondern sogar in einer unendlichen Variante möglich
[23].
Bei endlichem Nichtdeterminismus werden unter allen möglichen Rechnungen
diejenigen mit verwerfendem Endzustand semantisch ausgeschlossen. Weil Typ2-
Maschinen aber nicht halten, macht dies hier keinen Sinn. Andererseits gibt es bereits
eine wohletablierte Berechenbarkeitstheorie (inklusive nichtdeterministischer
Akzeptanzdefinition) für Sprachen unendlicher Wörter und das diesbezügliche Pendant
zur Chomsky-Hierarchie [Tho90, Stai97]. Sie basiert auf der berühmten Arbeit
[Bue62] über endliche Automaten auf solchen ω-Sprachen. Büchi hat dort gezeigt,
daß erst Nichtdeterminismus dieses Gegenstück zu den klassischen regulären Sprachen
abgeschlossen macht unter Komplement.
Daran orientiert, definiert man natürlicherweise eine nichtdeterministische Typ2-
Berechnung durch eine entsprechende Turingmaschine, welche auf einer unendlichen
Eingabe erstens mindestens einen unendlichen Rechenweg besitzt und wenn zweitens
alle solchen unendlichen Rechnungen auf das one-way Ausgabeband den gleichen
unendlichen String schreibt. Als Konsequenz können wir zeigen, daß die Komposition
berechenbarer Funktionen wieder berechenbar ist und damit ein wesentliches
Kriterium für einen sinnvollen Berechenbarkeitsbegriff erfüllt.
Erlaubt dieses Modell, aus einer beliebig konvergenten rationalen Folge (qn) die
(bzw. eine, im Fall dyadischer Zahlen) Binärentwicklung des Grenzwerts x = limn qn
berechnen zu können?
In der klassischen Typ2-Theorie [Wei01] müssen nämlich vier Repräsentationen
und natürliche Berechenbarkeitsbegriffe einer reellen Zahl x ∈ R —
• ϱCn, d.h. als Grenzwert einer konvergenten Folge rationaler Zahlen
• ϱ

◮
◮
◮
• Ist jede mit einem (Halte-)Orakel Markov-berechenbare Funktion auch nichtdeterministisch
Typ2-berechenbar?
• Ist jede nichtdeterministisch Typ2-berechenbare Funktion auch mit einem
(Halte-)Orakel Markov-berechenbar?
• Kann man die nichtdeterministisch Typ2-berechenbaren Funktionen genauer
charakterisieren?
3.2.3 Infinite-Time Typ2-Maschinen
Da sie unendliche Folgen (z.B. von rationalen Approximationen) verarbeiten, stellen
bereits Typ2-Maschinen in gewisser Weise Computer mit unendlicher Laufzeit
dar — allerdings in sehr eingeschränkter Weise. Die konsequente und vollständige
Übertragung des Infinite-Time-Konzepts von Hamkins und Lewis [HamLew00] auf
das Typ2-Framework bringt wesentliche strukturelle Vorteile und stellt Analogien
zur klassischen Turingmaschine wieder her:
Im Gegensatz zur ursprünglichen Typ2-Maschine
• terminieren Infinite-Time Berechnungen (wenn auch möglicherweise erst nach
unendlich vielen Schritten). Daher macht es hier ‘wieder’ Sinn, akzeptierende
von verwerfenden Rechnungen zu unterscheiden;
• sind hier online-Maschinen durch offline- (d.h. mit separaten one-way Einund
Ausgabe-Bändern versehene) Maschinen simulierbar, also äquivalent.
Leider sind nichtdeterministische Infinite-Time Maschinen nicht äquivalent zu deterministischen
[DHSch] — eine Simulation erforderte das Durchprobieren von potentiell
überabzählbar vielen unendlichen Folgen von Münzwürfen.
Wir hoffen aber zeigen zu können, daß zumindest
• jede nichtdeterministische Typ2-Maschine durch eine deterministische Infinite-
Time Maschine simulierbar ist.
Hierbei wird erfahrungsgemäß Königs Lemma (“Jeder unendliche binäre Baum besitzt
einen unendlichen Ast.”) als Hilfsmittel eine Rolle spielen.
Im Falle einer positiven Antwort wären reelle Infinite-Time Maschinen mit Laufzeiten
≤ ω den in Abschnitt 3.2.2 beschriebenen Hypercomputer mindestens ebenbürtig.
Dies würfe weitergehende Fragen für das Projekt auf:
• Sind sie für Laufzeiten > ω sogar echt mächtiger?
• Wie sieht eine charakteristische Beispielfunktion aus, die zu berechnen solche
großen Laufzeiten beweisbar benötigt?
• Kann man allgemeiner, in Analogie zu Hamkins’ Infinite-Time Version des
Zeithierarchiesatzes, eine Hierarchie von reellen Funktionen (vorzugsweise konkret)
angeben?
Schließlich erlaubt es die Semantik der Supertasks noch, einen Zellinhalt unendlich
oft zu revidieren; in einem solchen Fall erhält er nach jeweils ω vielen Schritten als
Wert den Limes Superior seiner bisherigen Inhalte. Hier wollen wir ein illustratives
Beispielproblem identifizieren, das diese Eigenschaft wesentlich ausnutzt.
3.2.4 Semi-Rekursives Rechnen
Die übliche Definition eines Entscheidungsproblems L lautet, für gegebenes x zwischen
den zwei Alternativen
a) “x ∈ L” bzw. b) “x ∈ L”
20

◮
◮
◮
zu wählen; es ist klar 6 , daß stets mindestens (sogar genau) eine davon zutrifft.
Eine andere doch ebenfalls natürliche Art von Aufgabenstellung lautet, für gegebene
x, y zwischen den zwei Möglichkeiten
a) “x ∈ L” bzw. b) “y ∈ L”
zu wählen unter der Vorbedingung, daß mindestens eine davon zutrifft.
[Jock68, HemTor03] bezeichnen Sprachen L ⊆ Σ∗ , bei denen letzteres algorithmisch
möglich ist, als semi-rekursiv (nicht zu verwechseln mit Semi-Entscheidbarkeit,
d.h. rekursiver Aufzählbarkeit!) und führen daran interessante Berechenbarkeitsund
Komplexitätsuntersuchungen durch. Beispielsweise stellt sich heraus, daß sich
die semi-rekursiv lösbaren Probleme beliebig weit hoch in die (klassisch unentscheidbare)
Arithmetische Hierarchie erstrecken, dieses Konzept also zu Hypercomputation
führt.
Wir möchten selbiges auf reelles Rechnen anwenden und beginnen hierzu mit der
Betrachtung der Menge Rs Rc aller derjenigen x ∈ R, deren Binärentwicklung
x =
i bi2 −i semi-rekursiv ist. Mit anderen Worten: Bei Eingabe von n, m ∈ N
kann eine Turingmaschine ein k ∈ {n, m} auswählen mit bk = 1, sofern existent. Es
sei betont, daß gemäß der Definition von Semi-Rekursivität eine Ausgabe k erfolgen
(d.h. der Algorithmus terminieren) muß selbst dann, wenn bn = bm = 0 gilt.
Ein erster natürlicher Untersuchungsgegenstand betrifft nun die Abgeschlossenheitseigenschaften:
Man kann leicht sehen, daß mit x ∈ Rs auch −x wieder semirekursiv
ist; aber:
• Gilt mit x, y ∈ Rs auch x + yRs und x · y ∈ Rs?
• Folgt aus 0 = x ∈ Rs, daß 1/x ∈ Rs ?
• Sind Nullstellen semi-rekursiver Polynome wieder semi-rekursiv, d.h. ist Rs
reell abgeschlossen?
Weiterhin ergibt sich in natürlicher Weise eine Variante des Markov-Berechenbarkeitsbegriffs
für Funktionen f : Rs → Rs durch die Bedingung, daß hier eine Turingmaschine
aus dem Gödel-Index eines semi-rekursiven Algorithmus für x einen
ebensolchen Index für f(x) bestimmen kann.
Offenbar ist jede Markov-berechenbare Funktion auch Markov-semiberechenbar
in diesem Sinn (zumindest auf Rc). Diesbezüglich unberechenbar ist z.B. jede konstante
Abbildung x ↦→ c mit c ∈ R \ Rs. Solch ein (Gegen-)beispiel für die (Grenzen
der) Mächtigkeit dieses Modells ist jedoch wenig illustrativ.
Deshalb wollen wir eine aussagekräftigere unberechenbare Beispielfunktion finden
und u.a. beantworten:
• Wie kann man die in diesem Modell berechenbaren Funktionen charakterisieren?
• Sind sie alle stetig? Und falls nicht, wie verhalten sie sich zu den mit Orakel
Markov-berechenbaren?
3.2.5 BCSS-Maschinen mit berechenbaren Konstanten
Gemäß der Definition in [BSS89, BCSS98] hat bereits ein ‘klassischer’ BCSS-
Algorithmus eine beliebige endliche Auswahl reeller Konstanten zur Verfügung —
insbesondere auch unberechenbare. In solche kann u.a. das Halteproblem für Turing-
Maschinen vorkodiert und somit durch einen BCSS-Computer entschieden werden,
weshalb dieses Modell teilweise schon an sich zur Hypercomputation gezählt wird.
Es andererseits alleine auf Konstanten aus Rc einzuschränken führt auf andere
Schwierigkeiten, hier gilt nur noch eine eingeschränkte Variante des smn-Theorems:
6 abgesehen von Intuitionistischer Logik
21

◮
◮
Für berechenbares f : R 2 → R wird die Fixierung des ersten Arguments f(x0, ·) :
R ∋ y ↦→ f(x0, y) im allgemeinen erst berechenbar, wenn x0 ∈ Rc (statt allgemein
aus R) ist. Dadurch ist das starke Halteproblem (“Hält die BCSS-Maschine M auf
der Eingabe x für gegebenes M und x?”) vom schwachen (“Hält M für Eingabe
0?”) potentiell zu unterscheiden.
Wir wollen formal zeigen, daß letzteres tatsächlich ‘leichter’ ist als ersteres (und
damit einen beweisbar einfacheren Zugang zur Realisierung reeller Hypercomputer
darstellt; vgl. auch Abschnitt 3.2.11).
3.2.6 Orakel BCSS-Maschinen
Erlaubt man unberechenbare reelle Konstanten, so bleibt das Halteproblem für BCSS-
Maschinen nach wie vor unentscheidbar: Diagonalisierung. Es liegt damit nahe, auch
dieses Modell durch entsprechende Orakel zu erweitern. In Analogie zur gewöhnlichen
Turingmaschine handelt es sich dabei um Auswertungen von (potentiell unberechenbaren)
Funktionen f in einem einzelnen Schritt.
Wie bereits angesprochen, besteht im Reellen allgemein aber ein Unterschied
zwischen “Entscheidbarkeit” (0/1-Antwort) und “Berechenbarkeit” (Antwort y ∈
R). Dementsprechend ergeben sich für einen BCSS-Algorithmus, der ja diskrete
(Schrittezähler, Speicheradressen) ebenso wie kontinuierliche (Speicherinhalte) Komponenten
enthält, verschiedene Arten von Orakeln:
i) f : N → R ∗
ii) f : R ∗ → {0, 1}
iii) f : R ∗ → R ∗ .
Art i) entspricht erweiterten Maschinen mit einem abzählbaren Vorrat an reellen
Konstanten, von denen sie bei jeder Rechnung aber nur endlich viele benutzen. Dies
beinhaltet unter anderem nicht-uniforme Algorithmen — für jede Eingabelänge n
ein anderes Programm — geht jedoch über sie hinaus. Andererseits können wir
zeigen, daß solche Orakel nicht ausreichen, um beispielsweise die Mandelbrot-
Menge zu entscheiden.
Orakel der Art ii) entsprechen Sprachen L ⊆ R ∗ . Hierunter fällt auch das
Halte-Orakel für BCSS-Maschinen und die Untersuchungen [Cuc92] zu einem reellen
Gegenstück der Arithmetischen Hierarchie. Mit einem solchen Halte-Orakel wird,
wie bereits erwähnt, die Mandelbrot-Menge oder die Konvergenz der Newton-
Methode entscheidbar.
Aber sind sie äquivalent, d.h. wird auch umgekehrt mit einer dieser Mengen als
Orakel das BCSS-Halteproblem entscheidbar (vgl. Abschnitt 3.2.11)? Und wie sieht
eine illustrative Beispielfunktion aus, die erst mit (Halte-)Orakel berechenbar wird?
3.2.7 Super-Arithmetische BCSS-Maschinen
Orakel der Art iii) faßt man natürlicher auf als Erweiterungen des klassisch rein
arithmetischen Befehlssatzes {+, −, ×, ÷, =,

◮
algleichung
0 = x · f ′′ (x) + (c − x) · f ′ (x) − a · f(x) bzw. (a, b, c ∈ R)
0 = x(1 − x) · f ′′ (x) + c − (1 + a + b)x · f ′ (x) − ab · f(x) (4)
tatsächlich durch physikalische Systeme realisiert werden können. Mit diesem Befehlsumfang
erweitert, rückt die BCSS-Maschine näher in Richtung Shannons General
Purpose Analog Computer (GPAC): Selbiger kann beliebige differentialalgebraische
(d.h. polynomielle gewöhnliche Differential-) Gleichungen
p x, f(x), f ′ (x), . . . , f (n) (x) = 0, p ∈ R[Z0, Z1, . . . , Zn] (5)
fester Ordnung n lösen; vgl. [Shan41, Pour74, CMC04]. Sie beinhalten die Differentialgleichungen
(4), umfassen aber auch beispielsweise f(x) := exp(exp(exp(x))) als
Lösung der folgenden differential-algebraischen Gleichung dritter Ordnung:
f 2 ·f ′ ·f ′′′ − f·(f ′ ) 2 ·f ′′ − f 2 ·f ′ ·f ′′ + (f ′ ) 4 + f·(f ′ ) 3 + f 2 ·(f ′ ) 2 − f 2 ·(f ′′ ) 2 = 0 .
Gleichzeitig löst dieser Exponentialturm der Höhe 3 aber beweisbar keine Differentialgleichung
vom Typ (4) noch sonst irgendeiner differential-algebraischen Gleichung
zweiter Ordnung [Bab73, Theorem 2(i)], ist also nicht hypergeometrisch.
Es folgt, daß selbst BCSS-Maschinen mit hypergeometrischem Befehlsumfang
nicht jede GPAC-berechenbare, dafür im Gegenzug jedoch auch unstetige Funktionen
berechnen können.
In Anbetracht, daß solche Hyper-BCSS-Computer bereits im Begriff sind, in
der Algorithmischen Geometrie eingesetzt zu werden [DEMY02], möchten wir ihre
Fähigkeiten genauer untersuchen und fragen:
• Wie lassen sich die in diesem Modell entscheidbaren Probleme und berechenbaren
Funktionen genauer charakterisieren?
• Gibt es explizite Beispiele für Unberechenbarkeit?
• Ist hier die Mandelbrot-Menge entscheidbar?
• Bleibt hier das Halteproblem für (gewöhnliche) BCSS-Maschinen unlösbar?
3.2.8 BCSS-Maschinen mit Nullstellensuche
Eine alternative Art, den Befehlssatz von BCSS-Computern auf natürliche Art zu
erweitern, besteht in der Nullstellensuche.
Basierend auf Tarskis Quantorenelimination ist die Frage, ob ein gegebenes
reelles Polynom eine Nullstelle in R besitzt, mittels der gängigen arithmetischen
Operationen und Tests entscheidbar. Diese Nullstelle auch dann zu berechnen, ist
bis einschließlich Grad 4 möglich mit zusätzlicher Hilfe von Wurzeloperationen wie
den in Abschnitt 3.2.7 hinzugenommenen; ab Grad 5 hingegen genügen selbst diese
im allgemeinen nicht 7 mehr: das Abel-Ruffini-Theorem.
Gleichwohl erlaubt beispielsweise das Newton-Verfahren, auch in diesem Fall
Nullstellen beliebig nahe zu approximieren — sogar effizient, wenn auch nicht in
konstanter Zeit bezüglich der gewünschen Genauigkeit. Nullstellen einer reellen
Funktion f sind offenbar genau die Minima von f 2 ; und physikalisch strebt nach
dem zweiten Hauptsatz der Thermodynamik jedes dissipative System automatisch
zur Minimierung z.B. seiner freien Energie — darauf basiert beispielsweise Kieus
Hyper-Algorithmus [Kieu04] zur Entscheidung von Hilberts Zehntem Problem;
und auch [GoMe02] definiert Rechnungen physikalisch über Energieminimierungsprozesse.
Und schließlich entspricht Nullstellensuche dem µ-Operator in Moores
Continous Time-Rechenmodell [Moo96].
23

◮
◮
◮
Wir schlagen daher vor, eine neue Elementaroperation “zero” in den Befehlsumfang
einer BCSS-Maschine mit aufzunehmen und die sich daraus ergebenden Konsequenzen
zu untersuchen. Unter den (in der Regel mehreren) Lösungen x ∈ Rn von f(x) = 0 wird die gewünschte durch Angabe eines Suchintervalls [a, b], d.h.
die Bedingung ai ≤ xi ≤ bi, ausgewählt. Gibt es davon mehrere, so liefere zero
irgendeine; gibt es keine, so sei das Resultat ein beliebiger Wert x ∈ [a, b]. Dabei operiere zero nicht nur auf Polynomen, sondern auf beliebigen BCSSberechenbaren
Funktionen f, gegeben durch die Gödelnummer 〈M〉 ∈ R∗ der sie
berechnenden Maschine M. Das folgende Beispiel illustriert, wie dies das BCSS-
Halteorakel von Abschnitt 3.2.6 verallgemeinert:
• Eingabe 〈M〉, x ∈ R ∗ und t ∈ R.
• Ausgabe 1 falls t ≤ 0; sonst:
• simuliere die ersten ⌈1/t⌉ Schritte von M auf x
• Ausgabe 0 falls bis dahin terminiert, sonst 1.
Nun wende zero auf die durch diesen Algorithmus berechnete Funktion f(t) an:
Genau wenn das Resultat eine Nullstelle ist (was sich in endlicher Zeit verifizieren
läßt), hält die ursprüngliche Maschine M auf x.
Sogar Totalität — d.h. die Frage, ob gegebenes M auf jeder Eingabe x ∈ R∗ hält,
ein Problem welches klassisch selbst mit einem Halte-Orakel unlösbar bleibt — läßt
sich nun entscheiden: Im beschränkten eindimensionalen Fall x ∈ [−1, 1] berechne
wie oben die Funktion
1 falls M auf x hält,
f(x) :=
0 andernfalls
und wende darauf die Operation zero an. Den unbeschränkten Bereich x ∈ R
reduziere auf y ∈ [0, 1] mittels g(y) := f y
1−|y| für −1 < y < 1, g(−1) := 1 =: g(1).
Den mehrdimensionalen Bereich x ∈ R∗ kann man ähnlich behandeln.
Die Mächtigkeit dieses Modells ist also gewaltig; aber:
• Welche Probleme genau sind über {+, −, ×, ÷, zero} entscheidbar?
• Lassen diese sich einordnen in die Arithmetische und/oder Analytische Hierarchie
aus [Cuc92]?
• Werden hier Grenzwerte konvergenter berechenbarer Folgen berechenbar?
Es sei daran erinnert, daß für rationale Funktionen zumindest die Existenz von Nullstellen
entscheidbar ist; für Formeln mit Exponentialausdrücken und Logarithmen
ist dies noch unklar [MacWil96] (vgl. Abschnitt 3.2.9); und für Formeln mit trigonometrischen
Funktionen im allgemeinen unentscheidbar [Mee92]. In letzterem Fall
diese Nullstellen mittels zero dann sogar bestimmen zu können, bringt daher zumindest
intuitiv gesehen einen Zusatzvorteil bei über {+, −, ×, ÷} hinausgehenden
Befehlssätzen á la Abschnitt 3.2.7.
Ob dies tatsächlich so ist, wollen wir erforschen. Weiterhin stellt sich die Fra-
ge, welchen Unterschied es macht, ob zero mehrfach oder nur einmal angewandt
werden darf. Man erinnere sich zum Vergleich: Letzteres für den µ- anstelle des
zero-Operators ist im diskreten Fall negativ zu beantworten, im reellen hingegen
noch offen.
7 Weil die Existenz einer Nullstelle hingegen leicht zu testen ist, illustriert dies abermals, wie
im Reellen die Begriffe “entscheidbar” und “berechenbar” streng zu trennen sind.
24

◮
3.2.9 Nichtdeterministische BCSS-Maschinen
Für klassische nichtdeterministische Turingmaschinen garantiert Königs Lemma
die Kompaktheit des Cantor-Raums aller möglichen nichtderministischen Entscheidungspfade.
Daher hat eine solche Rechnung, wenn sie auf jedem ihrer möglichen
lokalen Wege terminiert, auch eine maximale globale Laufzeit. Sie läßt sich
daher in endlicher Zeit durch eine deterministische simulieren.
Reeller Nichtdeterminismus bedeutet hingegen das ‘Raten’ aus einer von überabzählbar
vielen Möglichkeiten (mit anschließender Verifikation). Es ist daher keineswegs
offensichtlich, ob auch hier sich jede nichtdeterministische BCSS-Maschine
durch eine deterministische simulieren läßt; siehe Remark 3 in Kapitel 5.1 von
[BCSS98]. Tatsächlich geht dies nur für solche nichtdeterministischen Rechnungen,
deren Laufzeit sich unabhängig von der Größe des ‘geratenen’ Werts beschränken
läßt.
Tun sie dies nicht, d.h. definiert man nichtdeterministische Entscheidbarkeit
einer Sprache L ⊆ R ∗ naiv einfach durch die Existenz eines deterministisch entscheidbaren
A ⊆ R ∗ mit
x ∈ L ⇐⇒ ∃y ∈ R ∗ : (x, y) ∈ A ,
so kann eine solche Maschine das BCSS-Halteproblem für gegebenes M in diesem
Sinne entscheiden, indem sie analog zu Abschnitt 3.2.8 eine Dauer k = ⌈1/t⌉ ∈ N
rät und dann die ersten k Schritte von M simuliert: Hypercomputation! Genauer
beinhaltet diese Art von reellem Nichtdeterminismus die obige Operation zero —
rate ein x ∈ [a, b] und verifiziere, während der gegebene Algorithmus weiter fortfährt
(dove-tailing), daß dies tatsächlich eine Nullstelle ist.
Erst wenn die Laufzeit der nichtdeterministischen Rechnung unabhängig von der
Größe des geratenen Werts y ist 8 , kann sie durch eine deterministische Maschine
simuliert werden. Dieses Ergebnis basiert letztendlich auf Tarskis Quantorenelimination
und hängt damit wesentlich von dem Befehlssatz {+, −, ×, ÷, =,

◮
◮
3.2.10 Infinite-Time BCSS-Computer
Hamkins’ und Lewis’ Idee, Computerberechnungen über eine mehr als endliche
(Ordinal-)Zahl von Rechenschritten zu verfolgen, läßt sich außer auf Turing- auch
auf BCSS-Maschinen anwenden. Der wesentliche Unterschied — Speicherzellen können
jetzt reelle statt diskreter Werte aufnehmen — geht semantisch eins-zu-eins durch,
da der Inhalt einer Zelle nach unendlich häufigem Revidieren sowieso als limes
superior (größter Häufungswert) der bisherigen Werte definiert ist [HamLew00,
HamLew02, DHSch].
Für Infinite-Time Turingmaschinen bewies [HamLew00], daß sie entweder innerhalb
abzählbar vielen Schritten halten oder in eine Endlosschleife geraten. Als erste
Neuerung erwarten wir, daß Infinite-Time BCSS-Programme hingegen überabzählbar
viele Schritte durchlaufen und ‘danach’ dennoch terminieren können. Dies spiegelt
wider, daß physikalische (Rechen-)Prozesse tatsächlich auf einer kontinuierlichen
(d.h. überabzählbaren) statt diskreten Zeitachse ablaufen. Somit liegen Beziehungen
zu den Continuous-Time Computern [Moo96, Orp97] zumindest nahe.
Aber wie verhalten sich die grundsätzlichen Fähigkeiten einer Infinite-Time
BCSS-Maschine formal zu denen eines Continuous-Time Computers? d.h. ist jede
Continuous-Time berechenbare reelle Funktion auch Infinite-Time BCSS-berechenbar
und/oder umgekehrt?
Als ersten Ansatz zu deren Beantwortung weisen wir darauf hin, daß die erwähnte
lim sup-Operation das Berechnen von Grenzwerten beinhaltet und somit (z.B.
mittels Newton-Verfahren oder Gradientenmethode) unter geeigneten Voraussetzungen
den Mooreschen µ-Operator simulieren kann.
3.2.11 Schwache Hypercomputer
Ein Skeptiker mag bezweifeln, daß Realisierungsansätze wie [Hog92, AdCaPa04,
Yao03, Kieu04] jemals in der Lage sein werden, das Halteproblem H in Praxis
zu lösen. Deshalb wollen wir auch Hypercomputer untersuchen, deren Mächtigkeit
echt darunter liegt. Selbst wenn ein H entscheidendes physikalisches System sich
als unrealisierbar herausstellen sollte, so bliebe daher immer noch die Möglichkeit
eines solchen, schwachen Hypercomputers.
Posts Problem: Im Orakel-Modell beispielsweise gibt es Turing-unentscheidbare
Probleme, deren Grad strikt unterhalb von H liegt. Genauer hat Emil L. Post
die Existenz eines solchen Problems P vermutet [Post44], den Beweis erbrachten
Friedburg und Muchnik [Fri57].
Leider sind alle bekannten Beispiele für ein solches P das abstrakte Ergebnis
reiner Existenzbeweise mittels komplizierter (‘finite injury priority’) Diagonalisierungen.
Es physikalisch zu realisieren auch nur zu versuchen scheitert daher daran,
daß man gar nicht P konkret kennt.
Im Reellen andererseits sieht die Situation jedoch je nach Modell deutlich anders
aus: [HamLew02] zeigte, daß für Infinite-Time Turingmaschinen die Existenz eines
unentscheidbaren doch echt leichteren als dem Halteproblem davon abhängt, ob
man einzelne reelle Zahlen berechnen oder die Zugehörigkeit zu einer reellen Menge
entscheiden will. Dabei verwenden sie jedoch ebenfalls Diagonalisierung (nämlich
über höhere Ordinalzahlen) zur Konstruktion eines entsprechenden P .
Für das BCSS-Modell jedoch (wo diese Frage bislang nicht behandelt wurde)
vermuten wir, daß Posts Problem nicht nur positiv beantwortet werden kann, sondern
sogar explizit; denn hier stehen neben Diagonalisierung auch Argumente als
Beweistechniken zur Verfügung, die algebraische und/oder topologische Eigenschaften
reeller Berechenbarkeit ausnutzen.
Ein solches P ⊆ R ∗ , welches unentscheidbar ist, ohne als Orakel das BCSS-
26

◮
◮
◮
Halteproblem lösbar zu machen, wollen wir suchen und möglichst konkret angeben.
Approximation des Halteproblems: Kann eine Turingmaschine das Halteproblem,
wenn schon nicht lösen, so doch zumindest approximieren in dem Sinne,
daß die Antwort (‘hält’, ‘hält nicht’) u.U. falsch, aber wenigstens für einen gewissen
Bruchteil aller Eingaben korrekt ist? Dies hängt offensichtlich von der Gödelisierung
ab: Falls sie beispielsweise die Kodierungen vieler syntaktisch inkorrekter Beschreibungen
von Turingmaschinen enthält, ist bereits eine konstante Antwort eine gute
Näherung. Erst für ‘dichte’ Programmsysteme wird die Approximation des Halteproblems
beweisbar unentscheidbar [JakSch99].
Diese Überlegungen wollen wir ins Reelle übertragen. Zu diesem Zweck ist zu-
erst eine Definition von ‘Dichtheit’ zu finden für Gödelisierungen klassischer reeller
Computermodelle; und dann zu beweisen zu versuchen, daß auch hier selbst die
Approximation des reellen Halteproblems unentscheidbar ist.
3.3 Sonstige Angaben
— entfallen —
4 Beantragte Mittel
4.1 Personalkosten
Wir beantragen:
• 1 eigene Stelle (BAT IIa), 24 Monate;
• 8 Personenmonate SHK (19h/Woche).
Der Antragsteller hat am 11.11.2002 promoviert.
Als Studentische Hilfskraft soll mein Student Sven Köhler eingestellt werden.
Er hat in seiner Bachelorarbeit [25] für eine Gödelisierung durch Aufzählung
aller syntaktisch korrekten Programme in der Sprache BF die ‘Dichtheit’ nachgewiesen
im Sinne des obigen Abschnitts “Approximation des Halteproblems”. Die
Einfachheit dieser Turing-vollständigen Programmiersprache erlaubt dabei sogar eine
Effizienz der Gödelisierung: Basierend auf kombinatorischen Eigenschaften von
ihm entwickelter Verallgemeinerungen der Catalan- und Motzkin-Zahlen, kann
zwischen Gödelnummer und Quellcode in polynomieller Zeit O(n 3 ) hin- und herkonvertiert
werden, n =binäre Länge der Gödelnummer bzw. Länge des Quellcodes.
Im Anschluß an seine Arbeit soll er (4 Personenmonate) diesen Konvertierungsalgorithmus
tatsächlich implementieren und so für ‘kleine’ Programm-Instanzen durch
eine Mischung aus Simulations-Experiment und Quellcode-Analyse ihre Terminie-
rung bzw. Divergenz herausfinden. Ziel ist, das Halteproblem der ersten paar BF-
Programme konkret zu entscheiden und für ein paar weitere zu approximieren, vgl.
Abschnitt 3.2.11.
Weitere Aufgabe ergeben sich für die auf erweiterten BCSS-Befehlssätzen basierenden
reellen Hypercomputer aus Abschnitten 3.2.7 und 3.2.8: Sowohl die hypergeometrischen
Funktionen als auch Nullstellensuche sind ja zumindest numerisch
tatsächlich realisierbar, auf Computeralgebrasystemen sogar exakt 9 . Auch diese
‘numerisch imperfekten’ reellen Hypercomputer soll Herr Köhler implementieren
(weitere 4 Personenmonate).
9 wenn auch hier nur für gewisse Eingaben — so einfach läßt sich die Church-Turing Hypothese
nicht umgehen.
27

4.1.1 Erklärung
Die Universität Paderborn stellt Herrn Ziegler unter der Begleitung von Herrn Universitätsprofessor
Dr.-math. Friedhelm Meyer auf der Heide gemäß §53 Abs.I Satz
1,2 und 4 und §57a, §57b Abs.1 Satz 2 und 4 sowie §57b Abs.2 Satz 3 HRG befristet
für die Dauer seiner Förderung durch die Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG),
höchstens aber für 3 Jahre, als wissenschaftlicher Mitarbeiter ein 10 . Die Geltung
des BAT wird vereinbart mit der Maßgabe, dass
a) sich die Arbeitspflicht von Herrn Ziegler auf sein von der DFG gefördertes
Forschungsvorhaben “Real Hypercomputation” und damit unmittelbar zusammenhängende
wissenschaftliche Dienstleistungen beschränkt und
b) der Arbeitgeber nicht durch dienstliche Anordnungen Einfluss auf die selbständige
Bearbeitung des genannten Forschungsvorhabens nimmt.
Die Hochschule hat das Vorliegen eines Befristungsgrundes geprüft.
4.2 Wissenschaftliche Geräte
— entfallen —
4.3 Verbrauchsmaterial
— entfällt —
4.4 Reisen
(Datum und Unterschrift)
Im Hinblick auf das beantragte Projekt sind folgende regelmäßige Konferenzen thematisch
relevant:
• International Colloqium on Algorithms, Logic, and Programming
(ICALP),
• Computability in Europe (CiE),
• Computability and Complexity in Analysis (CCA) und
• Foundations of Computational Mathematics (FoCM).
Zur Präsentation von Forschungsergebnissen auf ausgewählten dieser Kongresse
rechnen wir mit voraussichtlich jährlich je einer inner- (Kosten: ca. 500 Euro) und
einer außer-europäischen Reise (Kosten: ca. 1000 Euro) und beantragen daher an
Reisemitteln: 1500 Euro pro Jahr
4.5 Publikationskosten
Als Organe für Veröffentlichungen bieten sich außer den Proceedings der oben genannten
Konferenzen unter anderem folgende Zeitschriften an:
• Mathematical Logic Quarterly (MLQ),
• Theoretical Computer Science (TCS)
• Journal of Logic and Computation (JLC) und
• Foundations of Computational Mathematics (FoCM).
Da diese keine Publikationsgebühren erheben, entfällt dieser Antragspunkt.
10 vorbehaltlich der vorgesehenen Änderung des HRG zum 1.1.2005 (5. Gesetzentwurf GÄdaVH)
28

4.6 Sonstige Kosten
— keine —
5 Voraussetzungen für die Durchführung des Vorhabens
5.1 Zusammensetzung der Arbeitsgruppe
Martin Ziegler, Dr. rer.nat.; Post-Doktorand.
Daniel Kuntze; Diplomand und zukünftiger Doktorand.
Sven Köhler; Bachelorstudent und zukünftiger Diplomand.
5.2 Zusammenarbeit mit anderen Wissenschaftlern
Im Rahmen des Forschungsgebiets des Projekts arbeiten wir insbesondere zusammen
mit
• Prof. Dr. Vasco Brattka (University of Cape Town, Südafrika)
• Prof. Dr. Peter Bürgisser (Universität Paderborn)
• Prof. Dr. Peter Hertling (Universität der Bundeswehr, München)
• Prof. Dr. Hajime Ishihara (JAIST, Japan)
• Prof. Dr. Klaus Meer (Universität Odense, Dänemark)
• Prof. Dr.-math. Friedhelm Meyer auf der Heide (Universität Paderborn)
• Univ.-Doz. Dr. Christian Schindelhauer (Universität Paderborn)
• Prof. John V. Tucker (University of Wales Swansea, Großbritannien)
• Prof. Dr. Klaus Weihrauch (FernUniversität in Hagen)
• Dr. Xizhong Zheng (Technische Universität Cottbus)
5.3 Arbeiten im Ausland und Kooperation mit ausländischen
Partnern
Die Kommunikation mit den vier im Ausland befindlichen der oben genannten Wissenschaftlern
wird vorzugsweise über Email/Fax/Telefon bzw. während Treffen auf
den unter Abschnitt 4.4 genannten Konferenzen stattfinden; daher sind hierfür
— keine weiteren Mittel erforderlich. —
5.4 Apparative Ausstattung
Das Paderborn Institute for Scientific Computation (PaSCo) und das Heinz Nixdorf
Institut (HNI) der Universität Paderborn haben sich freundlicherweise bereiterklärt,
einen Büro- und Computerarbeitsplatz zur Verfügung zu stellen. Daher sind hierfür
— keine weiteren Mittel erforderlich. —
5.5 Laufende Mittel für Sachausgaben
— entfallen —
29

5.6 Sonstige Voraussetzungen
— entfallen —
6 Erklärungen
6.1
Ein Antrag auf Finanzierung dieses Vorhabens wurde bei keiner anderen Stelle eingereicht.
Wenn ich einen solchen Antrag stelle, werde ich die Deutsche Forschungsgemeinschaft
unverzüglich benachrichtigen.
6.2
Dem Vertrauensmann der DFG an der Universität Paderborn, Prof. Dr.-math.
Friedhelm Meyer auf der Heide, ist dieser Antrag bekannt.
6.3
— entfällt —
7 Unterschrift
Paderborn, den 27. Oktober 2004 (Dr. Martin Ziegler)
8 Anlagen
• DFG-Vordruck 10.04
• Lebenslauf des Antragstellers mit
• Publikationsverzeichnis
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