EINF UHRUNG IN DIE PLASMAPHYSIK

EINFUHRUNG
IN DIE PLASMAPHYSIK
Alexander Piel
Institut fur Experimentalphysik
Christian-Albrechts-Universitat zu Kiel
Vorlesungsskript
1993-98
Fassung vom 31. Marz 1999

Vorwort
Dieses Skript ist aus einer einsemestrigen, dreistundigen Vorlesung hervorgegangen,
die der Autor in den Jahren 1993{1998 an der Christian-Albrechts-Universitat zu Kiel gehalten
hat. In seinem ursprunglichen Konzept ist es als Begleiter zur Vorlesung angelegt.
Einiges erganzendes Material ist hinzugekommen, das die innere Logik und Lesbarkeit des
Textes verbessern soll. Zwangslau g wachst damit der Umfang uber den Rahmen einer
dreistundigen Vorlesung. Abschnitte, die der Vertiefung dienen, sind daher im Inhaltsverzeichnis
mit einem Stern gekennzeichnet und konnenineinemzweiten Teil der Vorlesung
behandelt werden oder zum Selbststudium dienen. Kapitel 7 wird aus Zeitgrunden im
zweiten Teil der Vorlesung behandelt.
Der Aufbau dieser Einfuhrung weicht von herkommlichen Lehrbuchern der Plasmaphysik
ab, die sich allein mit den 'reinen' Plasmae ekten in vollstandig ionisierten Gasen
beschaftigen. Stattdessen wird den Grundbegri en der Gaselektronik und einigen Aspekten
von Gasentladungen Raum gewidmet, um den praktischen Fragen des Experimentalphysikers
zur Erzeugung von Plasmen sowie der Bedeutung des Plasmas fur industrielle
Anwendungen gerecht zuwerden. Nichtsdestoweniger werden Aspekte der naturlichen
Plasmen und der kontrollierten Kernfusion gleichberechtigt entwickelt.
Nach einer Ubersicht uber die vielfaltigen Erscheinungsformen von Plasmen werden
Grundbegri e der Gasentladungsphysik behandelt. Reine Plasmae ekte werden im Anschlu
zunachst im Einzelteilchenbild diskutiert und dann im Fluidbild vertieft. Dabei
stehen die Driftbewegungen und der magnetische Einschlu im Vordergrund des Interesses.
Plasmawellen werden vorwiegend im Hinblick auf die Plasmadiagnostik diskutiert.
Die Strahl-Plasma Instabilitat dientalsParadigma fur Nichtgleichgewichtssituationen. Einerseits
hilft sie, die Rolle resonanter Teilchen fur die Landaudampfung zu verdeutlichen.
Andererseits kann sie gut mit numerischen Methoden in das nichtlineare Regime verfolgt
werden. In der kinetischen Theorie beschrankt sich die Darstellung des Vlasovmodells auf
den Fall der elektrostatischen Elektronenwellen, an dem die Naherung des warmen Plasmas
und die Landaudampfung entwickelt werden. Komplementar zu den analytischen
Methoden wird ein kurzer Abri der Teilchensimulation gegeben, um die moderne Seite
der Behandlung kinetischer Probleme aufzuzeigen. Das letzte Kapitel ist den Randschichtproblemen
von Plasmen gewidmet. Die Theorie der Langmuirsonde und ihre diagnostische
Anwendung steht dabei im Vordergrund. Nichtlineare Plasmaphanomene konnen in einer
einfuhrenden Vorlesung nur gestreift werden.
Die Aufgaben am Ende jedes Kapitels dienen als Diskussionsgrundlage in einer einstundigen
Ubung zur Vorlesung. Sie haben teils illustrativen, teils vertiefenden Charakter. Eine
Skizze des Losungsweges ist im Anhang zu nden. Die Formelsammlung im Anhang ist
eine Adaption des 'NRL-Plasma Formulary' an das SI-Einheiten System.
Ich danke den Horern meiner Vorlesung, die mich aufFehler im Manuskript aufmerksam
gemacht haben, und meinen Assistenten F. Greiner, K. Hansen, T. Klinger und H.
1

2
Klostermann fur die kritische Durchsicht dieses Manuskripts und fur viele Verbesserungsvorschlage.
H. Thomsen hat sich umdieVerschonerung einer Reihe von Skizzen verdient
gemacht.
Kiel, im Februar 1998 A. Piel

Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 7
1.1 Die Bedeutung der Plasmaphysik : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8
1.1.1 Naturliche Plasmen ::::::::::::::::::::::::::: 10
1.1.2 Technische Plasmen ::::::::::::::::::::::::::: 16
1.1.3 Kontrollierte Kernfusion :::::::::::::::::::::::: 20
1.2 De nition eines Plasmas : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 26
1.2.1 Debyeabschirmung ::::::::::::::::::::::::::: 26
1.2.2 Plasmaparameter : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 29
1.2.3 Existenzbereiche : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 30
1.2.4 Nichtidealitat und Entartung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 30
1.2.5 Saha-Gleichung ::::::::::::::::::::::::::::: 33
1.3 Aufgaben :::::::::::::::::::::::::::::::::::: 35
2 Gasentladungen 37
2.1 Entladungsformen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 37
2.1.1 Die Glimmentladung :::::::::::::::::::::::::: 37
2.1.2 Thermionische Entladungen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 40
2.1.3 Hochfrequenzentladungen (*) : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 44
2.2 Sto prozesse ::::::::::::::::::::::::::::::::::: 48
2.2.1 Driftbewegung und Beweglichkeit : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 48
2.2.2 Wirkungsquerschnitt und mittlere freie Weglange : : : : : : : : : : 50
2.2.3 Die Geschwindigkeitsverteilung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 51
2.2.4 Ambipolare Di usion :::::::::::::::::::::::::: 54
2.2.5 Leitfahigkeit ::::::::::::::::::::::::::::::: 55
2.2.6 Elektronenaufheizung :::::::::::::::::::::::::: 56
2.2.7 Inelastische Prozesse :::::::::::::::::::::::::: 59
2.2.8 Coulombsto e : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 61
2.3 Mechanismen der DC-Glimmentladung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 64
2.3.1 Elektronenaustritt aus Metallen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 64
2.3.2 Kathodenfall : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 64
2.3.3 Negatives Glimmlicht :::::::::::::::::::::::::: 66
3

4 INHALTSVERZEICHNIS
2.3.4 Positive Saule :::::::::::::::::::::::::::::: 66
2.3.5 Die Anodenschicht ::::::::::::::::::::::::::: 68
2.4 Mechanismen der HF-Glimmentladung (*) :::::::::::::::::: 68
2.5 Aufgaben :::::::::::::::::::::::::::::::::::: 72
3 Das Einzelteilchenmodell 73
3.1 Einfuhrung ::::::::::::::::::::::::::::::::::: 73
3.1.1 Das Fuhrungszentrum ::::::::::::::::::::::::: 73
3.1.2 E B Drift ::::::::::::::::::::::::::::::: 75
3.1.3 Gravitationsdrift :::::::::::::::::::::::::::: 77
3.1.4 Inhomogene Magnetfelder ::::::::::::::::::::::: 77
3.1.5 Polarisationsdrift :::::::::::::::::::::::::::: 83
3.2 Adiabatische Invarianten :::::::::::::::::::::::::::: 84
3.2.1 Magnetisches Moment ::::::::::::::::::::::::: 85
3.2.2 Der Spiegele ekt :::::::::::::::::::::::::::: 85
3.2.3 Longitudinale Invariante und Flu invariante (*) ::::::::::: 87
3.3 Magnetischer Einschlu ::::::::::::::::::::::::::::: 88
3.3.1 Das Tokamakprinzip :::::::::::::::::::::::::: 90
3.3.2 Di usion als random walk Proze ::::::::::::::::::: 90
3.3.3 Stellaratoren ::::::::::::::::::::::::::::::: 94
3.3.4 Minimum-B Kon gurationen :::::::::::::::::::::: 96
3.4 Aufgaben :::::::::::::::::::::::::::::::::::: 98
4 Fluidmodelle des Plasmas 99
4.1 Das Zwei ussigkeitenmodell ::::::::::::::::::::::::::100
4.1.1 Die Impulstransportgleichung :::::::::::::::::::::102
4.2 Magnetohydrostatik :::::::::::::::::::::::::::::::108
4.2.1 Isobare Flachen :::::::::::::::::::::::::::::108
4.2.2 Diamagnetische Drift ::::::::::::::::::::::::::111
4.3 Magnetohydrodynamik (MHD) ::::::::::::::::::::::::113
4.3.1 Ohmsches Gesetz ::::::::::::::::::::::::::::113
4.3.2 Eingefrorene Feldlinien :::::::::::::::::::::::::114
4.3.3 Alfvenwellen :::::::::::::::::::::::::::::::115
4.3.4 Der Pinche ekt :::::::::::::::::::::::::::::118
4.3.5 MHD-Generatoren (*) :::::::::::::::::::::::::120
4.3.6 MHD-Stabilitat ::::::::::::::::::::::::::::122
4.3.7 Die Vollstandigkeit der MHD :::::::::::::::::::::124
4.4 Aufgaben ::::::::::::::::::::::::::::::::::::126

INHALTSVERZEICHNIS 5
5 Wellen und Instabilitaten in Plasmen 127
5.1 Grundbegri e : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :128
5.1.1 Normalmodenanalyse ::::::::::::::::::::::::::129
5.1.2 Phasen- und Gruppengeschwindigkeit : : : : : : : : : : : : : : : : :130
5.1.3 Dispersionsrelation :::::::::::::::::::::::::::132
5.2 Elektronenwellen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :133
5.2.1 Elektromagnetische Wellen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :133
5.2.2 Interferometrie mit Mikrowellen und Lasern :::::::::::::135
5.2.3 Plasmaschwingungen ::::::::::::::::::::::::::142
5.2.4 Strahl-Plasma-Instabilitat : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :142
5.3 Ionenakustische Wellen :::::::::::::::::::::::::::::146
5.4 Magnetisierte Plasmen :::::::::::::::::::::::::::::149
5.4.1 Zyklotronresonanzen ::::::::::::::::::::::::::151
5.4.2 Hybridresonanzen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :153
5.5 Nichtlineare Wellene ekte (*) :::::::::::::::::::::::::157
5.5.1 Die ponderomotive Kraft ::::::::::::::::::::::::157
5.5.2 Parametrischer Wellenzerfall : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :159
5.6 Aufgaben ::::::::::::::::::::::::::::::::::::164
6 Kinetische E ekte in Plasmen 165
6.1 Das Vlasovmodell : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :165
6.1.1 Die Verteilungsfunktion ::::::::::::::::::::::::166
6.1.2 Die Vlasovgleichung ::::::::::::::::::::::::::167
6.1.3 Dispersion von elektrostatischen Elektronenwellen : : : : : : : : : :169
6.1.4 Landaudampfung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :173
6.2 Teilchensimulation :::::::::::::::::::::::::::::::176
6.2.1 Eindimensionale Probleme : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :177
6.2.2 Diskretisierung der Grundgleichungen : : : : : : : : : : : : : : : : :178
6.2.3 Losung der Feldgleichungen auf dem Gitter : : : : : : : : : : : : : :179
6.2.4 Der harmonische Oszillator (*) : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :181
6.2.5 Die Strahl-Plasma-Instabilitat : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :182
6.2.6 Sattigung der Instabilitat durch trapping (*) :::::::::::::184
6.3 Aufgaben ::::::::::::::::::::::::::::::::::::187
7 Randschichte ekte in Plasmen 189
7.1 Das Plasma vor einer leitenden Wand : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :189
7.1.1 Bohm-Kriterium : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :191
7.1.2 Child-Langmuir Gesetz :::::::::::::::::::::::::194
7.2 Die Langmuirsonde :::::::::::::::::::::::::::::::196
7.2.1 Elektronensattigungsbereich der ebenen Sonde : : : : : : : : : : : :197
7.2.2 Ionensattigungsstrom ::::::::::::::::::::::::::199

6 INHALTSVERZEICHNIS
7.2.3 Elektronenanlaufbereich ::::::::::::::::::::::::199
7.2.4 Das Floatingpotential ::::::::::::::::::::::::::200
7.2.5 Zylinder und Kugelsonden :::::::::::::::::::::::201
7.2.6 Praktische Betrachtungen :::::::::::::::::::::::202
7.2.7 Messung der Verteilungsfunktion :::::::::::::::::::202
7.2.8 Verfahren zur Messung der Verteilungsfunktion :::::::::::204
7.2.9 Sondenmessungen in HF-Plasmen :::::::::::::::::::207
7.3 Raumladungsdoppelschichten (*) :::::::::::::::::::::::209
7.3.1 Langmuirs starke Doppelschicht ::::::::::::::::::::209
7.3.2 Schwache Doppelschichten :::::::::::::::::::::::211
7.4 Aufgaben ::::::::::::::::::::::::::::::::::::213
A Losungshinweise zu den Aufgaben 215
B Formelsammlung 223
B.1 Konstanten :::::::::::::::::::::::::::::::::::223
B.2 Formeln :::::::::::::::::::::::::::::::::::::223
C Liste der verwendeten Symbole 227

Kapitel 1
Einleitung
Das Wort Plasma (griech.: Das Formbare) bezeichnet in der Physik ein vollstandig oder
teilweise ionisiertes Gas aus Elektronen und Ionen. Der Begri Plasma wurde 1929 von
Tonks und Langmuir eingefuhrt [1], um den ladungsneutralen Bereich einer Gasentladung
zu bezeichnen, der zu hochfrequenten Schwingungen fahig ist (Langmuirschwingungen).
Frank-Kamenezki [2] bezeichnet das Plasma als Vierten Aggregatzustand der Materie. Diese
Sichtweise schlie t sich einerseits an die griechischen Philosophen an, die die Elemente
Erde (fest), Wasser ( ussig), Luft (gasformig) und Feuer kannten. Faraday postlierte bereits
1809, da der vierte Aggregatszustand " strahlend\ sei, wobei er diesen mit den
elektrischen Vorgangen in Gasen und den damit verbundenen Leuchterscheinungen identi
zierte. Andererseits ist die Bezeichnung als neuer Aggregatszustand auch aus moderner
Sicht durchaus tre end, weil bei hohen Temperaturen die Atome in Ionen und Elektronen
zerfallen und damit die Separation der Materie in ihre Bestandteile durch einen charakteristisch
neuen Proze fortgesetzt wird. Daruberhinaus besitzt das Plasma als nunmehr
elektrisch leitfahiges Medium eine Reihe von Eigenschaften, die es von Gasen, Flussigkeiten
und festen Korpern signi kant unterscheidet. Man denke hierz.B.andieverastelte
Form einer Blitzentladung oder an das in ein Magnetfeld eingeschlossene Plasma einer
Sonnenprotuberanz. Der gro te Teil der Materie im Weltall { Sterne und protostellare
Wolken { ist im Plasmazustand. Es sind die kalten Bedingungen auf unserem Planeten,
die uns die klassischen Aggregatszustande als die " naturlichen\ erscheinen la t.
Unser technisches Zeitalter ist ohne Plasmen nicht denkbar. Lichtbogenschalter werden
in der Verteilung elektrischer Energie eingesetzt. Hochdrucklampen beleuchten die
Stra en, Leuchtsto ampen unsere Wohnungen. Die Chips in Ihrem Computer wurden
mit Plasmaverfahren geatzt, gro achige Bildschirme benutzen Plasmadisplays. Gaslaser,
in denen das Plasmamedium Atome oder Molekule anregt, werden in der Forschung,
Industrie, Medizin und Umweltanalytik eingesetzt. Neue Werksto e werden mit Plasmabrennern
erzeugt oder in gro achigen Glimmentladungen aufgebracht. Zur Losung der
Energieprobleme kunftiger Generationen ist die Aufrechterhaltung einer kontrollierten
Kernfusion nunmehr in greifbare Nahe geruckt.
7

8 KAPITEL 1. EINLEITUNG
1.1 Die Bedeutung der Plasmaphysik
Das naturwissenschaftliche Interesse an elektrischen Entladungen la t sich bis in die Barockzeit
zuruckverfolgen [3]. Dabei bezeichnet der Name elektrische Entladung die Entladung
eines Kondensators durch einen Gasraum. William Gilbert beschreibt die Reibungselektrizitat
(1600), Otto von Guericke er ndet die Vakuumpumpe (1635), experimentiert
mit der Schwefelkugel (1663) und entdeckt die Spitzenwirkung. 1746 er ndet
von Musschenbroek die Leydener Flasche. Lichtenberg (1742-1799) erzeugt mittels des
Elektrophors die nach ihm benannten Entladungs guren. Als zu Beginn des 19. Jahrhunderts
hinreichend leistungsfahige elektrische Batterien verfugbar wurden, entdeckten
Petrov (1803) und einige Jahre spater Davy den elektrischen Lichtbogen, der beim O nen
des Kontaktes zwischen zwei Kohlestiften entsteht, die von einer stromstarken Batterie gespeist
werden. Unter dem Ein u der Auftriebskrafte nimmt diese Entladung die typische
Bogenform an, von der sie ihren Namen erhalten hat. Zwischen 1831 und 1835 entdeckt
und untersucht Faraday die Glimmentladung in verdunnten Gasen. Plucker (1858), Hittorf
(1876) und Crookes (1879) experimentieren mit solchen Entladungen bei geringem
Gasdruck, woraus die Entdeckung der Kathodenstrahlen und letztlich der Rontgenstrahlen
hervorgegangen sind. Tesla (1891) untersuchte bereits durch Hochfrequenz erzeugt
Entladungen.
Die Plasmaphysik grundet sich auf die Arbeiten von Langmuir, Tonks und Mott-Smith
[4] zu gasgefullten Dioden, sowie von Schottky [5], Seeliger [6], von Engel und Steenbeck
[7] u.v.a. an Gasentladungen mit kalten und geheizten Kathoden. Der zweite Vorlaufer
der heutigen Plasmaphysik ndet sich inder " Radiophysik\, d.h. der Ausbreitung der
elektromagnetischen Wellen in der Ionosphare. Zu ihren Pionieren gehoren Appleton [8, 9],
Chapman [10], Ratcli e [11], Budden [12], Rawer [13] u.a.
Seit Mitte der funfziger Jahre unseres Jahrhunderts haben sich die Gasentladungsphysik
und die " reine\ Plasmaphysik auseinanderentwickelt. Dies ist einerseits dadurch
begrundet, da viele Aspekte der Gasentladungen nunmehr in die Domane der Ingenieurwissenschaften
gehoren, wie z.B. die Schalter- und Beleuchtungstechnik. Andererseits ist
seit 1956 das Erreichen einer kontrollierten Kernfusion zu einem zentralen Thema der
Plasmaphysik geworden. Damit ruckten die Fragestellungen der Physik hei er Plasmen
starker in das Interesse der Plasmaphysiker. Erst Mitte der achtziger Jahre wurde wieder
eine starkere Annaherung zwischen den Gebieten der kalten und hei en Plasmen feststellbar,
als eine Reihe von grundlegenden Fragen aus dem Bereich der Plasmatechnologie,
speziell bei den mittels Hochfrequenz erzeugten Plasmen und den Lichtbogen bedeutsam
wurden.
Die Verfugbarkeit intensiver Laserstrahlung (P > 10MW) ermoglichte bereits 1963
die Erzeugung von optischen Entladungen bei Atmospharendruck imFokus einer Linse.
Ebenso entwickelte sich rasch das Gebiet der durch Laser an Festkorperober achen
erzeugten Plasmen.
Bereits seit den fruhen sechziger Jahren hat sich die Computersimulation von Plasmen

1.1. DIE BEDEUTUNG DER PLASMAPHYSIK 9
mit Teilchen- und Fluidcodes zu einer eigenstandigen Disziplin entwickelt. Moderne Codes
sind ebenfalls in der Lage, neben der Bewegung der geladenen Plasmateilchen in den
elektromagnetischen Feldern auch atomare und chemische Prozesse einzuschlie en. Solche
Codes sind fur die Plasmatechnologie von gro er praktischer Bedeutung.

10 KAPITEL 1. EINLEITUNG
1.1.1 Naturliche Plasmen
Blitz und Funken
Die Entladung eines elektrisch geladenen Korpers kann bei sehr hohen Spannungen in
Form eines elektrischen Durchschlages in Luft erfolgen. Beispiele hierfur sind elektrische
Funken und Blitze, die beide mit eindrucksvollen Leuchterscheinungen und Gerauschen
verbunden sind. Die elektrische Ladung der Gewitterwolke wurde 1752 von Benjamin
Franklin mit seinem Drachenversuch nachgewiesen. Die Einzelheiten des elektrischen Durchschlags
in Luft sind sehr komplex, werden heute aber in vielen Details verstanden [14, 15,
16]. Die zeitliche und raumliche Entwicklung eines Durchschlages zeigt Abb. 1.1. Eine
Abbildung 1.1: Durchschlag in Luft. (A) Ein externes Photon erzeugt an der Kathode
eine Ladungstragerlawine, die sich zur Anode ausbreitet. (B) Photonen aus der Lawine
erzeugen neue Ladungstrager im Gas, die als 'Streamer' im raumladungsverzerrten Feld
loslaufen.
typische Blitzentladung fuhrt einen Impulsstrom von 10 4 ; 10 5 A, die Temperatur im
Blitzkanal erreicht 20.000 K. Die plotzliche Aufheizung des Entladungskanals fuhrt zur
Bildung einer Schockwelle, die als Donner horbar wird. Das zweite ins Auge springende
Merkmal der Blitzentladung ist die gezackte Form und Verastelung des Entladungskanals
(Abb. 1.2(a)). Ebensolche Verastelungen ndet man in den Lichtenberg guren, die bei

1.1. DIE BEDEUTUNG DER PLASMAPHYSIK 11
b c
Abbildung 1.2: (a) Blitzentladung, (b) Lichtenberg gur, erzeugt durch einen hochenergetischen
Elektronenstrahl, der von unten in einen Plexiglasblockeintritt. (c) Modellrechnung
zu dendritischem Wachstum.
a

12 KAPITEL 1. EINLEITUNG
elektrischen Durchschlagen auf Ober achen oder in Isolatoren entstehen (Abb. 1.2(b)).
Ein Verstandnis fur diese Erscheinungen zeichnet sich injungerer Zeit in der Theorie der
Selbstorganisation ab. Abb. 1.2(c) zeigt eine baumartige Struktur aus einer Simulationsrechnung,
in der dendritisches Wachstum nachvollzogen wird.
Nordlichter, Ionosphare, Magnetosphare
Ebenso wie die Blitzentladung hat das Nordlicht [17]von jeher die Menschen beeindruckt
(Abb. 1.3). In polaren Breiten entstehen diese vorhangartigen Leuchterscheinungen (Au-
Abbildung 1.3: Aurora borealis, Zeichnung von Fridtjof Nansen (1910).
rora) durch energiereiche Teilchen, die langs der Feldlinien des Erdmagnetfeldes in die
Hochatmosphare eindringen und Sauersto atome bzw. Sticksto molekule zum Leuchten
anregen. Da die hochsten Schichten der Erdatmosphare elektrisch leitend sind, wurde
nach Er ndung des Radios entdeckt. Kurzwellenverbindungen zwischen den Kontinenten
entstehen durch Re ektion der elektromagnetischen Wellen an der Ionosphare, die in
mehreren Schichten den Hohenbereich von 70 km - 1000 km fullt [20]. Das ionospharische
Plasma wird durch Absorption solarer UV-Strahlung erzeugt. Abb. 1.4(a) zeigt den
Dichte- und Temperaturverlauf in der Ionosphare. Energiereiche Teilchenstrahlung ndet
sichindenvan Allenschen Strahlungsgurteln [21], in denen geladene Teilchen auf Spiralbahnen
im Erdmagnetfeld eingefangen sind. Die au ere Plasmaumgebung der Erde bildet
die Magnetosphare (Abb. 1.4(b)). Das Dipolfeld des Erdmagnetismus wird durch daspermanente
Anstromen durch geladene Teilchen des Sonnenwindes verformt und zu einem
langen, plasmagefullten Magnetospharenschweif auseinander gezogen [19]. Zur Sonne hin

1.1. DIE BEDEUTUNG DER PLASMAPHYSIK 13
a
b
Abbildung 1.4: (a) Schichtung der Ionosphare, (b) Gestalt der Erdmagnetosphare. Durch
den Teilchenstrom des Sonnenwinds wird das Dipolfeld der Erde zu einem langen Schweif
auf der Nachtseite auseinandergezogen.

14 KAPITEL 1. EINLEITUNG
bildet sich eine Bugsto welle aus. Dynamische Veranderungen der Magnetosphare fuhren
zur Teilchenbeschleunigung, magnetischen Sturmen und intensiver Nordlichtaktivitat.
Sonne, solare Flares
Das Verstandnis fur den inneren Aufbau der Sterne ist parallel zur Entwicklung der Plasmaphysik
in den Jahren 1920 - 1950 gewachsen. Unter dem Ein u der Eigengravitation
werden im Zentrum der Sterne Dichten und Temperaturen erreicht, die zur Kernverschmelzung
fuhren. Der Energietransport zur Ober ache erfolgt durch Strahlung und
Konvektion. Das Spektrum der Sternstrahlung gibt Aufschlu uber Ober achentemperatur,
chemische Zusammensetzung der Sternatmosphare und den Entwicklungszustand des
Sterns. Naheres ndet sich in astrophysikalischen Lehrbuchern z.B. [22].
Abbildung 1.5: Entwicklung eines solaren Flares nach dem Modell von Sweet und Parker.
(a) Das Dipolfeld eines Fleckenpaares verbindet sich mit dem interplanetaren Magnetfeld,
(b) Rekonnektion antiparalleler Feldlinien setzt die Zugspannung der Magnetfeldlinien
frei, (c,d) das relaxierende Magnetfeld beschleunigt das Plasma.
Bereits Galilei hatte 1616 dunkle Flecken auf der Sonne entdeckt, von denen wir heute
wissen, da sie mit den Ein- und Austrittspunkten starker Magnetfelder durch die
Sonnenober ache verbunden sind. Diese Magnetfelder werden durch einen Dynamomechanismus
im solaren Plasma erzeugt. Ausbruche solaren Plasmas, das sich gemeinsam
mit den Magnetfeldlinien bewegt, stellen die Protuberanzen dar. Das kalte, dichte Plasma
innerhalb der Protuberanzen steht im Druckgleichgewicht mit dem hei en, dunnen Plasma
der Korona. Explosive Freisetzungen intensiver Wellen- und Teilchenstrahlung erfolgt in

1.1. DIE BEDEUTUNG DER PLASMAPHYSIK 15
den solaren Flares. Abb. 1.5 zeigt die Entwicklung eines Flare-Ereignis nach dem Modell
von Sweet und Parker, sowie der Erweiterung durch Sturrock [23, 24, 25, 26]. Das Dipolfeld
eines Paares von Sonnen ecken hat sichteilweise mit dem interplanetaren Magnetfeld
verbunden. Die langgestreckten Feldlinien enthalten magnetische Energie, die durch Rekonnektion
von Feldlinien freigesetzt werden kann. Plasma wird bei der Relaxation des
Magnetfeldes beschleunigt.
Es sei nichtverschwiegen, da das Sweet-Parker Modell eine viel zu langsame Zeitskala
fur die Entwicklung des Flares vorhersagt. Eine aktuelle Einfuhrung in die Problematik
der solaren Flares ndet sich in [27].
Infobox: Steckbrief unserer Sonne
Masse 1� 9891 10 30 kg
Radius 6� 96 10 8 m
Druck im Zentrum 1� 3 10 9 bar
Temperatur im Zentrum 15 10 6 K
Temperatur der Photosphare 5800 K
Temperatur der Sonnenkorona 1 ; 2 10 6 K
Plasmadichte der Sonnenkorona 1� 7 10 14 m ;3
Magnetfeld (polar) 10 ;4 T
(Protoberanzen) 10 ;3 {10 ;2 T
(Sonnen ecken) 0:3 T
Plasmadichte in Protuberanzen 10 16 {10 17 m ;3
Temperatur in Protuberanzen 5000{10000 K

16 KAPITEL 1. EINLEITUNG
1.1.2 Technische Plasmen
Das Plasmamedium und plasmaunterstutzte Verfahren stellen eine Schlusseltechnologie
industrieller Fertigung dar. Insbesondere werden Nichtgleichgewichtsphanomene in Plasmen
zum Einsatz gebracht. Von besonderer Bedeutung sind Plasmabedingungen, bei denen
die Elektronentemperatur, die fur die Stimulierung chemischer Prozesse wichtig ist,
hoch ist (> 20.000 K) und die Gastemperatur nahe der Raumtemperatur (< 500 K)
bleibt. Hierdurch konnen im Unterschied zu thermischen Prozessen wesentlich geringere
Werksto belastungen erreicht werden. In jungerer Zeit gewinnen auch Plasmaverfahren
zur Abgasreinigung (De-NOx, De-SOx) von konventionellen Kraftwerken an Bedeutung.
Lichtquellen
Elektrische Entladungen konnen { im Unterschied zur Strahlung des schwarzen Korpers
{ eine sehr wirksame Umwandlung der elektrisch zugefuhrten Leistung in Resonanzstrahlung
des Fullgases oder -dampfes bewirken. In der Leuchtsto rohre [28] ist es die Resonanzstrahlung
des Quecksilberatoms bei 185 nm und 254 nm, die mittels eines Leuchtsto
es auf der Rohrinnenseite in sichtbares Licht verwandelt wird (Abb. 1.6).
Abbildung 1.6: Aufbau und Schaltung einer Leuchtsto rohre. Das Arbeitsgas ist Argon
und Quecksilberdampf. Die ultraviolette Resonanzstrahlung des Quecksilbers wird durch
den Leuchtsto auf der Rohrinnenseite in sichtbares Licht verwandelt. Die Entladung
besitzt zwei Oxidkathoden, die zum Start fremdbeheizt werden. Die Vorschaltdrossel begrenzt
den Heizstrom und den Entladungsstrom.

1.1. DIE BEDEUTUNG DER PLASMAPHYSIK 17
Infobox: Zundung einer Leuchsto rohre
Der Starter enthalt eine Edelgasentladung, deren Zundspannung unter
der der Leuchtsto rohre liegt. Dadurch zundet die Starterentladung zuerst
und heizt den Bimetallschalter, bis dieser schlie t. Beim O nen des
Bimetallschalters erzeugt die Vorschaltdrossel einen Spannungspuls, der
die Leuchtsto rohre zundet. Deren Brennspannung ist nunmehr geringer
als die Zundspannung des Starters. Erst wenn durchVerschlei der Oxidkathode
die Brennspannung der Leuchtsto rohre uber die Zundspannung
des Starters ansteigt, beginnt das periodische Schlie en des Starters, das
das Nutzungsende der Leuchtsto ampe signalisiert.
In der Niederdrucknatriumlampe ist es direkt das 589 nm Resonanzdublett, das z.B.
zur Stra enbeleuchtung verwendet wird. Letztere hat gegenuber der Leuchtsto ampe
einen noch hoheren Wirkungsgrad, da die Umwandlungse zienz des Leuchtsto s entfallt.
Hochdrucklichtbogen in Natrium, Quecksilber und Xenon erreichen Lichtausbeuten von
bis zu 100 lm/W gegenuber 10 - 20 lm/W bei Gluhlampen [28]. Diese hohere Ausbeute
ist einerseits auf eine hohere Temperatur (4000 - 5000 K) zuruckzufuhren, die nach dem
Wienschen Gesetz eine Verschiebung des Emissionsmaximums ins sichtbare Spektralgebiet
bewirken wurde. Andererseits weicht die Spektralverteilung von der eines schwarzen
Strahlers ab. Das ist zwar vom Wirkungsgrad her gunstig, kann aber vom Farbeindruck
unerwunscht sein. Sie werden daher vorwiegend im Au enbereich eingesetzt. Hochdrucklampen
werden im Leistungsbereich 50 - 5.000 W (Xenon bis 50.000 W) eingesetzt.
Gaslaser
In elektrischen Gasentladungen kann durch Elektronensto die fur den Laserproze erforderliche
Besetzungsinversion atomarer Niveaus erreicht werden. Beim He-Ne Laser sind
es metastabile Heliumatome, die durch quasiresonanten Energietransfer an das Neon das
Laserniveau bevolkern (Abb. 1.7(a)). Der Excimerlaser erzeugt in einer Gasentladung
bindende Zustande eines angeregten Edelgasatoms (z.B. Xe ) mit Halogeniden (z.B. Cl)
(Abb. 1.7(b)).
Die Abregung der elektronischen Anregung des Xe Cl durch Emission eines Photons
fuhrt zur Dissoziation des Excimermolekuls, da der Grundzustand des Edelgasatoms bekanntlich
keine chemische Bindung eingeht. Damit ist die Bedingung fur Besetzungsinversion
stets gegeben. Allerdings erfolgt die Laseraktivitat in Pulsen. Weitere Gasentladungslaser
fur den Dauerstrichbetrieb (CW) sind z.B. der CO2-Laser, der wegen seiner
hohen Ausgangsleistung zur Materialbearbeitung eingesetzt wird, und der Argon- bzw.
Kryptonionenlaser, der zum Pumpen von Farbsto asern verwendet wird.

18 KAPITEL 1. EINLEITUNG
(a)
(b)
Abbildung 1.7: (a) Der He-Ne Laser basiert auf Anregung der metastabilen Niveaus des
Heliums durch Elektronensto , die eine Uberbevolkerung der 3s und 2s Niveaus im Neon
erzeugt. Das Endniveau 1s wird durchSto e mit der Wand entleert. (b) Beim Excimerlaser
ist der untere Zustand des Laserubergangs dissoziativ, so da eine e ziente Entleerung
gesichert ist.

1.1. DIE BEDEUTUNG DER PLASMAPHYSIK 19
Verfahren der Mikroelektronik
Das na chemische Atzen von Strukturen in der Fertigung von Mikrochips ist weitgehend
durch Plasmaverfahren verdrangt worden. Das Nichtgleichgewichtsplasma {z.B.
einer Hochfrequenzentladung { wird einerseits zur Dissoziation des Atzgases (BCl3, CF4)
benutzt. Andererseits entstehen in der Randschicht zwischen Plasma und Wafer hohe
elektrische Gleichfelder, die Ionen auf den Wafer zu beschleunigen. Hierdurch wird eine
stark anisotrope Atzwirkung erreicht, die tiefe Graben mit einem Aspektverhaltnis von
bis zu 20 : 1 erzeugt (Abb. 1.8) [29]. Im Hinblick auf Strukturbreiten von weniger als 1
m ist das beim na chemischen Proze storende Unteratzen der Maske vernachlassigbar.
Details zu Atzentladungen nden sich inAbschnitt 2.1.3. Neben Atzprozessen werden
auch Abscheidung von Silizium und Entfernung der Atzmaske mit Plasmaentladungen
durchgefuhrt.
Abbildung 1.8: (links) Na chemisches Atzen und anisotropes Atzen. Die isotrope Atzwirkung
konventioneller Verfahren fuhrt zum Unteratzen der Maske. Beim Plasmaatzen nutzt
man die Beschleunigung der Ionen in der Plasmarandschicht aus, um anisotrope Atzwirkung
zu erzielen. (rechts) Durch anisotropes Atzen hergestellte Strukturen in Silizium mit
Abmessungen von weniger als 500 nm und senkrechten Wanden.
Schwei en, Schmelzen und Veredeln
Schwei en und Schmelzen sind klassische Anwendungen fur elektrische Lichtbogen, bei denen
primar die Zufuhr thermischer Energie an den Proze von Interesse ist. In Form von

20 KAPITEL 1. EINLEITUNG
" Plasmaspritzeinrichtungen\ konnen Werksto e im Lichtbogen bei Atmospharendruck erschmolzen
und als harte, verschlei mindernde Ober achen aufgebrachtwerden. Neben den
thermischen Verfahren werden auch Niederdruckentladungen eingesetzt, um Ober achen
zu harten oder zu veredeln. Insbesondere ist hier das Harten von Schneid achen an Werkzeugen
mittels Nitridieren\ (d.h. dem Einlagern von Sticksto atomen) zu nennen, das
"
in einer Hochfrequenzentladung in Sticksto vorgenommen wird und das konventionelle
Harten im Olbad ersetzt.
1.1.3 Kontrollierte Kernfusion
Seit im Jahre 1956 die friedliche Verwendung der Kernenergie durch " Zahmung der Wassersto
bombe\ der Menschheit eine reichlichverfugbare Energiequelle scha en sollte, wurden
verschiedene Wege zur Erreichung der kontrollierten Kernfusion beschritten. Allen gemeinsam
ist das Ziel, Kerne der Wassersto sotope Deuterium und Tritium zu verschmelzen,
um damit die freiwerdende Bindungsenergie (17.6 MeV/Reaktion) zum Betrieb eines
Kraftwerks zu nutzen.
Die Kernverschmelzung wird durch die Reaktionsgleichungen in Tabelle 1.1 beschrieben:
2 D + 2 D ! 3 T + p + 4,0 MeV
2 D + 2 D ! 3 He + n + 3,3 MeV
2 D + 3 T ! 4 He + n + 17,6 MeV
2 D + 3 He ! 4 He + p + 18,3 MeV
Tabelle 1.1: Fusionsreaktionen der Wassersto sotope
Merkliche Ausbeuten erhalt man nur bei hohen Energien der Sto partner, da die
Coulombsche Absto ung der positiven Kerne uberwunden werden mu (Abb. 1.9). O ensichtlich
ist der Wirkungsquerschnitt fur die DT-Reaktion viel gro er als der fur die DD-
Reaktion. Daher nden gegenwartig Versuche zur Zundung eines Fusionsreaktors mit DT-
Gemischen statt. Diese Verschmelzung ndet bei Temperaturen von 100 Millionen Grad
statt. Das Plasma verliert allerdings laufend Energie durch Strahlung im Rontgenbereich.
Das ist zum einen die Bremsstrahlung, die durch Zusammensto e zwischen Elektronen und
Ionen entsteht, ahnlich derkontinuierlichen Bremsstrahlung einer Rontgenrohre. Zum anderen
tragen hochgeladene Verunreinigungsatome erheblich zu den Strahlungsverlusten
bei. Aus einer Bilanz der Fusionsleistung und der Strahlungsverluste ergibt sich, da ein
Energieuberschu nur dann zu erwarten ist, wenn das Produkt aus Dichte der Reaktanden
und Einschlu zeit den Grenzwert ni > 10 20 m ;3 s ubersteigt (Lawson-Kriterium).
Hieraus ergibt sichfur die kontrollierte Kernfusion die Aufgabe, erstens ein derartig hei es
Plasmas zu erzeugen und zweitens es hinreichend langen einzuschlie en.

1.1. DIE BEDEUTUNG DER PLASMAPHYSIK 21
Von den Fusionsprodukten kann das Neutron ungestort von den Magnetfeldern entweichen
und au erhalb des Vakuumgefa es zur Warmegewinnung herangezogen werden.
Das bei der DT-Reaktion ebenfalls entstehende -Teilchen ist dagegen elektrisch geladen.
Man erho t sich, da die von den -Teilchen getragene kinetische Energie aus der Fusionsreaktion
zur Ruckheizung des Plasmas benutzt werden kann. Letztlich stellt aber das
entstehende Helium die Asche des Fusionsofens dar, die regelma ig entfernt werden mu .
Abbildung 1.9: Wirkungsquerschnitte fur die Kernfusion von Deuterium und Tritium
Tokamaks und Stellaratoren
Ein hei es Plasma von 100 Millionen Grad kann nicht durch Kontakt mit materiellen
Wanden eingeschlossen werden. Hingegen konnen starke Magnetfelder die geladenen Teilchen
des Plasmas zusammenhalten. Nach anfanglichen Versuchen mit " o enen\ magnetischen
Anordnungen (Pinche und Spiegelmaschinen) werden heute toroidale Kon -
gurationen benutzt (Abb. 1.10(a)). Die gro ere Zahl von Fusionsexperimenten benutzt
das Tokamakprinzip [30], bei dem das Plasma als " Sekundarwicklung\ in einem riesigen
Transformator wirkt. Fur den Plasmaeinschlu im Tokamak ist sowohl das von toroidalen
Spulen erzeugte Magnetfeld als auch das Eigenmagnetfeld des induzierten Plasmastroms
bedeutsam.

22 KAPITEL 1. EINLEITUNG
a
b
Abbildung 1.10: (a) Tokamak-Prinzip. Der toroidale Plasmaschlauch stellt die Sekundarwicklung
eines gro en Transformators dar. Der Plasmastrom erzeugt ein poloidales
Magnetfeld, das zusammen mit dem durch Feldspulen erzeugten toroidalen Magnetfeld
ein verdrilltes Magnetfeld ergibt, das die Plasmateilchen einschlie t. (b) Das europaische
Fusionsexperiment JET. Man vergleiche die Abmessungen mit der Figur unten links.

1.1. DIE BEDEUTUNG DER PLASMAPHYSIK 23
In dem europaischen Fusionsexperiment JET (Abb. 1.10(b)) wurde bereits 1992 eine
Deuterium-Tritium Testentladung gezundet, die die Erreichbarkeit der kontrollierten
Kernfusion in Tokamaks demonstriert hat und bei nur 11% Tritiumanteil in dem Gemisch
schon einen Energieuberschu von 2 MJ erzielte [31]. Der Ablauf dieser Entladung ist in
Abb. 1.11 dargestellt und kommentiert. In der Zwischenzeit sind in dem amerikanischen
TFTR Tokamak in Princeton 182 Experimente mit 50 prozentigem Tritiumanteil durchgefuhrt
worden, die Fusionsleistungen von 5 - 9MW erreichten [32]. Tabelle 1.2 fuhrt die
Ma e und Plasmaparameter von JET auf.
Gro e Symbol Wert Einheit
Gro er Radius R 3 m
Limiter Radius a 1 m
Plasmastrom Ip 3,0 MA
Toroidales Magnetfeld Bt 3,4 T
Elektronendichte ne 4 10 19 m ;3
Elektronentemperatur Te 9 keV
Ionentemperatur Ti 16 keV
Energieeinschlu parameter n E 8 10 19 m ;3 s
Tabelle 1.2: Technische Daten des Fusionsexperiments JET

24 KAPITEL 1. EINLEITUNG
Abbildung 1.11: Das erste Experiment mit DT-Plasmen in JET. In den Kern einer Deuteriumentladung
werden Tritiumatome mit 75 keV kinetischer Energie eingeschossen. Hierzu
werden 2 von den 16 Neutralinjektoren mit Tritium, die anderen mit Deuterium betrieben.
Dargestellt sind (a) Elektronen- und Ionentemperatur, (b) gemittelte Plasmadichte
und Verunreinigungsgrad Zeff, (c) Gesamtenergieinhalt und D Linienemission, (d) totale
Neutronenproduktionsrate und (e) Heizleistung durch Neutralinjektion und Gesamtstrahlungsleistung.
Durch Erhohung der Neutralinjektionsleistung steigt die Ionentemperatur
von 5 keV auf 16 keV und der Anstieg der Neutronenproduktion zeigt die Fusionsprozesse.
Bei 13.2 s bricht die Ionentemperatur zusammen, da das Plasma durch Kontakt
mit den Kohlensto kacheln verunreinigt wird und dadurch die Strahlungsverluste mit der
mittleren Ladungszahl Zeff stark ansteigen.

1.1. DIE BEDEUTUNG DER PLASMAPHYSIK 25
Laserfusion
Wahrend beim magnetischen Einschlu das Produkt ni durch kleineDichte und lange
Einschlu zeit erreicht wird, geht die Laserfusion den umgekehrten Weg. Eine mit Deuterium-Tritiumgas
gefullte Glaskugel von Submillimeter Abmessungen wird konzentrisch
durch intensive Lasereinstrahlung aufgeheizt. Durch schlagartiges Verdampfen (Ablation)
der au eren Schichten entsteht infolge der Impulserhaltung eine radial einwarts laufende
Schockwelle, die den Brennsto auf hundert- bis tausendfache Festkorperdichte komprimiert
und heizt (Abb. 1.12). Die Einschlu zeit ist dann allein durch dieTragheit der
wieder expandierenden Plasmaballung bestimmt. Dieses Prinzip wird Tragheitseinschlu
genannt. Neben Lasern werden auch Teilchenbeschleuniger als Treiber fur die Tragheitsfusion
diskutiert. Eine Ubersicht uber dieses Gebiet ndet sich in[33].
Abbildung 1.12: Laserfusion. Die durch Laserstrahlung aufgeheizte Hulle eines Mikroballons
(d=500 m) expandiert mit Uberschall (Ablation). Durch die Impulserhaltung
wird die innere Hulle und das Fullgas auf mehr als Festkorperdichte kompromiert und
aufgeheizt.

26 KAPITEL 1. EINLEITUNG
1.2 De nition eines Plasmas
Die meisten der hier interessierenden Plasmen sind stark verdunnte Gase aus Elektronen
und Ionen, die durch ihreTeilchendichten ne (Elektronen) und ni�k (Ionen der Sorte k)
sowie ihre Temperaturen Te und Ti�k gekennzeichnet sind1 . Die Ionen sind in der Regel
positiv geladen, in elektronegativen Gasen niedriger Temperatur treten auch negative
Ionen auf. Wir bezeichnen die Ladung mit qk. Der Plasmazustand ist durch die beiden
Eigenschaften Quasineutralitat und kollektives Verhalten de niert, deren Bedeutung im
Folgenden naher erlautert wird.
" Quasineutralitat\ bedeutet, da die Ladungsneutralitat in noch naher zu de nierenden
Grenzen naherungsweise erfullt ist:
;ene + X
qkni�k ene : (1.1)
k
In vielen Fallen werden wir die Quasineutralitatsbedingung vereinfachend schreiben als:
; ene + X
k
qkni�k =0: (1.2)
" Kollektives Verhalten\ bezieht sichauf die langreichweitige Coulombwechselwirkung
der Ladungstrager untereinander, die viele Teilchen gleichzeitig elektrischkoppelt. Im Unterschied
zur Kopplung durch binare Zusammensto e in neutralen Gasen wird z.B. die
Ausbreitung von Wellen durch das selbstkonsistente elektrische Feld des Vielteilchensystems
bestimmt.
1.2.1 Debyeabschirmung
Die wichtigste Eigenschaft eines Plasmas ist die Fahigkeit, von au en angebotene
elektrische Felder wirksam zu reduzieren. Betrachten wir dazu ein unendlich ausgedehntes
Plasma aus Elektronen und einer Sorte positiver Ionen mit der Dichte ne0 = ni0 und
den Temperaturen Te und Ti. Bringen wir nun in Gedanken eine zusatzliche Storladung
Q in das Plasma ein, von der wir ohne Einschrankung annehmen, da sie positiv ist.
Wir erwarten, da sie die Elektronen in ihrer Umgebung anzieht und die (positiven)
Ionen absto t und somit eine Polarisationswolke entsteht, die das von Q erzeugte Feld
schwacht. Diese Polarisation ist allerdings nicht statisch, da die Ladungstrager durch ihre
thermische Eigenbewegung sowohl gegen das Storpotential anlaufen konnen oder aus dem
Potentialtrichter entkommen konnen. Somit wirkt die Temperatur der elektrostatischen
Wechselwirkung entgegen.
Das Raumladungsproblem wird durch diePoissongleichung beschrieben, in der die
Storladung Q als Punktladung im Ursprung angenommen wird:
= ; 1
[Q (~r) ; ene(~r)+eni(~r)] : (1.3)
0
1 Uber den Temperaturbegri im Falle des Nichtgleichgewichts vgl. Kapitel 5

1.2. DEFINITION EINES PLASMAS 27
Abbildung 1.13: Coulomb- und abgeschirmtes Debye-Potential.
Dabei sind ne(~r) undni(~r) dienunmehr gestorten Dichteverteilungen. Wir sind gezwungen,
eine statistische Beschreibung des Plasmas zu wahlen, da es praktisch unmoglich ist,
die Newtonschen Bewegungsgleichungen fur typische Teilchenanzahlen (N 10 10 ;10 30 )
zu losen. Fur beide Ladungstragersorten nehmen wir deshalb an, da sie sich im statistischen
Mittel im Gleichgewicht mit dem Storpotential entsprechend ihrer jeweiligen
Temperatur be nden:
ne(~r) = ne0 exp(+e (~r)=kBTe) (1.4)
ni(~r) = ni0 exp(;e (~r)=kBTi) : (1.5)
Fur gro e Abstande soll das Storpotential soweit abfallen, da wieder die Quasineutralitat
mit den Dichten ne0=ni0 gilt. Dieser Ansatz entsprichtdemDebye-Huckel-Modell
der starken Elektrolyte [34]. Ein positives Storpotential (entsprechend einer positiven
Storladung) erhoht die Elektronendichte und erniedrigt die Ionendichte in der Nahe der
Storladung.
Der Exponentialfaktor ist der in der Thermodynamik bekannte Boltzmannfaktor. Er
beschreibt z.B. die thermische Besetzung atomarer Niveaus, d.h. die Zahl der angeregten
Atome eines Energiezustandes E ist N(E) =N0 exp(;E=kBT ), wenn N0 die Zahl der

28 KAPITEL 1. EINLEITUNG
Atome im Grundzustand ist. Hier ist die Energie des Ladungstragers seine potentielle
Energie e , je nach Ladungsvorzeichen.
Fur kleine Storungen ej j kBT konnen wir die Exponentialfunktion in eine Potenzreihe
bis zum ersten Glied entwickeln: exp(e =kBT ) 1+e =kBT . Das Problem ist
radialsymmetrisch, so da nur eine Abhangigkeit von der Abstandsvariablen r vorliegt.
Damit benotigen wir nur die Radialanteile des Laplaceoperators. Aus (1.3) und (1.5)
ergibt sich dann:
@2 2 @
+ 2 @r r @r
= ; 1
0
Q (r) ; ene0 1+ e
kBTe
+ eni0 1 ; e
kBTi
Wegen der Quasineutralitat heben sich die ungestorten Ladungsbeitrage auf:
@2 2
+ 2 @r r
@2 2 @
+
@r2 r @r
@
@r
; 1
2
D
: (1.6)
=
1
;
0
Q (r) ; e 2 ne0
1
kBTe
+ 1
kBTi
(1.7)
= ; 1
Q (r) : (1.8)
Man uberzeugt sich leicht, da diese Poissongleichung mit dem Ansatz:
0
(r) = Q r
exp ;
4 0r D
gelost wird, wobei D die Debyesche Abschirmlange ist:
;2
D = e2ne0 0
1
kBTe
+ 1
kBTi
(1.9)
: (1.10)
Der Potentialverlauf ist fur r D nahezu der einer Punktladung im Vakuum (vgl. Abb.
1.13). Fur r D dominiert der exponentielle Abfall. Damit klingt das Storpotential
au erhalb der Debyelange rasch ab. Dies ist die gesuchte Abschirmwirkung des Plasmas.
Die Debyelange skaliert mit D / (T=ne) 1=2 .
Nicht jedes Gemisch aus Elektronen und Ionen ist somit ein Plasma, z.B. treten in
Flammen zwar freie Elektronen und Ionen auf, die Abschirmung spielt aber keine Rolle,
da das System zu klein ist. Wir fordern also fur ein Plasma, da seine geometrischen
Abmessungen gro gegenuber der Debyelange sein mussen.
Im Falle von schnell veranderlichen Plasmastorungen, z.B. bei hochfrequenten Wellenvorgangen,
sind die Ionen oft zu trage, um einen merklichen Beitrag zur Abschirmung zu
etablieren. In solchen Fallen ist es korrekt, nur die Elektronendebyelange zu verwenden:
De =
0kBTe
e 2 ne0
! 1=2
: (1.11)
Wenn wir nun zum Schlu die Annahme fallen lassen, da Q eine zusatzlich eingebrachte
Testladung ist und Q mit einem individuellen Elektron oder Ion des Plasmas identi zieren,
so stellen wir fest, da o ensichtlich die Reichweite des Coulombfeldes eines einzelnen

1.2. DEFINITION EINES PLASMAS 29
Situation Ne/m ;3 Te/eV D ND
Magnetic box 10 15 2 330 m 1:5 10 5
Gasentladung 10 18 3 13 m 8:9 10 3
Lichtbogen 10 22 1,2 81 nm 23
Fusionsplasma 10 20 10 4 74 m 1:7 10 8
Space Shuttle Orbit 10 11 0,4 15 mm 1:4 10 6
Interplanet. Raum 10 6 0,01 0,74 m 1:7 10 6
Tabelle 1.3: Debyelange und Plasmaparamter fur typische Plasmasituationen.
Teilchens etwa auf das Innere einer Kugel vom Radius D beschrankt ist. Alle Teilchen innerhalb
dieser Kugel spuren nahezu das unabgeschirmte Coulombfeld, wahrend die Wechselwirkung
mit Teilchen in gro erer Entfernung nahezu exponentiell abfallt. Das mittlere
elektrische Feld innerhalb eines Plasmas, z.B. aufgrund von au en angelegter Spannungen,
ist also im wesentlichen das abgeschirmte Restfeld. Ein Atom in einem Plasma spurt
also zunachst dieses makroskopische Restfeld und zusatzlich das Plasmamikrofeld, d.h.
die individuellen Coulombfelder der Ladungstrager, die sich in einer Kugel vom Radius
D um das Atom be nden.
Beispiele:
Typische Werte fur die Debyelange und die Zahl der Teilchen in der Debyesphare sind
in Tabelle 1.3 zusammengestellt.
Fur alle diese Plasmasituationen ist die Bedingung erfullt, da die Debyelange klein gegenuber
charakteristischen Abmessungen des Plasmas ist. Die letzte Spalte gibt die Zahl
der Teilchen innerhalb einer Kugel vom Radius D an. Mit Ausnahme der Lichtbogen
ist das kollektive Verhalten des Plasmas durch die gro e Zahl der Teilchen in der Debyesphare
gesichert. Der erdnahe Weltraum wird oft als das ideale Laboratorium fur
Plasmaexperimente genannt, da hier erstens kein Ein u begrenzender Wande zu spuren
ist, zweitens Zusammensto e zwischen Plasmateilchen und neutralen Atomen im Unterschied
zu Laborplasmen keine Rolle spielen, und drittens der Plasmaparameter ND sehr
hoch ist.
1.2.2 Plasmaparameter
Die statistische Beschreibung eines Plasmas durch die (gemittelte) Dichte ne und die Abschirmlange
D ist nur sinnvoll, wenn die " Kornigkeit\ der einzelnen Punktladungen in den
Hintergrund tritt. Das ist immer dann der Fall, wenn die Abschirmung gleichzeitig durch
viele Teilchen erfolgt, d.h. da in dem Kugelvolumen zum Radius D viele Ladungstrager
zu nden sind. Diese Situation entspricht der kollektiven Wechselwirkung des Plasmas. Im

30 KAPITEL 1. EINLEITUNG
anderen Grenzfall weniger Teilchen im Kugelvolumen dominiert die Paarwechselwirkung,
d.h. der Zusammensto zweier Partner.
Daher de niert man den Plasmaparameter 2 ND als die Zahl der Teilchen in der " De-
byekugel\:
4
ND = ne
3
3
D : (1.12)
Tabelle 1.3 zeigt, da alle typischen Plasmasituationen diese Bedingung der Idealitat
erfullen. Der andere Grenzfall der Nichtidealitat ist in dichten kalten Plasmen erfullt� z.B.
in stromstarken Lichtbogen nahert man sich diesem Grenzfall an. Gleiches gilt fur die
Wechselwirkung hochgeladener Ionen (Z 25) in lasererzeugten Plasmen, da hier zwar
die Temperatur hoher ist, aber die potentielle Energie der elektrostatischen Wechselwirkung
der Ionen untereinander mit Z 2 n 1=3 skaliert, so da man allein aus Z 2 nahezu drei
Zehnerpotenzen gewinnt.
1.2.3 Existenzbereiche
Eine Ubersicht uber die vielfaltigen Parameterbereiche von Plasmen zeigt die Abb. 1.14.
Man beachte die logarithmische Sta elung von Teilchendichte und Temperatur. Die Teilchendichten
erstrecken sich uber 25 Zehnerpotentzen und die Temperaturen uber 7 Zehnerpotenzen.
Astrophysikalische Plasmen erstrecken sich von der dunnen, vergleichsweise
kalten Ionosphare uber die hei e Sonnenkorona bis zu den Bedingungen im Sonneninneren,
wo die extrem hohe Dichte und Temperatur des Plasmas die Kernfusion ermoglicht.
Vergleicht man die Plasmabedingungen in elektrischen Entladungen mit denen in der
Ionosphare, so wird die Spekulation von Birkeland verstandlich, der auf die elektrischen
Ursprunge der Nordlichtphanomene hingewiesen hatte [17]. Es gelingt uns heute,
in Tokamakexperimenten Temperaturen zu erzeugen, die denen im Sonnenzentrum nahekommen.
Mit Hochstleistungslasern kann man ebenfalls hei e aber daruber hinaus auch
wesentlich dichtere Plasmen erzeugen, in denen Kernfusionsprozesse ablaufen sollen. In
beiden Fallen ist nicht dieTemperatur das Problem der Fusionsexperimente sondern der
hinreichend lange Einschlu des Plasmas.
1.2.4 Nichtidealitat und Entartung
In der vorangegangenen Diskussion wurde stets der Plasmabegri mit dem idealen Plas-
"
ma\ ND 1 gleichgesetzt. Bei hohen Temperaturen und kleinen Dichten (z.B. in der
Ionosphare und Magnetosphare, sowie in vielen Niederdruckentladungen) ist diese Bedingung
gut erfullt. In sehr dichten, kalten Plasmen (z.B. Lichtbogen) kann sie allerdings
verletzt sein. Diese Plasmen hei en dann nichtideal\.
"
2 Der Begri " Plasmaparameter\ wird im deutschsprachigen Raum auch als Sammelbegri fur n e�T e
und T i verwendet.

1.2. DEFINITION EINES PLASMAS 31
Die in dieser Vorlesung interessierenden Plasmen sollen stets als Gas klassischer Teilchen
beschrieben werden. Quantene ekte { wie das Ausschlie ungsprinzip und die dadurch
bedingte Fermi-Dirac-Statistik { werden wichtig, wenn der mittlere Teilchenabstand
n ;1=3
e mit der thermischen deBroglie-Wellenlange B = h=(mevth�e) vergleichbar
wird. (vth�e =(2kBTe=me) 1=2 ist die thermische Geschwindigkeit der Elektronen.) In diesem
Fall spricht manvon Entartung des Plasmas. Derartige Bedingungen ndet man
im Inneren von Wei en Zwergsternen. Es sei nur am Rande erwahnt, da der Beitrag des
Ausschlie ungsprinzips zum Gasdruck der Elektronen (Entartungsdruck) den gravitativen
Kollaps dieser ausgebrannten Sterne verhindert.
Die beiden Grenzlinien fur Nichtidealitat und Entartung sind ebenfalls in Abb. 1.14
eingezeichnet. Beide Aspekte sind bei hohen Dichten und kleinen Temperaturen angesiedelt
und mussen in der Regel gleichzeitig berucksichtigt werden. Eine Vertiefung dieser
Problematik ndet sich in[35].
Memobox: Charakteristika eines Plasmas
Quasineutralitat: ne = P k Zkni�k
Kollektives Verhalten: n 3
D
Abschirmwirkung: L D (L = Plasmaabmessung)
1

32 KAPITEL 1. EINLEITUNG
Abbildung 1.14: Existenzbereiche von Plasmen. Die Grenzlinien N 3
D = 1 (Nichtidealitat)
und N ;1=3 = B (Entartung) sind eingezeichnet. Fur vth�p > 0:2c werden die Protonen
relativistisch.

1.2. DEFINITION EINES PLASMAS 33
1.2.5 Saha-Gleichung
Im vollstandigen thermodynamischen Gleichgewicht, wie es z.B. im Inneren von Sternen
realisiert ist, la t sich die Elektronendichte mit der Dichte der Atome durch dieSaha-
Gleichung in Beziehung setzen:
neni
na
= 2Zi
Za
exp ; Wi ; Wi
kBT
(1.13)
Darin ist Wi die Ionisationsenergie des Atoms und T die Temperatur. Wi beschreibt
eine Korrektur, die eine Absenkung der Ionisationsenergie durch die Anwesenheit positiver
Ionen in der Nachbarschaft des Atoms bewirkt [36]. Die Saha-Gleichung hat die Form
eines Massenwirkungsgesetzes fur das Ionisations-Rekombinationsgleichgewicht, das sich
in Form einer chemischen Reaktionsgleichung darstellen la t:
A + + e *) A (1.14)
In der Saha-Gleichung erscheinen die Zustandssummen des Atoms bzw. Ions, die sich
aus den statistischen Gewichten gm der Energieniveaus ergeben:
Za(T ) = X
m
Zi(T ) = X
m
g a m exp(; Ea m
kBT )
g i
m exp(; Ei m
) (1.15)
kBT
Analog kann man Saha-gleichungen fur hohere Ionisationsstufen aufstellen. Eine ausfuhrliche
Diskussion derartiger Gleichgewichtszustande ndet sich in der astrophysikalischen
Literatur (z.B. [22]).
Als Beispiel zeigt Abb. 1.15 das Plasma in einem Argon-Lichtbogen, fur das die Bedingung
thermodynamischen Gleichgewichts naherungsweise erfullt ist. Die Dichte des neutralen
Argons nimmtfur niedrigere Temperaturen zunachst ab gema nAr = p=(kBT )weil
der Druck im Inneren des Lichtbogens im Gleichgewicht mit dem atmospharischen Luftdruck
(p = 1atm) steht. Ab 7.000 K steigt die Dichte der Argonionen durch die Ionisation
an und bedingt damit eine merkliche Aufzehrung des neutralen Argons. Ab 16.000 K wird
die zweifache Ionisation des Argons me bar und die Dichte des einfach ionisierten Argons
hat ihren Maximalwert durchlaufen. Jenseits von 20.000 K wird das zweifach ionisierte
Argon dann das einfach ionisierte Argon aufzehen. Typisch fur Saha-Gleichgewichte ist,
da bei einer vorgegebenen Temperatur stets nur zwei Ionisationsstufen in wesentlichen
Konzentrationen vorhanden sind, wahrend die Nachbarstufen deutlich dahinter zuruckbleiben.
Das sind hier bei T20:000 K zunachst Ar + und Ar ++ und dann Paare Ar ++ /Ar 3+ usw.

34 KAPITEL 1. EINLEITUNG
Abbildung 1.15: Ionisationszustande eines Argonplasmas im thermodynamischen Gleichgewicht
gema der Saha-Gleichung.

1.3. AUFGABEN 35
1.3 Aufgaben
1. Zeigen Sie, da das abgeschirmte Potential (1.9) die Poissongleichung (1.8) lost.
2. Nehmen Sie an, da aus einer ebenen Plasmaschicht der Dicke De alle Elektronen
entfernt sind. Wie gro ist die Potentialdi erenz uber dieser Schicht?
3. Stellen Sie die Gleichungen fur die Grenzlinien zur Nichtidealitat (ne 3
D =1)und
zur Entartung (n ;1=3
e = B) in expliziter Form n(T ) auf.

36 KAPITEL 1. EINLEITUNG

Kapitel 2
Gasentladungen
Der Plasmazustand kann am einfachsten durch einen elektrischen Strom u in verdunnten
Gasen erreichtwerden. Die Elektronen nehmen Energie aus dem elektrischen Feld auf, das
ein Gleichfeld oder hochfrequentes Wechselfeld sein kann, und ionisieren bei ausreichender
Energie Neutralatome des Fullgases. Ein stationarer Zustand wird erreicht, wenn die
Neuerzeugungsrate die Verluste durch Rekombination und Transport zu den Wanden
balanciert. Die meisten im Labor oder fur technische Anwendungen erzeugten Plasmen
sind nur teilweise ionisiert. Fur das Verstandnis dieser " Niedertemperaturplasmen\ ist
daher sowohl die Kenntnis der elektrodynamischen Eigenschaften des Vielteilchensystems
notig, als auch die der Erzeugung, des Transport und des Verlustes von Ladungstragern.
Dieses Kapitel soll die wichtigsten Grundbegri e klaren. Vertiefung ndet sich in der
existierenden Literatur zur Gaselektronik, z.B. [7, 15, 37].
2.1 Entladungsformen
Fur eine erste Ubersicht sind exemplarisch einige typische Vertreter von Entladungen
mit Stromzufuhr durch Elektroden herausgegri en. Elektrodenlose Hochfrequenz- und
Mikrowellen-Entladungen sind z.B. in [39, 40] dargestellt.
2.1.1 Die Glimmentladung
Die klassische Glimmentladung besteht aus einem Glasrohr von ca. 20-30 mm Durchmesser
und 0,3 - 1 m Lange, hat einen Fulldruck von 100 - 1000 Pa 1 und besitzt an den
Enden metallische Elektroden, die uber einen strombegrenzenden Widerstand mit einer
Gleichspannungsquelle von U0 =500{2000Vverbunden sind.
1 Die altere Literatur rechnet in Torr (1 Torr = 133 Pa).
37

38 KAPITEL 2. GASENTLADUNGEN
Strom- Spannungscharakteristik
Je nach Entladungsstrom konnen sich verschiedene Entladungszustande einstellen (Abb.
2.1). Der Entladungsstrom ergibt sich durch geeignete Wahl des Vorwiderstandes zu
I =(U0 ; U)=R. Dabei ist U die Brennspannung der Entladung und U0 die Spannung des
Netzgerates. Der Vorwiderstand stabilisiert den Entladungsstrom, da z.B. die Bogenentladung
eine fallende Charakteristik besitzt, d.h. die Brennspannung sinkt bei steigendem
Strom.
Abbildung 2.1: Klassi zierung der Glimmentladungen anhand ihrer Strom-Spannungscharakteristik.
Die einzelnen Bereiche hei en: (AB) Townsendsche Dunkelentladung, (CD)
normale Glimmentladung, (DE) anomale Glimmentladung und (GH) Bogenentladung.
Leuchterscheinung
Au allend ist bei der normalen Glimmentladung die Bildung markanter und farblich
di erenzierter Leuchterscheinungen (Abb. 2.2). Vor der negativen Elektrode (Kathode)
erscheint das kathodische Glimmlicht das durch den Astonschen Dunkelraum von der
Elektrode separiert ist. Anodenwarts schlie t sich derkathodische Dunkelraum und das
negative Glimmlicht an. Der Faradaysche Dunkelraum bildet die Trennung zur positiven

2.1. ENTLADUNGSFORMEN 39
Saule. Zur Anode hin bildet sich der anodische Dunkelraum, der auch von Glimmsaumen
begleitet sein kann. Das negative Glimmlicht und die positive Saule sind hinsichtlich
der Forderung nach Quasineutralitat (ne = ni) undkollektiven Verhaltens ( D r) als
Plasma anzusehen.
Abbildung 2.2: Raumliche Verteilung von Leuchterscheinungen und Dunkelzonen in der
Glimmentladung
Qualitative Interpretation der Leuchterscheinung
Ein gro er Teil der Entladungsspannung fallt zwischen Kathode und der Kante des negativen
Glimmlichts ab (Kathodenfall). Elektronen werden aus der Kathode durch Beschu
mit positiven Ionen herausgeschlagen, die ihre Energie aus dem starken Feld im kathodischen
Bereich gewinnen. Diese " Sekundarelektronen\ (vgl. 2.3.1) haben beim Austritt
Energien unter 1 eV und konnen daher im Astonschen Dunkelraum keine Atome zum
Leuchten anregen. Nachdem die Elektronen im elektrischen Feld Energie aufgenommen
haben, konnen sie verschiedene atomare Niveaus anregen, die zu den verschiedenen Farben
der Leuchterscheinung im kathodischen Glimmlicht Anla geben. Mit weiter zunehmender
Elektronenenergie wird das Maximum der Anregungswahrscheinlichkeit uberschritten und
der kathodische Dunkelraum entsteht. Durchlawinenartig anwachsende Ionisationsprozesse
im Dunkelraum tritt letztlich ein hoher Flu von Elektronen mit ma iger Energie auf,

40 KAPITEL 2. GASENTLADUNGEN
die im Bereich des Maximums der Anregungsfunktion liegt. Dieser Ort ist die Kante des
negativen Glimmlichts. Die Spektrallinien erscheinen in umgekehrter energetischer Reihenfolge
im Vergleichzumkathodischen Glimmlicht, wodurch die Energieabnahme belegt
wird. Da das negative Glimmlicht nahezu feldfrei ist, verlieren diese Elektronen ihre Energie
durch die inelastischen Prozesse, so da sich letzlich derFaradaysche Dunkelraum
ergibt.
Wahrend die kathodischen Teile der Entladung durch energetische Elektronen aus dem
Kathodenfallbereich dominiert werden (Fremderzeugung), lebt die positive Saule von einem
Gleichgewicht aus lokalem Energiegewinn des Elektronengases im schwachen Langsfeld
der Saule und Teilchenverlusten durch radiale Di usion. Verandert man die Lange
der Entladung, so la t sich die positive Saule (bei gleichem Strom) beliebig verlangern.
Die Neon-Leuchtreklamen nutzen diese Eigenschaft fur Buchstaben und Symbole. Die
Spannung uber der Saule steigt proportional zur Lange.
Mit zunehmendem Strom kann die Aufheizung der Kathode durch dievon den Ionen
deponierte Energie nicht mehr vernachlassigt werden. Die Sekundaremission der Kathode
tritt dann in Konkurrenz zur thermischen Elektronenemission eines hei en Metalls.
Der Spannungsabfall uber der Kathodenschicht sinkt, die Glimmentladung geht indie
Bogenentladung uber.
2.1.2 Thermionische Entladungen
Thermische Emission kann auch durchFremdheizung mittels elektrischen Stroms erreicht
werden. Beliebt sind Filamentkathoden aus Wolframdraht (typ. 0,2 mm Durchmesser),
die in direkter Heizung mit Gleichstrom bei ca. 2400 K Elektronen emittieren.
Die Strom-Spannungs-Charakteristik einer Entladung mit Filamentkathode zeigt zunachst
einen Anstieg des Entladungstroms mit der angelegten Spannung, bis ein Sprungpunkt
zu einer stromstarken Betriebsart erreicht wird (Abb. 2.4). Auf dem oberen Kurvenast
kann die Betriebsspannung unter die Sprungtemperatur abgesenkt werden (Hysterese).
Erst bei einem zweiten, unteren Sprungpunkt erfolgt die Ruckkehr zum stromschwachen
Entladungsmodus. Dieses Verhalten la t sich dadurch erklaren, da im stromschwachen
Modus der Elektronenstrom aus der Kathode durch Raumladung begrenzt ist (vgl. Kap.
7.1.2) fur den raumladungsbegrenzten Strom in Dioden). Mit zunehmendem Entladungsstrom
steigt die Plasmadichte und damit die Neutralisierung der Raumladung durch Ionen.
Im stromstarken Modus ist die Raumladung vollstandig verschwunden und der Entladungsstrom
ist durch die Kathodenergiebigkeit bestimmt. Filamentkathoden werden
in 'magnetic box'-Anordnungen [41], Doppel- und Tripelplasmen [42] und in Ionenquellen
[43] eingesetzt. Eine typische Anordnung der Magnete mit abwechselnden Reihen von
Nord- und Sudpolen zeigt Abb. 3.15. Diese bilden eine besonders gunstige Feldgeometrie
(Minimum-B-Kon guration). Dabei dienen die Permanentmagnete der e zienten Re ektion
der von den Filamenten emittierten Primarelektronen. Diese konnen namlich bei dem
ublichen niedrigen Gasdruck (p 0:01Pa) nur wenige Gasatome ionisieren, da die freie

2.1. ENTLADUNGSFORMEN 41
Abbildung 2.3: Doppelplasmaanordnung. In beiden Kammern wird ein Plasma durch die
von den Filamenten emittierten Primarelektronen erzeugt. Die Kammerwand dient als Anode,
Permanentmagnete verbessern den Einschlu der Primarelektronen. Beide Kammern
sind durch ein Gitter getrennt. Die Gitterspannung und die Potentialdi erenz zwischen
den Kammern kann frei gewahlt werden. Damit konnen je nach Polaritat der Spannung
Elektronen oder Ionen aus der " source-chamber\ indie " target-chamber\ injiziert werden.
Weglange fur Ionisation gro er ist als die Abmessung der Entladung. Durch Re ektion
konnen sich diese Primarelektronen im Gasraum 'totlaufen'.
Abb. 2.3 zeigt ein typisches Doppelplasma. Ein ca. 50% transparentes Trenngitter mit
starker negativer Vorspannung trennt die Elektronenpopulationen der beiden Plasmen.
Ionen konnen in das Plasma mit dem niedrigeren Plasmapotential ubertreten und dort
z.B. nichtlineare Wellen anregen. Doppelplasmen werden auch gern zur Erzeugung von
elektrostatischen Doppelschichten eingesetzt (vgl. Kap. 7.3).
In thermionischen Entladungen werden auch ebene Kathoden verwendet, die in der
Regel indirekt geheizt werden. Hierzu kann im einfachsten Fall die Strahlungswarme einer
Heizwendel verwendet werden. Oft wird auch die kinetische Energie eines von der Wendel
emittierten Elektronenstrahls mit einer Beschleunigungsspannung von einigen Tausend
Volt zur Kathodenheizung benutzt (sog. Sto heizung). Bei ebenen Kathoden ist
die thermische Strahlungsleistung der Kathode infolge der gegenuber Filamenten wesentlich
gro eren Flache erheblich. Man verwendet daher bei ebenen Kathoden in der Regel
emittierende Oxidschichten (Barium-Strontium-Oxid Mischkristalle), deren Arbeitstemperatur
bei nur 1000 K liegt. Wegen des Stefan-Boltzmannschen Gesetzes S / T 4

42 KAPITEL 2. GASENTLADUNGEN
Abbildung 2.4: Strom-Spannungscharakteristik einer Filamentkathodenentladung. Die
Hysterese ist durch zwei unterschiedliche Entladungsformen bedingt. Auf dem stromschwachen
Ast ist der Entladungsstrom durch Raumladung beschrankt.
ist die Strahlungsleistung hinreichend reduziert.
Zu den thermionischen Entladungen gehoren auch derthermionische Konverter und
die Q-Maschine. Beide nutzen die Eigenschaft der Kontaktionisation von Alkalimetalldampfen
an hei en Metallober achen. Bei ca. 2000 K Ober achentemperatur einer Tantalplatte
wird ein Dampfstrahl von Casium oder Barium e zient ionisiert, da die Austrittsarbeit
durch den Motte ekt wirksam verringert ist. Der thermionische Konverter besitzt eine
der hei en eng benachbarte kalte Platte, an der die e ektive Austrittsarbeit niedriger ist.
Uber einer externen Last kann die Di erenz der Austrittsarbeiten als Spannung genutzt
werden. Der thermionische Konverter ist das Plasmaaquivalent zum Thermoelement. Wie
beim Thermoelementwerden hohe Strome bei niedrigen Spannungen erzeugt. Infolge der
hohen Betriebstemperaturen ist jedoch der Wirkungsgrad hoher als beim klassischen Thermolement.
Thermionische Konverter sind wegen ihres gunstigen Masse-Leistungsverhaltnisses
ideale Energiequellen fur Satellitenmissionen zu den au eren Planeten, da dort die Efzienz
von Solarpanels zu gering wird. In einem solchen thermionischen Konverter wird
die hei e Platte von einem radioaktiven Zerfallsproze geheizt und die Anode durch Abstrahlung
gekuhlt. Abb. 2.5(a) zeigt den Aufbau eines thermionischen Konverters fur
Laborversuche.

2.1. ENTLADUNGSFORMEN 43
(a)
(b)
Abbildung 2.5: (a) Thermionischer Konverter. Cs-Dampf wird an der hei en Kathode
durch denMott-E ekt ionisiert. (b) Q-Maschine. Das Plasma wird durch Kontaktionisation
eines Casium-Dampfstrahls an einer hei en Tantalplatte erzeugt. Ein uberlagertes
starkes axiales Magnetfeld bewirkt den Einschlu der Plasmasaule. Am anderen Plasmaende
be ndet sich entweder eine zweite Plasmaquelle oder eine kalte Elektrode, die
durch eine negative Vorspannung den Elektroneneinschlu bewirkt.

44 KAPITEL 2. GASENTLADUNGEN
Die Q-Maschine [44] hat einen gro en Abstand zwischen hei er und kalter Platte und
uberlagert dem Plasma ein starkes axiales Magnetfeld. Diese durch Kontaktionisation
erzeugten Plasmen sind (bei negativer Spannung an der kalten Platte) besonders ruhig.
Daher stammt ihr Name: das " Q\ steht fur quiet. Sie eignen sich daher besonders fur
Untersuchungen an verschiedensten Wellen in magnetisierten Plasmen und an elektrostatischen
Doppelschichten. Den typischen Aufbau einer Q-Maschine zeigt Abb. 2.5(b).
2.1.3 Hochfrequenzentladungen (*)
Das Interesse an einem moglichst detaillierten Verstandnis der Hochfrequenzentladungen
ist weitgehend durch ihre weitverbreitete Anwendung in Ober achenprozessen der Mikroelektronik
bedingt. Das Atzen von Siliziumwafern [45] erfolgt in einer HF-Entladung zwischen
parallelen Platten. Diese Platten werden mit der technisch genutzten Hochfrequenz
von 13,56 MHz gespeist. Abb. 2.6 zeigt den schematischen Aufbau einer Laborentladung
mit dem Netzwerk zur Anpassung des Generatorausgangs (50 ) an die Impedanz der
Entladung. In der einfachsten Form besteht einesolche Entladung aus zwei Aluminiumelektroden,
die mit einem Glasring und O-Ring-Dichtungen den Entladungsraum bilden.
Technische Atzreaktoren benutzen wassergekuhlte Elektroden wegen der betrachtlichen
Erwarmung der Elektroden durch die dem Plasma zugefuhrte elektrische Leistung. In einigen
Fallen ist es notig, den Siliziumwafer an der Ruckseite mit einem Heliumgasstrahl
zusatzlichzukuhlen. Zur Optimierung der Homogenitat der Entladung werden bestimmte
Formen der Kathoden und zusatzliche Abschirmelektroden vorgesehen.
Ein Exkurs uber Plasmachemie
Das Plasma in diesen Hochfrequenzentladungen dient vor allem zur Erzeugung reaktiver
Spezies durch Dissoziation des molekularen Atzgases in aktive Radikale, die zum Atzen
von Si oder SiO2 dienen. Die wichtigste Betriebsart der Atzentladung wird als reactive ion
etching (RIE) bezeichnet. Betrieben werden diese Entladungen vorwiegend in Gemischen
aus Chlor- und Fluorverbindungen, z.B. CF4, BCl3 oder CCl4, die die uchtigen Molekule
SiCl4, SiF4 oder SiBr4 als Atzprodukt erzeugen. Die E zienz des RIE wird durch die Beobachtung
belegt, da nur die Kombination aus dem Angebot reaktiver Radikale und dem
Bombardement des Substrats mit Plasmaionen einen e ektiven Atzproze ergibt. Abb. 2.7
zeigt diesen synergetischen E ekt [46]. Den uorhaltigen Atzgasen werden H2 und O2
zugesetzt. Dabei erhoht Sauersto die atomare Fluorkonzentration, indem CFx-Radikale
zu CO, CO2 oder COF2 verwandelt werden und so mehr freies Fluor zum Atzen ubrigbleibt
[47]. Diese Entladung wird zum isotropen Atzen von Silizium eingesetzt. Silizium
wird in mehreren Schritten in die uchtige Form SiF4 uberfuhrt, die mit dem Gasstrom
im Reaktor abgepumpt wird.
Wassersto dagegen reduziert den Anteil freier Fluoratome durch Bildung von HF.
Das chemische Gleichgewichtverschiebt sich dabei zu dem Radikal CF2, das sich als Film

2.1. ENTLADUNGSFORMEN 45
Abbildung 2.6: Parallelplatten-Entladung mit symmetrischer Hochfrequenzeinspeisung.
auf dem Wafer niederschlagt. In den SiO2-Zonen des Wafers ist wahrend des Atzprozesses
stets genugend atomarer Sauersto vorhanden um die oben genannten uchtigen Kohlensto
verbindungen zu erzeugen und die lokale Fluorkonzentration sicherzustellen. Dabei ist
die Atzrate fur SiO2 nahezu unabhangig vom Wassersto zusatz. Anders ist es bei Zonen
aus reinem Silizium, das bei zunehmender Bedeckung mit CF2 immer weniger geatzt wird
(Abb. 2.8). Die CF4-H2 Entladung wird also bevorzugt zum selektiven Atzen von SiO2
eingesetzt.
Ein Exkurs uber anisotropes Atzen
Eine zweite Eigenschaft der Hochfrequenzplasmen ist von hoher Bedeutung fur die Herstellung
von hochstintegrierten Schaltungen. Das reaktive Ionenatzen ist weitgehend isotrop,
so da die erreichbare Atztiefe vergleichbar ist zur Strukturbreite. Solche achigen
Strukturen sind hinsichtlich der erreichbaren Bauelementedichte unokonomisch, da es z.B.
bei dynamischen Speicherbauelementen gilt, den Speicherkondensator moglichst achensparend
unterzubringen. Hier hilft eine Eigenschaft der Hochfrequenzentladung, die das
anisotrope Atzen erlaubt, mit dem tiefe Graben mit einem Tiefen- zu Breitenverhaltnis
von bis zu 20:1 geatzt werden konnen. Die Seitenwande dieser Graben nehmen dann den
Kondensator platzsparend auf.
Das anisotrope Atzen beruht auf der Gleichspannung, die sich uber der Randschicht
der Entladung aufbaut (Selfbias). Bedingt ist sie weitgehend durch die Gleichrichtung

46 KAPITEL 2. GASENTLADUNGEN
Abbildung 2.7: Vergleich derAtzraten bei reiner Zufuhr des Atzgases, bei gleichzeitigem
Ionensputtern und bei reinem Sputtern. Nur das Zusammenwirken beider Prozesse erklart
die hohe E zienz des RIE.
der angelegten Hochfrequenzspannung an der einer Halbleiterdiode ahnlichen Strom-
Spannungscharakteristik der Randschicht (vgl. Kap. 7). Dabei ist das Plasma im Mittel
100 - 200 V positiv gegenuber der Elektrode, auf der der Wafer liegt. Diese Gleichspannung
beschleunigt die positiven Ionen senkrecht auf den Wafer, wobei durch einen niedrig
gewahlten Gasdruck Streuprozesse minimiert werden. Jetzt sind es z.B. die Fluorionen,
die das Silizium atzen.
Die hohe Anisotropie kommtdurch mehrere Synergismen zustande. Oben wurde kurz
angesprochen, da die Bildung von CF2-Filmen das Siliziumatzen verlangsamt. Dieser
Proze passiviert die Seitenwande des zu atzenden Grabens. Der Boden des Grabens
dagegen ist unter standigem Beschu durch Ionen. Diese desorbieren den Film durch
mechanische Einwirkung und aktivieren den Atzproze durch das Zusammenspiel von
Sputterwirkung und Fluorzufuhr. Ein Beispiel fur die in reinem Silizium erreichbaren
geringen Strukturbreiten zeigt Abb. 1.8.

2.1. ENTLADUNGSFORMEN 47
Abbildung 2.8: (oben) Vergleich derAtzrate von Si und SiO2 als Funktion des Wassersto
zusatzes. Man beachte die invertierte Skala! (unten) Gemessene CF2 Filmdicke uber
Si- und SiO2-Gebieten.

48 KAPITEL 2. GASENTLADUNGEN
2.2 Sto prozesse
Die Bewegung der Ladungstrager in Gasentladungen sind wesentlich durch die Zusammensto
e mit den Gasatomen bestimmt. Hierzu gehoren die elastischen Sto e von Elektronen
und Ionen mit Atomen, die die Reibungskrafte und damit die Di usionsbewegung
bestimmen. Bei den inelastischen Sto en unterscheiden wir anregende und ionisierende
Sto e als Verlustprozesse des Elektronengases und superelastische Sto e (mit metastabilen
Atomen) als Energiegewinn.
2.2.1 Driftbewegung und Beweglichkeit
Abbildung 2.9: Teilchenbahnen im homogenen elektrischen Feld bei elastischen Zusammensto
en mit Gasatomen.
Unter dem Ein u eines (homogenen) elektrischen Feldes ~E besteht die Bahn eines
Elektrons aus lauter Parabelstucken, die durch (elastische) Zusammensto e mit den
Gasatomen unterbrochen wird (Abb. 2.9). Inelastische Sto e sind so selten im Vergleich
zu elastischen Sto en, da sie zunachst au er Betracht gelassen werden. Die Bewegungsgleichung
eines individuellen Elektrons lautet dann:
me _ ~ve = ;eE + X
me ~vk (t ; tk) : (2.1)
k
Dabei ist ~vk der Vektor der Geschwindigkeitsanderung beim k-ten Sto mit dem Gashintergrund.
Die Bewegung des individuellen Elektrons kann me technisch nicht verfolgt

2.2. STOSSPROZESSE 49
werden, daher ist die Gleichung uber viele Zusammensto e zu mitteln und es ergibt sich
aus ~ve die mittlere Geschwindigkeit . Die Summe ist ebenfalls uber die Sto prozesse
zu mitteln und kann als mittlerer Impulsverlust pro Zeiteinheit me < ~ve >= c interpretiert
werden. c ist dabei die mittlere Zeit zwischen zwei Sto en. Dieser Term stellt die
mittlere Reibungskraft des Elektrons am Gashintergrund dar.
Bei der Auswertung dieser Mittelung konnen wir fur die Elektronen annehmen, da
wegen der sehr viel kleineren Masse im Vergleich zu den Gasatomen der Betrag des Geschwindigkeitsvektors
beim elastischen Sto erhalten bleibt. In vielen Fallen ist die Streuung
an den Gasatomen hinreichend isotrop, so da im Mittel der Impuls me an
das Neutralgas ubertragen wird. Damit lautet die Bewegungsgleichung des gemittelten
Elektrons:
m _v = ;eE ; mv m : (2.2)
Die Bewegung erfolgt nunmehr in Feldrichtung. Die Vektorschreibweise, Mittelungsklammern
und Indizes sind fortgelassen worden. Die Gro e m hei t e ektive Sto frequenz
fur Impulsubertrag. Fur isotrope Streuung ist m =1= c. Eine ausfuhrlichere Diskussion
abweichender Falle ndet sich bei Raizer [15]. Integriert man die Bewegungsgleichung
(2.2)
v(t) =; eE
[1 ; exp(; mt)] + v(0) exp(; mt) � (2.3)
m m
so erkennt man, da die Erinnerung an die Anfangsgeschwindigkeit v(0) nach wenigen
Sto en verloren geht und eine asymptotische Annaherung an die Geschwindigkeit vd erfolgt:
vd = ; e
E: (2.4)
m m
vd hei t Driftgeschwindigkeit der Elektronen. Die elektrische Feldkraft steht im Gleichgewicht
mit der Reibungskraft. Der Koe zient e = e=m m hei t Beweglichkeit der Elektronen.
Damit gilt:
~vd = ; e ~ E: (2.5)
In analoger Weise la t sich die Beweglichkeit und Driftgeschwindigkeit der Ionen de nieren.

50 KAPITEL 2. GASENTLADUNGEN
Memobox: Druckme einheiten
In der Plasmaphysik sind neben der gesetzlichen Einheit (1 Pa = 1Nm ;2 )
fur den Gasdruck auch noch eine Reihe historischer Relikte gebrauchlich,
die trotz jahrzehntelanger Bemuhungen nicht auszurotten sind. Ihre Umrechnung
ist hier zusammengestellt:
1Torr = 133 Pa
1bar = 10 5 Pa
1bar = 0� 9869 atm (phys:Atmosphare)
1atm = 760 Torr :
In der alteren Literatur bezieht man gern die Gasentladungsbedingungen
auf die Teilchendichte bei einem Druck von 1 Torr und T = 273 K. Diese
ist:
N1 =3� 54 10 22 m ;3 :
2.2.2 Wirkungsquerschnitt und mittlere freie Weglange
Die Sto wahrscheinlichkeit eines Elektrons mit einem Atom kann durch eine geometrische
Gro e, den Wirkungsquerschnitt beschrieben werden. Man ordnet dazu jedem Atom eine
kleine Zielscheibe der Flache zu (Abb. 2.10). Diese klassische Vorstellung ist bei gro en
Energien des Projektils auch quantenmechanisch zu rechtfertigen, da die deBroglie-
Wellenlange des Elektrons klein im Vergleich zu den Abmessungen der Elektronenhulle
anzusehen ist. Fur die Sto e von Ionen mit Atomen bei den typischen Energien in einer
Gasentladung kann oft vereinfachend die Vorstellung des Sto es zweier Billardkugeln
(unterschiedlicher Radien) benutzt werden, so da sichfur den Wirkungsquerschnitt eines
solchen Sto prozesses die Sto radien addieren: = (r1 + r2) 2 .
Zur Berechnung der Sto wahrscheinlichkeit und anderer Gro en gehen wir von punktformigen
Projektilen aus, die auf Ziele des Querschnitts tre en. In einem Zylinder mit
Querschnitt A und Lange z be nden sich N = naA z Atome, wenn na die Dichte der
Atome ist. Somit ist eine Flache N als versperrt anzusehen. Die Sto wahrscheinlichkeit
ist damit durch dasVerhaltnis aus versperrter zu gesamter Querschnitts ache gegeben:
w = N =A = na z: (2.6)
Die Wahrscheinlichkeit, einen Ort z zu erreichen, errechnet sich aus der Bedingung, in
allen Zwischenschritten keinen Sto zu erleiden:
Y
z= z
w(z) = lim
z!0
i=1
(1 ; na z)

2.2. STOSSPROZESSE 51
Abbildung 2.10: Wirkungsquerschnitt und freie Weglange.
z= z
= lim (1 ; na z)
z!0
= exp(;na z) =exp(;z= ) : (2.7)
Die Gro e =1=na hei t mittlere freie Weglange. Es gilt sofort, da na = const.,
oder bei fester Temperatur p = const. Der Wirkungsquerschnitt fur elastische Sto e
ist eine Funktion der Energie des sto enden Elektrons. Beispiele fur die Edelgase sind in
Abb. 2.11 zusammengestellt [48, 51, 52]. Der Querschnitt fur Helium fallt mit steigender
Energie monoton ab, wahrend er bei schwereren Edelgasen ein Minimum bei kleinen Energien
aufweist (RamsauerE ekt). Dieses Minimum entsteht durch quantenmechanische
Interferenze ekte des einfallenden Elektrons mit dem Atom. Der Anstieg des maximalen
Wirkungsquerschnitts mit der Ordnungszahl des Atoms spiegelt die Zunahme der Gro e
des Atoms mit der Zahl der Elektronen wieder.
2.2.3 Die Geschwindigkeitsverteilung
Im thermodynamischen Gleichgewicht nimmtein Gas die Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung
an. Diese lautet in einer Raumdimension:
fM(vx) =a exp
; mv2
x
2kBT
!
: (2.8)

52 KAPITEL 2. GASENTLADUNGEN
Abbildung 2.11: Elastischer Wirkungsquerschnitt einiger Edelgase als Funktion der Projektilenergie.
Die schweren Edelgase zeigen das Ramsauerminimum bei kleinen Energien.
fM(vx)dvx ist die Zahl der Teilchen mit Geschwindigkeit zwischen vx und vx+dvx, kB =
1:38 10 ;23 J/K ist die Boltzmannkonstante und T die thermodynamische Temperatur.
Die Teilchendichte n ergibt sich als Integral uber alle Geschwindigkeiten:
n =
Die Normierungskonstante a ist folglich:
a = n
Z1
;1
fM(vx)dvx : (2.9)
m
2 kBT
1=2
: (2.10)
Die Breite der Verteilungsfunktion ist durch dieTemperatur bestimmt (Abb. 2.12).
Sei die thermische Geschwindigkeit vth de niert durch:
so wird
vth =(2kBT=m) 1=2 � (2.11)
fM(vx) =a exp
; v2 x
v2 !
th
: (2.12)

2.2. STOSSPROZESSE 53
Abbildung 2.12: Maxwellverteilung der Geschwindigkeitsbetrage f(jvj). Zum Vergleich ist
eine Maxwellverteilung mit der doppelten Temperatur dargestellt.
Die mittlere kinetische Energie ist dann:
Eav =
R 1
2mv2 xfM(vx)dvx
R
fM(vx)dvx
= 1
2 kBT : (2.13)
Der Begri der Geschwindigkeitsverteilung kann auf drei Dimensionen verallgemeinert
werden, wobei jetzt fM(~v)d 3 v die Zahl der Teilchen in einem Volumenelement d 3 v um
den Vektor ~v angibt. Die dreidimensionale Maxwellverteilung lautet dann:
fM(~v) =fM(vx�vy�vz) =n
m
2 kBT
3=2
exp
z)
; m(v2
x + v 2
y + v 2
2kBT
!
: (2.14)
Man zeigt leicht, da Eav =(3=2)kBT ist. Dies ist ein Sonderfall des Aquipartitionssatzes,
da im thermodynamischen Gleichgewicht (1=2)kBT pro Freiheitsgrad auftritt. In der
Plasmaphysik hat sich eine Sprechweise eingeburgert, die Temperatur eines Plasmas in
Elektronenvolt anzugeben. Hierunter versteht man, da ein Plasma von 10 eV Temperatur
durch kBT = 10eV charakterisiert ist. Seine mittlere kinetische Energie ist aber Eav =
(3=2) kBT = 15eV. Der Konversionsfaktor ist:
1eV = 11603K : (2.15)

54 KAPITEL 2. GASENTLADUNGEN
Neben der eindimensionalen Maxwellverteilung fM(vx) wird auch dieVerteilung der
Geschwindigkeitsbetrage f(jvj) verwendet:
f(jvj) =4 v 2 n
m
2 kBT
3=2
exp
; mv2
!
2kBT
: (2.16)
Diese gibt die Teilchenzahl im Geschwindigkeitsraum zwischen den Kugelschalen v und
v +dv an. Der Faktor 4 v 2 beschreibt das wachsende Volumenelement in Kugelgeometrie.
In Gasentladungen liegen oft Abweichungen vom thermodynamischen Gleichgewicht
vor: Die Elektronentemperatur ist dabei meist viel hoher als die Ionen- und Gastemperatur.
Wegen der vergleichbaren Massen von Ionen und Gasatomen ist deren Temperatur
i.d.R. gleich. In der Niederdruckentladung ist zudem die Schwerteilchentemperatur praktisch
gleich der Wandtemperatur anzunehmen.
2.2.4 Ambipolare Di usion
Elektronen (und Ionen) bewegen sich in einer Gasentladung unter dem Ein u von elektrischen
Feldern und Druckkraften. (Reibungskrafte aufgrund einer Stromung des Neutralgases
sollen vernachlassigt werden.) Der Teilchen u ~ ;e�i = n~ve�i kann dann durch eine
Kombination aus Kraftbilanz und Fickschem Gesetz geschrieben werden:
~;e�i = n e�i ~E ; De�irn : (2.17)
Darin ist De�i der Di usionskoe zient der jeweiligen Teilchensorte und das doppelte
Vorzeichen bezieht sich auf Elektronen (;) und Ionen (+). Der Zusammenhang zwischen
Di usionskoe zient De�i und Beweglichkeit e�i ist durchdieEinsteinbeziehung gegeben:
De�i
e�i
= kBTe�i
e
: (2.18)
In (2.17) ist das selbstkonsistente elektrische Feld zu verwenden, d.h. die Uberlagerung
eines externen Feldes mit dem durch eventuelle Ladungstrennung enstehenden Raumladungsfeld.
Das Raumladungsfeld wird bedeutsam bei der ambipolaren Di usion. Infolge der
hoheren Beweglichkeit der Elektronen eilen die Elektronen im Dichtegradienten den Ionen
voraus und " ziehen\ diese durch das Raumladungsfeld hinter sich her. In eindimensionaler
kartesischer Geometrie schreiben sich die Di usionsgleichungen fur Elektronen und Ionen:
@n
;x = ;n eEx ; De
;x = +n iEx ; Di
@x
@n
: (2.19)
@x

2.2. STOSSPROZESSE 55
Dabei wurden bereits die Teilchenstrome fur Ionen und Elektronen gleich gesetzt, da
keine makroskopische Au adung auftreten kann, und die Pro lform @n=@x ist wegen der
Quasineutralitat als gleich angenommen. Eliminiert man das Raumladungsfeld Ex, so
erhalt man den Teilchenstrom der ambipolaren Di usion:
@n
;x = ;Da
@x
mit Da = Di e + De i
e + i
: (2.20)
Es gilt die Ungleichung Di

56 KAPITEL 2. GASENTLADUNGEN
2.2.6 Elektronenaufheizung
Elektronen gewinnen zwischen zwei elastischen Sto en Energie aus dem elektrischen Feld.
Wenn der Winkel zwischen dem momentanen Geschwindigkeitsvektor und der Richtung
des elektrischen Feldes mit bezeichnet wird, ist dies gerade eE cos . Bei einem elastischen
Sto mit einem Atom der sehr viel gro eren Masse ma verliert das Elektron im
Mittel nur eine sehr geringe Energie.
Klassische Elektronenstreuung
Der Einfachheit halber betrachten wir das Atom als ruhend, was durch die sehr viel
hohere thermische und gerichtete Geschwindigkeit der Elektronen zu rechtfertigen ist,
und das Elektron besitze vor dem Sto die Geschwindigkeit ve. Das Elektron moge unter
einem Winkel gestreut werden (s. Abb. 2.13). Dann kann der elastische Sto durch
Impulserhaltung und Energieerhaltung beschrieben werden. Die Geschwindigkeiten nach
dem Sto seien durch v 0 e und v0 a bezeichnet.
Abbildung 2.13: Elastische Streuung eines Elektrons an einem Atom.
Die Impulsbilanz lautet dann:
und die Energiebilanz:
ve = v 0 e cos + ma
v 0 a cos (2.23)
me
0 = v 0 ma
e sin ; v 0 a sin (2.24)
v 2
e
= v02
e
me
ma
+ v
me
2
a : (2.25)

2.2. STOSSPROZESSE 57
Hieraus kann zunachst der nichtinteressierende Streuwinkel des Atoms eliminiert werden:
cos =
so da die Impulsbilanz lautet:
2
41 ;
ve = v 0 e cos +
mev0 e
mav0 ! 2
sin
a
2
s ma
me
31=2
5
2
v 02
a ; v 02
e sin 2
Mit Hilfe des Energiesatzes (2.25) kann v0 a ersetzt werden:
v 02
a = me
ma
v 2
e ; v 02
e
und die Wurzel verschwindet durch Reorganisation und Quadrieren:
(ve ; v 0 e cos ) 2 = ma
me
v 2
e ; v 02
e
Hieraus ergibt sich eine quadratische Gleichung fur v 0 e:
v 02
e
1+ ma
me
; v 02
e sin 2
; 2vev 0 e cos + v 2
e 1 ; ma
me
� (2.26)
: (2.27)
(2.28)
: (2.29)
=0 � (2.30)
aus der wir allerdings nicht die Geschwindigkeit v 0 e nach dem Sto gewinnen wollen, sondern,
in der uns der prozentuale Verlust an kinetischer Energie beim elastischen Sto
interessiert. Hierzu losen wir auf:
und erhalten schlie lich:
W
W
v 2
e ; v 02
e
ma
me
v2 e ; v
= 02
e
v2 e
= v 2
e + v ; e 02 ; 2vev 0 e cos (2.31)
= me
ma
1+ v02 e
v2 e
; 2 v0 e
cos
ve
!
: (2.32)
Wegen des gro en Unterschiedes zwischen Elektronen- und Atommasse wird die Anderung
des Geschwindigkeitsbetrages gering sein und nur die Impulsrichtung geandert werden, so
da wir v 0 e=ve 1 setzen durfen und damit:
W
W =2me (1 ; cos ) (2.33)
ma
erhalten. Diese Winkelabhangigkeit ist uns bestens vertraut aus dem analogen Fall des
Comptone ekts, bei dem ja massearme Photonen an den schwereren Elektronen gestreut
werden.

58 KAPITEL 2. GASENTLADUNGEN
Abbildung 2.14: Geometrie zur Mittelung des elastischen Energieverlustes.
Als letzter Schritt verbleibt uns noch diekorrekte Mittelung dieses Sto prozesses uber
die moglichen Streuwinkel . Denken wir uns um das Atom als Streuzentrum eine Kugel,
deren Ober achenpunkte die moglichen Kombinationen aus einlaufendem und auslaufendem
Impulsvektor darstellen. Diese Vorstellung ist insofern korrekt, als wir hier die
Naherung benutzen, da v 0 e ve (s. Abb. 2.14). Alle Punkte auf dieser Kugel beschreiben
einen gleich wahrscheinlichen Sto vorgang. Also konnen wir die Winkelmittelung des
Energieubertrages in Kugelkoordinaten ausfuhren:
W
W
1
=
4
2Z
0
d
Z
0
d sin 2me
(1 ; cos )=
ma
2me
ma
(2.34)
Obwohl dieser Energieverlust z.B. beim Argon nur 0.01% betragt, hat der elastische
Sto doch erhebliche Auswirkung auf den Impuls des Elektrons, indem namlich standig
eine e ziente Umverteilung der Impulsrichtung auftritt. Elastische Sto e transformieren
also die Energie der gerichteten Bewegung im elektrischen Feld in thermische, zufallige Bewegung.
Andererseits ist der Energieubertrag an das Neutralgas auch so gering, da i.d.R.
das Neutralgas bei Raumtemperatur bleibt wahrend das Elektronengas eine Temperatur
von einigen eV besitzt.
Die dem Elektronengas zugefuhrte elektrische Leistung ist:
Pin = jE = E 2 : (2.35)
Der Energieverlust der Elektronen setzt sich aus elastischen und inelastischen Verlusten

2.2. STOSSPROZESSE 59
zusammen und wird durch die Energieverlustrate Pout beschrieben:
i
: (2.36)
Pout = n h W m + X Wion ion
Darin ist m die Impulsverlustfrequenz, ion die im Abschnitt (2.2.7) de nierte Ionisationsfrequenz
und Wion die Ionisationsenergie. Die Summation erstreckt sich uber alle
Atomsorten. Zur Vereinfachung wollen wir nur den Fall untersuchen, in dem der elastische
Energieverlust dominiert. Dann ergibt die Bilanz fur den stationaren Fall, Pin = Pout:
n 2me
W m =
ma
ne2
E
me m
2
(2.37)
W = e2ma 2m2 e 2 E
m
2 : (2.38)
Setzen wir jetzt als charakteristische Elektronenenergie W = mev 2
th =2undberucksichtigen,
da die Sto frequenz eines thermischen Elektrons m = vth= = na vth ist, so
erhalten wir:
kBTe = 1
2
ma
me
1=2 e
m
E
na
: (2.39)
Damit wird die Elektronentemperatur in diesem Modell linear abhangig vom Verhaltnis
(E=na). Da na / p ist, wird der bestimmende Parameter das Verhaltnis E=p. Eine
typische Energieverteilungsfunktion ist in Abb. 2.15 fur den Fall der positiven Saule in
Helium dargestellt [49]. Fur Energien unterhalb der inelastischen Prozesse folgt sie einem
Verlauf / exp(;U=Ue), wobei die charakteristische Energie Ue den Begri der Temperatur
ersetzt. Im inelastischen Bereich gibt es einen analogen Verlauf mit einer zweiten
charakteristischen Energie U e .Diecharakteristische Energie im elastischen Bereich zeigt
den erwarteten Anstieg mit E=p.
Zusammenfassend kann man die sich einstellende Energiebilanz so verstehen, da die
'Temperatur' des Elektronengases solange ansteigt, bis die Summe aus elastischen Energieverlusten
und inelastischen Energieverlusten die Joulesche Warme abfuhrt. Diese Argumentation
ist vollig analog zu dem Fall der Resonanzamplitude des gedampften getriebenen
Oszillators, bei dem die Amplitude sich auf einen so hohen Wert einstellt, der
sicherstellt, da die pro Periode zugefuhrte Energie gerade durch Reibung vernichtet werden
kann.
2.2.7 Inelastische Prozesse
Hier interessieren uns zunachst qualitativ die Gro e und der Verlauf des Wirkungsquerschnitts
fur Ionisation oder Anregung mit der Energie des Projektils [48, 50, 51, 52].
Abb. 2.16 zeigt schematischdenIonisationsquerschnitt des Helium- und des Argonatoms.
Unterhalb der jeweiligen Ionisationsenergie ist der Wirkungsquerschnitt Null. Bei etwa

60 KAPITEL 2. GASENTLADUNGEN
Abbildung 2.15: (links) Elektronenverteilungsfunktion in der positiven Saule einer Heliumentladung
aus Sondenmessungen. Die Verteilung kann im Bereich elastischer und
inelastischer Sto e durch je eine Exponentialfunktion / exp(;U=Ue) dargestellt werden.
(rechts) Die charakteristische Energie Ue im elastischen Sto bereich steigt linear mit E=p.
der vierfachen Ionisationsenergie durchlauft er ein
Energien / E
aches Maximum und fallt zu hohen
;1 ab.
Im Vergleich zu dem Wirkungsquerschnitt fur elastische Streuung von Elektronen ist
der Ionisationsquerschnitt etwa zwei Zehnerpotenzen kleiner. Daher ist nur etwa jeder
hundertste Sto inelastisch. Es ist daher eine gerechtfertigte Naherung, die inelastischen
Sto e bei der Berechnung der Reibungskrafte unberucksichtigt zu lassen.
Wenn das Elektronengas durch eine Geschwindigkeitsverteilung f(v) charakterisiert
ist, ergibt sich die Zahl der ionisierenden Sto e, die ein Elektron im Mittel pro Sekunde
ausfuhrt zu:
1
Z
f(v) ion(v)vdv : (2.40)
ion = na < ionv >= na
ne
Dabei ist na die Atomdichte. ion wird als Ionisationsfrequenz bezeichnet. Die Zahl der
Ionisationsereignisse pro Volumeneinheit und Sekunde ergibt sich als:
und wird als Ionisationsrate bezeichnet.
S = ionne = nenah ionvi (2.41)

2.2. STOSSPROZESSE 61
Abbildung 2.16: Ionisationsquerschnitt von Helium und Argon
2.2.8 Coulombsto e
Bisher haben wir nur Zusammensto e der Elektronen mit Gasatomen betrachtet. In
einem schwach ionisierten Plasma sind jene Sto partner allein von ihrer gro eren Anzahl
her die bedeutendsten. In vollionisierten Plasmen mussen wir die Reibung zwischen
dem Elektronen- und Ionengas berucksichtigen. Der Impulsubertrag bei einem Elektron-
Elektron-Sto verandert den Gesamtimpuls des Elektronengases nicht. Wirkonnen also
e-e Sto e fur die Reibungskrafte au er Betracht lassen. Allerdings bestimmen sie die Diffusion.
Die Bahn eines Elektrons im Coulombfeld eines Ions ist in Abb. 2.17 dargestellt. Der
Sto parameter soll klein gegenuber der Debyelange gewahlt sein, so da das nackte
Coulombfeld in Erscheinung tritt. Vereinfachend setzen wir die Hyperbelbahn aus drei
Teilstucken zusammen: den beiden Asymptoten mit Sto parameter b und einem (angenaherten)
Kreisbogen. Die Wechselwirkungszeit la t sich abschatzen durch T b=v.
Die Impulsanderung ist bei gro en Ablenkungswinkeln etwa gleich dem Betrag des Impulses
p jpj und la t sich durch die Coulombkraft und Wechselwirkungszeit darstellen

62 KAPITEL 2. GASENTLADUNGEN
p FcT . Hieraus erhalten wir
Abbildung 2.17: Sto geometrie fur Elektron-Ion-Sto .
mev = e2
4 0b 2
!
b
=
b
e2
4 0bv
und damit den Sto parameter fur 90 o -Sto e angenahert zu:
b90 =
(2.42)
e2 : (2.43)
4 2
0mev
Aus b90 ergibt sich der zugehorige Wirkungsquerschnitt als 90 = b2 90 und die Elektron-
Ion-Sto frequenz zu
ei = n 90v =
ne4 2 16 0m2 : (2.44)
3
ev
Die Resistivitat = me ei=ne2 la t sich groenordnungsma ig abschatzen, wenn v =
(kBT=me) 1=2 gesetzt wird:
=
e2m1=2 (4
e
0) 2 :
(kBT ) 3=2
(2.45)
Hier erkennt man bereits, da die Resistivitat unabhangig von der Elektronendichte und
proportional zu T ;3=2 wird. Diese Herleitung basiert auf Gro winkelsto en. Die genauere
Analyse zeigt, da die Summe vieler Kleinwinkelsto e wichtiger ist. Dabei ist aber
zu berucksichtigen, da die Reichweite der Coulombkraft etwa auf die Debyelange beschrankt
ist.

2.2. STOSSPROZESSE 63
Die genauere Rechnung liefert die Spitzerformel [53]
=
e2m1=2 e
(4 0) 2 ln : (2.46)
(kBT ) 3=2
Hierin ist 9ND der Coulomblogarithmus, der aus der Summation uber alle Sto parameter
bis zur Debyelange resultiert. Werte fur ln( ) sind in Tabelle 2.1 zusamengestellt.
Fur praktische Rechnungen ist ln( ) = 10 ein guter Schatzwert. Ein hei es Plasma von
T = 10keV hat eine Resistivitat von =5 10 ;10 m. Diese ist geringer als die von Kupfer
Cu =2 10 ;8 m. Dies erklart, warum ein hei es Plasma wie ein idealer Leiter betrachtet
werden kann.
Tabelle 2.1: Werte des Coulomb-Logarithmus
Plasmaentladung kBTe /eV n /m ;3 ln
Q-Maschine 0,2 10 15 9,1
Gasentladung 2 10 17 10,2
Torusexperimente 100 10 19 13,7
Fusionsreaktor 10 4 10 21 16
Laserfusion 10 3 10 27 6,8

64 KAPITEL 2. GASENTLADUNGEN
2.3 Mechanismen der DC-Glimmentladung
In diesem Kapitel sollen die Mechanismen der verschiedenen Zonen der mit Gleichspannung
betriebenen Gasentladungen nun konkretisiert werden.
2.3.1 Elektronenaustritt aus Metallen
In der Glimmentladung werden Elektronen aus der metallischen Kathode durch Beschu
mit energiereichen Ionen aus dem Kathodenfall ausgelost. Der Auslosekoe zient i gibt
die Zahl der pro Ion ausgelosten Elektronen an. Abb. 2.18 zeigt die Elektronenausbeute je
einfallendes Ion fur reines Wolfram und Edelgasionen [48]. Sie nimmthierWerte zwischen
etwa 2% und 30% an und hangt von der Kombination aus Projektil und Metall ab.
Im Unterschied zur Ionisation neutraler Atome durch Elektronensto tritt hier kein
Schwellwert auf, da das Ion bei Kontakt mit den Elektronen an der Ober ache Energie
durch Rekombination gewinnt. Diese gewonnene Ionisationsenergie des einfallenden Ions
ist meist gro er als die Austrittsarbeit eines Elektrons aus dem Metall.
Der Elektronenaustritt aus hei en Metallober achen wird durch dieRichardsongleichung
beschrieben [54, 55], die die Emissionsstromdichte einer thermischen Kathode
beschreibt:
j = AT 2 exp ; Waus
: (2.47)
kBT
Einen Vergleich der Emissionsdaten von reinem Wolfram mit einer Oxidkathode zeigt
Tabelle 2.2 [56].
Kathoden- A Waus T j
material (A cm ;2 K ;2 ) (eV) (K) (A cm ;2 )
Massiv W 60 100 4,5 2500 0,3
Oxid BaO + SrO 10 ;2 10 ;3 1,0 1100 3
Tabelle 2.2: Emissionsdaten von Wolfram- und Oxidkathoden
2.3.2 Kathodenfall
Es ist experimentell bekannt, da in der normalen Glimmentladung der Spannungsabfall
im Kathodenfall sehr gro gegenuber der typischen thermischen Elektronenenergie
(in Volt) ist, die man in der positiven Saule oder im negativen Glimmlicht ndet. Daher
di undieren keine Elektronen vom negativen Glimmlicht gegen das bremsende elektrische
Feld in den Kathodenfallraum. Die einzigen Elektronen, die im Kathodenfallbereich
auftreten, stammen aus der Kathode oder aus der Ionisationskaskade. Damit steigt der

2.3. MECHANISMEN DER DC-GLIMMENTLADUNG 65
Abbildung 2.18: Sekundarelektronen-Ausbeute fur Edelgasionen auf reine Wolframober
achen
Beitrag der Elektronen zur Stromdichte von der Kathode zur Anode hin an, wahrend umgekehrt
der Ionenbeitrag zur Stromdichte an der Kathode am gro ten ist. Der Anteil der
Ionen, die von der Anodenseite in den Kathodenfall hineindi undieren ist gering im Vergleich
zu dem an dieser Stelle vorhandenen Elektronenstrom, da die Ionenbeweglichkeit
um zwei Zehnerpotenzen geringer ist als die der Elektronen. Folglich ist der Kathodenfall
der Bedingung unterworfen, sich selbst aufrechterhalten zu konnen.
Die aus der kalten Kathode austretenden Elektronen werden im Feld vor der Kathode
beschleunigt und erzeugen neue Ladungstrager, die ihrerseits beschleunigt werden und
zur lawinenartigen Vermehrung der Ladungstrager fuhren. In einfachster Naherung wird
das Wachstum der Lawine durch denGasverstarkungsfaktor beschrieben: 3
@je
@z = je �
@ji
@z = ; je : (2.48)
Dabei nehmen wir vereinfachend an, da nicht von der ortlich variierenden elektrischen
3 hei t in der Literatur Townsends erster Ionisationskoe zient

66 KAPITEL 2. GASENTLADUNGEN
Feldstarke abhangt. Dann wachst die Stromdichte der Elektronen je exponentiell an:
je = je0e z
(2.49)
Als Randbedingung an der Kathode wahlen wir: je0 = ji0, d.h. da die Elektronen aus
der Sekundaremission stammen. Am anodischen Rand der Kathodenschicht fordern wir,
da die Elektronen den Gesamtstrom tragen: je(d) =j. Damit ergibt sich dann nach
kurzer Rechnung die Stromverteilung zu:
je(z) = 1+ je z
ji(z) = j
1 ; 1+ e z
Das Verschwinden des Ionenstrombeitrages bei z = d erfordert dann, da :
!
(2.50)
(2.51)
e d ; 1 =1: (2.52)
Diese Beziehung besagt, da die Gasverstarkung (abzuglich des Startelektrons), die auch
die Zahl der auf die Kathode zuruckfallenden Ionen bestimmt, die Ausbeute an Sekundarelektronen
gerade ausgleichen mu . Im Kathodenfall erfolgt also der Stromtransport
vorwiegend durch Ionen, nur am Rand des negativen Glimmlichts dominiert
der Strombeitrag der Elektronen. Es sei darauf hingewiesen, da wir Di usionsverluste
zur Wand, die die Bilanzgleichung mitbestimmen, vernachlassigt haben.
2.3.3 Negatives Glimmlicht
Im Glimmlicht sind hinreichend viele Elektronen vorhanden, die aus den letzten Generationen
des Lawinenprozesses stammen und im Kathodenfall noch eine Energie aufgenommen
haben, die zur Ionisation von Neutralen ausreicht. Diese Elektronen verlieren
jetzt im Gasraum durch anregende Sto e und Ionisation ihre Energie. Hieraus stammt
das intensive Leuchten, das zur Anode hin graduell abnimmt. Die Energieaufzehrung dieser
energetischen Elektronen markiert den Beginn des Faraday-Dunkelraums. Weiterhin
besteht keine Notwendigkeit, da im negativen Glimmlicht Elektronenaufheizung stattndet,
da das Glimmlicht aus der Energie des Kathodengebiets gespeist wird. Daher ist
das negative Glimmlicht nahezu feldfrei.
2.3.4 Positive Saule
Die positive Saule der Glimmentladung ist von technischer Bedeutung fur die Beleuchtungstechnik,
z.B. die Leuchtsto rohren. In der positiven Saule haben die Elektronen eine
Energiebilanz angenommen, die durch den Energiegewinn im elektrischen Feld (vgl. 2.2.5)
und Energieverlust durch Di usion und Linienstrahlung bestimmt ist.

2.3. MECHANISMEN DER DC-GLIMMENTLADUNG 67
Die Teilchenbilanz der positiven Saule ist durch ein Gleichgewicht aus Ladungstragererzeugung
durch Ionisation und Verlust durch ambipolare Di usion zur Rohrwandung
und dortiger Rekombination bestimmt. 4 Die Teilchenbilanz wird durch dieKontinuitatsgleichung
4.8 beschrieben, die um den Erzeugungsterm S erweitert ist:
@n
+ r (n~v) =S: (2.53)
@t
n ist die Elektronendichte. Hier interessieren zunachst nur stationare Losungen @n=@t =0
und der Teilchenstrom n~v soll durch ambipolare Di usion bestimmt sein:
n~v = ;Darn : (2.54)
Die Kombination von (2.53), (2.54) und der De nition (2.41) von S ergibt fur Da =const:
die Di usionsgleichung:
Da n + nah vin =0: (2.55)
Fur die i.d.R. verwendeten langen zylindrischen Entladungsrohre herrscht in der positiven
Saule Zylindergeometrie und axiale Verluste werden vernachlassigt. Die Di usions-
gleichung lautet dann:
@2n 1 @n
+ + An =0: (2.56)
@r2 r @r
Dabei ist A = nah ionvi=Da. Dieses ist eine Besselsche Di erentialgleichung. Sie wird
gelost durch die Besselfunktion J0(x) und die Neumannfunktion Y0(x) (s. Abb. 2.19). Die
Neumannfunktion besitzt bei r = 0 eine Singularitat, so da dieser Typ von Losung hier
unphysikalisch ist. Bei geschichteten zylindrischen Problemen tritt fur r>0 eine Linearkombination
aus J0 und Y0 auf. Mit der realistischen Annahme, da die Elektronendichte
an der Rohrwandung verschwindet, ist die Fundamentallosung durch die Besselfunktion
J0(r) gegeben:
n(r) =n(0)J0
p
Ar : (2.57)
Da die Losung die Randbedingung n(r0) = 0 erfullen soll, wird
n(r) =n(0)J0 2� 405 r
� (2.58)
wobei 2,405 die erste Nullstelle von J0 ist. Aus der Randbedingung folgt dann die Beziehung:
nah ionvi
= (2� 405)2
= 1
� (2.59)
Da
aus der wir die Bilanzgleichung aus Erzeugung und Di usionsverlust (pro Elektron) gewinnen:
nah ionvi = Da
: (2.60)
Dabei ist = r0=2� 405 die charakteristische Gradientenlange eines Besselpro ls.
4 In elektronegativen Gasen ist die Anlagerung von Elektronen an Atome (Attachment) ein wesentlicher
Verlustkanal.
r 2 0
2
r0
2

68 KAPITEL 2. GASENTLADUNGEN
Abbildung 2.19: Verlauf der Besselfunktion J0 (ausgezogene Linie) und der Neumannfunktion
Y0 (gestrichelt).
2.3.5 Die Anodenschicht
Die Anodenschicht verhalt sich weitgehend wie die Debyeschicht vor einer oatenden
Sonde (vgl. Abschnitt 7.2.4). Da der Gesamtstrom durch dieEntladung in allen Zonen
konstant ist, mu die Anode negativ gegenuber der positiven Saule sein, um den Elektronenstrom
soweit zu reduzieren, da er etwa gleich dem Ionenstrom zur Kathode im Kathodenfall
wird. Damit ie t zur Anode der Ionensattigungsstrom (vgl. Abschnitt 7.2.2)
und ein Elektronenanlaufstrom (vgl. 7.2.3). Sekundaremission durch Ionenbeschu der
Anode ist in der Regel wegen der kleinen Werte von i vernachlassigbar. Anders ist es mit
Sekundaremission durch Strahlelektronen aus dem Kathodenbereich, die bei niedrigem
Druck die Anode erreichen konnen.
2.4 Mechanismen der HF-Glimmentladung (*)
Die Leuchterscheinung der HF-Glimmentladung zwischen parallelen Platten gliedert sich
in die dunklen Randschichten vor den Elektroden und das Glimmlicht, das das Plasmavolumen
erfullt (Abb. 2.20).
Der zeitliche Verlauf der angelegten Hochfrequenzspannung und des Plasmapotentials
(in Bezug auf den angegebenen Erdpunkt) ist in Abb. 2.21 fur sechs verschiedene Situationen
zusammengestellt [58]. Man unterscheidet zwei Kategorien: die DC-gekoppelte und
die kapazitiv gekoppelte Entladung. Weiterhin ist es bedeutsam, ob die Elektrode mit der

2.4. MECHANISMEN DER HF-GLIMMENTLADUNG (*) 69
Abbildung 2.20: (a) Schematische Einteilung der Parallelplattenentladung in Raumladungsschichten
und Glimmlicht und (b) zugehorige Ersatzschaltung.
gro eren oder kleineren Flache gespeist wird.
In der Randschicht ie t stets ein hoher Elektronenstrom, wenn die Elektrode positiv
gegenuber dem Plasmapotential wird. Bei umgekehrter Polung ie t nur der viel
geringere Ionensattigungsstrom (vgl. 7.2.2). Neben diesen Leitungsstromen ie t ein erheblicher
Verschiebungsstrom infolge der periodischen Ausdehnung und Kontraktion der
Randschicht. Das Ersatzschaltbild fur die Randschicht (Abb. 2.20) besteht daher aus
der Parallelschaltung einer Diode (fur den Elektronenstrom), einem Widerstand (fur den
Ionenstrom) und einem Kondensator (fur den Verschiebungsstrom). Der Verschiebungsstrom
ist bei 13.56 MHz stets gro gegenuber dem Ionenstrom. Die Stromkontinuitat
durch die gesamte Entladung fuhrt bei unterschiedlich gro en Elektroden achen dazu,
da uber der kleineren Elektrode, die die kleinere Randschichtkapazitat aufweist, stets
die gro ere Spannung abfallt.
In der kapazitiv gekoppelten Entladung ist der mittlere Gleichstrom Null, wahrend in
der DC-gekoppelten Entladung im au eren Kreis infolge der unterschiedlichen Elektroden
achen auch ein Gleichstrom ie en kann. Die kapazitiv gekoppelte Entladung weist
im asymmetrischen Fall stets einen mittleren Gleichanteil des Plasmapotentials auf. Insbesondere
vor der kleineren Elektrode kann diese Gleichspannung, englisch selfbias, zu
Verhaltnissen fuhren, die einer Gleichspannungsentladung entsprechen.
Die Ladungstragererzeugung im Glimmlicht erfolgt durch energetische Elektronen aus

70 KAPITEL 2. GASENTLADUNGEN
den Randschichten. Bei hohem Druck spielt auch die lokale Aufheizung eine Rolle, so da
die Verhaltnisse der positiven Saule ahnlicher werden. Bei hoher Leistung funktioniert die
Randschicht wie bei einer DC-Entladung. In dem mittleren Gleichfeld der Randschicht
werden Ionen auf die Elektrode beschleunigt und erzeugen Sekundarelektronen, die ihrerseits
Energie aus dem mittleren Feld gewinnen und das Glimmlicht aufrechterhalten.
Wegen der Dominanz der Sekundaremission hei t diese Betriebsart -Regime.
Bei kleiner zugefuhrter Leistung dominiert ein Heizmechanismus, bei dem die Elektronen
ihre Energie durch die periodische Schichtexpansion erhalten, so da sie wie Wellenreiter
auf einer Ozeanwelle vorwarts getragen werden und durch Zusammensto e mit
den Gasatomen an Temperatur gewinnen. Dieser Mechanismus wird als wave-riding bezeichnet
[57], der Entladungszustand als -Regime. Sinkt der Gasdruck soweit ab, da die
freie Weglange der Elektronen mit dem Plattenabstand vergleichbar wird, kommt eszu
einem stochastischen Heizungsproze , bei dem die Elektronen zwischen den beiden oszillierenden
Randschichten hin und her re ektiert werden und aus der Zufalligkeit der Phase
beim Auftre en auf die gegenuberliegende Schicht an Energie gewinnen und diese letzlich
durch elastische Sto e mit dem Gashintergrund im ganzen Volumen thermalisieren.

2.4. MECHANISMEN DER HF-GLIMMENTLADUNG (*) 71
Abbildung 2.21: Schematische Darstellung des zeitlichen Verlaufs von Plasmapotential
(ausgezogene Linie) und angelegter Spannung (gestrichelt) fur DC-gekoppelte und kapazitiv
gekoppelte Entladungen.

72 KAPITEL 2. GASENTLADUNGEN
2.5 Aufgaben
1. Betrachten Sie die Maxwellverteilung der Geschwindigkeitsbetrage (2.16). Zeigen
Sie, da das Maximum der Verteilung bei vw =2kBT=m liegt (wahrscheinlichste
Geschwindigkeit)!
2. Bilden Sie das erste Moment der Maxwellverteilung (2.16):
v =(1=n)
Z 1
0
vfM(v)dv !
Zeigen Sie, da v = q 8kBT= m ist (mittlere thermische Geschwindigkeit).
3. Zeigen Sie entsprechend, da das zweite Moment durch hv 2 i =3=2 v 2
w gegeben ist.
4. Die Bewegung von Elektronen in einem elektrischen Wechselfeld mit gleichzeitiger
Reibung am Neutralgas kann durch folgende Di erentialgleichung fur ein 'gemitteltes'
Elektron beschrieben werden:
m _v + m mv = ;eE0e ;i!t :
Losen Sie die DGL mit dem Ansatz v = v0 exp(;i!t) und bestimmen Sie die Phasenlage
des Teilchenwechselstroms j0 = ;nev0 relativ zur elektrischen Feldstarke E0
in den Grenzfallen m ! und m !.
5. Die positive Saule einer langen zylindrischen Gasentladung zerfallt nach Abschalten
der Spannungsversorgung durch radiale ambipolare Di usion gema der Gleichung:
@n
@t
1 @
; Da
r @r (r@n
@r )=0:
Losen Sie die DGL mit einem Separationsansatz n(r�t)=n(r)T (t). Zeigen Sie, da
zeitlich zerfallende Losungen T (t) / exp(;t= ) auftreten. Nehmen Sie weiterhin
an, da die radiale Losung durch die Di usionsgrundmode n(r) =n(0)J0(2� 4r=a)
gegeben ist. Bestimmen Sie die Abklingkonstante aus der Separationsbedingung.
6. Im stationaren Gleichgewicht stellt sich in der positiven Saule ein Gleichgewicht aus
Ionisation und radialer Di usion ein:
;Da
1 @
r @r (r@n)=S(r)
:
@r
Wie sieht das radiale Dichtepro l aus fur den Fall, da S = inan proportional zum
Dichtepro l ist, d.h. wenn die Elektronentemperatur Te uber den Durchmesser des
Rohres konstant ist?

Kapitel 3
Das Einzelteilchenmodell
Dieses Kapitel beschaftigt sich mit der Bewegung von geladenen Teilchen in vorgegebenen
elektromagnetischen Feldern. Besondere Bedeutung hat dabei der Einschlu von Teilchen
in Magnetfeldern. Die Ruckwirkung der Teilchen { durch Raumladung und Strome {
auf die Felder wird zunachst au er acht gelassen. Das Einzelteilchenmodell beschreibt
Teilchenbahnen in der Magnetosphare und in Experimenten zum magnetischen Einschlu
hei er Plasmen in der kontrollierten Kernfusion.
3.1 Einfuhrung
Ausgangspunkt der Betrachtungen ist die Newtonsche Bewegungsgleichung fur ein Teilchen
der Masse m und Ladung q:
m _ ~v = q( ~ E + ~v ~ B) : (3.1)
Diese Gleichung ist mit analytischen Verfahren nur in einfachen Fallen (homogene bzw.
zeitunabhangige Felder) losbar. Fur schwache raumliche Gradienten bzw. langsam zeitveranderliche
Felder gibt es leistungsfahige Naherungslosungen, die in diesem Kapitel
vorgestellt werden.
3.1.1 Das Fuhrungszentrum
Betrachten wir zunachst den einfachsten Fall eines homogenen stationaren Magnetfeldes
~B =(0� 0�Bz) und verschwindenden elektrischen Feldes ~ E =0.Inkartesischen Koordinaten
ergibt sich dann das Gleichungssystem:
q
_vx = +vy
m Bz
_vy =
q
;vx
m Bz
_vz = 0 : (3.2)
73

74 KAPITEL 3. DAS EINZELTEILCHENMODELL
Durch Kombination der beiden ersten Gleichungen erhalt man die Gleichung eines harmonischen
Oszillators:
vx�y = ; qBz
m
2
vx�y � (3.3)
d.h. da die Bewegung periodisch mit der Zyklotronfrequenz erfolgt:
!c = jqj
m Bz : (3.4)
Die Zyklotronfrequenz der Elektronen ist 28 GHz bei einem Magnetfeld von B = 1T,
die Ionenzyklotronfrequenz ist um das Massenverhaltnis kleiner. In der x-y-Ebene ist die
Teilchenbahn ein Kreis, fur endliche Anfangsgeschwindigkeit vz0 wird sie eine Spirale um
die betrachtete Magnetfeldlinie (Abb. 3.1). Diese Bewegungsart wird als Gyration um die
Feldlinie bezeichnet. Der Radius der Kreisbahn hei t Gyrationsradius oder Larmorradius.
Abbildung 3.1: (oben) Gyration von Elektronen und Ionen. (unten) Helixbahn eines Ions.
Der Umlaufsinn um das Magnetfeld hangt vom Vorzeichen der Ladung ab. Elektronen
sind " rechtshandig\, Ionen " linkshandig\ (Abb. 3.1).
Die im folgende zu entwickelnde Naherung geht von der Vorstellung aus, da im Falle
eines inhomogenen oder zeitveranderlichen Feldes die Gyrationsbahn fur die Dauer eines

3.1. EINFUHRUNG 75
Umlaufs noch nahezu ein Kreis ist. Den Mittelpunkt dieser momentanen Kreisbahn nennen
wir das Fuhrungszentrum (engl. guiding center). Von Umlauf zu Umlauf verschiebt
sich der Mittelpunkt dieses Kreises um eine gewisse Strecke. Die resultierende Bewegung
des geladenen Teilchens kann daher naherungsweise als Uberlagerung einer Kreisbewegung
mit einer Drift des Fuhrungszentrums beschrieben werden.
3.1.2 E B Drift
Der Fall von gekreuzten elektrischen und magnetischen Feldern ist das Modellbeispiel fur
die angefuhrte Methodik. Beide Felder sollen homogen und stationar sein: ~ E =(Ex� 0�Ez),
~B =(0� 0�Bz). Die Newtongleichung lautet dann:
_vx = q
m (Ex + vyBz)
_vy = q
m (;vxBz)
_vz = q
m Ez : (3.5)
Die Bewegung langs der Magnetfeldlinie ist nun konstant beschleunigt, aber unabhangig
von der x-y-Bewegung, so da sie nach demUberlagerungsprinzip gesondert betrachtet
werden kann. Fur die Bewegung in der x-y-Ebene lassen sich die Gleichungen wieder
entkoppeln:
vx = ;! 2
c vx
vy = ;! 2
c (vy + Ex=Bz) � (3.6)
d.h. in x-Richtung erfolgt eine harmonische Oszillation, aber die y-Bewegung ist komplizierter.
In einem bewegten Bezugssystem ~vy = vy + Ex=Bz, das mit der Geschwindigkeit
;Ex=Bz in negative y-Richtung fortschreitet, ergibt sich wieder eine einfache harmonische
Bewegung:
~vy = ;! 2
c ~vy : (3.7)
Also ist die Losung fur die Geschwindigkeiten die Uberlagerung einer Kreisbahn und einer
Drift, der E B-Drift:
vx = v? sin !ct
vy = v? cos !ct ; Ex=Bz : (3.8)
Die typische Bahnkurve zeigt Abb. 3.2. Aus mathematischer Sicht stellt sie eine Zykloide
dar:
x = x0 ; v?
cos !ct
!c
y = y0 + v?
sin !ct ; Ex
t (3.9)
!c
Bz

76 KAPITEL 3. DAS EINZELTEILCHENMODELL
Diese Formeln gelten fur positive Ladungstrager. Fur negative ist entsprechen !c durch
;!c zu ersetzen.
Man kann sich das Zustandekommen der E B-Drift auch anhand energetischer Uberlegungen
klarmachen. Auf der Seite hoher potentieller Energie ist die kinetische Energie
klein und damit der momentane Gyrationsradius klein. Auf der Seite niedriger potentieller
Energie hat das Elektron kinetische Energie aus dem elektrischen Feld aufgenommen
und der Gyrationsradius ist entsprechend gro er als der mittlere Gyrationsradius. Folglich
ergibt sich fur Elektronen und Ionen ein Versatz in y-Richtung. Da der Umlaufsinn
von Elektronen und Ionen entgegengesetzt ist und infolge der entgegengesetzten Ladung
Energiegewinn und -verlust gerade vertauscht sind, erfolgt die resultierende Drift fur Elektronen
und Ionen in dieselbe Richtung.
Abbildung 3.2: E B-Drift von Elektronen und Ionen.
In Vektorschreibweise ist die E B-Driftgeschwindigkeit:
~vE = ~ E ~ B
B 2
: (3.10)
Die E B-Drift ist unabhangig von q und m, bewirkt also keine Ladungstrennung und
keinen Nettostrom.

3.1. EINFUHRUNG 77
3.1.3 Gravitationsdrift
Das ionospharische Plasma erfahrt am Erdaquator eine ahnliche Situation gekreuzter
Felder, namlich ein horizontales Magnetfeld und eine vertikale Gravitationskraft. Die zugehorige
Newtongleichung:
m _ ~v = m~g + q~v ~ B (3.11)
la t sich in den Fall der E B-Drift uberfuhren, wenn ~ E =(m=q)~g gesetzt wird. Dann
kann das Ergebnis fur diese Gravitationsdrift direkt angegeben werden:
~vg = m ~g B~
q B2 : (3.12)
Jetzt ist die Driftgeschwindigkeit von Ladung und Masse abhangig. Daher ie t in aquatorialer
Richtung ein Nettostrom, der die Summe aus Elektronen- und Ionendrift darstellt:
jg = n(mi + me) g
B
Dabei uberwiegt infolge der gro en Masse der Ionenbeitrag.
3.1.4 Inhomogene Magnetfelder
: (3.13)
Im Falle eines inhomogenen Magnetfeldes wollen wir die Losung in mehreren Schritten
diskutieren, um den Ein u verschiedener Aspekte der Inhomogenitat gesondert erfassen
zu konnen. Naturlich sind die Aspekte von Gradient undKrummung der Feldlinien nicht
voneinander trennbar.
Gradientendrift
Betrachten wir zunachst den Fall eines Magnetfeldes, bei dem der Gradient des Feldes
senkrechtaufdenFeldlinien steht (Abb. 3.3). Qualitativ erwartet man bereits anhand der
Diskussion der E B-Drift, da der instantane Gyrationsradius im Bereich schwacheren
Magnetfeldes gro er ist und daher eine Drift senkrecht zuB und zu rB erfolgt. Im
Unterschied zur E B-Drift wird die hier auftretende Drift ladungsabhangig sein.
Zur Losung des Driftproblems wahlen wir jetzt die Naherung des Fuhrungszentrums
( " guiding center approximation\), da der Gyrationsradius rL = v?=!c klein gegenuber
der Skalenlange des Magnetfeldgradienten L = jBj=jrBj ist.
Auf das Teilchen wirkt die Lorentzkraft ~ F = q~v ~ B. In der Geometrie von Abb. 3.3
ist ihre y-Komponente:
Fy = ;qvxBz(y) � (3.14)
wobei Bz(y) das Magnetfeld am Teilchenort ist. Dieses kann durch Taylorentwicklung
durchdasFeld am Ort des Fuhrungszentrums (d.h. des " Mittelpunktes\ der " Kreisbahn\)

78 KAPITEL 3. DAS EINZELTEILCHENMODELL
Abbildung 3.3: Gradientendrift eines Elektrons. Infolge des anderen Umlaufsinns, erfolgt
die Gradientendrift der Ionen in die entgegengesetzte Richtung.
ausgedruckt werden:
"
Fy = ;qv? sin(!ct) B0 rL sin(!ct) @Bz
#
@y
: (3.15)
Das obere Vorzeichen gehort zu positiven, das untere zu negativen Ladungstragern. Wenn
wir das Magnetfeld B0 ausklammern, erkennen wir den gewahlten Entwicklungsparameter:
"
#
rL@Bz=@y
Fy = ;qv? sin(!ct)B0 1
sin(!ct) : (3.16)
Um den Versatz der Kreisbahn durch den Feldgradienten zu bestimmen interessiert uns
die Nettowirkung der Kraft nach einem Umlauf. Hierzu mittelt man diese Lorentzkraft
uber eine Gyrationsperiode:
B0
@Bz
hFyi = qv?rL
@y hsin2 @Bz 1
(!ct)i = ev?rL
@y 2
: (3.17)

3.1. EINFUHRUNG 79
Diese gemittelte Kraft ist ladungsunabhangig und wirkt genau wie eine externe Kraft im
Falle der Gravitationsdrift. Folglich kann man die Driftgeschwindigkeit naherungsweise
gewinnen, indem man die gemittelte Kraft auf das Teilchen in der Formel fur die E B-
Drift verwendet:
~vrB = 1 h ~Fi ~B
q B2 =
1
2 v?rL
~B rj~Bj
B 2
: (3.18)
Dieses ist die Gradientendrift, die infolge ihrer Ladungsabhangigkeit einen Strom senkrecht
zum Magnetfeld erzeugt und ladungstrennend wirkt.
Krummungsdrift
Im zweiten Fall betrachten wir gekrummte Magnetfeldlinien, fur die wir zunachst vereinfachend
einen konstanten Krummungsradius Rc aber einen konstanten Magnetfeldbetrag
annehmen (Abb. 3.4). Diese Feldgeometrie verletzt offensichtlich dieMaxwellgleichungen
im Vakuum, aber der Beitrag der Betragsanderung von B ergibt gerade die Gradientendrift,
die wir bereits diskutiert haben.
Abbildung 3.4: Die Krummungsdrifts entsteht durch die Zentrifugalkraft infolge der Bewegung
langs der gekrummten Feldlinie. Rc ist der lokale Krummungsradius der Feldlinie.

80 KAPITEL 3. DAS EINZELTEILCHENMODELL
In diesem Fall interessiert uns die mittlere Zentrifugalkraft, die ein Ladungstrager
aufgrund seiner Parallelgeschwindigkeit zu den Feldlinien erfahrt:
h ~ Fci = mv2 k
Rc
~eR : (3.19)
Mit dieser mittleren Kraft wird die Geschwindigkeit der Krummungsdrift:
~vR = 1
q
= mv2
k
qB 2
~Fc ~B
B 2
~Rc ~B
R 2 c
: (3.20)
Von der unrealistischen Annahme des konstanten Feldes bei gekrummten Feldlinien
konnen wir uns leicht befreien. Wir nehmen an, da das Magnetfeld am interessierenden
Ort durch Strome au erhalb des betrachteten Volumens erzeugt wird. Das sind entweder
Spulenstrome im Falle eines Laborexperiments oder Dynamostrome im Erdinneren, wenn
wir das Erdmagnetfeld betrachten. Daher konnen wir das Magnetfeld im interessierenden
Volumen als wirbelfrei ansehen:
Aus der Zeichnung 3.4 ergibt sich:
ds
Rc
(r ~ B)z = @Br
@s
= ; dBr
B
oder :
; @B
@r
1
Rc
= ; 1
B
=0: (3.21)
@Br
@s
: (3.22)
Mit (3.21) folgt dann:
1
Rc
= ; 1
B
@B
@r
(3.23)
Damit konnen wir also den Feldgradienten aus dem Krummungsradius der Feldlinien
abschatzen. Letztlich ergibt sich dann unter Verwendung des Vektors ~ Rc
Feldgradient zu:
der relative
rjBj
jBj
~Rc
= ;
R2 : (3.24)
c
Mit diesem Ausdruck konnen wir den zusatzlichen Beitrag der Gradientendrift in diesem
gekrummten Feld berechnen:
~vrB = v?rL
B 2
~B ~ jBj
Rc
R2 : (3.25)
c
Addiert man beide Driftein usse im gekrummten inhomogenen Feld:
~vR + ~vrB = m
q
v 2
k + 1
2 v2
?
~Rc
~B
R2 cB 2 � (3.26)

3.1. EINFUHRUNG 81
so erkennt man, da sie sich wegen der Abhangigkeit vom Quadrat der Geschwindigkeiten
stets gegenseitig verstarken. Der Fall gekrummter Feldlinien spielt in toroidalen Magnetfeldanordnungen
wie Tokamaks und Stellaratoren eine Rolle, bei denen die Kompensation
dieser Drift durch geeignete Ma nahmen erfolgen mu , da sie sonst zum Verlust des Plasmaeinschlusses
fuhrt. Diese gesamte Driftbewegung hei t daher oft toroidale Drift.
In der Ionosphare kann die Krummungsdrift wichtiger werden als die Gravitationsdrift.
Dies erkennt man an dem Quotienten:
vR
vg
= v2
k
2Rcg
: (3.27)
In der F-Schicht haben die Elektronen ein Temperaturmaximum von 0,3 eV, so da mit
vk = vth�e und Rc 6900 km vR=vg 1� 6 10 3 wird. Damit dominiert die Krummungsdrift
fur die Elektronen gegenuber der Gravitationsdrift. Fur die Ionen ist die Temperatur
geringer und das Quadrat der thermischen Geschwindigkeit um den Massenfaktor me=mi
reduziert. Damit wird die Krummungsdrift der Ionen geringfugig kleiner als die Gravitationsdrift.
In den van Allen Strahlungsgurteln haben dagegen die Protonen eine sehr hohe
Energie, so da dort stets die Krummungsdrift dominiert. geringer
Longitudinaler Gradient
Hier betrachten wir den Fall, da der Magnetfeldgradient parallel zur Feldrichtung orientiert
ist (Abb. 3.5). Der Einfachheit halber wahlen wir den Fall, da die Feldlinien ein
rotationssymmetrisches Bundel um eine zentrale (gerade) Feldlinie bilden, auf der sich
das Fuhrungszentrum bewegt. Von der Krummung der Feldlinien au erhalb der Achse
sehen wir zunachst ab, da dieser Fall oben gesondert behandelt wurde. Im Falle einer
derartigen Feldinhomogenitat erfahrt ein Ladungstrager wahrend eines Gyrationsumlaufs
eine permanente Kraftwirkung durch den Anteil der Lorentzkraft ~v?
~Br, dervon der
Radialkomponente des Magnetfeldes stammt. Der Kraftvektor zeigt stets in den Bereich
schwacheren Magnetfeldes. Die Re ektion eines Teilchens in einem konvergenten Magnetfeld
wird als Spiegele ekt bezeichnet.
Den Radialanteil des Magnetfeldes erhalten wir aus:
0=r ~B = 1 @ @
(rBr)+
r @r @z Bz : (3.28)
Sei @Bz=@z vorgegeben fur r =0undnaherungsweise als konstant anzusehen. Dann wird
Damit wird :
rBr = ;
Z
0
r
r @Bz
dr ;1
@z 2 r2
Br ; 1
2 r
" #
@Bz
@z r=0
" @Bz
@z
#
r=0
: (3.29)
(3.30)

82 KAPITEL 3. DAS EINZELTEILCHENMODELL
Abbildung 3.5: Longitudinaler Gradient des Magnetfeldes.
und die auf das gyrierende Teilchen wirkende zusatzliche Lorentzkraft:
Fz = ; 1
2 qv?r
" @Bz
@z
#
r=0
: (3.31)
Mit der Annahme, da
ist, wird:
das Fuhrungszentrum bei r = 0 und der Teilchenort bei r = rL
hFzi = ; 1 mv
2
2
? @Bz
:
B @z
(3.32)
Eine kurze Rechnung zeigt1 , da die Gro e
= mv2
?
2B
(3.33)
das magnetische Moment des durch das gyrierende Teilchen dargestellten Kreisstroms ist.
Man kann daher das gyrierende Teilchen in diesem inhomogenen Feld als diamagnetisch
au assen, da es eine solche Kraftwirkung erfahrt:
hFzi = ; @Bz
@z
: (3.34)
1 Kreisstrom I mit Flache A: = IA = q r 2 =T = q (v?=! c) 2 (! c=2 )=mv 2 ? =2B

3.1. EINFUHRUNG 83
Abbildung 3.6: Zur Polarisationsdrift. (a) Einschalten eines elektrischen Feldes, (b) zeitlich
linear wachsendes E-Feld.
Die Frage der Beschreibbarkeit eines gyrierendes Teilchens durch sein magnetisches Moment
werden wir im Abschnitt 3.2 gesondert diskutieren.
3.1.5 Polarisationsdrift
Bisher haben wir nur inhomogene Feldsituation diskutiert. Im allgemeinen Fall werden
auch zeitliche Anderungen der Feldgro en zu Driftbewegungen Anla geben. Hier
betrachten wir wieder ein elektrisches Feld ~E =(Ex� 0� 0), das senkrecht zum Magnetfeld
orientiert ist, aber nunmehr zeitlichveranderlich angesehen wird. Die Bewegungsgleichung

84 KAPITEL 3. DAS EINZELTEILCHENMODELL
lautet:
_~v = q
m ( ~E(t)+~v ~B) : (3.35)
Entkopplung der Gleichungen fur die x- und y-Bewegung ergibt:
~vx = ;! 2
c [vx
1
_Ex
!c Bz
] : (3.36)
Mit der Koordinatentransformation ~vx = vx
_Ex=!cBz erhalt man wieder die bekannte
Kreisbahn in diesem bewegten Bezugssystem. Also ist die Teilchenbahn eine Uberlagerung
von Gyrationsbewegung und einer Polarisationsdrift mit der Geschwindigkeit:
vp = 1
_Ex
!c Bz
(3.37)
in Richtung des elektrischen Feldes. Gleichzeitig ndet eine E B-Drift im (zeitabhangigen)
elektrischen Feld statt:
vE = ;Ex(t)=Bz : (3.38)
Die Polarisationsdrift ist als ein Einschalte ekt des Plasmas anzusehen, der auf der Massentragheit
beruht. Dies sieht man am deutlichsten, wenn man ein elektrisches Feld zum
Zeitpunkt t =0schlagartig einschaltet (Abb. 3.6. Dann ist die Teilchenbewegung zunachst
in Feldrichtung orientiert, bis aufgrund der wachsenden Lorentzkraft eine dazu senkrechte
Ablenkung erfolgt. Im Mittel ist dann das Teilchen gegenuber seinem Startort um einen
Gyrationsradius in Feldrichtung verruckt worden. Dieses ist die gerade die Polarisationswirkung,
die Elektronen und Ionen trennt. Fur ein zeitlich linearanwachsendes Feld
_E = const ergibt sich die Polarisationsdrift in (bzw. gegen) Feldrichtung.
Memobox: Plasmadriften
E B-Drift ~vE =(~E ~B)=B 2
Gravitationsdrift ~vg =(m=q)(~g ~ B)=B 2
Gradientendrift ~vrB =(1=q)v?rL( ~ B rjBj)=B 2
Krummungsdrift ~vR =(m=q)(v 2
k =R2
c )( ~Rc ~B)=B 2
Polarisationsdrift ~vp =(m=q)(@ ~E=@t)=B 2
3.2 Adiabatische Invarianten
Fur periodische Systeme ist das Wirkungsintegral H pdq eine Erhaltungsgro e, wobei das
geschlossene Integral uber die periodische Bahn erstreckt wird. Bei " langsamer\ Anderung
der Parameter { im Sinne der Naherung des Fuhrungszentrums { ist die Bewegung

3.2. ADIABATISCHE INVARIANTEN 85
noch nahezu periodisch. Erstreckt man nun die Integration uber eine Gyrationsperiode,
aber eine nunmehr nicht mehr geschlossene Bahnkurve, so ist das Wirkungsintegral eine
" adiabatische Invariante\, d.h. nur noch im Sinne der verschiedenen Ordnungen der
Storungstheorie konstant.
3.2.1 Magnetisches Moment
Nehmen wir die diamagnetische Kraftwirkung (3.34) als gultig an, so ergibt sich durch
Multiplikation mit vz die Energiebeziehung:
d
dt
1
2 mv2 z
@Bz dz
= ;
@z dt
= ; dB
dt
: (3.39)
Hier ist dB=dt die Anderung des Magnetfeldes, die das Teilchen aufgrund seiner Bewegung
langs der Feldlinie erfahrt. Der Energiesatz la t sich schreiben als:
0= d
dt
Aus (3.39) und (3.40) folgt dann:
1
2 mv2
1
z +
2 mv2 ? = d
; dB
dt
dt
1
2 mv2 z + B : (3.40)
d
+ ( B) =0: (3.41)
dt
und folglich:
d
=0: (3.42)
dt
Das magnetische Moment ist also in dem Sinne konstant, wie die diamagnetische Kraftwirkung
eine hinreichende Beschreibung darstellt.
3.2.2 Der Spiegele ekt
Die Invarianz des magnetischen Moments kann zur Berechnung der Einschlu eigenschaften
eines magnetischen Spiegelfeldes herangezogen werden. Ein naturliches Spiegelfeld
stellt das dipolartige Erdmagnetfeld dar, bei dem die Feldliniendichte bei Verfolgung einer
Feldlinie im polaren Bereich hoher ist als am Aquator (Abb. 3.7(a)). Im Labor lassen
sich Spiegelfelder z.B. mit einem Spulenpaar erzeugen (Abb. 3.7(b)).
Betrachten wir hierzu ein Teilchen, das in der Mitte der Spiegelanordnung (bei B =
B0) die Geschwindigkeitskomponenten v? und vz besitzt (Abb. 3.7(b)). Wir konnen nun
seine Bewegung anhand der beiden Erhaltungsgro en Energie und magnetisches Moment
diskutieren:
v 2
? + v 2
z = v 2
?0 + v 2
z0 = v 2
0
v 2
?=B = v 2
?0=B0 : (3.43)

86 KAPITEL 3. DAS EINZELTEILCHENMODELL
Abbildung 3.7: (a) Spiegelwirkung des Erdmagnetfeldes, (b) Magnetische Spiegelanordnung
mit Spulenfeldern
Bei Annaherung an den Bereich hoheren Magnetfeldes erfahrt das Teilchen eine Aufzehrung
seiner Energie der Parallelbewegung durch die Lorentzkraft aufgrund der radialen
Feldkomponente (vgl. Abb. 3.5 und (3.30)). Gleichzeitig wachst seine Gyrationsfrequenz
infolge des starkeren Magnetfeldes, wodurch eine hohere Energie der Senkrechtbewegung
bedingt ist. Das Teilchen wird am Spiegelfeld re ektiert, wenn die Energie der Parallelbewegung
aufgezehrt ist. Um das Teilchen am Magnetfeldmaximum re ektieren zu
konnen, darf sein Startwinkel (d.h. das Verhaltnis von v?0 und v0) nicht kleiner sein
als der Grenzwinkel:
min = arcsin v?0
v0
= arcsin B0
Bmax
1=2
: (3.44)

3.2. ADIABATISCHE INVARIANTEN 87
Das Verhaltnis Bmax=B0 hei t Spiegelverhaltnis. Der Bereich von Geschwindigkeitsvektoren
mit < min hei t Verlustkegel, da diese Teilchen aus dem Spiegelfeld entweichen
konnen. Man beachte, da der Verlustwinkel min nicht von der teilchenenergie abhangt.
Abbildung 3.8: Numerisch berechnete Pendelbahn eines Teilchens zwischen den Spiegelpunkten
eines magnetischen Dipols, der sich im Ursprung be ndet. Die Feldlinie, auf der
das Teilchen gestartet ist, ist zum Vergleich eingezeichnet. Infolge der Gradienten- und
Krummungsdrift ergibt sich ein periodischer Umlauf um die z-Achse des Systems.
3.2.3 Longitudinale Invariante und Flu invariante (*)
Wenn ein geladenes Teilchen zwischen zwei Spiegelpunkten gefangen ist { sei es im Erdmagnetfeld
oder in einer axialsymmetrischen Spiegelmaschine { so vollfuhrt es eine oszillatorische
Bewegung. Diese ist nahezu periodisch, wenn der Ein u der Gradienten- und
Krummungsdrift au er acht gelassen wird. Auf der Achse einer rotationssymmetrischen
Spiegelanordnung ist sie streng periodisch. Zu dieser periodischen Bewegung auf der gegenuber
der Gyration langsameren Zeitskala gehort wiederum eine Erhaltungsgro e R pdq,
die im Falle nahezu periodischer Bewegung eine adiabatische Invariante wird. Sie hei t
zweite adiabatische Invariante oder longitudianle Invariante und ist formelma ig gegeben

88 KAPITEL 3. DAS EINZELTEILCHENMODELL
als
Z
J = vkdl : (3.45)
Die Gradienten- und Krummungsdrift fuhrt in der nachsten Ordnung einer Zeitskalenentwicklung
zu einem periodischen Umlauf um die Achse des Systems, die auf einer
noch langsameren Zeitskala erfolgt. Die hierzu gehorende adiabatische Invariante hei t
dritte adiabatische Invariante oder Flu invariante[59]. Gyration, Pendelbewegung und
Krummungsdrift sind anschaulich in Abb. 3.8 zu ersehen.
3.3 Magnetischer Einschlu
Das Problem des magnetischen Einschlusses la t sich mit Spiegelmaschinen nur unvollkommen
losen, da infolge der Coulombsto e standig Teilchen in den Verlustkegel gestreut
werden und den Spiegel an den Enden verlassen konnen. Die naheliegende Idee, diese
Endverluste zu umgehen, indem man das Plasma zu einem Torus formt und wie einen
Reifen schlie t, fuhrt zum Stellarator und Tokamak. Fur die Vermeidung der Endverluste
mu jedoch der Preis in Form eines inhomogenen Magnetfeldes bezahlt werden.
Abbildung 3.9: Feldspulen und Magnetfeldverteilung in toroidalen Anordnungen. Das Toroidalfeld
fallt nach au en hin ab.

3.3. MAGNETISCHER EINSCHLU 89
Abbildung 3.10: (a) Ladungstrennung aufgrund der Krummungs- und Gradientendrift.
(b) Uberlagerung von toroidalem und poloidalem Magnetfeld beim Tokamak.
Das toroidale Magnetfeld (Abb. 3.9) wird durch Feldspulen mit einer Windungsdichte
n=l erzeugt, die aus geometrischen Grunden auf der Innenseite des Torus gro er ist als
am au eren Torusrand. Das Amperegesetz liefert bei Integration langs einer Feldlinie:
I ~H d~s =2 rHtor(r) =nI (3.46)
ein Toroidalfeld Htor, das nach au en gema :
Htor = nI=2 r (3.47)
abfallt. n ist die Gesamtwindungszahl und I der Strom pro Windung. In diesem inhomogenen
Magnetfeld erfahren die Plasmateilchen eine Krummungs- und Gradientendrift.
Da beide Driften ladungsabhangig sind, erfolgt eine Ladungstrennung in z-Richtung, die
ihrerseits ein elektrisches Feld aufbaut. Man konnte nun erwarten, da sich infolge der Ladungstrennung
ein Gleichgewicht mit dem Raumladungsfeld einstellt. Das tri t zwar fur
die Balance in z-Richtung zu. Jedoch bewirkt das Raumladungsfeld nunmehr eine gemeinsame
Drift beider Ladungstragersorten infolge der E B-Drift nach au en (Abb. 3.10(a)).

90 KAPITEL 3. DAS EINZELTEILCHENMODELL
Letztlich erreicht somit das Plasma die Au enwand und ist nicht hinreichend eingeschlossen.
3.3.1 Das Tokamakprinzip
Beim Tokamak wirkt man der Auswartsdrift aufgrund des oben beschriebenen Mechanismus
entgegen, indem man die Feldlinien verschraubt (Abb. 3.10(b)). Man erreicht diese
Verschraubung, indem man dem toroidalen Magnetfeld ein poloidales Magnetfeld uberlagert,
das von einem im Plasma in toroidaler Richtung ie enden Strom erzeugt wird.
Dieser toroidale Strom wird durch denTransformator induziert. Man vergegenwartige
sich, da der toroidale Plasmaschlauch die Sekundarwicklung eines gro en Transformators
darstellt (vgl. Abb. 1.10).
Der Verdrillungswinkel, den eine Feldlinie nach einem Umlauf um den Torus erfahrt,
hei t Rotationstransformation und wird mit dem griechischen Buchstaben (iota) bezeichnet.
Infolge ihrer hohen Beweglichkeit langs der magnetischen Feldlinien und der
hohen Temperatur stromen die Ladungstrager viele Male um den Torus und gelangen
nach einigen Umlaufen von der Torusau enseite zur -innenseite. Dieses ist die Idee, der
E B wirksam entgegen zu wirken.
Auch fur das verschraubte Magnetfeld im Tokamak dominiert noch die Abnahme des
Magnetfeldbetrages vom inneren Torusrand zum au eren Rand. Daher spuren die Ladungstrager
auch eine Spiegelwirkung, wenn sie sich langs der Feldlinien von au en nach
innen bewegen. Es gibt dann zwei Populationen von Teilchen:
freie Teilchen, diese entsprechen den Teilchen im Verlustkegel einer Spiegelmaschine,
und
gefangene Teilchen. Letztere kehren an den Spiegelpunkten ihre feldparallele Geschwindigkeitskomponente
um.
Verfolgt man die Bahn des Fuhrungszentrums der gefangenen Teilchen unter dem
Ein u der Driften und projiziert sie auf eine poloidale Schnittebene, so ergibt sich eine
" Bananenbahn\ (Abb. 3.11). Wenn das Teilchen durch einen Sto die Erinnerung an seine
Bananenbahn verliert, erfahrt es einen radialen Versatz um die Dicke der Banane. Dieser
Versatz ist deutlich groer als der Ionengyrationsradius. Daher stellt dieser Proze einen
der resultierenden Verluste durch Di usion im Tokamak dar.
3.3.2 Di usion als random walk Proze
In Abschnitt 2.2.4 hatten wir die Di usion von Ladungstragern mit einer empirisch begrundeten
Gesetzma igkeit, dem Fickschen Gesetz, betrachtet, um zunachst einfache
Ausdrucke fur die Dichtepro le in Gasentladungen zu erhalten. Hier wollen wir anhand
eines einfachen mikroskopischen Modells den Zusammenhang zwischen den beiden mikroskopischen
Parametern freie Weglange und Sto frequenz und dem Di usionskoe zienten

3.3. MAGNETISCHER EINSCHLU 91
Abbildung 3.11: Projektion der Bahn gefangener Teilchen auf einen Poloidalschnitt des
Torus. Die Torusachse ist links. Infolge der Krummungs- und Gradientendrift ergibt sich
eine bananenformige Bahn in der Schnittebene.
plausibel machen. Diese Vorstellung kann auch auf den Teilchentransport senkrecht zum
Magnetfeld angewendet werden.
Die Di usion von Teilchen erfolgt aufgrund ihrer thermischen Eigenbewegung und unter
der Wirkung von Zusammensto en mit anderen Teilchen. Im Mittel kann die Di usion
durch einen Zufallsproze (random walk) beschrieben werden. Ein solcher Proze la t sich
sehr einfach am Beispiel einer eindimensionalen Kette aquidistanter Punkte studieren, die
die Streuzentren fur den Sto proze darstellen. Die Punkte mogen einen Abstand besitzen,
den wir als freie Weglange ansehen konnen. Die Zeitentwicklung wird in diskreten
Schritten beschrieben. Bei jedem Zusammensto soll die Erinnerung an die bisherige Bewegungsrichtung
verlorengehen. Dies ist im Mittel fur die bisher betrachteten elastischen
Sto e erfullt, da die Streuung isotrop angenommen wird. Ubertragen auf den eindimensionalen
Fall wird nach dem Sto jeweils mit gleicher Wahrscheinlichkeit ein neuer Schritt
nach rechts oder links auf dieser Kette durchgefuhrt.
Man kann nun entweder ein Teilchen fur lange Zeit bei seinem Irrweg auf der Kette
verfolgen und aus zeitlichen Mittelwerten langs der Trajektorie Vorhersagen fur den
Abstand des Teilchens vom Startort machen. Oder man verfolgt eine gro e Anzahl von
Teilchen bei ihrer mittleren Bewegung. Beide Beschreibungen fuhren zum gleichen Resultat,
da die Erinnerung an die Vorgeschichte des random walks bei jedem Sto ausgeloscht
wird.
Nehmen wir also an, da zu irgendeinem Zeitpunkt t bereits eine Verteilung von Teilchen
auf der Kette vorhanden sei. Die Entwicklung der Verteilung wollen wir als Folge
von Histogrammen veranschaulichen. Abb 3.12 zeigt die Entwicklung einer anfanglich eng

92 KAPITEL 3. DAS EINZELTEILCHENMODELL
Abbildung 3.12: (links) Zeitliche Entwicklung einer scharfen Anfangsverteilung in Zelle
11 unter der Wirkung des Di usionsprozesses mit Ubergangswahrscheinlichkeit w =0� 1,
(rechts) Zunahme der Breite dieser Verteilung anhand ihrer Varianz =(1=N) P Nk(k ;
11) 2 .
zusammengefa ten Population unter der Wirkung des random walks.
Die Anzahl der Teilchen in der Zelle k sei Nk. Nehmen wir an, da pro Zeitschritt
jeweils ein Bruchteil w dieser Teilchen in die rechte und linke Nachbarzelle ubertritt.
Dann konnen wir folgende Evolutionsgleichung konstruieren:
Nk(t + ) ; Nk(t) =w [(Nk+1(t)+Nk;1(t)] ; 2wNk(t) : (3.48)
Dabei stellt der erste Term auf der rechten Seite den Gewinn der Zelle k aus den beiden
Nachbarzellen dar und der zweite Term den Verlust in die Nachbarzellen. Eine Umordnung
der Terme in dieser Gleichung zeigt uns die Verwandschaft dieser Evolutionsgleichung mit
der Di usionsgleichung:
Nk(t + ) ; Nk(t) = w 2 [Nk+1(t) ; Nk(t)] ; [Nk(t) ; Nk;1(t)]
@N
@t = D @2N @x2 mit dem Di usionskoe zienten D = w 2 = .
2
(3.49)
(3.50)

3.3. MAGNETISCHER EINSCHLU 93
Die Modellrechnung in Abb. 3.12 wurde fur eine Anfangsverteilung N11 = 100:000,
Nk =0(k 6= 11)unter der Wirkung des Prozesses (3.48) bei einer Ubergangswahrscheinlichkeit
von p =0:1 durchgefuhrt. Die Breite dieser Verteilung wird durch die quadratische
Abweichung =(1=N) P 1 k=;1 Nk(k ; 11) 2 (Varianz) bewertet. Die quadratische
Abweichung wachst linear mit der Zeit an. Ein Di usionsproze ist also dadurch gekennzeichnet,
da der Abstand eines Testteilchens x von seinem Anfangsort proportional zu
t 1=2 anwachst.
Betrachten wir nochmals die Di usion von Elektronen im Gashintergrund. Die Einsteinrelation
De =(kBTe=e) e la t sich mit e = e=me m und m = vth�e= umformen
zu:
De = 2 m : (3.51)
Dies ist genau die Form, die einem random walk entspricht. Im Falle der Di usion von
Plasmateilchen im Gashintergrund ist also der charakteristische Versatz durch die mittlere
freie Weglange gegeben und der e ektive Zeitschritt durch =1= m.
Die Di usion von Plasmateilchen senkrecht zum Magnetfeld kann ebenfalls durch einen
solchen random walk Proze beschrieben werden. Dann ist der typische Versatz der Gyrationsradius
rL und der Zeitschritt wieder die reziproke Sto frequenz 1= m (vgl. hierzu
auch Aufgabe 1 am Ende dieses Kapitels). Fur den Fall, da m !c gilt, erhalt man
den sogenannten 'klassischen' Di usionskoe zienten:
D? = kBT m
m! 2 c
= r2
L : (3.52)
Die aus dieser Formel folgende Skalierung D / B ;2 wird allerdings in Tokamaks und
Stellaratoren in der Regel nicht beobachtet. Stattdessen ndet man eine semiempirische
Gesetzma igkeit:
D? = 1
16
kBTe
eB = DB � (3.53)
die Bohmdi usion genannt wird, und eine weite Spanne von Experimenten beschreibt.
Eine Steigerung der magnetischen Flu dichte hat also leider nicht die aus (3.52) folgende
optimistische Reduktion der Teilchendi usion zur Folge. Ein Erklarungsvorschlag fur die
Bohmdi usion nimmt an, da die Unterbrechung der Gyrationsbahnen, die zur Di usion
fuhrt, durch uktuierende elektrische Felder instabiler Plasmawellen bewirkt wird. Bildlich
ndet ein Zusammensto mit einem 'Quasiteilchen' statt.
In hei en Plasmen ist die Sto zeit normalerweise durch die Coulombsto e gegeben.
Da mit steigender Temperatur die Sto e immer seltener werden ( / T ;3=2 ) durchlaufen
die Teilchen immer gro ere Abschnitte ihrer Driftbahnen. Fur den Fall der auf Bananenbahnen
gefangenen Teilchen in einem Tokamak ist die Skalenlange der Di usionsprozesse
dann die 'Dicke der Banane' die viel gro er ist als der Gyrationsradius. Letzteres Regime
der sog. 'neoklassischen' Di usion wird derzeit in hei en Fusionplasmen erreicht.
Abb. 3.13 zeigt die Abhangigkeit des Di usionskoe zienten von der Sto frequenz (bzw.
von T ;3=2 ).

94 KAPITEL 3. DAS EINZELTEILCHENMODELL
Abbildung 3.13: Abhangigkeit des Diffusionskoef zienten D? von der Sto frequenz. Wegen
ei / T ;3=2 kann die horizontale Achse auch alsinverse Temperaturskala angesehen
werden. Bei niedrigen Temperaturen ndet Bohmdi usion statt. Bei sehr hohen Temperaturen
dominiert die Di usion durch Zerstorung der Bananenbahnen.
3.3.3 Stellaratoren
Das Umlenken der Teilchenbahnen vom au eren Torusrand zum Innenrand gelingt auch
durch externe Magnetfelder. Beim Stellarator bringt man helische Windungen auf der
Au enseite des Vakuumgefa es an, die auch einen poloidalen Magnetfeldanteil erzeugen.
Abb. 3.14 zeigt die lineare Abwicklung eines Stellarators mit 3 Paaren helischer Windungen,
die von Stromen alternierender Polaritat durch ossen werden.
Neuere Konzepte erlauben es, toroidale und poloidale Magnetfelder mit modularen
Spulen zu erzeugen. Einen Entwurf fur einen Stellarator nach diesem Prinzip zeigt Abb. 3.14
Die modularen Spulen sind eine zwingende Voraussetzung fur die Zerlegbarkeit eines kunftigen
Reaktors.

3.3. MAGNETISCHER EINSCHLU 95
Abbildung 3.14: (oben) Lineare Abwicklung eines Stellarators, um die helischen Windungen
darzustellen, die durch externe Strome die Rotationstransformation erzeugen. (unten)
Modulares Stellaratorkonzept 'Wendelstein VII-AS'. Anstelle helischer Windungen sind
Verformungen der Spulen vorgenommen worden, die poloidale Magnetfeldanteile erzeugen.

96 KAPITEL 3. DAS EINZELTEILCHENMODELL
3.3.4 Minimum-B Kon gurationen
Am Beispiel der Krummungsdrift hatten wir gesehen, da ein Bundel gekrummter Magnetfeldlinien
stets einen Gradienten besitzt, der zum Krummungszentrum zeigt. Diese
Eigenschaft macht die Mittelsektion eines magnetischen Spiegels instabil gegenuber radialen
Verruckungen des Plasmas (Abb. 3.15(a)). Die Gesamtenergie setzt sich aus kinetischer
und magnetischer Energie zusammen:
Wges = Wkin + Wmag = Wkin + B 2 =2 0 : (3.54)
Eine radiale Auswartsverschiebung bringt also eine Abnahme an magnetischer Energie
und Gewinn kinetischer Energie, die zu einer weiteren Auslenkung fuhrt. Genau entgegengesetzt
ist es in der Nahe der Spiegelspulen, wo dieKrummung der Feldlinien entgegengesetzt
ist.
Aus Stabilitatsgrunden ist also eine Magnetfeldanordnung gunstiger bei der die Teilchen
die \richtige\ Krummung der Feldlinien sehen, d.h. da der Gradient moglichst uberall
auswarts gerichtet ist. Eine solche Anordnung la t sich mitentgegengesetzt gepolten
Spulen erreichen, die einen magnetischen Trichter (engl. Cusp) erzeugen (Abb. 3.15(b)).
Das gleiche Prinzip wird auch indermagnetic box benutzt (Abb. 3.15(c)), bei der alternierende
Reihen aus Permanentmagneten zum Plasma hin konvexe Feldlinien erzeugen.
Allerdings ist die Bewegung der Plasmaelektronen nicht mehr adiabatisch, da das Multipolfeld
der vielen Magnetreihen sehr rasch abklingt.

3.3. MAGNETISCHER EINSCHLU 97
Abbildung 3.15: (a) Feldlinienkrummung und Gradientenrichtung beim magnetischen
Spiegel, (b) magnetischer Trichter (Cusp), (c) Realisierung einer linienartigen Cusp-
Geometrie mit Permanentmagneten alternierender Polaritat, wie sie in der magnetic box
verwendet wird.

98 KAPITEL 3. DAS EINZELTEILCHENMODELL
3.4 Aufgaben
1. Betrachten Sie den Fall des elektrischen Strom usses senkrecht zum Magnetfeld unter
dem Ein u von gekreuzten elektrischen und magnetischen Feldern: ~ E =(E�0� 0)
und ~B =(0� 0�B). Bei Abwesenheit von Sto en mit Gasatomen wurden die Ladungstrager
eine exakte E B-Drift in ;y-Richtung vollfuhren. Durch Sto e mit
der Impulsverlustfrequenz m kommt es zu einer zusatzlichen mittleren Reibungskraft
fur das Fuhrungszentrum, so da die Bilanz aller Krafte fur ein reprasentatives
mittleres Elektron folgenderma en angesetzt wird:
m m~v = q( ~E + ~v ~B) :
Ein Tragheitsterm ist bereits fortgelassen worden, da er nur die Gyrationsbewegung
um das Fuhrungszentrum ergeben wurde.
a) Losen Sie die Gleichung nach vx und vy und diskutieren Sie die Abhangigkeit von
dem Parameter m=!c anhand einer gra schen Darstellung vx�vy = f( m=!c).
b) Wie gro ist der Winkel zwischen Stromrichtung und elektrischem Feld?
c) Wie gro mu die magnetische Induktion B sein, um fur eine Gasentladung mit
na =3 10 22 m ;3 , vth�e =4 10 5 ms ;1 , m =10 ;19 m 2 den kritischen Wert !c = m
zu erreichen?
d) Wie hoch mu die magnetische Flu dichte sein, um fur Wassersto onen bei
gleicher Gasdichte und gleichem Wirkungsquerschnitt, aber vth�i = 400ms ;1 den
kritischen Wert !ci = m�i zu erreichen?

Kapitel 4
Fluidmodelle des Plasmas
Das Einzelteilchenbild hatte die Bewegung geladener Teilchen in vorgegebenen au eren
Feldern beschrieben. Man erhalt dadurch einen geordneten Uberblick uber den Bewegungsreichtum
des Plasmamediums, der sich in den vielfaltigen Driften au ert. Der gro te
Nachteil des Einzelteilchenbildes ist die Vernachlassigung der Ruckwirkung der Teilchenbewegung
auf die elektromagnetischen Felder. Eine makroskopische und selbstkonsistente
Beschreibung des Plasmamediums erhalt man aus den Maxwellgleichungen und einem
Modell fur den elektrischen Strom u bzw. die Raumladung. In diesem Kapitel werden
wir das Plasma mit einem Modell beschreiben, das Elemente aus der Hydrodynamik verwendet.
Wir notieren zunachst die Maxwellgleichungen in der di erentiellen Form:
r ~E = 0
r ~E = ; @ ~B
(4.1)
@t
(4.2)
r ~ B = 0 (4.3)
r ~ B = 0(~| + 0
@ ~E
) : (4.4)
@t
Dabei ist die freie Ladungsdichte und ~| der Leitungsstrom. Das sind gerade die beiden
Eigenschaften des Plasmas, die auf die Maxwellgleichungen zuruckwirken.
Magnetisierung und Polarisation
Es stellt sich zunachst die Frage, warum man nicht auchdieFeldgro en ~H und ~D verwendet,
die die Materieeigenschaften dann in Form von Dielektrizitatskonstante r und
Permeabilitat r zusammenfassen.
Das Einzelteilchenmodell hat jedem gyrierenden Teilchen ein magnetisches Moment ~
zugeordnet, das nach derLenzschen Regel entgegen der Magnetfeldrichtung gestellt ist.
99

100 KAPITEL 4. FLUIDMODELLE DES PLASMAS
Damit herrscht im Plasma eine (diamagnetische) Magnetisierung ~ M = n~. Man wurde
nun gern eine Beziehung ~ B = 0 ~ H + ~ M = r 0 ~ H heranziehen. Jedoch ist das magnetische
Moment = W?=B / 1=B, so da keine Proportionalitat sondern reziprokes Verhalten
vorliegt. Damit ist die Einfuhrung einer Permeabilitat sinnlos.
Ebenso gilt fur ein Plasma, da im Inneren des Plasmas im Gleichstromfall keine Polarisationsfelder
vorliegen, da die Debyeabschirmung in Randschichten wirkt (siehe Kap.
6). Es kann jedoch zu einer dynamischen Polarisierung kommen, bei der aus Grunden der
Massentragheit z.B. ein Elektron um ein benachbartes Ion eine periodische Pendelbewegung
ausfuhrt, so da dieses Paar wie ein oszillierender Dipol erscheint. Im Kapitel (5)
uber Plasmawellen werden wir vom Konzept der (dynamischen) Dielektrizitatskonstanten
eines Plasmas Gebrauch machen werden.
In diesem Kapitel werden wir die Bewegung des Plasmas durch Gleichungen fur kleine
Volumenelemente (mit festen Abmessungen) beschreiben, die sich mit der mittleren
Stromung mitbewegen. Dieses ist ahnlich zum Konzept des Flussigkeitselements in der
Hydrodynamik. In der Flussigkeit sind die Zusammensto e zwischen den Molekulen so
hau g, da die Teilchen fur lange Zeit in diesem Volumen verbleiben, so da das Konzept
des Flussigkeitselements sehr passend ist. Im Plasma (oder einem hei en Gas) werden
die Teilchen sich weitgehend sto frei bewegen und es werden viele Teilchen durch
die Grenz achen ein- und austreten. Wir mussen also in der Beschreibung durch diese
Volumenelemente Gleichungen aufstellen, die die Anderung der Teilchenanzahl und des
Gesamtimpulses fur dieses Volumenelement bilanzma ig erfassen.
Hierzu wahlen wir eine statistische Beschreibung, die uns fur diese beiden Gro en
korrekte Mittelwerte liefert. Dieses tun wir getrenntfur Elektronen und Ionen. Die mittlere
Teilchenzahl im Volumen V = x y z bezeichnen wir mit N, dieTeilchendichte mit
n. Unterscheidende Indizes fur die beiden Teilchensorten unterdrucken wir im Moment.
Die Geschwindigkeit der individuellen Teilchen stellen wir uns so verteilt vor wie eine
verschobene Maxwellverteilung (Abb. 4.1):
f(vx) =
m
2 kBT
1=2
exp
; m(vx ; ux) 2!
2kBT
� (4.5)
die eine mittlere Geschwindigkeit ~u =(ux� 0� 0) besitzt, die wir der Einfachheit halber in
x-Richtung legen.
4.1 Das Zwei ussigkeitenmodell
Wir betrachten zunachst Ionen und Elektronen als zwei separate Flussigkeiten, die sich
gegenseitig durchdringen konnen. Erzeugungs- und Vernichtungsprozesse von Ladungstragern
haben wir bereits gesondert behandelt, so da wir hier zunachst den Erhaltungssatz
fur die Teilchenzahl formulieren wollen. Fur die Bilanz der TeilchenanzahlimVolumenelement
V = x y z betrachten wir die eindimensionale Stromung in x-Richtung
(Abb. 4.2).

4.1. DAS ZWEIFLUSSIGKEITENMODELL 101
Abbildung 4.1: Verschobene Maxwellverteilung mit mittlerer Driftgeschwindigkeit u. Die
Gruppe von Teilchen im Intervall um vx wird mit n(vx) benannt.
In dem Ortsintervall x bis x + x be ndet sich eine Anzahl N = nA x von Teilchen,
wenn A = y z die Querschnitts ache dieser Stromung ist. Der Teilchenstrom ist IN =
nAux. Andert sich IN innerhalb des Volumens V aufgrund von Kraftwirkungen auf die
Stromung, so erhoht oder erniedrigt sich dasInventar an Teilchen in [x� x + x] gema :
; @N
@t = IN(x + x) ; IN(x)
@IN
@x
x� (4.6)
wobei wir uns im Sinne eines Grenzprozesses x ! 0 mit dem ersten Glied einer Taylorentwicklung
begnugen. Dividiert man durch die Querschnitts ache A und durch x, so
Abbildung 4.2: Zur Kontinuitatsgleichung.

102 KAPITEL 4. FLUIDMODELLE DES PLASMAS
gilt fur die Teilchendichte n:
@n @(nux)
+ =0 (4.7)
@t @x
und fur den dreidimensionalen Fall entsprechend:
@n
@t
+ r (n~u) =0: (4.8)
Gleichung (4.8) wird als Kontinuitatsgleichung bezeichnet und beschreibt die Teilchenzahlerhaltung.
Im Falle einer Nettoerzeugung S ersetzt diese die Null auf der rechten
Seite. Die naheliegende Verallgemeinerung fur die Erhaltung der Ladung lautet (mit der
Ladungsdichte = ne und Stromdichte ~| = ne~u):
@
@t
4.1.1 Die Impulstransportgleichung
+ r ~| =0: (4.9)
Die Kraftwirkung auf das betrachtete Volumenelement ergibt sich als Summe aller Krafte,
die auf die Teilchen in diesem Volumenelementwirken zuzuglich des Exports und Imports
von Impuls durch das Aus- und Einstromen von Teilchen durch die Berandung des Volumenelements.
Wir wollen jetzt zulassen, da sich das Volumenelement mit der mittleren
Stromungsgeschwindigkeit der Ionen (bzw. Elektronen) mitbewegt.
Fur das einzelne Plasmateilchen gilt die Newtongleichung
m d~v
dt = q( ~ E + ~v ~ B) : (4.10)
Hier verwenden wir ausdrucklich die totale Zeitableitung, die mit dem geraden " d\ notiert
wird, da jeweils das Feld am aktuellen Teilchenort zu verwenden ist. Fur ein punktformiges
Teilchen ergeben sich auchkeine begri ichen Komplikationen.
Die konvektive Ableitung
Die korrekte Impulsbilanz fur ein Volumenelement, bei dem keine Teilchen durch die
Grenz achen ein- oder austreten, ergibt sich durch Multiplikation von (4.10) mit der
Teilchendichte n. In einem inhomogenen Geschwindigkeitsfeld ~u(~r) ist jedoch die totale
Zeitableitung korrekt zu bilden:
d~u
dt
= @~u
@t
@~u dx
+
@x dt
@~u dy
+
@y dt
@~u dz
+
@z dt
: (4.11)
Der Vektor (dx=dt� dy=dt� dz=dt) ist identisch mit der Geschwindigkeit ~u des betrachteten
Volumenelements. In Kurzschreibweise la t sich (4.11) zusammenfassen zu:
d~u
dt
= @~u
@t
+(~u r)~u : (4.12)

4.1. DAS ZWEIFLUSSIGKEITENMODELL 103
Abbildung 4.3: Zur konvektiven Ableitung. In einem inhomogenen Geschwindigkeitsfeld
andert sich bei Verfolgung eines Volumenelements langs einer Stromlinie der Vektor ~v
nach Richtung und Betrag. Diese Anderung beschreibt der Term (~v r)~v.
Dabei nennt man~u r die konvektive Ableitung. Sie stellt die vom Volumenelement erfahrene
Anderung einer Gro e dar, die dadurch zustande kommt, da sich das Me volumen
relativ zu der raumlich veranderlichen Gro e bewegt. Es ist leicht einzusehen, da das
Geschwindigkeitsfeld stationar (d.h. nicht explizit zeitabhangig) sein kann und trotzdem
eine Zeitabhangigkeit auftritt, die dadurch zustande kommt, da das Volumenelement
sich in einem inhomogenen Geschwindigkeitsfeld in Bereiche erhohter oder erniedrigter
Geschwindigkeit hineinlauft (Abb. 4.3). Somit konnen wir die aus der Newtongleichung
(4.10) herruhrende Kraftbilanz fur das Volumenelement aufschreiben:
Druckkrafte
nm
@~u
@t
+(~u r)~u
!
= nq( ~E + ~u ~B) : (4.13)
Die an den Teilchen im Inneren des Volumenelements angreifenden Volumenkrafte haben
wir in (4.13) also bereits erfa t. Es fehlt noch die Impulsanderung pro Zeiteinheit
durch denTeilchenaustausch durch die Grenz achen. Wir betrachten hierzu eine Zelle
(Abb 4.4) mit den Grenz achen bei x0 und x0 + x. Weiterhin greifen wir eine Teilchengruppe
mit Geschwindigkeiten zwischen vx und vx + vx heraus. Der von dieser
Teilchengruppe erzeugte Teilchenstrom (d.h. die pro Zeiteinheit durch die Bezugs ache

104 KAPITEL 4. FLUIDMODELLE DES PLASMAS
tretende Teilchenanzahl) ist:
Abbildung 4.4: Zur Berechnung der Druckkrafte
IN(vx) = n(vx)vx y z: (4.14)
Dabei ist die Konzentration der Teilchen n(vx) in diesem Geschwindigkeitsintervall
durch die Verteilungsfunktion f gegeben:
n(vx) = f(vx) vx (4.15)
ZZ
= vx f(vx�vy�vz)dvydvz � (4.16)
wobei uns die zweite Zeile dieser Gleichung daran erinnert, da wir im Falle einer dreidimensionalen
Geschwindigkeitsverteilung uber die transversalen Komponenten der Geschwindigkeiten
zu integrieren haben. Analog zu dem Begri des Teilchenstroms IN fuhren
wir jetzt den Impulsstrom IP ein der von der Teilchengruppe bei vx reprasentiert wird:
IP =(mvx) n(vx)jvxj y z: (4.17)
Der Impulsstrom ist gerade der pro Zeiteinheit durch die Bezugs ache transportierte
Impuls. Die Betragsstriche um vx sollen daran erinnern, da wir mit dem Zahlenwert
von jvxj y z die Hau gkeit messen, mit der Teilchen auf die Grenz ache tre en. Der
Impulsstrom soll in dieser De nition das Vorzeichen des Impulses mvx erhalten. Das ist
die praktische Vorzeichenkonvention, die es sofort gestattet, den Zuwachs oder Verlust
an Impuls abzulesen. Die Gewinn- und Verlustrechnung fur das Intervall [x0�x0 + x]
schreibt sich dann wie folgt, wobei der obere Index das Vorzeichen der Geschwindigkeit
angibt:
Gewinn bei x0 : I +
P (x0) = X
vx>0
h n(vx)(mvx)jvxj i
x0
y z (4.18)

4.1. DAS ZWEIFLUSSIGKEITENMODELL 105
Verlust bei x0 : I ; P (x0) = X
vx

106 KAPITEL 4. FLUIDMODELLE DES PLASMAS
In letztere Anschrift erscheint jetzt die konvektive Ableitung auf der linken Seite der
Gleichung als Anzeichen fur die Bewegung des Volumenelements mit der Stromung. Der
Staudruck ist dafur entfallen. Verallgemeinert man diesen Ausdruck auf drei Raumdimensionen
und berucksichtigt die Volumenkrafte so erhalt man die Impulstransportgleichung
in der Form:
nm
@~u
@t
+(~u r)~u
Impulstransport in Scherstromungen
!
= nq( ~E + ~u ~B) ;rp: (4.29)
Abbildung 4.5: Impulstransport in der Scherstromung. Die horizontalen schwarzen Pfeile
bezeichnen die lokale Geschwindigkeit der Stromung. Die hellen Pfeile deuten den Impulsaustausch
durchTeilchen an, die durch die Grenz ache treten.
Im vorangegangenen Abschnitt haben wir die Ober achenkrafte durch Impulsaustausch
mit Nachbarzellen in Stromungsrichtung berechnet, die zu einer neuen Volumenkraft
{ dem Druckgradienten { zusammengefa t werden konnten. Hier betrachten wir
nunmehr den Impulsaustausch quer zur Stromung (4.5). Aufgrund der thermischen Zufallsbewegung
treten Teilchen durch die Grenz achen bei y und y + y, die eine unterschiedliche
mittlere Stromungsgeschwindigkeit besitzen. Die Rechnung verlauft genauso

4.1. DAS ZWEIFLUSSIGKEITENMODELL 107
wie im vorangehenden Abschnitt, nur de nieren wir jetzt die Scherspannung Pij:
Pij = nmhvivji � (4.30)
die den Druck sinngema ersetzt. Anstelle des Druckgradienten tritt im allgemeinen Fall
die Divergenz des Scherspannungstensors auf.
Die Impulstransportgleichungen
Das Flussigkeitsbild des Plasmas la t sich jetzt zusammenfassen in getrennte Impulstransportgleichungen
fur Elektronen und Ionen. Dabei ist es ublich, die Massendichten
(j)
m = nmj und die elektrische Ladungsdichten (j)
e = nqj einzufuhren (j = e� i):
(j)
m
" @~u (j)
@t +(~u(j) r)~u (j)
#
= (j)
e
~E + ~u (j) ~B ;rp (j) : (4.31)
Zusammen mit den jeweiligen Kontinuitatsgleichungen fur Massenerhaltung und Ladungserhaltung,
sowie den Maxwellgleichungen ergibt sichdieFlussigkeitsbeschreibung
eines Plasmas. Die De nition von Ladungsdichte und Stromdichte:
e = (i)
e + (e)
e
~| = (i)
e ~u (i) + (e)
e ~u (e)
(4.32)
verbinden die hydrodynamischen Gleichungen mit den elektromagnetischen Gleichungen.
Infobox: Stromungsgro en
In den Gleichungen des Flussigkeitsmodells fur Plasmen treten folgende
De nitionen fur Stromdichten auf:
Teilchenstromdichte n~u
elektrische Stromdichte nq~u
Impulsstromdichte nmu 2
Warmestromdichte nkBT~u
Die Impulsstromdichte ist im allgemeinen Fall eines inhomogenen Stromungsfeldes
ein Tensor, der die Dyade nm~u~u enthalt.

108 KAPITEL 4. FLUIDMODELLE DES PLASMAS
4.2 Magnetohydrostatik
Betrachten wir zunachst das Beispiel einer langsam bewegten Plasmasituation, fur die der
quadratische Term ~u r~u vernachlassigt werden kann. Dann schreiben sich die Impulstransportgleichungen
fur Elektronen und Ionen unter Einschlu von Gravitationskraften:
@~ui
nmi
@t = ne( ~ E + ~ui
@~ue
nme
@t = ;ne( ~ E + ~ue
~B) ;rpi + nmi~g + n eime(~ue ; ~ui)
~B) ;rpe + nme~g + n eime(~ui ; ~ue) : (4.33)
Ebenfalls wurde eine Reibung zwischen Elektronen- und Ionengas eingefuhrt, die durch
Sto e mit einer Hau gkeit ei und einen mittleren Impulsubertrag nme(~ue ; ~ui) beschrieben
wird. Fur die Beschreibung der mittleren Massenbewegung lassen sich die beiden
Impulstransportgleichungen wie folgt zusammenfassen:
m = n(mi + me) (4.34)
~vm = (mi~ui + me~ue)
me + mi
(4.35)
@~vm
m
@t = ~| B ~ ;rp + m~g : (4.36)
Dieser Ansatz entspricht der Transformation ins Schwerpunktsystem beim Zweikorperproblem.
Man beachte, da jetzt auf den Strom die Lorentzkraft ~| ~B wirkt. Als Faustregel
kann man sich infolge des gro en Massenunterschiedes vorstellen, da die Ionen
praktisch den Massentransport und die Elektronen den elektrischen Strom bestimmen.
Dann gilt die Bilanz:
0=~| ~ B ;rp + m~g : (4.37)
Wenden wir diese Bilanz auf die Situation der aquatorialen Ionosphare an, die wir als
Beispiel fur die g B-Drift herangezogen hatten, (Kap. 3.1.3), so nden wir dort einen
aquatorialen Strom j = nmig=B. Dasselbe Resultat folgt aus der Kraftbilanz (4.37) ~|
~B = m~g. Einzelteilchenbild und Flussigkeitsbild sind hier fur ein kaltes Plasma (rp =0)
gleichwertig.
4.2.1 Isobare Flachen
Kehren wir kurz zu dem Problem des toroidalen Einschlusses zuruck. Unter Vernachlassigung
der Gravitationskrafte gilt ein statisches Gleichgewicht:
~| ~B = rp : (4.38)
Man sieht sofort, da ~B rp =0und~| rp = 0 gilt. Also liegen ~B und ~| in einer Flache
konstanten Drucks. B-Feldlinien und Stromlinien j bilden eine magnetische Ober ache,
die gleichzeitig eine isobare Flache ist (Abb. 4.6).

4.2. MAGNETOHYDROSTATIK 109
Abbildung 4.6: Ineinandergeschachtelte magnetische Ober achen beim Tokamak. Jede
Ober ache wird von einem Netz aus Stromlinien und Magnetfeldlinien gebildet, die eine
nach innen gerichtete Kraftdichte j B erzeugen.
Der Zusammenhang zwischen Stromdichte und magnetischer Flu dichte ergibt sich
aus dem Amperegesetz:
r ~ B = 0~| � (4.39)
so da aus (4.38) und (4.39) folgt:
~| ~B = 1
(r ~B) ~B (4.40)
0
Zur Berechnung von (r ~B) ~B konnen wir die Formel ~A (r ~B) =(r ~B) ~Ac;( ~A r) ~B
verwenden. r ~B ist dabei ein Tensor mit den Komponenten (r ~B)ij = @Bj=@xi. ~Ac bedeutet,
da ~A nicht der Di erentation durch den links stehenden r-Operator unterworfen
ist. Mit (r ~B) ~B = 1
2 r( ~B ~B) folgt dann:
~| ~B = ; 1
r(B
2 0
2 )+ 1
( ~B r) ~B : (4.41)
0
Bei dem Ausdruck (~B r) ~B sei zunachst an die Analogie zur konvektiven Ableitung
(~v r)~v erinnert. Allgemein bedeutet der Operator ~a reine Di erentation in Bezug auf

110 KAPITEL 4. FLUIDMODELLE DES PLASMAS
die Richtung des Vektors ~a. Hier also ist ( ~ B r) ~ B die Anderung des Magnetfeldvektors,
die auftritt, wenn man einer Feldlinie folgt.
(4.38) und (4.41) lassen sich zu der Druckbilanz zusammenfassen:
r(p + pmagn) = ( ~ B r) ~ B
0
� (4.42)
in der der magnetische Druck: pmagn = B 2 =2 0 eingefuhrt wurde. Fur gerade und parallele
Feldlinien ist ( ~ B r) ~ B = 0 und es gilt dann:
p + B2
2 0
= const : (4.43)
Der magnetische Einschlu kann im Flussigkeitsbild als Konstanz des Gesamtdrucks aus
kinetischem und magnetischem Druck verstanden werden. Dabei ist in der Regel der
magnetische Druck hoher als der kinetische Druck. Fur Fusionsplasmen de niert man
einen Parameter
= p
pmagn
� (4.44)
der den relativen Energieinhalt des Plasmas charakterisiert und meist kleiner als 20%
gewahlt wird.
Infobox: Vektorprodukte und Rotation
In der Magnetohydrodynamik treten viele Vektoroperation in Verbindung
mit Ableitungen auf. Daher fassen wir hier die wichtigsten Formeln
zusammen:
~A ( ~ B ~ C) = ( ~ A ~ C) ~ B ; ( ~ A ~ B) ~ C
r (f ~A) = fr ~A + ~A rf
r (f ~A) = fr ~A + rf ~A
r ( ~A ~B) = ~B (r ~A) ; ~A (r ~B)
r ( ~ A ~ B) = ~ A(r ~ B) ; ~ B(r ~ A)+( ~ B r) ~ A ; ( ~ A r) ~ B
~A (r ~ B) = (r ~ B) ~ Ac ; ( ~ A r) ~ B
~A = r(r ~ A) ;r (r ~ A)

4.2. MAGNETOHYDROSTATIK 111
4.2.2 Diamagnetische Drift
Wir haben im Einzelteilchenbild die Driftbewegung als eine adiabatische Bewegung auf
einer gegenuber der Gyration langsamen Zeitskala kennengelernt. Ahnliche Betrachtungen
konnen wir auch in der Fluidtheorie vornehmen, wenn wir die auf den Tragheitskraften beruhenden
E ekte vernachlassigen. In der Impulstransportgleichung (4.29) vernachlassigen
wir aus den genannten Grunden die Zeitabhangigkeit:
0=nq( ~E + ~u ~B) ;rp (4.45)
und multiplizieren von rechts vektoriell mit der magnetischen Flu dichte ~B:
0= ~ E ~ B +(~u ~ B) ~ B ; 1
nq rp ~ B: (4.46)
Wenn wir ~u = ~u?~uk in Anteile senkrecht und parallel zur Magnetfeldrichtung zerlegen,
ergibt das doppelte Kreuzprodukt (~u B) ~ B ~ =(~u? ~ B) ~ B ;B 2 ~u?, da~uk
~B = 0. Damit
wird die Plasmabewegung senkrecht zum Magnetfeld ~u?:
~u? = ~ E ~ B
B 2 ; rp ~ B
qnB 2 = ~vE + ~vD : (4.47)
Der erste Term stellt die schon bekannte E B-Drift dar, der zweite Term (~vD) ist die
diamagnetische Drift. Siela t sich leicht veranschaulichen mit der Vorstellung von gyrierenden
Teilchen, deren Dichteverteilung inhomogen ist. Die Uberlagerung der Kreisstrome
ergibt infolge des Dichtegradienten einen Nettostrom (Abb. 4.7). Ein berandetes magnetisiertes
Plasma hat grundsatzlich einen Netto-Ober achenstrom, den diamagnetischen
Strom.
Dieser Nettostrom kommt allein durch die inhomogene Verteilung der Fuhrungszentren
zustande. Die Fuhrungszentren selbst bleiben bei der diamagnetischen Drift in Ruhe.
Das ist anders als bei den Driften des Einzelteilchenmodells, die ja gerade die Bewegung
des Fuhrungszentrums beschreiben. Es ist also nicht zulassig, die Beschreibungsweisen
fur das Plasma zu mischen, indem man die Driftgeschwindigkeiten aus dem Einzelteilchenbild
einfach zu den jetzt bekannten Fluiddriften hinzuaddiert. Fur eine bestimmte
Situation mu man selbstkonsistent in einem der Modelle rechnen. Die E B-Drift und
die Krummungsdrift ergeben sich auch in der Fluidbeschreibung, die Gradientendrift jedoch
verschwindet. Fur eine ausfuhrlichere Diskussion dieser Aspekte sei der Leser auf
das Lehrbuch von Chen [60] verwiesen.
Wir konnen nun den Spie herumdrehen und die Frage stellen, welche Rolle der diamagnetische
Strom in der Fluidtheorie spielt. Dazu bilden wir Elektronen- und Ionenbeitrag:
~| = ne(~vDi ; ~vDe) =; (rpi + rpe) ~B
B 2
: (4.48)

112 KAPITEL 4. FLUIDMODELLE DES PLASMAS
Abbildung 4.7: (a) Diamagnetische Drift in einem inhomogenen Plasma und (b) Oberachenstrom
eines berandeten, homogenen magnetisierten Plasmas
Dann wird die Lorentzkraft auf diesen Strom:
~| ~B = ; (rp ~B) ~B
B 2
= r?p (4.49)
gleich dem Gradienten des Gesamtdrucks. Das ist gerade die statische Balance der Magnetohydrostatik.
Also balanciert der Ober achenstrom in 4.7(b) den radialen Druckgradienten.
Bildhaft gesprochen kann man sich die magnetische Ober ache mit den darin
liegenden Feldlinien und Stromlinien (4.6) wie einen Strumpf vorstellen, der das thermische
Plasma zusammenhalt.

4.3. MAGNETOHYDRODYNAMIK (MHD) 113
4.3 Magnetohydrodynamik (MHD)
Im vorangehenden Kapitel wurde das Plasma durch zwei sich durchdringende Flussigkeiten
(Elektronen und Ionen) dargestellt. Die resultierenden Impulstransportgleichungen
konnten zusammengefa t werden zu einer einheitlichen Impulstransportgleichung fur den
Massen u . Wir hatten schon den Vergleich zurTransformation ins Schwerpunktsystem
eines Zweikorperproblems angestellt. Die zweite Variable des Zweikorperproblems wird
durch die Relativgeschwindigkeit gebildet, die mit der Stromdichte verwandt ist:
4.3.1 Ohmsches Gesetz
~| = ne(~ui ; ~ue) : (4.50)
Eine dynamische Gleichung fur den Strom erhalt man durch Subtraktion der (mit me
bzw. mi) gewichteten Impulstransportgleichungen (4.33):
@
nmime
@t (~ui ; ~ue) = ne(me + mi) ~ E + ne(me~ui + mi~ue) B~
;merpi + mirpe + n(me + mi) eime(~ue ; ~ui) : (4.51)
In den Summen der Massen kann stets me gegen mi vernachlassigt werden. Der Mischterm
me~ui + mi~ue kann wie folgt zerlegt werden:
me~ui + mi~ue = mi~ui + me~ue + mi(~ue ; ~ui)+me(~ui ; ~ue) (4.52)
= 1
Aus (4.51) und (4.53) wird dann:
mime
e
@~|
n m~vm ; (mi ; me) 1
@t = e m ~E + ~vm ~B ; eime
ne
~|: (4.53)
ne
2 ~|
;mi~| ~ B ; merpi + mirpe : (4.54)
Solange wir uns wieder fur langsam veranderliche Prozesse interessieren konnen wir @~|=@t
= 0 setzen und Terme der Gro enordnung me=mi vernachlassigen. Dann erhalten wir das
verallgemeinerte Ohmsche Gesetz fur ein magnetisiertes Plasma:
~E + ~vm
~B = ~| + 1
ne (~| B ~ ;rpe) : (4.55)
Dabei ist = eime=ne2 die Plasmaresistivitat aufgrund der Coulombsto e zwischen
Elektronen und Ionen. Die linke Seite stellt die korrekte Feldstarke im Bezugssystem der
Massenbewegung dar. Sie ergibt sich als Spannungsabfall j zuzuglich der E ekte der
Hallspannung ~| B=ne ~ und Elektronen-Druckgradienten. Nach (4.36) stellt der Beitrag
~| ~B ;rpe gerade die Tragheitskrafte dar, die wir in Fallen statischer Stromungen
vernachlassigen wollen. Dann wird das verallgemeinerte Ohmsche Gesetz:
~E + ~vm
~B = ~| : (4.56)

114 KAPITEL 4. FLUIDMODELLE DES PLASMAS
4.3.2 Eingefrorene Feldlinien
Als Anwendung des verallgemeinerten Ohmschen Gesetzes betrachten wir den Fall einer
Plasmabewegung, die eine Komponente senkrecht zur magnetischen Feldrichtung besitzt.
Wir formen das Ohmsche Gesetz um durch Bildung der Rotation und Anwendung der
Maxwellgleichungen:
~E + ~vm
r ~E + r (~vm ~B) =
~B = ~| = r
0
~ B
; r (r
0
~ B) = ;r (~vm
r (r ~B) ;
0
@ ~ B
@t
(4.57)
~B) : (4.58)
Betrachten wir zunachst den Fall des ruhenden Plasmas ~vm = 0, dann erhalten wir die
Di usionsgleichung fur das Magnetfeld:
; @ ~ B
@t + DB ~ B =0 (4.59)
mit der Di usionskonstanten DB = = 0. Mit einem Ansatz ~ B(t) / exp(;t= B) und
Ersatz des Laplaceoperators durch eine Skalenlange (zum Quadrat) B ~ B=L ~ 2 erhalt
man die Di usionszeit zu:
B =
0L 2
: (4.60)
Man erkennt, da mit abnehmender Resistivitat die Di usionzeit immer langer wird.
Diese Betrachtung ist naturlichnichtnur auf Plasmen beschrankt. Fur die Verhaltnisse im
Erdkern ergibt sich B 10 4 a,fur eine Kupferkugel von 1m Durchmesser wird B 10s.
Die Leitfahigkeit von vollionisierten Plasmen ist i.d.R. wesentlich gro er als die der
Metalle, wie Kupfer, so da wir als Konzept fur hei e Laborplasmen und astrophysikalische
Plasmen oft den Grenzfall ! 0 heranziehen werden (ideale MHD). Dieses fuhrt zu der
Beziehung:
Mit der Identitat:
@ ~B
@t
= r (~vm
r (~vm ~B) =(~B r)~vm ; (~vm r) ~B + ~vm (r ~B)
| {z }
=0
und unter Benutzung der Kontinuitatsgleichung (4.7) in der Form:
r ~vm = ; 1
m
@ m
@t +(~vm r) m
~B) : (4.61)
!
= ; 1
m
; ~B(r ~vm) (4.62)
d m
dt
(4.63)

4.3. MAGNETOHYDRODYNAMIK (MHD) 115
erhalt man den Ausdruck:
Unter Benutzung der Identitat
d
dt
d ~ B
dt =(~B r)~vm + ~ B
0
@ ~B
m
1
A = 1
m
d ~B
dt
m
d m
dt
1
; ~B
2
m
d m
dt
ergibt sich dann die Beziehung (Theorem von Truesdell [61]):
d
dt
0
@ ~ B
m
1
A =
0
@ ~ B
m
1
r
: (4.64)
(4.65)
A~vm : (4.66)
Man erinnere sich, da die totale Zeitableitung die Veranderung einer Gro e bei Verfolgung
des bewegten Flussigkeitselements beschreibt. Der Operator ( ~B= m) rdi erenziert
in Richtung der Magnetfeldlinien. Betrachten wir den Sonderfall eines Bundels paralleler
Magnetfeldlinien und einer Massenstromung senkrecht zu diesen Feldlinien, dann ist
die rechte Seite von (4.66) gleich Null. Das bedeutet, da der Quotient ~ B= m in diesem
Stromungsproze konstant bleibt, und da die Feldlinien mit konstanter Masse beladen
sind und sich mit der Massenstromung bewegen. Dieses ist das Konzept der eingefrorenen
Feldlinien. Fur den allgemeinen Fall einer beliebigen Stromungsrichtung sei auf das
Lehrbuch von Cap, Bd. III verwiesen [62].
4.3.3 Alfvenwellen
Das Konzept des eingefrorenen Flusses kann man am einfachsten am Beispiel von wellenartigen
Storungen eines magnetisierten Plasmas nachvollziehen. Wir beginnen in der
idealen MHD ( = 0). Die unendliche Leitfahigkeit bedingt, da ein Magnetfeld, das sich
im Inneren des Plasmas be ndet, nicht aus ihm herausdi undieren kann. Die Temperatur
des Plasmas sei hinreichend niedrig, da Druckkrafte vernachlassigt werden konnen. Dann
ist die Impulstransportgleichung einfach:
@~vm
m
@t = ~| B ~ (4.67)
und gema (4.62)
@ ~ B
@t =(~ B r)~vm ; (~vm r) ~ B ; ~ B(r ~vm) : (4.68)
Wir nehmen zur Vereinfachung an, da eine inkompressible Stromung r ~vm =0vorliegt,
d.h. m =const. Die Kompressibilitat wurde namlich nur zusatzliche Schallwellen erzeugen,
die uns im Moment nicht interessieren. Fur Magnetfeld und Massengeschwindigkeit

116 KAPITEL 4. FLUIDMODELLE DES PLASMAS
machen wir den Storungsansatz:
~B = ~B0 + ~B1
~vm = ~v1 � (4.69)
in denen ~ B0 =(0� 0�B0) und ~v0 = 0 gewahlt wird. Fur ein homogenes Magnetfeld ~ B0
ist der Term (~vm r) ~ B von 2. Ordnung der Storungsrechnung, da er das Produkt aus
~v1 und ~B1 enthalt, und kann vernachlassigt werden. Fur den Plasmawechselstrom gilt
j = r ~ B1= 0. Dann ergibt sich fur die kleinen Storgro en:
@~v1
m
@t
= 1
0
(r ~ B1) ~ B0
@ ~ B1
@t = ( ~ B0 r)~v1 : (4.70)
O ensichtlich liegt (r ~B1) ~B0 senkrecht zu ~B0 und damit ist die Geschwindigkeitsstorung
~v1 senkrecht zum statischen Magnetfeld. Ebenso hat ~ B1 nur Komponenten
senkrecht zu ~B0. Das doppelte Kreuzprodukt (r ~B1) B0 =(~B0 r) ~B1 ; (r ~B1) ~B0
verdient gesonderte Betrachtung. Weil ~ B1 =(B1x�B1y� 0) gilt:
r ~B1 =
0
B
@
@B1x
@x
@B1x
@y
@B1x
@z
@B1y
@x
@B1y
@y
@B1y
@z
0
0
0
1
C
A
(4.71)
und ~B0 =(0� 0�B0) verschwindet das Skalarprodukt (r ~B1) ~B0. Ersetzen wir ~B0 r=
B0@=@z erhalt man dann die Storgro en in Koordinatenschreibweise:
@v1?
m
@t
@B1?
@t
= B0
0
@B1?
@z
@v1?
= B0
@z
: (4.72)
worin der Index ? stellvertetend fur x oder y steht. Diese beiden Gleichungen lassen sich
zu Wellengleichungen fur die Storgro en zusammenfassen:
" 2 @ @
; v2
@t2 A
2
@z2 #
v1? = 0
" 2 @ @
; v2
@t2 A
2
@z2 #
B1? = 0 : (4.73)

4.3. MAGNETOHYDRODYNAMIK (MHD) 117
Dabei ist vA die Alfvengeschwindigkeit:
vA =
B 2
0
0 m
! 1=2
=
! 1=2
2pmagn
Abbildung 4.8: Geometrie einer transversalen Alfvenwelle
m
: (4.74)
Diese Schallgeschwindigkeit entspricht derjenigen einer Transversalwelle auf einer Saite
mit Massenbelegung m und Zugspannung :
cs =
j j
m
! 1=2
: (4.75)
Diese Analogie legt es sofort nahe, die eingefrorenen Feldlinien wie Klaviersaiten zu betrachten,
die zur Massenerhohung mit Kupferdraht umwickelt sind. Weiterhin hat sich ergeben,
da ein Magnetfeld sowohl einen Druck pmagn = B 2 =2 0 senkrechtzudenFeldlinien
ausubt, als auch eine Zugspannung = ;2pmagn besitzt. Dieses la t sich zusammenfassen

118 KAPITEL 4. FLUIDMODELLE DES PLASMAS
im Maxwellschen Stresstensor [63]:
T =
0
B
@
B2 0=2 0 0 0
0 B2 0
0=2 0
0 0 ;B 2
0 =2 0 :
1
C
A (4.76)
Den Faktor 2 in = ;2pmagn sieht man ein, wenn man sich den Stresstensor als die
Summe aus einem isotropen Drucktensor und einer Zugspannung langs des Magnetfeldes
vorstellt:
T =
0
B
@
4.3.4 Der Pinche ekt
pmagn 0 0
0 pmagn 0
0 0 pmagn
1
C
A +
0
B
@
0 0 0
0 0 0
0 0 ;2pmagn
1
C
A : (4.77)
Mit Hilfe von Impulsstromen im Bereich von 10 kA bis 1 MA konnen Plasmen sehr
e zient aufgeheizt und magnetisch eingeschlossen werden. Dabei unterscheidet man zwei
Geometrien (4.9), den Z-Pinch, bei dem ein axialer Strom durch ein zylindrisches Plasma
ie t, und den -Pinch, bei dem ein azimutaler Strom in das Plasma induziert wird. Unter
der Wirkung der magnetischen Druckkrafte wird das Plasma zu einem dunnen Schlauch
zusammengedruckt.
Das Gleichgewicht eines Z-Pinches konnen wir anhand der Bilanz fur magnetischen
Druck und kinetischen Druck der Plasmateilchen beschreiben. Es gilt fur jeden Radius:
p(r)+ B(r)2
= const : (4.78)
2 0
Folglich ist der kinetische Druck im Zentrum des Pinches (r=0) gleich dem magnetischen
Druck an der Ober ache (r=a):
nkB(Te + Ti) = B(a)2
2 0
: (4.79)
Das Magnetfeld an der Plasmaober ache ergibt sich nachdemAmpereschen Gesetz aus
dem Gesamtstrom:
B(a) = 02 aI : (4.80)
Der Zusammenhang zwischen der Temperatur auf der Achse des Pinches und dem Gesamtstrom
lautet dann (Bennett-Beziehung) [64]:
2 I
(Te + Ti) / : (4.81)
a2 Dies bedeutet, da die erreichbare Temperatur mit dem Quadrat des Entladungsstroms
skaliert. Pinchentladungen spielen zwar fur die kontrollierte Kernfusion keine Rolle mehr.
Die in ihnen erreichbaren hohen Temperaturen konnen aber gezielt benutzt werden, um
Plasmen mit hochgeladenen Ionen zu erzeugen, um z.B. die Linienspektren dieser Ionen
fur die Anwendung in der Diagnostik hei er Plasmen zu vermessen.

4.3. MAGNETOHYDRODYNAMIK (MHD) 119
Abbildung 4.9: (a) Z-Pinch und (b) -Pinch. Der magnetische Selbsteinschlu (Pincheffekt)
tritt in stromstarken Impulsentladungen auf. Der Impulsstrom wird von einer Kondensatorbatterie
mit Funkenstreckenschaltern geliefert.

120 KAPITEL 4. FLUIDMODELLE DES PLASMAS
4.3.5 MHD-Generatoren (*)
Ein stromendes Plasma kann zur direkten Energiegewinnung eingesetzt werden. Dazu la t
man es in einem Kanal mit transversalem Magnetfeld stromen. Das Prinzip ist in 4.10
dargestellt. Senkrecht zur Magnetfeldrichtung ist die in das bewegte Medium induzierte
Spannung (EMK) (~u ~ B)b verfugbar, wobei b die Kanalbreite ist. Belastet man diese
Spannung mit einer externen Last, deren Widerstand klein gegenuber dem Innenwiderstand
des Plasmas ist, so ie t ein Strom:
~|ind = 1 ~u ~ B: (4.82)
Dieser Strom bremst die Plasmabewegung mit der Kraft (4.10(b)):
~F = ~|ind ~B : (4.83)
Der Vorteil der MHD-Energiewandlung liegt in der Ausnutzung der hohen Primartemperaturen
eines konventionellen (oder Kern-)Kraftwerks. Aus Grunden der Materialbeanspruchung
sind Dampfturbinen nur etwa bis 800 o C einsetzbar, wahrend MHD-Generatoren
bis 2700 o C arbeiten. Im Prinzip sind Gesamt-Wirkungsgrade bis zu 60% mit MHD-
Generatoren erreichbar. Zur Erhohung der Leitfahigkeit werden dem Gasstrom Alkalimetalle
beigemengt.
Trotz intensiver Bemuhungen, vor allem in der ehemaligen Sowjetunion, ist es nichtgelungen,
MHD-Generatoren kommerziell einzusetzen, da das Problem der Korrosion durch
das agressive Natrium nicht gelost werden konnte. Die Umkehrung des MHD-Generator-
Prinzips stellen die Plasmatriebwerke fur Weltraumanwendungen dar, in denen j B
Krafte zur Beschleunigung eingesetzt werden. Dieses Prinzip ist attraktiv, da die Geschwindigkeit
des ausgesto enen Plasmas wesentlichhoher als bei Verbrennungsprozessen
ist.

4.3. MAGNETOHYDRODYNAMIK (MHD) 121
Abbildung 4.10: MHD-Generator. Die Gasstromung erzeugt eine induzierte Feldstarke
~vgas
~B, die ihrerseits einen elektrischen Strom ~| zur Folge hat, wenn der Generator
extern belastet ist. Das Plasma erfahrt eine Bremskraft ~| B.
~

122 KAPITEL 4. FLUIDMODELLE DES PLASMAS
4.3.6 MHD-Stabilitat
Das statische Pinch-Plasma haben wir unter dem Gesichtspunkt des Druckgleichgewichts
zwischen kinetischem Gasdruck und magnetischem Druck an der Ober ache analysiert.
Gleichgewicht bedeutet aber nicht automatisch Stabilitat. Stellen wir uns zunachst vor,
da das zylindrische Plasma eine lokalisierte Einschnurung erfahrt (Abb.4.11(a)). Nach
(4.78) steigt dann lokal das azimutale Magnetfeld und damit der magnetische Druck
an der Ober ache, was zu einer Verstarkung der Einschnurung fuhrt. Der ursprungliche
homogene Plasmazustand ist also instabil� die Instabilitat wird Sausage-Instabilitat (zu
deutsch " Wurstchen\-Instabilitat) genannt.
Als zweite Art der Storung betrachten wir eine lokalisierte radiale Auslenkung der gesamten
Plasmasaule (Abb.4.11(b)). Auf der Seite des geringeren Krummungsradius ist die
Feldliniendichte hoher als auf der Au enseite. Damit treibt die Di erenz des magnetischen
Druckes die Storung weiter nach au en. Dieser Instabilitatstyp hei t Kink-Instabilitat.
Diese beiden Instabilitaten limitieren die Kompression des Z-Pinches, indem das hei e
Plasma in der beschriebenen Art ausbrechen kann. Beide Instabilitaten konnen mit Hilfe
eines axialen Magnetfeldes stabilisiert werden.
Abbildung 4.11: (a) Sausage-Instabilitat, (b) Kink-Instabilitat des Z-Pinches

4.3. MAGNETOHYDRODYNAMIK (MHD) 123
Ein Exkurs uber Strommessung in Hochstromentladungen (*)
Stromstarke Entladungen erfordern die Messung von Stromen im Bereich von etwa 1-
100 kA. Die ubliche Methode, den Spannungsabfall an einem Me widerstand (Shunt) als
Stromme wert zu verwenden, ist nur bis etwa 1kAsinnvoll, da bei Widerstanden unter
1m der induktive Anteil dominiert und den Frequenzgang bei den hohen Frequenzen
verfalscht, die bei Impulsentladungen bedeutsam sind. Daher hat sich das Prinzip des
induktiven Stromwandlers (Stromzange) fur derartige Entladungen durchgesetzt.
Ein solcher Stromwandler besteht aus einem Abschirmrahmen (4.12), in dem vier
Ferritstabe mit Spulen untergebracht sind. Das Gehause enthalt einen umlaufenden Spalt,
damit es keine Kurzschlu windung bildet. Der magnetische Flu in den Ferritstaben ist
proportional zur Stromstarke in dem vom Rahmen umfa ten Stromleiter, der entweder ein
Zuleitungsdraht oder das Plasmarohr selbst sein kann. Die Ausgangsspannung des o enen
Wandlers ist nach dem Induktionsgesetz proportional zu @I=@t. Das Ausgangssignal wird
mit elektronischen Mitteln zeitintegriert, um ein Signal proportional zum Stromverlauf zu
erhalten. Bei genugend hoher Induktivitat der Spulen kann die Integration passiv durch
einen niederohmigen Widerstand erfolgen, der mit der Spuleninduktivitat einen Tiefpa
erster Ordnung bildet.
Abbildung 4.12: (a) Aufbau eines induktiven Stromwandlers (b) Ersatzschaltbild mit Integration
der Induktionsspannung durch einen L-R Tiefpa .

124 KAPITEL 4. FLUIDMODELLE DES PLASMAS
4.3.7 Die Vollstandigkeit der MHD
Zum Ende dieses Kapitels wollen wir nochmals die Frage betrachten, wie die Beschreibung
eines Plasmas durch die MHD-Gleichungen strukturell aussieht. In der MHD beschreiben
wir das Plasma durch Massenbewegung und elektrischen Strom, in denen die Variablen
m�~vm� e und ~| vorkommen. Dieses sind acht Unbekannte, zu denen noch die sechs Komponenten
von ~E und ~B hinzuzunehmen sind.
An Gleichungen haben wir fur die Teilchen zwei Kontinuitatsgleichungen, die Bewegungsgleichung
und das verallgemeinerte Ohmsche Gesetz, die ebenfalls acht Gleichungen
darstellen, zu denen noch das Induktionsgesetz und das Amperesche Gesetz (sechs Gleichungen)
hinzutreten. Fur die Teilchen und Felder konnen wir geeignete Anfangsbedingungen
oder Randbedingungen formulieren, so da die Di erentialgleichungen im Prinzip
losbar erscheinen.
Leider ubersieht diese Betrachtung, da eine weitere Variable auftritt, der gaskinetische
Druck. Diese machte gerade den Unterschied zum Einzelteilchenbild aus und wir
haben fur den Druck keine eigene Bewegungsgleichung abgeleitet. Der pragmatische Weg
der Plasmaphysiker ist, fur den Druck eine thermodynamische Zustandsgleichung hinzuzunehmen,
die je nach Situation eine adiabatische oder isotherme Zustandsanderung
beschreibt. Dadurch wird der Abschlu der MHD-Gleichung erreicht.
Es ist auch moglich, eine Energiebilanz im Flussigkeitsbild zu formulieren, die die
Konvektion der Warme und Warmeleitung einschlie t. In einer solchen Gleichung, der
Warmetransportgleichung, tritt jedoch, in Analogie zum Erscheinen des Terms hv 2 i in
der Impulstransportgleichung, ein Moment dritter Ordnung hv 3 i auf, fur das uns dann
wieder eine dynamische Gleichung fehlt. Die Erweiterung um die Warmetransportgleichung
machtzwar die Beschreibung des Energiehaushalts des Plasmas moglich, zeigt aber
gleichzeitig, da die MHD auf eine Hierarchie von Gleichungen hinauslauft, die durch eine
ad-hoc Annahme abgeschlossen werden mu . Naturlich wundert uns diese Eigenschaft
nicht, da das wirkliche Problem der Plasmabeschreibung aus den Bewegungsgleichungen
von N Teilchen besteht, zu denen ein Satz von wenigen Fluidgleichungen nicht streng aquivalent
sein kann. Die MHD ist also nur eine Approximation, die man je nach gewunschter
Genauigkeit bis zur Energiebilanz heranzieht.

4.3. MAGNETOHYDRODYNAMIK (MHD) 125
Memobox: MHD-Gleichungen
@~vm
m
mime
e
@ m
@t + r ( m~vm) = 0
@ e
+ r ~|
@t
= 0
@t = ~| ~ B ;rp + m~g
@~|
@t = e m ~ E + ~vm
~B ; eime
~| 2 nee
;mi~| ~ B ; merpi + mirpe
r ~ E = ; @ ~B
@t
r ~ B = 0(~| + 0
@ ~ E
@t )

126 KAPITEL 4. FLUIDMODELLE DES PLASMAS
4.4 Aufgaben
1. Fuhren Sie die Zwischenschritte in der Herleitung der Bewegungsgleichung (4.36)
aus.
2. Der Sonnenwind stellt ein stromendes Plasma geringer Dichte dar, das auf das Erdmagnetfeld
tri t. Schatzen Sie ab, in welcher Entfernung von der Erde der Staupunkt
liegt, fur den der Staudruck gleich dem magnetischen Druck wird. Nehmen
Sie hierfur an, da der Sonnenwind nur aus Protonen und Elektronen der Dichte
5 10 6 m ;3 besteht und eine Geschwindigkeit von 400 km/s besitzt. Das Erdmagnetfeld
in der Aquatorebene sei angenommen als B =3 10 ;5 T(r=rE) ;3 ,wobei rE der
Erdradius ist.

Kapitel 5
Wellen und Instabilitaten in
Plasmen
Das Interesse an Wellenvorgangen in Plasmen hat mehrere Wurzeln. Hier ist zunachst
die Ausbreitung von elektromagnetischen Wellen in der Ionosphare zu nennen. Stimuliert
durch Marconis Versuche zur Fernausbreitung von Radiowellen (1901) hatte Heaviside
(1902) postuliert (wie Gau bereits vor der Jahrhundertwende spekulierte), da die Hochatmosphare
der Erde eine elektrisch leitende Schichtenthalten musse, die die Radiowellen
wie ein Spiegel re ektiert. Die quantitative Erforschung der Ionosphare mit Radiowellen
als diagnostisches Hilfsmittel begann in den Jahren 1924-1927 mit der 'Echolotung' von
Breit und Tuve[65]sowie Appleton's systematischer Programmatik [8]. Gleichzeitig waren
im Labor bereits die Langmuirschwingungen bekannt [66]. In den sechziger Jahren wuchs
das Interesse, die Heizung von Plasmen durch Einstrahlung intensiver Plasmawellen im
Radio- und Mikrowellenbereich durchzufuhren.
Uns interessieren in dieser Einfuhrung nur die fundamentalen Wellentypen, die Einblick
in die verschiedenen Mechanismen der Wellenausbreitung geben. Gleichzeitig werden
wir Anwendungen dieser Wellen fur diagnostische Zwecke diskutieren. Eine umfassende
Darstellung der Plasmawellen ndet sich z.B. in [67, 68, 70]. Nach einer Behandlung der
linearen Dispersionseigenschaften werden wir auch grundsatzliche Aspekte der nichtlinearen
Wechselwirkung von Wellen ansprechen.
Im Falle von Nichtgleichgewichtsbedingungen in Plasmen (in Analogie zur Besetzungsinversion
in einem Lasermedium) konnen Wellen zeitlich oderraumlich anwachsen. Diese
Klasse von Phanomenen behandeln wir als Mikroinstabilitaten von Plasmen, im Unterschied
zu den makroskopischen Instabilitaten der MHD (vgl. Abschnitt 4.3.6).
127

128 KAPITEL 5. WELLEN UND INSTABILITATEN IN PLASMEN
5.1 Grundbegri e
Plasmawellen werden beschrieben durch dieMaxwellgleichungen
r ~E = ; @ ~B
@t
r ~ B = 0(~| + 0
(5.1)
@ ~ E
) (5.2)
@t
und eine geeignete Bewegungsgleichung des Plasmas, die den Zusammenhang ~|( ~ E) herstellt.
Im einfachsten Fall geschieht das im Einzelteilchenbild durch :
~| = ne(~vi ; ~ve) � (5.3)
wobei ~ve�i die Losungen der Newtongleichung (3.1) sind. In warmen Plasmen konnen
wir Drucke ekte durch Losung der MHD-Gleichungen fur die Variable ~| einschlie en.
Zusatzliche E ekte hei er Plasmen werden in der kinetischen Theorie (vgl. Kap. 6) in
Form der Vlasovgleichung erfa t.
Fur die Beschreibung der Wellenausbreitung nehmen wir vereinfachend an, da der
Zusammenhang zwischen dem Wechselstrom ~|! (mit der Kreisfrequenz !) und der Wechselfeldstarke
~ E! linear ist, oder durch geeignete Naherungen linearisiert werden kann: 1
~|! = ! ~ E(!) : (5.4)
Hier ist ! der Leitfahigkeitstensor, der frequenzabhangig ist. Durch Bildung der Rotation
im Induktionsgesetz erhalten wir die Wellengleichung:
r (r ~E) = ;r @ ~B
@t
= ; @
@t (r ~B)
@ 2 ~ E
= ; 0 0
@t2 ; 0
Mit 0 0 =1=c 2 lautet die Wellengleichung fur das elektrische Feld:
r (r ~E)+ 1
c2 @2 E~
@t2 = ; 0
@~|
: (5.5)
@t
@~|
: (5.6)
@t
1 Der untere Index ! von A! wird stets einen Schwingungsvorgang mit der zeitlichen Variation /
exp(;i!t) bezeichnen. Wenn daran erinnert werden soll, da ein Wellenvorgang / exp(i ~ k ~r ; i!t)
vorliegt, schreiben wir A(!� ~ k).

5.1. GRUNDBEGRIFFE 129
5.1.1 Normalmodenanalyse
Wir losen die Wellengleichung mit einem Ansatz fur ebene monochromatische Wellen:
~E = ~ ^ E exp[i( ~ k ~r ; !t)]
~B = ~ ^ B exp[i( ~ k ~r ; !t)]
~| = ~ ^| exp[i( ~ k ~r ; !t)] : (5.7)
Darin ist ~ k der Wellenvektor, der die Ausbreitungsrichtung der Welle angibt und dessen
Betrag k =2 = ist. Die Wellenamplituden ~ ^E und ~ ^| sind komplex, um eine Phasenverschiebung
zwischen Strom und Spannung einzuschlie en. Sie hangen von der Frequenz
und Wellenzahl ab, z.B. : ^ E = ^ E(!� ~ k). Mit diesem Ansatz zeigen wir leicht, da folgende
Substitutionsregeln fur die Di erentialoperatoren gelten:
~ ^E
r ~ E ! i ~ k
r ~ E ! i ~ k ~ E^
@
@t ~E ! ;i! ~ ^E: (5.8)
Damit schreiben sich dieMaxwellgleichungen (5.2) in Fourierdarstellung:
i ~ k
i ~ k
~ ^E = i! ~ ^ B
~ ^B
~
= ;i! ^E 0 0 + 0 ~ ^| 0 � (5.9)
wobei der Phasenfaktor exp[i( ~ k ~r ; !t)] gekurzt werden kann und die Feldgro en jetzt
durch ihre Amplituden ersetzt wurden. Benutzt man nun den angenommenen linearen
Zusammenhang zwischen Stromdichte und elektrischer Feldstarke (5.4), so lautet die (homogene)
Wellengleichung:
~ k ( ~ k
~ ^E)+ !2
c2 ~ ^E + i! 0 ! ~ ^E =0: (5.10)
Da der Zusammenhang zwischen Wechselstrom und Wechselspannung als linear angenommen
wurde, kann der Teilchenstrom auch als Polarisierungsstrom aufgefa t werden
und mit dem Vakuumverschiebungsstrom 0@ ~E=@t zusammengefa t werden. Im Falle der
sehr hochfrequenten Wellen, bei denen nur eine Elektronenoszillation um ihre Ruhelage
auftritt, wahrend die Ionen unbewegt sind, ist es erlaubt, sich das Plasma als Menge von
Dipolen aus ruhendem Ion und darum oszillierende Elektronen vorzustellen. Wenn wir
die Verschiebungsdichte D(!) einfuhren:
~ ^D! = 0 !
~ ^E! � (5.11)

130 KAPITEL 5. WELLEN UND INSTABILITATEN IN PLASMEN
so erhalt man den allgemeinen Zusammenhang zwischen Leitfahigkeitstensor und Dielektrizitatstensor:
! = I + i
! 0 ! : (5.12)
wobei I der Einheitstensor ist. Es gibt also zwei Betrachtungsweisen, das Medium Plasma
entweder als verlustbehaftetes Dielektrikum ( !) oder als phasenschiebender Leiter ( !)
aufzufassen. In den Fallen, wo die Plasmawellen weitgehend ungedampft sind, ist die
Dielektrizitatskonstante vorwiegend reell, so da wir die dielektrische Beschreibung als
praktikablere vorziehen werden.
5.1.2 Phasen- und Gruppengeschwindigkeit
Wir de nieren die Phase einer monochromatischen Welle :
' = ~ k ~r ; !t : (5.13)
Ein Punkt bestimmter Phase in einer Welle bewegt sich mit einer Geschwindigkeit, die
durch die Konstanz seiner Phase de niert wird:
Daher wird die Phasengeschwindigkeit:
0= d'
dt = ~ k d~r
; !: (5.14)
dt
~v' = !
k2 ~ k: (5.15)
Sie ist ein Vektor vom Betrag v' = !=k und zeigt in Richtung der Wellenausbreitung.
Betrachten wir nunmehr die Ausbreitung von zwei Wellen, die miteinander interferieren.
Der Einfachheit nehmen wir an, da die Wellen gleiche Amplituden haben und
sich inx-Richtung ausbreiten. Dann wird die Welle z.B. durch dieUberlagerung zweier
Sinuszuge beschrieben:
Mit dem Additionstheorem fur den Sinus erhalten wir:
= 2 sin
0
B
B1
B
@2
(k1 + k2)x ; 1
2 (!1
1
C
+ !2)tC
| {z }
I
= sin(k1x ; !1t)+sin(k2x ; !2t) : (5.16)
A cos
0
B
B1
B
@2
(k1 ; k2)x ; 1
2 (!1
1
C
;
C
!2)tC
| {z }
A
II
: (5.17)
Dieses stellt die bekannte Interferenz gur (Abb. 5.1) dar, in der der Sinusterm die schnelle
Oszillation mit dem arithmetischen Mittel der Frequenz und Wellenzahl darstellt, und der

5.1. GRUNDBEGRIFFE 131
Abbildung 5.1: Interferenz zweier Sinuswellen gleicher Amplitude. Die momentane Phase
propagiert mit der Phasengeschwindigkeit, die Hullkurve mit der Gruppengeschwindigkeit.
Cosinusterm die Hullkurve beschreibt. Die Phasengeschwindigkeit dieser kombinierten
Welle ergibt sich aus der Phase (I) des Sinusterms zu:
v' = (!1 + !2)=2
(k1 + k2)=2
: (5.18)
Die Hullkurve bewegt sich mit einer anderen Geschwindigkeit, der Gruppengeschwindigkeit,
die sich aus der Phase (II) des Cosinusterms ergibt:
vgr = (!1 ; !2)=2
(k1 ; k2)=2
= !
k
: (5.19)
Im allgemeinen Fall eines spektral ausgedehnten Wellenpakets kann man zeigen, da die
Gruppengeschwindigkeit durch den Ausdruck:
~vgr =
@!
@kx
� @!
�
@ky
@!
@kz
!
= rk! = d!
d ~ k
(5.20)
gegeben ist. Die Analogie zu obigem Beispiel ist o ensichtlich. Die Gruppengeschwindigkeit
hat den Betrag vgr =d!=dk. IhreRichtung ist allerdings in einem anisotropen
Medium nicht unbedingt parallel zur Phasengeschwindigkeit. Es gibt wichtige Falle, z.B.
bei den sog. Whistlerwellen in einem magnetisierten Plasma, wo sogar Phasen- und Gruppengeschwindigkeit
zueinander senkrecht stehen konnen [70, 68].

132 KAPITEL 5. WELLEN UND INSTABILITATEN IN PLASMEN
5.1.3 Dispersionsrelation
Die homogene Wellengleichung in Fourierdarstellung (5.10) la t sich mit Hilfe der Vektoridentitat
~ k ( ~ k
~ ^E) =( ~ k ~ k ; k2I) ~ ^E in folgenden Formen schreiben:
Dabei ist ~ k ~ k die Dyade:
~ k ~ k ; k 2 I+ ! 2
c 2 I+i! 0 !
~ k ~ k =
~ k ~ k ; k 2 I+ ! 2
c 2 !
0
B
@
kxkx kxky kxkz
kykx kyky kykz
kzkx kzky kzkz
~ ^E = 0
~ ^E = 0 : (5.21)
1
C
A : (5.22)
Die Gleichungen (5.21) stellen ein homogenes lineares Gleichungssystem fur den elektrischen
Feldvektor dar:
0
B
@
kxkx ; k2 + !2
c2 xx kxky + !2
c2 xy kxkz + !2
c2 xz
kykx + !2
c2 yx kyky ; k2 + !2
c2 yy kykz + !2
c2 yz
kzkx + !2
c2 zx kzky + !2
c2 zy kzkz ; k2 + !2
c
2 zz
1 0
C
B
A
B
@
^Ex
^Ey
^Ez
1
C
A =0� (5.23)
das nur dann nichttriviale Losungen besitzt, wenn die Determinante der Matrix verschwindet.
Diese Determinantenbedingung liefert einen impliziten Zusammenhang zwischen Frequenz
und Wellenvektor, den wir die Dispersionsrelation nennen:
0=D(!� ~ k)=det ~ k ~ k ; k 2 I+ !2
c 2 ! : (5.24)
Die Funktion D(!� ~ k)=0kann oft auch in die explizite Form !( ~ k) gebrachtwerden. In der
Regel treten dabei mehrere Zweige auf. Auch diese explizite Form des Zusammenhanges
zwischen Frequenz und Wellenvektor bezeichnet man als Dispersionsrelation.

5.2. ELEKTRONENWELLEN 133
5.2 Elektronenwellen
In diesem Abschnitt werden wir den Wechselstrom der Ionen vernachlassigen, da wir
uns fur sehr hochfrequente Wellen interessieren, denen die Ionen infolge der wesentlich
gro eren Tragheit nicht folgen konnen. Dieses sieht man leicht ein,wenn man die Newtongleichung
betrachtet:
m d~v
dt = q~ ^ E exp[i( ~ k ~r ; !t)] � (5.25)
in der bei einer Frequenz ! der Teilchenwechselstrom den Wert
~ ^| = nq ~
ne
^v = i 2
~ ^E (5.26)
!m
annimmt, der eben fur Ionen um das Massenverhaltnis me=mi kleiner ist als der Elektronenwechselstrom.
Somit wirken die Ionen bei hohen Frequenzen nur wie ein unbewegter
neutralisierender Ladungshintergrund.
5.2.1 Elektromagnetische Wellen
Als erstes Beispiel wollen wir die elektromagnetischen Wellen in einem unmagnetisierten
Plasma studieren. Hierzu legen wir den Wellenausbreitungsvektor ~ k =(kx� 0� 0) in
x-Richtung. Da gema (5.26) Stromdichtevektor und elektrische Feldstarke zueinander
parallel sind, hat der Leitfahigkeitstensor nur drei identische Diagonalelemente :
xx = yy = zz = i ne2
!m
und der Dielektrizitatstensor nach (5.12) nur die Komponenten:
xx = yy = zz =1+ i
! 0
Hierin ist !p die Elektronenplasmafrequenz:
!p =
ne 2
0me
! 1=2
(5.27)
yy =1; !2 p
! 2 : (5.28)
: (5.29)
Unter Beachtung, da kxkx ; k2 =0undky = kz =0fur die hier gewahlte Geometrie
lautet die Wellengleichung (5.23) dann:
0
B
@
! 2
c2 (1 ; !2 p
! 2 ) 0 0
0 ;k2 + !2
c2 (1 ; !2 p
! 2 ) 0
0 0 ;k2 + !2
c2 (1 ; !2 p
! 2 )
1
C
A
0
B
@
^Ex
^Ey
^Ez
1
C
A =0: (5.30)
Das Problem besitzt o enbar eine Zylindersymmetrie umdiex-Achse, die sich inder
Gleichberechtigugn der y- und z-Richtung au ert. Wir unterscheiden daher drei Falle:

134 KAPITEL 5. WELLEN UND INSTABILITATEN IN PLASMEN
1. ^ Ex 6= 0 aber ^ Ey = ^ Ez =0,d.h.longitudinale Wellen
2a. Ex = 0 aber Ey 6= 0, d.h. transversale Wellen
2b. Ex = 0 aber Ez 6= 0
O ensichtlich sind die Transversalwellen entsprechend zweier moglicher Polarisationsrichtungen
(in y- und z-Richtung) zweifach entartet. Den Fall der longitudinalen Wellen
diskutieren wir in Abschnitt 5.2.3. Hier wollen wir rein elektromagnetische Wellen, d.h.
transversale Wellen diskutieren. Daher setzen wir Ex = 0 und behalten nur die mittlere
Zeile des linearen Gleichungssystems (5.30):
oder, da ^Ey 6= 0:
(;k 2 +(! 2 ; ! 2
p)=c 2 ) ^Ey =0 (5.31)
! 2 = ! 2
p + k 2 c 2
(5.32)
(Gleiches folgt auch aus der letzten Zeile von (5.30)). Dieses ist die explizite Form der Dispersionsrelation
fur elektromagnetische Wellen in Plasmen (vgl. Abb. 5.2). Wellenausbreitung
Abbildung 5.2: Dispersionsrelation elektromagnetischer Wellen im unmagnetisierten Plasma.
Wellenausbreitung ist nur oberhalb der Plasmafrequenz moglich. Fur ! !p nahert
sich die Dispersion der Vakuumwelle ! = kc an.
ndet nur statt, wenn !>!p. Im Grenzfall sehr gro er Frequenzen gilt ! ! kc, d.h. freie

5.2. ELEKTRONENWELLEN 135
elektromagnetische Wellen im Vakuum. Hier wird die Elektronentragheit aufgrund der hohen
Frequenz so gro , da keinerlei Teilchenstrome in den Maxwellgleichungen auftauchen.
Elektromagnetische Wellen im unmagnetisierten Plasma haben eine Phasengeschwindigkeit,
die gro er ist als die Lichtgeschwindigkeit. Ihre Gruppengeschwindigkeit ist jedoch
kleiner als die Lichtgeschwindigkeit� daher verletzen sie nicht die Kausalitat.
5.2.2 Interferometrie mit Mikrowellen und Lasern
Die dielektrischen Eigenschaften des unmagnetisierten Plasmas sind durch die Dielektrizitatskonstante
=1; ! 2
p =!2 (5.33)
gegeben, die von der Elektronendichte abhangt. Der Brechungsindex N des Plasmas fur
transversale elektromagnetische Wellen ist wegen (5.32):
N 2 = c2
v 2 '
= k2c2 ! 2 = : (5.34)
Damit wird N =0bei! = !p und imaginar fur kleinere Frequenzen. Somit wird eine elektromagnetische
Welle re ektiert, wenn ihre Frequenz kleiner ist als die Plasmafrequenz.
Dies ist der Grund, warum die Silberschicht eines Spiegels sichtbares Licht re ektiert, im
UV-bereich aberdurchsichtig ist.
Die Elektronendichte, fur die !p = ! erfullt ist, nennt man den Cut-o -Punkt. In einem
inhomogenen Plasma, bei dem die Dichte vom Rand zur Mitte ansteigt, stellt dieser
kritische Dichtewert den Ort der Wellenre ektion fur eine von au en eingestrahlte Welle
dar. Bei einem Laborplasma, dessen Elektronendichte hoher ist als die Cut-o -Dichte
tritt der Cut-o auch als zeitliches Phanomen auf: nach dem Einschalten der Entladung
steigt die Elektronendichte zeitlichan.Wellentransmission ist moglich, solange die Dichte
noch kleiner als die Cut-o -Dichte ist, oder sobald nach dem Abschalten der Entladung
die Cut-o -Dichte wieder unterschritten wird. Solche einfachen Transmissionsmessungen
ergeben bereits eine grobe Dichtebestimmung, insbesondere wenn mehrere Wellenfrequenzen
(typisch imMikrowellenbereich) verwendet werden.
Eleganter ist es allerdings, den Brechungsindex des Plasmas mit einem Interferometer
zu messen. Dieses geschieht jenach Elektronendichte mit einem Mikrowellen- (Abb.
5.3) oder Laserinterferometer (Abb. 5.4)[71]. Die zugehorigen Cut-o -Dichten, d.h. die
Dichtewerte, fur die !p = ! wird, sind in der Tabelle 5.1 zusammengestellt.
Die Interferometrie betreibt man, indem man z.B. die Phasenanderung wahrend des
Ausschaltens des Plasmas beobachtet. Dann hat sich die optische Weglange innerhalb
des Plasmagefa es von N L auf den geometrischen Weg L geandert. Dies ergibt bei einer
Wellenlange eine Phasenverschiebung:
' =2 (N;1)L : (5.35)

136 KAPITEL 5. WELLEN UND INSTABILITATEN IN PLASMEN
Tabelle 5.1: Cut-o Dichten fur Mikrowellen- und Laserinterferometer.
Quelle Wellenlange Frequenz Cut-o -Dichte
f nco(m ;3 )
Mikrowelle 3cm 10 GHz 1� 2 10 18
8mm 37 GHz 1� 7 10 19
4mm 75 GHz 7� 0 10 19
HCN-Laser 337 m 890 GHz 9� 8 10 21
CO2 Laser 10,6 m 28 THz 9� 7 10 24
He-Ne Laser 3,39 m 88 THz 9� 6 10 25
0,633 m 474 THz 2� 8 10 27
Der Brechungsindex kann fur Dichtewerte, die nicht zudicht an der Cut-o -Dichte liegen,
in eine Taylorreihe entwickelt werden:
wobei die Cut-o -Dichte de niert ist als:
Damit wird die Phasenverschiebung:
N = q 1 ; ! 2 p=! 2 1 ; 1 !
2
2
p
! 2 =1; 1 n
2
nco =
;
0me! 2
e 2
L n
nco
nco
� (5.36)
(5.37)
: (5.38)
Da die Cut-o -Dichte proportional zu ;2 ist, wachst die Phasenverschiebung proportional
zur Wellenlange der verwendeten Welle und nicht reziprok, wie die Formel bei
uchtiger Betrachtung suggeriert. Bei kleinen Elektronendichten sind also langwellige Laser
oder Mikrowellen erforderlich.
Ein Beispiel fur eine interferometrische Messung mit einem Aufbau wie in Abb. 5.4
zeigt Abb. 5.5(a), die mit einem 8mm Mikrowellen-Interferometer an einer gepulsten Gasentladung
gewonnen wurde. Beim Anstieg der Dichte ist die Nachweiselektronik nicht
in der Lage, den schnellen Anderungen der Interferenz zu folgen. Nach dem Ende des
Strompulses klingt die Plasmadichte ab und das zeitliche Interferogramm zeigt zunachst,
wie die Welle den Cut-o verla t und dann mehrere Oszillationen bis zur Annahme einer
Grenzphase vollfuhrt. Die starke Amplitudenabnahme bei Annaherung an den Cut-o
liegt an der zunehmenden Re ektivitat des Plasmas. Die zugehorige Dichteauswertung
mit der vollstandigen Formel (5.35) fur die Phasenverschiebung zeigt Abb. 5.5(b)
Zuletzt wollen wir einige praktische Aspekte diskutieren:

5.2. ELEKTRONENWELLEN 137
Abbildung 5.3: (a) Mikrowelleninterferometer in Mach-Zehnder-Anordnung. (b) Der
analoge optische Aufbau. Vollre ektierende und teilre ektierende Spiegel sind durch die
Mikrowellenbauelemente Krummer und Richtkoppler ersetzt.
a Die untere Me grenze dieser Verfahren ist dann gegeben, wenn die Wellenlange mit
den Plasmaabmessungen vergleichbar wird, so da die Naherung der geometrischen
Optik verletzt wird. Daher ist die 10 GHz Mikrowelle die langste gebrauchliche
Wellenlange.
b Eine andere praktische Grenze liegt oft beim Nachweis der Phasenverschiebung.
Wenn der Detektor nur zum Abzahlen von Interferenzmaxima und -minima eingesetzt
wird, liegt die Nachweisgrenze ca. bei ' = =4, da die Amplitude benachbarter
Extrema aus den genannten Grunden nicht konstant sein mu . Die Abzahlung
von Interferenzstreifen hat also nur einen dynamischen Dichteme bereich von typisch
1:40, wenn man die obere Grenze bei 5 Interferenzstreifen bis zur Erreichung
des Cut-o abschatzt. Daher setzt man zur Me bereichserweiterung oft mehrere
Wellenlangen zur Interferometrie ein.
c Die Zweiwellenlangeninterferometrie benutzt simultan zwei Laser mit unterschiedlicher
Wellenlange (Abb. 5.4), um den frequenzunabhangigen Beitrag, den das Neutralgas
zum Brechungsindex liefert, vom Plasmabeitrag zu trennen [72].

138 KAPITEL 5. WELLEN UND INSTABILITATEN IN PLASMEN
d Eine Steigerung der Phasenemp ndlichkeitumetwa eine Zehnerpotenz erreicht man
durch sog. Quadraturdetektion, bei dem zwei Referenzwellen herangezogen werden,
die zueinander um 90 o phasenverschoben sind. Dann la t sich das Signal als Zeigerdiagramm
darstellen und der Phasenwinkel als arctan(y2=y1) bestimmen. Technisch
realisiert man diese beiden Wellen durch eine zirkular polarisierte Welle, die
bekanntlich auszwei linear polarisierten mit zueinander senkrechten Polarisationsrichtungen
und 90 o Phasenverschiebung besteht. Die beiden Interferometersignale
konnen anhand ihrer unterschiedlichen Polarisation voneinander getrennt werden
(Abb. 5.6) [73].

5.2. ELEKTRONENWELLEN 139
Abbildung 5.4: Laserinterferometer in doppelter Michelson-Anordnung. Zwei He-Ne-
Laser auf den Wellenlangen 1.1 m und 633nm durchstrahlen das Plasma. Das linear
polarisierte Laserlicht wird durch eine =4-Platte zirkular polarisiert und ist nach zweitem
Durchgang um 90 o in der Polarisationsebene gedreht. Mit einem Glan-Thomson Prisma
kann das Interferenzsignal ausgekoppelt werden und eine Ruckkopplung in den Laser wird
vermieden.

140 KAPITEL 5. WELLEN UND INSTABILITATEN IN PLASMEN
(a)
(b)
Abbildung 5.5: (a) Interferogramm einer gepulsten Gasentladung, (b) Auswertung der
Elektronendichte im Afterglow.

5.2. ELEKTRONENWELLEN 141
Abbildung 5.6: Laserinterferometer mit Quadraturdetektion. Der Strahl eines Infrarotlasers
bei 3.39 m wird in ein Michelsoninterferometer gekoppelt, in dessen Me arm das
Plasma steht, das mit einem Z-formigen Strahlengang insgesamt sechsmal durchlaufen
wird. Im geknickten Referenzarm steht eine =8-Platte, die nach zweimaligem Durchlaufen
den linear polarisierten Strahl in zirkulare Polarisation umwandelt. Die beiden Anteile
der zirkularen Polarisation werden durch Totalre ektion unter dem Brewsterwinkel getrennt
und mit zwei unabhangigen Detektoren nachgewiesen.

142 KAPITEL 5. WELLEN UND INSTABILITATEN IN PLASMEN
5.2.3 Plasmaschwingungen
Au er elektromagnetischen Wellen konnen im Plasma longitudinale Plasmaschwingungen
auftreten. Dieses erhalten wir aus (5.30) fur den Sonderfall ^ Ex 6= 0� ^ Ey = ^ Ez = 0. Dann
wird die erste Zeile des Gleichungssystems:
und letztlich:
! 2
c 2 xx ^ Ex =0 (5.39)
xx =1; !2 p
! 2 =0: (5.40)
Dies ist eine Dispersionsrelation fur longitudinale Oszillationen. Die Besonderheit dieser
sog. Langmuiroszillationen liegt darin da alle Strukturen mit beliebigem kx bei
der Plasmafrequenz ! = !p oszillieren. Ihre Phasengeschwindigkeit hangt demnach vom
gewahlten kx ab, ihre Gruppengeschwindigkeit ist jedoch Null, da ! nichtvon kx abhangt.
Den Ein u der Gastemperatur auf die elektrostatischen Elektronenwellen werden wir
in Kapitel 6.1.3 im Rahmen der kinetischen Theorie diskutieren. Die Dispersion dieser
Wellen ist dann durch dieBohm-Gross-Dispersionsrelation (6.29) gegeben [74, 75]:
! 2 = ! 2
pe + 3
2 k2 v 2
th � (5.41)
die dazu fuhrt, da die Elektronenplasmaschwingungen als Wellen propagieren.
5.2.4 Strahl-Plasma-Instabilitat
Plasmaschwingungen konnen unter Nichtgleichgewichtsbedingungen von selbst angefacht
werden. Hierzu betrachten wir ein Plasma, das zwei Elektronengruppen enthalt:
1. Ruhende Elektronen der Dichte n (1)
0 =(1; )ne und Geschwindigkeit v (1)
0 =0
2. Bewegte Elektronen der Dichte n (2)
0 = ne und Geschwindigkeit v (2)
0
Wir suchen eine Analogie zur Besetzungsinversion in einem Lasermedium, d.h. die ruhenden
Elektronen entsprechen den Atomen im Grundzustand, die stromenden Elektronen
denen im angeregten Zustand.
Beide Elektronengruppen gehorchen der Newtongleichung (5.25), in der wir die totale
Zeitableitung nun in die explizite Anderung und die konvektive Anderung zerlegen.
Wir interessieren uns nur fur longitudinale Oszillationen, so da wir das Problem eindimensional
in x-Richtung formulieren konnen:
@v (`)
@t
+ v(`)@v(`)
@x
= ; e
m ^ E exp[i(kx; !t)] ` =1� 2 : (5.42)

5.2. ELEKTRONENWELLEN 143
Hier erkennt man nun, da die konvektive Ableitung eine Nichtlinearitat einfuhrt. Ebenso
ist das Produkt nv in der Kontinuitatsgleichung nichtlinear. Wir fuhren daher eine
Linearisierung in folgender Form durch:
v (`) = v (`)
0 + v (`)
1 (x� t)
n (`) = n (`)
0 + n (`)
1 (x� t) � (5.43)
wobei die Gro en mit Index 1 als klein gegenuber den Gro en mit Index 0 vorausgesetzt
werden. Das elektrische Feld der Welle ^ E = ^ E1 sehen wir ebenfalls als kleine Storgro e
an. Die Gro en n (`)
0 und v (`)
0 sollen orts- und zeitunabhangige Mittelwerte darstellen. Die
Storung v (`)
1
und n (`)
1
werden wir dagegen wieder als Wellen behandeln und durch ihre
Fourieramplituden ^v (`)
1 und ^n (`)
1 ersetzen. In Fourierdarstellung lautet dann die Gleichung
fur die stromende Elektronenpopulation:
; i!^v (`)
1 +(v (`)
0 +^v (`)
1 )ikx^v (`)
1 = ; e
m ^E1 : (5.44)
Wir vernachlassigen jetzt den Term v (`)
1 ikxv (`)
1 , der quadratisch indenStorgro en ist.
Dann erkennt man, da auf der linken Seite der linearisierten Gleichung die Dopplerverschobene
Wellenfrequenz ! 0 = ! ; kxv (`)
0 auftritt:
; i(! ; kxv (`)
0 )^v (`)
1 = ; e
m ^ E1 : (5.45)
Die ruhende Elektronenpopulation 'sieht' dagegen die unveranderte Wellenfrequenz !.
Dann konnen wir die Wechselstrombeitrage beider Populationen summieren:
^|1 = ;e X
`
n (`)
0 ^v (`)
1 + v (`)
0 ^n (`)
1 ) : (5.46)
Dabei treten longitudinale Geschwindigkeitsschwankungen und Dichteschwankungen auf.
Quadratische Anteile ^n (`)
1 ^v (`)
1 werden vernachlassigt. Die Dichteschwankung ^n (2)
1 erhalten
wir aus der Kontinuitatsgleichung in Fourierdarstellung:
; i!^n (2)
1 + v (2)
0 ikx^n (2)
1 + ikx^v (2)
1 n (2)
0 =0� (5.47)
in der wiederum Quadrate der Storgro en vernachlassigt sind. Damit wird der Gesamtwechselstrom:
2 nee 1 ;
^|1 = i
m ! +
!
!
^E1
(5.48)
und die Leitfahigkeit:
2 nee
xx = i
m
1 ;
! +
(! ; kxv (2)
0 ) 2
!
(! ; kxv (2)
0 ) 2
!
: (5.49)

144 KAPITEL 5. WELLEN UND INSTABILITATEN IN PLASMEN
Die Dispersionsrelation (5.24) lautet dann:
D(!�kx) = !2
c2 + i! 0 xx = !2
c2 1 ;
(1 ; )!2
p
! 2
Die Dielektrizitatskonstante des Plasmas ist dabei:
xx =1;
(1 ; )!2
p
! 2
;
;
! 2
p
(! ; kxv (2)
0 ) 2
! 2
p
(! ; kxv (2)
0 ) 2
!
=0: (5.50)
: (5.51)
Wir konnen also durch Vergleich mit (5.40) folgende Interpretation durchfuhren: Die '1'
in der Dielektrizitatskonstanten stellt den normierten Vakuumverschiebungsstrom dar,
der zweite Summand ist der normierte Teilchenwechselstrom der ruhenden Elektronenpopulation
mit einer Dichte / (1 ; )! 2
p, derdieFrequenz im Laborsystem 'sieht'. Der
dritte Summand hat die Dichte / ! 2
p der bewegten Elektronenpopulation und enthalt
die Dopplerverschobene Wellenfrequenz, die die stromenden Elektronen erfahren.
Die Losung der Dispersionsrelation (5.50) ist in Abb. 5.7 dargestellt. Es gibt eine
'schnelle Raumladungswelle', deren Phasengeschwindigkeit gro er als v (2)
0 ist. Sie nahert
sich von ! = !p mit wachsendem kx an die konvektierten Dichtestorungen im Elektro-
nenstrahl ! = kxv (2)
0 an. Fur kx < kx�crit treten Losungen mit konjugiert komplexen
Wellenfrequenzen ! = !r i auf, deren Phasengeschwindigkeit !r=kx

5.2. ELEKTRONENWELLEN 145
Abbildung 5.7: Dispersionszweige bei der Strahl-Plasma-Instabilitat fur =0� 01.
Die reelle positive Losung entspricht dabei der schnellen Raumladungswelle, die beiden
konjugiert komplexen Losungen:
!2�3 = ; 1
2
i 1p
3
2
2
1=3
!p
(5.54)
reprasentieren die langsame Raumladungswelle (Re( !) < 0). Die Anwachsrate ist dann:
= 1p
3
2 2
1=3
!p : (5.55)
Wegen der dritten Wurzel aus erzeugt ein Elektronenstrahl von nur 0:002 Konzentration
bereits eine Anwachsrate von ca. 1/10 der Plasmafrequenz.

146 KAPITEL 5. WELLEN UND INSTABILITATEN IN PLASMEN
5.3 Ionenakustische Wellen
In einem (unmagnetisierten) Plasma konnen niederfrequente schallartige Wellen auftreten,
da es die Eigenschaften des Gasdrucks (vornehmlich der Elektronen) und der Massentragheit
(vornehmlich der Ionen) besitzt. Anstelle der Zusammensto e der Molekule,
die bei gewohnliche Schallwellen in Gasen die Wellenausbreitung vermitteln, tritt die
elektrostatische Anziehung bzw. Absto ung der Plasmateilchen.
Unsere Aufgabe ist es wiederum, den Teilchenwechselstrom der beiden Plasmakonstituenten
fur ein gegebenes elektrisches Wechselfeld zu berechnen und in die Dispersionsrelation
(5.24) einzusetzen. Die Ionen nehmen wir als kalt an rp (i) = 0, aber bei den Elektronen
lassen wir Druckkrafte zu. Wegen der niedrigen Wellenfrequenzen vernachlassigen wir
die Tragheitskrafte der Elektronen gegenuber den Druckkraften. Als Bewegungsgleichung
nehmen wir die Impulstransportgleichungen (4.31) der 2-Flussigkeitstheorie:
(i)
m
" @~u (i)
@t +(~u(i) r)~u (i)
#
= (i)
e ~ E
0 = (e)
e ~E ;rp (e) : (5.56)
Die mittlere Geschwindigkeit hei e hier wieder ~u im Unterschied zur Individualgeschwindigkeit
~v. Die konvektiven Anderungen fuhren fur Oszillationen in ruhenden Flussigkeiten
nur zu Storgro en zweiter Ordnung (vgl. die Diskussion bei Elektronenstrahlen in 5.2.4)
und werden hier vernachlassigt. Dann vereinfachen sich die beiden Impulstransportgleichungen
zu folgenden 'aquivalenten Newtongleichungen', die wir wegen der Parallelitat
von Oszillationsgeschwindigkeit und elektrischem Feld eindimensional formulieren:
@u (i)
@t
= e
E1
mi
0 = ;eE1 ; 1 @p
n
(e)
@x
: (5.57)
Wir gewinnen den Elektronendruck aus der Zustandsgleichung der Elektronen, die wir
als ideales Gas behandeln:
@p (e)
!
@n
= kB Te + n@Te : (5.58)
@x @x @x
Wir wollen im folgenden den Temperaturgradienten vernachlassigen. Diese Annahme
konnen wir im Nachhinein rechtfertigen, da die thermische Geschwindigkeit der Elektronen
sehr viel gro er als die Phasengeschwindigkeit der Welle sein wird. Wahrend einer
Periode der Welle bewegen sich die Elektronen daher uber viele Wellenlangen, so da ein
standiger Teilchenaustausch zwischen Wellenbergen und -talern statt ndet, der Temperaturschwankungen
ausgleicht.

5.3. IONENAKUSTISCHE WELLEN 147
Wir konnen an dieser Stelle ein fur andere Betrachtungen nutzliches Nebenresultat
gewinnen: Aus (5.57) und (5.58) folgt durch Integration die Boltzmannrelation:
0 = ;eE1 ; kBTe @n
n @x
1 @n
n @x
=
eE1
;
kBTe
n = n0 exp
e
� (5.59)
kBTe
in der E1 = ;@ =@x benutzt wurde. Obwohl die Boltzmannrelation (5.59) streng nur im
thermodynamischen Gleichgewicht gilt, kann sie fur das Elektronengas immer dann naherungsweise
eingesetzt werden, wenn die Tragheitse ekte der Elektronen vernachlassigbar
sind und die Elektronen aufgrund ihrer hohen Geschwindigkeit ein egalisierendes Warmebad
fur den Proze bilden.
Hier nehmen wir aber die Rechnung wieder anhand (5.58) auf. Zur Berechnung der
Teilchenwechselstrome linearisieren wir die Teilchendichte: n = n0 + n1 und gehen mit
einem Wellenansatz analog zu (5.7) zur Fourierdarstellung uber:
^u (i)
1 = ;i e
mi! ^ E1
0 = ; e
me
^E1 ; kBTe
me
ik 2
! ^u(e)
1 � (5.60)
wobei wir die Kontinuitatsgleichung ;i!^n1 + ikn0^u1 = 0 zur Ersetzung von ^n (e)
1
^u (e)
1 benutzt haben. Einsetzen in die Dispersionsrelation (5.50) ergibt:
! 2
c2 + i! 0 = !2 !2 pi
; 2 c c
!
+ 2 2
pe
kBTe=me
durch
! 2
k2 =0� (5.61)
2 c
worin !pi = q ne 2 = 0mi die Ionenplasmafrequenz und !pe = q ne 2 = 0me die Elektronenplasmafrequenz
ist. Hieraus ergibt sich die Dispersionsrelation in der Form:
! =
!pikCs
k 2 C 2 s + ! 2
pi
1=2 mit C 2
s
= kBTe
mi
deren Verlauf in Abb. 5.8 dargestellt ist. Fur kurze Wellenlangen k2C 2
s
Schwingungen bei der Ionenplasmafrequenz statt. Fur lange Wellen k2C 2
s
� (5.62)
! 2
pi nden
! 2
pi gilt:
! ! kCs � (5.63)
d.h. die Welle bekommt eineschallartige Dispersion mit der Ionenschallgeschwindigkeit
Cs. ImVergleich zur gewohnlichen Schallgeschwindigkeit in Gasen:
c 2
s = kBTg
mg
(5.64)

148 KAPITEL 5. WELLEN UND INSTABILITATEN IN PLASMEN
Abbildung 5.8: Dispersionsverhalten der ionenakustischen Wellen.
wird hier der Adiabatenexponent durch = 1 ersetzt wegen des angenommenen isothermen
Verhaltens der Elektronen (ideale Gasgleichung statt Adiabatengleichung). Der
Gasdruck wird bei der ionenakustischen Welle durch die Elektronen bewirkt, wahrend die
Ionen die Tragheit liefern.

5.4. MAGNETISIERTE PLASMEN 149
5.4 Magnetisierte Plasmen
Hier betrachten wir nur den Ein u des Magnetfeldes auf die Wellenausbreitung in ruhenden
kalten Plasmen, so da wir das Einzelteilchenbild benutzen durfen. Ausgangspunkt
ist dann die Newtongleichung in der Form:
@~v (j)
@t
= qj
mj
~E1 + ~v (j) ~ B0 j = e� i : (5.65)
Hier soll ~v (j) eine kleine Oszillationsgeschwindigkeit, ~E1 das elektrische Feld der Welle
und ~B0 =(0� 0�B0) das statische Magnetfeld sein. Der Index 1 beim elektrischen Feld
bezeichnet diese Gro e als von erster Ordnung der Storungsrechnung. Quadratische Terme
~v (j) ~ B1, die das Wellenmagnetfeld enthalten, haben wir bereits vernachlassigt. Wir
betrachten nur die Bewegung senkrecht zum Magnetfeld, die fur eine Welle
/ exp[i( ~ k ~r ; !t)] zu den Gleichungen fuhrt:
^v (j)
x
= i q
!m ( ^Ex +^v (j)
y B0)
^v (j)
y = i q
!m ( ^Ey ; ^v (j)
x B0) : (5.66)
Zur Beschreibung der Gyrationsbewegung fuhren wir eine rotierende Geschwindigkeit und
ein rotierendes elektrisches Feld ein:
Dadurch gelingt die Entkopplung in (5.66):
^v = ^vx i^vy
^E = ^ Ex i ^ Ey : (5.67)
^v = i q
!m ( ^ E i^v B0) : (5.68)
Wir fuhren (wie oben in (3.4) die Zyklotronfrequenz der Elektronen und Ionen ein durch:
Dann wird:
!cj = jqjjB0
^v = i q
m ^ E
mj
1
! sj!cj
: (5.69)
: (5.70)
Dabei ist sj = qj=jqjj das Vorzeichen der Ladung. Die Rucktransformation auf kartesische
Koordinaten:
^v (j)
x
= 1
2 (^v+ +^v ; )
^v (j)
y = 1
2i (^v+ ; ^v ; ) (5.71)

150 KAPITEL 5. WELLEN UND INSTABILITATEN IN PLASMEN
ergibt in Matrixschreibweise:
0
B
@
^v (j)
x
^v (j)
y
^v (j)
z
1
C
A = i q
!m
0
B
@
! 2
! 2 ; ! 2 i
cj
sj!!cj
! 2 ; ! 2 0
cj
! 2 ; ! 2 !
cj
2
! 2 ; ! 2 0
cj
0 0 1
;i sj!!cj
1
C
A
0
B
@
^Ex
^Ey
^Ez
1
C
A
� (5.72)
wobei wir fur die letzte Zeile der Matrix das Ergebnis fur das unmagnetisierte Plasma
benutzt haben. Hieraus gewinnt man mit der De nition des Wechselstroms ~ ^| = P
njqj ~ ^v (j)
den Leitfahigkeitstensor:
= i! 0
0
B
B
@
;i P
j
P
j
sj
! 2
pj
! 2 ; ! 2 cj
! 2
pj
! 2 ; ! 2 cj
!cj
!
i P
j
sj
P
0 0
j
! 2
pj
! 2 ; ! 2 cj
! 2
pj
! 2 ; ! 2 cj
Mit (5.12) erhalten wir ebenso den Dielektrizitatstensor:
=
0
B
@
S ;iD 0
iD S 0
0 0 P
in dem die von Stix [69, 70] eingefuhrten Parameter auftreten:
S = 1 ; X
D = X
j
sj
P = 1 ; X
j
j
! 2
pj
! 2 ; ! 2
cj
! 2
pj
! 2 ; ! 2 cj
!cj
!
P
j
0
0
! 2
pj
! 2
1
C
C
A
j
: (5.73)
1
C
A � (5.74)
!cj
!
! 2
pj
! 2 : (5.75)
Mit der De nition des Brechungsindes N = kc=! und fur einen Winkel zwischen Wellenvektor
und Magnetfeldrichtung schreibt sich dieWellengleichung (5.21):
0
B
@
S ;N 2 cos 2 ;iD N 2 cos sin
iD S ;N 2 0
N 2 cos sin 0 P ;N 2 sin 2
1
C
A
0
B
@
^Ex
^Ey
^Ez
1
C
A =0: (5.76)
Dabei haben wir o.B.d.A. den Wellenvektor in die x-z-Ebene gelegt ~ k =(k sin �0�kcos ).

5.4. MAGNETISIERTE PLASMEN 151
Abbildung 5.9: Umlaufsinn der R- und L-Welle im Vergleich zur Gyration der Elektronen
und Ionen.
5.4.1 Zyklotronresonanzen
Die Wellenausbreitung langs des Magnetfeldes ( = 0) wird durch die Wellengleichung in
der Form: 0
B
@
S ;N 2 ;iD 0
iD S ;N 2 0
0 0 P
beschrieben. Wir betrachten zwei Falle:
1 0
C B
A B
@
^Ex
^Ey
^Ez
1
C
A =0 (5.77)
1. ^ Ex = ^ Ey = 0 und ^ Ez 6= 0. Dies ist eine longitudinal polarisierte Welle, die durch
die Dispersionsrelation P =1; (! 2
pe + ! 2
pi)=! 2 = 0beschrieben wird. Dies sind
genau die gleichen Plasmaoszillationen, die wir schon im unmagnetisierten Plasma
kennengelernt haben (5.2.3). Der Ein u des Magnetfeldes verschwindet, da die
Oszillationsgeschwindigkeit der Ladungstrager parallel zum Magnetfeld orientiert
ist und daher die Lorentzkraft Null ist.
2. ^Ex 6= 06= ^Ey und ^Ez = 0. Dies sind transversale Wellen, die durch ein 2 2
Gleichungssytem beschrieben werden:

152 KAPITEL 5. WELLEN UND INSTABILITATEN IN PLASMEN
S ;N 2 ;iD
;iD S ;N 2
! ^Ex
^Ey
!
=0: (5.78)
Fuhrt man wiederum den rotierenden Feldvektor ^E (5.67) ein | dieses entspricht zirkularer
Polarisation der Welle | werden die (linear abhangigen) Gleichungen entkoppelt:
(S ; D ;N 2 ) ^ E + +(S + D ;N 2 ) ^ E ; =0: (5.79)
Wenn ^E + 6= 0 und ^E ; = 0 liegt eine linkszirkulare Welle (L-Welle) vor mit dem Brechungsindex
NL = p S ; D. Imumgekehrten Fall ^ E + =0und ^ E ; 6= 0 ist die Welle
rechtszirkular polarisiert (R-Welle) und der Brechungsindex ist NR = p S + D. Setzt man
fur die Stix-Parameter S und D die De nitionen ein, so erhalt man:
NR =
NL =
1 ;
1 ;
! 2
pe
!(! ; !ce) ;
! 2
pe
!(! + !ce) ;
! 2
pi
!(! + !ci)
! 2
pi
!(! ; !ci)
! 1=2
! 1=2
: (5.80)
Fur ! = !ce geht der Brechungsindex der R-Welle NR !1, d.h. die R-Welle hat eine
Resonanz bei der Elektronenzyklotronfrequenz. Diese Resonanz wird sofort verstandlich,
wenn man den gleichartigen Drehsinn der Welle und der Elektronen um das Magnetfeld
betrachtet (Abb. 5.9) und berucksichtigt, da bei der Zyklotronfrequenz das umlaufende
Elektron in seinem Bezugssystem stets ein Gleichfeld 'sieht'. Dieselbe Uberlegung liefert
die Ionenzyklotronresonanz der L-Welle.
Die Elektronenzyklotronresonanz wird technisch zur Plasmaerzeugung mittels Mikrowellen
benutzt. Fur die Frequenz f = 2,45 GHz ist die zugehorige magnetische Flu dichte
B = 0,088 T. Derartige Magnetfelder lassen sich auchmitPermanentmagneten erzeugen,
so da eine solche technische Plasmaquelle sehr wirtschaftlich betrieben werden kann.
Elektronenzyklotonheizung in einem Stellarator erfordert wegen der typischen Magnetfelder
B = 10 T Mikrowellen von f=280 GHz, d.h. ca. 1 mm Wellenlange. Diese werden mit
Hochstleistungsgeneratoren vom Typ Gyrotron erzeugt.
Der unterschiedliche Brechungsindex fur die R- und L-Welle fuhrt dazu, da die Polarisationsebene
einer ebenen Welle durch das Plasma gedreht wird(Faraday-E ekt).
Man kann diese Polarisationsdrehung (bei Kenntnis der Dichteverteilung, z.B. mit Hilfe
der Interferometrie) zur Messung der (longitudinalen) Magnetfeldkomponente benutzen
[76]. Dieses ist eine nutzliche Diagnostik zur Bestimmung der poloidalen Magnetfeldkomponente
im Inneren eines Tokamaks und liefert Aufschlu uber die radiale Stromverteilung
(Abb. 5.10).
Der Verlauf des Brechungsindex der R-Welle und L-Welle ist in Abb. 5.11 als Funktion
der Frequenz dargestellt.

5.4. MAGNETISIERTE PLASMEN 153
Abbildung 5.10: Kombination aus Vielstrahlinterferometrie und Messung der Faradaydrehung
durch den Poloidalanteil des Magnetfeldes im Tokamak TEXTOR. Fur die Interferometrie
wird eine Mach-Zehnder-Anordnung benutzt. Ein rotierendes Gitter erzeugt
eine um 10 kHz dopplerverschobene Referenzwelle, so da die Infrarotdetektoren, die keine
Gleichsignale verarbeiten konnen, ein moduliertes Wechselspannungssignal liefern. Der
Detektor DP liefert ein der Faradaydrehung proportionales Signal, DI das Interferometersignal.
Detektor DR mi t die Laserleistung und liefert die Phasenreferenz fur die 10 KHz
Wechselspannung.
5.4.2 Hybridresonanzen
Hier betrachten wir die Wellenausbreitung senkrecht zum Magnetfeld ( = =2). Fur den
elektrischen Feldvektor gibt es zwei Moglichkeiten:
1. Polarisation parallel zum Magnetfeld ( ~E =(0� 0�Ez)). Dann ist auch die Oszillationsgeschwindigkeit
parallel zu ~ B und die Lorentzkraft ~v (j) ~ B verschwindet. Diese
Wellen breiten sichauswieimFalle des unmagnetisierten Plasmas. Man nennt diese
Welle die ordentliche oder O-Welle. Diesen Fall mussen wir nicht gesondert behandeln.
Dieser Wellentyp wird zur Interferometrie in magnetisierten Plasmen benutzt.

154 KAPITEL 5. WELLEN UND INSTABILITATEN IN PLASMEN
Abbildung 5.11: Das Quadrat des Brechungsindex der R- und L-Welle als Funktion der
normierten Frequenz. Die R-Welle fur !!ce vernachlassigen wir die Ionenbeitrage, so da S 1 ; ! 2
pe =(!2 ; ! 2
ce

5.4. MAGNETISIERTE PLASMEN 155
Abbildung 5.12: Das Quadrat des Brechungsindex der X- und O-Welle als Funktion der
normierten Frequenz. Die Elektronenplasmafrequenz ist gro er als die -zyklotronfrequenz.
Massenverhaltnis Elektron zu Ion = 0,4 .
Folglich ist die Nullstelle von S bei der oberen Hybridfrequenz:
Fur mittlere Frequenzen ! 2 ! 2
ce wird:
!oh =(! 2
ce + ! 2
pe) 1=2 : (5.83)
S 1+ !2
pe
! 2 ce
; !2
pi
! 2 ; ! 2
ci
und es existiert eine weitere Nullstelle bei der unteren Hybridfrequenz:
Im Grenzfall hoher Dichte ! 2
pe
!uh =
! 2
ci + !2
pi! 2
ce
! 2 pe + ! 2 ! 1=2
ce
(5.84)
: (5.85)
! 2
ce nimmt sie den Grenzwert !uh ! (!ci!ce) 1=2 an.

156 KAPITEL 5. WELLEN UND INSTABILITATEN IN PLASMEN
Der Verlauf des Brechungsindex der O-Welle und X-Welle ist in Abb. 5.12 als Funktion
der Frequenz dargestellt. Die X-mode hat Resonanzstellen mit Vorzeichenwechsel von N 2
bei den Hybridresonanzen. Die O-mode besitzt einen Cut-o bei !pe.Fur hohe Frequenzen
streben beide Brechungsindizes gegen 1. Fur das dort gewahlte Beispiel mit !pe=!ce = p 2
ist !oh=!ce = p 3. Mit me=mi =0:4 wird der Grenzwert fur die untere Hybridresonanz
!uh=!ce ! 0:63 recht gut angenommen.

5.5. NICHTLINEARE WELLENEFFEKTE (*) 157
5.5 Nichtlineare Wellene ekte (*)
Unsere bisherigen Betrachtungen waren einzig auf die linearen Eigenschaften des Plasmas
gerichtet, die dem Medium dielektrische Eigenschaften verleihen. Die lineare Naherung
wird fragwurdig, wenn in das Plasma Wellen gro er Amplitude eingestrahlt werden, z.B.
intensive Laserstrahlung. Diesen Fall werden wir in diesem Kapitel naher diskutieren.
Im Zusammenhang mit der Strahl-Plasma-Instabilitat drangt sich naturlich die Frage
auf, in welcher Form nichtlineare E ekte z.B. den exponentiellen Wachstumsproze
letztlich begrenzen. Den dabei auftretenden Einfang von Teilchen in das Wellenpotential
(trapping) werden wir im Abschnitt 6.2 mit Methoden der Teilchensimulation diskutieren.
5.5.1 Die ponderomotive Kraft
Eine hochfrequente elektromagnetische Welle ubt einen Strahlungsdruck auf geladene Teilchen
aus. Dieser E ekt kann durch Losung der Bewegungsgleichung eines Elektrons im
Wellenfeld beschrieben werden:
m~x = q h ~ E(~x� t)+ _ ~x ~ B(~x� t) i � (5.86)
wobei diese Gleichung noch exakt ist, wenn das Wellenfeld am jeweiligen Ort des Teilchens
verwendet wird. Wir wollen dieses Problem nun durch eineStorungsrechnung bis zur
zweiten Ordnung behandeln. Die verschiedenen Ordnungen der Storterme bezeichnen wir
mit Indizes x = x0 + x1(t)+x2(t) und nehmen die Feldgro en als von erster Ordnung an:
~E = ~ E1 usw. Damit wird (5.86):
m(~x1 + ~x2) = q ~ E1(~x0 + ~x1�t)+ _ ~x1
~B1(~x0�t) (5.87)
= q ~E1(~x0�t)+(~x1 r) ~E1(~x0�t)+ _ ~x1 ~B1(~x0�t) : (5.88)
Man beachte, da beim elektrischen Feld noch die Variation des Ortes x1 in Form einer
Taylorentwicklung berucksichtigt wird, um die korrekte Kraftwirkung bis zur zweiten
Ordnung abzuschatzen, wahrend im Magnetfeldterm wegen des bereits kleinen Vorfaktors
_~x1 der Feldwert am ungestorten Teilchenort hinreichend ist.
Das Kraftgleichgewicht in erster Ordnung der Storungsrechnung ergibt:
m~x1 = q ~ E1(~x0) � (5.89)
woraus fur eine sinusformige Variation des Wellenfeldes ~ E1(~x� t) = ~ ^ E(~x) cos(!t) unmittelbar
durch Integration die gestorte Teilchenbahn folgt:
_~x1 = q ~ ^E(~x0)sin!t (5.90)
m!
~x1 = ; q
m! 2
~ ^E(~x0)cos(!t) : (5.91)

158 KAPITEL 5. WELLEN UND INSTABILITATEN IN PLASMEN
Fur die zweite Ordnung der Storungsrechnung bleibt dann :
m~x2 = q h (~x1 r) ~ E1(~x0�t)+ _ ~x1
~B1( ~x0�t) i : (5.92)
Es sind also zwei verschiedene Krafte, die in zweiter Ordnung wirksam werden, einerseits
das gegenuber dem Bezugsort ~x0 veranderte elektrische Feld und der Beitrag der Lorentzkraft,
den das Wellenmagnetfeld auf das Teilchen ausubt. Das Wellenmagnetfeld ergibt
sich nach dem Induktionsgestz aus dem elektrischen Feldanteil:
r ~ E1 = ; @ ~ B1
@t
Einsetzen von (5.91) und (5.94) in (5.92) ergibt:
(5.93)
~B1 = ; 1
! r ~ ^E sin !t : (5.94)
m~x2 = ; q2
m! 2 (~ ^E r) ~ ^E cos 2 (!t)+ ~ ^E (r ~ ^E) sin 2 !t ~x=~x0
: (5.95)
O ensichtlich ergeben beide Kraftanteile im Zeitmittel uber eine Periode nichtverschwindende
Beitrage. Mit hsin 2 i = hcos 2 i =1=2 und einfachen Vektormanipulationen 2 folgt die
mittlere Kraft auf das Elektron:
hm~x2i = ; 1 q
4
2
m! 2r ^ E 2 : (5.96)
Wenn wir die Kraft auf das einzelne Teilchen durch Multiplikation mit ne in eine Volumenkraft
umrechnen, erhalten wir die ponderomotive Kraft:
~Fp = ; !2
p
! 2 r h 0E 2 i
2
� (5.97)
wobei hE 2 i =(1=2) ^E 2 den Ubergang vom Spitzenwert zum E ektivwert des elektrischen
Feldes beinhaltet. 0hE 2 i=2 ist die mittlere Energiedichte des elektrischen Feldes oder in
anderer Sprechweise der Strahlungsdruck der ebenen Welle. Dieses Ergebnis hat folgende
Konsequenzen:
1. Die Kraftwirkung auf die Elektronen ist im Vergleich zu den Ionen um mi=me gro er.
2. Bei homogener Verteilung der Feldamplitude verschwindet die Nettokraft.
3. Der Gradient des Strahlungsdrucks treibt die Elektronen in Bereiche geringer Wellenintensitat.
2 ~ ^E ~
(r ^E) 1 = 2 r~ 2
E^
; ( ~ E^ ~
r) ^E

5.5. NICHTLINEARE WELLENEFFEKTE (*) 159
Ein intensiver Laserstrahl mit einem radial nach au en abfallenden Intensitatspro l
wird also die Elektronen e zient nach au en in Bereiche geringerer Intensitat drangen.
Naturlich werden die Ionen durch das sich aufbauende ambipolare Feld hinterhergezogen.
Die Abnahme der Elektronendichte im Bereich des Laserstrahls fuhrt dort zu einem
Anstieg des Brechungsindex. Dadurch wird der Laserstrahl wie mit einer Konvexlinse
gebundelt und es tritt Selbstfokussierung auf.
Im Falle von Hochstleistungslasern wird die Selbstfokussierung noch durch die relativistische
Massenzunahme der Elektronen verstarkt. Der Brechungsindex N = p =
(1 ; nee 2 = me 0) 1=2 reagiert namlich nicht nur auf die Abnahme der Elektronendichte ne
aufgrund der ponderomotiven Kraft, sondern auch auf die Zunahme der relativistischen
Masse me infolge der Beschleunigung im Laserfeld. O enbar verstarken sich beide E ekte
innerhalb des Laserstrahls.
5.5.2 Parametrischer Wellenzerfall
Das Ergebnis des vorigen Abschnittes beinhaltet, da eine Plasmawelle gro er Amplitude
lokal zu einer Veranderung der Elektronendichte fuhren kann. Dieses ist ein nichtresonanter
Proze , der nur durch die Intensitat der Welle bestimmt ist und wir haben die
dadurch resultierenden Krafte auf einer Zeitskala betrachtet, die gegenuber der hochfrequenten
Oszillation langsam ablauft.
Um die resonante Wechselwirkung einer hochfrequenten Welle mit anderen Wellen zu
studieren, stellen wir uns im folgenden vor, da eine ebene Elektronenschallwelle (mit Frequenz
!0 und Wellenzahl k0) gro er Amplitude durch das Plasma propagiert und durch
ihren Strahlungsdruck die Elektronendichte verandert. Diese Welle wird im Zusammenhang
mit parametrischen Verstarkern Pumpwelle genannt. Solange die Intensitatsverteilung
homogen ist, ist die Nettokraft Null und es passiert gar nichts. Da das System aber in
der Pumpwelle freie Energie besitzt, ist es nicht notwendigerweise stabil. Zur Analyse des
dynamischen Verhaltens mussen wir also eine Stabilitatsbetrachtung anstellen, indem wir
eine kleine harmonische Storung betrachten und untersuchen, ob diese zeitlichanwachsen
kann.
Eine niederfrequente Dichtestorung wird sich im Plasma als ionenakustische Welle
(!2 = k2Cs) ausbreiten. Diese raumlich periodische Dichtemodulation kann dann einen
Teil der einfallenden Welle zuruckstreuen. Die gestreute Welle bezeichnen wir mit (!2,k2).
Die Ruckstreuung ahnelt der Braggre ektion an einem Kristallgitter, allerdings mit dem
Unterschied, da sich hier das Gitter mit der Ionenschallgeschwindigkeit Cs bewegt. Einfallende
und re ektierte Welle bilden jedoch imbewegten Bezugssystem ein Schwebungsmuster,
dessen Hullkurve eine stehende Welle darstellt (Abb. 5.13).
Die re ektierte Welle hat eine durch den Dopplere ekt erniedrigte Frequenz !2 und
einen geanderten Wellenvektor k2. Imbewegten Bezugssystem erzeugt die Schwebung aus
einfallender und re ektierter Welle eine periodische Intensitatsverteilung, die einen Gradienten
des Strahlungsdrucks erzeugt und die Elektronen (und mittelbar die Ionen) aus Be-

160 KAPITEL 5. WELLEN UND INSTABILITATEN IN PLASMEN
reichen hoher in Bereiche niedriger Intensitat verdrangt. Damit wachst die Dichtestorung
an, die Amplitude der re ektierten Welle steigt und der Gradient des Strahlungsdrucks
wird ebenfalls gro er. An dieser sich schlie enden Kette aus Ursachen und Wirkungen erkennt
man, da der beschriebene Proze grundsatzlich dieTendenz zu instabilem Wachstum
beinhaltet. Dieser Typ von Instabilitat wird parametrische Instabilitat genannt, da
die niederfrequente Anderung der Elektronendichte in den Gleichungen der hochfrequenten
Wellen als raum-zeitlich modulierter Parameter auftaucht. Naturlich mu man noch
eine Reihe von Bedingungen an die beteiligten Wellen stellen, damit dieser Proze auch
e zient ist. Jedoch lernt man aus dieser grundsatzlichen Betrachtung, da man minimal
drei Wellen braucht, von denen zwei hochfrequent und eine niederfrequent seinmussen,
um das Prinzip der ponderomotiven Kraft zur Kopplung von Wellen und Dichtestorungen
verwenden zu konnen.
Abbildung 5.13: Die Uberlagerung von einfallender und an den periodischen Dichtestorungen
re ektierter Welle erzeugt im Bezugssystem der ionenakustischen Welle eine stationare
Hullkurve. Der Gradient des Strahlungsdrucks der beiden hochfrequenten Wellen
verdrangt die Elektronen aus dem Bereich hoher Wellenenergie und facht die ionenakustische
Welle weiter an.
Die erste dieser Bedingungen ist, da die beteiligten Wellen Normalmoden des Plasmas,
d.h. Losungen der Dispersionsrelation, sind. Der beschriebene Ruckkopplungsmechanis-

5.5. NICHTLINEARE WELLENEFFEKTE (*) 161
mus erfordert fur die Wellenlangen der beteiligten Wellen, da die raumliche Schwebungsperiode
der beiden hochfrequenten Wellen zu der Wellenlange der ionenakustischen Welle
pa t (s. Abb.(5.13). Dies ergibt die Auswahlregel fur die Wellenvektoren:
k0 ; k1 = k2
(5.98)
Weiterhin soll sich das Interferenzmuster aus einfallender und re ektierter Welle mit der
ionenakustischen Dichtestorung mitbewegen. Dies erfordert, da die Gruppengeschwindigkeit
der hochfrequenten Wellen gleich der Ionenschallgeschwindigkeit wird:
!0 ; !1
k0 ; k1
= Cs = !2
Daraus folgt dann, da auch die Wellenfrequenzen einer Auswahlregel genugt:
!0 ; !1 = !2
k2
(5.99)
(5.100)
Obwohl es sich bei den bisher diskutierten E ekten um nichtlineare aber klassische optische
Phanomene handelt, gibt es doch einen korrespondenzma igen Bezug zur Quantenmechanik,
indem man zu den Impulsen h ~ k und Energien ! der beteiligten Wellen ubergeht
und die Auswahlregeln zu Erhaltungssatzen umschreibt:
h ~ k0 = h ~ k1 +h ~ k2
h!0 = h!1 +h!2 (5.101)
In diesem ubertragenen Sinne kann man den Dreiwellenkopplungsproze als den Zerfall
der Pumpwelle (!0,k0) inzwei andere Wellen betrachten, beim Energie und Impuls erhalten
bleiben. Weiter gestutzt wird diese Interpretation durch einevon Manley und Rowe
[79] gefundene Beziehung zwischen den von den verschiedenen Wellen pro Zeiteinheit
ausgetauschten Energien:
W (!0)
+ W (!)
!0
! + W (!0 ; !)
!0 ; !
=0: (5.102)
Wenn man die Wellenenergie als Produkt aus Anzahl NQ der Quanten und Quantenenergie
h! ansieht, so beinhaltet (5.102), da aus NQ Quanten der Ausgangswelle genausoviele
Quanten fur jedes der Zerfallsprodukte entstehen.
Obwohl wir uns in obiger Diskussion zunachst auf die longitudinale Elektronenschallwellen
und ihre Wechselwirkung mit ebenfalls longitudinalen ionenakustischen Wellen beschrankt
haben, gibt es denselben Proze auch bei transversalen Wellen, da die Anfachung
der ionenakustischen Dichtestorung nur durch den Gradienten des Strahlungsdruckes erzeugt
wird.
Typische Falle von parametrischer Wellenwechselwirkung sind in Abb. 5.14 zusammengestellt.
Die moglichen Kopplungen, die energie- und impulserhaltend sind, werden

162 KAPITEL 5. WELLEN UND INSTABILITATEN IN PLASMEN
Abbildung 5.14: Dispersionszweige fur elektromagnetische Welle (EM), Elektronenplasmawelle
(EP) und ionenakustische Welle (IA). Die Parallelogrammkonstruktionen beschreiben
die Energie- und Impulserhaltung der beteiligten Wellen. (a) Parametrische Zerfallsinstabilitat
einer elektromagnetischen Welle in eine Elektronenplasmawelle und eine ionenakustische
Welle, (b) Zerfallsinstabilitat der Elektronenplasmawelle in eine vorwartslaufende
ionenakustische Welle und eine ruckgestreute Plasmawelle, (c) stimulierte Brillouin-
Ruckstreuung an einer ionenakustischen Welle, (d) Zwei-Plasmon Zerfallsinstabilitat.

5.5. NICHTLINEARE WELLENEFFEKTE (*) 163
durch die Parallelogrammkonstruktionen dargestellt. Die parabelformigen Dispersionskurven
stellen die elektromagnetische Welle und die warme elektrostatische Elektronenwelle
dar. Die ionenakustische Welle erscheint als Gerade bei kleinen Frequenzen.
Eine elektromagnetische Welle (5.14(a)) kann zerfallen in eine vorwarts laufende Elektronenwelle
und eine ruckwarts laufende ionenakustische Welle. Dieses ist die originare
parametrische Instabilitat, die bei Einstrahlung von Lasern in dichte Plasmen auftritt
(z.B. bei der Laserfusion). Die Umwandlung einer elektromagnetischen Welle in zwei
elektrostatische Wellen ist nur moglich bei langen Wellenlangen (k ! 0), fur die der
Magnetfeldanteil der Welle in den Hintergrund tritt.
Eine Elektronenwelle gro er Amplitude (5.14(b)) zerfallt in eine ionenakustische Welle
und eine ruckwartslaufende Elektronenwelle niedrigerer Frequenz, die nach (5.102) den
Hauptteil der Energie re ektiert. Dieser Proze schlie t sich in der Regel an die parametrische
Instabilitat an.
Die elektromagnetische Welle kann auch sehr e zient an der ionenakustischen Welle
gestreut werden (5.14(c)). Dabei bildet die ionenakustische Welle praktisch ein Beugungsgitter,
das durch den Wechselwirkungsproze selbst erzeugt wird und an dem Braggre
ektion erfolgt. Da hier Streuung an Schallwellen vorliegt hei t der Proze Brillouinstreuung.
Dieser Proze tritt auf fur !0 >!pe. In inhomogenen Plasmen nennt
man diesen Re exionsort die kritische Schicht. Bei !0 = !pe wurden wir den Cut-o
dieser Welle erreichen, an der optische Re ektion von Wellen kleiner Amplitude statt ndet.
Unsere nichtlineare Betrachtung hat jetzt die Re ektion an einem elastischen Spiegel
beschrieben, bei dem die Deformation des Spiegels als akustische Welle in den Spiegel
hineinlauft und eine energieberichtigte Welle re ektiert wird.
Der letzte Fall (5.14(d)) des Zerfalls einer langwelligen elektromagnetischen Welle in
zwei Elektronenwellen (Plasmonen) tritt auf fur !0 2!pe. Der Re ektionsort im Dichtegradienten
liegt dann bei einem Viertel der kritischen Dichte.

164 KAPITEL 5. WELLEN UND INSTABILITATEN IN PLASMEN
5.6 Aufgaben
1. Betrachten Sie eine lineare Kette aus Teilchen der Ladung q an Positionen xn0 = na.
a) Lassen Sie longitudinale Auslenkungen n = xn;xn0 zu,diezuWellenerscheinungen
auf der Kette fuhren konnen. Stellen Sie hierzu eine Bilanz aus der Tragheitskraft
fur das Teilchen n und die Absto ungskrafte durch den linken und rechten
Nachbarn auf. Benutzen Sie hierzu die Taylorentwicklung fur die Coulombkraft um
die ungestorten Positionen.
b) Losen Sie die Kraftgleichung mit einem Wellenansatz
n = A exp[i(kx ; !t)]
Fassen Sie die Exponentialfaktoren zu sin 2 (ka=2) zusammen.
c) Skizzieren Sie die Dispersionsrelation !(k) und diskutieren Sie die moglichen Frequenzen.
Welche Verwandschaft besteht zur Plasmafrequenz?
d) Wie andert sich die Dispersionsrelation, wenn man auch die Absto ung durch die
ubernachsten Nachbarn bzw. alle anderen Kettenglieder berucksichtigt?
2. Zeigen Sie, da fur elektromagnetische Wellen in unmagnetisierten Plasmen gilt:
v' vgr = c 2 . Hinweis: Benutzen Sie ! 2 = ! 2
p + k2 c 2 .
3. Zur Untersuchung des Elektronendichtepro ls in der Ionosphare werden kurze Wellenimpulse
mit der Polarisation der O-Mode vertikal ausgesandt, fur die die Dispersionsrelation
der vorigen Aufgabe zutri t. Nehmen Sie an, da die Elektronendichte
im Hohenbereich von 120 km bis 220 km linear von 0 bis zu einem Maximum von
2 10 11 m ;3 ansteigt.
(a) Welches ist hochste Frequenz, die noch re ektiert wird?
(b) Die Gruppenlaufzeit ist de niert als tgr = R v ;1
gr ds. Zeigen Sie, da fur die
O-Mode gilt:
tgr = 1
Z
ds
c (1 ; n=nco) 1=2
(c) Wie gro ist die Gruppenlaufzeit bis zum Dichtemaximum (nmax

Kapitel 6
Kinetische E ekte in Plasmen
Wir haben die Beschreibung von Plasmen in mehreren Stufen entwickelt. Im Einzelteilchenbild
interessierten uns die fundamentalen Bewegungsformen individueller geladener
Teilchen in typischen Feldkon gurationen. Dabei wurde die Wechselwirkung der Teilchen
untereinander ignoriert. Im Flussigkeitsbild haben wir die gemittelten Eigenschaften der
Plasmateilchen in kleinen Volumenelementen betrachtet. Damit wurde es moglich, den
Ein u des Gasdrucks zu berucksichtigen, d.h. von der Geschwindigkeitsverteilung der
Teilchen wurde zumindest der Mittelwert in unser Modell aufgenommen. Daruberhinaus
wurde die Ruckwirkung der Stromverteilung auf die Felder eingeschlossen, so da
das Flussigkeitsmodell die makroskopischen Bewegungsformen eines Plasmas beschreiben
kann. Das Plasma als dielektrisches Medium kann eine Vielzahl von Wellen tragen
(Lichtwellen, Plasmaschwingungen, Ionenschallwellen, Alfvenwellen u.a.m.). Am Beispiel
der Strahl-Plasmainstabilitat wurde deutlich, da Abweichungen von der Maxwellschen
Geschwindigkeitsverteilung zur Verstarkung elektrostatischer Wellen fuhren konnen. Der
Antrieb der Wellen erfolgt dabei durch resonante Teilchen.
In diesem Kapitel wollen wir Methoden betrachten, die beliebige Verteilungsfunktionen
moglichst exakt beschreiben konnen. Hierzu gehort die Vlasovgleichung und die Teilchensimulation.
Als typische kinetische Probleme werden wir die Landaudampfung und
die nichtlineare Entwicklung der Strahl-Plasma-Instabilitat diskutieren, wobei letzteres
Beispiel die Leistungsfahigkeit der Teilchensimulation demonstriert.
6.1 Das Vlasovmodell
Eine vollstandige Beschreibung des Plasmas mu sowohl die Flussigkeitsaspekte und
die selbstkonsistenten Felder als auch die Geschwindigkeitsverteilung einschlie en. Dieses
Konzept wird in der kinetischen Theorie entwickelt. Wir werden in diesem Abschnitt
eine Beschreibung wahlen, die anstelle der wahren Teilchenorte und Geschwindigkeiten
eine Wahrscheinlichkeitsverteilung im Orts- und Geschwindigkeitsraum benutzt: das Vlasovmodell.
165

166 KAPITEL 6. KINETISCHE EFFEKTE IN PLASMEN
6.1.1 Die Verteilungsfunktion
Das Flussigkeitsbild hat uns mit dem Konzept vertraut gemacht, anstelle des Verfolgens
von Teilchenbahnen Wahrscheinlichkeitsaussagen uber die mittleren Eigenschaften der
Plasmateilchen in kleinen Volumenelementen zu machen. Dort de nierten wir die Massendichte
m(~r�t) und die Stromungsgeschwindigkeit ~u(~r� t), die uber den Erhaltungssatz
der Masse verbunden sind:
@
@t m(~r� t)+r [ m(~r� t)~u(~r� t)] = 0 : (6.1)
In der kinetischen Theorie ist es nun nicht mehr sinnvoll, nur die mittlere Stromungsgeschwindigkeit
zu betrachten, sondern es soll die Anzahl von Teilchen in einem bestimmten
Geschwindigkeitsintervall d 3 v um den Vektor ~v explizit Berucksichtigung nden. Die Massendichte
in einem Ortsraumvolumen x y z hatten wir uber die De nition eingefuhrt:
m = m(~r�t) x y z: (6.2)
Analog teilen wir nun in Gedanken auch den Geschwindigkeitsraum in endliche Volumenelemente
vx vy vz ein und betrachten die Zahl der Plasmateilchen einer Sorte N (j)
in einem Element des 6-dimensionalen Phasenraums, der von den drei Orts- und drei
Geschwindigkeitskoordianten aufgespannt wird:
N (j) = f (j) (~r�~v�t) x y z vx vy vz : (6.3)
Der Grenzubergang zu in nitesimal kleinen Gro en d 3 rd 3 v bedarf einer kurzen Betrachtung.
Bei immer feinerer Unterteilung stellt sich das Problem, da man schlie lichnur ein
oder kein Plasmateilchen in einer solchen Zelle ndet. Die Funktion f wurde dann eine
Summe von Delta-Distributionen werden:
f (j) = X
k
(~r ; ~rk) (~v ; ~vk) � (6.4)
die die exakten Teilchenorte und -geschwindigkeiten erfa t. Dann waren wir aber wieder
mit dem Problem der exakten Behandlung des Vielteilchenproblems (von ca. 10 20
Teilchen !) beschaftigt. Wir suchen aber einen Weg, eine einfachere, statistische Beschreibung
dieses Vielteilchensystems anzugeben.
Daher wahlen wir zunachst das 6-dimensionale Volumenelement x y z vx vy vz
einerseits als makroskopisch gro , um hinreichend viele Teilchen fur eine statistische Beschreibung
zu haben, andererseits aber als hinreichend klein gegenuber typischen Skalenlangen
im Ortsraum und Geschwindigkeitsraum. Den Grenzubergang zu di erentiellen
Volumenelementen denken wir uns in der Art, da die Funktion f (j) (~r�~v� t), die auf dieser
mittleren Skala de niert wurde, im Grenzproze stetig bleibt. Bildlich gesprochen
bedeutet das, da wir die Kornigkeit des wahren Plasmas beseitigen, indem wir die Ladungstrager
in immer feinere hypothetische Teilchen unterteilen, die aber den gleichen

6.1. DAS VLASOVMODELL 167
Wert von q=m besitzen wie die Plasmateilchen, und diese entsprechend der Funktion f (j)
im Raum verteilen. Diese Beschreibung nennen wir das Vlasov-Bild. Verloren haben wir
in diesem Bild die Wechselwirkung individueller Teilchen, z.B. korrelierte Bewegungen
und Zusammensto e.
Wir werden in Abschnitt 6.2 sehen, da es auch sinnvoll sein kann, das Vielteilchenproblem
durch Zusammenfassung der wahren Plasmateilchen zu einigen Tausend Superteilchen
mit gleichem q=m vorzunehmen und die Newtongleichungen aller beteiligten Teilchen
mit den selbstkonsistenten Feldern numerisch zulosen. Hierbei wird die Kornigkeit der
Superteilchen starker in den Vordergrund treten. Dieser E ekt kann in gewissem Mae
unterdruckt werden, indem bei der Losung der Feldgleichungen geeignete mittelnde
Verfahren eingesetzt werden.
Die Funktion f (j) ist folgenderma en normiert:
N (j) ZZ
(j) 3 3
= f (~r�~v� t) d r d v� (6.5)
wobei N (j) die Gesamtzahl der Teilchen der Sorte j ist. Die Teilchendichte im Ortsraum,
Massendichte und Ladungsdichte ergeben sich wie folgt:
n (j) (~r� t)
m(~r� t)
=
=
Z
(j) 3
f (~r�~v� t)d v (6.6)
X
m
j
(j) n (j) (~r� t) (6.7)
e(~r� t) = X
q (j) n (j) (~r� t) : (6.8)
Somit ist f (j) (~r�~v�t) dievon uns gesuchte statistische Beschreibungsgro e, die die Ideen
des Fluidbildes zur kinetischen Beschreibung verallgemeinern kann.
6.1.2 Die Vlasovgleichung
j
Wir suchen in diesem Abschnitt eine Bewegungsgleichung fur die Verteilungsfunktion
f(~r�~v� t), die die Kontinuitatsgleichung (6.1) verallgemeinert. Zunachst sei nochmals darauf
hingewiesen, da im Flussigkeitsbild ~u(~r� t) eineVariable (d.h. eine physikalische Me -
gro e) ist, wahrend im Vlasovbild die Geschwindigkeit ~v eine Koordinate im Phasenraum
ist. Wenn wir nun willkurlich ein Phasenraumvolumen d 3 r d 3 v um den Vektor (~r�~v)
herausgreifen, so haben die Teilchen in dieser Zelle allerdings die Geschwindigkeit ~v und
diese Teilgruppe verhalt sich wie eine Flussigkeit mit Stromungsgeschwindigkeit ~v.
Die Teilchenbilanz fur dieses Volumenelement ist einerseits durch das Ein- und Ausstromen
im Ortsraum gegeben, andererseits haben wir auch einen Zu- und Ab u durch
Beschleunigung und Abbremsung (vgl. Abb. 6.1). Der Anschaulichkeit halber betrachten
wir zunachst nur den eindimensionalen Fall f(x� v� t). Wir unterdrucken der Ubersichtlichkeit
wegen die Indizes fur die Teilchensorte. Dann wird die totale Anderung der

168 KAPITEL 6. KINETISCHE EFFEKTE IN PLASMEN
Abbildung 6.1: Die Vlasovgleichung beschreibt das Stromen einer Wahrscheinlichkeitsussgkeit
im Phasenraum. Ein Zuwachs in V kann durch die Divergenz der Stromung
im Ortsraum und Geschwindigkeitsraum erfolgen.
Verteilungsfunktion in einem solchen Volumen:
df
dt
= @f
@t
@f dx @f dv
+ +
@x dt @v dt
=0� (6.9)
wenn wir annehmen, da in x v keine Erzeugungs- oder Vernichtungsprozesse statt nden.
Mittels dx/dt = v und dv/dt = a setzen wir die Stromung mit den wahren Teilcheneigenschaften
in Beziehung und verallgemeinern wieder auf drei Orts- und Geschwindigkeitsrichtungen:
@f
@t + ~v rrf + ~a rvf =0: (6.10)
Dabei werden folgende Kurzschreibweisen benutzt: rr =(@=@x�@=@y�@=@z) undrv =
(@=@vx� @=@vy� @=@vz).
Die Verbindung mit den Feldgro en ~ E und ~ B, die die Summe aus selbstkonsistenten
und externen Feldern darstellen, erreicht man durch
~a = q
m ( ~ E + ~v ~ B) : (6.11)

6.1. DAS VLASOVMODELL 169
Die Bewegungsgleichung fur f wird dann die Vlasovgleichung, die auch 'sto freie Boltzmanngleichung)'
genannt wird:
@f
@t + ~v rrf + q
m ( ~ E + ~v B) ~ rvf =0: (6.12)
Reale Plasmateilchen konnen die Phasenraumzelle au er durch die bereits beschriebenen
Stromungsprozesse auch durch geschwindigkeitsandernde Sto e betreten oder verlassen.
Dieser Sto beitrag ist dann durch einentsprechendes Modell zu erfassen. Man kann dies
formal durch einen Sto term (@f=@t)coll einfuhren:
@f
@t + ~v rrf + q
m ( ~ E + ~v ~ B) rvf =
!
@f
@t coll
� (6.13)
dessen weitere Behandlung aber uber den Rahmen dieser Einfuhrung hinausfuhrt. Eine
einfuhrende Behandlung dieses Themenkreises ndet sich in[83].
6.1.3 Dispersion von elektrostatischen Elektronenwellen
In diesem Abschnitt wollen wir den Ein u der endlichen Breite der Geschwindigkeitsverteilung
auf die elektrostatischen Elektronenwellen untersuchen. Wir beschranken uns auf
eine Maxwellverteilung. Man kann bereits vermuten, da der Gasdruck der Elektronen
als mittlere Eigenschaft der Maxwellverteilung die Plasmaschwingungen in schallartige
Wellen modi ziert. Wir wollen aber nicht mit einer Zustandsgleichung das Fluidmodell
nachbessern, sondern erwarten, da die kinetische Beschreibung die thermodynamischen
Aspekte 'automatisch' liefert.
Die Ionen behandeln wir in dem interessierenden Frequenzbereich als unbeweglichen
neutralisierenden Hintergrund. Das Problem kann eindimensional beschrieben werden,
da wir elektrostatische Wellen (k k E) suchen. Die Verteilungsfunktion der Elektronen
zerlegen wir in einen homogenen (@=@x = 0), stationaren (@=@t =0)Anteil f0(v) und
eine wellenartige Storung f1(x� v� t):
f(x� v� t) = f0(v)+f1(x� v� t) (6.14)
(
1=2 m
f0(v) = n
exp ;
2 kBTe
mv2
)
(6.15)
2kBTe
f1 / exp[i(kx ; !t)] (6.16)
f1 f0 : (6.17)
Wir losen die Vlasovgleichung durch Linearisierung und machen den ublichen Wellenansatz:
@f1
@t
+ v @f1
@x
e
;
m E1
@f0
@v
;i!f1 + ikvf1 ; e
m E1
@f0
@v
=0 (6.18)
= 0 : (6.19)

170 KAPITEL 6. KINETISCHE EFFEKTE IN PLASMEN
Dann wird die gestorte Verteilungsfunktion:
f1 = i e @f0=@v
m ! ; kv E1 : (6.20)
O ensichtlich spielen die resonanten Teilchen bei v = !=k eine besondere Rolle, da sie zu
einer Polstelle von f1 fuhren. Das Potential der Welle mu sich selbstkonsistent aus der
Raumladung ergeben:
e = e
0
@ni ;
Z1
;1
1
f (e) dvA
= ;e
Z
+1
f
;1
(e)
1 dv : (6.21)
Die ungestorte Maxwellverteilung der Elektronen wird durch den Ionenhintergrund
neutralisiert, so da nur die wellenartige Storung zur Raumladung beitragt. Die Selbstkonsistenz
von E1 ergibt sich aus der Poissongleichung, die in Fouriernotation lautet:
ikE1 = e
= 1 2 1
E1! pe
ik n
0
+1 Z
;1
@f0=@v
dv: (6.22)
!=k ; v
Dieses ist wiederum eine Dispersionsrelation, da wir nichttriviale Losungen E1 6= 0 fordern.
Man uberzeugt sich leicht, da diese Dispersionsrelation die Dielektrizitatskonstante
(!�k) des Plasmas enthalt:
(!�k) =1+ !2
pe
Die Ableitung der Maxwellverteilung ist:
@f0
@v
k 2
+1 Z
;1
2v
= ;np exp 3 vth 1 @f0=@v
dv =0: (6.23)
n !=k ; v
; v2
v2 !
: (6.24)
th
Wenn die thermische Geschwindigkeit der Elektronen als hinreichend klein gegenuber
der Phasengeschwindigkeit der Welle angesetzt werden kann (vgl. Abb. 6.2), ist der Beitrag
der resonanten Teilchen durch den Exponentialfaktor im Zahler reduziert, der aus der
Maxwellverteilung stammt. Dann kommen die Hauptbeitrage zu dem Integral in (6.24)
aus dem Bereich[;vth�vth], fur den es gema unserer Annahmen erlaubt ist, die Funktion
(!=k ; v) ;1 in eine Taylorreihe zu entwickeln:
1
!=k ; v
= k
! + k2
! 2 v + k3
! 3 v2 + k4
! 4 v3 + : (6.25)

6.1. DAS VLASOVMODELL 171
Abbildung 6.2: Phasengeschwindigkeit und Verteilungsfunktion bei verschiedenen Temperaturen
zur Verdeutlichung der Rolle der resonanten Teilchen. (a) kaltes Plasma, (b)
niedrige Temperatur, (c) hei es Plasma.
Das Integral kann analytisch ausgefuhrt werden mittels der Beziehungen:
mit dem Ergebnis:
Z
+1
x 2n e ;ax2
;1
+1
Z
;1
x 2n+1 e ;ax2
= 1 3 ::: (2n ; 1)
(2a) n a
1=2
(6.26)
= 0 (6.27)
(!�k) =1; !2 pe
! 2 ; 3
2
! 2
pe
! 4 k2 v 2
th =0: (6.28)
Fur verschwindendes v2 th ! 0 erhalten wir das bekannte Resultat fur das kalte Plasma
(!�k) =1; ! 2
pe =!2 .Fur den hier vorgegebenen Grenzfall ma iger Temperatur la t sich
die Dispersionsrelation naherungsweise schreiben:
! 2 = ! 2
pe + 3
2 k2v 2
th
= ! 2
pe + k2 (kBTe=m) (6.29)

172 KAPITEL 6. KINETISCHE EFFEKTE IN PLASMEN
wobei = 3 der Adiabatenexponent fur eine eindimensionale adiabatische Kompression
ist. Diese Dispersionsrelation wurde zuerst von Bohm und Gross [74, 75] angegeben und
tragt oft ihren Namen. Mit kurzerer Wellenlange tritt o ensichtlich der Druckgradient in
Konkurrenz zu den elektrostatischen Absto ungskraften.
Zusatzlich zur Dispersion erfahrt die elektrostatische Elektronenwelle fur kurzere Wellenlange
eine Dampfung: exp(i[kx ; !t]) = exp(i[kx ; !Rt]) exp(;!It) wenn wie hier
der Imaginarteil !I negativ wird. Diese Dampfung werden wir im folgenden Abschnitt
diskutieren.
Abbildung 6.3: (oben) Dispersion der elektrostatischen Elektronenwelle (Bohm-Gross Beziehung).
(unten) Der Imaginarteil von ! beschreibt die kinetische Dampfung.

6.1. DAS VLASOVMODELL 173
6.1.4 Landaudampfung
Bei der Losung der Dispersionsrelation (6.23) haben wir bisher nur den Cauchyschen
Hauptwert des Integrals:
! 2
pe
k 2
+1 Z
;1
@f0=@v
!=k ; v dv
! 2
pe
! 2 + 3
2
! 2
pe
! 4 k2v 2
th + (6.30)
berucksichtigt. Die Polstelle bei !=k = v erzeugt aber einen zusatzlichen Beitrag, der jetzt
gesondert betrachtet werden soll. In der Dispersionsrelation (6.23) treten Integrale vom
Typ
Z1
;1
F (u)
dv (6.31)
v ; u
auf, die Polstellen bei v = u besitzen, wobei u = !=k die i.A. komplexe Phasengeschwindigkeit
ist. Landau [84] hat gezeigt, da diese Integrale eine analytische Fortsetzung besitzen,
die sich durch Verformung des Integrationsweges in Form der Landaukontour
ergeben (s. Abb. 6.4). Dabei wird der Integrationsweg so gewahlt, da er stets unterhalb
der Polstelle des Integranden verlauft. In unserem Fall nehmen wir an, da die Polstelle
nahezu auf der reellen Achse liegt. Dann haben wir au er dem Cauchy-Hauptwert in
(6.30) zusatzlich den halben Residuumsbeitrag an der Polstelle zu berucksichtigen. Damit
erhalten wir:
Abbildung 6.4: Wahl des Integrationsweges entlang der Landaukontour. Der Integrationsweg
bleibt stets unterhalb der Polstelle. (a) Im(u) > 0, (b) Im(u) = 0, (c) Im(u) < 0.
0=1; !2
k
Z
pe
C 2
1
;1
1
n
@f0=@v 1
dv + i
v ; !=k n
@f0
@v v=!=k
(6.32)

174 KAPITEL 6. KINETISCHE EFFEKTE IN PLASMEN
Durch den Residuumsbeitrag wird die Dispersionsfunktion in (6.32) komplex und wir
erwarten nunmehr als Losung einen komplexen Wert von !. Daessichnur um eine kleine
Korrektur an der bisherigen reellen Dispersionsfunktion handelt, la t sich der Imaginarteil
von ! durch eine Storungsrechnung bestimmen. Das Cauchy-Hauptwertintegral la t sich
in dieser Naherung durch den Beitrag des kalten Plasmas ersetzen:
0=1; !2 pe
! 2 + i 1
n
@f0
@v v=!=k
und hieraus erhalt man durch Au osen nach ! und Entwicklung der Wurzel:
0
! = !pe @1+i
2
! 2
p
k2 1
n
@f0
@v v=!=k
Bei der Berechnung der Ableitung der Maxwellverteilung:
1
n
@f0
= ;
@v v=!=k
2v
p exp 3 vth v 2
v 2 th
(6.33)
1
A : (6.34)
!
(6.35)
ist jedoch die korrekte Phasengeschwindigkeit der Bohm-Gross Welle im Exponenten zu
verwenden. Im Vorfaktor genugt wiederum die Naherung des kalten Plasmas. Hieraus
ergibt sich der Imaginarteil der Wellenfrequenz:
p !pe
Im(!) ;
kvth
3
exp
; !2
pe
k 2 v 2
th
; 3
!
2
� (6.36)
der in Abb. 6.3 dargestellt ist. Die elektrostatischen Wellen sind also gedampft und Ursache
der Dampfung ist die Maxwellverteilung der Elektronen. Dieser Dampfungsmechanismus
hei t Landaudampfung [84] und beruht nicht auf Sto prozessen. Man spricht
daher von sto freier Dampfung. Im folgenden soll ein vereinfachtes, anschauliches Bild
des Zustandekommens der Landaudampfung gegeben werden.
Hierzu betrachten wir eine Elektronengruppe innerhalb der Maxwellverteilung, die
eine Geschwindigkeit v0 besitzt, wobei v0 in der Nahe der Phasengeschwindigkeit !=k liegen
soll. Wir konnen diese Elektronengruppe wie einen Elektronenstrahl behandeln (vgl.
Abschnitt 5.2.4). Unter dem Ein u des elektrischen Feldes der Welle stellt sich eine Oszillationsgeschwindigkeit
v1 dieser Gruppe ein. Diese Geschwindigkeitsmodulation erzeugt
gema der Kontinuitat der Stromung (;i!n1 + ik(v0n1 + v1n0) = 0) eine Dichtemodulation:
1
n1 = n0
(!=k ; v0) 2 v1 : (6.37)
Die kinetische Energie der betrachteten Elektronengruppe ist dann:
Wkin = (n0 + n1) m
= m
2
2 (v0 + v1) 2
h
n0v 2
0 + n0v 2
1 +2v0n1v1 +2n0v0v1 + n1v 2
1 + n1v 2
0
i : (6.38)

6.1. DAS VLASOVMODELL 175
Dieser Ausdruck interessiert uns im Mittel uber eine Schwingungsperiode, in dem sich die
ungeraden Potenzen oszillierender Gro en aufheben:
hWkini = m
2
h n0v 2
0 + n0hv 2
1i +2v0hn1v1i i : (6.39)
Den kubischen Storungsterm haben wir vernachlassigt. Der erste Summand in der Klammer
ist die kinetische Energie des ungestorten Systems, die wir als Bezugspunkt unserer
Betrachtung wahlen konnen. Der zweite Summand ist stets positiv, wahrend das Vorzeichen
des dritten Summanden von der Relativgeschwindigkeit zur Phasengeschwindigkeit
abhangt:
1
hn1v1i = n0
(!=k ; v0) 2hv2 1i : (6.40)
Damit kann die Energie des oszillierenden Zustandes insgesamt groer oder kleiner als die
der ungestorten Elektronengruppe werden:
m
h Wkini = n0
2
1+
2v0
!=k ; v0
!
hv 2 m
1i = n0
2 hv2 1i
! + kv0
! ; kv0
: (6.41)
Abbildung 6.5: Nahezu resonante Elektronen im Bezugssystem der Welle. (a) Energiegewinn
durch Beschleunigung durch dieWelle bei Teilchengruppe mit negativer Energie,
(b) Energieverlust an die Welle.
Elektronen, deren Geschwindigkeit kleiner als die Phasengeschwindigkeit ist, haben in
dieser Sprechweise 'positive Energie', wahrend die schnelleren 'negative Energie' besitzen.

176 KAPITEL 6. KINETISCHE EFFEKTE IN PLASMEN
Anschaulich hei t das, da Elektronen, die schneller sind als die Welle, stets in die schon
vorhandenen Ladungsverdichtungen mit positiver Geschwindigkeit einlaufen und sie damit
aufbauen. Sie schieben damit die Welle an (siehe Abb. 6.5). Ihre positive Energie wird
zum Aufbau des elektrostatischen Feldes benutzt. Im anderen Fall, da die Elektronen
langsamer als die Welle stromen, bewgen sie sich imWellenbezugssystem 'ruckwarts'.
Damit bauen sie den zuruckliegenden Wellenberg weiter auf. Sie werden aber von der
Welle angeschoben und gewinnen kinetische Energie aus der Welle.
Bei einer Maxwellverteilung gibt es stets mehr langsamere als schnellere Elektronen in
der Nahe der Phasengeschwindigkeit. Damit ist es plausibel, da netto mehr Elektronen
Energie vom Wellenfeld beziehen als an dieses abzugeben. Dieses fuhrt zur Dampfung der
Welle. Das Anfachen der Welle durch einen Elektronenstrahl, der nur eine Teilchengruppe
mit negativer Energie darstellt, haben wir in Abschnitt 5.2.4 gesehen. Letzteren Fall kann
man als inverse Landaudampfung interpretieren.
Eine genauere Betrachtung zur Landaudampfung, die auch die Phasenlage der Elektronen
im Wellenfeld berucksichtigt, ndet sich z.B. bei Chen [60].
6.2 Teilchensimulation
Zur Losung nichtlinearer Plasmaprobleme stehen heute in Form von Teilchen-Simulationsprogrammen
leistungsfahige HilfsmittelzurVerfugung [87, 86]. In der Teilchensimulation
werden die Newtonschen Bewegungsgleichungen von einigen Tausend Teilchen mit numerischen
Methoden gelost. Der Rechenaufwand skaliert dabei mit der Zahl der Wechselwirkungen
von N Teilchen T / N 2 ,wodurch es erforderlich wird, die wahren Plasmateilchen
zu Gruppen, den sog. Superteilchen, zusammenzufassen. Eine gunstigere Skalierung der
Rechenzeit und einen erwunschten Glattungse ekt erhalt man, wenn man nicht die Kraftwechselwirkung
der Superteilchen untereinander fur die Bewegung der Teilchen auswertet,
sondern ein Superteilchen nur mit dem Mittelwert der Raumladung und Strome der anderen
Superteilchen wechselwirken la t. Hierzu wird aus der Position der Superteilchen die
Ladungs- und Stromverteilung auf ein diskretes Rechengitter (engl.: mesh) mitNg Zellen
in einer Raumdimension abgebildet, auf dem die Maxwellgleichungen gelost werden.
Damit stehen die Feldgro en auf dem Gitter zur Verfugung und werden fur den jeweiligen
Teilchenort interpoliert.
Bei diesen particle-mesh-Verfahren sinkt der Rechenaufwand auf T / NN D g log 2 N D g ,
wobei D die Dimensionalitat des Problems ist. Der Zeitgewinn kann bei 10 5 Superteilchen
durchaus ein Faktor von 10 4 sein. Insbesondere wurden eindimensionale Probleme mit
diesen Methoden auf PCs behandelbar, was die weite Verbreitung dieser Codes in den
letzten Jahren erklart. Ein Zeitschritt des Particle-mesh-Verfahrens besteht somit aus
vier Teilen (Abb. 6.6):
Die verschiedenen Varianten der Teilchensimulation bestehen einerseits in den Randbedingungen,
die entweder periodische Randbedingungen sind oder aus den elektroma-

6.2. TEILCHENSIMULATION 177
-
Gewichtung
(E�B)p ;! Fi
6
Integration der Bewegungsgleichungen,
Zuweisung der neuen Koordinaten
Fi ;! vi ;! xi
Integration der Feldgleichungen
auf dem Gitter
(E�B)p ; ( � J)p
t
?
Gewichtung
(x� v)i ;! ( � J)p
Abbildung 6.6: Elemente des Zeitschritts beim Particle-mesh-Verfahren
gnetischen Randwerten der Feldgleichungen an Elektroden herruhren, andererseits in der
Ladungszuweisung auf das Gitter und der Interpolation der Krafte aus den Feldwerten auf
dem Gitter. Im folgenden werden die Einzelheiten der Particle-in-Cell (PIC) Simulation
beschrieben, wie sie in einem weit verbreiteten Code [87] implementiert sind.
6.2.1 Eindimensionale Probleme
Wir wollen uns im folgenden mit eindimensionalen elektrostatischen Problemen beschaftigen,
in denen nur die Variablen v und E vorkommen, die nur von der Ortskoordinate x
abhangen. Magnetfelder lassen wir au er Betracht. Anstelle von punktformigen Teilchen
haben wir es jetzt mit blattartigen Ladungsschichten zu tun, die in y- undz-Richtung
unendlich ausgedehnt undinx-Richtung in nitesimal dunn sind (Abb. 6.7). Gegenuber
den Punktladungen im dreidimensionalen Raum, fur die das Coulombsche Kraftgesetz
F / r ;2 einen Abfall mit dem Quadrat der Entfernung ergibt, haben die Ladungsschichten
eine Wechselwirkungskraft, die unabhangig vom Abstand ist: F / r 0 .
Diese Eigenschaft mag zunachst verwirrend sein, wenn man versuchen wurde, das
elektrische Feld an einem bestimmten Punkt aus der Summe der Kraftbeitrage der individuellen
Ladungen zu berechnen. Da das Plasma aber nahezu neutral ist wurde in dieser

178 KAPITEL 6. KINETISCHE EFFEKTE IN PLASMEN
Abbildung 6.7: Beschreibung eindimensionaler Plasmaprozesse durch Ladungsschichten.
Summe der Kraftwirkungen ein sich fast ausgleichender Wert von positiven und negativen
Beitragen ergeben. Bedeutsam ware die explizite Wechselwirkungskraft benachbarter
Schichten nur fur die Berechnung von Sto prozessen. An letzteren sind wir aber weniger
interessiert als an dem kollektiven Verhalten des Systems. Daher werden wir den in der
Elektrodynamik ublichen Weg gehen und das elektrische Feld aus der Raumladungsdichte
berechnen, die wir als eine geeignet gemittelte Gro e konstruieren wollen, anstatt die
Kornigkeit zu betonen, die sich aus der Summation individueller Kraftbeitrage ergeben
wurde.
Zum Zwecke der Mittelung der Raumladung und des Teilchenstroms, die die Quellen
fur die Feldgro en E und B darstellen, und zur Reduktion der Rechenzeit werden wir ein
diskretes Rechengitter einfuhren. Dieses entsprichtauch der bisher geubten Betrachtungsweise,
die kollektiven Phanomene nur auf einer Langenskala zu betrachten, die gro er ist
als die Debyelange. Auf kurzeren Skalen tritt der individuelle Teilchencharakter in den
Vordergrund.
6.2.2 Diskretisierung der Grundgleichungen
Die Newtonsche Bewegungsgleichung fur ein Superteilchen lautet:
M d~v
dt = Q ~E + ~v ~B : (6.42)
Zur Diskretisierung werden Zeitschritte t eingefuhrt. Dann kann die Newtongleichung
in folgender zeitzentrierter Form als Di erenzengleichung geschrieben werden:
v n+1=2
i
x n+1
i
; x n i
t
; v n;1=2
i
t
= v n+1=2
i
= F (xi) t
: (6.43)
mi

6.2. TEILCHENSIMULATION 179
Abbildung 6.8: Das Leap-frog-Schema
Dabei bezeichnet der untere Index das i-te Superteilchen mit Masse mi und der obere
Index die Nummer des Zeitschritts. F (xi) ist die Kraft am Ort des Superteilchens. Die
Geschwindigkeiten werden stets auf halben Zeitschritten berechnet. Diese Schachtelung
von Positions- und Geschwindigkeitsentwicklung bezeichnet man als " leap-frog-Schema\
(wortlich: Bocksprung-Schema) (vgl. Abb. 6.8). Der Halbschritt erzeugt die hohe Rechengenauigkeit
in ahnlicher Weise wie bei Runge-Kutta-Verfahren zur Integration von
Di erentialgleichungen.
6.2.3 Losung der Feldgleichungen auf dem Gitter
Die Notwendigkeit zur Einfuhrung eines Gitters fur die Feldgro en liegt auch in der
Schwierigkeit begrundet, da die Berechnung der echten Wechselwirkungskrafte zwischen
N Teilchen eine Anzahl von Rechenoperationen erfordern, die mit N(N ; 1)=2 skaliert.
Diese Entwicklung kann rasch dieverfugbare Rechenzeit sprengen. Fuhrt man dagegen
gemittelte Feldgro en auf einem Gitter (typ. Ng = 100-400 Gitterpunkte) ein, so skaliert
die Rechenzeit nur noch mitNNg. Fur Teilchenzahlen von 10 4 ; 10 6 ist dieser Gewinn
gewaltig.
Betrachten wir im folgenden magnetfeldfreie Systeme, in denen nur elektrostatische
Wechselwirkung auftritt. Das Gitter bestehe aus Ng aquidistanten Platzen mit Abstand
x = L=Ng.
Die Zuweisung der wahren Ladungsverteilung an das Gitter kann man im einfachsten
Fall dadurch vornehmen, das die gesamte Ladung dem nachstliegenden Gitterpunkt
zugeschlagen wird. Diese Naherung hei t nearestgridpoint = NGP). Sie ist zwar sehr
rechenokonomisch, es ersetzt aber die wahre Bewegung des Superteilchens durch eine von
Gitterpunkt zu Gitterpunkt springende Ladung, die o ensichtlich dazu tendiert, das Rauschen
zu erhohen. Diese Unstetigkeit der Ladungsbewegung verschwindet, wenn man die

180 KAPITEL 6. KINETISCHE EFFEKTE IN PLASMEN
Zuweisung der Ladung mit einer Gewichtung an die beiden benachbarten Gitterplatze
vornimmt. Im PIC-Verfahren wird die Gewichtung so gewahlt, das bei Ubereinstimmung
des Teilchenorts mit einem Gitterplatz die Gesamtladung zugewiesen wird. Anderenfalls
wird linear interpoliert.
Die Ladungszuweisung im n-ten Zeitschritt an den p-ten Gitterplatz xp erfolgt mittels
folgender Vorschrift:
n
p = qNs
x
X
Np
W (x n i ; xp)+ 0 : (6.44)
i=1
Hierin ist qNs die Ladung eines Superteilchens und 0 eine neutralisierende Hintergrundsladung.
Die Gewichtungsfunktion W (x) hat bei der PIC-Methode folgende Gestalt (Abb.
6.9):
W (x) =
( 1 ;jxj : jxj < 1
0 : jxj 1 :
(6.45)
Diese lineare Gewichtung kann auch anders interpretiert werden. Wenn man sichvorstellt,
Abbildung 6.9: (a) Ein Superteilchen bei xi wird wie eine ausgedehnte Ladungswolke der
Breite x behandelt. Die Gewichtung erfolgt entsprechend des Uberlapps zwischen der
Wolke und der jeweils betrachteten Zelle [xp;1=2�xp+1=2]. (b) Die aus dieser Vorstellung
resultierende Gewichtungsfunktion W (x ; xp). Die Pfeile deuten die Zuordnung an die
Gitterplatze p und p +1an.
da jeder Gitterplatz einen Einzugsbereich von 1=2 Gitterzelle besitzt und da das
Superteilchen eine Ladungswolke mitkastenformigem Pro l (Particle-in-Cell) darstellt,
so ist die Gewichtung gerade durch den Teil gegeben, der in die jeweilige Zelle hereinragt.
Letztere Vorstellung ist insbesondere hilfreich bei der Abschatzung der Wechselwirkung
zweier individueller Ladungswolken.

6.2. TEILCHENSIMULATION 181
Wie eingangs gesagt ist der Betrag der Wechselwirkungskraft der in nitesimalen Ladungsschichten
nicht von ihrem Abstand abhangig, wohl aber ihr Vorzeichen. Wenn sich
diese dunnen Blatter durchdringen wechselt das Vorzeichen schlagartig. Die ausgedehnten
Raumladungswolken dagegen zeigen einen stetigen Wechsel der Wechselwirkungskraft.
Diese Eigenschaft der Zuweisungsfunktion an das Rechengitter ist es, die den Beitrag der
individuellen Zusammensto e durch Mittelung reduziert.
Die Poissongleichung lautet in Di erenzenform:
n
p;1 ; 2 n p + n p+1
( x) 2
Hieraus gewinnt man das elektrische Feld durch:
E n p =
n
p;1 ; n p+1
2 x
= ; n p
0
: (6.46)
: (6.47)
Die Interpolation der Kraft am Teilchenort aus den Feldstarken auf dem Gitter erfolgt
mit derselben Gewichtungsfunktion wie bei der Ladungszuweisung:
X
F n
Ng;1
i = qNs
p=0
W (x n i ; xp)E n p : (6.48)
Die Poissongleichung kann sofort durch direkte Verfahren fur Tridiagonalmatrizen gelost
werden. Bei periodischen Randbedingungen sind Fouriermethoden eventuell uberlegen.
Nahere Einzelheiten nden sich in [86].
6.2.4 Der harmonische Oszillator (*)
Am Beispiel des harmonischen Oszillators kann man sich eineFaustregel fur die Wahl des
benutzten Zeitschritts herleiten. Die Gleichung
hat die exakte Losung:
d 2 x
dt
= ;!2
2 0
x (6.49)
x = A cos(!0t)+B sin(!0t) (6.50)
Die aquivalente Di erenzengleichung des leap-frog-Schemas:
x n+1 ; 2x n + x n;1 = ;! 2
0x( t) 2
(6.51)
wird gelost mit einem Ansatz / exp(i!t) mit einem i.A. von !0 verschiedenen !. Dieser
Ansatz ergibt:
e i! t ; 2+e ;i! t = ! 2
0( t) 2 : (6.52)

182 KAPITEL 6. KINETISCHE EFFEKTE IN PLASMEN
Dieses la t sich zusammenfassen zu:
sin
! t
2
= !0 t
2
Entwickelt man die linke Seite fur kleine Werte von ! t=2:
! t
2
; 1
6
! t
2
3
+ = !0 t
2
so wird der kumulative Phasenfehler nach n Zeitschritten:
' = n (! ; !0) t
2
Fur einen kritischen Phasenfehler von ' =1wird
n =
24
: (6.53)
� (6.54)
= 1
24 n (!0 t) 3 : (6.55)
: (6.56)
3
(!0 t)
Das sind immerhin 24.000 Schritte bei !0 t =0:1. Ein ublicher Kompromi zwischen Rechengenauigkeit
und -aufwand ndet sich bei!0 t =0:2 und ca. 1.000 - 10.000 Schritten.
Weitere Betrachtungen zur Stabilitat der numerischen Integration nden sich in[87,86].
Fur Plasmasysteme hat es sich bewahrt, !0 mit der Elektronenplasmafrequenz zu identizieren.
6.2.5 Die Strahl-Plasma-Instabilitat
Als Beispiel fur eine PIC-Simulation wahlen wir den Fall eines monoenergetischen Elektronenstrahls,
der sichdurch einen ruhenden Plasmahintergrund mit unbeweglichen Ionen
bewegt. Die Strahldichte betragt 1% der Gesamtdichte. Die Simulationen wurden mit dem
Code ES1 durchgefuhrt [87].
Die Ergebnisse der Rechnung sind in Abb. 6.10 und 6.11 dargestellt. Der Elektronenphasenraum
(x� v) zeigt einen Ausschnitt, der in der Ortskoordinate einer Wellenlange der
instabilen Wellenlange entspricht (Abb. 6.10) . Das Bezugssystem entspricht dem System
der Strahlelektronen. Daher bewegt sich dasWellenmuster in dieser Darstellung nach
links. Das ist die aus der linearen Theorie bekannte langsame Raumladungswelle, deren
Phasengeschwindigkeit geringfugig niedriger als die Strahlgeschwindigkeit ist.
Das Wachstum der Welle kann anhand der Energie des Wellenfeldes studiert werden.
Abb. 6.11(a) zeigt das exponentielle Wachstum der Feldenergie, das in der halblogarithmischen
Darstellung eine Gerade ergibt. Bei hohen Amplituden tritt eine Sattigung ein,
die wir nachsten Abschnitt diskutieren werden. Der Wachstumsfaktor der Amplitude ist
durch den Imaginarteil der Wellenfrequenz (5.55) gegeben. Die Energiedichte des elektrischen
Feldes WE / E 2 wachst folglich mit2 an. Fur =0:01 wird der aus der

6.2. TEILCHENSIMULATION 183
(a) t=70 (b) t=72 (c) t=74
(d) t=76 (e) t=78 (f) t=80
(g) t=82 (h) t=84 (i) t=86
Abbildung 6.10: Elektronenphasenraum (x� v) (oben) und Wellenpotential (unten). Der
Elektronenstrahl erscheint in der oberen Halfte bei einer normierten Geschwindigkeit
v = 1, die Plasmaelektronen darunter bei v = 0. In der zeitlichen Entwicklung tritt
bei (d) der Einfang von Elektronen durch Re ektion am Wellenpotential auf (trapping).
Die Zeitangaben sind in Einheiten der Plasmaperiode.

184 KAPITEL 6. KINETISCHE EFFEKTE IN PLASMEN
linearen Theorie erwartete Wert fur die am schnellsten wachsende Mode 2 =0:296!p,
die Simulation ergibt 2 =0:265 . Der kleine Unterschied ist dadurch bedingt, da die
Simulation periodische Randbedingungen verwendet, so da nicht die maximal instabile
Mode der linearen Theorie auftritt, sondern eine benachbarte Mode, deren Periodizitat
zu den periodischen Randbedingungen pa t.
6.2.6 Sattigung der Instabilitat durch trapping (*)
Die Strahlelektronen erscheinen im Phasenraum zunachst (a) bei der normierten Geschwindigkeit
v = 1, die Plasmaelektronen bei v = 0. Die Geschwindigkeitsmodulation
nimmt mit der Zeit zu. Ebenso wachst die Wellenamplitude. Sobald die Wellenamplitude
so gro ist, da die kinetische Energie der Strahlelektronen im Bezugssystem der
Welle kleiner ist als das Wellenpotential, kommt es zur Re ektion von Elektronen (Abb.
6.10(d) ). Dieser Proze wird als Elektroneneinfang im Potentialtopf der Welle (engl.
trapping) bezeichnet.
Die Bedingung fur den Einfang von Strahlelektronen der Geschwindigkeit v0 ist durch
die Bedingung gegeben, da die kinetische Energie der Relativbewegung zwischen Strahlelektronen
und Phasengeschwindigkeit der Welle geringer ist als die Potentialbarriere der
Welle:
2e
m
2 (v0 ; v ) 2 : (6.57)
Wenn die Amplitude der Welle ist, berucksichtigt der Faktor 2 den Potentialunterschied
zwischen Wellenberg und -tal. Eingefangen werden zunachst Strahlelektronen, die sich in
der Nahe eines Wellenberges be nden (Abb. 6.10). Diese gefangenen Elektronen vollfuhren
eine periodische Oszillation mit der Frequenz !B im Wellenpotential (engl.: bounce oscillation).
Die Frequenz dieser Oszillation la t sich abschatzen, wenn der Wellenberg durch
ein parabolisches Potential angenahert wird e 0 cos(kx) e 0(1;(1=2)k 2 x 2 ). Dann ist in
Analogie zum Hookschen Gesetz die Federkonstante D = e 0k 2 und die Eigenfrequenz:
! 2
B = D
m = e 0k2 :
m
(6.58)
Wir wissen aus der linearen Theorie, da der Abstand von Phasengeschwindigkeit der
Welle und Strahlgeschwindigkeit wie folgt skaliert (vgl. (5.54) ):
v0 ; !
k
= 1
2 2
1=3 !pe
k
: (6.59)
Dann ergeben sich aus (6.57), (6.58) und (6.59) die Bouncefrequenz !B und Bounceperiode
zu:
!B = 1
4 2
1=3
!pe
TB =
4
( =2) 1=3 Tpe : (6.60)

6.2. TEILCHENSIMULATION 185
1e-2
1e-8
1e-1
1e-2
(a)
(b)
0 t/Plasmaperioden
140
Abbildung 6.11: (a) Exponentielles Wachstum der Feldenergie der Welle mit der Zeit. (b)
Kinetische Energie des Elektronenstrahls. Nach dem Einsetzen von trapping ndet ein
periodischer Austausch zwischen kinetischer Energie des Strahls und Wellenenergie statt.
Die elektrostatische Energie der Welle wachst, wie oben beschrieben zunachst exponentiell
mit der Zeit (Abb. 6.11(a)), wie es von der linearen Theorie vorhergesagt war. Im
Moment desTeilcheneinfangs hort das Wachstum auf. Fur eine gewisse Zeit treten Oszillationen
der Wellenenergie auf, die durch das Hin- und Herschwappen der gefangenen
Strahlelektronen im Potentialtopf bedingt sind. Dieser Energieaustausch ist am Wechselspiel
zwischen Wellenenergie und Teilchenenergie (Abb. 6.11(b) ) ersichtlich. Letztlich
stellt sich eine komplizierte Wirbelbewegung der ehemaligen Strahlelektronen im Phasenraum
ein.
Wir konnen einen Vergleich zwischen der Teilchensimulation und obigen Abschatzungen
zum trapping durchfuhren, indem wir die Bewegung vom Zustand (d) zum Zustand

186 KAPITEL 6. KINETISCHE EFFEKTE IN PLASMEN
(i) in Abb. 6.10 als halbe bounce-Periode ansehen. Dann betragt die volle bounce-Periode
20 Plasmaschwingungen. Erwartet werden nach (6.60)fur die maximal instabile Mode
4=(0:01) 1=3 = 23:4 Plasmaschwingungen. Dieses ist eine schone Ubereinstimmung mit
den Abschatzungen aus der linearen Theorie, wobei der kleine Unterschied wieder den
periodischen Randbedingungen zugeschrieben werden kann.

6.3. AUFGABEN 187
6.3 Aufgaben
1. Zeigen Sie, da jede Funktion der Form g( 1
2 mv2 ; e ) Losung der Vlasovgleichung
ist.
@f
@t
@f e @ @f
+ v ;
@x m @x @v =0
2. Die Strahl-Plasma-Instabilitat sattigt sich durch Einfang von Strahlelektronen. Bei
welcher Wellenamplitude kame es zum Einfang von ruhenden Elektronen?

188 KAPITEL 6. KINETISCHE EFFEKTE IN PLASMEN

Kapitel 7
Randschichte ekte in Plasmen
Das Interesse an einem quantitativen Verstandnis der Randschicht von Plasmen hat zwei
Wurzeln. Bereits 1925 hatte Langmuir [91] kleine zusatzliche Elektroden in das Plasma
eingebracht, um aus der Strom-Spannungscharakteristik Ruckschlusse auf Elektronendichte
und -temperatur zu ziehen. Diese Technik, die als Langmuirsonden bekannt ist,
beruht auf den unterschiedlichen Elektronen- und Ionen ussen zu einer Wand, deren Potential
vom Plasmapotential verschieden sein kann. Die Nichtgleichgewichtseigenschaften
des Plasmas vor einer (leitenden oder dielektrischen) Wand sind in den letzten 15 Jahren
durch die Plasmatechnologie in den Vordergrund des Interesses geruckt. Hier ist man an
einer genauen Kenntnis der Ionen usse zur Wand und an der Ionenenergieverteilung beim
Auftre en auf die Wand interessiert. Derartige Fragen sind bedeutsam fur das anisotrope
Atzen von Halbleiterchips (vgl. Abschnitt 2.1.3) oder fur das Zerstauben (Sputtern) von
Metallober achen durch Ionenbeschu .
7.1 Das Plasma vor einer leitenden Wand
Wir betrachten eine ebene leitende Wand bei x = 0 (Abb. 7.1) und ein Plasma, das den
Halbraum x

190 KAPITEL 7. RANDSCHICHTEFFEKTE IN PLASMEN
Abbildung 7.1: Geometrie des Randschichtproblems. Die Sondenober ache be ndet sich
bei x =0.
Daher kann das Elektronengas durch den Boltzmannfaktor beschrieben werden:
ne(x) =ne0 exp
e (x)
kBTe
!
: (7.1)
Dabei ist ne0 die Elektronendichte an einem Bezugsort mit = 0. Fur ein negatives Potential
(x) beschreibt dieser Faktor gerade die Verdunnung der Elektronenkomponente.
Diese kommt dadurch zustande, da von den Elektronen innerhalb einer Maxwellverteilung,
die bei Potential = 0 losgelaufen sind, nur solche den Ort x erreichen konnen,
deren kinetische Energie gro er ist als die Potentialbarriere ;e (x). Nehmen wir an, da
das Wandpotential stark negativ ist (j (0)j kBTe=e). Dann ndet diese Elektronenverdunnung
im wesentlichen am linken Rand der Schicht statt. Folglich ist der restliche
Teil der Raumladungsschicht fast ausschlie lich von Ionen bevolkert, die sich im freien
Fall auf die negative Wand zu bewegen. Ihre Geschwindigkeit in der Schicht erhalten wir
aus dem Energiesatz:
1 2
miui (x)+e (x) =
2 1 2
miui (;d)+e (;d) (7.2)
2

7.1. DAS PLASMA VOR EINER LEITENDEN WAND 191
mit ui(;d) =u0 zu
ui(x) =
u 2
0 ;
2e (x)
mi
! 1=2
� (7.3)
wobei (;d) gegenuber (x) als betragsma ig klein vernachlassigt wird. Die lokale Ionendichte
ergibt sich aus der Kontinuitatsgleichung fur eine stationare Ionenstromung
(@=@t = 0), fur die wir zusatzlich annehmen, da keine Erzeugungs- oder Vernichtungsprozesse
auftreten. Letztere Annahme ist fur die Schicht vor der Sonde gerechtfertigt. In
der Kathodenschicht sind dagegen die Erzeugungsprozesse nicht vernachlassigbar.
@
@x [ni(x)ui(x)] = 0
ni(x)ui(x) = ni(;d)u0 (7.4)
Die Beschleunigung der Ionen fuhrt also zu einer Verdunnung der Ionenkonzentration in
der Schicht:
ni(x) =ni(;d)
"
1 ;
2e (x)
miu 2 0
# ;1=2
: (7.5)
Um eine selbstkonsistente Losung des Raumladungsproblems zu erhalten, losen wir die
Poissongleichung unter Berucksichtigung der Elektronen- und Ionenraumladung in der
Schicht:
0
00 = e(ne ; ni)
8 <
= ene(;d)
: exp
e (x)
kBTe
!
;
1 ;
2e (x)
miu2 ! 9
;1=2= � 0
: (7.6)
Den Bezugsort x = ;d nennen wir die Schichtkante. Wirwerden im folgenden die Eigenschaften
der Elektronen und Ionen an diesem Bezugspunkt ableiten.
7.1.1 Bohm-Kriterium
Zunachst wollen wir die Frage untersuchen, unter welchen Bedingungen das Raumladungsproblem
(7.6) physikalisch sinnvolle Losungen besitzt. Dieser Typ von Di erentialgleichung
ist uns bestens gelau g, wenn wir einen Vergleich zur Bewegung eines Teilchens
im Potentialtopf herstellen:
0
@V (r)
r = ;
@r
00 = ; @ ( )
@
(7.7)
: (7.8)
Die Gro e ( ) hei t Pseudopotential, Sagdeevpotential [92] oder klassisches Potential.
Die Entsprechungen zwischen und V sind in der Tabelle 7.1 zusammengestellt.

192 KAPITEL 7. RANDSCHICHTEFFEKTE IN PLASMEN
Variable Raumladungsproblem Variable Mechanik
el. Potential r Bahnkurve
x Ortsvariable t Zeit
Pseudopotential V mech. Potential
Tabelle 7.1: Vergleich des Raumladungsproblems mit einer Bahnkurve imPotentialtopf
Die Eigenschaften der Losung der Poissongleichung konnen wir also anhand der Analogie
zum mechanischen Fall diskutieren. Dabei gibt es stabile und instabile Formen der
Ruhelage der Kugel im Potential, wie Abb. 7.2 zeigt. Eine Gleichgewichtslage ndet die
Abbildung 7.2: Stabilitat der Ruhelage einer Kugel im Potentialtopf.
Kugel an den Extremalpunkten (V 0 = 0). Fur ein Potential (V 00 (0) > 0) ist dieses Gleichgewicht
stabil, wahrend fur V 00 (0) < 0eineStorung der Nullage zu einem weiteren Anwachsen
der Storung fuhrt (Instabilitat).
Zur Diskussion des Pseudopotentials fuhren wir normierte Variable = x= D und
= ;e =kBTe ein. Die verwendete Debyelange entspricht den Bedingungen an der

7.1. DAS PLASMA VOR EINER LEITENDEN WAND 193
Schichtkante: 2
D = 0kBTe=ne(;d)e 2 . Dann lautet die Poissongleichung:
d2 2
= 1+
d 2 M2 ;1=2
; e ; @ ( )
= ; : (7.9)
@
Darin ist M =(miu 2
0 =kBTe) 1=2 = u0=Cs das Verhaltnis aus der Ionengeschwindigkeit an
der Schichtkante und der ionenakustischen Geschwindigkeit. Wir nennen daher M die
Machzahl. Das Pseudopotential konnen wir direkt durch Integration von (7.9) gewinnen:
( )=;M 2
"
1+ 2
M 2
1=2
; 1
#
+ e ; ; 1 : (7.10)
Der Verlauf dieses Pseudopotentials ist in Abb. 7.3 dargestellt. Fur Werte M < 1 bildet
sich ein Maximum, das hoher liegt als das Pseudopotential bei = 0, das wir als
Bezugspunkt au erhalb der Schichtkante heranziehen. Im mechanischen Analogon wurde
die Kugel dann eine Ruhelage bei x = 0 annehmen� hier entsteht nur die Triviallosung
=0.
Im anderen Grenzfall M 1gibtesnur ein Maximum bei = 0. Die Kugel im mechanischen
Bild wurde den Berg beschleunigt herabrollen. Durch numerische Integration
erhalt man hier Potentiallosungen, die monoton auf das negativeWandpotential zulaufen.
Das ist gerade die gewunschte Potentiallosung in der Schicht. Fur M 1 gibt es also
Losungen, die die Form des unten diskutierten Child-Langmuirgesetzes annehmen (vgl.
Abschnitt 7.1.2).
Diese Betrachtung zum Losungsverhalten der Poissongleichung liefert das Bohmkriterium:
M 1 : (7.11)
Es besagt, da die Ionen an der Schichtkante x = ;d bereits auf (mindestens) die Ionenschallgeschwindigkeit
beschleunigt sein mussen. Wenn das nicht der Fall ist, wird das
Ionengas beim freien Fall auf die negative Wand so stark verdunnt, da nahe der Schichtkante
die Ionendichte unter die Elektronendichte sinkt. Dann tritt dort aber { gema der
Poissongleichung { eine 'falsche' Krummung des Potentials auf, die unserer Forderung
nach einer elektronenabsto enden Schichtlosung widerspricht. Es ist aber nicht erforderlich,
da die Machzahl den Schwellwert wesentlich uberschreitet, so da die Ungleichung
(7.11) in der Praxis auch als Gleichung gelesen werden kann.
Weiterhin bedeutet die Bedingung, da die Ionen an der Schichtkante bereits die Machzahl
M = 1 erreicht haben sollen, da in der Randzone des Plasmas fur x

194 KAPITEL 7. RANDSCHICHTEFFEKTE IN PLASMEN
Abbildung 7.3: (links) Pseudopotential der Raumladungsschicht, fur M < 1bildetsich
ein Maximum. (rechts) Normierter Potentialverlauf. Fur M < 1 tritt nur die triviale
Losung = 0 der Poissongleichung auf, fur M 1 ergibt sich derUbergang zum
Child-Langmuirgesetz.
als sto frei betrachtet werden kann, la t sichdasPotential an der Schichtkante aus M
abschatzen zu:
1
(;d) ; 1
2
kBTe
:
e
(7.12)
Man sieht das Plasma in der Vorschicht x

7.1. DAS PLASMA VOR EINER LEITENDEN WAND 195
ten Pseudopotentials:
0
Zx
d
dx
1
2
0
0 00 = ; @
02 dx = ;
@
Z
(x)
;d
(;d)
02
(x) ; 02
(;d) =
1
;
0
@
@ d
1
2
f [ (x)] ;
0
[ (;d)]g : (7.14)
Die elektrische Feldstarke ist an der Schichtkante gering gegenuber den Feldstarken innerhalb
der Schicht, so da 02 (;d) 0 gesetzt werden darf. Fur gro es negatives Potential
an der Wand ;e (0) kBTe gibt es (bis auf eine schmale Zone an der Schichtkante)
praktischkeine Elektronen mehr in der Schicht, so da wir das Pseudopotential annahernd
allein aus der Ionenraumladung berechnen konnen:
=;ne(;d)miu 2
0
1 ; 2e
miu2 ! 1=2
0
;ne(;d)miu 2
0
;2e
miu2 ! 1=2
0
: (7.15)
wobei der letzte Naherungsschritt der oben gemachten Voraussetzung folgt. Konsequenterweise
setzen wir dann auch (;d) = 0 und vernachlassigen [ (;d)]. Damit losen wir
die DGl. (7.14) in der Form:
Z
0
d
(; ) 1=4
(x)
d
( ) 1=4
0 =
=
=
4
3 [; (x)]3=4 = ;
2ne(;d)u0
0
2ne(;d)u0
0
2ne(;d)u0
0
2ne(;d)u0
0
! 1=2
(2emi) 1=4 (; ) 1=4
! 1=2
(2emi) 1=4dx ! 1=2
(2emi) 1=4
Zx
;d
dx
! 1=2
(mie) 1=4 (x + d) : (7.16)
Hieraus folgt die Gestalt des Potentialverlaufs in der Raumladungsschicht als:
(x) / (x ; (;d)) 4=3 : (7.17)
Wahlen wir x =0und; (0) = U, so wird die Stromdichte der Ionen:
ji = ne(;d)u0e = 4p 1=2 3=2
2 e U
0
9 mi d2 : (7.18)
Dieses ist das Child-Langmuir-Gesetz fur den raumladungsbeschrankten Ionenstrom.
Es wurde ursprunglich fur den Elektronenstrom in Vakuumdioden formuliert [88, 89,
90] und zeigt den bekannten Anstieg des Stroms mit der Potenz U 3=2 der angelegten
Spannung.

196 KAPITEL 7. RANDSCHICHTEFFEKTE IN PLASMEN
7.2 Die Langmuirsonde
Wir denken uns eine zusatzliche (ebene) Elektrode in das Plasma eingebracht, deren
Flache klein gegenuber den Elektroden achen ist, soda der zur Sonde ie ende Strom
das Entladungsgeschehen nicht wesentlich verandert.
Langmuirsonden betreibt man in der Schaltung gema Abb. 7.4.
Abbildung 7.4: Schaltung zur Messung von Sondenkennlinien.
Bei Variation der Sondenspannung gegenuber dem Potential des ungestorten Plasmas
in der Sondennahe wird der durch die Sonde ie ende Strom aufgezeichnet. Man
unterscheidet drei Bereiche in der I(U)-Kennlinie der Sonde (Abb. 7.5):
A Den Ionensattigungsbereich fur stark negative Sondenspannung gegenuber
dem Plasma. Hier ie t nahezu kein Elektronenstrom zu der stark negativen
Sonde.
B Den Elektronenanlaufstrom.
C Den Elektronensattigungsstrom fur positive Sondenspannung gegenuber
dem Plasma. Hier wird der Sondenstrom fast nur von Elektronen getragen.
Den Punkt, an dem der Sondenstrom Null wird, bezeichnet man als Schwebepotential� gebrauchlicher
ist der englische Ausdruck oating potential. DerUbergangspunkt zum Elektronensattigungsbereich
liegt beim Plasmapotential, da hier die Sondenspannung gleich

7.2. DIE LANGMUIRSONDE 197
Abbildung 7.5: Kennlinien von Langmuirsonden fur ebene, Zylinder- und Kugelsonden.
Man unterscheidet Ionensattigungsbereich, Elektronenanlaufbereich und Elektronensattigungsbereich.
Aus historischen Grunden wird der Elektronenstrom als positiv aufgetragen.
dem Potential des umgebenden Plasmas ist und die Elektronenabsto ung gerade verschwindet.
7.2.1 Elektronensattigungsbereich der ebenen Sonde
Die Berechnung des Elektronensattigungsstroms zu einer ebenen Sonde wollen wir uns
anhand der Abb. 7.6 klarmachen. Die Sonde habe das gleiche Potential wie das Plasma.
Dann konnen die Elektronen die Sonde allein aufgrund ihrer thermischen Bewegung erreichen.
Da der Ionenstrom viel kleiner ist, wird er hier vernachlassigt. Ein am Plasmarand
startendes Elektron (innerhalb einer Maxwellverteilung von Geschwindigkeiten) tragt
nur mit seiner zur Sondenober ache senkrechten Geschwindigkeitskomponente bei. Wenn
der Geschwindigkeitsvektor des Elektrons einen Winkel zur Sondennormalen bildet, ist
sein Beitrag zum Strom ;eneve cos . Dann ist der Gesamtstrom zur Sonde:
je�sat = ; 1
4 ene
! 1=2
8kBTe
me
: (7.19)
Der Faktor 1/4 setzt sichauszwei Faktoren 1/2 zusammen, von denen der eine berucksichtigt,
da nur die Halfte der Elektronen in der Maxwellverteilung, namlich diejenigen,

198 KAPITEL 7. RANDSCHICHTEFFEKTE IN PLASMEN
Abbildung 7.6: Zur Berechnung des Elektronensattigungsstroms.
die auf die Sonde zulaufen, zum Strom beitragt. Der andere Faktor 1/2 ist der Mittelwert
des cos2 . Ein weiterer Faktor cos tritt namlich inderRechnung auf, da zwar der
Strom pro Raumwinkel konstant ist, die Flache die der Raumwinkel 'ausleuchtet' aber
mit 1= cos wachst (Abb. 7.6)
Der Ausdruck in der Klammer ist die korrekte mittlere thermische Geschwindigkeit.
Man beachte den Faktor 8= anstelle der 2, die in der wahrscheinlichsten Geschwindigkeit
auftritt und die wir meist lax als thermische Geschwindigkeit bezeichnen.
Macht man das Sondenpotential positiv, so entsteht vor der ebenen Sonde eine an
Ionen verarmte Raumladungsschicht. Die thermischen Elektronen starten dann an der
Schichtkante und werden im freien Fall beschleunigt. Solange aber keine Erzeugungs- oder
Verlustprozesse in der Raumladungsschicht statt nden, bleibt der Teilchen u zur Sonde
erhalten und der Elektronensattigungsstrom ist der gleiche wie beim Plasmapotential.
Dies gilt, solange die Geometrie im strengen Sinne eben ist. Fur die Zylinder und Kugelsonde
steigt der Elektronensattigungsstrom mit der Sondenspannung (vgl. Abschnitt
7.2.5). Auch die ebene Sonde kann durch Verletzung der ebenen Geometrie am Rande der
Sonde einen Anstieg des Sattigungsstroms mit der Spannung erfahren. Dieser Store ekt
la t sich durch einen Schutzring um die Sonde mit gleichem Potential minimieren.
Der Elektronensattigungsstrom gibt uns also unmittelbar Auskunft uber das Produkt
neT 1=2
e .Wenn die Plasmatemperatur nicht stark variiert, benutzt man den (ortlichen) Verlauf
des Sattigungsstroms unmittelbar als ungefahres Ma fur das Elektronendichtepro l.

7.2. DIE LANGMUIRSONDE 199
Wenn die Temperaturvariation bekannt ist, kann man im Prinzip eine noch genauere
Bestimmung des Dichtepro ls gewinnen.
7.2.2 Ionensattigungsstrom
Im Fall der sehr stark negativen Sonde ie t zur Sonde nur ein Ionenstrom. Dieser ist aber
im Unterschied zum Elektronensattigungsstrom nicht durch die thermische Geschwindigkeit
der Ionen gegeben, sondern durch dasBohmkriterium, das den Ionen bereits die
gerichtete ionenakustische Geschwindigkeit gibt:
ji�sat =0� 61nee
! 1=2
kBTe
mi
: (7.20)
Darin berucksichtigt der Faktor 0,61 die Verdunnung des Plasmas an der Schichtkante.
Der Ionensattigungsstrom ist ebenfalls sehr beliebt zur Elektronendichtemessung, da
er wie der Elektronensattigungsstrom die Proportionalitat zu neT 1=2
e besitzt. Er stellt wegen
seiner Kleinheit gegenuber dem Elektronenstrom i.d.R. eine geringere Storung des
Plasmas dar. Es kommt abervor, da die Ionenmasse infolge von Verunreinigung oder
Bildung von molekularen Ionen nicht genau genug bekannt ist,umeineprazise quantitative
Auswertung der Dichte vorzunehmen. Allemal liefert die ortliche Variation des
Ionensattigungsstroms einen guten Schatzwert fur das Dichtepro l.
7.2.3 Elektronenanlaufbereich
Im Elektronenanlaufbereich zur ebenen Sonde gelten dieselben Uberlegungen wie im Sattigungsbereich,
nur da jetzt nur noch der Teil der Elektronen die Sonde erreicht, dessen
Normalgeschwindigkeit hinreichend gro ist, um die Potentialbarriere zu uberwinden. Der
Reduktionsfaktor der Elektronen, die die Sonde erreichen, ist gerade wieder der Boltzmannfaktor:
!
e(U ; p)
je(U) =je�sat exp
: (7.21)
kBTe
wobei p das Plasmapotential ist, und (U ; p) < 0. Gleichzeitig ie t zur Sonde der im
vorigen Abschnitt beschriebene Ionensattigungsstrom, so da der Gesamtstrom zur Sonde
die Summe j = je(U)+ji�sat ist.
Aus dem Verlauf der Kennlinie la t sich dieTemperatur Te folgenderma en gewinnen
(Abb. 7.7):
ln [;je(U)] = ln(ji�sat ; j) = e(U ; p)
+ln(;je�sat) � (7.22)
kBTe
d.h. sie ergibt sich aus der Steigung eines logarithmischen Plots des um den Ionenstrom
korrigierten Sondenstroms gegen die Sondenspannung.

200 KAPITEL 7. RANDSCHICHTEFFEKTE IN PLASMEN
(a)
(b)
Abbildung 7.7: (a) Gemessene Sondenkennlinie. Der Elektronenstrom wird als positiv
aufgetragen. (b) Logarithmische Auftragung des um den Ionenstrom korrigierten Sondenstroms.
Zur Temperaturbestimmung wird der in dieser Darstellung lineare Teil der
Kennlinie benutzt.
7.2.4 Das Floatingpotential
Der Nulldurchgang der Kennlinie erfolgt beim Floatingpotential float, das durch ji =
;je( float) de niert ist:
exp ; 1
2
! 1=2
kBTe
mi
e( p ; float)
kBTe
= 1
4
= ln
! 1=2
8kBTe
exp
me
(
0� 658 mi
me
1=2 )
e( float ; p)
kBTe
!
� (7.23)
d.h. das Floatingpotential ist (je nach Ionenmasse) ca. um (3;5)kBTe=e negativ gegenuber
dem Plasmapotential.

7.2. DIE LANGMUIRSONDE 201
7.2.5 Zylinder und Kugelsonden
In der Praxis werden Langmuirsonden gern in Form von dunnen Drahten aus hochschmelzenden
Metallen (z.B. Wolfram) gefertigt, um die Ober ache gering zu halten.
Eine solche Konstruktion mit Keramikisolation und koaxialer Abschirmung zeigt Abb.
7.8. Aus methodischen Grunden kann die Sonde auch Kugelsymmetrie haben. Derartige
Sonden fertigt man aus sehr feinem Silberdraht (50 m), der durch Schmelzen in einer
hei en Flamme einen Tropfen mit dunnem Stiel bildet. Die Ober achenspannung des
ussigen Silbers gibt ihm eine nahezu perfekte Kugelgestalt, wobei ca. 1mm Durchmesser
ein ublicher Kompromi ist.
Abbildung 7.8: Konstruktion von Zylindersonden und Kugelsonden.
Wenn die Debyeabschirmlange noch klein gegen den Sondenradius rs ist, kann die
Abschirmschicht als hinreichend eben betrachtet werden, um zur Auswertung der Kennlinien
von Kugel- oder Zylindersonden das oben beschriebene Modell der ebenen Sonde
heranzuziehen. Fur den Grenzfall D rs steigt der Sattigungsstrom gegenuber dem
Sattigungsstrom je�sat der ebenen Sonde um einen Korrekturfaktor (Abb. 7.5):
je�zyl = je�sat
s
1+ e
kBTe
(7.24)

202 KAPITEL 7. RANDSCHICHTEFFEKTE IN PLASMEN
je�kug = je�sat 1+ e
kBTe
� (7.25)
Der physikalische Grund fur diesen Anstieg liegt nunmehr in moglichen Umlaufbahnen der
Ladungstrager um die Sonde (orbital motion limit [91, 93]), die zu einer Vergro erung des
Einzugsbereichs der Sonde mit zunehmender Saugspannung fuhrt. Fur dazwischenliegende
Falle hat Laframboise [94] den normierten Verlauf des Sondenstroms in gra scher Form
angegeben.
7.2.6 Praktische Betrachtungen
Die Bestimmung von Elektronentemperatur und Dichte geschieht in drei Schritten, die
wir am Beispiel der ebenen Sonde diskutieren. Zunachst wird der Ionenstrom durch Anpassung
einer Geraden an die Kennlinie im Bereich stark negativer Spannungen festgelegt.
Fur eine ideale Sonde ist diese horizontal. In der Praxis hat sie aber oft eine geringe Steigung
durch Rande ekte oder eine Resistivitat des Plasmas. Der Elektronenstrom ergibt
sich als Di erenz des Sondenstroms zu dieser Modellfunktion des Ionenstromverlaufs. (Im
Fall der Zylinder- oder Kugelsonde wird das Laframboisemodell iterativ angepa t). Die
Elektronentemperatur ergibt sich dann aus der Steigung einer logarithmischen Auftragung
des Elektronenstroms gegen die Sondenspannung. Fur die Elektronendichtebestimmung
kann der Wert des extrapolierten Ionenstroms beim Plasmapotential (7.20) herangezogen
werden. Zum Vergleich ist es sehr zu empfehlen, auch den Elektronenstrom beim
Plasmapotential (7.19) zu verwenden.
7.2.7 Messung der Verteilungsfunktion
Die Diskussion der Langmuirsonde hatte sich bisher auf den Fall einer Maxwellverteilung
der Elektronen beschrankt. Diese Situation ist aber eher die Ausnahme denn die
Regel in Gasentladungen und die in einem solchen Fall aus der mittleren Steigung des logarithmierten
Sondenstroms resultierende Temperatur gibt nur einen groben Anhaltspunkt
uber die Plasmaverhaltnisse. Keinesfalls ist es gerechtfertigt, aus einer solchen Temperatur
inelastische Sto raten zu bestimmen, da diese ausschlie lich von den hochenergetischen
Elektronen bewirkt werden, bei denen die Darstellung durch die Maxwellverteilung i.d.R.
um Gro enordnungen falsch sein kann.
Daher ist es sinnvoll und notwendig, den Elektronenanlaufstrom zur Sonde nochmals
unter dem Gesichtspunkt einer beliebigen Geschwindigkeitsverteilung zu diskutieren und
praktische Verfahren zur Messung der Verteilungsfunktion herzuleiten.
Im Falle eines negativen Sondenpotentials erreichen nur solche Elektronen die Sonde,
deren Normalgeschwindigkeit vz die Potentialbarriere zu uberwinden erlaubt :
m
2 v2
z >eUs � (7.26)

7.2. DIE LANGMUIRSONDE 203
wobei Us der Betrag des Sondenpotentials in Bezug auf das Plasma ist. Dieses ergibt
bei gegebenem Geschwindigkeitsbetrag v eines Elektrons an der Schichtkante eine Beschrankung
fur den Startwinkel (vgl. Abb. 7.9):
m
2 (v cos )2 >eUs : (7.27)
Abbildung 7.9: Ein u des Startwinkels auf das Erreichen der ebenen Sonde im Elektronenanlaufbereich.
Der Elektronenanlaufstrom zur ebenen Sonde bei einer gegebenen Sondenspannung
Us kann somit durch Aufsummierung aller Beitrage in Kugelkoordinaten und Berucksichtigung
dieser Grenzen formuliert werden:
je = ;e
2Z
0
d'
Z1
vmin
v 2 dv
Z
0
(v)
sin d ff(v� )v cos g � (7.28)
wobei vmin =(2eUs=m) 1=2 die Grenzgeschwindigkeit und (v) = arccos(vmin=v) der Maximalwinkel
der Integration ist. Wir wollen nur den Fall einer isotropen Geschwindigkeitsverteilung
weiterverfolgen, die nicht von abhangig ist. Wir andern unsere Notation,
indem wir die Geschwindigkeitsverteilung in Spannungseinheiten umrechnen, d.h. U ist
die kinetische Energie des Elektrons in Volt-Einheiten:
~f(U) =f
q
2eU=m (7.29)

204 KAPITEL 7. RANDSCHICHTEFFEKTE IN PLASMEN
und substituieren dementsprechend im Integral U = mv 2 =2e und dU =(m=e)vdv. Damit
kann (7.28) wie folgt vereinfacht werden:
je = ;2 e
4 e3
= ;
m2 4 e3
= ;
m2 Z1
vmin
Z
1
Us
1
Z
= ;2 e3
m 2
Us
1
Z
Us
v 3 dvf(v)
U ~ f(U)dU
Z
0
dUU ~ f(U) 1
2
(v)
Z
sin cos d
sin (v)
0
xdx mit : sin (v) =
1 ; Us
U
q 1 ; Us=U
(U ; Us) ~ f(U)dU : (7.30)
Die im Integranden dieses Ausdrucks vorkommende Verteilungsfunktion konnen wir durch
zweimalige Di erentiation nach der Sondenspannung Us isolieren. Dazu benutzen wir im
ersten Schritt die Regel:
d
dy
Z
(y)
(y)
und erhalten:
f(x� y)dx =
dje
dUs
Z(y)
(y)
= ;2 e3
m 2
@f(x� y)
@y + 0 (y)f( (y)�y) ; 0 (y)f( (y)�y) (7.31)
8
>< Z
>:
1
Us
[; ~ f(U)]dU ; (Us ; Us)
| {z }
=0
~f(Us)
9
>=
>�
(7.32)
wobei sich der Beitrag von der unteren Integrationsgrenze aufhebt. Im zweiten Schritt
folgt:
d 2 je
dU 2 s
= ;2 e3
m2 ~f(Us) : (7.33)
Die Bestimmung der zweiten Ableitung der Sondenkennlinie als Ma fur die Verteilungsfunktion
wird als Druyvesteynmethode bezeichnet [95]. Man beachte, da die
Geschwindigkeitsskala nichtlinear gestaucht ist, und da man die wahre Geschwindigkeitsverteilung
erst wieder nach Entzerrung des Volumenelements erhalt:
f(v) = ~ f(U) dU
dv = ~ f(U) mv
e = ~ f(U) 2 m
e U
7.2.8 Verfahren zur Messung der Verteilungsfunktion
In der Praxis haben sich zwei Verfahren durchgesetzt:
1=2
: (7.34)

7.2. DIE LANGMUIRSONDE 205
1. Die numerische Di erentiation. Hierbei ist der beim Di erenzieren ansteigende Rauschanteil
der Me daten durch geeignete Glattung in ertraglichen Grenzen zu halten.
2. Die Modulationsmethoden. Diese nutzen die Mischung von Modulationssignalen an
der Sondenkennlinie und ltern den zur zweiten Ableitung proportionalen Anteil
heraus.
Den Aufbau eines Modulationsexperiments zeigt Abb. 7.10.
Abbildung 7.10: Modulationsverfahren zur Bestimmung der Verteilungsfunktion aus der
zweiten Ableitung der Sondenkennlinie
Wenn man der Sondengleichspannung UDC zwei Wechselspannungen U1 sin !1t und
U2 sin !2t kleiner Amplitude uberlagert so erhalt man den Elektronenstrom zur Sonde
durch EntwicklungineineTaylorreihe und Benutzung der Additionstheoreme fur Winkelfunktionen
zu:
Ie = Ie(UDC + U1 sin !1t +sin!2t)
= Ie(UDC)+ dIe
+ 1 d
2
2Ie dU 2 s UDC
dUs UDC
1
2
h U1 sin !1t + U2 sin !2t i
2 2
U1 + U2 ; 1
2
2
U1 cos 2!1t + U 2
2 cos 2!2t
+U1U2 cos(!1 ; !2)t ; cos(!1 + !2)t � (7.35)

206 KAPITEL 7. RANDSCHICHTEFFEKTE IN PLASMEN
d.h. der Sondenstrom enthalt Fourierkomponenten, die proportional zur zweiten Ableitung
der Sondenkennlinie sind. Das sind zum einen die Oberwellen bei 2!1 und 2!2 und
zum zweiten die Mischprodukte !1 ; !2 und !1 + !2. In der Praxis haben sich zwei
Methoden durchgesetzt: (1) der Nachweis der Oberwelle bei Modulation mit nur einer
Sinusspannung (second harmonic probe). Dieses ist technisch sehr einfach realisierbar,
krankt aber an der Erzeugung dieser Fourierkomponente an jeder anderen Nichtlinearitat
des Me systems, wodurch der Dynamikbereich eingeengt ist. (2) Der Nachweis der Differenzfrequenz
bei Modulation mit zwei Sinusspannungen. Die Di erenzfrequenz ist viel
leichter herauszu ltern als die Summenfrequenz, die eng zwischen den Harmonischen 2!1
und 2!2 liegt.
Fur die sinnvollen Werte der Modulationsspannung ist zu berucksichtigen, da auch
eine Gleichrichtung statt ndet, die durch die ersten beiden Summanden in den Termen
der zweiten Ableitung beschrieben wird. Dieser E ekt verringert das Au osungsvermogen.
Gebrauchlich sind in Laborplasmen Modulationsspannungen von ca. 100 mV.
Abbildung 7.11: Zweite Ableitung (obere Kurve) der Sondencharakteristik (untere Kurve)
als Ma fur die Verteilungsfunktion in Spannungseinheiten.

7.2. DIE LANGMUIRSONDE 207
Ein Beispiel fur die Messung der zweiten Ableitung nach dem Modulationsverfahren
in einer Wassersto entladung zeigt Abb. 7.11 im Vergleich zur normalen Sondenkennlinie.
Das Plasmapotential ist klar erkennbar als Nulldurchgang der zweiten Ableitung.
Bei hoheren negativen Sondenspannungen zeigen sich feine Strukturen. Peak 1 stellt die
Primarelektronen aus der Kathode dar, Peak 2 entspricht den thermischen Plasmaelektronen.
Peaks 3 und 4 reprasentieren Elektronen, die superelastisch an angeregten Zustanden
des Wassersto molekuls gestreut wurden [96].
7.2.9 Sondenmessungen in HF-Plasmen
In Hochfrequenzplasmen tritt das Problem auf, da das Plasmapotential in der Sondenumgebung
im Takt der Hochfrequenz (meist 13.56 MHz) mit gro er Amplitude uktuiert.
Dadurch erfolgt eine unerwunschte Mittelung uber die Kennlinie und die gemessenen
Temperaturwerte sind zu gro eren Werten hin verfalscht. Daruberhinaus verschiebt sich
das Floatingpotential ins Negative. Dieser E ekt wird ebenfalls durch (7.35) beschrieben.
Vermeiden la t sich diese Gleichrichtung der HF an der Sondencharakteristik durch
Mitfuhrung der Sonde im Takt der Hochfrequenz [97, 98, 57]. Im einfachsten Fall geschieht
dies mit Hilfe einer ringformigen Hilfselektrode (Abb. 7.12), die wegen ihrer gro eren
Schichtkapazitat die Schwankung des Floatingpotentials mit niedriger Impedanz au angt
und uber einen Koppelkondensator die eigentliche Me sonde mitfuhrt. Im Gleichstromweg
der Me sonde ist eine Kombination von Sperrkreisen eingefugt, die auf die Grundfrequenz
und Oberwellen der Hochfrequenz abgestimmt sind und die Hochfrequenz im
Me kreis unterdrucken. Diese HF-kompensierte Sonde la t sich dann wiederum durch
niederfrequente Modulation zur Messung der Verteilungsfunktion einsetzen. Ein Beispiel
dazu zeigt Abb. 7.12 [99].

208 KAPITEL 7. RANDSCHICHTEFFEKTE IN PLASMEN
Abbildung 7.12: (oben) Aufbau einer HF-kompensierten Langmuirsonde. Durch die
ringformige Hilfssonde (8cm Durchmesser), die parallel zu den Platten der Entladung liegt
und durch Verwendung geeigneter Sperr lter fur die Grundwelle und Oberwelle der HF
wird die eigentliche Me sonde im Takt der HF kapazitiv mitgefuhrt. (unten) Gemessene
Verteilungsfunktionen. Mit zunehmender Hochfrequenzleistung geht die Hochfrequenzentladung
in das -Regime uber und bildet ein kaltes, rekombinationsbestimmtes Glimmlicht

7.3. RAUMLADUNGSDOPPELSCHICHTEN (*) 209
7.3 Raumladungsdoppelschichten (*)
Die Raumladungsdoppelschichten [102] stellen innere Grenz achen zwischen Plasmabereichen
unterschiedlicher Eigenschaften dar. Sie sind ihrer Struktur nach das Analogon
zum pn-Ubergang in Halbleitern, da beide durch eine bipolare Raumladungsstruktur charakterisiert
sind. Wie Halbleiterbauelemente steuern sie den Strom u in Plasmen. Sie
treten in Entladungen insbesondere an Verengungen auf. Im Ionospharenplasma glaubt
man derartige Strukturen gefunden zu haben, die die Erzeugung hochenergetischer Teilchen
oberhalb der Aurora bewirken [101], indem Teilchen kinetische Energie aus dem
Potentialsprung aufnehmen.
In dieser Einfuhrung wollen wir zunachst den einfachsten Fall der Langmuirschen
Doppelschicht naher betrachten, der von kalten Elektronen und Ionen ausgeht. In thermischen
Plasmen gibt es einen gro en Reichtum von sog. schwachen Doppelschichten
[103, 104, 105], die hier aber nur an einem Beispiel beschrieben werden sollen.
7.3.1 Langmuirs starke Doppelschicht
Abbildung 7.13: Langmuirs starke Doppelschicht. (a) Auftreten der Raumladungsdoppelschicht
zwischen zwei Plasmabereichen, (b) Langmuirs Annahme von elektronen- und
ionenemittierenden Flachen (Kathode bzw. Anode) zur Berechnung der Doppelschicht.
Langmuir's Betrachtungen [1] waren fur die Situation gedacht, da eine Elektronen
emittierende Kathode vor sich eine Uberschu raumladung aufbaut, die durch den Rucku
von Ionen aus dem Plasma zum Teil neutralisiert wird. Gesucht wird ein Kriterium
fur die Stabilitat solcher Systeme. Die benutzte Geometrie ist in Abb. 7.13 skizziert. Es
wird angenommen, da Elektronen an der Grenze x = 0 mit einem Teilchen u ;e in das
System eintreten und in dem Potential (x) beschleunigt werden. Ebenso treten Ionen bei

210 KAPITEL 7. RANDSCHICHTEFFEKTE IN PLASMEN
x = L mit negativer Geschwindigkeit und dem Flu
werden die Geschwindigkeiten:
;i(< 0) ein. Infolge des Energiesatzes
ve =
q
2 + ve0 +2e =me
(7.36)
vi = ; q v 2 i0 +2e( 0 ; )=mi �
wobei die Eintrittsgeschwindigkeiten ve0�vi0 als klein angesehen werden. Die Elektronenund
Ionenstromung kann als divergenzfrei angesehen werden, solange keine Erzeugung,
Vernichtung oder Anhaufung statt ndet. Dann ergibt sich die Elektronen- bzw. Ionendichte
aus den Flussen:
ne�i =;e�i=ve�i : (7.37)
Mit diesen Beziehungen schreibt sich diePoissongleichung:
0
00 = e
"
;e
(v2 ; 1=2
e0 +2e =me)
;i
(v 2
i0 +2e( 0 ; )=mi) 1=2
Wir multiplizieren wieder mit 0 und integrieren von 0 bis x:
0
2
0 (x) 2 ; 0 (0) 2 = ;eme
"
;;imi
v 2
e0 + 2e
1=2
; ve0
me
v 2
i0 + 2e( ! 1=2
0 ; )
; v
mi
2
i0 + 2e 0
mi
2
4
#
#
: (7.38)
3
1=2
5 :
(7.39)
0 2 Wir setzen (0) = 0, da wir den Ort x = 0 als Rand eines quasineutralen Bereiches
ansehen wollen, fur den die Feldstarke verschwinden mu . Genauso soll die Feldstarke
bei x = L verschwinden. Wenn wir die Injektionsgeschwindigkeiten als reprasentativ fur
die thermische Geschwindigkeit der Elektronen bzw. fur die Bohmgeschwindigkeit der
Ionen ansehen, durfen wir im Grenzfall starker Potentialsprunge e 0
kBTe den Limes
ve0 ! 0 und vi0 ! 0 bilden. Hieraus ergibt sich dasLangmuirkriterium der starken
Doppelschicht:
;i
;e
= me
mi
1=2
: (7.40)
Das bedeutet, da die durch die Raumladung beschleunigten Ladungstrager gleicherma en
zur Raumladung beitragen. Die Forderung nach Verschwinden der Feldstarke beix = L
ist also gleichbedeutend mit der makroskopischen Neutralitat der Doppelschicht:
E(L) =E(0) + e
0
Z (ni ; ne)dx : (7.41)

7.3. RAUMLADUNGSDOPPELSCHICHTEN (*) 211
7.3.2 Schwache Doppelschichten
Langmuir's Losung des Doppelschichtproblems hat die Geschwindigkeitsverteilung der
Elektronen und Ionen au er acht gelassen. Bei endlicher Teilchentemperatur kommt es
nunmehr dazu, da der niederenergetische Teil der Verteilung an der Potentialbarriere
re ektiert wird. Dies gilt fur die Elektronen auf der Hochpotentialseite und fur die Ionen
auf der Niederpotentialseite. Damit gibt es vier Populationen von Teilchen, die bei der
Berechnung der Potentialstruktur berucksichtigt werden mussen:
1. Freie Elektronen, die von der Hoch- zur Niederpotentialseite stromen konnen,
2. gefangene Elektronen, die zur Hochpotentialseite re ektiert werden
3. freie Ionen, die von der Nieder- zur Hochpotentialseite stromen konnen und
4. gefangene Ionen, die zur Niederpotentialseite re ektiert werden.
In der ersten Spalte von Abb. 7.14 sind die Potentialkontur, die Phasenraume und Dichtepro
le der verschiedenen Teilchenpopulationen fur den Fall der starken Doppelschicht
dargestellt. Die Spalten zwei und drei zeigen die Verhaltnisse fur zwei Arten von schwachen
Doppelschichten [103].
Man spricht von einer schwachen Doppelschicht, wenn der Potentialsprung mit der
Elektronentemperatur vergleichbar ist e 0
kBTe. Da die Teilpopulationen nicht mehr
von einander getrennt bleiben, ist eine Berechnung mit Hilfe des Fluidmodells nicht
moglich. Stattdessen wird dieses System in der kinetischen Theorie durch je eine Vlasov-
Gleichung fur die Elektronen und Ionen und die Poissongleichung beschrieben.

212 KAPITEL 7. RANDSCHICHTEFFEKTE IN PLASMEN
Abbildung 7.14: Vergleich der starken Doppelschicht (a)mitzwei Typen schwacher Doppelschichten
(b,c). Von oben nach unten: Potentialstruktur, Ionenphasenraum, Elektronenphasenraum,
Konzentration der freien Teilchen sowie Gesamtkonzentrationen.

7.4. AUFGABEN 213
7.4 Aufgaben
1. Unter einer Doppelsonde versteht manzwei Einzelsonden, die in der Nahe des Floatingpotentials
betrieben werden und uber eine externe Spannungsquelle verbunden
sind, die eine Di erenzspannung zwischen den beiden Sonden erzeugt. Das Plasmapotential
in der Nahe der beiden Sonden soll gleich gro sein. Berechnen Sie die
Kennlinie I(U) dieser Doppelsonde, indem Sie die Serienschaltung zweier ebener
Einzelsonden heranziehen.
2. Eine ebene Einzelsonde wird uber einen Trennkondensator mit Wechselspannung
der Amplitude U bei niedriger Frequenz gespeist (Modulationsmethode), so da
die weiteren Betrachtungen anhand der statischen Kennlinie durchgefuhrt werden
konnen. Nehmen Sie an, da nach einiger Zeit, in der die Einschaltvorgange abgeklungen
sind, der mittlere Strom uber eine Periode gleich Null ist. Welche mittlere
Gleichspannung baut sich dann in dem Kondensator auf?

214 KAPITEL 7. RANDSCHICHTEFFEKTE IN PLASMEN

Anhang A
Losungshinweise zu den Aufgaben
Aufgaben zu Kapitel 1
1. Durch Di erenzieren zeigt man sofort, da
@2 2 @
+ 2 @r r @r
; 1
2
D
fur r>0 gilt. Die Normierung der Losung erhalt man durch Anwendung des Gau schen
Satzes auf eine kleine Kugel um den Ursprung:
Z r dS = ; Q
2. Benutze dE=dx = nee= 0, also
E(x) = nee
0
=0
x also : ( De) = 1 nee
2 0
3. Die Grenze zur Nichtidealitat ist gegeben durch:
ne
0kBT
e 2 ne
! 3=2
Die Entartungsgrenze ergibt sich aus:
n ;1=3
e
=
Aufgaben zu Kapitel 2
h
2 me(2 kBTe=me) 1=2
1. Nullsetzen der ersten Ableitung ergibt:
0= df
dv =4
=1 also : ne =
m
2 kBT
3=2
exp
0
2
De = kBT
2e
0kB
e2 ! 3
T 3
zu : ne = (2 )9=2 (mekB) 3=2
215
; mv2
!
2kBT
h 3
2v ; mv3
!
kBT
T 3=2

216 ANHANG A. LOSUNGSHINWEISE ZU DEN AUFGABEN
Notwendig ist das Verschwinden der rechten Klammer, aus der die gesuchte Eigenschaft
vw =2kBT=m folgt.
2. Das erste Moment der Maxwellverteilung kann direkt integriert werden:
vw =
Z
0
1
4
1=2
v
vw
3
exp
woraus vw = q 8kBT= m folgt.
3. Hinweis: Benutze das Integral
"
; v
Z
0
1
vw
2 #
dv = 4
x 4e ;x2dx
= 3
8
1=2 vw
4. Einsetzen des Ansatzes in die Bewegungsgleichung ergibt:
v0 = ; eE
m
1=2
m mv0 ; i!v0 = ;eE
1
m ; i!
= ;eE
m
Z
1
0
m + i!
+ !2
2
m
x 3 e ;x2
dx = 2
1=2 vw
Hieraus ergeben sich die Grenzfalle v0 = ;eE= mm = ; E fur ! m, d.h. das Resultat
fur den Gleichstromfall und v0 = ;ieE=!m fur ! m, d.h.imHochfrequenzfall
sind Strom und Spannung um ' =90 o phasenverschoben. Allgemein ist tan ' =
Im(v0)=Re(v0) =!= m.
5. Mit dem Separationsansatz n(r�t)=n(r)T (t) ergibt sich die zeitabhangige Di usions-
gleichung zu:
1 @T
T @t
; 1
n Da
1 @
r @r
Wegen der Unabhangigkeit der Variablen T und n mu jeder der Summanden konstant
sein, also T 0 =T = ;1= ,woraus T / e ;t= folgt und fur das Dichtepro l die Di erntial-
gleichung folgt:
n 1 @
+ Da
r @r
r @n
@r
r @n
@r
!
!
=0
=0 :
Mit der Normierung x = r= p Da nimmt letztere die Form der Besselschen DGl. der
Ordnung 0 an:
@n 1 @n
+ + n =0
@x2 x @x
�
deren Losung die Besselfunktion J0(x) ist. Aus der Bedingung, da die Elektronendichte
bei r = a verschwindet, folgt a= p Da =2� 401 also wird die Abklingzeit = a 2 =2� 401 2 Da.
6. Hier ergibt sich wiederum die Besselsche DGl. fur J0
@n 1 @n
+ + n =0 �
@x2 x @x
!

q
mit x = r i=Da. Das Dichtepro l ist also
n(r) =n(0)J0
2� 401r
a
q
Die erforderliche Ionisationsrate ist dann durch 2�401 = a i=Da festgelegt. Man beachte
die Parallele zur Zerfallskonstanten in Aufgabe 5.
Aufgaben zu Kapitel 3
1.a) In Koordinaten ergibt sich sofort:
vx = E + !c
vy = ; !c
vx
m
vy
m
Lost man diese gekoppelten Gleichungen nach den Geschwindigkeitskomponenten auf:
vx =
m=!c
1+( m=!c) 2
E
B
vy =
1
;
1+( m=!c) 2
E
B
Die transversale Geschwindigkeit vy entspricht fur niedrige Sto frequenz der E B-
Geschwindigkeit. Die dem E-Feld parallele Geschwindigkeit vx durchlauft ein Maximum
bei m=!c =1.
1.b) tan( )=vy=vx = !c= m
1.c) m = na vth�e =310 22 10 ;19 4 10 5 s ;1 =1,2 GHz. Die Gasdichte entsprichtetwa1mbar
Fulldruck bei Raumtemperatur. !c =1:76 10 11 rad/s B/T. Also Bkrit =1� 2 10 9 =1:76 10 11
T = 0.0068 T. Der Elektronenstrom in einer Gasentladung kann also durch Magnetfelder
der Gro enordnung 0.01 T (=100 Gau ) merklich beein u t werden.
1.d) Fur Wassersto onen ist mi =3 10 22 10 ;19 4 10 5 s ;1 = 1,2 MHz. !ci =9� 6 10 7 rad/s
B/T. Also Bkrit =0:013T. Wenn die Ionentemperatur anstelle von Raumtemperatur der
der Elektronen entsprache, ware die Sto frequenz und folglich das kritische Magnetfeld
um ca. einen Faktor 6 gro er.
Aufgaben zu Kapitel 4
1. Man addiere die Impulstransportgleichungen (4.33) und fasse zusammen. Die elektrische
Feldkraft verschwindet wegen der Neutralitat. Ebenso kann der Impulsubertrag zwischen
Elektronen und Ionen den Gesamtimpuls nicht andern.
217

218 ANHANG A. LOSUNGSHINWEISE ZU DEN AUFGABEN
Abbildung A.1: Driftgeschwindigkeiten in gekreuzten Feldern mit Sto en.
2. Der Staudruck ist im wesentlichen durch die Protonen gegeben und wird durch den
magnetischen Druck balanciert:
Somit liegt der Staupunkt bei:
Aufgaben zu Kapitel 5
npmpv 2 = B2
2 0
r
rE
=
= B2
0
2 0
r
rE
;6
B2 0
2 0npmpv2 ! 1=6
' 8
1.a) Die Bewegungsgleichung fur das Teilchen n lautet:
m n = q2
4 0
(
1
;
(xn ; xn;1) 2
1
(xn+1 ; xn) 2
)
' q2
2 0a 3 ( n+1 ; 2 n + n;1)
1.b) Mit dem Ansatz n = A exp[i(kx ; !t)] erhalt man die charakteristische Gleichung:
;! 2 m = q2
2 0a 3
n e ika ; 2+e ;ika o = ; 2q2
ka
sin2
3
0a 2
Die Gro e q 2 = 0ma 3 kann man in Analogie zur Elektronenplasmafrequenz als charakteristische
Frequenz identi zieren, wenn n = a ;3 gesetzt wird. Losungen gibt es nur fur
Wellenzahlen k< =a. Die moglichen Wellen sind dispersiv (s. Abb. A.2). Die hochste

Abbildung A.2: Dispersionsrelation fur Wellen auf der linearen Kette.
auftretende Frequenz ist !max =2q 2 = 0a 3 . 1.c) Die Kraftgleichung erganzt sich dann
durch die Beitrage ubernachster und weiterer Nachbarn:
m n = q2
4 0
+
1
;
(xn ; xn;1) 2
1
;
(xn ; xn;3) 2
1
+
(xn+1 ; xn) 2
1
+ :::
(xn+3 ; xn) 2
1
;
(xn ; xn;2) 2
Damit wird die charakteristische Gleichung:
;! 2 m = ; 2q2
(
2 ka 1
sin +
2 8 sin2 ka + 1 3ka
sin2 + :::
27 2
0a 3
1
(xn+2 ; xn) 2
2. v' =(! 2
pe + k2c2 ) 1=2 =k, vgr = kc2 =(! 2
pe + k2c2 ) 1=2 ,woraus folgt, da v'vgr = c2 .
q
3.a) fpe =8�98Hz ne=m ;3 . Also ist fmax = 4,02 MHz.
3.b)
tgr =
Zh1
h0
ds
vgr
= 1
c
Zh1
h0
!ds
kc
1
=
c
Zh1
h0
!ds
q
2 ! ; ! 2 1
=
pe(s) c
Zh1
h0
ds
)
q 1 ; n(s)=nco
3.c) Setze n(s) =nmax(s ; h0)=(h1 ; h0) und = nmax=nco(h1 ; h0). Dann wird:
tgr = 1
c
Zh1
h0
ds
q 1 ; (s ; h0)
= 1
c
h1;h0 Z
0
dx
p =
1 ; x 2
c 1 ; q 1 ; nmax=nco
219

220 ANHANG A. LOSUNGSHINWEISE ZU DEN AUFGABEN
und die scheinbare Hohe betragt: hs =(2= )f1 ; q 1 ; nmax=ncog.
4. Die Cut-o Dichte fur = 3cm ist nco =1� 2 10 18 m ;3 . Es gilt :
Aufgaben zu Kapitel 6
1. Es gilt:
@g
@t
=0 �
n =
' nco
L =9 1017 m ;3
@g
@x =(;e@
@x )g0
�
@g
@v
= mvg0
so da die Vlasovgleichung erfullt wird.
2. Hier mu 2e >mv2 '=2 ' mv2 0=2 sein. d.h. der Potentialunterschied zwischen Wellenberg
und Wellental mu gro er als die kinetische Energie des Strahls sein.
Aufgaben zu Kapitel 7
1. Die beiden Sonden werden stromsymmetrisch zum Floatingpotential betrieben, so da
der von der Sonde 1 aufgenommene Strom I gleich dem Strom ;I von Sonde 2 ist
(Abb. A.3).
Abbildung A.3: (links) Zur Konstruktion der Kennlinie einer Doppelsonde, (rechts) Doppelsondenkennlinie.
I = I+s ; Iese ; eU 1
k B Te
;I = I+s ; Iese ; eU 2
k B Te

U = U1 ; U2 ist die zwischen den beiden Sonden angelegte Spannung. Dann folgt aus
Summe und Di erenz der beiden Einzelsondenkennlinien:
0 = 2I+s ; Ies e ; eU 1
k B T E +e ; eU 2
k B Te
2I = Ies e ; eU 1
k B Te ; e ; eU 2
k B Te
I = I+s tanh
eU
kBTe
Der Sattigungsstrom der Doppelsonde ist also gleich dem Ionensattigungsstrom der Einzelsonde.
Die Temperatur folgt aus der Steilheit der Kennlinie beim Floatingpotential.
2. Wir benutzen die Sondenkennlinie I = I+s ; Ies exp(eU(t)=kBTe) und verschieben
den Spannungsnullpunkt zum Floatingpotential. Dann vereinfacht sich die Kennlinie zu
I = I+s[1 ; exp(eU 0 (t)=kBTe)]. Wegen der gekrummten Kennlinie ist der Strom in der
positiven Halbwelle der angelegten Spannung gro er als in der negativen Halbwelle. Daher
verschiebt sich der Arbeitspunkt vom Floatingpotential zu UDC. Der Trennkondensator
erlaubt keinen Gleichstromanteil, dahermu im stationaren Fall das Integral des Stroms
uber eine Periode Null sein:
0=
ZT
0
2 = exp eUDC
I(t)dt = I+s
kBTe
2Z
0
exp
ZT
0
"
1 ; exp
eU0
kBTe
e(UDC + U0 cos !t)
kBTe
cos d =exp eUDC
kBTe
!#
2 I0
dt
eU0
kBTe
wobei I0 die modi zierte Besselfunktion ist. Also wird die durch Gleichrichtung an der
Sondenkennlinie auftretende Spannungsverschiebung:
UDC = ; kBTe
e
ln I0
eU0
kBTe
221

222 ANHANG A. LOSUNGSHINWEISE ZU DEN AUFGABEN

Anhang B
Formelsammlung
B.1 Konstanten
Elektronenmasse me = 9� 11 10 ;31 kg
Protonenmasse mp = 1� 67 10 ;27 kg
mp=me = 1836
Elementarladung e = 1� 60 10 ;19 As
e=me = 1� 76 10 11 As/kg
0 = 8� 85 10 ;12 As/Vm
0 = 1� 26 10 ;6 Vs/Am
Boltzmannkonstante kB = 1� 38 10 ;23 J/K
Wirkungsquantum h = 6� 63 10 ;34 Js
h = 1� 05 10 ;34 Js
Temperatur bei 1 eV = 11 605 K
B.2 Formeln
Alle Gro en sind in SI-Einheiten mit folgenden Ausnahmen:
1. Temperaturen Te�Ti�T werden in eV angegeben,
2. Ionenmassen werden auf die Protonenmasse mi = mp bezogen.
Elektronengyrationsradius
rce = vth�e
!ce
=2� 38 10 ;6 m
223
q Te=eV
B=T

224 ANHANG B. FORMELSAMMLUNG
Ionengyrationsradius
Debyelange
rci = vth�i
De =
!ci
Elektronenplasmafrequenz
!pe =
Ionenplasmafrequenz
=1� 02 10 ;4 m
p Ti
Z
0kBTe
nee2 ! 1=2
=7�43 10 3 m
nee 2
0me
fpe = 8� 98Hz
!pi =
! 1=2
2 Z nie2! 1=2
0mi
fpi = 0� 21Hz Z
Elektronenzyklotronfrequenz
Ionenzyklotronfrequenz
Obere Hybridfrequenz
!ce = eB
me
=56� 4rad=s
q ne=m ;3
=1�32 rad=s Z
s
ni=m ;3
1
B=T
vu
u
t T=eV
n=m ;3
q ne=m ;3
=1� 76 10 11 rad=s B=T
fce = 2� 80 10 10 Hz B=T
!ci = ZeB
mi
s ni=m ;3
=9� 58 10 7 rad=s Z B=T
fci = 1� 52 10 7 Hz Z B=T
! 2
oh = ! 2
pe + ! 2
ce

B.2. FORMELN 225
Untere Hybridfrequenz (hohe Dichte)
!uh = p !ce!ci =4� 10 10 9 rad=s
fuh = 6� 53 10 8 Z s Z B=T
Thermische Geschwindigkeit der Elektronen
vth�e =
! 1=2
2kBTe
me
Thermische Geschwindigkeit der Ionen
vth�i =
! 1=2
2kBTi
mi
Ionenakustische Geschwindigkeit
Cs =
kBTe +3kBTi
mi
Alfven-Geschwindigkeit
vA = B
p
0 m
! 1=2
=5� 93 10 5 m=s
=1� 38 10 4 m=s
=9� 79 10 3 m=s
=2� 18 10 13 m=s
s Z B=T
q Te=eV
s Ti=eV
s (Te +3Ti)=eV
B=T
q ne=m ;3

226 ANHANG B. FORMELSAMMLUNG

Anhang C
227

228 ANHANG C. LISTE DER VERWENDETEN SYMBOLE
Liste der verwendeten Symbole
Symbol Bedeutung
A Querschnitts ache
b90 Sto parameter fur 90o Ablenkung
ionenakustische Geschwindigkeit
Cs
Da ambipolarer Di usionskoe zient
De�i freier Di usionskoe zient fur Elektronen und Ionen
D! Fourierkomponente der dielektrischen Verschiebung
E! Fourierkomponente der elektrischen Feldstarke
f(~r�~v� t) Verteilungsfunktion in der kinetischen Theorie
fM(v) Maxwell-Verteilung
g Gravitationskonstante
je�sat Elektronensattigungstrom der Langmuirsonde
j elektrische Stromdichte
~ k Wellenvektor
me�mi Elektronen- bzw. Ionenmasse
ma
M
Atommasse
Machzahl
ne�ni Elektronen- bzw. Ionendichte
na Atomdichte
Ne�Ni Elektronen- bzw. Ionenanzahl
ND
N
Zahl der Elektronen in der Debyekugel
Brechungsindex
sj Ladungsvorzeichen der Teilchensorte j
S Erzeugungsrate
~u Driftgeschwindigkeit einer Verteilung von Teilchen
~v Individualgeschwindigkeit eines Teilchens
vA Alfvengeschwindigkeit
vgr Gruppengeschwindigkeit
v' Phasengeschwindigkeit
Waus Austrittsarbeit
Ionisationsenergie
Wi

Symbol Bedeutung
Gasverstarkungsfaktor
W Energieubertrag beim elastischen Sto
Anwachsrate =Im(!)
i Sekundaremissionskoe zient
; Teilchenstrom
Dielektrizitatskonstante (Tensor)
Resistivitat
normiertes Potential (= ;e =kBTe)
mittlere freie Weglange
Debyelange
D
ei
m
!ce
!pe
=9ND
Massenzahl mi=mp
magnetisches Moment
Sto frequenz der Elektronen mit Ionen
Sto frequenz der Elektronen fur Impulsverlust
Elektronenzyklotronfrequenz
Elektronenplasmafrequenz
' Phase
elektrisches Potential
Winkel zwischen Wellenvektor und Magnetfeld
Pseudopotential
e Ladungsdichte
m Massendichte
Leitfahigkeit (Tensor)
Wirkungsquerschnitt fur Ionisation
ur
ion
90
Wirkungsquerschnitt fur 90 o -Sto e
Zustandssumme der r-ten Ionisationsstufe
normierte Lange (=x= D)
229

230 ANHANG C. LISTE DER VERWENDETEN SYMBOLE

Literaturverzeichnis
[1] L. Tonks, I. Langmuir, Phys. Rev. 33, 195 (1929)
[2] D.A. Frank-Kamenezki, Plasma { der vierte Aggregat-zustand der Materie, Verlag
Progress, Moskau (1963)
[3] F. Fraunberger, Illustrierte Geschichte der Elektrizitat, Aulis, Koln (1985)
[4] The collected works of I. Langmuir, Macmillan (Pergamon), New York (1961)
[5] W. Schottky, J. v.Issendorf, Z. Phys. 31, 163 (1925)
[6] R. Seeliger, Einfuhrung in die Physik der Gasentladungen Barth, Leipzig (1934)
[7] A. von Engel, M. Steenbeck, Elektrische Gasentladungen, Bd. I und II, Springer,
Berlin (1934)
[8] E.V. Appleton, Proc. Roy. Soc.41, 43(1928)
[9] E.V. Appleton, Proc. Roy. Soc.42, 321 (1930)
[10] S. Chapman, Solar Plasma, Geomagnetism and Aurora, Blackie, London (1964)
[11] J.A. Ratcli e, The Magnetoionic Theory and Its Application to the Ionosphere, Cambridge
NY (1959)
[12] K.G. Budden, Radio Waves in the Ionosphere, Cambridge UP (1961)
[13] K. Rawer, Die Ionosphare, Noordho , Groningen (1953)
[14] L.B. Loeb, Electrical Coronas, University of California Press, Berkeley (1965)
[15] Y.P. Raizer, Gas Discharge Physics, Springer, Berlin (1991)
[16] J.M. Meek, J.D. Craggs, Electrical Breakdown of Gases, Wiley,NewYork (1978)
[17] A. Brekke, A. Egeland, The Northern Light, Springer, Berlin (1983)
231

232 LITERATURVERZEICHNIS
[18] S.I. Akasofu, Aurora Borealis, Alaska Geographic, Vol. 6, No. 2 (1979), reprinted
1991
[19] K.H. Glassmeier, M. Scholer, Plasmaphysik im Sonnensystem, BI Wissenschaftsverlag,
Mannheim (1991)
[20] M.C. Kelley, The Earth's Ionosphere, Academic Press, New York (1989)
[21] J.A. van Allen, L.A. Frank, Nature 183, 430 (1959)
[22] A. Unsold, Physik der Sternatmospharen, Springer, Berlin (1968)
[23] P. Sweet, IAU Symp.6, 123 (1958)
[24] E.N. Parker, Astrophys. J. 138, 552 (1963)
[25] P.A. Sturrock, IAU Symp. 35, 471 (1968)
[26] Z. Svestka, Solar Flares, Reidel, Dordrecht (1976)
[27] R. Dendy, Plasma Physics, An Introductory Course, Cambridge (1993)
[28] A. Rutscher, H. Deutsch, Plasmatechnik, VEBFachbuchverlag, Leipzig (1983)
[29] I.W. Rangelow, H. Loschner, J. Vac. Sci. Technol. B13, 2394 (1995)
[30] J. Wesson, Tokamaks, Clarendon, Oxford (1987)
[31] The Jet Team, Plasma Phys. Contr. Fusion 34, 1749 (1992)
[32] J.D. Strachan et al., Plasma Phys. Control. Fusion 36, B3(1994)
[33] A. Rubenchik, S. Witkowski (eds.), Physics of Laser Plasma, in:Handbook of Plasma
Physics, Vol. 3, North-Holland, Amsterdam (1991)
[34] P. Debye, Ann. Physik 39, 789 (1912)
[35] V.E. Fortov, I.T. Iakubov, Physics of Non-ideal Plasma, Hemisphere Publ., New York
(1990)
[36] H.R. Griem, Plasma Spectroscopy, McGraw-Hill, New-York (1964)
[37] K. Wiesemann, Einfuhrung in die Gaselektronik, Teubner (1973)
[38] R.N. Franklin, Plasma Processes in Gas Discharges, Clarendon, Oxford (1976)
[39] B. Chapman, Glow Discharge Processes, Wiley, New-York (1980)

LITERATURVERZEICHNIS 233
[40] M.A. Liebermann, A.J. Lichtenberg, Principles of Plasma Discharges and Material
Processing, Wiley, New York (1994)
[41] R. Limpaecher, K.R. McKenzie, Rev. Sci. Instrum. 44, 726 (1973)
[42] B.H. Quon, A.Y. Wong, Phys. Rev. Lett. 37, 1393 (1976)
[43] K.N. Leung, M. Bacal, Rev. Sci. Instrum. 55, 338 (1984)
[44] R.W. Motley, Q-Machines, Academic, New York (1975)
[45] D.M. Manos, D.L. Flamm Plasma Etching, Academic Press, Boston (1989)
[46] J.W. Coburn, H.F. Winters, J. Appl. Phys. 50, 3189 (1979)
[47] S. Rossnagel, J.J. Cuomo, W.D. Westwood, Handbook of Plasma Processing Technology,
Noyes Publ., Park Ridge, 1990
[48] S.C. Brown, Basic Data of Plasma Physics, Technology Press and Wiley, New York
(1959)
[49] S. Pfau, Beitrage Plasmaphys. 7, 57(1967)
[50] J.B. Hasted, Physics of Atomic Collisions, Butterworth, London (1964)
[51] H.S.W. Massey, E.H.S. Burhop, H.B. Gilbody, Electron and Ion Impact Phenomena,
2nd ed., Clarendon, Oxford (1969-74)
[52] E.W. McDaniel, Atomic Collisions: Electron and Photon Projectiles, Wiley, New York
(1989)
[53] L. Spitzer Jr., Physics of Fully Ionized Gases, Interscience, NY (1962)
[54] O.W. Richardson, Phil. Mag. 23, 594 (1912)
[55] W.B. Nottingham, Thermionic Emitters, in: Handbuch der Physik, Vol. XXI, ed.S.
Flugge, Springer, Berlin (1956)
[56] M. v. Ardenne, Tabellen zur Angewandten Physik, Bd. I, VEB Deutscher Verlag der
Wissenschaften, Berlin (1956)
[57] V.A. Godyak, R.B. Piejak, B.M. Alexandrovich, Plasma Sources Sci. Technol., 1, 36
(1992)
[58] K. Kohler, J.W. Coburn, D.E. Horne, E. Kay, J. Appl. Phys. 57, 59 (1985)
[59] T.G. Northrop The Adiabatic Motion of Charged Particles, Interscience. NY (1962)

234 LITERATURVERZEICHNIS
[60] F.F. Chen, Introduction to Plasma Physics and Controlled Fusion,Plenum, New York
(1984)
[61] Truesdell, Phys. Rev. 78, 823 (1950)
[62] F. Cap Einfuhrung in die Plasmaphysik, Bd. I-III, WTB Vieweg (1972)
[63] W. Panofski, M. Philips Classical Electricity and Magnetism, Addison-Wesley, Reading
(1969)
[64] W.H. Bennett, Phys. Rev. 45, 890 (1934)
[65] G. Breit, M.A. Tuve, Nature 116 357 (1925)
[66] L. Tonks, I. Langmuir, Phys. Rev. 33, 195 (1929)
[67] H.G. Booker, Cold Plasma Waves, M. Nijho , Dordrecht (1984)
[68] D.G. Swanson, Plasma Waves, Academic, Boston (1989)
[69] T.H. Stix, The Theory of Plasma Waves, McGraw-Hill, New York (1962)
[70] T.H. Stix, Waves in Plasmas, American Institute of Physics, New York (1992)
[71] K.P. Nick, Dissertation, Kiel (1982)
[72] R.H. Huddlestone, S.L. Leonard, Plasma Diagnostic Techniques, Academic, New
York (1965)
[73] H.G. Adler, A. Piel, J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer 45, 11 (1991)
[74] D. Bohm, E.P. Gross, Phys. Rev 75, 1851 (1949)
[75] D. Bohm, E.P. Gross, Phys. Rev 75, 1864 (1949)
[76] H. Soltwisch, Untersuchung der Magnetfeldstruktur in Tokamakplasmen, Phys. Bl.
45, 225 (1989)
[77] I.I. Sobelman, Atomic Spectra and Radiative Transitions, Springer, Berlin (1979)
[78] P.M. Morse, H. Feshbach, Methods of Theoretical Physics, McGraw-Hill, New York
(1953)
[79] J.M. Manley, H.E. Rowe, Proc. Inst. Radio Engrs. 44, 904 (1956)� 46, 850 (1958)
[80] E. Pehl, Mikrowellentechnik, Bd. 2, Huthig, Heidelberg (1989)
[81] J.W.S. Rayleigh, Phil. Mag. 32, 529 (1916)

LITERATURVERZEICHNIS 235
[82] R. Rhodes, The Making of the Atomic Bomb, Simon and Schuster, New York (1986)�
deutsch: Die Atombombe oder die Geschichte des 8. Schopfungstages, Greno, Nordlingen
(1988)
[83] N. Krall, A. Trivelpiece, Principles of Plasma Physics,McGraw-Hill, New York (1973)
[84] L.D. Landau, J. Phys. USSR 10, 25 (1946)
[85] C.K. Birdsall, B. Langdon, Plasma Physics via Computer Simulation, Adam Hilger,
Bristol (1991)
[86] R.W. Hockney, J.W. Eastwood, Computer Simulations using Particles, Adam Hilger,
Bristol (1988)
[87] C.K. Birdsall, IEEE Trans. Plasma Sci. 19, 65(1991)
[88] C.D. Child, Phys. Rev. 32, 498 (1911)
[89] I. Langmuir, Phys. Rev. 2, 450 (1913)
[90] I. Langmuir, Phys. Rev. 21, 419 (1923)
[91] H.M. Mott-Smith, I. Langmuir, Phys. Rev.28,727 (1925)
[92] R.Z. Sagdeev, Cooperative Phenomena and Shock Waves in Collisionless Plasma, in
M.A. Leontovich (ed.): Reviews of Plasma Physics Vol. 4, Consultants Bureau, New
York (1965)
[93] J. Allen, Phys. Scripta 45, 497 (1992)
[94] J.G. Laframboise, Univ. Toronto Inst. of Aerospace Studies, Report 100 (1966)
[95] M.J. Druyvesteyn, Z. Phys. 64 787 (1930)
[96] H. Amemiya, Jap. J. Appl. Phys. 25, 595 (1986)
[97] G. Dilecce, M. Capitelli, S. DeBenedictis, C. Gorse, Proc. 9th ISPC, Vol. 1, p. 411
(1989)� J. Appl. Phys. 69, 121 (1991)
[98] B. Annaratone, N. St. J. Braithwaite, Meas. Sci. Technol. 2, 795 (1991)
[99] A. Melzer, R. Flohr, A. Piel, Plasma Sources Sci. Technol. 4,(1995)
[100] K.U. Riemann, J. Phys. D: Appl. Phys. 24, 493 (1991)

236 LITERATURVERZEICHNIS
[101] R. Bostrom, P.-O. Dovner, A.I. Eriksson, G. Holmgren, A. Malkki, The occurrence
and Role of Auroral Double Layers, in:Fourth Symp. on Double Layers and other
Nonlinear Potential Structures in Plasmas, ed. R. Schrittwieser, World Scienti c,
Singapore (1993)
[102] N. Hershkowitz, Space Sci. Rev. 41, 351 (1985)
[103] H. Schamel, Phys. Reports 140, 161 (1986)
[104] M.A. Raadu, Phys. Reports 178, 25 (1989)
[105] Fourth Symp. on Double Layers and other Nonlinear Potential Structures in Plasmas,
ed.R.Schrittwieser, World Scienti c, Singapore (1993)

Index
Atzen
anisotropes, 19, 43
Plasma-, 19, 42
Atzgase, 19, 42
Atzrate, 45
Atzreaktionen, 42
Abgasreinigung, 16
Ablation, 25
Ableitung
konvektive, 100
Abscheiden, 19
Adiabatenexponent, 146
Adiabatische Invariante, 82
adiabatische Invariante
dritte, 85
zweite, 85
Alfvengeschwindigkeit, 115
Alfvenwelle, 113
Anlaufbereich
Elektronen-, 197
Anodenschicht, 66
Anwachsrate
Strahl-Plasma-Instabilitat, 142
Argonionenlaser, 17
Aurora, 12
Auslosekoe zient, 62
Austrittsarbeit, 62
Auswahlregel fur die Wellenfrequenzen, 159
Auswahlregel fur Wellenvektoren, 159
Bananenbahn, 88
Bennett-Beziehung, 116
Beweglichkeit, 47, 52
237
Bewegungsgleichung
Diskretisierung, 176
Newtonsche, 71
Blitz, 10
Bogenentladung, 36
Bohm-Gross-Dispersionsrelation, 169
Bohmkriterium, 191
Boltzmannfaktor, 27, 187
Boltzmannrelation, 145
Brechungsindex, 133
nichtlineare Veranderung, 157
R- und L-Welle, 150
X- und O-Welle, 154
Brillouin Ruckstreuung, 161
Bugsto welle, 12
Cauchy Hauptwert, 171
Child-Langmuir Gesetz, 193
CO2 Laser, 17
Coulomb-Logarithmus, 61
Coulombsto e, 59
Cusp, 94
Cut-o , 133
Cut-o Dichte, 133, 134
Dampfung
sto freie, 172
Dampfung von Elektronenwellen, 170
de Broglie Wellenlange, 48
Debye-Huckel-Modell, 27
Debyeabschirmung, 26
Debyelange, 28, 29
Debyesphare, 29
diamagnetische Drift, 109

238 INDEX
Diamagnetismus, 83
Dielektrikum
verlustbehaftetes, 128
Dielektrizitatstensor, 128, 131
Di usion, 88
ambipolare, 52, 64
Bananen-, 91
Bohm-, 91
freie, 52
klassische, 91
neoklassische, 91
Di usionsgleichung, 65, 90
fur das Magnetfeld, 112
Di usionskoe zient, 52, 90
Di usionszeit, 112
Diskretisierung, 176
Dispersionsrelation, 130
Bohm-Gross-, 140, 169
Elektronenwellen, 168
ionenakustische Welle, 145
Strahl-Plasma-Instabilitat, 142
Doppelplasmaanordnung, 38, 39
Doppelschicht
Langmuirs starke D., 206
Raumladungs-, 205
schwache D., 208
Dopplere ekt, 141, 142
Driftgeschwindigkeit, 47
diamagnetische, 109
E B-Drift, 74
Gradientendrift, 77
Krummungsdrift, 77
Polarisationsdrift, 82
Druck
kinetischer, 103
magnetischer, 108, 115
Me einheiten, 47
Stau-, 103
Druckbilanz, 107
Druckkrafte, 101
Druyvesteynmethode, 202
DT-Reaktion, 20
Dunkelraum
Astonscher, 36, 37
Faradayscher, 36, 64
Faradyscher, 37
kathodischer, 36
E B-Drift, 73
eingefrorene Feldlinien, 112
Einstein-Beziehung, 52
elektrische Leitfahigkeit, 53
Elektron
gemitteltes, 47
Elektronenanlaufbereich, 197
Elektronenwelle, 167
Elektronenwellen, 131
Energie
mittlere kinetische, 51
Energieverlust
elastische Sto e, 56
inelastische Sto e, 57
Energieverteilung, 57
Entartung, 30
Entladung
kapazitiv gekoppelte HF-, 66
Erdmagnetfeld, 12, 124
Erhaltung der Ladung, 105
Erhaltung der Masse, 105
Excimerlaser, 17
Existenzbereiche, 30
Fuhrungszentrum, 71, 72
Faradaydrehung, 150
Filamentkathoden, 38
Flussigkeitselement, 98
Flammen, 30
Flare, 14
oating potential, 194, 198
Flu invariante, 85
freie Weglange, 48
Fremdheizung, 38
Fusionsplasmen, 30

INDEX 239
Fusionsquerschnitt, 21
Gamma-Regime, 67
Gasentladung, 35
Gaslaser, 17
Gasverstarkungsfaktor, 63
Geschwindigkeitsverteilung, 49
Gittermethode, 177
Glimmentladung, 35
anomale, 36
Charakteristik der, 36
HF-, 66
Leuchterscheinung, 36
normale, 36
Glimmlicht
kathodisches, 36
negatives, 64
negatives, 36, 37
Gradient
longitudinaler, 79
transversaler, 75
Gradientendrift, 75, 86
Gravitation, 75
Gravitationsdrift, 75
Gruppengeschwindigkeit, 128
der elektromagnetischen Welle, 133
guiding center, 72
guiding center approximation, 75
Gyration, 72
Hallspannung, 111
He-Ne Laser, 17
Heizung, 54
stochastische, 68
helische Windungen, 92
Hochfrequenzentladung, 42
Hybridfrequenz
obere, 153
untere, 153
Hybridresonanz, 151
Hysterese, 38
Impulstransportgleichung, 100, 105
Impulsverlust, 46
Instabilitat
Kink-, 120
Saussage-, 120
Strahl-Plasma-, 140
Instabilitat, parametrische, 158
Interferometer
Laser-, 137
Mikrowellen-, 133
Interferometrie, 133
Zweiwellenlangen, 136
ionenakustische Welle, 144
Ionenplasmafrequenz, 145
Ionisationsfrequenz, 58
Ionisationsrate, 58
Ionosphare, 12
isobare Flachen, 106
JET, 21, 23
Kathode
Oxid-, 62
Wolfram-, 62
Kathodenfall, 37, 62
Kennlinie
zweite Ableitung der Sonden-, 202
Kennlinien
Auswertung von Langmuir-, 200
Modulationsmethode, 210
zweite Ableitung der Sonden-, 204
Kernbindungsenergie, 20
Kernfusion
kontrollierte, 20
mit Lasern, 25
kollektives Verhalten, 26
Kombinationsfrequenz, 157
Kontinuitatsgleichung, 65, 100
Krummungsdrift, 77, 86
Krummungsradius der Feldlinien, 78
L-Welle, 150

240 INDEX
Ladungsdichte, 97, 165
Ladungshintergrund
neutralisierender, 131
Ladungsschichten, 175
Ladungstragerlawine, 10
Ladungswolke, 178
Ladungszuweisung, 178
Landaudampfung, 171, 172
inverse, 174
Langmuirsonde, 194
Larmorradius, 72
Laser, 17
Laserfusion, 25
Lawsonkriterium, 20
Leap-frog-Schema, 177
Leitfahigkeit, 112
elektrische, 53
in Gasentladungen, 53
in hei en Plasmen, 53
Leitfahigkeitstensor, 126
Leitungsstrom, 97
Leuchtsto , 16
Leuchtsto rohre, 17, 64
Lichtbogen, 17, 19
longitudinale Invariante, 85
Lorentzkraft, 106
Machzahl, 191
Magnetfeld
inhomogenes, 75, 79
Krummung, 77
poloidales, 88
toroidales, 86
Magnetic Box, 38
magnetic box, 94
magnetische Zugspannung, 115
Magnetischer Einschlu , 86
magnetischer Trichter, 94
magnetisches Moment, 80, 83
Magnetisierung, 97
Magnetohydrodynamik, 111
Magnetohydrostatik, 106
Magnetosphare, 12
Magnetospharenschweif, 12
Massendichte, 165
Maxwellgleichungen, 97, 126
Fourierdarstellung, 127
Maxwellverteilung, 49
der Geschwindigkeitsbetrage, 52
dreidimensionale, 51
verschobene, 98
MHD, 111
ideale, 112, 113
MHD-Generator, 118
MHD-Stabilitat, 120
Minimum-B Kon guration, 94
Natriumdamp ampe, 17
negative Energie, 173
Newtongleichung, 100
Nichtidealitat, 30
Nordlicht, 12
Normalmodenanalyse, 127
O-Welle, 151
Ober ache
magnetische, 107
Ohmsches Gesetz
verallgemeinertes, 111
Oxidkathode, 39
Parallelplatten-Entladung, 43
Parallelplattenentladung
Ersatzschaltbild, 67
Parametrische Instabilitat, 158
parametrische Instabilitat, 159
parametrischer Wellenzerfall, 157
particle-mesh-Verfahren, 174
Passivierung, 44
Phasengeschwindigkeit, 128
Phasenraum, Elektronen-, 180
Pinch, 21
Pinche ekt, 116

INDEX 241
Plasma
De nition, 26
Niedertemperatur-, 35
Plasmaatzen, 42
Plasmachemie, 42
Plasmadriften
Ubersicht, 82
Plasmafrequenz
Elektronen-, 131
Ionen-, 145
Plasmalichtquellen, 16
Plasmaparameter, 29
Plasmaschwingungen, 140
Plasmaspritzen, 19
Poissongleichung, 26, 189
auf dem Gitter, 179
Polarisation, 97, 132
dynamische, 98
zirkulare, 136, 150
Polarisationsdrift, 80
Polarisierungsstrom, 127
ponderomotive Kraft, 155
Positive Saule, 36, 64
Potential
klassisches, 189
presheath, 191
Pseudopotential, 189
Pumpwelle, 157
Q-Maschine, 40, 41
Quasineutralitat, 26
R-Welle, 150
Ramsauer-E ekt, 49
random walk Proze , 88
Randschicht, 187
Raumladungswelle
langsame, 142
schnelle, 142
reactive ion etching, 42
Reichweite des Coulombfeldes, 28
Rekonnektion, 14
Resistivitat, 60
resonante Teilchen, 168
Resonanz, 150
Richardsongleichung, 62
Rotationstransformation, 88
Sattigungsstrom
Elektronen-, 195
Ionen-, 197
Sagdeevpotential, 189
Saha-Gleichung, 33
Scherstromung, 104
Schichtkante, 189
Schwei en, 19
Sekundarelektronen, 37
Selbstfokussierung, 157
Selfbias, 43, 67
solarer Flare, 14
Sonde
Doppel-, 210
ebene, 195
Kugel-, 199
Zylinder-, 199
Sondenmessung
HF-Plasma, 205
Sondenmessungen
Modulationsverfahren, 202
Sonne, 15
Sonnen ecken, 14
Sonnenkorona, 30
Spiegel
magnetischer, 83, 94
Spiegele ekt, 83
Spiegelmaschine, 21, 86
Spiegelverhaltnis, 85
Spiegelwirkung, 88
Spitzer-Formel, 60
Sto e
elastische, 46, 54
inelastische, 46
Stabilitat

242 INDEX
MHD-, 120
Stellarator, 86, 92
Stix-Parameter, 148
Sto frequenz, 57
Sto parameter, 59
Sto parameter fur 90 o -Sto e, 60
Sto prozesse, 46
Sto term, 167
Sto wahrscheinlichkeit, 48
Strahl-Plasma-Instabilitat, 140, 180
Anwachsrate, 180
Strahlplasma-Instabilitat
Anwachsrate, 142
Strahlungsdruck, 155
Strommessung, 121
Superteilchen, 165, 174, 178
Teilchen
gefangene, 88
Teilchendichte, 165
Teilchensimulation, 174
Temperatur, 49, 51, 52
in Elektronenvolt, 51
Thermionische Entladung, 38
Thermionischer Konverter, 40, 41
thermische Geschwindigkeit, 50
Tokamak, 21, 22, 86
Prinzip, 88
Toroidalfeld, 86
Townsendkoe zient
erster, 63
trapping, 182
Vakuumverschiebungsstrom, 127
van Allen Strahlungsgurtel, 12
Vektorprodukte, 108
Verlustkegel, 85
Verschiebungsdichte, 127
Verteilungsfunktion, 164
Messung der, 200
Normierung der, 165
Vlasovbild, 164
Vlasovgleichung, 165, 167
Vlasovmodell, 163
Vorschicht, 191
wave-riding, 68
Wechselstrom
Teilchen-, 126
Wechselwirkungszeit, 59
Welle
Elektronen-, 167
elektrostatische, 167
ionenakustische, 144
linkszirkulare, 150
negativer Energie, 173
positiver Energie, 173
rechtszirkulare, 150
Wellen
elektromagnetische, 131
Elektronen-, 131
Wellengleichung, 126
Whistlerwelle, 150
Wirkungsquerschnitt, 48, 49
elastischer, 49
fur 90 o Coulombsto e, 59
fur Ionisation, 57
X-Welle, 151
Zeitschritt
Wahl des, 179
Zustandsgleichung, 144
Zwei-Plasmonen Zerfallsinstabilitat, 161
Zwei ussigkeitenmodell, 98
Zyklotronfrequenz, 72
Zyklotronresonanz, 149
Elektronen-, 150
Ionen-, 150