EDV - Praktikum (5) - Labor für Medizinische Informatik

Prof. W. Hillen,
Medizinische Informatik
FH - AC (Jülich), Phys. Technik / Bio.Med. Technik
i:\lab_doc\hillen\edv_prak\pas_pr05.doc
EDV - Praktikum (5)
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Thema: Anwendung von Schleifen
Berechnung von numerischen Reihen
(Bestimmung von "π" und der Euler-Zahl "e" mit vorgegebener
Genauigkeit)
Iterative Verfahren
(Lösung von Gleichungen nach dem "Newtonschen
Iterationsverfahren")
Zahlenreihen: „Fibonacci-Zahlen“
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Aufgabe 1 (Numerische Reihen): p - Bestimmung
In der Vorlesung wurde die Bestimmung der Zahl "π" mit Hilfe der "Reihe von
Leibniz" besprochen (vergl. Kap. E5.1 der Vorlesung). Entwickeln Sie das
entsprechende PASCAL-Programm.
Bem.: Als Eingabegröße wird der Restfehler erwartet, z.B. 1.0E-3 oder
kleiner (Achtung: Rechenzeit!).
Aufgabe 2 (Numerische Reihen): e - Bestimmung
Die Euler-Zahl "e" kann dargestellt werden durch die numerische Reihe:
e = 1 + 1 + 1/2 + 1/6 + 1/24 + ... = ∑ ∞
pas_pr05 - 1 -
n=0
1/n!
In dieser Reihe soll das Glied "Gn" einfach aus dem vorhergehenden Glied
"Gn-1" bestimmt werden (keine n! Berechnung durchführen !!!):
Gn = Gn-1 / n

Berechnen Sie diese numerische Reihe und brechen Sie die Reihe ab, sobald
die Glieder der Reihe kleiner werden als ein vorgegebener Fehler.
Bem.: Als Eingabegröße wird der Restfehler erwartet, z.B. 1.0E-4 (oder
kleiner).
Aufgabe 3 (Iterative Verfahren): "Newtonschen Iterationsverfahren"
Entwerfen Sie ein Programm zur Bestimmung von Nullstellen eines Polynoms
(3. Ordnung) nach dem "Newtonschen Iterationsverfahren".
Das Polynom 3. Ordnung wird dargestellt durch:
f(x) = a 3 * x 3 + a 2 * x 2 + a 1 * x + a 0
Verwenden Sie den in der Vorlesung besprochenen Programmaufbau als
Vorlage.
Eingabegrößen sind:
- Die Koeffizienten des Polynomes "a3,...,a0".
- Ein Startpunkt "x1" für die Nullstellensuche.
- Eine Fehlergrenze für die Abbruchbedingung.
Anwendungen zu Aufgabe 3:
Bestimmung von 2 über die Gleichung:
x 2 - 2 = 0 (d.h.: a3 = 0; a2 = 1; a1 = 0; a0 = - 2)
Verwenden Sie als Startpunkt x1 = 2. Der max. Fehler der Rechnung soll
1E-3 sein.
Berechnen Sie in ähnlicher Weise 3 27 über die Gleichung:
x 3 + 27 = 0
Startpunkt: x1 = 10.
pas_pr05 - 2 -

Aufgabe 4 (Zahlenreihen): „Fibonacci-Zahlen“
Die Fibonacci-Zahlen sind eine der bekanntesten Zahlenfolgen. Sie fangen mit
0 und 1 an, und dann ist jede Fibonacci-Zahl gleich der Summe der beiden
vorhergehenden Fibonacci-Zahlen.
F 0 = 0, F 1 = 1,
F 2 = F 1 + F 0 = 1,
F 3 = F 2 + F 1 = 2
und F n+1 = F n + F n-1
F n heißen "Fibonacci-Zahlen". Die ersten Fibonacci-Zahlen sind also:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 ...
Geben Sie in einem Programm die Fibonacci-Zahlen bis zu einer vorgegebenen
Position n in Form einer Tabelle aus:
z.B. (bei Vorgabe von n=6):
F-0 0
F-1 1
F-2 1
F-3 2
F-4 3
F-5 5
F-6 8
Bem.: Der Erfinder der Fibonacci-Zahlen ist der
italienische Mathematiker Leonarda von Pisa (um
1200), der unter dem Namen Fibonacci, der
Kurzform von filius Bonacci bekannt wurde.
Wie von Johannes Kepler festgestellt wurde, nähert
sich der Quotient zweier aufeinander folgender
Glieder F n+1 / F n dem „Goldenen Schnitt“ (1.618...)
an. Überprüfen Sie diese Feststellung.
pas_pr05 - 3 -