Wurzeln

Wurzeln
So, eigentlich ist das Thema gar nicht sooo kompliziert.
Aber ihr müsst die Quadratzahlen auswendig können, damit ihr sie sofort seht in einer
Aufgabe
Ansonsten sind es etwa nur ca. 4 verschiedene Aufgabentypen:
- +/-
- */:
- teilweise Wurzelziehen
- Rationalmachen des Nenners
Alles andere sind Mischformen, für die man auch alle anderen Rechengesetze kennen muss
(Bruchrechnen, Ausklammern, Binomische Formeln,…)
2*2 = 4
3*3 = 9
4*4 = 16
usw.
Was sind denn Quadratzahlen ?
Das Ergebnis ist eine Quadratzahl. Sie entstehen, wenn man zwei gleiche Zahlen malnimmt.
Aus den Quadratzahlen kann man dann die Wurzeln ziehen.
Ihr solltet sie bis 20*20 = 400 auswendig können.
Bei +/- müsst ihr Folgendes beachten:
+/-
Man kann immer nur mit den Wurzel +/- rechnen, wenn unter den Wurzeln das Gleiche steht.
Dann muss man die Zahlen die DAVOR stehen +/- rechnen.
Die Wurzel bleibt dann gleich, nur die Zahl davor ändert sich.

Bei */: muss man auch nicht so viel beachten:
*/:
- Man kann Zahlen VOR der Wurzel malnehmen
- Man kann Zahlen UNTER der Wurzel malnehmen
- Man darf beides aber nicht mischen, was davor steht bleibt davor, was darunter steht
bleibt darunter!
Beispiel:
2 √4 * 5 √9
Dann darf man die 4 und die 9 unter eine Wurzel schreiben, weil beide vorher schon
unter der Wurzel waren.
Aber die 2 und die 5 bleiben davor!
Man muss dann also 2 * 5 √(4*9) rechnen.
Malnehmen darf man beide auch vor der Wurzel.
Aber beide bleiben eben VOR der Wurzel.
Teilergebnis:
10 √36
Jetzt Wurzelziehen:
10 * 6
Die Wurzel verschwindet, weil wenn die WURZEL GEZOGEN wird, dann fliegt die Wurzel
dort weg, wo man sie eben gezogen hat.
Denn zwischen der 10 und der √ steht ja ein Malpunkt, den man ja auch weglassen kann
Endergebnis:
60

Teilweise Wurzelziehen
Wenn die Zahlen einmal anders sind, also keine direkten Quadratzahlen, dann muss man
diese aufteilen.
Zum Beispiel ist ja √24 keine Quadratzahl.
Die kleinere wäre 16, die größere wäre 25.
Also muss man die Zahl 24 so schreiben, dass irgendeine Zahl mal eine Quadratzahl 24
ergibt.
Man probiert dann also ab der 4 die Quadratzahlen durch, ob sie in die 24 passen.
√24 wäre dann zum Beispiel √(4 * 6).
4 ist eine Quadratzahl, aus der man dann die Wurzel ziehen kann.
Das kann man dann auch machen und man schreibt dann das Ergebnis VOR die Wurzel und
der Rest bleibt dann unter der Wurzel stehen.
Das Ergebnis wäre also hier 2 (weil Wurzel aus 4 ja 2 ist) √ 6 (weil 6 übrigbleibt)
Wie wäre es dann bei 27?
√27 = √(9*3)
Ergebnis :
3 √3 ?
Wenn die Zahlen dann eben größer werden, kann man dann eben auch größere Quadratzahlen
probieren.
Es macht aber nichts, wenn man erst einmal nur eine kleine Quadratzahl findet, denn man
sieht dann, wenn man teilweise die Wurzel gezogen hat, ob noch etwas geht.

Rationalmachen des Nenners
Hier geht es darum, eine Wurzel, die im Nenner eines Bruchs, also unter dem Bruchstrich steht, zu
entfernen.
Dazu muss man dann den Bruch erweitern (malnehmen) mit einem anderen Bruch, bei dem oben und
unten das Gleiche steht, und zwar die Wurzel, die man weghaben will.
Beispiele:
1 •••• √7 4 •••• √8 (3+x) •••• √23
√7 •••• √7 √8 •••• √8 √23 •••• √23
Dann muss man nur noch ausmultiplizieren, eventuell kürzen, teilweise wurzelziehen usw, bis man nicht
mehr vereinfachen kann.