10. ¨Ubungsblatt Aufgaben mit Lösungen

f(x)−f(0) x α sin 1 x
lim = lim
−0 = lim
x→0+ x−0 x→0+ x−0 x→0+ xα−1 sin 1 x = 0,
denn |x α−1 sin 1 x | ≤ |xα−1 | x→0
→ 0. Folglich ist f in x 0 = 0 differenzierbar und f ′ (0) = 0. Also ist f auf [0,∞)
stetig differenzierbar.
2.Fall 1 < α ≤ 2.
Genau wie im 1.Fall zeigt man, dass f auch für diese α in x 0 = 0 diffbar ist. f ist in x = 0 aber nicht stetig
differenzierbar, da
lim
x→0 f′ (x) = lim αx α−1 sin 1
x→0 x −xα−2 cos 1 x
nicht existiert. Denn für die Nullfolgen (x n ) n bzw. (y n ) n mit x n := 1
2nπ bzw. y n := 1
2nπ+π gilt
( cos(2nπ) = 1) bzw.
(cos(2nπ +π) = −1).
f ′ (x n ) = −( 1
2nπ )α−2 = −(2nπ) 2−α ≤ −1
f ′ 1
(y n ) = (
2nπ +π )α−2 = (2nπ +π) 2−α ≥ 1
3.Fall 0 < α ≤ 1.
Wegen lim
x→0
f(x) = lim
x→0
x α sin 1 x = 0 ist f in x = 0 stetig. f ist in x 0 = 0 aber nicht differenzierbar, da
4.Fall α ≤ 0.
nicht existiert (das sieht man ähnlich wie im 2.Fall).
lim
x→0
f(x) = lim
x→0 xα sin 1 x
f(x)−f(0)
lim = lim x α−1 sin 1
x→0 x−0 x→0 x
= ∞, da sin beschränkt ist, und lim
x→0 xα = ∞ für α < 0. Also ist f in x 0 = 0 nicht stetig.