10. ¨Ubungsblatt Aufgaben mit Lösungen

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10. ¨Ubungsblatt Aufgaben mit Lösungen

f(x)−f(0) x α sin 1 x

lim = lim

−0 = lim

x→0+ x−0 x→0+ x−0 x→0+ xα−1 sin 1 x = 0,

denn |x α−1 sin 1 x | ≤ |xα−1 | x→0

→ 0. Folglich ist f in x 0 = 0 differenzierbar und f ′ (0) = 0. Also ist f auf [0,∞)

stetig differenzierbar.

2.Fall 1 < α ≤ 2.

Genau wie im 1.Fall zeigt man, dass f auch für diese α in x 0 = 0 diffbar ist. f ist in x = 0 aber nicht stetig

differenzierbar, da

lim

x→0 f′ (x) = lim αx α−1 sin 1

x→0 x −xα−2 cos 1 x

nicht existiert. Denn für die Nullfolgen (x n ) n bzw. (y n ) n mit x n := 1

2nπ bzw. y n := 1

2nπ+π gilt

( cos(2nπ) = 1) bzw.

(cos(2nπ +π) = −1).

f ′ (x n ) = −( 1

2nπ )α−2 = −(2nπ) 2−α ≤ −1

f ′ 1

(y n ) = (

2nπ +π )α−2 = (2nπ +π) 2−α ≥ 1

3.Fall 0 < α ≤ 1.

Wegen lim

x→0

f(x) = lim

x→0

x α sin 1 x = 0 ist f in x = 0 stetig. f ist in x 0 = 0 aber nicht differenzierbar, da

4.Fall α ≤ 0.

nicht existiert (das sieht man ähnlich wie im 2.Fall).

lim

x→0

f(x) = lim

x→0 xα sin 1 x

f(x)−f(0)

lim = lim x α−1 sin 1

x→0 x−0 x→0 x

= ∞, da sin beschränkt ist, und lim

x→0 xα = ∞ für α < 0. Also ist f in x 0 = 0 nicht stetig.

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