elementare Eigenschaften der Abstandsfunktion

ERGÄNZUNG ZUR ÜBUNG VOM 02.05.2013
Zusammenfassung. In Ergänzung zur Übung vom 02.05.2013 wollen wir hier
einige wichtige und häufig genutzte Grundtatsachen über die Abstandsfunktion
festhalten.
Im Folgenden sei (V, ‖·‖) ein normierter Raum und A und B nichtleere Teilmengen
von V . Für v ∈ V definieren wir
dist(v, A) := inf{‖v − a‖; a ∈ A}
sowie
dist(A, B) := inf{‖a − b‖; a ∈ A, b ∈ B}.
1. Lemma. Es seien A und B wie vor. Dann gelten die nachstehenden Aussagen.
(a) Die Abbildung
dist(·, A) : V → [0, ∞); v ↦→ dist(v, A)
ist Lipschitz-stetig mit Lipschitzkonstante 1.
(b) Ist v ∈ V , so gilt dist(v, A) = 0 dann und nur dann, wenn v ∈ A erfüllt ist.
(c) Ist v ∈ V und A kompakt, so existiert ein a 0 ∈ A mit ‖v − a 0 ‖ = dist(v, A).
(d) Ist V endlichdimensional, so gilt die Aussage aus c) bereits, wenn A lediglich
als abgeschlossen angenommen wird.
(e) Sind A und B abgeschlossen und disjunkt und ist wenigstens eine der beiden
Mengen kompakt, so gilt dist(A, B) > 0.
(f) Für alle v ∈ V gilt dist(A, B) ≤ dist(v, A) + dist(v, B).
Beweis. zu (a): Es seien v 1 , v 2 ∈ V beliebig und ɛ > 0 beliebig. Dann gibt es a 1 , a 2 ∈
A mit ‖v j − a j ‖ ≤ dist(v j , A) + ɛ (j ∈ {1, 2}). O.B.d.A. dürfen wir dist(v 1 , A) ≥
dist(v 2 , A) annehmen (andernfalls ändern wir einfach die Nummerierung). Dann
erhalten wir (wegen dist(v 1 , A) ≤ ‖v 1 − a‖ für alle a ∈ A)
| dist(v 1 , A) − dist(v 2 , A)| = dist(v 1 , A) − dist(v 2 , A) ≤ ‖v 1 − a 2 ‖ − (‖v 2 − a 2 ‖ − ɛ)
≤ ∣ ∣ ‖v1 − a 2 ‖ − ‖v 2 − a 2 ‖ ∣ ∣ + ɛ
≤ ‖(v 1 − a 2 ) − (v 2 − a 2 )‖ + ɛ
= ‖v 1 − v 2 ‖ + ɛ.
Aus dieser Ungleichungskette folgt durch Grenzübergang ɛ → 0 + die Abschätzung
| dist(v 1 , A) − dist(v 2 , A)| ≤ ‖v 1 − v 2 ‖
und damit die Behauptung.
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2 ERGÄNZUNG ZUR ÜBUNG VOM 02.05.2013
zu (b): Die Äquivalenzen
zeigen die Behauptung.
dist(v, A) = 0 ⇐⇒ inf{‖v − a‖; a ∈ A} = 0
⇐⇒ ∃ (a n ) n ∈ A N : lim
n→∞
‖v − a n ‖ = 0
⇐⇒ ∃ (a n ) n ∈ A N : lim
n→∞
a n = v in (V, ‖ · ‖)
⇐⇒ v ∈ A
zu (c): Wir wählen eine Folge (a n ) n ∈ A N mit lim n→∞ ‖v−a n ‖ = dist(v, A). Da A hier
als kompakt vorausgesetzt ist, können wir zu einer in A konvergenten Teilfolge (a nk ) k
mit Grenzwert a 0 übergehen. Es folgt dann dist(v, A) = lim k→∞ ‖v−a nk ‖ = ‖v−a 0 ‖
und somit die Behauptung.
zu (d): Sei nun V endlichdimensional, A abgeschlossen und sei ρ := dist(v, A) ≥ 0.
Dann ist die Menge U ρ+1 (v) ∩ A als Schnitt abgeschlossener Mengen abgeschlossen
und daher als Teilmenge der kompakten Menge U ρ+1 (v) selbst kompakt und zudem
nach Wahl von ρ auch nichtleer. Folglich existiert nach Teil (c) ein a 0 ∈ U ρ+1 (v) ∩ A
mit ‖v − a 0 ‖ = dist(v, U ρ+1 (v) ∩ A). Für alle a ∈ A \ U ρ+1 (v) gilt nun offenkundig
Mithin erhalten wir
‖v − a 0 ‖ ≤ ρ + 1 < ‖v − a‖.
dist(v, A) ≤ ‖v − a 0 ‖ ≤ min { dist(v, U ρ+1 (v) ∩ A), dist(v, A \ U ρ+1 (v)) } = dist(v, A),
also ‖v − a 0 ‖ = dist(v, A).
zu (e): Ohne Einschränkung dürfen wir annehmen, dass A kompakt ist. Es gilt
nun dist(A, B) = inf b∈B dist(b, A). Wir können daher eine Folge (b n ) n in B mit
lim n→∞ dist(b n , A) = dist(A, B) wählen. Nach Teil c) gibt es nun zu jedem n ∈ N
ein a n ∈ A mit dist(b n , A) = ‖a n − b n ‖. Da A kompakt ist, können wir zu einer in A
konvergenten Teilfolge (a nk ) k mit Grenzwert a 0 übergehen. Wäre nun dist(A, B) = 0,
so erhielten wir
0 ≤ ‖b nk − a 0 ‖ ≤ ‖b nk − a nk ‖ + ‖a nk − a 0 ‖ = dist(b nk , A) + ‖a nk − a 0 ‖ −−−→
k→∞ 0,
was a 0 ∈ B = B nach sich zöge. Insbesondere würde dann a 0 ∈ A ∩ B gelten im
Widerspruch zur Disjunktheit der Mengen A und B.
zu (f): Sei v ∈ V beliebig. Für alle a ∈ A und b ∈ B gilt dann
dist(A, B) ≤ dist(b, A) ≤ ‖a − b‖ ≤ ‖a − v‖ + ‖v − b‖,
woraus durch Übergang zum Infimum bezüglicher aller a ∈ A die Ungleichung
dist(A, B) ≤ dist(v, A) + ‖v − b‖
folgt, aus der sich wiederum durch Übergang zum Infimum bezüglicher aller b ∈ B
die Abschätzung
dist(A, B) ≤ dist(v, A) + dist(v, B)
ergibt. Damit ist alles gezeigt.
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ERGÄNZUNG ZUR ÜBUNG VOM 02.05.2013 3
1. Bemerkung. Die Aussage aus Teil e) des Lemmas ist im Allgemeinen ohne
Kompaktheitsvoraussetzung falsch.
Beweis. Sei (V, ‖ · ‖) = (R 2 , ‖ · ‖ 2 ). Dann sind A := {(t, e −t ); t ∈ R} und B :=
{(t, 0); t ∈ R} nichtleere, disjunkte, abgeschlossene Mengen mit dist(A, B) = 0. □
2. Bemerkung. Die Aussagen (a)-(c) und (e)-(f) des obigen Lemmas gelten in
unveränderter Fassung auch für sog. metrische Räume. Die Beweise übertragen sich
unmittelbar auf diese allgemeinere Situation.