Trigonometrie mit MuPAD - Kubach-mathe.de

Trigonometrie mit MuPAD
In der einfachsten Form existiert die Sinus-Funktion als y = sin(x) . Es lassen sich
jedoch folgende Parameter anbringen
y = a × sin(b ×(x - c)) + d . Die Wirkung der
Parameter auf die Gestalt des Funktionsgraphen lässt sich (durch eine Animation) wie
folgt untersuchen:
y := sin(x+a):
Anzeige := plot::Text2d(x -> expr2text(x),[4*PI,1],
x=-2..2, TextFont=[14, RGB::Red]):
plotfunc2d(sin(x), y, x=0..4*PI, a=-2..2,
Anzeige(a), LineWidth=0.5)
y 2.0
1.0
0.5
0.0
-0.5
2 4 6 8 10 12
x
-1.0
sin(x)
sin(a + x)
Aufgabe 1:
Setzen Sie nacheinander die Terme
y = a × sin(x), y = sin(a × x), y = sin(x - a) und
y = sin(x) + a ein. Beschreiben Sie die Wirkungen der Parameter.
Aufgabe 2:
Wir wollen die Tageslängen für die Stadt Mainz berechnen. Aus einem Kalender oder dem
Internet entnehmen wir die Daten für den Sonnenauf- und Sonnenuntergang für jeden Tag
des Jahres. Daraus berechnen wir die Taglängen, es gilt zum Beispiel:
Tag Datum Taglänge in
Stunden
80 21. März12.2
172 21. Juni 16.373
Wir wollen die Parameter einer Sinusfunktion y = a × sin(b ×(x - c)) + d bestimmen.
1
ÅÅÅÅ Da der Parameter b die Periode bestimmt, setzen wir b = 2 × p
365 . Da der Parameter c eine

ÅÅÅÅ Da der Parameter b die Periode bestimmt, setzen wir b = 2 × p
365 . Da der Parameter c eine
Verschiebung des Graphen bewirkt, setzen wir c = 80 .
reset()
b := 2*PI/365: c := 80: d := 12.2:
y := x -> a*sin(b*(x-c))+d:
a := op(float(solve(y(172)=16.373,a)))
4.173347812
y(x)
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + 12.2
4.173347812 × sinµ
2 × p ×(x - 80)
365
plotfunc2d(y, x=0..365, ViewingBox=[0..365, 0..17])
y
16
14
12
10
8
6
4
2
0
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360
x
Wie lang ist der 31. Dezember in Mainz?
float(y(365))
8.104666789
Aufgabe 3:
Der Pegelstand h in einem Hafenbecken ändert sich infolgevon Ebbe und Flut mit der
Uhrzeit t. An einem bestimmten Tag wird der höchstePegelstand um 4.15 Uhr mit 5,20 m
und der tiefste Pegelstand mit 2,0 m um 10.27 Uhr gemessen. Der Pegelstand kann durch
eine Funktion h(t) = a + b × cos(c ×(x - d)) beschrieben werden.
a) Bestimmen Sie die Konstanten a,b,c und d.
b) Stellen Sie den Graphen von h in einem Intervall [0,24] dar.
c) Bestimmen Sie den Pegelstand für 12.00 Uhr mittags.
2

d) Der Tiefgang eines Bootes beträgt 3 m. Bestimmen Sie die Zeiten, in denen sich das
boot sicher im Hafenbecken aufhalten kann.
reset():
a := 3.6: b := 1.6: d := 4.25:
(c) 2006, Privatfoto Dornumersiel
h := t -> a+b*cos(c*(t-d)):
L := solve(h(10+27/60)=2, c)
{1.013416985 × k + 0.5067084925¯k Î Z}
c := float(PI/(10+27/60 - 4.25))
0.5067084925
Der Pegelstand kann durch die Funktion h beschrieben werden, mit
DIGITS := 3: h(t)
1.6 × cos(0.507 × t - 2.15) + 3.6
plotfunc2d(h, t=0..24, YRange=0..5.2, LineWidth=0.5)
3
y
5

y
5
4
3
2
1
0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
float(h(12))
2.47
t
Der Pegelstand beträgt um 12.00 Uhr mittags etwa 2.47 m.
LSG := solve(h(t)=3, t=0..24);
round((LSG[k]-floor(LSG[k]))*60) $ k=1..4
{0.392, 8.11, 12.8, 20.5}
24, 7, 48, 31
Das Boot kann sich von 0.23 Uhr bis 8.07 Uhr und von 12.48 Uhr bis 20.31 Uhr sicher im
Hafenbecken aufhalten.
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