Page 1 1.3 Grundlagen der Resolution Der Resolutionskalkül ist ein ...

1.3 Grundlagen der Resolution
Der Resolutionskalkül ist ein Beweiskalkül, der auf Klauselmengen, d.h. Formeln in KNF arbeitet
und nur eine Schlußregel besitzt. Der Resolution liegt die folgende Vorstellung zu Grunde:
1. Wir bearbeiten nur Formeln in KNF.
2. Aus zwei Klauseln´«Äµund´¬Äµkann eine neue Klausel´«¬µerzeugt werden.
Dies ist die einzige Schlußregel des Resolutionskalküls.
3. Wir versuchen, die leere Klausel zu erzeugen. Dies gelingt genau dann, wenn die Ausgangsformel
widerspruchsvoll ist.
Man beachte, daß Klauseln und Formeln, wenn nicht ausdrücklich anderes festgelegt ist, als Mengen
aufgefaßt werden. So ist zum Beispiel eine
«
Klausel´µdie
¬
Mengeund damit
gleichwertig zur Klausel´µ. Doppelte Vorkommen von Literalen werden als ein Auftreten
behandelt. Wir werden sowohl die übliche Klauseldarstellung als auch die Mengendarstellung
verwenden.
Definition 1.3.1 (Resolutionsregel)
Das Schema
Klausel´«Òĵ´¬Òĵ
´«Òĵ´¬Òĵ(Res)
bezeichnen wir als die Resolutionsregel.
Sei«eine Klausel mit einem LiteralÄund¬eine Klausel mit dem LiteralÄ, dann ist Resolutionsregel
auf die beiden Klauseln anwendbar. Wir sagen,«und¬können überÄ(bzw.Ä) resolviert
werden. Ausgehend von den Klauseln«und¬wird so eine neue
erzeugt, die wir als Resolvente bezeichnen.«und¬sind die Elternklauseln der Resolvente.
Durch die Anwendung der Resolutionsregel werden also alle Vorkommen des LiteralsÄaus«
und alle Vorkommen des LiteralsÄaus¬entfernt,
«
bevor die Resolvente als Vereinigung der
Restklauseln gebildet wird. Enthält die Resolvente also ein Literalļ(bzw.ļ), so muß dieses
bereits in¬(bzw.«) enthalten sein.
Graphisch stellen wir die Anwendung der Resolutionsoperation wie in Abbildung 1.1 als Baum dar.
´«Òĵ´¬Òĵ ¬
Abbildung 1.1: Baumdarstellung eines Resolutionsschrittes
Durch die Anwendung der Resolutionsregel werden Literale aus den Elternklauseln entfernt. Eine
besondere Situation liegt vor, wenn dies bewirkt, daß die Resolvente leer ist, wenn z.B. die Elternklauselnundsind.
Zur Kennzeichnung dieser Situation verwenden wir die sogenannte leere
KlauselØzur Bezeichnung der leeren Resolvente. (Die leere KlauselØwird von jeder Bewertung
als falsch interpretiert!)
Zum besseren Verständnis der Resolution wollen wir einige Beispiele angeben. Darin werden auf
die generierten Resolventen erneut Resolutionen angewandt. Die graphische Repräsentation einer
solchen Folge von Resolutionsschritten ist daher ein Baum, der (Resolutions–)Herleitungsbaum.
Steht in der Wurzel die leere Klausel, bezeichnen wir den Baum als Resolutionswiderlegungsbaum
oder Beweisbaum.
9

a) Sei«½´µ´µ´µ.
ËËË
Ø
±±±
ËËËË
c) Sei«¿´µ´µ´µ´µ.
ËËËË
ÂÂÂÂ
ÂÂÂÂ Å ÅÅÅ Å ÅÅÅ
«ÄĬ½ RES«¬
Abbildung 1.2: Resolutionsherleitung aus«½
b) Sei«¾´µ´µ´µ´µ.
Abbildung 1.3: Resolutionswiderlegung für«¾
Abbildung 1.4: Resolutionsherleitung aus«¿
Für einen Resolutionsschritt«ÄĬ
«¬(Res) schreiben wir auch
¾
Beispiele:
10

Mit der Resolutionsregel verfügen wir über einen Formalismus, der es uns erlaubt, mit rein syntaktischen
gibt½und¾mit½½¾und½¾½
Transformationen neue Klauseln zu generieren. Die Resolventen stehen mit den Elternklauseln
in Beziehung, sie werden aus den Elternklauseln hergeleitet. Den Begriff der Herleitung wollen
wir für spätere Untersuchungen präzisieren.
Definition 1.3.2 (Herleitung)
Sei««½«Òeine Formel in KNF undeine Klausel. Eine Folge½ist eine
Herleitung der Klauselaus«, wenngilt für allemit½gilt¾«oder
es
RES. Wir sagen,ist (mit der Resolution)
herleitbar aus«, in Zeichen«RES. Die aus«bezeichnen wir als Ausgangs– oder
Startklauseln
weise«½«Ò½
oder auch als Input–Klauseln.
Die Länge der Herleitung½ist½Ò«½«Ò, die Anzahl der Klauseln in
der Herleitung, die nicht schon in der Ausgangsformel enthalten sind.
Wir können auffassen. Dabei verwenden
wir für««½«Ò¾KNF mit Klauseln«und«und««½
alsoRES
RESÆdie Schreib-
RESÆoder auch«½
RESÆ.
als den transitiven und reflexiven Abschluß von½
RES
Für Resolventenmengen verwenden wir analoge Abkürzungen. Für die Herleitungen«RESĽ
Für¬¬½¬Ñmit«RES¬für alle
und«RESľschreiben wir kurz«RESĽľ. ½Ñschreiben wir«RES¬.
Alternativ kann auch die Gesamtzahl der Klauseln in der Herleitung als Länge der Herleitung definiert
werden, statt die Anzahl der tatsächlich neu generierten Klauseln zu betrachten. Unsere Definition
gibt so die Anzahl der tatsächlich benötigten Anwendungen der Resolutionsregel an, während
die alternative Definition die Anzahl der benötigten Klauseln zählt. Beide Werte können nie um
mehr als die Anzahl der Ausgangsklausel voneinander differieren.
In der Regel sind nur minimale Herleitungen von Interesse, also Herleitungen, aus denen wir keine
Klausel mehr streichen können, ohne die Eigenschaft zu verlieren, Herleitung der gewünschten
Klausel zu sein. Solche Herleitungen entsprechen dann einem Herleitungsbaum, wobei die Herleitung
den Baum bis auf Vertauschung von Nachfolgern eines Knotens festlegt (linker und rechter
Sohn vertauscht) und umgekehrt die Herleitung eine umgekehrte topologische Sortierung der Klauseln
im Herleitungsbaum angibt. Eine Baumdarstellung ist aber meist nicht minimal, da mehrfach
verwendete Teilherleitungen auch mehrfach auftreten. Verzichten wir darauf, erhalten wir einen
(gerichteten azyklischen) Graphen, aber keinen Baum mehr.
Eine minimale Herleitung ist aber noch längst nicht immer eine kürzeste Herleitung, denn Herleitungen
müssen nicht eindeutig sein. (Hierfür überlegt man sich leicht Beispiele.) Insbesondere ist
die Reihenfolge der Klauseln in einer Herleitung nicht eindeutig.
Betrachten wir einmal die folgende Situation. Die LiteraleÄundÄseien in«¬undnicht
enthalten. Ist´«¬µdie Resolvente von´Ä«µund´Ä¬µüberÄund resolvieren
wir anschließend´«¬µund´­µ, um´«¬­µzu erhalten, dann können wir ebensogut
zunächst´Ä«µund´­µresolvieren und danach das Ergebnis´Ä«­µmit´Ä¬µ
resolvieren, um damit ebenfalls´«¬­µzu erhalten.
Eine Verallgemeinerung dieser Beobachtung wird im nachfolgenden Lemma formuliert.
Lemma 1.3.3 (Vertauschungslemma)
Seien«¬und­Klauseln undĽundľLiterale mitľ¾«,Ľľ¾¬undĽ¾­. Dann
kann die Resolutionsherleitung, in der zunächst¬und­überĽresolviert werden und anschließend
die Resolvente mit«überľ, so verändert werden, daß zunächst nur Resolutionen überľund
danach erst eine Resolution überĽvorgenommen werden. Die letzte Resolvente ist entweder exakt
die letzte Resolvente der ersten Herleitung oder eine Teilklausel hiervon.
11

Beweis:
´Ä«µ ´«¬µ ´«¬­µ ´Ä¬µ´­µ Ä« ´Ä«­µ ´«¬­µ ´­µ´Ä¬µ
´«Òľµ´¬ÒĽľµ´­ÒĽľµ
Ы ÐÐÐ ´¬ÒĽµ´­ÒĽµ ¸¸¸¸
¬ ÂÂÂÅÅÅ­
Abbildung 1.5: Herleitungsbaum für´«¬­µ
Abbildung 1.6: Alternativer Herleitungsbaum für´«¬­µ
Die Ausgangssituation ist in Abbildung 1.7 angegeben. Als Beweis für das Lemma ge-
Abbildung 1.7: ResolutionsherleitungsbaumĽvorľ
nügt die Angabe entsprechend konstruierter Herleitungsbäume, siehe Abbildung 1.8 und 1.9. (Zur
Verdeutlichung sind die Kanten mit dem Literal markiert, über die resolviert wird.) Bei der Vertauschung
der Literalreihenfolge muß eine Fallunterscheidung danach vorgenommen werden, ob
ľ¾­gilt oder nicht. Nur im FallĽ¾«undľ¾­ergibt sich als Resultatsklausel im ersten
Fall eine echte Teilklausel der ursprünglichen Resultatsklausel.
Die Transformation aus Lemma 1.3.3 kann lokal in jedem Resolutionsherleitungsbaum angewendet
werden. Im Falle, daß die letzte Resolvente eine Teilklausel der ursprünglichen letzten Resolvente
ist, entfallen eventuell Teile des bisherigen Resolutionsbaumes. Für Widerlegungen ist die Herleitung
einer Teilklausel ohne Belang, aber nicht jede mit der Resolution herleitbare Klausel ist in jeder
Reihenfolge der Resolutionschritte herleitbar.
Bemerkung: Ein Resolutionsherleitungsbaum kann durch geeignete lokale Transformationen auch
linearisiert werden, d.h. in jedem Resolutionsschritt ist der eine Resolutionspartner die unmittelbar
zuvor generierte Resolvente und der andere entweder eine Ausgangsklausel oder eine frühere Resolvente.
Der Teilbaum aus Abbildung 1.7 wird dann ersetzt im Fallľ¾­wie oben durch den in
Abbildung 1.8 Teilbaum und im Fallľ¾­durch den in Abbildung 1.10 angegebenen Teilbaum.
Bei der zweiten Verwendung von«im letzten Resolutionsschritt greifen wir erneut auf das erste
12

´«Òľµ´¬Òľµ
«ÂÂÂĽÅÅŬ
´«ÒĽľµ´¬ÒĽľµ´­ÒĽµ ÐÐÐÐ ¸¸¸¸­
´«Òľµ´¬Òľµ
«ÂÂÂĽÅÅŬ
´«Òľµ´¬ÒĽľµ´­ÒĽľµ ´«Òľµ´­Òľµ
« ÂÂÂÅÅÅ­
ľ ´«Òľµ´¬Òľµ «ÂÂÂĽÅÅŬ
ÐÐÐÐ ´«ÒĽľµ´¬ÒĽľµ´­ÒĽµ ¸¸¸¸­
´«Òľµ´¬ÒĽľµ´­ÒĽľµ
Abbildung 1.8: ResolutionsherleitungsbaumľvorĽim Fallľ¾­
Abbildung 1.9: ResolutionsherleitungsbaumľvorĽim Fallľ¾­
Abbildung 1.10: Linearisierter Resolutionsherleitungsbaum im Fallľ¾­
Vorkommen von«im Resolutionsherleitungsbaum zu. Es liegt nun zwar kein Baum mehr vor, aber
wir erkennen deutlich die lineare Struktur.
Die Resolutionsregel und ihre Verwendung in Herleitungen nennen wir auch den Resolutionskalkül.
Als nächstes wollen wir die syntaktische Herleitbarkeit mittels Resolution mit dem semantischen
Folgerungsbegriff vergleichen. Wir müssen sicherstellen, daß auf der einen Seite jede aus einer
Formel«mit syntaktischen Mitteln herleitbare Formel¬auch semantisch folgt, also«¬gilt.
Wir bezeichnen dies als die Korrektheit eines Kalküls.
Auf der anderen Seite sollten alle Formeln, die semantisch folgerbar sind, auch mit dem rein syntaktischen
Kalkül hergeleitet werden können. Diesen Aspekt nennt man die Vollständigkeit eines
Kalküls. Für den Resolutionskalkül gilt eine etwas eingeschränkte Form der Vollständigkeit, die
Widerlegungsvollständigkeit. Mit Hilfe der Resolutionsregel können wir nur neue Klauseln generieren,
die Teile der Elternklauseln enthalten, also insbesondere keine neuen Atome einführen. Wenn
wir aber die herzuleitende Formel¬negieren, in KNF transformieren und in dieser Form zur Ausgangsformel«hinzunehmen,
gilt aber, daß wir genau dann mit Hilfe der Resolutionsregel die leere
13

KlauselØgenerieren können, wenn¬semantisch aus«folgerbar ist. Eine Herleitung der leeren
Klausel heißt daher auch Resolutionswiderlegung oder kurz Widerlegung bzw. Resolutionsbeweis
oder kurz Beweis.
Diese Eigenschaft der Resolution, die Korrektheit und die Widerlegungsvollständigkeit, zeigen wir
im nächsten Satz.
Satz 1.3.4
Es gilt:
1. Der Resolutionskalkül ist korrekt.
Sei«¾KNF, dann gilt für alle Klauseln:
«RESµ«
2. Der Resolutionskalkül ist nicht vollständig.
Es gibt Formeln«¾KNF und Klauseln, so daß gilt:
nicht«RES
«widerspruchsvollµ«RESØ
«und
aus«½«¾½
3. Der Resolutionskalkül ist widerlegungsvollständig.
Sei«¾KNF, dann gilt:
Beweis: Ad 1: Für Klauseln«½und«¾folgt allgemeine
Behauptung erhält man durch eine Induktion über die Anzahl der Resolutionsschritte für«RESÆ.
Ad 2: Sei«und, dann gilt«, aberläßt sich aus«nicht mit Hilfe der
Resolution herleiten.
Ad 3: Um die Widerlegungsvollständigkeit der Resolution (oder von Restriktionen der Resolution)
zu zeigen, empfiehlt sich ein induktiver Beweis.
Typische Parameter für die Induktion sind die Länge der Formel, die Anzahl der Atome oder die
Anzahl der Klauseln. Da widerspruchsvolle Formeln vorausgesetzt sind, ist der Induktionsanfang
meist einfach zu zeigen.
Im Induktionsschritt betrachten wir dann meist die Formeln«½℄und«¼℄, die ebenfalls
widerspruchsvoll sind und auch kürzer als die Ausgangsformel. Aus den nach Induktionsvoraussetzung
existierenden Widerlegungen für diese Formeln wird dann eine Widerlegung für die Ausgangsformel
konstruiert.
Hier zeigen wir durch Induktion über die Länge widerspruchsvoller Formeln, daß die leere Klausel
herleitbar ist.
Die kürzeste widerspruchsvolle Formel besteht aus zwei Unit–Klauseln. Ist«, so gilt
Sei nun«mit der LängeÒ·½gegeben. Da nach Voraussetzung«widerspruchsvoll ist, gibt es ein
Atom, welches in«sowohl positiv als auch negativ vorkommt. Wir zerlegen nun«in die Formel
«½℄und«½℄. «½℄und«½℄sind nicht erfüllbar, da«widerspruchsvoll ist. Ergibt sich für eine der beiden
Reduktionen der Wert 0, so enthält«eine Klausel(falls«½℄¼) oder eine Klausel
Da«½℄
(falls«½℄¼).
Nehmen wir an, daß sowohl«½℄als auch«½℄nicht den Wert 0 ergeben.
und«½℄widerspruchsvoll sind, folgt mit der Induktionsvoraussetzung«½℄RESØund
Fügen wir in«½℄die eliminierten Literaleund zu«½℄die Atomewieder hinzu —
die resultierenden Formeln bezeichnen wir mit«½℄´µund«½℄´µ— , dann sind diese
14
RESØ.
«½℄RESØ.
RESÆsofort«½«¾Æ. Die

alle Herleitungsschritte
ganz analog zur Herleitung«½℄RESØbzw.«½℄RESØdurchführen. Es gilt daher ent-
wir haben damit eine Herleitung
Da«½℄´µund«½℄´µTeilformeln von«sind, können wir die Herleitungen für
undaneinanderfügen und als letzten ResolutionsschrittRESØanfügen. Wir erhalten
insgesamt eine Herleitung der leeren Klausel aus«.
Die übrigen Fälle werden analog gezeigt.
Die Unvollständigkeit der Resolution scheint uns die Möglichkeit zu nehmen, Formeln direkt herzuleiten.
Denn die Widerlegungsvollständigkeit spielt in gewisser Weise einen indirekten Beweis
wider, in dem wir die Zielformel von vorn herein in negierter Form vorliegen haben und nutzen können.
Direkte Beweise sind mit der Resolution aber dennoch möglich, wenn wir zulassen, daß wir
zunächst stärkere Aussagen beweisen (dies sind bei Klauseln kürzere Klauseln), und die eigentliche
Zielformel als Abschwächung sehen.
Lemma 1.3.5 Sei«¾KNF undeine Klausel, dann gilt:
«´µTeilklausel¼«RES¼
Formeln Teilformeln von«. In«½℄´µbzw.«½℄´µkönnen wir
weder sofort«½℄´µRESØbzw.«½℄´µRESØund
der leeren Klausel aus«, oder aber es gilt«½℄´µRESund«½℄´µRES.
Zu jeder folgerbaren Klauselkönnen wir also eine Klausel¼mit der Resolution herleiten, so daß
gilt:¼subsumiert.
Beweis: Wegen der Korrektheit der Resolution genügt es nach Satz 1.3.4, die Richtung von links
nach rechts zu zeigen. Gelte also«mit´Ä½Ä×µund damit wieder nach Satz 1.3.4
Nach Lemma 1.3.3 können wir durch Vertauschen von Resolutionsschritten stets erreichen, daß alle
Resolutionen mit Unit–Klauseln erst am Ende der Herleitung durchgeführt werden. Insbesondere
können wir die Reihenfolge der Resolutionen mit Unit–Klauseln so verändern, daß alle Resolutionen
mit Klauseln ausĽÄ×als letzte durchgeführt werden, d.h. im Resolutionsbaum
unmittelbar über der Wurzel stehen. (Auf die Induktionsbeweise dieser beiden Aussagen verzichten
wir hier.)
Dadurch daß bei den Vertauschungen der Resolutionsschritte die ursprüngliche Resolvente verkürzt
werden kann (vgl. Vertauschungslemma 1.3.3), können Teile des Resolutionsbaumes entfallen. Insgesamt
behalten wir nach jeder Vertauschung von Resolutionsschritten eine Herleitung der leeren
Klausel aus«Ä½Ä×.
Wir können deshalb annehmen, daß wir in der Widerlegung schließlich zu einer Klausel¼gelangen,
aus der nur noch mit Hilfe von Resolutionen mit Klauseln ausĽÄ×die leere Klausel
generiert wird, ohne daß zuvor eine der Klauseln ausĽÄ×in der Herleitung von¼
benutzt wurde.
Dann hat¼aber die Form¼´Ä½ÄÖµmit½Ò. (Insbesondere kann¼die leere
Klausel sein.) Also ist¼eine Teilklausel
«Ò
vonund es gilt«RES¼.
Die Pigeonhole–Formeln³Òbeschreiben das Problem,Ò·½Tauben aufÒLöcher zu verteilen. Als
½Ò½Ò·½´µ
Atome wählen wir dahermit½Òund½Ò·½; der Indexbezeichnet das Loch,
der Indexdie Taube, d.h.steht für „Taubeist in Loch“.
Die Formel³Òbesteht aus zwei Teilen, für die wir jeweils auch die intendierte Semantik angeben:
1. Höchstens eine Taube ist in jedem Loch:
2. Jede Taube ist in einem Loch:¬Ò
«Ä½Ä×RESØ.
½Ò·½´½Òµ
15

3.³Ò«Ò¬Ò
³¾´½½½¾µ´½½½¿µ´½¾½¿µ ´½½¾½µ´½¾¾¾µ´½¿¾¿µ ´¾½¾¾µ´¾½¾¿µ´¾¾¾¿µ
³Òbesitzt insgesamt´Ò·½µ¡ÒAtome und½¾¡Ò¾¡´Ò·½µ2–Klauseln
und damit die LängeÒ¡´Ò·½µ¾.
sowie´Ò·½µÒ-Klauseln
¾
Beispiel:³¾(3 Tauben und 2 Löcher) hat die folgende Gestalt:
Offensichtlich sind die Formeln³Òwiderspruchsvoll.
Satz 1.3.6 Es gibt eine Konstante½, so daß für ausreichend großeÒjede Resolutionswiderlegung
von³Òzur leeren Klausel mindestensÒverschiedene Klauseln enthält.
undÒ¼
1.3.1 Stufensättigungsstrategie
Als erste und recht einfache Resolutionsstrategie behandeln wir die Stufensättigungsstrategie (Level
Saturation). Hiermit wird ein Verfahren zur systematischen Generierung aller Resolventen bezeichnet,
bei dem die Reihenfolge der Generierung der Höhe des Resolutionsherleitungsbaumes
entspricht.
Um diese Strategie formal einfach beschreiben zu können, definieren wir für«¾KNF
die Menge der Klauseln,
Ê×Ò·½´«µÊ×½´Ê×Ò´«µµfürÒ¼
die mit Hilfe vonÒResolutionsschritten hergeleitet werden kann.
Definition 1.3.7
Ê×£´«µËÒÊ×Ò´«µ Ê×½´«µ½¾¾«½¾½ Ê×¼´«µ«
Sei«¾KNF undÒ¾INÒ¼. Dann sei
MengenÊ×¼´«µÊ×½´«µÒ
Wir bezeichnenÊ×£´«µauch als Resolutionsabschluß von«.
Offensichtlich giltÊ×Ò´«µÊ×Ò·½´«µfür alleÒ. Da«nur endliche viele Atome enthält,
kollabiert diese Hierarchie, d.h. es gibt einÑmitÊ×£´«µÊ×Ñ´«µ.
Eine übersichtliche Methode zur Bestimmung des Resolutionsabschlusses auf dem Papier ist die
Darstellung als Tabelle. In den einzelnen Spalten sind die Klauseln der
Ê×¼´«µÊ×¾´«µÒÊ×½´«µaufgeführt, sie werden nacheinander bestimmt. Zu Anfang kennen
wir nur die Klauseln der ersten Spalte, nämlichÊ×¼´«µ«. Seien nun bereitsÒSpalten gefüllt.
Die Klauseln der nächsten freien SpalteÒ·½erhalten wir, indem wir dort alle Resolventen zwischen
einer Klausel der SpalteÒund einer der Klauseln aus den Spalten¼Òaufführen, die noch nicht
in der Tabelle enthalten sind. Auf tautologische Klauseln kann man verzichten, wenn man mit dieser
Methode nur die leere Klausel erzielen will.
RES«
16

« ½ ¾ ¿
Beispiel:
´½µ½¿
Wir geben
½¼ ´¿µ½´¿µ ´½¾µ½½ ´½¿µ½¾´µ¾¾ ´¿µ¾½´½½µ ´½½½¼µ
die Resolvententabelle
´µ½ ´µ
für
½
die Formel«bis zur
´µ ´½¼¿µ
Stufe 3 an.
½´µ ½ ½ ´½¼µ ´½¼µ
¾
Herleitungsbaum geben kann.
Je nachdem aus welcher Spalte die zweite Resolvente stammt, kann man die Klauseln innerhalb
einer Spalte auch noch gruppieren. Hilfreich ist zusätzlich eine Numerierung der Klauseln und bei
jeder Resolvente die Angabe der Elternklausel. Auf diese Weise kann man zu jeder Klausel der
Tabelle leicht eine Herleitung angeben.
¼ ½ ¾ ¿
¾¼ ´µ
Im Vergleich zum Beispiel am Anfang des Kapitels haben wir nun eine Herleitung vonmit
einer Tiefe des Herleitungsbaumes von nur 3. Zusätzlich wissen wir, daß es keinen „flacheren“
17