Formelsammlung zur Stichprobentheorie - Von-der-lippe.org

Formelsammlung zur Stichprobentheorie (Jens Mehrhoff) 

1. uneingeschränkte Zufallsauswahl 

• Umfang 

Grundgesamtheit: N 

Stichprobe: n 

• Mittelwert 

1 N i 

Grundgesamtheit: μ = ∑ x 

N 

Stichprobe: 

• Varianz 

X 

1 n X 

j 

n j = 1 

= ∑ 

i= 

1 

Erwartungswert: E( X) 

= μ 

1 

∑ 

N xi 

N i= 

1 

2 

Grundgesamtheit: ( ) 2 

σ 

= −μ 

1 

∑ n 

j 

X 

−1 

2 

Stichprobe: S = ( X − ) 2 

n j= 

1 

Erwartungswert: E( S ) 

• Stichprobenverteilung 

= σ 

2 2 

Auswahlwahrscheinlichkeit (ZmZ): n N 

⎛N 

⎞ N ! 

Anzahl möglicher Stichproben (ZoZ): ⎜ ⎟ = 

⎝ n ⎠ ( N − n) 

! n! 

2 

Varianz von X (ZoZ): σ 

X 

2 

σ N − n 

= 

n N −1 

2 

X N μ σ 

approximative Stichprobenverteilung: ( ) 

notwendiger Stichprobenumfang (ZmZ): 

Stichprobenfehler: 

e= 

zσ 

Standardnormalverteilung: FN 

( z) = 1− 

2 

Hochrechnung: 

N 

N 

n 

∑xi 

= ∑xj 

= Nx 

i= 1 n j= 

1 

X 

, 

X 

2 2 

z σ 

n ≥ 

2 

e 

α

2. geschichtete Stichprobe 

• Stichprobenplan 

Totalerhebung auf der 1. Stufe (Zerlegung der Grundgesamtheit in K Schichten), 

Teilerhebung auf der 2. Stufe (Zufallsauswahl aus den Schichten) 

• Effizienzbedingung 

homogen innerhalb der Schichten (geringe interne Varianz), heterogen zwischen 

den Schichten (große externe Varianz) 

• Umfang 

Grundgesamtheit: N k 

, 

Stichprobe: n k 

, 

Auswahlsatz: 

K 

∑ 

k = 1 

n 

n 

N 

k 

k 

K 

K 

∑ 

k = 1 

= n 

N 

k 

= N 


K 

Nk 

Grundgesamtheit: μ = ∑ μk 

k = 1 N 

K 

Nk 

Stichprobe: X = ∑ X 

k 

k = 1 N 

• Varianz 

K 

2 Nk 

σ 

ext 

= ∑ μk 

−μ 

k = 1 N 

K 

2 Nk 

2 

interne Varianz: σ 

int 

= ∑ σ 

k 

N 

externe Varianz: ( ) 2 

k = 1 

2 2 

Gesamtvarianz: σ = σ + σ 

• Aufteilung 

proportional: 

n 

optimal (ZmZ): = 

n 

ext 

k = 1 

2 

int 

nk Nk Nk 

= = 

K 

n N 

N 


k = 1 

∑ 

N σ 

k k k 

K 

∑ 

N σ 

Anzahl möglicher Stichproben (ZoZ): 

Varianz von X : σ 

k 

K 2 

2 ⎛ Nk 

⎞ 2 

= 

X ∑ ⎜ ⎟ σ 

Xk 

k = 1 N 

⎝ 

k 

k 

⎠ 

K 

∏ 

k= 

1 

⎛Nk 

⎞ 

⎜ ⎟ 

⎝ nk 

⎠ 

Schichtungsgewinn bei proportionaler Aufteilung (ZmZ): 

1 

n σ 

1 2 

2 

Schichtungsgewinn bei optimaler Aufteilung (ZmZ): ( − σ ) 

n σ 

notwendiger Stichprobenumfang bei proportionaler Aufteilung (ZmZ): 

2 

ext 

z σ 

n ≥ 

e 

2 2 

int 

2

3. Klumpenstichprobe 

• Stichprobenplan 

Teilerhebung auf der 1. Stufe (Auswahl von m aus M Klumpen), Totalerhebung 

auf der 2. Stufe (innerhalb eines Klumpens alle Merkmalträger) 

• Effizienzbedingung 

heterogen innerhalb der Klumpen (große Varianz „within“), homogen zwischen 

den Klumpen (geringe Varianz „between“) 

• Umfang 

Grundgesamtheit: M Klumpen, 

Spezialfall: 

i 

N i 

N = N∀ i, 

M N = N 

Stichprobe: m M Klumpen, 

Spezialfall: 

≤ N 

j 

Ni 

N = N∀ j, 

mN = n 


M 

Ni 

Grundgesamtheit: μ = ∑ μi 

N 

j 

i= 

1 

μi 

i= 

1 

Spezialfall: μ = 

M 

m 

N 

j 

Stichprobe: x= xj 

= 

n 

• Varianz 

Spezialfall: 

M 

∑ 

m 

j= 1 j= 

1 

N 

j 

j 

n μ 

Elemente, 

M 

∑ 

i= 

1 

= Elemente, 

∑ ∑ , x 

j 

= μ 

j 

x = 

m 

∑ 

j= 

1 

m 

μ 

j 

N 

i 

m 

∑ 

j= 

1 

= N 

N 

j 

= n 

2 1 2 

Varianz between: M 1 

( ) 

M N 

σ b i 

x 

2 

ik 

M 

μ μ ⎛ 

μ ⎞ 

= ∑ − = ∑⎜∑ 

− ⎟ 

i= 1 MN i= 1⎝ 

k= 

1 ⎠ 

M 

1 

Intraklass-Kovarianz: σ 

kl 

= ∑∑∑ ( xik −μ)( 

xil 

−μ) 

MN N−1 

i= 

1 k l 

σ kl 

Intraklass-Korrelation: ρ = 

2 

σ 

• Totalwert 

( ) 

Grundgesamtheit: X 

( M ) 

= xik 

= Nμ 

M 

N i 

∑∑ 

i= 1 k= 

1 

Stichprobe: X 

( m) 

= xjl 

= nx 

m 

N j 

∑∑ 

j= 1 l= 

1 

k≠l 

2


2 

Varianz von X (ZoZ): σ 

X 

2 

σ 

b 

M − m 

= 

m M −1 

2 * 

approximativer Varianzaufblähungsfaktor: σ 

BL 

= 1+ ( N − 1) 

Varianzaufblähungsfaktor (ZoZ): σ 

N 

Totalwert: X ( M ) = X( m) 

= Nx 

n 

M 

Spezialfall: X ( M ) = X 

( m) 

m 

( K ) 

M − 

2 

2 X 

2 

BL 

= σ = N σ 

* 

2 ( Z ) 

BL 

σ M −1 

X 

1 

ρ 

Formelsammlung zur Wahrscheinlichkeitstheorie 

• momenterzeugende Funktion 

tX 

⎧ e f ( X) 

X diskret 

tX ⎪∑ 

X 

Definition: M 

X () t = E( e ) =⎨ 

⎪⎩ 

tX 

e f X dX X stetig 

e -Funktion: 

e 

X 

∞ 

X 

= ∑ 

i 

i 

i= 

0 ! 

∫ 

( ) 

k ( k 

k -tes Anfangsmoment: ( ) = ) 

( 0) 

E X M X 

k i k−i 

k -tes Zentralmoment: E( X − μ ) = ∑( −1) ⎜ ⎟E( X ) E( X) 

• charakteristische Funktion 

itX 

Definition: 

X () t E( e ) 

Zusammenhang: 

k 

i= 

0 

( ) 

⎛ k ⎞ 

⎝k− 

i⎠ 

itX 

⎧ e f ( X ) X diskret 

⎪∑ 

X 

Ψ = =⎨ 

⎪⎩ 

itX 

( k ) 

( ) 

k 

Ψ 0 = iM 0 = 

X 

∫ 

( k ) k k 

X ( ) iE( X ) 

• wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion 

X 

X 

W t E t t f X 

e f X dX X stetig 

Definition: () = ( ) =∑ ( ) ( X diskret ) 

X 

X 

k 

⎧ 

⎫ ( k 

k -tes faktorielles Moment: E ( 1) 

) 

⎨∏ 

⎡⎣X − i− ⎤⎦⎬= 

WX 

() 1 

⎩ i= 

1 

⎭ 

• Reproduktivität von Verteilungen und Faltung von Zufallsvariablen 

Reproduktivität: f ( X) f ( X ) 

n 

n 

= ∏ 

i= 

1 

i 

i 

n 

, X = ∑ X 

Faltung: M () t = ∏ M () t , Ψ () t = Ψ () t , W () t W () t 

X 

i= 

1 

Xi 

X 

n 

∏ 

i= 

1 

i= 

1 

Xi 

i 

X 

n 

= ∏ 

i= 

1 

i 

Xi

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