Modul: Stochastik - Siebern
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<strong>Modul</strong>: <strong>Stochastik</strong><br />
• Ablauf<br />
• Vorstellung der<br />
Themen<br />
• Lernen<br />
• Spielen<br />
• Wiederholen<br />
• Zusammenfassen<br />
• Zufallsexperimente<br />
oder<br />
Wahrscheinlichkeit<br />
• relative Häufigkeit<br />
• Variation<br />
• Permutation<br />
• Kombinationen<br />
• Binomialverteilung<br />
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<strong>Stochastik</strong><br />
• Der Begriff <strong>Stochastik</strong> stammt aus<br />
dem Griechischen und heißt soviel wie<br />
„Kunst des Mutmaßens“.<br />
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Einsatzgebiete der <strong>Stochastik</strong><br />
• Mit Hilfe der <strong>Stochastik</strong> kann man etwa die<br />
Wahrscheinlichkeit für Lottogewinne<br />
berechnen oder die Größe des möglichen<br />
Fehlers bei Meinungsumfragen bestimmen.<br />
Die <strong>Stochastik</strong> ist auch für die<br />
Finanzmathematik von Bedeutung und hilft<br />
mit ihrer Methodik beispielsweise bei der<br />
Preisfindung für Optionen.<br />
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Zufallsexperimente<br />
• Beispiele<br />
• Werfen einer Münze<br />
• Würfelspiele<br />
• Roulette<br />
• Lotto<br />
• Fussballwetten<br />
• Poker<br />
• ___________<br />
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Woher kommen die Daten?<br />
• Messen<br />
• Wiegen<br />
• Zählen<br />
• Befragen<br />
• Wie schwer ist der<br />
Mond?<br />
(Bayesscher Wahrscheinlichkeitsbegriff)<br />
• Schätzen<br />
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Bayesscher Wahrscheinlichkeitsbegriff<br />
Wahrscheinlichkeit<br />
als Grad persönlicher Überzeugung<br />
(engl. "degree of belief").<br />
Er unterscheidet sich damit von den<br />
• objektivistischen Wahrscheinlichkeitsauffassungen<br />
• wie dem frequentistischen Wahrscheinlichkeitsbegriff,<br />
der Wahrscheinlichkeit als relative Häufigkeit<br />
interpretiert.<br />
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Wichtige Begriffe: Prognose<br />
• Die Prognose ist<br />
dabei<br />
• ein Maß für die<br />
Unsicherheit<br />
zukünftiger<br />
Ereignisse,<br />
• ein Maß für den<br />
Grad an persönlicher<br />
Überzeugung<br />
• Wettervorhersage<br />
• Wahlergebnisse<br />
•<br />
•<br />
•<br />
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Formalisierung des Wahrscheinlichkeitsbegriffes<br />
• Er fordert die Gültigkeit der folgenden<br />
Prinzipien:<br />
• Transitivität: Wenn Wahrscheinlichkeit A<br />
größer ist als Wahrscheinlichkeit B, und<br />
Wahrscheinlichkeit B größer als<br />
Wahrscheinlichkeit C, dann muss<br />
Wahrscheinlichkeit A auch größer als<br />
Wahrscheinlichkeit C sein: A>B>C<br />
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Paradoxieproblem:<br />
Ein Mann, der die Transitivität der Wahrscheinlichkeit<br />
nicht versteht, hat in einem Rennen auf Pferd A<br />
gesetzt. Er glaubt jetzt aber, Pferd B sei besser, und<br />
tauscht seine Karte um. Er muss etwas dazuzahlen,<br />
aber das macht ihm nichts aus, weil er jetzt eine<br />
bessere Karte hat. Dann glaubt er, Pferd C sei besser<br />
als Pferd B. Wieder tauscht er um und muss etwas<br />
dazuzahlen. Jetzt glaubt er aber, Pferd A sei besser<br />
als Pferd C. Wieder tauscht er um und muss etwas<br />
dazuzahlen. Immer glaubt er, er bekäme eine<br />
bessere Karte, aber jetzt ist alles wieder wie vorher,<br />
nur ist er ärmer geworden.<br />
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• Negation: Wenn wir<br />
über die Wahrheit<br />
von etwas eine<br />
Erwartung haben,<br />
dann haben wir<br />
implizit auch eine<br />
Erwartung über<br />
dessen Unwahrheit.<br />
Negation<br />
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Konditionierung<br />
• Konditionierung: Wenn wir eine<br />
Erwartung haben über die Wahrheit<br />
von G, und auch eine Erwartung über<br />
die Wahrheit von F im Falle, dass G<br />
wahr wäre, dann haben wir implizit<br />
(genauso) auch eine Erwartung über<br />
die gleichzeitige Wahrheit von G und<br />
F.<br />
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Schlüssigkeit<br />
Schlüssigkeit (soundness):<br />
Wenn es mehrere Methoden gibt,<br />
bestimmte Informationen zu<br />
benutzen, dann muss die<br />
Schlussfolgerung immer dieselbe<br />
sein.<br />
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A-priori-Wahrscheinlichkeit<br />
• Die A-priori-Wahrscheinlichkeit ist in den<br />
Naturwissenschaften ein Wahrscheinlichkeitswert, der aufgrund<br />
von Vorwissen (zum Beispiel symmetrische Eigenschaften eines<br />
Würfels) gewonnen wird. A-priori-Wahrscheinlichkeiten spielen<br />
insbesondere beim Bayesschen Wahrscheinlichkeitsbegriff eine<br />
wichtige Rolle.<br />
• Die älteste Methode für die Bestimmung von A-priori-<br />
Wahrscheinlichkeiten stammt von Laplace: Sofern es keinen<br />
expliziten Grund gibt, etwas anderes anzunehmen, wird allen<br />
elementaren Ereignissen dieselbe Wahrscheinlichkeit<br />
zugeordnet. Zum Beispiel sind bei einem Münzwurf die<br />
elementaren Ereignisse "Kopf" und "Zahl". Solange man keinen<br />
Grund hat, anzunehmen, die Münze sei manipuliert, wird man<br />
also beiden Ereignissen dieselbe Wahrscheinlichkeit ½<br />
zuordnen.<br />
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Beispiel : Werfen einer Münze<br />
• Man weiß nicht<br />
welche Seite oben<br />
liegen wird<br />
• Ergebnismenge:<br />
S= {Z, W}<br />
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1. Aufgabe: Münzwurfspiel<br />
Wahrscheinlichkeiten<br />
1. Bilden Sie dreier<br />
Gruppen und notieren<br />
Sie alle möglichen<br />
Wurfergebnisse, wenn<br />
Sie mit drei Münzen<br />
werfen<br />
• Schreibweise:<br />
Ergebnismenge:<br />
S={(_,_,_),(_,_,_),(_,_,_),<br />
(_,_,_),(_,_,_),<br />
(_,_,_)}<br />
S={(z,z,z),(w,w,w),(z,w,w),(z,z,w), (w,z,z)}<br />
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2.Wurfspiel in Dreier Gruppen<br />
• Jeder Spieler wirft<br />
abwechselnd einmal<br />
eine Münze, bis alle<br />
Spieler pro Runde<br />
nacheinander als<br />
Ergebnis Zahl<br />
erhalten<br />
• Schreibweise:<br />
Ergebnismenge:<br />
S={(_,_,_),(_,_,_),(_,_,_),<br />
(_,_,_),(_,_,_),(_,_,_),<br />
(_,_,_), (_,_,_)<br />
(_,_,_),(_,_,_)}<br />
Fertig: Vergleichen Sie die<br />
Anzahl der Versuche mit<br />
den anderen Kleingruppen<br />
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Würfelspiele<br />
• Beim Würfelspiel<br />
gibt es nun mehr<br />
mögliche<br />
Ergebnismengen als<br />
bei einer Münze<br />
• Schreibweise:<br />
Ergebnismenge:<br />
S={(_,_,_,_,_,_),<br />
(_,_,_),(_,_,_),<br />
(_,_,_),(_,_,_),(_,_,_),<br />
(_,_,_), (_,_,_)<br />
(_,_,_),(_,_,_)}<br />
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Würfelspiele<br />
Wahrscheinlichkeiten<br />
1. Bilden Sie dreier Gruppen<br />
und notieren Sie alle<br />
möglichen<br />
Würfelergebnisse (S) bei<br />
zwei Würfeln<br />
2. Das Ereignis (E) Pasch<br />
kann dabei wie oft<br />
vorkommen?<br />
3. Wie viele Möglichkeiten<br />
gibt es mit drei Würfeln?<br />
Warum? 6x6x6=216<br />
S={(_,_),(_,_),(_,_),<br />
(_,_),(_,_),(_,_),(_,_),<br />
(_,_),(_,_),...., (_,_)<br />
(_,_),(_,_)}<br />
36 Möglichkeiten<br />
E={(_,_),(_,_),(_,_),<br />
(_,_),(_,_),(_,_)}<br />
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2. Aufgabe: Würfelspiele<br />
Wahrscheinlichkeiten<br />
1. Bilden Sie dreier Gruppen<br />
und notieren Sie alle<br />
möglichen Wurfergebnisse<br />
2. Jeder Spieler wirft<br />
abwechselnd einmal<br />
den Würfel, bis alle<br />
Spieler pro Runde<br />
nacheinander als<br />
Ergebnis die Zahl 6<br />
erhalten (Zeit ca. 1o<br />
Minuten)<br />
• Schreibweise:<br />
Ergebnismenge:<br />
S={(_,_,_),(_,_,_),(_,_,_),<br />
(_,_,_),(_,_,_),(_,_,_),<br />
(_,_,_), (_,_,_)<br />
(_,_,_),(_,_,_)}<br />
Fertig: Vergleichen Sie die<br />
Anzahl der Gewinner mit<br />
den anderen Kleingruppen<br />
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Auswertung:<br />
Gesamtwürfe<br />
Anzahl Gesamtwürfe<br />
E 1 =<br />
E 2 =<br />
E 3 =<br />
E 4 =<br />
E 5 =<br />
E 6 =<br />
Gesamt ∑ =<br />
• Wie ist die<br />
Verteilung?<br />
• Entspricht die<br />
Verteilung E den<br />
Wahrscheinlichkeiten<br />
von P?<br />
P 1<br />
={ 1 / 6<br />
von den<br />
Gesamtwürfen}<br />
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Relative Häufigkeiten<br />
• Die Relative<br />
Häufigkeit, oder<br />
bedingte Häufigkeit<br />
ist die absolute<br />
(tatsächliche) Häufigkeit<br />
dividiert durch die<br />
Anzahl der<br />
Ereignisse.<br />
• Berechnen Sie die<br />
prozentualen<br />
(relativen)<br />
Häufigkeiten der<br />
Würfelereignisse mit<br />
der<br />
Grundgesamtheit.<br />
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Permutation<br />
• Unter einer Permutation<br />
(von lat. permutare<br />
„(ver)tauschen“)<br />
versteht man die<br />
Veränderung der<br />
Anordnung einer Menge<br />
durch Vertauschen ihrer<br />
Elemente.<br />
Beispiel:<br />
• Wieviel Möglichkeiten<br />
der Anordnung von:<br />
A,B,C gibt es? 3x2x1=6<br />
Wieviel Möglichkeiten der<br />
Anordnung der Zahlen<br />
(1,2,3,4,5,6) gibt es?<br />
6x5x4x3x2x1<br />
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Permutation<br />
Beispiel:<br />
Man hat die Buchstaben<br />
A,B,C,D,E,F,G<br />
Wie viele Möglichkeiten<br />
gibt es, diese<br />
Buchstaben<br />
hintereinander<br />
anzuordnen?<br />
• Es gibt 7 verschiedene<br />
Buchstaben (Stellen)<br />
• Für die erste Stelle gibt<br />
es 7 Möglichkeiten<br />
• Für die zweite Stelle 6<br />
• Und so weiter<br />
• Also:<br />
7*6*5*4*3*2*1=5040<br />
Möglichkeiten<br />
• 7! Fakultät=5040<br />
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Permutation<br />
• Fakultät !<br />
allgemein: n!<br />
Beispiel:<br />
A,B,D,E,G,N,S,T,U<br />
9 Stellen= 9!<br />
• 2 Möglichkeiten sind<br />
z.B. BUNDESTAG<br />
oder<br />
ANGSTBUDE<br />
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Permutation<br />
• Neues Beispiel:<br />
A,B,E,E,E,G,G,H,H,I,L,<br />
N,N,O,R,S,T,U<br />
Hier treten Buchstaben<br />
mehrfach auf:<br />
E,E,E;G,G;H,H;N,N<br />
• Die doppelten<br />
Buchstaben sind nicht<br />
zu unterscheiden.<br />
• 18! wäre bei 18<br />
Buchstaben die<br />
Gesamtmenge an<br />
Möglichkeiten, enthält<br />
aber auch die doppelten<br />
Buchstaben.<br />
• Idee: „Abziehen“ dieser<br />
Möglichkeiten<br />
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Permutation- Abziehen doppelter<br />
18! : Gesamtmenge an<br />
Möglichkeiten<br />
E,E,E : 3! Mehrfache:<br />
G,G : 2! Mehrfache:<br />
H,H : 2! Mehrfache:<br />
N,N : 2! Mehrfache<br />
18!<br />
3!<br />
18!<br />
3!2! ⋅<br />
18!<br />
3!2!2! ⋅ ⋅<br />
18!<br />
3!2!2!2! ⋅ ⋅ ⋅<br />
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Permutation<br />
• Es gibt also<br />
•<br />
18!<br />
3!2!2!2! ⋅ ⋅ ⋅<br />
• Möglichkeiten die 18<br />
Buchstaben<br />
anzuordnen.<br />
2 sind z.B.<br />
NAHERHOLUNGSGEBIET<br />
und<br />
HUNGERLOHNABSTEIGE<br />
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Permutation<br />
• Berechnen Sie die<br />
unterschiedliche<br />
Möglichkeiten ihren<br />
Vornamen<br />
umzustellen.<br />
• Beispiel: Rainer<br />
• R,a,i,n,e,r,<br />
• 6 Stellen<br />
• R ist doppelt<br />
6! : 2!=<br />
6*5*4*3*2*1=720<br />
Geteilt durch 2!=2<br />
720/2=360<br />
Möglichkeiten<br />
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Vorlage: Berechnung Permutation<br />
• Dein Name:<br />
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _<br />
• Anzahl der Stellen=_<br />
_<br />
• Doppelte Stellen:<br />
• _ _ , _ _, _ _,<br />
• Berechnung:<br />
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Variation<br />
Aufgabe:<br />
• 18 Auszubildende eines<br />
Stahlbetriebes sollen in<br />
zweier Gruppen in<br />
verschiedene Abteilungen<br />
eingeteilt werden<br />
• Jeder Azubi erhält eine<br />
andere Aufgabe<br />
• Wieviel Möglichkeiten gibt<br />
es diese zweier Gruppen zu<br />
bilden?<br />
=18x17<br />
! Man kann nicht mit sich selber<br />
eine Gruppe bilden!<br />
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Kombinationen<br />
Es gibt also 1817<br />
(=306) mögliche<br />
Kombinationen<br />
Allgemeine Formel für<br />
n!<br />
die Bildung von k-er<br />
Gruppen aus n Elementen:<br />
( n<br />
−<br />
k<br />
)!<br />
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Die Formel<br />
Diese Formel sagt<br />
genau das gleiche<br />
aus, da man<br />
n!<br />
18x17x16 x[…]x1<br />
durch 18x17x16<br />
x[...] x1 teilt und<br />
somit nur noch<br />
( n − k)!<br />
2019 übrig bleibt<br />
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Der Ausbilder<br />
• Der Ausbilder war so begeistert von den<br />
Resultaten der Zwischenprüfungen, dass er<br />
unter seinen 20 Schülern 4 Preise verlosen<br />
möchte. Dafür schreibt er jeden Namen der<br />
Kursteilnehmer auf jeweils eine Kugel und<br />
tut sie in einen Beutel.<br />
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Die Verlosung<br />
Er zieht nun für den ersten Preis einen Kugeln<br />
aus dem Beutel, notiert sich den gezogenen<br />
Namen und legt die Kugel wieder zurück. Es<br />
ist also möglich, dass z.B. Juli alle 5 Preise<br />
gewinnen könnte.<br />
Wie viele mögliche Variationen gibt es nun für<br />
den Gewinn der Preise, wenn der Ausbilder<br />
die Kugeln zurücklegt?<br />
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Variation Gewinnspiel<br />
Man hat 5 Stellen zu<br />
besetzen:<br />
_ _ _ _ _<br />
Für jede Stelle gibt es<br />
20 Möglichkeiten.<br />
Also 2020202020<br />
=<br />
Allgemein also:<br />
n<br />
k<br />
• 20 5 =3.200.000<br />
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Herr Glücklich hat schon<br />
wieder vergessen, wie<br />
viele mögliche<br />
Kombinationen es beim<br />
normalen Zahlenlotto<br />
gibt. Dabei will er<br />
genau das morgen mit<br />
seinem Kurs<br />
besprechen.<br />
Lotto<br />
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49!<br />
(49 − 6)!<br />
Das Lottoglück<br />
Beim Zahlenlotto spielt die Reihenfolge der<br />
gezogenen Zahlen keine Rolle.<br />
Es werden aus 49 Zahlen 6 gezogen.<br />
Im Prinzip hätte man wie viele Möglichkeiten?<br />
Diese enthalten aber noch gleichwertige<br />
Kombinationen, da die Reihenfolge ja keine<br />
Rolle spielt.<br />
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Lottokombinationen<br />
Diese enthalten aber noch gleichwertige<br />
Kombinationen, da die Reihenfolge ja<br />
keine Rolle spielt.<br />
z.B. 8-40-17-33-21-49<br />
und 17-21-49-33-8-40<br />
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Der Lottogewinn<br />
Diese mehrfachen Möglichkeiten müssen also<br />
noch eliminiert werden.<br />
Die Anzahl dieser „Mehrfachen“ ist in diesem<br />
Fall 6!, da wir 6 Stellen zu besetzen haben.<br />
Die Rechnung muss also lauten:<br />
6<br />
! ⋅ (<br />
49<br />
49<br />
!<br />
−<br />
6<br />
)!<br />
=<br />
13<br />
.<br />
983<br />
.<br />
816<br />
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Kombination<br />
Oder allgemein:<br />
n!<br />
k!(<br />
⋅ n<br />
−<br />
k<br />
)!<br />
Auch darstellbar als:<br />
(n über k)<br />
⎛<br />
⎜⎜<br />
⎝<br />
n<br />
k<br />
⎞<br />
⎟⎟<br />
⎠<br />
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⎛ n⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ k ⎠<br />
N über k<br />
Um sich Tipparbeit mit<br />
dem Taschenrechner<br />
zu ersparen, hat<br />
dieser die „nCr“<br />
Taste.<br />
⎛ n<br />
⎜<br />
⎝ k<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
tippt man als „n nCr k“<br />
in den<br />
Taschenrechner<br />
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Zusammenfassung:<br />
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Vielen Dank<br />
• Bemerkungen zum Unterrichtsverlauf<br />
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