Hegel und die axiomatische Methode - des Geistes

Joshua Mendelsohn 1
Hegel und die axiomatische Methode
Grundlagen zur axiomatischen Spekulation
von Joshua Mendelsohn

Joshua Mendelsohn 2
Inhaltsverzeichnis
Einleitung..................................................................................................................................................2
1 Die axiomatische Methode......................................................................................................................3
1.1 Warum geht man axiomatisch vor?.................................................................................................3
1.2 Definition und wissenschaftliche Bedeutung der Methode.............................................................3
1.3 Philosophische Aspekte der Axiomatik...........................................................................................5
1.4 Beziehung der Axiomatik zur formalen Logik................................................................................6
1.5 Die Formalisierung..........................................................................................................................6
1.6 Die Forderungen an axiomatische Systeme....................................................................................8
1.6.1 Widerspruchsfreiheit................................................................................................................8
1.6.2 Vollständigkeit.........................................................................................................................8
1.7 Axiomatisierbarkeit.........................................................................................................................9
2 Die Ablehnung der axiomatischen Methode im Kontext der spekulativen Philosophie......................10
2.1 Historischer Hintergrund der Hegelschen Philosophie.................................................................11
2.2 Der Umfang der Hegelschen Philosophie.....................................................................................12
2.2.1 Das Problem des Anfangs der Philosophie............................................................................12
2.2.2 Der Gegenstand der Wissenschaft der Logik.........................................................................15
2.2.3 Allumfassende Systeme und Unvollständigkeit....................................................................16
2.3 Hegels Unterscheidung der Vernunft und des Verstands...............................................................17
2.3.1 Dynamische Wahrheit und Grundannahmen.........................................................................18
2.3.2 Der Widerspruch als Werkzeug der Vernunft........................................................................19
2.4 Die Idee des Wahren......................................................................................................................20
2.4.1 Das analytische Erkennen......................................................................................................21
2.4.2 Das synthetische Erkennen....................................................................................................22
3 Weitere Möglichkeiten für eine formale spekulative Philosophie........................................................24
3.1 Parakonsistente Logik...................................................................................................................24
3.2 Mehrwertige Logik........................................................................................................................25
3.3 Experimentelle Logik....................................................................................................................26
4 Schlusswort...........................................................................................................................................28
5 Literaturverzeichnis...............................................................................................................................30

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Einleitung
„Ein Philosophieren ohne System“, behauptet Hegel in der Einleitung seiner Enzyklopädie, „kann nichts
Wissenschaftliches sein“ (Enzyklopädie der philosophischen Wissenschaften, Band I, S. 59f). Hegels
Ansatz gilt als einer der systematischsten Versuche philosophischen Denkens aller Zeiten. Was aber
heutzutage als die bezeichnende Eigenschaft systematischen Denkens in der Wissenschaft gilt, eine
axiomatische Grundlage also und die entsprechende Vorgehensweise, lehnt Hegel in seiner Philosophie
ab. Der Grund dafür kann nicht sein, dass Hegel eine solche Methode bloß unbekannt war, da Euklid
schon vor dem 3. Jahrhundert v. Christus in seinem Werk Elemente die axiomatische Methode
dargestellt hat, und Hegel seine Vertrautheit mit der Euklidischen Geometrien in seinem Werk
Wissenschaft der Logik unter Beweis stellt (vgl. Wissenschaft der Logik II, S. 528). Die Ablehnung
lässt sich auch nicht dadurch begründen, dass diese Methode zur Zeit Hegels lediglich in der Geometrie
und der Mathematik, aber nicht in der Philosophie, angewandt wurde, da dieselbe Methode schon
Berühmtheit in der Philosophie Spinozas, der die Euklidische Darstellungsweise in seinen
philosophischen Untersuchungen nachahmte, erlangt hatte. Auch Hegels Zeitgenossen waren der
Meinung, dass sich diese Methode für die Philosophie eignete. Schelling zum Beispiel imitierte
Spinozas axiomatisches Darstellungsverfahren in einer Schrift um 1800 (vgl. Fulda 2003, S. 63).
Dieser Aufsatz hat es sich zur Aufgabe gemacht, herauszufinden, warum Hegel in seiner
Philosophie, insbesondere in der Wissenschaft der Logik (fortan: WdL), nicht axiomatisch vorgegangen
ist. Zu diesem Zweck soll zunächst die Axiomatik und ihre Grundlagen untersucht werden. Ziel dieses
Teils ist es, aufzuzeigen, mit welcher Motivation diese Methode in der Wissenschaft angewandt wird,
welche Bedeutung ihr zukommt und was ihre grundsätzlichen Eigenschaften sind. Anschließend soll
auf die Ablehnung der Methode im Kontext des Ansatzes der Wissenschaft der Logik eingegangen
werden. Hegels Argumente bzw. mögliche Grunde gegen die Verwendung der Axiomatik werden hier
dargelegt und kritisch analysiert. Der abschließende Teil stellt die Frage, ob in Anbetracht der
Entwicklungen der Logik seit Hegel eine spekulative Philosophie, die auf axiomatische oder ähnliche
Weise vorgeht, trotz Hegels Kritik möglich ist.

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1 Die axiomatische Methode
1.1 Warum geht man axiomatisch vor?
Es gilt im Allgemeinen, dass man auf jede Antwort einer Frage wiederum mit einer Frage antworten
kann. Fragt man: „Warum sind Blätter grün?“ und bekommt als Antwort: „Weil sie Chlorophyll
enthalten.“, so kann man anschließend fragen: „Aber warum enthalten sie Chlorophyll?“. Auf die
Antwort zu dieser Frage könnte man wiederum fragen, warum es so sei. Würde man sich nie mit einer
Antwort zufrieden geben, und deshalb die Antworten stets in Frage stellen, so könnte man kein sicheres
Wissen erwerben. Man würde alles anzweifeln, und keine Aussage mit Sicherheit treffen können, selbst
wenn man eine Rechtfertigung für diese hätte, da man an den Voraussetzungen dieser Rechtfertigung,
wie an jedem anderen Satz, noch zweifeln müsste (vgl. Wang 1974, S. 35).
Man geht im Allgemeinen davon aus, dass dieses Konzept auch für jede Wissenschaft gilt.
Wenn es erlaubt wäre, jeden Lehrsatz einer Wissenschaft bis hin zum allereinfachsten in Frage zu
stellen, dann wäre keine Wissenschaft im herkömmlichen Sinne des Wortes möglich. Die Herleitung
einer komplexen Wahrheit aus einer einfachen Beobachtung, was für die Naturwissenschaft
charakteristisch ist, wäre ausgeschlossen, denn sogar die einfachsten Aussagen könnten nicht mit
Sicherheit für wahr gehalten werden. Jedes Resultat, dessen Beweis die Gültigkeit vorheriger
Ergebnisse voraussetzt, wäre genauso zweifelhaft wie seine Voraussetzungen selbst. Deswegen dürfte
man keinen bereits bewiesenen Satz als Tatsache hinstellen, und folglich entstünde nur eine Menge
verworrener Behauptungen, die keinen Anspruch auf Wahrheit hätten. Wenn nun aber eine
Wissenschaft und nicht nur eine endlose Kette von Fragen entstehen soll, muss man wenigstens einige
grundlegende Sätze als wahr gelten lassen, damit sie die Basis dieser Wissenschaft bilden können. Dies
motiviert einen axiomatischen Vorgang in der Wissenschaft.
1.2 Definition und wissenschaftliche Bedeutung der Methode
Damit man mit keiner endlosen Kette von Fragen rechnen muss, kann man in einer Wissenschaft so
vorgehen, dass man eine bestimmte Menge an Sätze als gegeben annimmt und diese ohne Beweis
behauptet. Jedes weitere Resultat soll dann aus diesen Axiomen gefolgert werden. Ein Axiom ist also

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eine Grundannahme, die als Ausgangsthese einer Theorie dient und innerhalb ihr nicht bewiesen wird.
Die axiomatische Methode bezeichnet die entsprechende Vorgehensweise in der Wissenschaft, bei der
man eine These dadurch beweist, dass man sie, implizit oder explizit, auf eine feste Menge an Axiomen
zurückführt (vgl. Albrecht u.a. 1978, S. 65). Man nennt eine axiomatisch begründete These einen
Lehrsatz. Neben den Axiomen legt man oft auch die Regeln fest, die man anwendet, um eine These aus
den schon bewiesenen Thesen oder Axiomen abzuleiten. Die Menge an Lehrsätzen, die aus bestimmten
Axiomen folgen, bildet eine axiomatische Theorie.
Ein Beispiel mag diese Definition verdeutlichen. Man könnte mit den folgenden Axiomen eine
Theorie, die den Begriff „Größer-als“ darstellt, aufstellen, das heißt, eine Theorie, die die allgemein
wahren Tatsachen über die Relation „a ist größer als b“ darstellt. Eine mögliche Axiomenmenge wäre:
(1) „Kein Ding ist größer als es selbst“
(2) „Für a, b und c gilt der Grundsatz: Ist a größer als b und b größer als c, so ist a größer als c“
(3) „Für a und b gilt der Grundsatz: Entweder ist a größer als b, oder b größer als a, oder a
genauso groß wie b“
Aus diesen drei Aussagen kann man nach den Regeln der Logik jede andere generell wahre
Tatsache über Größen folgern. Zum Beispiel lässt sich die Tatsache „Wenn a größer als b ist, dann ist b
nicht größer als a“ durch ein Argument, das diese Axiome als Prämissen hat, beweisen. Diese
Beispieltheorie ist zwar eine sehr einfache Theorie, die an sich nicht besonders interessant ist, sie
unterscheidet sich jedoch von der komplexeren, interessanteren Axiomentheorien der Philosophie und
Mathematik nur dadurch, dass sie auf weniger und gleichzeitig einfacheren Axiomen beruht. Ihre
Struktur ist im Grunde genommen gleich wie die dieser komplexeren Theorien.
Durch Isaac Newtons Versuch, die Mechanik axiomatisch zu begründen, wurde die Methode
der Axiomatik zu einem der zentralen Ansätze der Wissenschaft (Albrecht u.a. 1978, S. 68). Danach
nahm das Interesse an der Axiomatik in mathematischen Kreisen zu, und ab dem 20. Jahrhundert wurde
sie zur umfassendsten Arbeitsmethode der Mathematik (ebd.). Seither ist sie auch in andere Bereiche
der Wissenschaft übernommen worden. Heutzutage bleibt sie das wichtigste Werkzeug der Mathematik
und wird auch gern in der Physik angewandt (ebd.). In der analytischen Philosophie des 20.
Jahrhunderts spielt sie auch keine untergeordnete Rolle, z. B. bei Frege (vgl. Sternfeld 1966, S. 73),

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Quine (vgl. Quine 1962), Russel (vgl. Russel und Whitehead 1910), Whitehead (vgl. ebd.) und Carnap
(vgl. Carnap 1928, S. 2).
1.3 Philosophische Aspekte der Axiomatik
Nach der oben angegebenen Definition ist die axiomatische Methode an sich keine philosophische
Ansichtsweise. Sie ist lediglich ein Werkzeug oder, genauer gesagt, eine Methode, mit der man die
Vorgehensweise einer Wissenschaft strukturieren kann. Ob sie philosophische Konsequenzen hat, hängt
lediglich von ihrer Anwendung ab. Eine philosophische Theorie mag beispielsweise behaupten, dass
die Welt axiomatisch strukturiert ist. Dies ist freilich eine philosophisch gewichtige Aussage, aber eine
Aussage dieser philosophischen Theorie, nicht der axiomatischen Methode. Letztere sagt nichts über
die Beschaffenheit der Welt aus. Man muss also vorsichtig sein, wenn man spricht, als ob die
Axiomatik selbst eine Philosophie wäre. Man darf eigentlich nur von einer Philosophie über die
Axiomatik reden.
Es wird zum Beispiel oft behauptet, dass Axiome keinerlei Beweise bedürften, weil sie
grundsätzlichen Wahrheiten, die augenscheinlich unleugbar sind, darstellen. Für den Großvater der
modernen Logik, Gottlob Frege, war es so; er hielt Axiome für „Grundtatsachen der Anschauung“
(Peckhaus 1990, S. 41). Dies aber ist nur ein gewisser Standpunkt zur axiomatischen Methode, keine
Bestimmung der Methode selbst. Euklid hat dies erkannt und deshalb die Axiome seines Systems nicht
den koinai ennoiai, den allgemein bekannten Tatsachen, sondern den aitémata, zugeordnet, womit er
die Leser dazu aufforderte, die Axiome für wahr anzunehmen, weil er nicht in der Lage wäre, sie zu
beweisen (vgl. Pierce 1931, §2, S. 130). Dies schildert auch der moderne Fortgang der Mathematik.
Axiome werden nicht mehr als unleugbare Wahrheiten betrachtet, sondern nur als Voraussetzungen
behandelt und als solche untersucht (vgl. Kondakow 1978, S. 65).
Dass die Axiome einer Theorie nicht innerhalb derselben Theorie gerechtfertigt werden, heißt
allerdings nicht, dass sich für sie überhaupt keine Begründung finden lässt. Im Allgemeinen werden die
Axiome durch eine andere, grundlegendere Theorie bewiesen, damit die Ergebnisse einer Theorie als
die Axiome einer anderen dienen können (vgl. ebd.). Die Tatsache zum Beispiel, dass der Nachfolger
jeder Zahl wiederum eine Zahl ist, gilt als ein Axiom der Arithmetik, aber in der Mengenlehre wird sie

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von einfacheren Prämissen bewiesen. Ähnlich gelten die Ergebnisse der Geometrie, wie z. B. der Satz
des Pythagoras, als Voraussetzungen der Physik. Wenn alle Theorien einer Wissenschaft axiomatisch
sind, kann somit eine Hierarchie ihrer Theorien entstehen, bei der jede Theorie die Axiome ihrer
Nachfolgerin rechtfertigt. Nur die Axiome der allerersten, allen anderen zu Grunde liegenden Theorie
können notwendigerweise nicht innerhalb der jeweiligen Wissenschaft bewiesen werden.
1.4 Beziehung der Axiomatik zur formalen Logik
Im oben genannten Beispiel der Größentheorie hat man eigentlich zwei Klassen von Grundannahmen
verwendet. Explizit hat man die Axiome (1) – (3) angegeben, die die Relation „größer als“ beschreiben.
Um allerdings Sätze aus diesen Axiomen abzuleiten, musste man, explizit oder implizit, auch logische
Denkregeln verwenden. Man braucht zum Beispiel die Regel modus ponens, dass aus „p“ und „wenn p,
dann q“ folgt „q“, um einen wahren Satz aus dem zweiten Axiom zu folgern.
Eine axiomatische Theorie besteht also aus zwei Klassen, oder „Schichten“ von Grundannahmen:
Erstens, die Axiome über den Stoff der Theorie, und zweitens, die oft unerwähnten logischen Regeln,
die festlegen, wie die Axiome anzuwenden sind. Diese logischen Regeln, die man Interferenzregeln
nennt, bilden die „logische Grundlage“ einer Axiomentheorie. Die häufigste solche Grundlage für
axiomatische Theorien ist die klassische Logik. Gewisse Aspekte der klassischen Logik, wie zum
Beispiel die Regeln über „Wenn … dann... „-Aussagen, schildern jedoch die Bedeutung solcher
Aussagen in der natürlichen Sprache manchmal nicht. Es gibt auch Alternativen, die diese Probleme
anders umgehen oder anders zu lösen versuchen. Wenn wir uns im nächsten Teil mit der Hegelschen
Philosophie beschäftigen, werden wir um der Klarheit Willen davon ausgehen, dass es sich bei einem
Axiomensystem um ein durch die klassische Logik formalisiertes Axiomensystem handelt.
Nichtklassische Alternativen werden erst im folgenden Teil behandelt.
1.5 Die Formalisierung
Wenn man die Axiome und Inferenzregeln festgelegt hat, so hat man festgelegt was als ein Beweis
zählt. Obwohl die Anschauung des Forschers ihm helfen mag, die Axiome richtig zu verwenden, darf
kein axiomatischer Beweis lediglich auf einer anschaulichen Rechtfertigung beruhen. Man darf eine

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These sonern nur dann als bewiesen hinstellen, wenn man sie von den jeweiligen Axiomen abgeleitet
und nach den dazugehörigen Regeln bewiesen hat. Der axiomatisch vorgehende Mathematiker darf
zum Beispiel die Behauptung, dass der Umfang eines Kreises immer größer als sein Radius sei, nicht
dadurch rechtfertigen, dass er einen kreisförmigen Gegenstand misst, sondern er muss dies
ausschließlich aus den Axiomen folgern.
Weil nun die Gültigkeit eines axiomatischen Beweises nur von der korrekten Anwendung der
Axiome und Inferenzregeln abhängt, muss man die Bedeutung von „größer als“ gar nicht kennen, um
die Axiome richtig anzuwenden. Solange man keine Prämisse außer den Axiomen einführt, wäre jeder
Lehrsatz, den man mit Hilfe der Inferenzregeln erzeugt, eine richtige Folgerung dieser Axiome, auch
wenn man die Inferenzregeln blind verwenden würde. Man dürfte also anstelle von „a ist größer als b“
im oben genannten Beispiel einfach „a G b“ schreiben, um zu betonen, dass „G“ in Bezug auf den
axiomatischen Beweis eigentlich nur eine beliebige Relation ist. Die Axiome würden dann:
(1) Für x gilt der Grundsatz: „Nicht: x G x“
(2) Für a, b und c gilt der Grundsatz: „Ist a G b und b G c der Fall, so auch a G c“
(3) Für a und b gilt der Grundsatz: „Entweder ist a G b, b G a, oder weder a G b noch b G a der
Fall“
Eine solche Darstellung verdeutlicht, dass die Gültigkeit eines axiomatischen Beweises völlig
unabhängig von der Bedeutung von „G“ ist. „G“ darf nun als „größer als“ interpretiert werden, kann
aber auch anders ausgelegt werden. Die Aussage „Wenn a G b, dann nicht b G a“ zum Beispiel, die wir
im vorherigen Teil als „Wenn a ist größer als b, dann ist b nicht größer als a“ interpretiert haben, soll
ebenso von diesen Axiomen beweisbar sein, wenn „G“ als „ist kleiner als“, „ist eine größere Zahl als“,
usw. gälte. Natürlich werden die Axiome und die daraus entstehenden Folgerungen, nicht für jede
Interpretation wahr sein, aber diese Interpretation beeinflusst die Gültigkeit des Beweises nicht. Es
handelt sich also bei der Gültigkeit eines axiomatischen Beweises nur um die Form, oder Struktur der
Aussagen, nicht um den Inhalt.
Eine Formalisierung gilt daher als eine Trennung der Form und des Inhalts einer Theorie, denn
nur die Form einer Aussage, das heißt, ihre syntaktischen Eigenschaften, kommen beim Beweisen in
Betracht. Ihre Referenz wird sekundär und affiziert den Vorgang des Axiomensystems nicht. Die

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Axiome eines formalen Systems der Geometrie sollen zum Beispiel ausreichen, um zu beweisen, dass
die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks die größte seiner Seiten ist, ohne dass man sich beim
Beweisen auf die Hinzuziehung eines Dreiecks stützen muss.
1.6 Die Forderungen an axiomatische Systeme
Ein zu einer Wissenschaft passendes Axiomensystem muss es erlauben, gerade die Menge der
Wahrheiten dieser Wissenschaft zu beweisen und sonst nichts. Es soll theoretisch möglich sein, alles,
was aus der Wissenschaft folgt, innerhalb derselben zu beweisen. Es soll aber auch nicht nur jede,
beliebige Aussage beweisen, sondern nur diejenigen, die mit der Wissenschaft konsistent sind. Wenn es
zu viel oder zu wenig beweisen kann, stellt es die Wissenschaft nicht richtig dar. Dies führt zu zwei
Bedingungen, die ein axiomatisches System erfüllen sollte: Widerspruchsfreiheit und Vollständigkeit.
1.6.1 Widerspruchsfreiheit
Hat man schon einen Widerspruch bewiesen, so kann man der klassischen Logik nach eine beliebige
Aussage B daraus schließen. Von der Prämisse „es regnet und es regnet nicht“ kann man durch die
Regeln der klassischen Logik schließen, „der Mond besteht aus Käse„, „Hegel war ein Fußballspieler“,
„Deutschland liegt in Südamerika“, usw. Eine solche Schlussfolgerung heißt ex contradictione
quodlibe und ist eine unvermeidbare Folge der Regeln der klassischen Logik. Ein System, das auch nur
einen einzelnen Widerspruch generiert, wäre aus diesem Grund unfähig, Wahrheiten von Falschheiten
zu unterscheiden, da jede beliebige Aussage, gleich ob wahr oder falsch, bewiesen werden könnte. Man
nennt diese Konsequenz der Regeln der klassischen Logik das „Explosion-Phänomen“. Seinetwegen
fordert man von einem Axiomensystem, dass sich in ihm keine Widersprüche aufzeigen lassen.
1.6.2 Vollständigkeit
Noch eine wünschenswerte Eigenschaft eines Axiomensystems ist die der Vollständigkeit. Jede
Aussage, die über den untersuchten Stoff getroffen werden kann, muss beweisbar oder widerlegbar
sein. Während also Widerspruchsfreiheit fordert, dass niemals eine Aussage und gleichzeitig deren
Widerspruch bewiesen werden kann, ist Vollständigkeit die Bedingung, dass für jede Aussage A,
entweder A oder nicht-A aus den Axiomen folgt. Es gehört zu den wichtigsten und überraschendsten

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Resultaten der Logik, dass keine außer den einfachsten, uninteressanten Axiomensysteme vollständig
in diesem Sinne sein kann, es sei denn, dass das System widerspruchsvoll ist.
Dies folgt aus dem ersten Gödelschen Unvollständigkeitssatz. Er besagt, dass jedes
Axiomensystem, das mindestens so reichhaltig wie die Arithmetik ist 1 , entweder widersprüchlich oder
unvollständig ist. Sein Beweis beruht auf der Tatsache, dass sich in solchen Systemen eine Proposition
G formulieren lässt, der genau dann wahr ist, wenn er nicht von den Axiomen ableitbar ist. Wenn sie
doch ableitbar ist, dann ist das System widerspruchsvoll, da dieser Satz bewiesen wird, obwohl das
System behauptet, er sei unbeweisbar. Ebenso kann das System nicht konsequenterweise die Negation
dieses Satzes beweisen. Also gibt es eine Proposition, nämlich G, die das System weder beweist noch
widerlegt. Deswegen ist das System unter Annahme ihrer Widerspruchsfreiheit unvollständig (vgl.
Smith 2007, S. 142). Eine kürzere und weniger technisch Darstellung des Unvollständigkkeitssatzes ist
in Boolos (1998) zu finden. Der Unvollständigkeitssatz macht eine der fundamentalen Grenzen der
axiomatischen Methode aus. Er zeigt, dass kein wissenschaftlicher Bereich seine Vollständigkeit allein
durch eine axiomatische Formalisierung erreichen kann.
1.7 Axiomatisierbarkeit
Wenn man sich mit einem neuen Problem beschäftigt, geht man selten zuerst axiomatisch vor. Nicht
nur in der Philosophie, sondern auch in der Mathematik wird meistens zunächst informell bewiesen.
Erst später werden Beweise eventuell in eine formelle Ableitung von Axiomen umgewandelt.
Erforderlich für einen mathematischen Beweis ist nur, dass es klar ist, wie eine solche Umwandlung
stattfinden könnte. Mann nennt die eine Umwandlung eines Arguments in eine Ableitung von Axiomen
eine Axiomatisierung. Ebenso kann eine gesamte Theorie axiomatisiert werden, indem man ihre
Grundannahme identifiziert und jede ihrer Argumente als eine Ableitung von diesen Grundannahmen
darstellt. Auch Theorien, die nicht ursprünglich axiomatisch angelegt wurden, lassen sich oft
axiomatisieren. Dies hat Euklid mit seinen Elementen erreicht, dessen Hauptbeitrag es war, eine
ausführliche axiomatische Systematisierung des vorherigen geometrischen Denkens darzubieten (vgl.
Suppes 1999, S. 246).
1 Hier lässt sich das Wort „reichhaltig“ nicht in einem Satz definieren. Eine Darstellung des relevanten Begriffes ist in
Smith (2007, S. 43 – 47) zu finden.

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Dennoch ist nicht eine jede Theorie axiomatisierbar. Wegen des schon besprochenen Gödlschen
Unvollständigkeitssatzes ist es im Allgemeinen unmöglich, Axiome anzugeben, die eine Theorie
vollständig darstellen. Außerdem lässt sich mit sehr einfachen Argumenten (also ohne die Verwendung
des Unvollständigkeitssatzes) zeigen, dass gewisse Mengen von wahren Aussagen, wie z. B. die
Wahrheiten der Arithmetik, ebenso nicht vollständig axiomatisierbar sind 2 (vgl. Smith 2007, S. 40f.).
Die Frage, ob Hegel axiomatisch hätte vorgehen können, ist also gleichbedeutend mit der, ob
seine Philosophie axiomatisierbar ist. Hier verzichten wir auf die Frage, ob eine solche
Axiomatisierung wegen der Komplexität praktisch durchführbar wäre und konzentrieren uns darauf, ob
sie grundsätzlich möglich ist. Die zwei Fragen, die wir an die nun zu behandelnde Hegelsche
Philosophie stellen, sind also (1) Warum wurde sie nicht axiomatisch aufgestellt? und (2) Ist sie
axiomatisierbar?
2 Die Ablehnung der axiomatischen Methode im Kontext der
spekulativen Philosophie
Die Aufgabe der Wissenschaft der Logik, wie Hegel sie darstellt, scheint in vielerlei Hinsicht eine
axiomatische Vorgehensweise zu erlauben, ja sogar zu erfordern. In beiden soll das Ergebnis nicht nur
behauptet, sondern auch bewiesen werden (E 1, S. 41). Weiterhin soll die Gestalt der Wissenschaft der
Logik streng notwendig sein: Sie soll die „Entwicklung des Denkens in seiner Notwendigkeit“
darstellen (WdL I, S. 30). Dies hat sie auch mit einer axiomatischen Wissenschaft gemeinsam, welche
die notwendigen Folgerungen ihrer Axiome darstellt. Ferner soll sich die Wissenschaft der Logik
wesentlich von einer empirischen Wissenschaft wesentlich unterscheiden, indem nicht die Erfahrung
physischer Gegenstände ihren Ergebnissen zugrunde liegt, sondern „allein das Denken“ (E I, S. 50). So
ist es auch bei einer axiomatischen Wissenschaft. Obwohl ihre Axiome aus der Erfahrung abstrahiert
werden können (vgl. Kondakow 1978, S. 65), ist sie für sich unabhängig von der empirischen
Erfahrung, weil sie lediglich ihre Axiome, nicht die Anschauung der empirischen Welt, als Maßstab
ihrer Ergebnisse verwendet.
2 Das Argument ist mengentheoretisch. Man beweist zunächst, dass die Anzahl der Folgerungen einer Axiomenmenge
immer abzählbar ist. Es folgt daraus, dass keine überabzählbare Menge, wie sich die Menge der Wahrheiten der
Arithmetik erweist, als die Folgerungen einer Axiomenmenge dargestellt werden kann.

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Hegel verwirft die axiomatische Methode auch nicht schlechthin. Er behauptet sogar, dass ein
System der Lehrsätze und Definitionen fähig sei, die Idee darzustellen (vgl. WdL II, S. 527). Dabei teilt
er den zentralen Eigenschaften eines Axiomsystems sein höchstes Lob zu. Trotzdem lehnt er das Axiom
und den Lehrsatz letztendlich ab, indem er sie nicht der absoluten Idee, sondern nur einer Stufe ihrer
Entwicklung zuordnet.
In diesem Teil möchte ich die Gründe für Hegels Ablehnung untersuchen und beurteilen.
Behandelt werden sowohl die expliziten, von Hegel angegebenen Argumente als auch die impliziten
und historischen Gründe für ein nicht axiomatisches Herangehen in seiner Philosophie. Die relevanten
Argumente sind hauptsächlich an zwei Stellen zu finden: in der oben erwähnten Behandlung des
Lehrsatzes in der Wissenschaft der Logik und in der Kritik an der bisherigen Logik. Letzteres ist
allerdings keine direkte Kritik an der axiomatischen Methode. Die Aufgabe hier ist also erstens
festzustellen, inwiefern die Kritik auf die axiomatische Methode zutrifft, dann im weiteren Verlauf der
Arbeit den Wert der relevanten Argumente zu beurteilen.
2.1 Historischer Hintergrund der Hegelschen Philosophie
Ein grenzenloses Vertrauen der Mathematik beherrschte die intellektuellen Kreise des siebzehnten und
achtzehnten Jahrhunderts. Nach den Leistungen Descartes', Newtons, Leibniz' und Galileis schien
kaum noch etwas außer Reichweite der Mathematik zu liegen. Hobbes behauptete, der menschliche
Verstand könne nur solche Gegenstände erfassen, die er mathematisch erzeugen oder konstruieren
kann, und drohte dabei die ganze Philosophie in die Mathematik aufzulösen. Auch Kant behauptete, der
Mensch begreife nur das eigentlich wissenschaftlich, was mechanisch im Sinn der Newtonschen
Naturwissenschaften verstanden wird (vgl. Bloch 1977, S. 62).
Die Mathematik und mathematische Physik beschrieben allerdings nur numerische Eigenschaften
und Bestimmungen. Der Physiker behauptet zum Beispiel, Kraft sei gleich Gewicht mal
Beschleunigung. Dabei beschreibt er aber nur die Größe einer Kraft. Was die Kraft an sich eigentlich
ist, kann der Physiker nicht sagen. Trotz ihrer explanatorischen Kraft legt also die Mathematik über den
eigentlichen Inhalt der Sache, den rein existierenden, der nicht in ihren numerischen Eigenschaften und
Bestimmungen besteht, keine Rechenschaft ab. „So zeigt sich seit der Mitte des achtzehnten

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Jahrhunderts überall“, schreibt Bloch, „der gewaltige Rest, den die mathematisch abstrakte Erzeugung
nicht bewältigt hat und nicht bewältigen konnte“ (Bloch 1977, S. 63). Dieser „Rest“ kommt in Kants
Ding an sich am stärksten zur Geltung.
Gerade diesen „Rest“, den die Mathematik trotz ihrer Reichweite nicht erreichen konnte, wollte
Hegel mit seiner Philosophie begreifen. Deswegen war ihm eine der Mathematik zu ähnliche
Vorgehensweise, die axiomatische also, verdächtig und unattraktiv. Er wollte, dass seine Philosophie
die Mathematik übertrifft (vgl. WdL I, S. 30). Der historische Hintergrund macht es also plausibel, dass
Hegel nicht axiomatisch an seine Philosophie heranging. Seine Ablehnung war jedoch nicht nur
historisch, was im folgenden Teil des Aufsatzes verdeutlicht wird.
2.2 Der Umfang der Hegelschen Philosophie
Die deutlichsten Einwände gegen ein axiomatisches Vorgehen beim spekulativen Philosophieren
beziehen sich auf den Umfang der Aufgabe der spekulativen Philosophie. Das Hegelsche System soll
allumfassend sein. „Der einzige Gegenstand und Inhalt“ seiner Philosophie soll die absolute Idee (WdL
II, S. 549) sein, dementsprechend muss sie „alle Wahrheit“ beinhalten (ebd.). Sie soll im Gang ihrer
Entwicklung der gesamten Realität, wenigstens in deren Abstraktheit, Rechnung tragen. Nichts darf als
unmittelbar außen vor bleiben. Hieraus ergibt sich, wie Hegel wohl bemerkt, das Problem des Anfangs
der Philosophie.
2.2.1 Das Problem des Anfangs der Philosophie
Wenn alles innerhalb des Systems entwickelt werden soll, scheint ein Anfang unmöglich zu sein.
Während andere Wissenschaften ihren Ausgangspunkt und ihre Methode „als bekannt und
angenommenen“ (WdL I, S. 35) voraussetzen dürften, ist dies bei einer allumfassenden Wissenschaft
unmöglich, da der Anfang und die Methode „einen Teil ihres Inhalts selbst“ ausmachen und „erst
innerhalb ihrer begründet […] werden“ sollen (ebd.).
Dieses Problem ist besonders relevant für die Frage dieser Arbeit, denn die axiomatische
Methode scheint den Inhalt einer Wissenschaft vorauszusagen, bevor dieser Inhalt im Gang der

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Wissenschaft entwickelt wird. Freilich ist es wahr, dass eine streng axiomatische Wissenschaft etwas
voraussetzen muss, nämlich die Axiome, und daher nicht allumfassend sein kann. Man muss hier aber
die Frage stellen, ob eine Wissenschaft, die davon ausgeht, dass nichts außerhalb ihrem eigenen Inhalt
existiert und deswegen auch die Methode und Basis in ihrem Inneren entwickelt, überhaupt möglich ist.
In Anbetracht der oben angegebenen Motivation für die axiomatische Methode (2.1), scheint dies
wenigstens sehr zweifelhaft zu sein.
Hegel meint jedoch eine Wissenschaft ohne äußere Voraussetzungen schaffen zu können. Sein
Lösungsvorschlag lässt sich in drei Aspekte gliedern. Erstens, argumentiert er, sei der Anfang seiner
philosophischen Wissenschaft, das reine Sein, keine richtige Voraussetzung, weil es so arm an Inhalt
und Bestimmungen sei, dass es eigentlich nur die Unmittelbarkeit in seinem wahren Ausdruck sei (vgl.
WdL 1, S. 68). Ein Anfang zeichne sich durch gerade diese Unmittelbarkeit aus, deshalb sei das reine
Sein lediglich das Wesen des Anfangs. „Es liegt also in der Natur des Anfangs selbst“, schreibt Hegel,
„dass er das Sein sei und sonst nichts.“ (WdL 1, S. 72).
Der zweite Aspekt des Lösungsvorschlags betrifft den Ursprung des Anfangs der Philosophie. Im
Unterschied zu anderen Wissenschaften, die über einen äußeren Ausgangspunkt verfügen, sei der
Anfang der Philosophie „der freie Akt des Denkens, sich auf den Standpunkt zu stellen, wo es für sich
selber ist und sich hiermit seinen Gegenstand selbst erzeugt und gibt“ (E 1, S. 63). Keine äußerliche
Auflage zwinge also den Denkenden zur Philosophie. Der Wille zur Philosophie, und damit ihr Anfang,
ergebe sich vielmehr aus der Freiheit des Denkens, in dessen Natur es liegt, sich selbst zu seinem
eigenen Gegenstand zu machen. Der Anfang stamme daher aus dem Denken selbst, nicht aus etwas, das
außerhalb des Denkens liegt.
Drittens behauptet Hegel, dass seine Philosophie streng genommen keinen äußeren Anfang habe,
denn ihr Anfang mache sich innerhalb der Wissenschaft zum Resultate, und zwar als das Letzte,
weshalb sich das ganze System als ein „in sich zurückgehender Kreis“ darstellen ließe (E I, S. 63).
Hegels Anfang sei deshalb nur vorläufiger gesehen ein unmittelbarer Anfang und soll sich später als ein
vermittelter erweisen.
Auf eine Merkwürdigkeit der Argumentation Hegels muss zunächst hingewiesen werden. Hegels

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Ansicht nach dürfte man über den Anfang nicht logisch nachdenken, bevor man ihn gemacht hat, da ein
solches Denken einen Teil der Wissenschaft ausmacht, also in ihrem Gang stattfinden soll (vgl. WdL I,
S. 67). Um jedoch zu begründen, dass außerhalb der Wissenschaft über den Anfang nicht nachgedacht
werden darf, muss Hegel gerade dies machen. Die Überlegungen, die seine Ansicht rechtfertigen, sind
selbst schon Überlegungen über den Anfang. Hegel widerspricht sich also an dieser Stelle, indem er
über etwas nachdenkt, worüber ihm zufolge noch nicht nachgedacht werden darf.
Weiterhin sind alle drei Aspekte des Lösungsvorschlags problematisch. Der erste Aspekt stellt
eigentlich nur fest, dass sich die Unmittelbarkeit als Anfang der Wissenschaft eignet. Der Unterschied
zwischen der Unmittelbarkeit und dem reinen Sein scheint für Hegel darin zu bestehen, dass letzteres
„der wahre Ausdruck“ des ersten sei (WdL I, S. 67). Warum Hegel schon den wahren Ausdruck der
Unmittelbarkeit und nicht die Unmittelbarkeit selbst als Anfang auswählt, ist gar nicht klar, zumal es
sich beim Gegenstand der Logik um Denkbestimmungen handelt, welche sowieso noch keine
Aktualität, also „wahre[n] Ausdruck“, haben. Wenn die Rechtfertigung darin bestehen sollte, dass die
Unmittelbarkeit in das reine Sein übergehe, dann soll sich dies innerhalb der Wissenschaft zeigen,
weshalb die Unmittelbarkeit, nicht das reine Sein, sowieso der richtige Anfangspunkt wäre.
Ebenso schwach ist der zweite Aspekt der Argumentation. Die Aussage, dass dass die
Beschäftigung mit der Wissenschaft angefangen werden soll, ist genauso „äußerlich“ wie die Axiome
anderer Wissenschaften. Oft dienen Axiome nur als Verkündigung eines Anfangs. Zum Beispiel besagt
das erste Peanosche Axiom der Arithmetik lediglich, dass es eine Zahl gibt, die keinen Vorgänger hat,
das heißt, eine erste Zahl (vgl. Stewart u. a. 1977, S. 146). Sie drückt deswegen nur aus, dass mit dem
Zählen angefangen werden kann. Trotzdem ist diese Voraussetzung nicht im Wesentlichen anders als
andere Axiome. So verhält es sich auch bei Hegels vermeintlich voraussetzungslosem Anfang. Dass er
nur die Verkündigung eines Anfangs ausdrückt, spricht nicht dagegen, dass dieser Anfang eine
äußerliche Voraussetzung ist und sogar als ein Axiom formuliert werden könnte.
Der dritte Aspekt der Argumentation scheitert auch, denn ein System, dessen Ausgangspunkt
durch dasselbe System gerechtfertigt wird, kann sich auf nichts außerhalb seiner selbst beziehen. Zum
Beispiel wäre eine philosophische Theorie, welche die Willensfreiheit letztendlich auf die Struktur des
menschlichen Gehirns zurückführte, und auch umgekehrt die Struktur des Gehirns durch die

Joshua Mendelsohn 16
Willensfreiheit erklärte, zwar konsequent, aber unfähig über die Welt zu urteilen. Sie könnte die
Willensfreiheit bzw. das Gehirn vielmehr nur unter Bezugnahme auf das andere erklären. Eine solche
In-Sich-Geschlossenheit wäre vielleicht für die Wissenschaft der Logik unproblematisch, wenn sie sich
auf nichts außer sich selbst beziehen würde. Die Wissenschaft der Logik soll allerdings nicht nur ein
geschlossenes System sein, sondern sie muss die Grundlage der Realphilosophie ausmachen.
Deswegen muss ihre Grundlage außer ihrer selbst liegen.
Also scheitert Hegels Versuch, die Philosophie ohne äußerliche Voraussetzungen anzufangen. Es
gibt nun zwei Möglichkeiten. Entweder besteht man darauf, dass die Philosophie ohne externe
Voraussetzung angefangen werden muss, obwohl Hegel dies nicht geschafft hat, oder man gibt zu, dass
jede Wissenschaft, also auch die Philosophie, an einem externen Ausgangspunkt anfangen muss. In
Anbetracht der Erfolgslosigkeit des Versuchs Hegels scheint die zweite Möglichkeit vorteilhafter. Wenn
man also zugibt, dass jede Wissenschaft – die spekulative Philosophie eingeschlossen – etwas außer
sich voraussetzt, dann spricht nichts in der Natur des Anfangs dagegen, dass die Wissenschaft der
Logik axiomatisch aufgebaut werden könnte, denn sie ist eigentlich doch nicht so voraussetzungslos,
wie Hegel geglaubt hat.
2.2.2 Der Gegenstand der Wissenschaft der Logik
Der Umfang der Wissenschaft der Logik führt zu anderen Problemen für ein axiomatisches
Herangehen. Die oben vorgenommene Darstellung der axiomatischen Methode macht Propositionen zu
den fundamentalsten Elementen des Diskurses. Alles, was in einem axiomatischen System behauptet
wird, gleich ob Axiom oder Lehrsatz, sind Propositionen. Dies ist besonders deutlich bei einer formalen
Axiomatik, aber ist ebenso der Fall bei einer nicht formalen.
Propositionen stellen allerdings Sachverhalte dar; sie beschreiben, was der Fall ist oder sein kann.
Die Wissenschaft der Logik soll dennoch in erster Linie keine Sachverhalte schildern. Propositionen
sind räumliche und zeitliche Aussagen, die „ihr Bestehen nicht an ihnen selber, sondern an
Einzeldingen haben“ (Koch 2002, S. 28). Sie setzen somit Objekte, Raum und Zeit voraus und gehören
daher vielmehr zu der Realphilosophie. Nach Koch geht es in der Wissenschaft der Logik um
vorpropositionale Sachverhalte, oder „Ursachverhalte“ (Koch 2002, S. 28). Diese beziehen sich nicht
auf in Raum und Zeit bestehende Tatsachen, sondern auf die Anschauung, und in der Logik gerade auf

Joshua Mendelsohn 17
die intellektuelle Anschauung. Hegels Logik sei daher „keine Logik der Aussagen und Prädikate“
(Koch 2002, S. 28)
Dies mag wohl ein Grund sein, warum die Wissenschaft der Logik nicht in Propositionen
ausgedrückt werden kann und daher auch nicht axiomatisch sein kann. Wir müssen aber hier die
Tatsache erkennen, dass die Wissenschaft der Logik in einer Sprache, nämlich Deutsch, ausgedrückt
wurde. Die Form des Satzes einer Sprache, als eine Zusammensetzung von Subjekt und Prädikat, ist
aber gerade die der Proposition. Obwohl Hegel notorisch zuweilen von dieser Form abweicht, z. B.
„Sein, reines Sein, – ohne alle weitere Bestimmung“ (WdL I, S. 82), sind die meisten seiner Sätze
grammatisch und daher propositional. Wenn der Gegenstand der Wissenschaft der Logik also nicht
propositional auszudrücken ist, darf man mit Recht fragen, ob über einen solchen Gegenstand auf
Deutsch, oder auf irgendeiner anderen Sprache, geschrieben werden darf.
Es gibt jedoch eine Möglichkeit, wie ein in einer propositionalen Sprache geschriebenes Buch
Wissen über einen nicht propositionalen Gegenstand vermitteln kann. Diese hängt mit der Lesart des
Buchs zusammen. Die Wissenschaft der Logik ist kein Band der bloßen Tatsachen, sondern vor allem
eine Denkübung (vgl. Fulda 2003, S. 111). Sie stellt die Entwicklung des reinen Gedankens immanent
dar. Um den Inhalt des Buches zu verstehen, muss der Leser bei dieser Entwicklung mitmachen. Er
muss sich selbst auf seine intellektuelle Anschauung beziehen und erfahren, dass zum Beispiel die Idee
des Wahren in die Idee des Lebens übergeht. Das Buch ist deswegen vor allem ein Leitfaden für den
Leser, der ihm dabei helfen soll, seine eigene intellektuelle Anschauung zu finden. Nur die
Beschreibung dieses Leitfadens ist eigentlich propositional, nicht der Inhalt, der dem Leser durch
diesen Leitfaden offenbart werden soll. Die Wissenschaft der Logik darf also in einer propositionalen
Sprache ausgedrückt werden, da ihr eigentlicher Inhalt nicht im Buch vorzufinden ist, sondern vom
Leser, der das Buch als Anleitung verwendet, erfahren werden muss.
2.2.3 Allumfassende Systeme und Unvollständigkeit
Es gibt noch weitere Probleme eines axiomatischen Herangehens an ein Projekt solcher Größe, die zu
erwähnen sind. Wenn das Hegelsche System eigentlich „absolutes Wissen“ begreifen soll, so muss es
alles, sogar sich selbst, begreifen. Dies verdeutlicht sich in Hegels Beschreibung der absoluten Idee als
„alle Wahrheit“ und „sich wissende Wahrheit“ (WdL II, S. 549). Der Gödelsche Unvollständigkeitssatz

Joshua Mendelsohn 18
zeigt allerdings, dass es zu jedem Axiomensystem einen Satz gibt, dessen Wahrheit das System nicht
entscheiden kann, wegen der Weise, wie er sich auf das System bezieht. Folglich kann kein
axiomatisches System sich selbst völlig erfassen. Hegels System dürfte also kein axiomatisches sein,
wenn seine höchste Gestalt „sich wissende Wahrheit“ sein soll.
Obwohl es anachronistisch wäre, zu behaupten, der Unvollständigkeitssatz sei Hegel bekannt
gewesen, scheint er jedoch auf denselben Kerngedanken gekommen zu sein. Er hat nämlich schon
erkannt, dass die Mathematik nicht durch sich selbst gerechtfertigt werden kann, obgleich er dies nicht
bewiesen hat. Er schreibt: „Die Mathematik hat daher bis diesen Tag nicht dahin kommen können, die
Operationen, welche auf jenem Übergange beruhen, durch sich selbst, d. h. auf mathematische Weise
zu rechtfertigen, weil er nicht mathematischer Natur ist“ (WdL II, S. 510). Diese ist fast genau das
Ergebnis des zweiten Teils des Gödelschen Unvollständigkeitssatzes, der besagt, dass die Konsequenz
einer axiomatischen Theorie nicht durch dieselbe Theorie bewiesen werden kann (vgl. Smith 2007, S. 6
– 7, S. 214). Also kann man auf indirekte Weise die Folgerung des Unvollständigkeitssatzes als einen
Grund der nicht axiomatischen Struktur der Wissenschaft der Logik angeben. Wenn sie
„mathematisch“, also axiomatisch, aufgebaut wäre, könnte sie sich selbst nicht begründen.
Das Problem der Unvollständigkeit muss jedoch kein Totschlag für einen axiomatischen Versuch
der spekulativen Philosophie sein. Der Unvollständigkeitssatz zeigt nur, dass es wenigstens einen
unentscheidbaren Satz gibt. Die Wahrscheinlichkeit, dass dieser einzige Satz eine wichtige Tatsache
darstellt, ja sogar der Rede wert wäre, ist gering. In der Praxis axiomatischer Wissenschaft geht man
davon aus, dass der Satz unwichtig sei, und die Arbeit wird nicht durch ihn behindert. Also hat der
Unvollständigkeitssatz fast keine Folgen für die praktische Anwendung axiomatischer Systeme. Der
Gödelsche Unvollständigkeitssatz schließt die Möglichkeit deswegen nicht aus, dass trotz dieses
Mangels eine axiomatische Vorgehensweise hinreichend für ein allumfassendes System derart Hegels
sein könnte.
2.3 Hegels Unterscheidung der Vernunft und des Verstands
In der Wissenschaft der Logik unterscheidet Hegel zwei Denkarten: die Vernunft, die er als „sachhaltige
und konkrete [preist]“ (Bloch 1977, S. 39) und den Verstand, den er ablehnt. Ein wesentlicher

Joshua Mendelsohn 19
Unterschied zwischen der Vernunft und des Verstands bestehe darin, dass nur die Vernunft den realen
Widerspruch begreifen kann. Der Verstand erkennt dagegen nicht, „dass der Widerspruch eben das
Erheben der Vernunft über die Beschränkungen des Verstandes und das Auflösen derselben ist“ (WdL I,
S. 39). Ihm fehlt das „Erkenntnis […], dass das Negative ebenso sehr positiv ist oder dass das sich
Widersprechende sich nicht in Null, in das abstrakte Nichts auflöst, […] sondern die Negation der
bestimmten Sache“, und somit produktiv, ist (WdL I, S. 49). Der Verstand sei deswegen statisch, weil
er nicht über seine eigene Bestimmungen hinausgehen kann, sondern „in seinen Trennungen beharrt“
(WdL I, S. 38). Weil dem Verstand dieser wesentliche Schritt dialektischen Denkens mangele, sei er in
der Hegelschen Philosophie eine „begrifflose“ Betrachtungsweise (vgl. Gottschlich u. a. 2005, S. 34f).
Die höheren Gestalten des Bewusstseins, und zwar alle außer den endlichen, sind ihm unfassbar. Aus
diesen Gründen eignet sich nur die Vernunft für das Projekt der spekulativen Philosophie.
Das Festhalten an Trennungen und unveränderlichen Begriffen, das nach Hegel für den Verstand
typisch sei, ist auch typisch für axiomatisches Denken. Wie schon im ersten Teil besprochen, sind die
Axiome für den axiomatischen Denker unveränderbare Grundannahmen. Außer den Axiomen darf alles
widerlegt und verändert werden, aber die Axiome und Inferenzregeln dürfen nie innerhalb des Systems
in Frage gestellt werden. Der axiomatische Denker „hält“ in diesem Sinne an ihnen „fest“. Weiterhin
sind axiomatische Systeme, denen die klassische Logik zu Grunde liegt, unfähig, Widersprüche zu
ertragen. Auch in diesem Respekt ähneln gewisse axiomatische Systeme dem Verstand. Man darf also
zwei Einwände gegen die Axiomatik im Kontext der spekulativen Philosophie erheben. Erstens, dass
sie wegen ihrer Starrheit die Bewegung der Vernunft nie erreichen kann und zweitens, dass ihre häufige
Grundlage, die klassische Logik, das Positive des Widerspruchs nicht begreife. Auf diese zwei
Einwände ist nun jeweils einzugehen.
2.3.1 Dynamische Wahrheit und Grundannahmen
Die Wahrheit ist für Hegel dynamisch. Alles gilt für ihn als veränderlich. Nicht nur die Resultate einer
Theorie, sondern auch ihre Grundlagen sollen widerlegbar sein. Alle Denkregeln, bis zu den
allereinfachsten hin, wie z. B. A=A, sollen durch die Vernunft als ihren eigenen Widerspruch enthaltend
begriffen werden (vgl. Iber 1990, S. 273). Diese ist, wie bereits besprochen, bei einer axiomatischen
Theorie nicht der Fall. Die Axiome machen vielmehr eine unveränderbare Grundlage aus.

Joshua Mendelsohn 20
Wenn alles bei Hegel wirklich so dynamisch wäre, wie er behauptet, dann könnte keine
Denkweise, die in irgendeinem Sinn statisch wäre, in diesem Fall also die axiomatische, in der
spekulativen Philosophie verwendet werden. Bei genauerem Hinsehen zeigt sich allerdings, dass auch
Hegel grundlegende Annahmen hat, die sich nie verändern und nie in Frage gestellt werden.
Beispielsweise besteht Hegel in seiner gesamten Philosophie darauf, dass die „an und für sich“-
Betrachtungsweise wesentlich tiefgründiger als die bloße „an sich“- oder „für uns“-Betrachtungsweise
sei. Zu den Annahmen, die Hegel nie in Frage stellt, gehören auch (a) dass die Wahrheit eine
erkennbare Struktur überhaupt habe, (b) das man über die intellektuelle Anschauung verfügen könne,
und (c) dass die Sprache fähig sei, die Philosophie darzustellen. Da auch die Hegelsche Philosophie auf
diesen unausgesprochenen Grundannahmen beruht, hält sie auch an bestimmten Wahrheiten fest. Das
starre Festhalten der Axiomatik an gewisse Wahrheiten überhaupt spricht also nicht gegen ihre Eignung
für die spekulative Philosophie.
2.3.2 Der Widerspruch als Werkzeug der Vernunft
Man könnte auch einwenden, dass sich die klassische Logik nicht für die Hegelsche Philosophie eigne,
weil die klassische Logik keinen Widerspruch erlaubt, während der Widerspruch die treibende Kraft
der Vernunft bei Hegel ist. Hier muss man aber vorsichtig sein. Dass kein Widerspruch zu den
bewiesenen Sätzen einer klassischen logischen Theorie gehören darf, heißt nicht, dass die
Widersprüche für die klassische Logik ein leeres „Nichts“ ohne Inhalt seien. Das Gegenteil ist hier der
Fall. Sie liegen einer der wichtigsten Beweismethoden der klassischen Logik, dem Beweis durch
Widerspruch, zugrunde. Diese Beweismethode beruht auf der Annahme, dass kein Widerspruch wahr
sein kann. Sie erfolgt dadurch, dass man aufzeigt, dass sich das Gegenteil ¬S eines Satzes S, der zu
beweisen ist, sich widerspricht und folgt daraus, dass S wahr sein muss, weil ihr Gegenteil ¬S
widersprüchlich, also falsch, ist. Daher spielen Widersprüche eine wichtige Rolle in der klassischen
Logik. Obwohl der Widerspruch selbst nicht bewiesen wird, ermöglicht es das Denken des
Widerspruchs, positive Fakten zu beweisen.
Zum Beispiel will man beweisen, dass es keine größte natürliche Zahl 3 gibt, so nimmt man das
Gegenteil dieser Aussage an, nämlich, dass es doch eine allergrößte natürliche Zahl gibt. Bezeichnen
wir nun diese vermeintlich allergrößte Zahl als n. Die Annahme, dass es eine solche Zahl gibt, erweist
3 Die „natürlichen Zahlen“ sind die ganzen Zählnummer 1, 2, 3, 4...

Joshua Mendelsohn 21
sich als widersprüchlich, wenn man die Zahl n + 1 betrachtet. Diese Zahl ist offensichtlich auch eine
natürliche Zahl (ist sechs eine ganze Zählnummer, so auch sieben), aber eben auch eine, die größer als
n ist. Deswegen ist n nicht die größte natürliche Zahl, denn die natürliche Zahl n + 1 ist größer. Wir
haben also einen Widerspruch erzeugt: dass n die größte natürliche Zahl ist (nach unserer Annahme)
und zugleich nicht die größte (wegen n + 1). In diesem Fall verwirft man die Prämisse des Beweises,
dass es eine allergrößte Zahl gibt. Weil diese Prämisse nun falsch ist, muss ihr Gegenteil – dass es doch
keine allergrößte natürliche Zahl gibt – wahr sein. Also schließt man: Es gibt keine größte natürliche
Zahl.
Betrachten wir den Verlauf dieses Beweises näher. Die Wahrheit der natürlichen Zahlen ist in
diesem Fall ihre Unendlichkeit. Diese Wahrheit konnten wir allerdings nicht direkt begreifen. Wir
mussten erst auf die Seite der Unwahrheit gehen, und diese Unwahrheit als solche erkennen, um
letztendlich bei der Wahrheit anzukommen. Anders gesagt wurde die Wahrheit durch ihr Gegenteil
vermittelt. In der klassischen Logik bewirkt der Widerspruch somit den Übergang vom Unwahren zum
Wahren. Das Widersprüchliche bleibt in der klassischen Logik kein „abstraktes Nichts“. Der
Widerspruch spielt eine aktive, treibende Rolle bei der klassischen Logik, obwohl er immer schließlich
verworfen wird.
Diese Behandlung des Widerspruchs in der klassischen Logik scheint beim ersten Eindruck
nichtsdestoweniger in Konflikt mit dem Hegelschen „Satz des Widerspruchs“ zu stehen. Letzterer
besagt: „Alle Dinge sind an sich selbst widersprechend“ (WdL II, S. 74). Man muss allerdings den
weiteren Kontext dieses Satzes erkennen. In der Hegelschen Philosophie gibt es zwar überall
Widersprüche, aber diese existieren nur, um sich selbst aufzulösen (vgl. Iber 1990, S. 503). Es folgt
daraus, dass in einer Logik, die das Hegelsche Projekt darstellen soll, Widersprüche auflösbar oder
widerlegbar sein sollen. Wie gezeigt, erfüllt die klassische Logik diese Bedingung. Man darf die
klassische Logik daher nicht aufgrund ihrer Unverträglichkeit des Widerspruchs verwerfen.
2.4 Die Idee des Wahren
Die axiomatische Methode hat auch gewisse Ähnlichkeiten mit der dritthöchsten Stufe der
Wissenschaft der Logik, die Hegel „die Idee des Wahren“ nennt. Wenn sich die axiomatische Methode

Joshua Mendelsohn 22
als identisch mit der Idee des Wahren erweisen würde, wäre sie für das gesamte Werk abzulehnen, denn
sie könnte bestenfalls diese Stufe der Logik erreichen. Der Gegenstand der Logik, die absolute Idee,
läge in diesem Fall außer ihrer Reichweite. Ob die Axiomatik nun über die Idee des Wahren
hinausgeht, soll in diesem Teil beantwortet werden.
Hegels Darlegung der Idee des Wahren besteht hauptsächlich aus zwei Teilen, und zwar aus dem
analytischen und dem synthetischen Erkennen. Der folgender Abschnitt soll die axiomatische Methode
mit der Idee des Wahren vergleichen, um zu entscheiden, ob Hegels hier angegebene Kritiken treffend
sind.
2.4.1 Das analytische Erkennen
Hegel identifiziert das analytische Erkennen als die Hauptmethode der Mathematik (vgl. WdL II, S.
505) und ordnet ihm das ausschließlich mechanische Denken, zu dem unter anderem Zählen gehört, zu
(vgl. WdL II, S. 507). Diese Denkweise sei „ihrer Natur nach auch ein ganz äußerliches, gedankenloses
Tun“, die „auch eine Maschine verrichten kann“ (ebd.). Zunächst meint man eine große Ähnlichkeit
zwischen der axiomatischen Methode und dem analytischen Erkennen feststellen zu können. Wie im
ersten Teil erklärt wurde, macht die axiomatische Methode die Durchführung eines Beweises zu einer
völlig syntaktischen Aufgabe: Um eine wahre Aussage axiomatisch abzuleiten, muss man lediglich
bestimmte Regeln auf eine beliebige Reihenfolge von Symbolen anwenden. Die Gültigkeit eines
axiomatischen Beweises kann deswegen tatsächlich von einer Maschine, zum Beispiel von einem
Computer, überprüft werden.
Axiomatisch vorzugehen bedeutet aber viel mehr als lediglich mechanisch vorzugehen. Obwohl
eine Maschine einen Beweis überprüfen kann, ist keine Maschine dazu fähig, neue Beweise zu
generieren. Dies folgt aus einem zentralen Ergebnis der Berechenbarkeitstheorie, dem sogenannten
Unentscheidbarkeitssatz, der besagt, dass es kein einziges mechanisches Verfahren gibt, das unfehlbar
entscheiden kann, ob ein gegebener Satz aus gegebenen Axiomen folgt (vgl. Davis 1982, S. 69). Die
Ableitung eines Satzes in einem axiomatischen System ist deswegen ein kreativer, vernünftiger
Prozess, bei dem man auf kein einziges, unfehlbares Verfahren zurückgreifen kann. Man darf die
axiomatische Methode also nicht aufgrund ihrer vermeintlich mechanischen Natur ablehnen.

Joshua Mendelsohn 23
Außerdem ist die Unterscheidung, die Hegel zwischen analytischen und synthetischen
Aufgaben der Mathematik vornimmt, nicht kohärent. Er behauptet, eine Aufgabe sei analytisch, wenn
ihre Lösung nur von Bestimmungen abhängt, die durch die Aufgabe selbst gesetzt sind. Sie sei
synthetisch, insofern sie auf Bestimmungen ankommt, die sie nicht vorschreibt (vgl. WdL II, S. 510).
Die Aufgabe der Addition zweier Zahlen sei beispielsweise analytisch, denn die Bedingungen der
Aufgabe setzten schon voraus, dass man mit der ersten Zahl anfängt, und sie hochzählt, bis man die
Summe erreicht (vgl. WdL II, S. 509). Dahingegen sollen komplexere Aufgaben der Analysis, wie z. B.
die Berechnung primitiver Wurzeln 4 , synthetisch sein (vgl. ebd.).
Hegels Unterscheidung analytischer und synthetischer Aufgaben scheint sich auf die
Überzeugung zu basieren, dass es sowohl Aufgaben gibt, die ihr Lösungsverfahren schon angeben, als
auch Aufgaben, über die man nachdenken muss, um das Lösungsverfahren festzustellen. Dennoch
enthalten sogar die einfachsten Aufgaben der Mathematik kein Lösungsverfahren. Um zwei Zahlen a
und b zu addieren, muss man schon wissen, wie man hochzählt, und dass b die Dauer des Hochzählens
bestimmen soll. Nur die Vertrautheit mit solchen Aufgaben mag den falschen Eindruck erwecken, dass
das Verfahren schon innerhalb der Aufgabe festgelegt sei. Andererseits könnte das Finden primitiver
Wurzeln einem Mathematiker, dem das Lösungsverfahren vertraut wäre, so einfach wie eine Addition
vorkommen. Hegels Behandlung des analytischen Erkennens ist also problematisch, desgleichen seine
Gleichsetzung dessen mit mechanischem Denken.
2.4.2 Das synthetische Erkennen
In dem Abschnitt über das synthetische Erkennen gibt Hegel eine explizite Kritik des „Axioms“ an. Er
argumentiert folgendermaßen: Wenn die Axiome einer Wissenschaft mehr als „bloße Tautologien“
(WdL II, S. 529) sind, benötigen sie einen Beweis. Sie pflegten dann aber „mit Unrecht gewöhnlich als
absolut Erste genommen zu werden, als ob sie an und für sich keines Beweises bedürften“ (WdL II, S.
4 Hier bezieht sich Hegel auf die damals gerade erfundene Methode, eine Gleichung der Form x n = 1 mit komplexen Zahlen
zu lösen. Zum Beispiel fragt die Aufgabe für den Fall n = 4 nach denjenigen Zahlen, die die Bedingung
x× x×x× x=1 erfüllen. Unter den normalen Zahlen gibt es nur zwei Zahlen, die diese Bedingung erfüllen: -1 und 1.
Man kann allerdings mehr Lösungen finden, wenn man auch die „komplexen Zahlen“ (eine Erweiterung der normalen
Zahlen, so dass die -1 eine Quadratwurzel besitzt) in Betracht einbezieht. In dem Fall versteht man die Potenzoperation als
eine Rotation um den Einheitskreis und löst die Gleichung mit Hilfe der Sinus-Funktion. So erhält man vier Lösungen für
den Fall n = 4 und, allgemein gesagt, n Lösungen der Gleichung x n = 1. Eine ausführliche Darstellung dieses Verfahren ist in
fast jedem Buch über komplexe Analysis zu finden, wie z. B. Gamelin 2001, S. 9.

Joshua Mendelsohn 24
529), denn sie sind eigentlich nur „relative Erste“ (ebd.), das heißt, die Resultate einer anderen
Wissenschaft. Hegel folgert, dass „die Axiome […] an und für sich betrachtet eines Beweises
[bedürfen]“, und deswegen nicht als absolute Anfangspunkte gelten dürften.
Dieser Standpunkt zur Axiomatik stimmt mit der Ansicht der modernen Mathematik, wie im
ersten Teil dieser Arbeit dargestellt, überein. Beide halten Axiome nicht für absolute, sondern nur
relative, Ausgangsthesen. Hegels Argumentation scheitert allerdings daran, dass er die Kraft einer
„bloße[n] Tautologie“ unterschätzt. Er schließt die Möglichkeit aus, dass eine Wissenschaft auf
tautologischen Axiomen beruhen kann. Die Axiome mancher Theorien der Mathematik und der Logik
beruhen jedoch auf Axiomen, die lediglich analytisch, also tautologisch, sind. Es gehört zu den größten
Leistungen der Axiomatik, dass komplexe, synthetische Lehrsätze aus analytischen Prämissen gefolgert
wurden. Zum Beispiel besagen die Axiome der Numerik nur, dass die Null eine Zahl ist, dass die Null
keine (positiven) Vorgänger hat, dass jede Nummer einen Nachfolger hat, usw. (vgl. Nelson 1989, S.
322). Hierbei handelt es sich um keine synthetischen Aussagen, sondern nur um Bestimmungen, die
schon im Konzept der Null bzw. der Zahl enthalten sind. Diese tautologischen Axiome bilden jedoch
die Grundlage, von der sich die komplexen Lehrsätze der Numerik ableiten lassen. Ähnlich beruht die
formale Logik auf rein tautologischen Axiomen, aus denen alle logischen Lehrsätze gefolgert werden.
Die drei Axiome der Wahrscheinlichkeitstheorie, um noch ein Beispiel zu erwähnen, sind auch kaum
mehr als Tautologien. Sie besagen lediglich, dass jede Wahrscheinlichkeit entweder null oder positiv
ist, dass jedes sichere Ereignis stattfindet, und dass zwei Ereignisse, die nicht zusammen auftreten
können, die Wahrscheinlichkeit des jeweils anderen Ereignisses nicht beeinflussen können (vgl.
Gharamani 2005, S. 12).
Wenn also Axiome tautologisch sein dürfen, darf Hegel sie nicht aufgrund ihres Mangels an
Beweisbarkeit ablehnen, da Hegel selbst impliziert, dass Tautologien als unmittelbare Tatsachen keinen
Beweis nötig haben (vgl. WdL II, S. 529). Seine explizite Kritik am Axiom scheitert also in Anbetracht
des modernen Fortschreitens der axiomatischen Wissenschaften, das aufzeigt, wie Tautologien als
Axiome dienen können. Die Kritikpunkte, die in Hegels Abhandlung über die Idee des Wahren zu
finden sind, sowohl in dem Abschnitt über das analytische als auch in dem Teil über das analytische
Erkennen, sind also nicht erfolgreich.

Joshua Mendelsohn 25
3 Weitere Möglichkeiten für eine formale spekulative
Philosophie
Obwohl keine der oben dargestellten Kritiken an der axiomatischen Methode letztlich ganz erfolgreich
waren, zeigten sie trotzdem Probleme für eine axiomatische Theorie der spekulativen Philosophie auf.
Viele dieser Probleme, insbesondere das Problem der Unvollständigkeit und das der Unverträglichkeit
des Widerspruchs, tauchen in Verbindung mit der klassischen Logik auf. Es ergibt sich also die Frage,
ob diese Probleme durch eine alternative logische Grundlage vermieden werden können. In diesem
letzten Teil wird untersucht, inwiefern sich alternative Logiken bzw. verschiedene Methoden, die der
Axiomatik ähneln, besser für ein formales System der Wissenschaft der Logik eignen.
3.1 Parakonsistente Logik
Die erst vor kurzem entwickelte parakonsistente Logik weicht von der klassischen Logik ab, indem sie
es gewissen Widersprüchen erlaubt, als wahr zu gelten. Dadurch vermeidet sie das „Explosion“-
Phänomen (4.2.1) der klassischen Logik. Wegen der Rolle der Widersprüche in der spekulativen
Philosophie schlägt sie sich als eine alternative Grundlage eines spekulativen Axiomensystems vor.
Darüber hinaus ist der Mitbegründer der parakonsistenten Logik, Graham Priest, der Meinung, diese
Logik sei vereinbar mit Hegels „Satz des Widerspruchs“ (vgl. Redding 2007, S. 201).
Wie allerdings oben erörtert (4.4.2), spricht die Unverträglichkeit des Widerspruchs in der
klassischen Logik nicht gegen ihre Eignung für die spekulative Philosophie. Im Gegenteil erhält die
Vernunft eine höhere Einsicht durch die Widerlegung des Widerspruchs in der klassischen Logik. Eine
Logik, die Widersprüche lediglich erträgt, ohne sie aufzuheben, wäre für die spekulative Philosophie
noch unpassender als die klassische Logik. Solch eine Logik, die mechanisch und verstandesmäßig
vorgeht, aber Widersprüche erlaubt, hätte Hegel vermutlich für einen eindeutigen Missbrauch des
Verstandes gehalten. Die parakonsistente Logik eignet sich deswegen nicht für die spekulative
Philosophie.

Joshua Mendelsohn 26
3.2 Mehrwertige Logik
In der klassischen Logik kann man nur zwei Extremen von Wahrheit darstellen: vollkommene
Wahrheit, die man mit „1“ bezeichnet, und vollkommene Falschheit, die man mit „0“ bezeichnet. Jede
Aussage muss einen dieser zwei Werte annehmen. Es ist daher unmöglich (oder wenigstens sehr
schwierig) in der klassischen Logik zu repräsentieren, dass eine Aussage teilweise wahr, oder weder
wahr noch falsch, sei. Dieses Problem ist wichtig für die Aufgabe der Wissenschaft der Logik, da es in
ihr darum geht, sich der Wahrheit stufenweise anzunähern, ohne dass jede Stufe die ganze Wahrheit
schon ausdrücken muss. Darum eignet sich für die Aufgabe der Logik keine Methode, die nur die
beiden Extremen von Wahrheit, wahr und falsch, anerkennt.
Eine sogenannte mehrwertige Logik vermeidet dieses Problem, indem sie mehr als zwei
Wahrheitswerte erlaubt. Zum Beispiel kann eine Aussage in einer dreiwertigen Logik nicht nur die
Werte „1“ (vollkommen wahr) und „0“ (vollkommen falsch) annehmen, sondern auch einen dritten
Wert, den man mit ½ bezeichnen kann. Der dritte Wert wird oft als teilweise wahr interpretiert (vgl.
Ackerman 1967, S. 22f). Nach dieser Interpretation wäre eine Aussage mit Wahrheitswert ½ weder
vollkommen wahr noch vollkommen falsch, sondern einigermaßen wahr. Zum Beispiel könnte man der
Aussage „Das Sein ist ein Unmittelbares“ in einer mehrwertigen Logik den Wert ½ zuschreiben, um
auszudrücken, dass diese Aussage in Bezug auf den Anfang wahr ist, während man die Aussage als
falsch werten muss, was die absolute Idee anbetrifft, weil die absolute Idee zum Sein wird und das Sein
also durch sie vermittelt wird. Eine raffinierte Anwendung könnte so viele Wahrheitswerte verwenden,
wie es Denkbestimmungen in der Wissenschaft der Logik gibt, damit die aufeinanderfolgenden
Denkbestimmungen immer höhere Wahrheitswerte zugeschrieben werden würden, so dass die absolute
Idee schließlich den Wert „1“ (vollkommene Wahrheit) erhielte.
Trotz dieser Vorzüge besitzt die mehrwertige Logik als eine Grundlage für die axiomatische
Methode viele derselben Mankos wie die klassische Logik. Eben wie bei einer klassischen Logik
werden die Axiome, den Anfang also, vorausgesetzt, nicht abgeleitet. Die Axiome bleiben auch
konstant und werden nie in Frage gestellt. Ferner riskiert man, Widersprüche durch die Anwendung der
mehrwertigen Logik aufzulösen, weil man wahre, sich widersprechende Aussagen für partielle
Wahrheiten erklären kann. Zum Beispiel würde man den Aussagen A und nicht-A beide den
Wahrheitswert ½ zuschreiben, so könnte man sowohl A als auch nicht-A ohne Widerspruch für Wahr

Joshua Mendelsohn 27
halten, da nur entgegengesetzte Aussagen, die als vollkommen wahr ausgewertet werden, als
widersprüchlich gelten. Solch eine Auflösung des Widerspruch ist, wie im vorigen Abschnitt
besprochen, kein Vorteil im Kontext der spekulativen Philosophie. Man riskieren bei der mehrwertigen
wie bei der parakonsistenten Logik, die Vernunft vom Denkprozess auszuschließen, weil der
Widerspruch lediglich vermieden wird, und so weder begriffen noch aufgehoben wird.
3.3 Experimentelle Logik
R. G. Jereslow (1975) hat logische Systeme untersucht, die nach der Versuchs-und-Irrtums-Methode
vorgehen. In solch einer „experimentellen Logik“ geht man, wie auch bei einem axiomatischen System,
nach bestimmten Grundregeln, die auf den entsprechenden Ausgangsthesen basieren, vor. Im
Unterschied zur Axiomatik hält man diese Regeln und Thesen jedoch nicht für absolut unwiderlegbar,
sondern nur für provisorische Wahrheiten. Wenn die aktuellen „Axiome“ zu einem Widerspruch führen
oder sich auf sonstige Weise als mangelhaft erweisen, werden sie abgelehnt und neue Aussagen an ihrer
Stelle adoptiert. Auf diese Weise probiert man in der experimentellen Logik verschiedene Axiome aus,
bis die geeignetsten ermittelt werden.
Die experimentelle Logik ist von großem Interesse für die spekulative Philosophie, da sie viele
der oben besprochenen Mängel der axiomatischen Methode überwindet. Erstens besteht für die
experimentelle Logik das Problem des Anfangs der Philosophie nicht, weil die Ausgangsthesen, mit
denen sie zunächst beginnt, ersetzt werden können. Der Anfang ist daher, wie Hegel forderte, nur
vorläufig gesehen ein solcher und erhebt keinen falschen Anspruch auf absolute Wahrheit. Man fängt,
wie in der von Hegel gepriesenen Philosophie von Karl Leonhard Reinhold (vgl. WdL I, S. 69), nur mit
einer Hypothese, die noch zu rechtfertigen ist, an, oder in Hegels Worten, „nur mit einem
hypothetischen und problematischen Wahren“ (WdL I, S. 69). In der experimentellen Logik macht die
Grundlage selbst einen Teil der Diskurses aus, weil die Ausgangsthesen nicht als unantastbare
Voraussetzungen gelten, was ja im Bereich der Axiomatik ein zentrales Problem darstellt, sondern
überprüft, verworfen, ersetzt und verglichen werden. Auf diese Weise überwindet die experimentelle
Logik auch die Verwerfung der Äußerlichkeit der Axiome.
Die experimentelle Logik passt auch natürlicher als die Axiomatik zur Struktur der Dialektik. Die

Joshua Mendelsohn 28
Dialektik lässt sich selbst als eine Art der Versuchs-und-Irrtums-Methode betrachten. In einem
dialektischen Denkprozess wird eine Ansicht zunächst formuliert, manchmal ohne hinreichende
Begründung. Wenn dieser Standpunkt von sich selbst seinen Gegenteil erzeugt und sich somit als sein
Widerspruch zeigt, wird er „erhoben“, so dass seine positiven Aspekten aufbewahrt werden, während er
zugleich in eine höhere, raffinierte Form übergeht. Dieser Vorgang ähnelt der Arbeitsweise der
experimentellen Logik sehr: Axiome werden ausprobiert, aber wenn sie zu Widersprüchen führen,
wird eine neue, raffiniertere Axiomenmenge adoptiert.
Vielleicht der größte Vorzug dieser Logik ist aber der, dass sie viel besser als die Axiomatik
widerspiegelt, wie die Vernunft in der Welt eigentlich operiert. Die Wissenschaft geht tatsächlich
größtenteils nach der Versuchs-und-Irrtums-Methode vor. Die richtigen Axiome für eine Wissenschaft
werden selten auf erstem Versuch entdeckt, sondern man muss viele Varianten ausprobieren, bis man
die richtigen Axiome findet. Dazu bemerkt Kondakow (1978), „in Wirklichkeit ändern sich und
vervollkommnen sich die Axiomensysteme im Prozess der historischen Entwicklung der Erkenntnis.“
Auch wenn Axiome als vollendete Wahrheiten innerhalb des Axiomensystems behandelt werden,
spielen sie diese Rolle also nicht in der Welt. Diese Tatsache wäre für Hegel sehr wichtig, weil die
Vernunft, die in der Wissenschaft der Logik untersucht wird, dem wirklichen vernünftigen Prozess, der
in der Welt stattfindet, entsprechen soll. Dementsprechend muss die Methode, mit der die Vernunft
untersucht wird, das reale Verhalten der Vernunft wiedergeben.
Trotz dieser Vorzüge bestehen auch Probleme für die experimentelle Logik. Eine Version des
Unvollständigkeitssatzes gilt auch für sie (vgl. Jereslow 1975, S. 253), weswegen wenigstens eine
Aussage über die Wissenschaft der Logik notwendigerweise außer ihrer Reichweite bleiben müsste.
Jereslow fordert für seine Logik auch, dass die Ereignisse, die eine Änderung der Axiome verursachen,
mechanisch seien. Ähnlich soll die Darlegung der neuen Axiome mechanisch determiniert sein. Er
erklärt, dass diese Bedingung im Einklang mit einem positivistischen Menschen- bzw. Weltbild steht,
das Bild eines mechanischen Wesens in einer mechanischen Welt (vgl. Jereslow, S. 254f). Diese
Bedingung ist jedoch sicherlich nicht im Einklang mit der Hegelschen Ansicht, die alle Realität
letztendlich auf den Geist zurückführt, und welche die menschliche Vernunft als schlechthin getrennt
vom mechanischen Verstand versteht. Trotz ihrer Vorzüge passt also auch die experimentelle Logik
nicht ganz zur Ansicht der Wissenschaft der Logik.

Joshua Mendelsohn 29
4 Schlusswort
Eine nicht axiomatische Wissenschaft geht das Risiko ein, zu einer endlosen Kette von Fragen zu
werden. Durch die Axiomatik vermeidet man dieses Risiko, indem die Grundannahmen, die als
Ausgangspunkte dienen, festgelegt werden. Hegels Ablehnung der Axiomatik lässt sich auf vielerlei
Weisen begründen. Einerseits gibt es eine historische Erklärung: Die Axiomatik war sehr eng mit den
numerischen Wissenschaften verbunden, gegen die Hegel reagierte.
Hegel lehnt die axiomatische Methode jedoch hauptsächlich aus philosophischen Gründen ab.
Er wollte, dass sein Werk von keinerlei äußeren Voraussetzungen anfängt, sondern selbst einen
„absoluten“ Anfang macht. Dieser Ansatz stellt zwar einen guten Grund für die Ablehnung dar, aber
das hochmütige Ziel, die Philosophie ganz ohne externen Annahmen zu beginnen, ist Hegel nicht
gelungen, weil seine „Kündigung eines Anfangs“ soviel wie ein Axiom beinhaltet, und seine
Vorstellung von einem „in sich zurückgehende[n] Kreis“ wäre unfähig, als Grundlage für die restliche
Philosophie zu dienen.
Die Axiomatik scheint aus vielerlei Gründen für die Wissenschaft der Logik nicht geeignet zu
sein. Erstens, weil die Elementen des Diskurses bei der Axiomatik Propositionen sind, während
„vorpropositionale Sachverhalte“ den Inhalt der Logik ausmachen. Dieses Problem ist aber nur ein
scheinbares, weil die Wissenschaft der Logik ihren vorpropositionalen Inhalt nicht direkt beschreibt,
sondern nur auf ihn hinweist, und deswegen doch propositional ausdrückbar ist.
Zweitens hat Hegel erkannt, dass sich kein axiomatisches System vollständig auf sich selbst
beziehen könnte. Diese Beobachtung, die auch im zwanzigsten Jahrhundert durch den Gödelschen
Unvollständigkeitssatz zur Geltung kam, wirft Probleme für axiomatische Systeme im Zusammenhang
der Hegelschen Philosophie auf, da die Logik sich mit sich selbst befassen soll. Obwohl dieses Problem
letztendlich unüberwindbar ist, muss es die Möglichkeit eines axiomatischen Herangehens in der
Philosophie Hegels nicht völlig ausschließen.
Noch eine Rechtfertigung für die Ablehnung ist in Hegels Unterscheidung zweier Denkarten,
der Vernunft und des Verstandes, zu finden. Das Festhalten an Axiomen ähnelt der Denkweise des

Joshua Mendelsohn 30
Verstandes, über die Hegel hinaus will. Weiterhin scheint dieses Festhalten in Konflikt mit der
Beweglichkeit der Vernunft zu stehen. Dass die Axiomatik gewisse Grundannahmen nie in Frage stellt,
soll allerdings nicht gegen ihre Anwendung in der Logik sprechen, da es auch Grundannahmen in der
Logik gibt, die nie angezweifelt werden. Der Einwand, dass die klassische Logik die Bewegung der
Vernunft nie richtig darstellen könne, weil sie Widersprüche nicht verträgt, ist ebenso nicht erfolgreich.
In der klassischen Logik werden Widersprüche nicht bloß ignoriert, oder in „das abstrakte Nichts“
aufgelöst, sondern begriffen und widerlegt, weswegen ihre Unverträglichkeit der Widersprüche
eigentlich vorteilhaft im Kontext der Logik ist. Widersprüche vermitteln die Wahrheit in der klassischen
Logik und stellen die Bewegung der Vernunft dar.
Im Kapitel „Die Idee des Wahren“ verwirft Hegel die ausschließlich mechanische Denkweise
des analytischen Erkennens. Das analytische Erkennen ist aber nicht mit axiomatischem Denken zu
gleichzusetzen, weil man beim axiomatischen Denken, wie der Unentscheidbarkeitssatz aufzeigt, auf
kein einziges, unfehlbares Verfahren zugreifen kann. Darüber hinaus ist der Unterschied, den Hegel
zwischen dem analytischen und dem synthetischen Erkennen macht, nicht kohärent.
Hegels explizite Behandlung des „Axioms“ ist auch in diesem Kapitel zu finden. Obwohl Hegel
Recht hat, wenn er behauptet, dass Axiome nur in Bezug zu einer anderen Wissenschaft einen Anfang
darstellen, ist seine Kritik nicht zutreffend, weil er die Möglichkeit ausschließt, dass Axiome
tautologisch sein können. In der Tat sind die Axiome der heutigen Wissenschaften fast immer
Tautologien, und sind nichtsdestoweniger dazu fähig, als wissenschaftliche Grundlage zu dienen.
Der zweite Teil dieser Arbeit hat demnach gezeigt, dass sich eine axiomatische Vorgehensweise
trotz mancherlei scheinbarer Probleme für die Aufgabe der Wissenschaft der Logik doch eignen könnte,
obwohl einige Probleme für solch ein Herangehen bestehen müssten. Der vierte Teil hat untersucht, ob
Variationen eines Axiomensystems der klassischen Logik die Probleme mit der Axiomatik überwinden
bzw. noch besser geeignet wären. Nur eine der untersuchten Möglichkeiten hat sich schließlich als
vorteilhafter erwiesen: die experimentelle Logik. In dieser Logik sind die Axiome nur vorläufig
gesehen Ausgangspunkte, und zwar insofern wie jede „Stufe“ der Wissenschaft der Logik nur ein
Moment der Wahrheit ist. Weil nach der experimentellen Logik alles, die Axiome eingeschlossen,
widerlegbar ist, passt sie viel besser zu Hegels dynamischer Vorstellung der Wahrheit. Außerdem stellt

Joshua Mendelsohn 31
sie die wirkliche Tätigkeit der Vernunft besser als die klassische Logik dar, was für die Hegelsche
Logik äußerst wichtig wäre. Die Bedingung, dass das Ersetzungsverfahren der Axiomen mechanisch
determiniert sein muss, steht allerdings nicht in Übereinstimmung mit der Hegelschen Philosophie.
Diese Arbeit hat also festgestellt, dass es möglich wäre, an die Aufgabe der Wissenschaft der
Logik auf axiomatische, oder experimentelle Weise heranzugehen. Keine der behandelten Kritiken an
der axiomatischen Methode waren letztendlich so zutreffend, dass sie die Axiomatik völlig
ausschließen. Wie man mit den Problemen, denen man bei einer solchen Aufgabe begegnen würde,
umgehen soll, wurde in dieser Arbeit jedoch nicht besprochen. Diese Arbeit hat auch nicht diskutiert,
welche Aussagen als Axiome genommen werden sollten, wenn man einen axiomatischen Aufbau der
Wissenschaft der Logik unternehmen würde. Vielmehr habe ich mich auf die Möglichkeit einer solchen
Aufgabe konzentriert, um zu entscheiden, ob die nicht axiomatische Struktur der Wissenschaft der
Logik wesentlich für Hegels Werk ist. Ich schließe aus meinen Überlegungen, dass die Aufgabe der
Wissenschaft der Logik auch auf axiomatische Weise erfüllt werden könnte. Wie solch ein
axiomatischer Aufbau eigentlich vorgehen würde, wäre ein interessantes Thema für eine künftige
Arbeit.
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