Standortplanung - OptiV

Standortplanung
Elisabeth Lossen, Torsten Steinfels
21. September 2006
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 3
1.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Problembereiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1 Nebenpfad: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.2 Nebenpfad: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.3 Nebenpfad: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.4 Nebenpfad: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.5 Nebenpfad: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.6 Nebenpfad: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.7 Nebenpfad: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Modelle zur Standortbestimmung 11
2.1 Modellcharakteristika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Ebene Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.1 Nebenpfad: Weber Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.2 Nebenpfad: Zentrenprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 Überdeckungsprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.1 Nebenpfad: Set Covering . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.2 Nebenpfad: Maximum Covering . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3.3 Nebenpfad: Zentren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4 MINISUM Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4.1 Nebenpfad: Median . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4.2 Nebenpfad: Warehouse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4.3 Nebenpfad: Hub&Spoke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.5 Modelle zur Haltestellenoptimierung . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.5.1 Nebenpfad: Door-To-Door Travel Time Stop Location Problem
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.5.2 Nebenpfad: Complete Cover Stop Location Problem . . . 28
2.5.3 Nebenpfad: Bicriterial Stop Location Problem . . . . . . . 30
1

3 Beispiel 1: Depots 33
3.1 Modellierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2 Modellierung (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.3 Lösungsverfahren DROP-Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.4 Lösungsverfahren Tabu-Search . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4 Beispiel 2: Haltestellen 40
4.1 Modellierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.2 Modellierung (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.3 Optimierungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.4 Lösungsverfahren Bestimmung kürzester Wege . . . . . . . . . . 46
4.5 Lösungsverfahren Zielgewichtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.6 Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5 Literatur 54
5.1 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2

1 Einleitung
1.1 Einleitung
Standortoptimierung
im
Verkehrswesen
Im Verkehrswesen bestehen zahlreiche Anwendungsmöglichkeiten für Entscheidungsund
Optimierungsmethoden. Gerade im Hinblick auf den langfristigen Zeithorizont,
für den in der Regel Verkehrs- und Logistikprojekte angelegt sind, ist
die Anwendung von zuverlässigen Hilfsmitteln zur Entscheidungsfindung unablässig.
Die Komplexität des ”
Systems Verkehr“ erfordert dabei eine klare und überschaubare
Gliederung und Strukturierung, um den vielfältigen Wechselwirkungen
zwischen einzelnen Problemfeldern während des Planungsprozesses gerecht
zu werden. [FGSV 1982]
Innerhalb dieses Planungsprozesses ist ein Entscheidungsträger mit einer Vielzahl
an notwendigen Entscheidungen konfrontiert, welche die Anwendung von
Entscheidungsmethoden erfordert. Einen dieser Bereiche stellt die Standortplanung
dar.
Im Verkehrswesen existiert eine Vielzahl an Standortentscheidungsproblemen,
welche durch Optimierungsmethoden des Operations Research modelliert werden
können. Es zeigt sich, dass diese auf sehr unterschiedliche Teilgebiete des
Verkehrswesens - beispielsweise auf den Wirtschaftsverkehr oder den Öffentlichen
Verkehr - angewendet werden können.
Im Folgenden sind verschiedene Einsatzbereiche von Entscheidungsmodellen im
Verkehrswesen dargestellt. Unterteilt sind diese nach der Verkehrsart, also nach
Wirtschaftsverkehr (hierzu zählt neben dem Güterverkehr auch der Sonderverkehr),
Personenindividualverkehr und Öffentlichem Verkehr.
3

1.2 Problembereiche
Wirtschaftsverkehr
Zum Wirtschaftsverkehr zählen der Transport von Gütern ( ”
Güterverkehr“)
und der Sonderverkehr. Sonderverkehr umfasst beispielsweise Einsatzfahrten
von Rettungsdiensten und Fahrten, die dem Straßenbetrieb und der Straßenunterhaltung
dienen.[FACHGEBIET VV der TUD 2004]
Folgende Standortprobleme des Wirtschaftsverkehrs werden betrachtet:
• Güterverkehrszentren
• Straßenmeistereien
• Feuer- und Rettungswachen
Personenindividualverkehr
Zu betrachten sind im Rahmen des Personenindividualverkehrs Standortentscheidungen
für Parkierungsanlagen. Neben Park + Ride Anlagen ist die
Standortbestimmung von Parkplätzen und Parkhäusern in städtischen Kerngebieten
von Interesse.
Öffentlicher
Verkehr
Schon seit vielen Jahren ist der öffentliche Verkehr einer steigenden intermodalen
Konkurrenz - vor allem durch den motorisierten Individualverkehr - ausgesetzt
[LIEBCHEN 2005].
Angesichts knapper finanzieller Ressourcen und einer fortschreitenden Privatisierung
der Märkte sind Verkehrsunternehmen zunehmend auf einen hohen Grad
an Effizienz im Einsatz ihrer Ressourcen, wie etwa Verkehrsmittel und Personal,
angewiesen.
Eine große Rolle spielen dabei computergestützte Planungsmethoden. Hier kann
mit Hilfe von mathematischen Planungs- und Optimierungsmethoden die planerische
Arbeit im ÖPNV unterstützt werden [GENC 2003].
Im Folgenden sollen die Depotplanung für öffentliche Verkehrsmittel sowie
die Standortplanung von Haltestellen im Rahmen eines Liniennetzes näher
betrachtet werden.
1.2.1 Nebenpfad:
Güterverkehrszentren
und Lager
GVZ sind zentrale Umschlagplätze in der Nähe von Ballungszentren, in denen
Güter gelagert, für ihren Transport vorbereitet und zwischen verschiedenen Verkehrsmitteln
umgeladen werden. Sie dienen vor allem als Schnittstelle zwischen
4

Straße und Schiene, wenn möglich auch der Binnen- und Seeschifffahrt sowie
dem Luftverkehr. [ABERLE 2000]
Kriterien für die Standortoptimierung sind die Minimierung der Transportwege
und der Transportzeit sowie die Verknüpfung verschiedener Logistikebenen.
Die Standortplanung für GVZ lässt sich den MINISUM-Modellen zuordnen. Die
Summe der Distanzen zwischen Nachfragerknoten und potentiellen Standorten
soll minimiert werden. Hub und Spoke Systeme bieten eine gute Möglichkeit.
Die GVZ stellen dabei die Hubs dar, über die die Ware zwischen den Quell- und
Zielorten transportiert werden.
1.2.2 Nebenpfad:
Straßenmeistereien
Straßenmeistereien sind Betriebe, die an Bundes-, Landes- und/oder Kreisstraßen
gelegen sind und deren Instandhaltung dienen. Zu den betrieblichen Einrichtungen
der Meistereien können Verwaltungsräume, Aufenthaltsräume für
Arbeiter, Abstellhallen für Geräte und Fahrzeuge, Werkstätten, Tankstellen und
Lager gehören.
Eine Straßenmeisterei soll möglichst im Schwerpunkt des zu versorgenden
Straßennetzes liegen, damit dieses optimal erreicht werden kann. Ziel bei der
Standortwahl ist es, die Kosten zu minimieren. Dies kann erreicht werden, indem
die Summe der Wege zwischen Meisterei und Einsatzort minimiert wird.
Die Standortplanung für Straßenmeistereien lässt sich den MINISUM-Modellen
zuordnen. Die Summe der Distanzen zwischen zu versorgendem Straßenabschnitten
und potentiellen Standorten soll minimiert werden. Medianmodelle
in Netzwerken können diese Problematik darstellen. Ist die Anzahl der zu lokalisierenden
Meistereien nicht vorgegeben, so lässt sich das Optimierungsproblem
in Form eines Warehouse Location Modells beschreiben.
1.2.3 Nebenpfad:
Feuer- und
Rettungswachen
Feuerwehr und Rettungsdienste haben die Aufgabe, bei einem Notfall schnellstmöglich
an dem Einsatzort einzutreffen, um Hilfe zu leisten. Die Zeit ist bei dem Einsatz
die kritische Komponente. Es muss gewährleistet sein, dass ein hoher Prozentsatz
der Bevölkerung rechtzeitige Hilfe erlangen kann.
Das Ziel bei der Bestimmung der Standorte von Feuer- und Rettungswachen
ist zum einen die zentrale Lage im Zuständigkeitsbereich. Zum anderen müssen
auch Randgebiete in einer vorgegebenen Zeit erreichbar sein. Die maximalen
Entfernungen sind gering zu halten. Nicht die minimalen Kosten sind das Hauptziel,
sondern ein bestimmter Grad an Versorgungssicherheit.
Eine 100-prozentige Abdeckung ist kaum möglich. Eine Kooperation zwischen
den Feuerwehr und Rettungsdiensten existiert vielerorts. So kann die Feuerwehr
5

die Erstversorgung übernehmen, bis der Rettungsdienst eingetroffen ist, wenn
die Feuerwache näher am Einsatzort liegt.
Die Standortbestimmung von Feuer- und Rettungswachen ist den MINIMAX-
Modellen zuzuordnen. Es sind vor allem die Zentrenprobleme in Netzwerken
relevant. Gesucht sind die Standorte, bei denen die maximalen Distanzen zwischen
den Rettungswachen und den Nachfragern minimal sind.
1.2.4 Nebenpfad:
Park + Ride
Anlagen
Park + Ride (P+R) bezeichnet ein Prinzip der Verkehrsplanung, bei dem in
der Nähe von Haltestellen des Öffentlichen Nahverkehrs (ÖPNV) Abstellmöglichkeiten
für PKW, teilweise auch Motorräder und Busse, zur Verfügung gestellt
werden.
P+R Anlagen stellen, gerade in Ballungsräumen mit regionalem Schienenverkehr
für Pendler, die aus dem Umland in die Kernstadt fahren, eine sinnvolle
Alternative zur ausschließlichen Nutzung des ÖPNV oder des Motorisierten Individualverkehrs
(MIV) dar. Gründe für eine Nutzung von P+R Anlagen sind
vor allem: [HÜMPFNER 2002]
• Stau
• Mangel an Stellplätzen oder eine Begrenzung der Parkdauer
• Hohe Nutzungsentgelte für Parkierungsanlagen
• Schlechte Anbindung des Umlandes durch den ÖPNV bei guter Anbindung
der Kernstadt
Primäres Optimierungsziel ist es, den Anteil der mit dem PKW zurückgelegten
Wegelänge an der Gesamtreise zu minimieren. Als weiteres Ziel soll der Anteil
der Pendlerreisen maximiert werden, die von einer bisher ausschließlichen MIV-
Nutzung auf P+R übergehen. [HÜMPFNER 2002]
Zum einen können die Anlagen als kapazitierte Warenhäuser angesehen werden.
Die Modellierung als Warehouse Location Problem bietet sich folglich an. Außerdem
ist die Betrachtung von P+R Anlagen bzw. von Haltestellen an einer
Nahverkehrslinie als Hub denkbar. Die Modellierung als Hub Location Problem
ist ebenfalls möglich. Die Wege von den Nachfragern zu den P+R Plätzen und
von der Zielhaltestelle zum endgültigen Ziel stellen die Speichen dar. Der Reiseweg
führt demnach immer über das Hubsystem.
6

1.2.5 Nebenpfad:
Parkplätze
und
Parkhäuser
Des Weiteren ist die Standortplanung von Parkplätzen und Parkhäusern in
städtischen Kerngebieten von großer Wichtigkeit. Die Parkraumplanung beeinflusst
nicht nur Art und Umfang des Verkehrs, sondern auch die Stadtstruktur
und die Flächennutzung. Sie zählt in Verbindung mit dem ÖPNV und dem
Fußgänger- und Radverkehr zu einem der bedeutendsten Steuerungsgrößen des
Stadtverkehrs. [TOPP 1994]
Ziele der Parkraumplanung sind daher:
• Schaffung von Verkehrssicherheit
• Erhaltung und Ausbau der Leistungsfähigkeit des Straßenraumes
• Umweltschutz
• Wirtschaftlichkeit der Straßen und der Verkehrsmittel
Die Ziele und Kriterien richten sich im Allgemeinen auf die Minimierung der
Wege zwischen Nachfrager und Parkplatz sowie zwischen Parkplatz und Ziel.
Somit ist die Zuordnung dieser Problemstellung zu den MINISUM-Modellen
in Netzwerken sinnvoll. Die dort angesprochenen Optimierungsverfahren und
Lösungsmodelle sind für diese Problemstellung anwendbar.
1.2.6 Nebenpfad:
Depots für
öffentliche
Verkehrsmittel
Ein Depot dient als Lagerplatz für eine Menge an Fahrzeugen. Gelagert werden
Fahrzeuge, die auf Grund des Fahrplans nicht zum Einsatz kommen, Ersatzfahrzeuge
oder Fahrzeuge, die gewartet werden müssen.
Der Verkehrsbetrieb hat die Aufgabe, die Fahrzeuge den Depots zuzuordnen,
die möglichst nah an deren Anfangs- und Endhaltestellen liegen.
Grundlage der Depotplanung sind der Einsatzplan und die Anzahl der Fahrzeuge,
die je Haltestelle benötigt werden.
Entscheidungskriterien
Die im Rahmen einer Optimierung veränderlichen Entscheidungsvariablen
sind:
• die Zuordnung der Fahrzeuge zu den Depots
7

• die Anzahl der zu implementierenden Depots
Die Anzahl der Depots hat kaum Einfluss auf die Dauer der Reisezeit und die
Qualität des öffentlichen Verkehrsnetzes. Eine Verschlechterung der Attraktivität
des ÖPNV trifft nur dann ein, wenn auf Grund eines unerwarteten Ausfalls
eines Fahrzeugs Ersatz aus einem Depot benötigt wird. Die Behebung eines
Störfalls dauert bei wenigen Depots länger.
Ziele
Ziel ist es, die optimale Anzahl an Depots zu finden, durch die die Gesamtkosten
minimiert werden. Zu viele Depots führen zu hohen Fixkosten der Investition,
zu wenige Depots steigern die variablen Transportkosten.
Die Depotplanung für öffentliche Verkehrsmittel lässt sich den MINISUM-Modellen
in Netzwerken zuordnen. Die Summe der Fahrten von den Depots zu den Anfangshaltestellen
sowie von den Endhaltestellen zurück zu den Depots soll minimiert
werden.
Weiterhin ist es realitätsnäher, die potentiellen Standorte auf die Punkte eines
Netzwerks zu beschränken.
Medianmodelle kommen zur Anwendung, falls die Anzahl der Depots fest vorgegeben
ist und für diese die optimalen Standorte gesucht werden.
Die Problemstellung lässt sich den Warehouse-Location-Problemen zuordnen,
wenn die Anzahl der Depots variabel ist und die Summe der Distanzen minimiert
werden soll.
Zudem ist davon auszugehen, dass die Kapazitäten der Depots nicht derart flexibel
sind, dass alle Fahrzeuge einem Depot zugeordnet werden können. Daher
müssen zusätzlich Kapazitätsbeschränkungen beachtet werden.
1.2.7 Nebenpfad:
Haltestellen
im Rahmen
eines
Liniennetzes
Ziel der Planung des Liniennetzes ist es, eine dem Verkehrsaufkommen gerecht
werdende Versorgung einer Region mit öffentlichem Verkehr sicher zu stellen.
Dazu zählt neben dem Bau von Strecken und Verbindungen auch die Errichtung
von Haltestellen. Das Liniennetz ist dabei in der Regel historisch gewachsen. In
einer über Jahrhunderte gewachsenen Infrastruktur ist es kaum möglich, Verkehrsnetze
von Grund auf neu zu errichten [BUSSIECK; WINTER; ZIMMERMANN 1997].
Vielmehr befasst sich die Planung des Liniennetzes mit [SCHÖBEL 2003]
• dem Finden neuer Haltestellen in einem bestehenden Liniennetz,
• dem Schließen von bestehenden Haltestellen,
• dem Bau von neuen Linien, Verbindungen und Anschlüssen in einem bestehenden
Liniennetz,
8

• dem Schließen von Linien, Verbindungen und Anschlüssen in einem bestehenden
Liniennetz und
• dem Finden von Sub-Netzwerken.
Entscheidungskriterien
Entscheidungskriterien, die den Standort einer Haltestelle beeinflussen, sind
im Rahmen der Standortsuche von Haltestellen sehr vielfältig und orientieren
sich an der zugehörigen Zielsetzung.
Als Optimierungskriterien sind dabei folgende von Interesse:
• Zugangsweiten von den Nachfragerknoten zu den Haltestellen
• Anzahl der Haltestellen
• Überdeckung der Nachfrageknoten (Erschließungswirkung der Haltestellen)
• Investitions- und Betriebskosten des Betreibers bzw. Opportunitätskosten
des Nutzers durch lange Reisezeiten
• Tür-zu-Tür Reisezeit
Ziele
Als primäres Ziel kann bei der Standortplanung die Minimierung der Gesamtkosten
- also der Investitions- und Betriebskosten als auch der Zeitopportunitätskosten
des Nutzers durch lange Reisezeiten - betrachtet werden.
Typische weitere Ziele bei der Haltestellenplanung stellen sich wie nachstehend
aufgeführt dar [SCHÖBEL 2003]:
• Maximierung der Überdeckung der Nachfragerknoten durch Haltestellen
• Implementierung von Haltestellen, die nicht weiter entfernt sind als ein
bestimmter Radius r zu so vielen potentiellen Nachfragern wie möglich
• Minimierung der zusätzlichen Reisezeit im Verkehrsnetzwerk
• Minimierung der Anzahl an Haltestellen
9

• Minimierung der durchschnittlichen Tür-zu-Tür Reisezeit aller Nachfrager
• Maximierung des Erlöses des Verkehrsbetriebs
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2 Modelle zur Standortbestimmung
2.1 Modellcharakteristika
Standortplanung
Die Standortplanung ist Teilgebiet der Standorttheorie und gehört zu den Raumwirtschafttheorien
der Wirtschaftgeographie. Sie befasst sich mit der optimalen
räumlichen Lokalisation von Wirtschaftstätigkeiten bzw. Unternehmungen und
dem Einfluss von Absatz und Gewinn auf den Standort bzw. die Standortentscheidung.
Hierbei wird das Standortverhalten von Haushalten, Unternehmen
und staatlichen Einrichtungen aufgezeigt. Durch Modelle wird weitergehend versucht
darzustellen, warum sich verschiedene Wirtschaftssubjekte an bestimmten
Orten ansiedeln. [http://www.wikipedia.de].
Zu unterscheiden sind bei der Standortbestimmung die volkswirtschaftliche
Standortplanung, die betriebliche Standortplanung und die innerbetriebliche
Standortplanung bzw. Layoutplanung [DOMSCHKE; DREXL 1996].
Modelle
Zur Modellierung der betrachteten Probleme im Rahmen normativer Ansätze
können zum einen die Methoden der Standortplanung in der Ebene, zum
anderen die Standortbestimmung in Netzwerken herangezogen werden.
Standortplanung
in der
Ebene
Bei der Standortbestimmung in der Ebene wird davon ausgegangen, dass
die Nachfragerorte (bspw. Kundenorte) auf einer homogenen Fläche in der Ebene
verteilt sind. Jeder Punkt der Ebene kommt folglich als potentieller Standort
in Frage.[DOMSCHKE; DREXL 1996] Diese Standortmodelle finden ihre Anwendung,
wenn über die möglichen Standorte nur wenige Informationen vorliegen,
die Fixkosten standortunabhängig sind und die Bedingungen wie Platzangebot
sowie strategisch günstige Lage keine Entscheidungsfaktoren darstellen.
[KLOSE 2001]
Entfernungen zwischen zwei Punkten werden gemäß bestimmter Metriken gemessen.
[DOMSCHKE; DREXL 1996] Die am häufigsten verwendeten Metriken
zur Entfernungsmessung sind die rechtwinklige Entfernungsmessung und die euklidische
Entfernungsmessung.
Standortplanung
in
Netzwerken
Im Gegensatz zur Standortbestimmung in der Ebene ist bei der Standortbestimmung
in Netzwerken die Menge potentieller Standort auf die Menge der
Knoten eines Graphen und die Menge der Punkte auf den Kanten beschränkt.
Distanzen ergeben sich nicht durch bestimmte Metriken, vielmehr sind sie bestimmt
durch die Längen kürzester Wege im Netzwerk.
11

Kontinuierliche
und diskrete
Standortplanung
Eine weitere Differenzierung muss zwischen kontinuierlicher und diskreter
Standortplanung getroffen werden.
Ausgehend von der Annahme einer homogenen Fläche, werden bei der kontinuierlichen
Standortplanung infinitesimal kleine Verschiebungen des Standortes
zugelassen. Es existiert eine unendliche Menge möglicher Standorte. Im Gegensatz
dazu wird bei der diskreten Standortplanung nur eine begrenzte Menge
potentieller Standorte in die Betrachtung mit einbezogen. [LIEBMANN 1971]
Ähnliches gilt für Netzwerke. Dürfen potentielle Standorte nur auf Knoten platziert
werden, wird von einem diskreten Modell gesprochen. Können dagegen
potentielle Standorte auch auf den Kanten eines Netzwerkes platziert werden,
handelt es sich um kontinuierliche Probleme. [WEINBRECHT 2000]
Weitere
Merkmale
Darüber hinaus können Standortprobleme und zugehörige Modelle der Standortplanung
anhand weiterer Merkmale unterschieden werden. Zu diesen zählen
unter anderen:
• die Form der Zielfunktion
• MINISUM-Lokationsprobleme: Ziel ist es, die Summe der Entfernungen
zwischen Nachfragern und allen Standorten, bei vollständiger Deckung
des Bedarfs, zu minimieren.
• Überdeckungsprobleme: Ziel ist es, die Überdeckung von Nachfragerknoten
durch Standorte zu gewährleisten. Ein Sonderfall stellt das MINIMAX
- Kriterium dar. Gesucht ist die Lage der Standorte, bei denen die maximale
Distanz zwischen Standort und Nachfrager minimal ist.
• Berücksichtigung einer Kapazitätsrestriktion: Unkapazitierte bzw. kapazitierte
Modelle
• Berücksichtigung mehrerer hierarchisch voneinander abhängiger Standorte:
einstufige bzw. mehrstufige Modelle
• Einprodukt- bzw. Mehrproduktmodelle
• Modelle mit elastischer bzw. unelastischer Nachfrage
• statische Modelle bzw. dynamische Modelle
12

2.2 Ebene Modelle
Standortbestimmung
in
der Ebene
Bei der Standortplanung in der Ebene kann zwischen MINISUM- und MINIMAX-
Modellen unterschieden werden.
Zum einen kann die Summe der gewichteten Distanzen zwischen Standorten und
den Nachfragerknoten minimiert werden. Hierbei handelt es sich um Weber
Modelle.
Des Weiteren kann mit Hilfe von Zentrenmodellen die maximale Distanz zwischen
Nachfragern und Standorten minimiert werden. Hierbei handelt es sich
um Zentrenprobleme.
2.2.1 Nebenpfad: Weber Probleme
Bestimmung
eines
Standortes
Das Problem der Bestimmung eines neuen Standortes in der Ebene unter der
Beachtung der MINISUM-Zielsetzung - auch Steiner-Weber-Problem genannt -
kann wie folgt beschrieben werden
Einstufiges
Weber Modell
Es ist ein Standort gesucht, so dass die Entfernung zwischen diesem Standort
und allen Nachfragerknoten minimal ist. Die Transportkosten sind dabei proportional
zu der Entfernung. Der Bedarf der Nachfrager stellt das Gewicht der
Knoten dar.
Mathematisch lässt sich das Modell wie folgt formulieren:
Minimiere F (x, y) = c ∗ ∑ n
j=1 b √
j (x − uj ) 2 + (y − v j ) 2
mit
x, y = Koordinaten der Standorte
u, v = Koordinaten der Nachfragerknoten
b j = Nachfragergewichte
c = T ransportkosten
Modellformulierung
Lösungsverfahren
Das iterative Verfahren von Miehle beginnt mit vorgegebenen Startwerten
für x und y, die in Gleichungen eingesetzt werden, die man durch partielle Ableitungen
der ursprünglichen Zielfunkton erhält.
Durch Berechung der Gleichungen ergeben sich neue Koordinaten (x1, y1), die
im folgenden Iterationsschritt wiederum in die Gleichungen eingesetzt werden.
Nach einer endlichen Anzahl von Iterationsschritten, einer Anzahl vorgegebener
Schritte oder bei nur noch marginaler Veränderung der Ergebniswerte wird das
Verfahren schließlich abgebrochen.
13

Bestimmung
mehrerer
Standorte
Gegeben seien n Kunden mit fest vorgegebenen Koordinaten. Es sollen Einrichtungen
oder Depots so bestimmt werden, dass die Transportkosten zwischen den
Depots sowie zwischen Depots und Kunden minimiert werden. [DOMSCHKE; DREXL 1996]
Lösungsverfahren
Ähnlich zum einfachen Weber Modell existiert ein iteratives Verfahren, welches
die Summe der Distanzen zwischen Nachfragern und Standorten minimiert.
Das Hyperboloid-Approximationsverfahren berechnet für eine vorgegebene
Anzahl an Standorten die Koordinaten.
2.2.2 Nebenpfad: Zentrenprobleme
Zentrenprobleme
Im Gegensatz zu den Weber-Modellen sind Zentrenprobleme in der Ebene MINIMAX-
Lokationsprobleme. Ziel ist, wie bei Zentrenproblemen in Netzwerken, die Minimierung
der maximalen resultierenden Distanz zwischen Standorten und Nachfragerknoten.
Im Falle p = 1 kann das Problem durch ein einfaches geometrisches Verfahren
gelöst werden. Es ist ein Kreis mit minimalem Radius gesucht, der alle Kundenorte
einschließt.
Des Weiteren können Heuristiken und Methoden der Spaltengenerierung für das
Multi-Weber Problem mit entsprechenden Modifikationen auch auf p-Zentrenprobleme
in der Ebene übertragen werden. [KLOSE 2001]
14

2.3 Überdeckungsprobleme
Überdeckungsprobleme
Überdeckungsprobleme lassen sich in Set Covering Probleme, Maximum Covering
Probleme und Zentrenprobleme unterteilen (siehe folgende Abbildung
[DASKIN 1995]).
Details
Details zu den einzelnen Modellen finden sich auf folgenden Unterseiten.
Set Covering Problem
Maximum Covering Problem
Zentrenproblem
15

2.3.1 Nebenpfad: Set Covering
Set Covering
Problem
Aus einer gegebenen Menge potenzieller Standorte ist eine Teilmenge so zu
bestimmen, dass alle Nachfragerpunkte überdeckt werden und die Summe der
Kosten c j aller Standorte minimal ist.
Modellformulierung
Mathematisch formulieren lässt sich das Set Covering-Modell wie folgt:
Minimiere ∑ n
j=1 c j ∗ x j
unter
∑
den Nebenbedingungen
n
j=1 a ij ∗ x j ≥ 1 ∀i
x j ∈ (0, 1) ∀j
mit ( )
1 falls Standort j Nachfragerknoten i überdeckt
a ij =
0 sonst
( )
1 falls Standort j implementiert wird
x j =
0 sonst
c j = Kosten, um einen Standort j zu implementieren
Gegeben ist bei diesem Modell eine binäre m x n Matrix A = (a ij ) sowie ein n-
dimensionaler Kostenvektor c = c j . Ferner sind die Mengen I := (1, ..., m) und J :=
(1, ..., n) gegeben. Das Element i ∈ I bezeichnet dabei die i-te Zeile der Matrix
A, das Element j ∈ J die j-te Spalte der Matrix A. c j sind die Kosten für
die Spalte j ∈ J. Wenn die Matrixelemente a ij den Wert 1 annehmen, wird
davon gesprochen, dass eine Zeile von einer Spalte überdeckt wird. Ziel ist es,
eine kostenminimale Teilmenge S ⊂ J mit Kosten ∑ j∈ S c j zu bestimmen, so
dass alle Zeilen aus I von Spalten aus S überdeckt werden. Die erste Nebenbedingung
legt fest, dass jeder Nachfragerknoten von mindestens einem Standort
überdeckt werden muss [ANNEN 2003].
Aufgabe
Wie sieht die Überdeckungsmatrix zu folgendem Problem aus? [SCHÖBEL 2003]
16

HOTSPOT Lösung: 2
Lösungsmöglichkeit
Exakte Verfahren zur Lösung von Set Covering Problemen lassen sich in
Cutting Plane Algorithmen, Branch & Bound Algorithmen und Branch & Cut
Algorithmen untergliedern.
Heuristische Verfahren finden bei der Lösung sehr großer Set Covering Probleme
Anwendung, bei denen der Einsatz exakter Verfahren auf Grund eines
unangemessenen Zeitbedarfs nicht sinnvoll ist. Mit Hilfe von Heuristiken können
Näherungslösungen, teilweise auch Optimallösungen, gefunden werden.
Ein einfacher Greedy Algorithmus[SCHÖBEL 2003] wird im Rahmen des
Lösungsweges des bikriteriellen Standortproblems verwendet, um benötigte Zwischenlösungen
zu finden. Gerade bei Überdeckungsproblemen mit streng monotoner
Überdeckungsmatrix mit Intervalleigenschaft ist dieser Algorithmus sehr
gut geeignet, optimale Lösungen für das ungewichtete Set Covering Problem zu
finden.
Anwendungsgebiete
Die bedeutendsten Anwendungsgebiete von Set Covering Problemen sind die
Personaleinsatzplanung von Fluggesellschaften und des Schienenverkehrs sowie
die Standortplanung. Aufgrund hoher Relevanz für die Praxis wurden zahlreiche
exakte und heuristische Ansätze zur Lösung dieser Probleme entwickelt
17

[ANNEN 2003].
Infoseite
Greedy Algorithmus für ungewichtete Set Covering Probleme mit Intervalleigenschaft
mit
S = Menge an Haltestellen s
D = Menge an Nachfragerknoten d
r = Radius der Überdeckung
f d = min(s ∈ S : a ds = 1) ist das erste Element in einer Zeile der Überdeckungsmatrix
mit dem W ert 1
l d = max(s ∈ S : a ds = 1) ist das letzte Element in einer Zeile der Überdeckungsmatrix
mit dem W ert 1
Infoseite
Intervalleigenschaft
Eine Matrix hat die Intervalleigenschaft oder Consecutive Ones Property (kurz
C1P), falls durch Permutation der Spalten eine Form entstehen kann in der gilt:
a ik = 1 und a il = 1 und k < l ⇒ ∀k ≤ j ≤ l a ij = 1
Von starker C1P wird gesprochen, wenn die Matrix diese Form ohne vorherige
Permutation der Spalten besitzt.
Beispiel:
Für eine Überdeckungsmatrix eines Verkehrsnetzes bedeutet die Intervalleigenschaft,
dass sich die potentiellen Haltestellen auf dem Netzwerk in einer Reihenfolge
befinden, so dass ein Nachfragerknoten immer nur von direkt aufeinander
folgenden Haltestellen überdeckt wird.
18

2.3.2 Nebenpfad: Maximum Covering
Problemstellung
Eines der Probleme des Set Covering Modells ist, dass die Anzahl von Standorten,
die eine vollständige Erschließung ermöglichen, schnell die maximal mögliche
Anzahl an Standorten - beispielsweise aus Kostengründen - überschreitet.
Außerdem unterscheidet das Set Covering Modell nicht nach der Gewichtung
der Nachfrager. So ist es gleichsam wichtig, einen Nachfragerknoten mit zehn
Nachfragern bzw. mit einer niedrigen Bedarfsmenge zu überdecken, als auch
einen Nachfragerknoten mit 1000 Nachfragern bzw. einer hohen Bedarfsmenge.
Aus diesem Grund kann durch die Lockerung des Kriteriums, dass alle Nachfrager
überdeckt werden sollen und der Fixierung der Anzahl der Standorte auf
eine bestimmte Größe, das Maximum Covering Location Model wie folgt
formuliert werden.
Maximum
Covering
Problem
Mit einer gegebenen Anzahl von Standorten p soll eine maximale Bedarfsmenge
b der Nachfragerknoten d überdeckt werden.
Modellformulierung
Mathematisch lässt sich das Modell wie folgt formulieren:
Maximiere ∑ m
i=1 b i ∗ y i
unter den Nebenbedingungen
y i ≤ ∑ n
j=1 a ij ∗ x j ∀i
∑ n
j=1 x j ≤ P
x j ∈ (0, 1) ∀j
y i ∈ (0, 1) ∀i
mit
b i = Nachfrage des Knoten i
P = Anzahl ( der zu implementierenden Standorte )
1 falls Standort j Nachfragerknoten i überdeckt
a ij =
0 sonst
( )
1 falls Standort j implementiert wird
x j =
0 sonst
( )
1 falls Nachfragerknoten i überdeckt wird
y i =
0 sonst
Die Zielfunktion maximiert die Höhe des überdeckten Bedarfs der Nachfragerknoten.
Die erste Nebenbedingung besagt, dass ein Knoten von mindestens einem
Standort überdeckt werden muss. Die Anzahl der zu implementierenden
Standorte ist durch die zweite Nebenbedingung vorgegeben.
19

Praktische Anwendung für das Maximum Covering Location Model stellen die
Standortoptimierung und Positionierung von Notfalleinrichtungen, öffentlichen
Versorgungssystemen oder finanzwirtschaftlichen Einrichtungen dar [ANNEN 2003].
2.3.3 Nebenpfad: Zentren
Anwendungsgebiete
MINIMAX-
Probleme
Bei einigen Standortmodellen ist die bloße Minimierung der Summe der Distanzen
und der damit verbundenen Transportkosten nicht sinnvoll. Dies ist
dann der Fall, wenn Zeit die kritische Komponente darstellt. [KLOSE 2001] Es
handelt sich um eine MINIMAX - Problemmodellierung.
Lokationsprobleme, die die Minimierung der maximalen Distanz zum Ziel haben,
werden Zentrenprobleme genannt [KLOSE 2001]. Sie können wie folgt beschrieben
werden:
p-
Zentrenmodelle
Eine gegebene Anzahl an Standorten p ist so zu bestimmen, dass die maximale
gewichtete Distanz zwischen den Nachfragerknoten und dem jeweils nächst
gelegenen Standort p minimiert wird [DASKIN 1995].
Modellformulierung
Mathematisch lässt sich das Modell wie folgt formulieren:
Minimiere r
unter
∑
den Nebenbedingungen
∑j y ij = 1 ∀i
j x j = P
x j ≥ y ij
∀i, j
r ≥ b i ∗ ∑ j γ ij ∗ y ij ∀i
x j ∈ (0, 1)
y ij ≥ 0
mit
r = maximale Distanz zwischen einem Nachfragerknoten und dem nächstgelegenen
Standort
γ ij = Distanz vom Nachfragerknoten i zum Depot j
b i = Nachfrage des Knoten i
P = Anzahl ( der zu implementierenden Standorte )
1 falls Standort j implementiert wird
x j =
0 sonst
20

( )
1 falls Standort j Knoten i zugeordnet wird
y ij =
0 sonst
Die Zielfunktion minimiert die maximalen Distanzen zwischen den Nachfragerknoten
und dem jeweils nächstgelegenen Standort p. Die erste Nebenbedingung
stellt sicher, dass der Bedarf aller Nachfragerknoten gedeckt wird. Hierzu kann
ein Nachfrager von mehreren Depots beliefert werden. Die zweite Nebenbedingung
fordert, dass genau P Standorte implementiert werden. Die dritte Nebenbedingung
sagt aus, dass die Nachfragerknoten nur von Depots beliefert werden
können, wenn diese implementiert sind. Bedingung vier verlangt, dass die maximale
gewichtete Distanz zwischen Nachfrager und Kunde größer sein muss als
jede andere Distanz zwischen Kunden und eben diesem Depot.
Lösungsmöglichkeiten
Zur Lösung der Zentrenprobleme können verschiedene Verfahren zur Anwendung
kommen. Kariv und Hakimi haben Algorithmen entwickelt, mit denen
sich absolute 1-Zentrenprobleme lösen lassen. Hierbei wird zunächst von jeder
Kante das Zentrum bestimmt. Im Anschluss kann mit diesen Punkten das absolute
1-Zentrum ermittelt werden. [DASKIN 1995]
Des Weiteren können Zentrenprobleme in eine Folge zu lösender Überdeckungsprobleme
transformiert werden. Es lassen sich beispielsweise heuristische Verfahren
für Überdeckungsprobleme zur Bestimmung suboptimaler Lösungen für
p-Zentrenprobleme anwenden. [KLOSE 2001]
Anwendungsgebiete
MINIMAX - Modelle finden sich vorwiegend bei Lokationsproblemen der öffentlichen
Hand und betreffen beispielsweise die Standortbestimmung für Feuerwachen,
Depots für Rettungsdienste, Krankenhäuser und Schulen. [KLOSE 2001]
21

2.4 MINISUM Probleme
MINISUM-
Probleme
MINISUM-Modelle lassen sich in Medianmodelle, Warehouse Location Modelle
und Hub & Spoke Modelle unterteilen.
Details
Details zu den einzelnen Modellen finden sich auf folgenden Unterseiten.
Medianprobleme
Warehouse Location Probleme
Hub & Spoke Systeme
2.4.1 Nebenpfad: Median
Mediane
Es sind p Punkte auf einem Netzwerk so zu bestimmen, dass die Summe der
gewichteten Distanzen der Knoten des Graphen zum jeweils nächstgelegenen der
bestimmten Punkte minimal ist. Die so bestimmten p Punkte auf dem Graphen
werden als p-Median eines Graphen bezeichnet [KLOSE 2005].
1-Median
Im einfachsten Fall wird ein ungerichteter Graph G betrachtet und der 1-Median
bestimmt.
22

Sei G = [S, E, c, b] ein ungerichteter Graph mit Knotenmenge S, Kantenmenge
E, nicht-negativen Knotengewichten b j und Kantenlängen c i , dann bezeichnet
σ(i) := ∑ j∈S γ ij ∗ b j ∀i
die Summe der gewichteten kürzesten Entfernungen zwischen Knoten i und
jedem Knoten j von G. Ein Knoten i m mit den Eigenschaften
σ(i m ) = min(σ(i)|i ∈ S)
wird als Median des Graphen G bezeichnet.
Aufgabe:
Bestimmung
des Medians
Bestimmen Sie den 1-Median des dargestellten Graphen (die Knotengewichte b j
sind für alle Knoten gleich 1)!
3
p-Median
Problem
Bei der Bestimmung mehrere Mediane bietet sich die Formulierung als binäres
lineares Optimierungsproblem an.
Modellformulierung
Das p-Median Modell lautet:
Minimiere F (x, y) = ∑ m ∑ n
i=1 j=1 b j ∗ γ ij ∗ x ij
unter
∑
den Nebenbedingungen
m
i=1 x ij = 1 ∀j
x ij − y i ≤ 0
∑ m
i=1 y i = p
y i ∈ (0, 1)
∀i, j
∀i
∀i
x ij ∈ (0, 1) ∀i, j
mit
b j =Bedarf des Knoten j
γ ij =Distanz
(
zwischen zwei Knoten i und j
)
1 falls Knoten i Knoten j zugeordnet wird
x ij =
0 sonst
( )
1 falls Knoten j zum p Median gehört
y i =
0 sonst
23

Die zweite Nebenbedingung legt die Anzahl der zum p-Median gehörenden Knoten
auf p fest. Die dritte Nebenbedingung stellt sicher, dass ein Nachfrager j nur
einem Knoten i zugeordnet wird, der zum p-Median gehört. Des Weiteren besagt
die erste Nebenbedingung, dass jeder Knoten nur einem Median zugeordnet
wird [DOMSCHKE; DREXL 1996].
Lösungsmöglichkeiten
Da Medianprobleme von der Problemformulierung Ähnlichkeiten mit den im
Folgenden beschriebenen Warehouse Location Problemen aufweisen, können die
dort aufgezeigten Lösungsverfahren auch für Medianprobleme angewendet werden.
2.4.2 Nebenpfad: Warehouse
Warehouse
Location
Probleme
Durch Warehouse Location Probleme lassen sich verschiedene Standortentscheidungsprobleme
abbilden. Grob unterscheiden lassen sich die folgenden Modelle:
• Unkapazitierte vs. Kapazitierte WLP
• Einstufige vs. Mehrstufige WLP
• Einprodukt-WLP vs. Mehrprodukt-WLP
Modellformulierung
Mathematisch formulieren lässt sich das WLP wie folgt:
Minimiere F (x, y) = ∑ m ∑ n
i=1 j=1 c ij ∗ x ij + ∑ m
i=1 f i ∗ y i
unter
∑
den Nebenbedingungen
m
i=1 x ij = 1 ∀j
x ij − y i ≤ 0 ∀i, j
y i ∈ (0, 1) ∀i
x ij ≥ 0 ∀i, j
mit c ij =variable Transport- und Lagerhaltungskosten
f i =fixe ( Depot- bzw. Standortkosten der Investition
1 falls Nachfrager j von einem Lager am Standort i voll beliefert wird
x ij =
0 sonst
( )
1 falls am potentiellen Standort i ein Depot errichtet wird
y i =
0 sonst
Der erste Teil der Zielfunktion minimiert die variablen Kosten c ij des Transports
und der Lagerhaltung, der zweite Summand minimiert die fixen Depotbzw.
Standortkosten f i der Investition. Ferner stellt die erste Restriktion die
Nachfragebedingung dar, und die folgende Nebenbedingung garantiert, dass die
fixen Standortkosten erfasst werden, sobald ein Transport von einem Standort j
stattfindet. Ein Kunde wird zwingend vom nächstgelegenen Lager voll beliefert.
)
24

Lösungsverfahren
Zur Lösung unkapazitierter WLP kommen exakte sowie heuristische Verfahren
in Frage.
• Exaktes Branch & Bound Verfahren von Erlenkotter
• Heuristische Eröffnungs- und Verbesserungsverfahren
• Heuristische Metastrategien
2.4.3 Nebenpfad: Hub&Spoke
Hub & Spoke
Netzwerke
Ein Hub & Spoke Netz ist eine spezielle Art von Netzwerk. In diesem sind die
Quellen und die Ziele von Wegen nicht direkt miteinander verbunden, sondern
indirekt über einen oder mehrere Hubs. Die Verbindungen zwischen den Quellen
bzw. den Zielen laufen strahlen- oder sternförmig auf ein Hub zu, und die Hubs
sind innerhalb des Hub-Netzes miteinander verbunden. Die Hubs erfüllen dabei
die Funktion von Drehkreuzen bzw. Umschlagpunkten. [MAYER 2001]
Abbildung
eines
Hub&Spoke
Netzes
Ziel
Das am häufigsten angestrebte Ziel bei Hub Location Problemen ist, ähnlich
wie bei den meisten Standortplanungsproblemen, die Minimierung von Kosten.
Zu berücksichtigende Kosten können neben den fixen und variablen Kosten auch
Kosten der Verspätung aus Sicht der Nachfrager sein. Es wird davon ausgegangen,
dass durch die Nutzung von Interhub-Verbindungen die Transportkosten
pro Wegeinheit im Hubnetz durch einen bestimmten Faktor kleiner 1 abdiskontiert
werden. Der Transport über Hubs soll dadurch günstiger sein als eine
Direktverbindung der Quelle mit dem Ziel, obwohl der zurückgelegte Weg meist
größer ist. [MAYER 2001]
25

Lösungsverfahren
Wird davon ausgegangen, dass die Transportkosten proportional zu der zurückgelegten
Strecke sind, dann handelt es sich bei Hub Location Problemen um
eine MINISUM-Zielsetzung.
Zur Lösung von Hub Location Problemen existieren eine Reihe exakter Lösungsverfahren
sowie Heuristiken. Neben verschiedenen Branch & Bound Verfahren
können heuristische Eröffnungsverfahren wie Add und Drop, Verbesserungsverfahren
sowie heuristische Metastrategien zur Anwendung kommen.
Anwendungsbereiche
Anwendung finden Hub Location Probleme vor allem im Luft-, Schifffahrts- und
Straßengüterverkehr, bei Speditionen, Paketdiensten oder der Post sowie beim
Design von Computer- und Kommunikationsnetzwerken [MAYER 2001].
Im Öffentlichen Verkehr können die Verbindungen zwischen den Hubs schnelle
Verbindungen zwischen zwei Zentren und die Speichen langsame Bus- oder
Straßenbahnlinien zu zentralen Haltestellen bzw. fußläufige Distanzen zwischen
Quelle oder Ziel und Haltestelle darstellen.
26

2.5 Modelle zur Haltestellenoptimierung
Haltestellen in
Netzwerken
Zur Darstellung von Standortproblemen von Haltestellen auf Netzwerken können
verschiedene Modelle angewendet werden.
Eine Möglichkeit ist die Modellierung als Medianproblem.
Darüber hinaus können diese Probleme als Überdeckungsprobleme modelliert
werden. Dabei existieren unterschiedliche Modellierungsansätze [SCHÖBEL 2005]:
1. Door-to-Door Travel Time Stop Location Problem
2. Complete Cover Stop Location Problem
3. Bicriterial Stop Location Problem
2.5.1 Nebenpfad: Door-To-Door Travel Time Stop Location Problem
Door-To-Door
Travel Time
Stop Location
Problem
Bei der Betrachtung der gesamten Reisezeit (Door-To-Door Travel Time) sind
die Zeiten enthalten, die ein Nachfrager benötigt, um von einem Ausgangspunkt
zu einer Haltestelle zu gelangen, die anschließende Reisezeit innerhalb
des öffentlichen Verkehrsnetz und die Abgangszeit von der Zielhaltestelle zum
gewünschten Zielort.
Abbildung 1:
Beispiel für die
Tür-zu-Tür
Reisezeit
Optimierung
Anstelle der Berechnung der gesamten Reisezeit wird in diesem Modell nur die
Änderung der Reisezeit berechnet, die sich durch die Anordnung und die Anzahl
von Haltestellen ergibt.
27

Änderungen ergeben sich zum einen durch eine geringere Zugangsdistanz zu den
Haltestellen, bedingt durch eine hohe Anzahl vorgesehener Haltepunkte.
Zum anderen erhöht sich die Reisezeit innerhalb des Verkehrsnetzes durch eine
hohe Anzahl Stopps. Zu minimieren ist die Differenz zwischen der Reisezeit im
Verkehrsnetz und der Zugangszeit zu der Haltestelle, die dem Nachfrager am
nächsten liegt.
2.5.2 Nebenpfad: Complete Cover Stop Location Problem
Complete
Cover Stop
Location
Problem
Modellformulierung
Das Complete Cover Stop Location Problem kann wie folgt formuliert werden:
Für ein gegebenes Verkehrsnetz G, eine gegebene Anzahl an Reisenden auf den
verschiedenen Relationen und eine endliche Menge an Nachfragerknoten mit
Nachfragern w d , die sich in einer bestimmten Entfernung γ d < r zu der nächsten
Haltestelle befinden, soll eine Menge S an Haltestellen gefunden werden, die alle
Nachfragerknoten überdeckt, so dass die zusätzliche Reisezeit bzw. die Zeitopportunitätskosten
der Wartezeit für die Nutzer
t + travel (S) = ∑ s∈S c s
minimal ist.
Diese Problemformulierung entspricht einem Set Covering Problem. Als mögliche
Lösungsmenge existiert eine endliche dominierende Menge potentieller Stopps
auf dem Verkehrsnetzwerk.
Lösungsmöglichkeit
Eine Möglichkeit ist, dieses unter zu Hilfenahme eineskürzesten-Wege Algorithmus
zu lösen. Dazu muss ein gerichteter Digraph bestimmt werden, der
sich aus der Überdeckungsmatrix der Problemformulierung ableiten lässt. Die
Kantengewichte entsprechen den c s - Werten. Die Verbindungen in diesem Digraph
entsprechen dabei allen Möglichkeiten, potentielle Haltestellen auf dem
Netzwerk zu implementieren, die eine vollständige Überdeckung aller Nachfragerknoten
garantieren.
Der Set-Covering Digraph G SC = (S SC , A SC ) ist deshalb definiert als
S SC = S ∪ (s, t) und
A SC = ((i, j) : i < j und f j≤li+1) ∪ ((s, i) : f i = 1) ∪ ((i, t) : l i = |D|)
Die Gewichte der Kanten betragen c ij = c s mit
c ij = c j falls j ≠ t und 0 falls j = t
Die Gewichte entsprechen der Anzahl der Reisenden, für die sich auf einer Relation,
bedingt durch zusätzliche Stopps, die Reisezeit um eine vorgegebene Zeit
erhöht. Ziel ist es nun, einen kürzesten Weg von s nach t zu bestimmen, der
28

genau die Haltestellen berücksichtigt, bei denen die Summe der Wartezeiten
minimal ist und alle Nachfragerknoten überdeckt werden.
Beispiel
Das folgende kleine Beispiel soll die Vorgehensweise erläutern:
Problem Gegeben⎛
sei das Problem⎞
mit der Überdeckungsmatrix A cov = (a ds ):
A cov = ⎝ 1 1 1 0
0 1 1 1 ⎠
0 0 1 1
und der Anzahl an Reisenden c s , für die sich die Reisezeit im Verkehrsnetz
bedingt durch zusätzliche Haltestellen erhöht:
c 1 = 4 c 3 = 6
c 2 = 3 c 4 = 2
Aufgabe
Welche Form hat der Digraph zu obenstehender Überdeckungsmatrix?
HOTSPOT Lösung: 1
Dijkstra-
Algorithmus
Mit Hilfe des Dijkstra Algorithmus kann nun ein kürzester Weg von s nach t
bestimmt werden.
Die Lösung des Beispiels stellt sich wie folgt dar:
Kürzester Weg
Lösung (bitte nur klicken, wenn Sie obenstehende Aufgabe schon gelöst
haben!!!!)
29

Lösung Der zugehörige Zielfunktionswert lautet F = c 2 + c 4 = 3 + 2 = 5.
Die optimale Lösung lautet folglich: S∗ = (s 2 , s 4 )
2.5.3 Nebenpfad: Bicriterial Stop Location Problem
Bicriterial
Stop Location
Problem
Unter bestimmten Bedingungen erscheint es als nicht sinnvoll, alle Nachfrager
durch Haltestellen zu überdecken, sondern nur einen bestimmten Prozentsatz.
Einerseits ist es unter realen Bedingungen unrealistisch, alle Nachfrager durch
Haltestellen überdecken zu können, andererseits könnte dies zu einer sehr hohen
Anzahl an Haltestellen führen, was einen wirtschaftlichen und qualitativ
hochwertigen Betrieb in Bezug auf die Reisezeit nicht zuließe.
Das bikriterielle Standortproblem für Haltestellen kann wie folgt formuliert werden:
Modellformulierung
Für ein gegebenes Verkehrsnetz G, eine gegebene Anzahl an Reisenden auf den
verschiedenen Relationen und eine endliche Menge an Nachfragerknoten mit
Nachfragern w d , die sich in einer bestimmten Entfernung γ < r zu der nächsten
Haltestelle befinden, soll eine Menge S an Haltestellen gefunden werden, so dass
die zusätzliche Reisezeit
t + travel (S) = ∑ s∈S c s
und die Überdeckung der Nachfrager
−q cover = − ∑ d∈cover(S) w d
minimal sind.
Unter der Minimierung beider Funktionen ist folglich zu verstehen, dass paretooptimale
Lösungen für t + travel und q cover so gefunden werden sollen, dass eine
Menge möglicher Stopps S 1 eine andere Menge möglicher Stopps S 2 dominiert.
S 1 dominiert hierbei S 2 , wenn
t + tavel (S 1) ≤ t + travel (S 2) und
q cover (S 1 ) ≥ q cover (S 2 )
und in mindestens einer Ungleichung nicht die Gleichheit auftritt. Unter Paretooptimalen
Lösungen wird in der Ökonomie eine Allokation verstanden, in der es
nicht mehr möglich ist, ein Wirtschaftssubjekt besser zu stellen, ohne gleichzeitig
(mindestens) ein Wirtschaftssubjekt schlechter zu stellen.
Die Pareto-optimale Lösung S* ist dann eine mögliche Menge an Stopps, die
von keiner anderen ( Menge möglicher Stopps dominiert wird.
t
+
Die Punkte
travel (S∗)
)
von Pareto-Lösungen S* werden als effizient bezeichnet.
q cover (S∗)
30

Lösungs-
Zur Lösung des bikriteriellen Standortproblems können eine Vielzahl an
verfahren angewendet werden.
Lösungsmöglichkeit
Infoseite
Lösungsverfahren
Werden beide Zielfunktionen unter Verwendung eines gewichteten Mittelwerts
zu einer Ersatzzielfunktion zusammengefasst, wird von der Gewichtete Summen
Skalarisierung bzw. der Zielgewichtung gesprochen. Die Einzelzielfunktionen
werden vor der Optimierung mit reellen Zahlen
λ 1 , λ 2 , ..., λ t mit 0 ≤ λ t ≤ 1 gewichtet und anschließend aufsummiert.
Als Nebenbedingung soll dabei
∑ t
i=1 λ i = 1 gelten [DOMSCHKE; DREXL 1998].
Vorteil einer gewichteten Summenfunktion ist, dass die Ersatzzielfunktion in der
Regel relativ einfach zu bestimmen ist. Nachteilig wirkt sich aber aus, dass die
Lösungsmenge nur eine extremale optimale Lösung beinhaltet. Auch ist die Wahl
der Gewichte stark von den Präferenzen des Entscheidungsträgers abhängig. Die
Wahl kann sehr stark subjektiv beeinflusst werden und oftmals sind die Ziele
bzw. die Einheiten der Ziele nicht vergleichbar.
Darüber hinaus ist ein weiterer Nachteil dieser Methode, dass die optimale
Lösung von sehr kleinen Veränderungen der Gewichtung stark beeinflusst werden
kann.
Dieses Problem lässt sich lösen, indem für die einzelnen Ziele obere bzw. untere
Schranken vorgegeben werden, die dann im Rahmen einer Lösung nicht
über- bzw. unterschritten werden dürfen. Die Vorgehensweise wird in folgendem
Abschnitt zur Zieldominanzmethode näher erläutert.
Bei der Zieldominanz-Methode wird das bikriterielle Optimierungsproblem
als einkriterielles Problem charakterisiert.
Anfänglich wird ein Optimierungsziel nicht betrachtet und stattdessen eine Nebenbedingung
der Art
f i (S) ≤ ɛ oder f i (S) ≥ ɛ eingeführt,
die für die Zielfunktion obere bzw. untere Schranken festsetzt. Unter den so
entstehenden Lösungen wird dann eine berechnet, die bezüglich der anderen
Zielfunktion und ihrem Optimierungsziel optimal ist.
Problematisch bei dieser Methode ist, dass durch ungünstige Schranken für ein
Nebenziel der Zielerreichungsgrad des Hauptziels sehr stark einschränkt oder im
Extremfall die Menge der zulässigen Lösungen leer ist [DOMSCHKE; DREXL 1998].
Unter der Berücksichtigung von Abstandsfunktionen wird die Minimierung
der Abstände zwischen dem Zielfunktionswert eines gesondert betrachteten
Ziels f i ∗ und dem Zielfunktionswert einer kombinierten Lösung mehrerer Ziele
f i (x) verstanden.
Es wird also eine Lösung des Gesamtproblems gesucht, welches einen möglichst
geringen Abstand zwischen der Lösung der Einzelziele t und der Lösung des
Gesamtziels, bei gleichzeitiger Betrachtung beider Zielfunktionen, aufweist.
31

Ähnlich wie bei der Zielgewichtung können zusätzliche Gewichte für die einzelnen
Ziele eingeführt werden.
EIne Sonderform der Bestimmung von Abstandfunktionen ist das Goal-Programming/Zielprogrammierung.
Hierbei werden die Werte für f i ∗ vom Entscheidungsträger vorgegeben. Ziel ist
es auch, die Abstände zwischen vorgegebenem Zielfunktionswert und dem kombinierten
Zielfunktionswert aller Ziele zu minimieren.
Eine weitere Lösungsmöglichkeit ist, ähnlich wie bei gewichteten Set Covering
Problemen, unter zu Hilfenahme der Bestimmung kürzester Wege in einem
gerichteten Digraphen, pareto-optimale Lösungen zu bestimmen.
Es werden jeder Kante zwei Gewichte zugeordnet.
Zum einen soll die Summe der Wartezeiten c ij minimiert, zum anderen die
Überdeckung der Nachfrager w d maximiert werden [SCHÖBEL 2005].
Eine weitere Möglichkeit zur Bestimmung optimaler Lösungen für mehrkriterielle
Problemstellungen stellt die lexikographische Optimierung dar. Hierbei
werden die einzelnen Zielfunktionen nach ihrer Wichtigkeit sortiert, und
das Problem wird anschließend sukzessive nach den einzelnen Zielfunktionen
optimiert. Die berechneten optimalen Lösungen werden dann als Randbedingungen
in die nachfolgende Optimierung der nächsten Zielfunktion eingefügt
[DOMSCHKE; DREXL 1998].
Für Zielfunktionen, die als gleichwertig angesehen werden können, ist die lexikographische
Optimierung nicht anwendbar. So ergeben sich bei der Anwendung
auf die bikriterielle Zielsetzung der Standortfindung bestimmte Schwierigkeiten.
Beide Ziele sind zum einen als gleichwertig anzusehen. Des Weiteren stellen die
optimalen Ziele der einzelnen Zielfunktionen Extrempunkte dar, die eine Optimierung
der anderen Zielfunktion nicht möglich machen. Wird zum Beispiel
nur nach dem Ziel, die Kosten zu minimieren, optimiert, dann ist die optimale
Lösung, dass keine Stopps implementiert werden und die Kosten gleich Null
sind. Darauf aufbauend das zweite Ziel - die Maximierung der Überdeckung -
zu optimieren, ist nun nicht mehr möglich, da bei keiner errichteten Haltestelle
keine Nachfrager überdeckt werden können. Die lexikographische Optimierung
scheidet also für unsere Problemstellung aus.
32

3 Beispiel 1: Depots
3.1 Modellierung
Aufgabenstellung
Ein Netzwerk des öffentlichen Nahverkehrs soll erweitert werden. Die Knoten
s stellen die Anfangs- und Endhaltestellen der Linien dar, die im Pendelbetrieb
verkehren. Die Gemeinde möchte ein Unternehmen beauftragen, Depots
für Straßenbahnen zu errichten. Dafür stehen die potentiellen Standorte l zur
Verfügung.
Ein Planungsbüro wird damit beauftragt zu untersuchen, wie viele der potentiellen
Depotstandorte errichtet werden sollen und von welchem Depot aus welche
Haltestellen versorgt werden sollten. Ein Depot kann mehrere Haltestellen versorgen,
ebenso kann eine Haltestelle von mehreren Depots aus bedient werden.
Abbildung 1:
Gemeindegebiet
33

Die zurückzulegenden Wege sind unter Beachtung des vorhandenen bzw. zu bauenden
Schienennetzes zu wählen und können stets in beide Richtungen befahren
werden. Die durchgezogenen Linien stehen für die zu bedienenden Straßenbahnlinien,
die gestrichelten Linien stellen die Gleisverbindungen dar, die die potentiellen
Depots mit den Haltestellen verbinden. Sie müssen bei der Wahl eines jeden
Depots ebenfalls neu errichtet werden. Um von einem Depot zu einer Haltestelle
zu gelangen, können sowohl die durchgezogenen wie auch die gestrichelten
Linien verwendet werden. Maßgebend ist immer die kürzeste Verbindung.
Digraph
Kürzeste Wege
Die Entfernungen γ ls zwischen potentiellem Depot und Haltestellen sind Grundlage
für die Berechnung der Transportkosten. Eine Distanzeinheit entspricht 0,5
Geldeinheiten. Damit ist berücksichtigt, dass ein Fahrzeug jeweils einmal am
34

Tag eine Ein- und Aussetzfahrt zurücklegen muss. Die minimalen Wege werden
mit Hilfe des kürzesten Wege Algorithmus von Dijkstra bestimmt. Sie sind in
der Entfernungsmatrix in folgender Tabelle dargestellt.
35

3.2 Modellierung (2)
Optimierungsziel
und
Optimierungskriterien
Eingangsgrößen
Ziel ist die Minimierung der Summe der variablen Transportkosten und der
fixen Abschreibungskosten für Depots und der dadurch notwendigen Trassen.
Benötigte Eingangsgrößen zur Lösung des Problems sind:
• Lage und Anzahl der zu bedienenden Haltestellen
• Lage und Anzahl der potentiellen Depots
• Anzahl der benötigten Straßenbahnen je Haltestelle
• Kapazität und Fixkosten der potentiellen Depots
• bestehendes und potentielles Schienennetz
• Länge jeder Wegstrecke
• Entfernung der potentiellen Depots zu jeder Haltestelle (Entfernungsmatrix)
Entscheidungsvariablen
Als Entscheidungsvariablen müssen die
• Anzahl der Straßenbahnen, die je Depot zu einer bestimmten Haltestelle
befördert werden, und die
• Anzahl der zu errichtenden Depots
beachtet werden.
Modellierung
Aus der Problemstellung geht hervor, dass aus einer Menge potentieller Standorte
eine Teilmenge identifiziert werden soll, damit das Verhältnis zwischen fixen
Standortkosten und variablen Transportkosten optimal ist. Aufgrund der
zusätzlichen Kapazitätsbeschränkung der Depots, beschreibt unser Beispiel ein
kapazitiertes Warehouse Location Problem.
36

3.3 Lösungsverfahren DROP-Algorithmus
Lösungsverfahren
Die Lösung des Problems wird mit heuristischen Verfahren ermittelt. Als Eröffnungsverfahren
wird der Drop-Algorithmus verwendet, mit Hilfe von Tabu
Search soll anschließend die Startlösung verbessert werden.
DROP-
Algorithmus
Der Drop-Algorithmus geht von der Startsituation aus, dass alle potentiellen
Standorte der Depots vorläufig einbezogen sind. Zu Beginn entspricht der Zielfunktionswert
der Summe der Fixkosten aller Standorte und der minimalen
Transportkosten. Letztere werden durch das Lösen von Transportproblemen
ermittelt.
Mit jeder Iteration wird nun derjenige Standort endgültig ausgeschlossen, durch
dessen Schließung die größtmögliche Verringerung des Zielfunktionswertes erlangt
wird. Der Algorithmus endet, sobald durch die Schließung eines weiteren
Standortes keine zusätzliche Senkung des Zielfunktionswertes erreicht werden
kann. Alle Standorte, die nicht ausgeschlossen wurden, werden nun endgültig
einbezogen. [SCHILDT 1994]
Der Drop-Algorithmus zählt zu den Greedy-Verfahren. Bei jeder Iteration wird
demnach die größtmögliche Verbesserung des Zielfunktionswertes angestrebt.
Bei dem Algorithmus kann nicht abgeschätzt werden, wie sich das Eliminieren eines
Standortes auf nachfolgende Verfahrensschritte auswirkt. [DOMSCHKE; KLEIN; SCHOLL 1996]
Das bedeutet, dass eventuell suboptimale Lösungen gefunden werden. Der Drop-
Algorithmus liefert dennoch eine gute Startlösung, die anschließend mittels Tabu
Search verbessert werden soll.
37

Infoseite
Transportproblem
Transportprobleme sind lineare Optimierungsprobleme und können mit Hilfe
des Simplex-Algorithmus gelöst werden.
Bei größeren Optimierungsproblemen ist es sinnvoll, ein Computerprogramm
zur Lösung dieser in Anspruch zu nehmen, da sonst der Rechenaufwand zu groß
wird. Hiervon existieren zahlreiche, deren Lösungsverfahren auf der Simplex-
Methode basieren.
38

3.4 Lösungsverfahren Tabu-Search
Tabu Search
Mit Hilfe der Metaheuristik Tabu Search soll die Lösung des Drop-Algorithmus
auf mögliche Verbesserungen des Zielfunktionswertes untersucht werden.
Der Aufbau des Tabu Search-Verfahrens sieht wie folgt aus:
1. Ermittle eine Starlösung x 0 und berechne den zugehörigen Zielfunktionswert
F 0 .
2. Suche in der Nachbarschaft nach einer Lösung, die die größte Verbesserung
bzw. die geringste Verschlechterung des Zielfunktionswertes F ermöglicht
und berechne diesen.
3. Vergleiche die Zielfunktionswerte F und F 0 und speichere die beste Lösung.
4. Aktualisiere die Tabu-Liste.
5. Wiederhole die Schritte 2 bis 4 so lange, bis ein Abbruchkriterium erfüllt
ist.
6. Gib die beste Lösung und ihren zugehörigen Zielfunktionswert an.
39

4 Beispiel 2: Haltestellen
4.1 Modellierung
Aufgabenstellung
Ein Verkehrsunternehmen betreibt ein öffentliches Verkehrsnetz innerhalb einer
Gemeinde. Die drei Gemeindegebiete werden dabei von jeweils einer Linie im
Tourenbetrieb angedient. Ein zentraler Umsteigebahnhof auf dem Gemeindegebiet
B ermöglicht die Anbindung aller drei Linien.
Um das Angebot auch in Zukunft wettbewerbsfähig und attraktiv zu gestalten,
möchte das Unternehmen die Standorte für die Haltestellen optimieren, um die
Anzahl der Fahrgäste zu erhöhen. Dies soll sukzessive für jedes Gemeindegebiet
geschehen. In einem ersten Schritt sind dabei die Planungen und die anschließende
Optimierung für das Gemeindegebiet A durchzuführen. Dem Unternehmer
bietet sich dafür die Möglichkeit, Haltestellen auf dem Netz im Gemeindegebiet
A neu zu errichten und bestehende Haltestellen zu schließen.
Abbildung 1:
Gemeindegebiet
Nahverkehrslinie
Das Netz im Gemeindegebiet A mit potentiellen Haltestellen und Knoten, in
denen Nachfrage besteht, ist in Abbildung 1 dargestellt.
Zur Vereinfachung wird davon ausgegangen, dass die Nachfrage nicht auf der
gesamten Fläche besteht, sondern dass Nachfragerknoten bereits durch Clusterbildung
gebildet worden sind. Diese stellen Schwerpunkte eines vorher bestimmten
Bereichs dar, in dem die Nachfrage akkumuliert werden kann. Dies können
beispielsweise Wohngebiete, Industriegebiete, Einkaufszentren oder ähnliche Agglomerationen
sein.
Die Einzugsbereiche der einzelnen Haltestellen sind mittels gestrichelter Verbindungslinien
dargestellt. So sind zum Beispiel die Nachfragerknoten d 2 und
d 3 von der Haltestelle s 2 überdeckt und eine bestimmte Anzahl potentieller
Kunden nutzt diese Haltestelle.
40

Abbildung 2:
Nahverkehrslinie
mit
Haltestellen
und Nachfragerknoten
Überdeckungsmatrix
und
Gewichte der
Nachfragerknoten
Die Überdeckungsmatrix A cov = (a ds ) für obiges Netz ergibt sich wie folgt:
Ferner wird angenommen, dass sich die Nachfragerknoten in einem bestimmten
gegebenen Abstand zu den potentiellen Haltestellen befinden, und dass
jeder Nachfragerknoten eine gleich hohe Anzahl an Nachfragern repräsentiert.
Im Verhältnis zu der Distanz zwischen Nachfragerknoten und Haltestelle ergeben
sich folgende Werte, die die Anzahl Nutzer der einzelnen Halstestellen
repräsentieren:
41

Infoseite
Es wird davon ausgegangen, dass die maximale fußläufige Distanz γ d , die ein
Nutzer bereit ist bis zu einer Haltestelle zurückzulegen, 500 Meter nicht überschreitet.
Diese Distanz entspricht in etwa der maximalen Fußweglängen, die als
Bedienungsstandard im Öffentlichen Verkehr vorgegeben werden (bspw. städtische
Kernzone: 300-400 Meter; Unterzentrum: 600 Meter).
Die Gewichtung der Nachfragerknoten berechnet sich für das Beispiel aus folgender
Funktion:
Diese Funktion nimmt bei einem Abstand von 0 Metern zur Haltestelle den
Wert 1 an (was einem Nachfrageranteil des Knotens von 100% entspricht) und
bei einer Entfernung des Nachfragerknotens von 500 Metern den Wert Null (was
einem Nachfrageranteil des Knotens von 0% entspricht).
Bei bspw. 100 Einwohnern je Nachfragerknoten würden demnach 21 Nachfrager
aus Knoten 1 Haltestelle 1 in Anspruch nehmen. Analog dazu würden Haltestelle
3 drei Nachfrager aus Knoten 3 und 35 Nachfrager aus Knoten 4 in Anspruch
nehmen.
42

4.2 Modellierung (2)
Vorbemerkung
Die Standortplanung von Haltestellen ist einer der ersten Schritte bei der Planung
eines öffentlichen Verkehrsnetzes.
Die Planung ist dabei eng verbunden mit dem Fahrplan. Anschlüsse verschiedener
Linien werden durch Haltestellen räumlich und durch den Fahrplan zeitlich
festgelegt.
Ziel dieses Beispiels ist die räumliche Optimierung der Haltestellenstandorte in
einem gegebenen Nahverkehrsnetz.
Aufgabe
Jeder Linie muss eine bestimmte Anzahl an Haltestellen zugeordnet werden, an
denen die Transportmittel halten, um einer bestimmten Anzahl an Nachfragern
eine Anbindung an das Nahverkehrsangebot zu ermöglichen.
Optimierungsziele
und
Optimierungskriterien
Ziele sind die Minimierung der Anzahl an Haltestellen und die Maximierung
der Überdeckung der Nachfrager (Maximierung der Erschließungswirkung).
Optimierungskriterien für beide Ziele sind:
• Anzahl der zu implementierenden Haltestellen:
• Wartezeiten der Reisenden im Nahverkehrsnetz
• Zeitopportunitätskosten der Nutzer
• Betriebs- und Investitionskosten
• Anzahl überdeckter Nachfrager:
• Erlöse des Nahverkehrsunternehmens
Eingangsgrößen
Zur Bearbeitung der Aufgabe werden folgende Daten und Eingangsgrößen
benötigt:
• Verlauf der Nahverkehrslinie
• Lage der Nachfragerknoten
43

• Anzahl potentieller Nachfrager pro Nachfragerknoten
• Zuordnung der Nachfragerknoten zu den Haltestellen
• Anzahl Reisender auf den verschiedenen Relationen (Quelle-Ziel Matrix)
Entscheidungsvariablen
Im Rahmen der Optimierung veränderlich sind die Entscheidungsvariablen:
• Anzahl der zu implementierenden Haltestellen
• Anzahl der zu überdeckenden Nachfragerknoten
Modellierung
Möglichkeiten der Modellierung sind bereits an vorangegangener Stelle erläutert
worden. Wir werden im Folgenden die bikriterielle Modellierung [DOMSCHKE; DREXL 1998]
detailliert betrachten und Lösungsvorschläge aufzeigen.
44

4.3 Optimierungsverfahren
Optimierungsverfahren
Zur Optimierung der bikriteriellen Standortprobleme werden (wie oben bereits
aufgezählt) folgende Optimierungsverfahren eingesetzt:
• Zielgewichtung bzw. Gewichtete Summen Skalarisierung
• Zieldominanz bzw. e-constraint-Methode
• Berücksichtigung von Abstandsfunktionen bzw. Goal-Programming
• Bestimmung kürzester Wege
• Lexikographische Optimierung
Im Folgenden wird auf die Bestimmung kürzester Wege und die Zielgewichtung
näher eingehen. Diese werden zur Lösung des Beispiels angewendet.
45

4.4 Lösungsverfahren Bestimmung kürzester Wege
Bestimmung
kürzester
Wege
Analog zur Bestimmung kürzester Wege bei der Lösung von Set Covering Problemen
können bei der Lösung von bikriteriellen Problemen ebenfalls Kürzeste-
Wege-Algorithmen zur Anwendung kommen.
Veranschaulichen lässt sich dies gut an einem leicht vereinfachten Beispiel.
Es werden jeder Kante zwei Gewichte zugeordnet. Zum einen soll die Summe
der Wartezeiten c ij minimiert, zum anderen die Überdeckung der Nachfrager
w d maximiert werden.
Als Vereinfachung werden die c ij -Werte zu 1 normiert. Die w d -Werte stellen die
Gewichte der Kanten dar.
Der bikriterielle Set Covering Digraph G BSC = (S BSC , A BSC ) ist - anders als
der Set-Covering Digraph - definiert durch:
S BSC = S ∪ (s, t) und
A BSC = ((i, j) : i, j ∈ S und i < j) ∪ ((s, j) : j ∈ S) ∪ ((i, t) : i ∈ S) ∪ ((s, t))
Die Gewichte der Kanten betragen
c ij = 1
w ij = ∑ d∈cover(j)/cover(i) w d falls i ≠ s, j ≠ t
w ij = ∑ d∈cover(j) w d
w ij = 0
falls i = s, j ≠ t
falls j = t
Beispiel
Für das Beispiel stellt sich der Digraph wie folgt dar:
Im Gegensatz zum Digraphen des gewichteten Set Covering Problems sind hier
der Knoten s und der Knoten t mit allen anderen Knoten und alle Knoten i ∈ s
mit allen folgenden Knoten j ∈ s für i < j verbunden.
Grund ist, dass zum einen auch hier die Verbindungen der Knoten allen Möglichkeiten
entsprechen, potentielle Haltestellen auf dem Netzwerk zu implementieren,
zum anderen aber nicht notgedrungen alle Nachfragerknoten überdeckt
werden müssen. Es können somit beliebige Konfigurationen an Haltestellenstandorten
in Abhängigkeit der Anzahl zu errichtender Stopps implementiert
46

werden. Aus diesem Grund sind hier alle Knoten mit allen nachfolgenden Knoten
verbunden.
Lösung
Mit folgenden Werten für die Anzahl überdeckter Nachfrager je Knoten ergeben
sich für das Beispiel folgende pareto-optimale Lösungen in Abhängigkeit der
Anzahl implementierter Haltestellen.
w 1 = 5 w 2 = 4
w 3 = 6 w 4 = 2
Für
K=1 wird Haltestelle 3 implementiert,
K=2 werden Haltestellen 1 und 3 implementiert,
K=3 werden Haltestellen 1,2 und 3 implementiert und für
K=4 werden alle Haltestellen implementiert.
Effiziente
Lösungen bei
mehreren
Zielen
Aufgabe
Wird davon ausgegangen, dass die c s -Werte nicht konstant gleich 1 sind, dann
besteht die Lösung aus einer Menge an pareto-optimalen Elementen.
Aus wie vielen Elementen besteht die Lösungsmenge des obigen kürzeste Wege
Problems mit den Kantengewichten w d und c s ?
15
Gelten für die Gewichte die oben stehenden Werte für w d und die folgend aufgeführten
c s -Werte, stellt sich die Lösungsmenge des Beispiels wie folgt dar:
c 1 = 3 c 2 = 5
c 3 = 2 c 4 = 6
47

Aufgabe
Welchs Element der Lösungsmenge ist für K=2 Haltestellen pareto-optimal? false {s,1,2,t}
true {s,1,3,t}
false
false
false
false
{s,1,4,t}
{s,2,3,t}
{s,2,4,t}
{s,3,4,t}
Weitere
effiziente
Lösungen
Für K=1 ist die effiziente Lösung {s,3,t}
Für K=3 ist die effiziente Lösung {s,1,2,3,t}
Für K =4 ist die effiziente Lösung {s,1,2,3,4,t}
48

4.5 Lösungsverfahren Zielgewichtung
Zielgewichtung
Für die Optimierung bei mehrfacher Zielsetzung ist die Zielgewichtung ein weiteres
mögliches Lösungsverfahren.
Das folgende kleine Beispiel soll die Vorgehensweise erläutern:
Beispiel
Maximiere Gewinn G(x, y) = x + 2y
Maximiere Absatz A(x, y) = x + y
Maximiere Umsatz U(x, y) = 3x + 2y
unter den Nebenbedingungen
x + y ≤ 100
6x + 9y ≤ 720
y ≤ 60
x, y ≥ 0
Mit den Gewichten λ 1 bis λ 3 für das Zieltripel (Gewinn, Absatz, Umsatz) mit
(1/3, 1/2, 1/6) lautet die Zielfunktion:
Maximiere Φ(x, y) = 1 3 G(x, y) + 1 2 A(x, y) + 1 6 U(x, y) = 4 3 x + 3 2 y
unter obenstehenden Nebenbedingungen
Zur Lösung dieses linearen Optimierungsproblems eignet sich der Simplex AlgorithmusSimplex
Algorithmus.
Die optimale Lösung dieses Problems lautet dann:
x = 60; y = 40; G = 140; A = 100; U = 260
49

4.6 Lösung
Vereinfachung Mit Hilfe eines einfachen Algorithmus werden pareto-optimale Lösungen für
verschiedene Anzahlen an zu implementierenden Haltestellen ermittelt. Als Sonderfall
dient die Vereinfachung, dass die Anzahl an Reisenden, die eine Haltestelle
”
durchreisen“, für alle Haltestellen gleich groß ist. Die Summe der Zeitopportunitätskosten
c s der einzelnen Haltestellen nimmt für alle Stopps den Wert
1 an.
Die Vorgehensweise des Algorithmus für das Nahverkehrsnetz der Gemeinde ist
in folgender Diashow dargestellt.
Zielgewichtung
Im nächsten Schritt wird die Anzahl der Nachfrager in den einzelnen Relationen
in die Zielfunktion mit aufgenommen. Die Variable c s nimmt damit für die
unterschiedlichen potentiellen Haltepunkte die in folgender Tabelle aufgeführten
Werte an.
Die w d -Werte sind an früherer Stelle bereits aufgeführt worden.
Um nun in Abhängigkeit der Minimierung der Summe der Wartezeiten und der
Maximierung der Überdeckung der Nachfrager optimale Lösungen zu finden,
wenden wir die Methode der Zielgewichtung an.
Als Gewichte werden für λ 1 = 0, 3 und für λ 2 dementsprechend 0,7 gewählt. Damit
wird die Überdeckung höher als die zusätzliche Wartezeit gewichtet. Darin
spiegelt sich die Präferenz des Entscheidungsträgers wieder, eine hohe Überdeckung
als wichtiger für die Erhöhung der Attraktivität einzustufen als eine
wartzeitminimale Verbindung innerhalb des Verkehrsnetzes.
50

Modellierung
Es müssen nun - analog zu der Bestimmung kürzester Wege - für K=1,..., 6 Haltestellen
effiziente Lösungen bestimmt werden. Diese sind in folgender Diashow
dargestellt.
51

Variieren der
Gewichte
Die Auswahl der Gewichte beeinflusst stark das Ergebnis des Optimierungsproblems.
Aus diesem Grund werden für variierende Gewichte die verschiedenen
Ergebnisse dargestellt.
52

Es ist zu erkennen, dass sich durch verschiedene Gewichte die Lösungsmengen
für die optimalen Standorte von Haltestellen und die jeweils überdeckten Nachfragerknoten
ändern. Die optimalen Lösungen sind sehr stark von den Präferenzen
des Entscheidungsträgers - also den Gewichten - abhängig.
Infoseite
Algorithmus zur Lösung des bikriteriellen Problems
53

5 Literatur
5.1 Literaturverzeichnis
Literaturverzeichnis
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